Calibracin de calibradores tipo vernier. Rev 1 / CENAM / Mayo 20014

CENTRO NACIONAL DE METROLOGA

INCERTIDUMBRE EN LA CALIBR ACINDE CALIBRADORES TIPO VE RNIER

Hctor Gonzlez Muoz

Nota: El presente ejercicio ha sido desarrollado bajo aspectos didcticos y lleva por estoalgunas simplificaciones. Para aplicarlo a un caso especfico, deben tomarse en cuentalos resultados particulares de esa medicin o calibracin, informes y certificados decalibracin, caractersticas de los equipos, mtodos, condiciones ambientales,habilidades del personal y todos los elementos relevantes particulares de ese sistema demedicin.

El Marqus, Qro., Mxico, mayo de 2001.

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INCERTIDUMBRE EN LA CALIBRACIN DE

CAL IBRADORES TIPO VERNIERHctor Gonzlez Muoz

Junio, 2001

Resumen. Se presenta la estimacin de incertidumbre para un calibrador tipo vernier evaluando las diferentesfuentes de incertidumbre de acuerdo al mtodo de la Gua para la Expresin de Incertidumbres en la Medicin

del BIPM/ISO.

1. Introduccin

El calibrador tipo vernier, tambin conocido como vernier pie de rey, es un instrumento muydifundido en la industria, con l se miden caractersticas de longitud: exteriores, interiores o deprofundidad. Esto lo hace un instrumento muy empleado para mediciones preliminares y, si lastolerancias lo permiten, para el control de ciertas longitudes.

Para calibrar el calibrador tipo vernier, se emplean bloques patrn (BP), individuales o enconjunto adheridos, con longitudes nominales tales que calibren tanto la escala principal como laescala vernier (puntos 7.1.2. de NMX-CH-2-1993-SCFI [1] y, A.1 de ISO 3599-1976 [2]).

2.- Descripcin del sistema de medicinEl calibrador tipo vernier consta de: una estructura soporte en forma de L , que cuenta en su ladomayor con superficies gua donde desliza un cursor, este cuenta con puntas para medicionesexternas e internas, y en l esta, adems, el sistema de lectura, ste puede ser una escala vernier,un indicador de cartula o una pantalla digital. Existen gran nmero de variaciones a este diseo,ofrecidas por los distintos fabricantes de instrumentos.

Fig. 1. Calibrador con vernier.

Puntas para medicinexterna

Escala Vernier Escala principal

Barra deprofundidadesSuperficie gua

Puntas paramedicin internaCursor

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3.- Definicin del mensurandoLa calibracin se realizar sobre un calibrador con alcance de 0 a 150 mm, con divisin mnimade 0,05 mm, calibrado con condiciones ambientales de temperatura de 20C 1C.

Lo primero es definir el mensurando, analizando la forma de calibracin de un calibrador, sepropone como mensurando la correccin de la lectura del calibrador (e), definido como ladiferencia entre la longitud del bloque patrn (lbp) y la lectura del calibrador (lv)

21 tv

tbp ll -=e (1)

ste es el modelo fsico y matemtico, aadiendo las correcciones a esta ecuacin por los efectosde temperatura, se obtiene:

00vbp ll -=e (2)

( )vTvvbpTbpbp D+-

D+= aae 1010 ll (3)

vTvvvbpTbpbpbp D--D+= aae0000 llll + ... (4)

Entonces la medicin del mensurando (e) est afectada por las diferencias de temperatura y lasdiferencias de material entre el calibrador y el mensurando.Para simplificar el manejo de la ecuacin y de las diferencias de temperatura entre objetos, sedefinirn dos diferencias auxiliares:

bpv aada -= (5)

bpTvTT D-D=d (6)

sustituyendo estas diferencias en la ecuacin original y suponiendo 00 vbp ll se tiene:

dadae vTvTbpbpvbp D---=0000 llll (7)

Ahora, de esta ecuacin se encuentran los coeficientes de sensibilidad de cada componente:

Tbpbp

vT

v

Tbpbp

da

e

dae

dae

0

10

10

l

l

l

-=

D--=

-=

vTv

vvT

bpbpT

D-=

-=D

-=

0

0

0

l

l

l

dae

dae

ad

e

(8)

Calibracin de calibradores tipo vernier. Rev 1 / CENAM / Mayo 20018

Con lo cual el cuadrado de la incertidumbre queda finalmente:

( ) ( )( )

( ) ( )daaddaad

dadae

22

22

22

22

2222

2

00

00

011

uvTvvTuv

TubpbpbpuTbp

vuvTbpuTbpu

D-+D

-+

-+

-+

D--+

-=

ll

ll

ll

(9)

4.- Cuantificacin4.1.- Incertidumbre de los patrones u(lbp)

La contribucin a la incertidumbre, en este caso, se considerar como la tolerancia de longitud,especificada en la norma ISO 3650 [3], segn el grado de exactitud de los bloques patrnempleados, porque no se corrigi al valor calibrado de los bloques, por ser grado 1.

La tolerancia para bloques grado 1 es de 0,8 mm para un bloque de 150 mm de longitudnominal, al cual se asigna un tipo de distribucin de probabilidad rectangular, se tiene:

mbplu m461,03 8,0

==

(10)

4.2.- Incertidumbre de la lectura del vernier u(lv)

Esta incertidumbre se considerar el resultado de cinco contribuciones: el error de Abbe, el efectode paralaje, la falta de paralelismo, la resolucin y la repetibilidad.

4.2.1.- El error de Abbe

Se considera que entre el cursor y las superficies guas existe un huelgo que permitedeslizamiento y adems un error, se supone un ajuste H7/g6 [4] con un juego mximo de 36,3 mm[5, 6], tal que conociendo la dimensin del cursor que apoya en la superficie gua (W) se puedeestimar el error (E) sobre la lnea de medicin.

B

D

W

A

Huelgo

E

Fig. 2. Error de Abbe.

9mm 0274,0mm 53

mm3103,36mm 40

Whuelgo

AE

=-

=

=

(11)

Asignando un tipo de distribucin de probabilidad rectangular a este intervalo la incertidumbreestndar resulta:

mmm

Abbeu mmm

89,712

4,27== (12)

4.2.2.- El efecto de paralaje

La escala con vernier (ver la figura 3), est graduada con un nmero de divisiones iguales en n-1o n+1 divisiones de la escala principal. Las diferentes formas de dividir la escala vernier hacendiferentes divisiones mnimas [7,8].

Fig. 3. Sistema de lectura analgica con escala vernier, con divisin mnima de 0,05 mmdividiendo 39 mm en 20 intervalos.

El error de paralaje es un error que puede presentarse en la lectura de la escala vernier, debido aque la escala vernier normalmente esta separada de la escala principal, ello ocasiona al operadorla posibilidad de tomar una lectura errnea, (ver figura 4) por no estar apropiadamente ubicadorespecto a la superficie de la escala principal.

Para considerar este error, es necesario evaluar el posible error en la lectura de la escala vernierpor falta de perpendicularidad, este error tendr efecto sobre la escala vernier, la cual, hay querecordar, es un instrumento que permite amplificar los pequeos desplazamientos de lasmordazas, y por tanto el error encontrado habr que transformarlo, de acuerdo a la resolucin yseparacin de las lneas del vernier, en un error en la distancia entre las mordazas.

El error de perpendicularidad en la lectura (P) en el caso del calibrador tipo vernier se debe a quela forma de construccin del calibrador separa la escala vernier del plano de la escala principaluna distancia (a), ver figura 4, el operador posee una desviacin ptica (DO), determinada pordiversas causas, entre ellas la falta de perpendicularidad al plano xz sobre el plano xy.

0,05 mm

30

10 2 43

10 20

65 87 109

40 50 60

108620 4 0,1 mm

10 20 30 40 6050

Calibracin de calibradores tipo vernier. Rev 1 / CENAM / Mayo 200110

Fig. 4. Error de paralaje en calibrador con vernier.

De lo anterior se deduce por tringulos semejantes que:

mmmm

mmmmDF

aDOvernierP

0325,0300

3,05,32

)(

=

=

=

(13)

Este error P(vernier) es en la lectura de la escala vernier y para considerar su efecto en la medicinhabr que transformarlo, de acuerdo a la resolucin y separacin de las lneas del vernier, en unerror en la distancia entre las mordazas, entonces se realiza una equivalencia con eldesplazamiento del cursor:

mmm

mmmmevDMP

x

m85,095,1

05,0033,0=

=

=

(14)

donde:x es el error en la medicin debido al error de paralaje,P es el error de perpendicularidad,DM es la divisin mnima de la escala vernier,ev es el espacio entre marcas de la escala vernier sobre el cursor.

La incertidumbre estndar debida a este error, que no se corrige; se estima a partir del mximoposible, considerndolo con distribucin rectangular, por lo que se obtiene:

mmx

paralajeu mm

48,03

85,0

3=== (15)

y

x z

DF

a

P

DO

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4.2.3.- Falta de paralelismo entre mordazas

Se toma el valor que establece la norma ISO 6906 como mximo admisible: 10mm, el cual seconsidera con una distribucin de probabilidad rectangular:

mmm

oparalelismu mmm

677,53

10== (16)

4.2.4.- Resolucin del vernier

Se toma la resolucin como distribucin rectangular:

mresolucinu m141205,0

== (17)

4.2.5.- Repetibilidad.

Se considera la desviacin estndar de la media de una serie de n mediciones repetidas sobre unbloque patrn de 150 mm de longitud nominal:

( )m

nn

xxu

ni

iii

m51,3)1(dadrepetibili

2

=-

-=

=

= (18)

4.2.6.- Combinacin de las contribuciones a u(lv)

mvlu

mmmmmvlu

uuuuuvlu

m

mmmmm

57,17)(

51,314648,08)(

dadRepetibiliResolucinoParalelismParalajeAbbe)(

222222

222222

=

++++=

++++=

(19)

En la seccin 7 se discutir sta como la mayor fuente de incertidumbre, y de la ec. (19) seobserva que sus contribuyentes mayores son la resolucin, el error de Abbe y el paralelismo.

4.3.- Incertidumbre del coeficiente de expansin trmica u(aabp)

El material de los bloques es acero, se supone un 10 % de variacin de ese coeficiente, con unadistribucin de probabilidad rectangular resultando:

( )161066,0

316105,11%10

--=

-=

C

Cu bpa (20)

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4.4.- Incertidumbre de las diferencias de temperatura entre los bloques patrn y elcalibrador u(ddt)Se supone una supervisin y control de las condiciones ambientales de temperatura de 20C1C, asignando un tipo de distribucin de probabilidad rectangular a este intervalo resulta:

( ) CCtu 577,03

1==d (21)

4.5.- Incertidumbre de las diferencias de temperatura entre el ambiente y el calibradoru(DDtv)Se supone una supervisin y control de las condiciones ambientales de temperatura de 20C1C, asignando un tipo de distribucin de probabilidad rectangular a este intervalo resulta:

( ) CCvtu 577,031

==D (22)

4.6.- Incertidumbre de las diferencias de los coeficientes de expansin trmica delcalibrador y de los bloques patrn. u(ddaa)Igual a u(da) punto 4.2.

( )C

u11066,0 6-=da (23)

5.- Combinacin de las incertidumbresSustituyendo las incertidumbres evaluadas en la ecuacin (9) se tiene:

u2 (e)= ( 1 )2 (0,461mm)2+(-1) 2 (17,57mm) 2

+(-150mm 2C) 2(0,6610-6 C-1)2+(-150 mm 11,5 10-6 C-1) 2 (0,577 C ) 2 (24)

+(-150mm1,1510-6 C-1) 2 (0,577 C ) 2+(-150 mm 1C ) 2 (0,66 10-6 C-1) 2

= ( 1 )2 (0,461mm)2+(-1) 2 (17,57mm) 2

+(-300 mm C) 2(0,6610-6 C-1)2+(-1,72510 3 mmC-1) 2 (0,577 C ) 2

+(-1,72510 4 mmC-1) 2 (0,577 C ) 2+(-150 mmC ) 2 (0,66 10-6 C-1) 2

= 0,125mm2+308,7mm 2+3,920410-8 mm2+9,906710 7 mm 2+9,906710 9 mm 2

+9,80110 9 mm 2

= 0,125mm2+308,7mm 2+ 0,0392mm 2+ 0,9907 mm 2+ 0,0099mm 2+ 0,0098mm 2

= 309,97mm2

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6.- Incertidumbre expandidaDe la ecuacin (23) se obtiene:

u(e) = 17,606 mm expresada con k=1. El nmero efectivo de grados de libertad es 124 (ver Anexo), por lo que se asume un valor dek=2 al expresar la incertidumbre expandida con un nivel de confianza aproximado de 95%, demodo que

U(ee)= 36 mmm (25)

7.- DiscusinDe acuerdo con los resultados obtenidos en ste ejemplo, la contribucin debida a la resolucin,Abbe, paralelismo y repetibilidad, es de aproximadamente 99,9 %; y de ellas la contribucindebida a la resolucin es de 63,4%, al error de Abbe es del 20,7% y a la de paralelismo es de11,6% conjuntando el 95,7%.

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

Resolucin

Abbe

Paralelismo

Repetibilidad

Paralaje

u (lbp) u(abp) u(DTv) u(da) u(dt)

mmm

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

%

Fig. 5. Diagrama de Pareto comparando la contribucin de las distintas fuentes de incertidumbre.

El modelo se prob para una longitud de 150 mm y una variacin de temperatura no mayor a2C, con divisiones mnimas distintas y con resolucin digital, en estos casos la contribucin delas tres principales fuentes continu siendo dominante, por ello, es razonable suponer queconsiderando nicamente estas tres contribuciones, es posible obtener una aproximacin

u (dt) u (Dtv)u (abp) u (da)u (lbp)

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adecuada del valor de incertidumbre, por supuesto, cumplindose las condiciones ambientalesdadas en el punto 3; para condiciones diferentes y para longitudes mayores ser necesarioevaluar el mismo modelo propuesto en (9) para las condiciones deseadas.

Entonces, se propone un modelo emprico simplificado para los calibradores de 0 a 150 mm concondiciones ambientales controladas (ver punto 3):

u2 (e) = u2 resolucin + u2 Abbe + u2 paralelismo (26)

8. Referencias[1] NMX-CH-2-1993-SCFI Instrumentos de medicin Calibradores con vernier.

[2] ISO 3599:1976 (E) Verniers callipers reading to 0,1 and 0,05 mm

[3] ISO 3650:1978 (E) Gauge blocks.

[4] ISO 286-1:1988 (E) ISO System of limits and fits.

[5] Gonzlez, H., Tesis de licenciatura Tolerancias en la proyectacin mecnica, InstitutoTecnolgico de Celaya.

[6] Niemman, G., Machinenelemente Band I, Springer Verlag, 1981.

[7] Galicia , R., et al, Metrologa Geomtrica Dimensional, AGT Editor S.A., 1989.

[8] Carro, J., Curso de Metrologa Dimensional, E.T.S.I.I.

Autor Hctor Gonzlez Muoz,Metrlogo de la Divisin de Metrologa Dimensional, CENAM,hgonzale@cenam.mx, Tel +52 (4) 2 11 05 00 al 03, ext. 3291; Fax +52 (4) 2 11 05 77

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ANEXO: PRESUPUESTO DE INCERTIDUMBRE

N Magnitud de entrada XiFuente de incertidumbre

Valorestimado

xi

Fuente deinformacin

Incertidumbreoriginal

Tipo,Distribucin

Incertidumbreestandar

u(xi)

Coeficiente desensibilidad

ci

Contribucin

ui(y)

Grados delibertad

1 Bloques patrn lbp 150 mm Norma ISO3599-1976

0,8 mm B, rectangular 0,461 mmm 1 0,461 mmm 200

2 Lectura del calibrador lv 150,01 mm --- --- --- 17,57 mmm 1 17,57 mmm

2 Abbe --- ISO 286-2 27,4 mm B, rectangular 8 mm --- 8 mm 12

2b Paralaje --- JIS B7507 0,85 mm B, rectangular 0,48 mm --- 0,48 mm 12

2c Paralelismo --- ISO 3599 10 mm B, rectangular 6 mm --- 6 mm 50

2d Resolucin --- Escala 0,05 mm B, rectangular 14 mm --- 14 mm 100

2e Repetibilidad --- Medicionesrepetidas

3,51 mm Anormal, k=1

3,51 mm --- 3,51 mm 7

3 Coeficiente de expansintrmica de los bloquespatrn aabp

--- Catlogo 1,15x10-6 B, rectangular0,66x10-6 C-1 300 mmC 0,19799 mmm 50

4 Diferencia detemperatura entrebloques patrn ycalibrador ddT

--- Condicionesambientales

1C B, rectangular 0,577 C 1,725x10-3

mm C-10,9953 mmm 12

5 Diferencia detemperatura entrecalibrador y 20 C DDTv

--- Condicionesambientales

1C B, rectangular 0,577 C 1,725x10-4

mm C-10,099 mmm 12

6 Diferencias en loscoeficiente de expansintrmica aabp

--- Catlogo 1,15x10-6 B, rectangular0,66x10-6 C-1 150 mmC 0,098 mmm 50

Error de lectura ee 0,01 mm --- --- --- --- --- 17,606 mmm 124