Algebra y Logica Algebra i Apuntes

  • 1LGEBRA Y LGICA LGEBRA IAPUNTES DE CLASEEscritos por la Profesora Nora Andrada
  • 2TemasEl Clculo Proposicionallgebra de ConjuntosCombinatoriaNmeros EnterosNmeros ComplejosPolinomios
  • 3EL CLCULO PROPOSICIONALIntroduccinEn la vida diaria, y en el desarrollo de cualquier cienciadeductiva, por ejemplo las matemticas, se utilizan ciertasconstrucciones gramaticales denominadas enunciados o proposiciones,es decir una oracin declarativa que es verdadera o falsa, porejemplo:(a) 2+2=4 (b) Todos los hombres son mortales. (c) La vida eshermosa. (d) Existen infinitos enteros primos.Algunas de estas afirmaciones se consideran a veces vlidas apriori, es decir sin demostracin previa, y son los denominadosaxiomas : Por un punto exterior a una recta pasa una y slo unaparalela, es un axioma de la geometra euclideana. Es decir,entendemos por una proposicin a una sentencia del lenguaje que esverdadera (V) o falsa (F). La verdad o falsedad de una proposicines su valor de verdad. Denotaremos la proposiciones con las letrasP , Q , R , etc. Naturalmente, nosotros estamos ms interesados enproposiciones como la de los ejemplos (a) y (d) , que correspondenal terreno de las matemticas, si bien (b) y (c) son ejemploslegtimos de proposiciones. Podra argirse que (c) no es exactamenteuna proposicin en virtud de que su validez depende de unainterpretacin individual. Pero nuestro objetivo aqu es sintctico,es decir cmo obtener nuevas proposiciones a partir de otrasproposiciones. Las proposiciones pueden ser combinadas entre ellasformando proposiciones compuestas, mediante nexos llamadosconectivos lgicos. En este sentido las proposiciones: Si la vida eshermosa entonces 2+2 = 4. Si Juan tiene 16 aos, entonces no terminel secundario. se obtienen combinando otras proposiciones medianteun formato comn que se puede sintetizar: »Si P entonces Q »En una ciencia deductiva, la verdad o falsedad de ciertasproposiciones permite hacer inferencias o tomar decisionesposteriores.Si todo hombre es mortal y Scrates es hombre, entonces Scrateses mortal, es una inferencia tpicamente filosfica. Si es ab>0entonces debe ser a>0 y b>0, o debe ser a
  • 4Q, R , ect. que intervienen en una determinada construccin.Entonces, si consideramos a P, Q, R como variables que toman losvalores en = {V , F }, podemos definir operaciones entre estasvariables. Estas operaciones pueden ser 1-arias , 2-arias, 3-arias,etc. Nosotros slo definiremos una operacin 1-aria (unaria) y todaslas 2-arias (binarias).Negacin lgica: Esta es una operacin 1-aria, que consiste en,dada un proposicin P negar lo que ella afirma. Obtenemos as unanueva proposicin que indicaremos P. Es claro que si P es verdaderaP ser falsa. La siguiente Tabla define P , la negacin de P:P P F V V FAhora definiremos las operaciones binarias. Si llamamos = {V , F}, hay 4 elementos en x , a saber (F,F), (F,V), (V,F) y (V,V) .Cualquier funcin de x en debe asignar un valor, o F o V , a cadauno de esos elementos. Como a cada uno de esos cuatro elementos sele puede asignar uno de los dos valores F o V, hay 16 posiblesfunciones de x en . En la siguiente tabla mostramos todas lasfunciones posibles:P Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 F F F F F F F F F F VV V V V V V V F V F F F F V V V V F F F F V V V V V F F F V V F F VV F F V V F F V V V V F V F V F V F V F V F V F V F VTabla 1En la Tabla 1 estn representadas todas las asignaciones posiblesde valores de verdad para dos argumentos P y Q, luego, no importacuan compleja sea una proposicin construida a partir de dosproposiciones bsicas, siempre ser posible calcular su valor deverdad, si podemos verificar leyes. Observando esta Tablaencontramos la representacin para las operaciones o conectivos quequeremos definir.Columna 1: Conjuncin lgica: responde a P y Q . Intuitivamente esclaro que esta nueva proposicin es cierta o verdadera s, y slo s,tanto P como Q son verdaderas. Definimos entonces la conjuncin de Py Q , que indicaremos PQ , mediante la siguiente tabla:P Q PQ F F F F V F V F F V V V
  • 5Columna 7: Disyuncin Lgica : Es una operacin binaria quecorresponde a la expresin P o Q , pensando la palabra o en sentidoincluyente, lo cual significa que P o Q es verdadera si P esverdadera o Q es verdadera o ambas lo son. La siguiente Tabladefine entonces la disyuncin P o Q , que indicaremos PQ 😛 Q PQ F F F F V V V F V V V VColumna 6: Inequivalencia Lgica: esta operacin binariacorresponde al o excluyente , el nombre de inequivalencia respondeal hecho de que la proposicin compuesta P o Q tiene valor de verdadV cuando P y Q tienen valores de verdad distintos, y F cuandotienen el mismo valor de verdad. La siguiente tabla define entoncesla inequivalencia, que indicaremos P QP Q P Q F F F F V V V F V V V FSe observa tambin que P est representada en la columna 3 , P enla columna 12 , Q en la columna 5 y Q en la columna 10. La columna15 es universalmente verdadero y la columna 0 universalmente falsos. En general, dada una columna n de la Tabla, la columna 15 – n ,corresponde a su negacin. As: la columna 7 representa la disyuncin(PQ) y la columna 8, su negacin ( ni ).Columna 13: esta una nueva operacin entre proposiciones, lallamamos condicional o implicacin e indicamos PQ. que responde a laexpresin si P entonces Q o P implica Q. La tabla de valor de verdaddel condicional, es:P Q P Q F F V F V V V F F V V VLa columna 15 – 13 = 2 representa la negacin de P implica Q.
  • 6De igual modo, la columna 9 responde a la expresin P si y slo siQ, operacin que denominamos bicondicional o equivalencia, eindicamos P Q . Luego la tabla de valor de verdad de esta operacines:P Q P Q F F V F V F V F F V V VLa columna 15-9 = 6 representa la negacin de P si, y slo si Q,que no es sino la inequivalencia. Observemos que la columna 11representa la operacin Q P .POLINOMIOS BOOLEANOSLas sumas, productos y diferencias de variables x y z, , ,…,bajo las reglas usuales del lgebra ordinaria, constituyen losPolinomios en esas variables. Por ejemplo: f (x, y) = x.x.y + x.y.y- y.y.y = x2y + x y2 – y3Si en ese polinomio se reemplaza cada una de las variables pornmeros reales x0, y0 ,… , la expresin f(x0, y0 ) es ella misma unnmero real.De igual modo, si P, Q, R, … son variables proposicionales,combinando estas variables con los conectivos , , ~, , , seobtienen expresiones llamadas Polinomios Booleanos.Ejemplo: A (P, Q ) = (P Q ) (~P ) B ( P, Q, R ) = ( P Q ) R sonpolinomios booleanos en dos y tres variables, respectivamente.Tambin puede operarse con polinomios booleanos, de modo quepuede hablarse de conjuncin, negacin, disyuncin, etc., depolinomios booleanos.Ejemplo: A (P, Q) B ( P, Q, R ) = [(P Q ) (~P )] [ ( P Q ) R]Reemplazando las variables P, Q, R, … de un polinomio booleanoA (P, Q, R, …) por valores particulares P0, Q0, R0 ,. . . laexpresin A (P0, Q0, R0, …) tiene valor F o V, luego es ella mismauna proposicin.Ejemplo: A (P, Q) = ~(P ~ Q ) Sean P0 = 2 x es impar. y Q0 = 3es un nmero primo.no es cierto que 2x es par y 3 no es un nmero primo resultaverdadera.
  • 7Sean P0, Q0, R0, … proposiciones particulares cuyo valor deverdad coinciden, respectivamente con los de las proposiciones P1,Q1, R1, …, entonces A (P0, Q0, R0, …) tiene el mismo valor deverdad que A (P1, Q1, R1, …). Por ello, el valor de verdad de unPolinomio Booleano evaluado sobre enunciados particulares dependeslo de los valores de verdad de los enunciados y no de losenunciados mismos. As hablamos del valor de verdad de cada una delas variables P, Q, R, … y del valor de verdad del Polinomio. Elmodo de determinar el valor de verdad de un Polinomio Booleano es atravs de los valores de verdad de las variables que lo integran,mediante la construccin de una Tabla de valor de verdad.Ejemplo: A (P, Q, R ) = (P Q ) [ ( ~Q P) R ]P Q R P Q ~Q ~Q P (~Q P) R (P Q ) [ ( ~Q P) R ] F F F F V F F VF F V F V F V V F V F F F F F V F V V F F F V V V F F F V V V V V FV F V V V V V V F V F F F F V V V V F F V VEn la columna final se dan los valores de verdad para elPolinomio booleano dado. Una Tabla de Valor de Verdad es, entonces,un cuadro que muestra el valor de verdad de un polinomio booleanopara cada valor de veradd de las proposiciones componenetes.Definicin: Si para toda asignacin de valores de verdad de susvariables, un polinomio booleano tiene valor V, entonces diremosque ese polinomio es una tautologa.Definicin: de igual modo, si para todo asignacin de valores deverdad de sus variables, un polinomio booleano tiene valor deverdad F, diremos que es una contradiccin.Observemos entonces que si un polinomio booleano A (P, Q, R,…) es una tautologa, entonces ~ A (P, Q, R, …), es unacontradiccin.Equivalencia lgica y Consecuencia lgicaDefinicin: Dos polinomios booleanos en las variables P, Q, R,…; A (P, Q, R, …) B ( P, Q, R ), son lgicamente equivalentes siy slo si tienen la misma tabla de valor de verdad. Indicaremos AB.Que dos polinomios booleanos sean equivalentes no significa quesean la misma cosa. Por ejemplo: Si hoy es lunes entonces tengoclase, y Si x es par, entonces x es
  • 8divisible por dos. Ambas expresiones tienen la misma forma lgica( P Q) y son lgicamente equivalentes.Teorema: Un polinomio booleano A(P, Q,…) es equivalente a otroB(P, Q,…) si y slo si al establecer el bicondicional entre ellosse obtiene una tautologa. Esto es, A B si y slo si A(P, Q,…) B(P,Q,…) es tautologa.Demostracin: supongamos que A(P, Q,…) B(P, Q,…) estautologa, entonces, para todo valor de verdad de las variables P,Q, .. , A(P, Q,…) B(P, Q,…) es siempre V. Esto significa que siA es V, debe ser B tambin V, y si A es F, debe ser el valor deverdad de B tambin F. Luego ambos tienen la misma tabla de valor deverdad y, por lo tanto, son equivalentes. Recprocamente: supongamosque A B , esto significa que ambos polinomios tienen la misma tablade valor de verdad. Consideremos un asignacin particular para lasvariables de A y supongamos que A(P0, Q0,…) es V, entonces B (P0,Q0,…) debe ser V, luego AB es V, pues ambos lo son. De igualmodo, si A(P0, Q0,…) es F, debe ser B (P0, Q0,…) tambin F portener la misma tabla de valor e verdad, luego AB es V. Resultaentonces que AB es tautolgico.Propiedades de los conectivos lgicosMediante la equivalencia lgica, pueden expresarse las msimportantes propiedades de los conectivos lgicos y leyes del clculoproposicional, demostrables por las Tablas de Valor de Verdadcorrespondientes.En la siguiente Tabla se resumen las propiedades del lgebra deProposiciones:LEYES DEL LGEBRA DE PROPOSICIONES Leyes de Idempotencia1a. PP P 1b. PP PLeyes Asociativas 2a. (P Q ) R P (Q R) 2b. (PQ) R P(QR)Leyes Conmutativas 3a. PQ Q P 3b. PQ Q PLeyes Distributivas 4a. P(QR) (PQ) (PQ) 4b. P(QR) (PQ)(PR)Leyes de Identidad 5a. PF P 5b. PV P 6a. P V V 6b. P F FLeyes del Complemento 7a. P P V 7b. P P F
  • 98a. P P 8b. V F , F VLeyes de De Morgan 9a. (PQ) P Q 9b. (PQ) P QA ttulo de ejemplo, consideremos la siguiente propiedad de laConjuncin: Propiedad Distributiva respecto de la disyuncin: P (Q R)(PQ) (P R )P Q R P (QR) (PQ) (PR) F F F F F V F F F F F V F V V F F F F V FF V V F F F F V V F V V F F F V F F F F V F F F V F V V V V F V V VV F V V V V V F V V V V V V V V VComo se observa, el bicondicional establecido entre P (Q R) y(PQ) (P R ) resulta tautolgico, luego P (Q R) (PQ) (P R ).Consecuencia o implicacin lgicaDefinicin: Diremos que A (P, Q, R, …) implica lgicamente a B (P, Q, R,…), o que B ( P, Q, R,…) es consecuencia lgica de A (P,Q, R, …), si para toda asignacin de valores P0, Q0,… tales queA(P0, Q0,…) es V, resulta tambin que B (P0, Q0,…) es V.Indicaremos A (P, Q, R, …) B ( P, Q, R,…), para indicar que elpolinomio booleano A implica lgicamente a B, o que B esconsecuencia lgica de A.Teorema: Un polinomio booleano A (P, Q, R, …) implicaformalmente el polinomio booleano B ( P, Q, R,…) si y slo si A Bes una tautologa.Demostracin: supongamos que A (P, Q, R, …) B ( P, Q, R,…) estautolgico, entonces para todo valor de verdad de las variables P,Q, R,.. , A (P, Q, R, …) B ( P, Q, R,…) es verdadero. Luego, siA (P, Q, R, …) es V, debe ser tambin V el valor de verdad de B (P, Q, R,…), as resulta A (P, Q, R, …) B ( P, Q, R,…) , estoes, B es consecuencia lgica de A. Recprocamente: supongamos que Bes consecuencia lgica de A, esto es A B, lo que significa que paratoda asignacin de valores de las variables de A, toda vez que Atiene valor de verdad V, B tambin tiene valor de verdad V. Entoncesresulta A B (por definicin de ).
  • 10Puede generalizarse el concepto del teorema anterior,reemplazando el polinomio A (P, Q, R, …) por A1 A2 … An , conAi polinomios booleanos en varias variables, para todo subndice i =1, 2, ..,n. As: A1 A2 … An B si y slo si siempre que A1 A2 … Ansean todos V, es B tambin cierta.
  • 11q p (~p ~q)
  • 12
  • 13
  • 14M.T por M.T
  • 15
  • 16CUANTIFICADORESFunciones proposicionales o funciones lgicas:Sea A un conjunto cualquiera, explcita o implcitamente dado. Unafuncin proposicional sobre A es una expresin que denotamos porP(x), que tiene la propiedad de que P(a) es Verdadera o Falsa paratodo elemento a A. Esto es, P(x) es una funcin proposicional sobreA si al reemplazar la variable x por un elemento a A, se convierteen proposicin.Ejemplo: P(x) : x es un nmero primo P(x) es una funcinproposicional sobre Z. As, 8 Z , entonces P(8): 8 es un nmero primoes una proposicin P. En este caso el valor de verdad de P es F.Si P(x) es una funcin proposicional sobre un conjunto A,entonces el conjunto de elementos a A, tales que P(a) es verdadera,se llama Conjunto de validez de P(x), que indicaremos VP. VP = {x /x A, P(x) es verdadera} VP = {x / P(x)}Ejemplo 1: sea P(x): x + 2 < 7 est definida en N entonces VP= {x N / x + 2< 7 } VP = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } es su conjunto devalidez.Ejemplo 2: sea P(x): x + 5 < 2 definida sobre N. Entonces suVP = { x N / x + 5 < 2 } = Como se ve, el conjunto de validez deP(x), definida sobre A, puede ser todo A, algunos elementos de A oningn elemento de A.Cuantificador Universal:Sea P(x) una funcin proposicional sobre un conjunto A. Entonces,anteponiendo a P(x) la expresin para todo elemento de A, obtenemosla proposicin: para todo x en A, P(x) es verdadero Simblicamente:xA, P(x) o x, P(x) y se lee para todo x en A se verifica P(x). esel Cuantificador Universal. La expresin x, P(x), significa endefinitiva que el conjunto de validez de P(x) es todo A: VP = {x /P(x)} = A Obsrvese que P(x) es una funcin proposicional y no tienevalor de verdad. En cambio, precedindola de : x, P(x) es unaproposicin y por lo tanto tiene un valor de verdad. Si {x / x A,P(x)} = A , entonces x, P(x) es V. Si {x / x A, P(x)} A , entoncesx, P(x) es F.
  • 17Cuantificador existencial:De modo equivalente, si a P(x) le anteponemos la expresin existeun x en A, resulta: existe un x en A tal que P(x) se verifica opara algn x, P(x) En smbolos: x A, P(x) . se lee existe y sedenomina cuantificador existencial.Si P(x): x + 4 7 definida sobre N, entonces x en N tal que P(x)x N, tal que x + 4 7 es un proposicin V. Si {x / x A, P(x) }entonces x A, P(x) es V. Si {x / P(x) }= entonces x A, P(x) esF.En el ejemplo: {x / x + 4 7} = {1, 2, 3 }, luego x N tal queP(x) es verdadero.
  • 18LGEBRA DE CONJUNTOS Ante la seguridad de que el tema deconjuntos ya es conocido, recordaremos aqu los conceptos bsicospara su aplicacin y relacin con el Clculo Proposicional.Conjuntos – IntroduccinIntuitivamente podramos decir que un conjunto es una clase biendefinida de objetos. El concepto bien definido significa quecualquiera sea el objeto considerado, se puede determinar si est ono en el conjunto dado. Los elementos que estn en el conjunto sellaman elementos del conjunto, y se dice que pertenecen alconjunto. As, si a es un objeto que est en el conjunto A,escribiremos aA (y se lee a pertenece a A ) y en caso contrario aA(y se lee a no pertenece a A). Un conjunto puede definirseenumerando los objetos que lo forman, como por ejemplo: A = { 1, 2,3, 4, 5, 6} B = { 3, 5, 7} En este caso se dice que el conjunto seha definido por extensin. Solo los conjuntos finitos puedendefinirse por extensin. Otra forma de definir un conjunto esindicando la propiedad que caracteriza los objetos que estn en l,esto es los elementos que lo forman. Por ejemplo: C = { x / x esnmero entero primo} D = { x / x es nmero real tal que x2 + 4 x -1 =0 } En ente caso decimos que el conjunto ha sido definido porcomprensin. Por lo ya visto, la expresin x es un nmero entero primoes una funcin proposicional, por lo que podramos simbolizarla porP(x). As C = {x/ P(x)}. En general los conjuntos definidos porcomprensin quedan caracterizados a travs de una funcinproposicional. Recprocamente, dada una funcin proposicional Q(x)queda determinado un conjunto A={x/ Q(x)}. Entonces aA esequivalente a decir Q(a), esto es aA es verdadero es equivalente adecir Q(a) es proposicin verdadera.Igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales cuando tienenlos mismos elementos, es decir A = B, sipara todo x, x A es equivalente a x B.Inclusin Sean A y B dos conjuntos, diremos que A est incluido enB, o que A es subconjunto de B, si todo elemento de A lo es tambinde B. Esto es, A est incluido en B si xA entonces xB. Simblicamenteescribiremos AB para indicar que el conjunto A est incluido en elconjunto B. As, siendo B y C los conjuntos arriba definidos: B C.Si un conjunto A est includo en otro B, diremos que A es unsubconjunto de B.
  • 19Observacin: algunos autores definen la igualdad de conjuntos dela siguiente manera: A = B si AB y BA.Otra observacin: todo conjunto es subconjunto de si mismo, yaque siempre que xA, entonces xA.Algunos conjuntos especialesComo los elementos que pueden estar en un conjunto pueden ser decualquier tipo, es oportuno introducir un conjunto universal.Habitualmente se trabaja con subconjuntos de un conjunto al quellamaremos referencial o conjunto universal e indicaremossimblicamente con U. Un conjunto universal U no contiene todo, sinoque es el universo del discurso en un momento determinado. As,observando los conjuntos A, B, C y D definidos en los ejemplosanteriores, vemos que los elementos de todos ellos son nmerosreales, esto es, el conjunto universal es entonces U = R. Encambio, no podra considerarse para estos ejemplos, que U = N. Sea A={ x / x entero, 2 x = 7 }. Se observa que A no tiene ningnelemento, pues para todo valor de x, resulta 2x par y por lo tantode 7. Se ve entonces la necesidad de otro conjunto especial ,llamado Conjunto Vaco o Conjunto Nulo, que es el conjunto que notiene elemento alguno. Podra caracterizarse como = {x / x x}.OPERACIONES CON CONJUNTOSComplementacin Sea U un conjunto universal y A U, un conjuntocualquiera. Definicin : El complemento de A , indicado por A, estdefinido por A = { x / x U y xA} Ejemplo: Sea U={ x / x nmero dgito} , A = { 2, 4, 6, 8, 10} , B={ 1, 6} entonces A = { 1, 3, 5, 7, 9}, B = { 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 }Definicin : Si A y B son conjuntos, el complemento relativo de Arespecto de B es B-A = { x / x B y x A }. Si A = { x / x es unnmero entero primo} B= { x / x es nmero natural primo} entonces A-B= { x / x es nmero primo negativo}.InterseccinSea U un conjunto referencial y AU , BU ;llamaremos interseccinde A con B al conjunto que denotaremos A B formado por loselementos comunes a ambos conjuntos, es decir:
  • 20A B = { x U/ xA xB }Ejemplo: Si U = N , A ={ x / x es nmero natural / x 18 } y B = {x / x N , x es primo } entonces A B = {x N/ x es un nmero primo x18 } A B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 }Si los conjuntos A y B estn definidos por comprensin por lasfunciones proposicionales P(x) y Q(x), respectivamente, resulta queel conjunto AB est definido por la funcin proposicional P(x) Q(x).Es decir, si A={xU / P(x)}; B= {xU / Q(x)} entonces AB= {xU / P(x)Q(x)} Esto muestra que relacin existe entre la interseccin deconjuntos y la disyuncin, relacin que permite probar laspropiedades de la interseccin mediante las propiedades de ladisyuncin.Si dos conjuntos no tienen elementos comunes, se dice que sondisjuntos, entonces podemos dar la siguiente definicin: A y B sondisjuntos si AB = .UninSea U un conjunto referencial y AU, BU; llamaremos unin de A conB al conjunto que denotaremos AB, formado por los elementos comunesy no comunes de ambos conjuntos, es decir: AB = {xU/ xA xB}Ejemplo: U = Z , A ={xU/ -2< x 7 } , B={ xU/ x es natural parx 12} Entonces AB ={ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12}Si los conjuntos A y B estn definidos por comprensin por lasfunciones proposicionales P(x) y Q(x), respectivamente, resulta queel conjunto AB est definido por comprensin por la funcinproposicional P(x) Q(x), es decir: Si A = { xU/P(x) } ; B= { xU/Q(x) } entonces AB ={ xU/ P(x) Q(x)}.Como en la operacin anterior, esto muestra una relacin entre launin y la conjuncin, de modo que pueden probarse las propiedades dela primera mediante las propiedades de la segunda.Diferencia simtrica de conjuntosSea U un conjunto referencial y AU, BU. Llamaremos diferenciasimtrica de A con B al conjunto que denotaremos AB formado por loselementos de A o de B pero no de ambos, es decir: AB = { xU / xA xB}Ejemplo: Sea U = {xN/ x 12}, A = { xU/ x es par } , B={ xU/ x esmltiplo de 3}
  • 21Entonces AB = { xU /x es par x es mltiplo de 3} o tambin: AB ={2, 3, 4, 8, 9, 12}Si los conjuntos A, B estn definidos como antes, por lasfunciones proposicionales P(x) y Q(x) respectivamente, entonces ABqueda definido por la funcin proposicional P(x) Q(x).Si A = { xU/P(x) } ; B= { xU/ Q(x) } entonces AB ={ xU/ P(x)Q(x)}.La siguiente Tabla muestra las propiedades de las operaciones deconjuntos:LEYES DEL LGEBRA DE CONJUNTOSLeyes de Idempotencia 1a. AA = A 1b. AA = ALeyes Asociativas 2a. (A B)C = A(BC) 2b. (AB)C = A(BC)Leyes Conmutativas 3a. AB = BA 3b. AB = B ALeyes Distributivas 4a. A(BC) = (AB)(AC) 4b. A(BC) =(AB)(AC)Leyes de Identidad 5a. A = A 5b. AU = A 6a. AU = U 6b. A =Leyes de Complemento 7a. AA = U 7b. AA = 8a. (A) = A 8b. U = , =ULeyes de De Morgan 9a. (AB) = AB 9b. (AB) = ABObservando la similitud de las leyes que son vlidas en el lgebrade Conjuntos y en el lgebra de Proposiciones y considerando lasiguiente correspondencia entre operaciones:lgebra Proposiciones lgebra de Conjuntos Negacin ComplementacinConjuncin Interseccin Disyuncin Unin
  • 22analizamos la posibilidad de considerar una estructura abstractacon operaciones que verifiquen ciertos axiomas, de modo quecualquier propiedad vlida para esta estructura, sea vlida tantopara el Clculo Proposicional como en el lgebra de Conjuntos.En el cuadro siguiente se muestra el paralelismo entre las Leyesdel lgebra de Conjuntos y las del Clculo Proposicional.Leyes del lgebra de ConjuntosLeyes del Clculo ProposicionalDe Idempotencia 1.a- AA = A 1.b- AA = ADe Idempotencia 1.a- PP P 1.b- PP PAsociativas 2.a- A(BC) = (AB)C 2.b- A(BC) = (AB)CAsociativas 2.a- P(QR) (PQ)R 2.b- P(QR) (PQ)RConmutativas 3.a- AB = BA 3.b- AB = BAConmutativas 3.a- PQ QP 3.b- PQ QPDistributivas 4.a- A(BC) = (AB)(AC) 4.b- A(BC) = (AB)(AC)Distributivas 4.a- P(QR) (PQ)(PR) 4.b- P(QR) (PQ)(PR)De Identidad 5.a- A = A 5.b- AU = ADe Identidad 5.a- P F P 5.b- P V P6.a- A U = U 6.b- A =6.a- P V V 6.b- P F FDe Complemento 7.a- AA = U 7.b- AA =De Complemento 7.a- P P V 7.b- P P F8.a- (A) = A involucin 8.b- U = ; = U8.a- (P) P involucin 8.b- V F ; F Vde De Morgan 9.a- (A B) = A B 9.b- (AB) = A Bde De Morgan 9.a- (PQ) P Q 9.b- (PQ) P Q
  • 23COMBINATORIAContar es hallar el cardinal de un conjunto. Si el conjunto espequeo y sin regla de formacin fija, el nico procedimiento viablepara contar sus elementos es hacer la enumeracin de los mismos.Para contar las provincias argentinas, ir enumerndolas una a una:Jujuy, Salta, Misiones, . . . , Chubut, Tierra del Fuego. Lasprovincias son 24. Oralmente, la mayora lo har tocndose la punta delos dedos. Puede ser que los conjuntos a contar tengan muchoselementos para enumerarlos exhaustivamente. Pero si sus elementosobedecen a una regla de formacin fija, pueden construirseartificios que permitan conocer cuantos son sin necesidad de hacerla lista. A menudo estos artificios son ingeniosos y poner demanifiesto la estructura del conjunto. La Combinatoria es la partede la Matemtica que estudia los problemas sobre cuntascombinaciones diferentes sometidas o no a otras condiciones- sepueden formar con objetos dados. La Combinatoria surgi en el sigloXVI. En la vida de las capas sociales privilegiadas de entonces,ocupaban un lugar importante los juegos de azar: cartas, dados,loteras de lo ms variadas. Es comprensible entonces que, alprincipio, los problemas combinatorios trataran fundamentalmentesobre juegos de azar, tratando de averiguar de cuntas maneras puedeobtenerse un nmero determinado de puntos al arrojar dos o tresdados juntos, o de cuntas formas se pueden obtener dos reyes en unjuego de cartas. Estos y otros problemas fueron la fuerza motrizdel progreso de la Combinatoria y de la Teora de Probabilidades,que se desarroll paralelamente. Uno de los primeros en ocuparse delrecuento del nmero de combinaciones diferentes en el juego de losdados fue el matemtico italiano Tartaglia. El estudio terico de losproblemas combinatorios fue abordado en el siglo XVII por loscientficos franceses Pascal y Fermat. La Combinatoria es el arte decontar sin hacer enumeraciones. Es contar usando la cabeza en lugarde los dedos. En este captulo veremos algunos procedimientos paracontar.Primer mtodo para contarEl primer mtodo consiste en establecer una correspondenciabiunvoca entre los elementos del conjunto en cuestin y un conjuntode la forma {1, 2, 3, ,n}, lo que permite afirmar que ambosconjuntos son coordinables; sabemos entonces que el cardinal delconjunto dado es n.Ejemplo 1: Cuntos nmeros enteros hay entre 3 y 25, incluidosambos?Establecemos entonces la correspondencia: 3 4 5 . . . 24 25 1 23 . . . 22 23 La funcin aplicada consiste en asignar a cada nmerodel conjunto, el que se obtiene restndole 2.Luego hay 23 nmeros. Enforma general: si m n, el conjunto {m, m+1, m+2, . . ., n-1, n} delos enteros comprendidos entre m y n, ambos incluidos, se puedeponer en correspondencia
  • 24con el conjunto {1, 2, 3, . . . , n-m+1} mediante la relacinrestar m-1 unidades a cada elemento.Entonces tenemos:m m-(m-1) = 1, m+1 (m+1)-(m-1) = 2, . . . , n-1 (n-1)-(m-1) =n-m, n n-(m-1) = n-m+1 As, entre m y n hay n-m+1 enteros, o, dichode otra manera, el conjunto de los enteros {m, m+1, m+2, , n} tienen-m+1 elementos.Ejemplo 2: El cardinal del conjunto {-7, -6, -5, , 10, 11} es11-(-7) +1= 19 Aqu se podra haber enumerado los elementos delconjunto pues son pocos, pero en el caso de tener que determinar,por ejemplo, cuntos enteros hay entre 14.576 y 74.531, incluidosambos, tendramos: 74.531 – 14.576 + 1 = 59.956 Aqu se notaclaramente la ventaja de tener un mtodo general.Razonamientos equivalentes pueden emplearse en muchassituaciones similares. Ejemplo3: Cuntos nmeros pares hay entre 1 y75? Aqu la relacin posible de tomar es divida cada elemento delconjunto por 2 y tome el cociente: 2: 2 = 1 luego al 2 le asigno el1 4 : 2 = 2 4 2 6 : 2 = 3 6 3 ..74 : 2 = 37 74 37 Hay entonces 37 nmeros pares entre 1 y 75.A veces no es tan evidente que transformacin biyectiva usar.Ejemplo 4: En cada eliminatoria de un campeonato de tenis, se formael nmero de parejas posible y, tras jugar el correspondientepartido, el ganador clasifica para la siguiente ronda y elperdedor, queda eliminado. Si en alguna de las instancias el nmerode jugadores es impar, uno de ellos (elegido de alguna manera, porejemplo por sorteo) pasa directamente a la siguiente ronda sinjugar. Cuntos partidos se jugarn en un campeonato con 37inscriptos?Para simplificar el problema y poder esquematizar la situacin,pensemos en que son slo 9 los inscriptos. As, el esquema de lospartidos ser: 1 Ronda: 321* * 321* * 321* * 321* * *2 Ronda: 44 344 21 * * * 44 344 21 * *3 Ronda: 44 344 21 * * *4 Ronda : 44 344 21 * ** ganadorLuego, en la primera ronda se juegan 4 partidos, se eliminan 4jugadores y pasan 5 a la ronda siguiente. En la segunda ronda sejuegan 2 partidos, se eliminan 2 jugadores y pasan 3 a lasiguiente. En la tercera ronda se juega un partido, se elimina 1jugador y paran 2 a la final o cuarta ronda, en la que se juega elltimo partido en el que se elimina
  • 251 jugador y queda el ganador. As, habiendo 9 jugadores, se hanjugado 9 1 = 8 partidos. Siguiendo el mismo esquema, al tener 37jugadores inscriptos, se tendr:1 Ronda: se juegan 18 partidos, se eliminan 18 jugadores y pasan19 a la siguiente. 2 Ronda: se juegan 9 partidos, se eliminan 9jugadores y pasan 10 a la siguiente. 3 Ronda: se juegan 5 partidos,se eliminan 5 jugadores y pasan 5 a la 4 Ronda: se juegan 2partidos, se eliminan 2 jugadores y pasan 3 a la 5 Ronda: se juega1 partido, se elimina 1 jugador y pasan dos a la 6 Ronda: se juega1 partido final, se elimina 1 jugador y resulta otro ganador.Entonces: 18 + 9 + 5 + 2 + 1 + 1 = 36 partidos jugados. Esto enrealidad es tambin contar con los dedos pero, analicemos: . paraque se juega cada partido?- Para eliminar 1 jugador. . Todo jugador es eliminado en algnpartido, salvo el ganador. entonces: la transformacin que a cadajugador le asigne el partido en el que fue eliminado, es unabiyeccin. Luego hay que jugar tantos partidos como jugadores sepretende eliminar.En general: si hay n jugadores, se jugarn n-1 partidos.Segundo mtodo para contarEn ocasiones, el conjunto cuyo cardinal se quiere determinar noes coordinable con ningn conjunto de estructura ms simple, ni estordenado, ni puede ordenarse para facilitar el recuento, de modoque deber escribirse exhaustivamente, elemento a elemento y luegocontar.Ejemplo 5:Cuntos anagramas distintos (esto es palabras, tengan ono sentido) se pueden formar con las letras de la palabra TEMO, demodo que tengan 4 letras distintas y la primera sea vocal? Estesera el caso de escribirlas todas y contar, lo que no es muyinteligente. De cualquier manera, habra que hacerlo con muchocuidado para no olvidar ninguna posibilidad. Esto obligara aescribirlas siguiendo un orden o alguna regla que permita consignartodas las posible: 1) como deben comenzar con vocal, la 1 letra serE u O. Luego hay 2 posibilidades de elegirla : E _ _ _ O _ _ _ 2)como no se pueden repetir las letras, para las que comienzan con Ehabr 3 posibilidades de elegir la segunda letra: E T _ _ , E M _ _, E O _ _ 3) elegida la segunda letra, por ejemplo la T, paraelegir la tercera quedan 2 posibilidades: E T M _ , E T O _ 4)elegida la tercera letra, queda slo una posibilidad de elegir laltima: E T M O , E T O MLuego hay 2 anagramas que comienzan con ET, de igual modo hay 2que comienzan con EM, y hay otras 2 que comienzan con EO. Hayentonces 6 anagramas que comienzan con E. Razonando anlogamente,resulta que hay 6 anagramas que comienzan con O, en total, hay 12anagramas de cuatro letras distintas que pueden armarse con lasletras de la palabra temo.
  • 26Este proceso de construir da la pauta para hacer el recuento deanagramas sin escribirlos todos. Todo consiste en recorrermentalmente los pasos a seguir, anotando las bifurcaciones que sepueden elegir en cada paso:dposibilida 1 :4 Pasodesposibilida 2 :3 Pasodesposibilida 3 :2Pasodesposibilida 2:1 Paso2 . 3 . 2 . 1 = 12 posibilidadesEsto obedece a la siguiente:Regla de la multiplicacin: si un conjunto A tiene n elementos yel conjunto B tiene m elementos, el nmero de elecciones distintasde un elemento en A y otro en B en n.m.-En el caso de que el nmero de elecciones posibles en cada casodepende de qu elementos fueron elegidos antes, resulta cmodorepresentar el proceso de confeccin o armado de los distintos casosen forma de rbol. Primero se trazan, a partir de un punto, tantossegmentos como elecciones distintas se pueden hacer en el primerpaso, as, cada segmento corresponde a un elemento. A partir delextremo de cada segmento, se trazan tantos segmentos comoelecciones posibles hay para el segundo paso, si la primera vez fueelegido el elemento dado. As se contina hasta el ltimo elementodado. Como resultado de esta construccin resulta un rbol cuyoanlisis da fcilmente en nmero de soluciones a nuestro problema. Eldiagrama de rbol correspondiente al problema anterior, es: M O T OM O T E M T O M T O T MM E T E M E T O M T E M T E T MEjemplo 5: Cuntos nmeros capicas se pueden formar con 5 cifrassignificativas?La primera cifra la podemos elegir de 9 maneras distintas, yaque los nmeros no podrn comenzar con cero. La segunda cifra puedeelegirse de 10 maneras, lo mismo
  • 27que la tercera cifra, pero una vez elegida la segunda, hay unanica manera de elegir la cuarta y lo mismo con la quinta cifra, yaque el nmero ha de ser capica, de modo que:}-9 }-10 }-10 }1 }1 9 . 10 . 10 . 1 . 1 = 900Cuntos de esos nmeros son impares?}_5 }-10 }-10 }1 }1 Luego 5 . 10 . 10 . 1 .1 = 500 son impares, ya que la primeracifra puede ser slo un dgito impar para que la ltima tambin losea.Ejemplo 6: De cuntas maneras se pueden escoger dos fichas dedomin, de las 28 que hay en el juego, de modo que se puedan aplicaruna en la otra (es decir, de modo que se encuentre el mismo nmerode tantos en ambas fichas)?Al elegir una ficha se lo puede hacer de 28 maneras distintas:1) en 7 casos la ficha elegida puede ser doble, 2) en los 21 casosrestantes la ficha ser simple. En el 1 caso, la segunda ficha puedeelegirse de 6 maneras distintas, entonces hay 7 . 6 = 42 posibleselecciones de una ficha doble y otra que se aplica en ella. En el 2caso, la segunda ficha se puede elegir de 12 maneras distintas (6por cada punta de la primera ficha), luego habr 21 . 12 = 252posibles elecciones de dos fichas simples que se apliquen una enotra. Luego, el nmero total de posibles elecciones del par defichas es: 42 + 252 = 294. Esto lleva a la:Regla de la suma: si cierto objeto A puede elegirse de m manerasy otro objeto B puede elegirse de n maneras, la eleccin de o A o Bse puede hacer de m + n maneras.Debe cuidarse que ninguna forma de elegir A coincida con algunaforma de elegir B. Si existiera esa coincidencia, la regla de lasuma pierde validez y se obtienen m + n k modos de eleccindistintos, siendo k en nmero de coincidencias.Algunos importantes modelosLos mtodos anteriores permiten resolver una infinidad deproblemas de recuento; pero entre ellos hay algunos que sepresentan con mucha frecuencia y por eso han merecido un nombrepropio y una simbologa particular. Nota: Ante un problema concretono es conveniente tratar de ajustarse a uno de esos modelos, espreferible razonar directamente empleando el mtodo constructivo yajustndose al enunciado propuesto.Permutaciones o SustitucionesEjemplo 7: De cuantas maneras distintas pueden ordenarse en fila8 personas? Usando el mtodo de seleccin anterior, podemos resolverfcilmente:{8__{7__{6__{5__{4__{3__{2__{1__
  • 28La primera persona se puede elegir de 8 maneras distintas; porcada eleccin de la primera, la segunda puede elegirse entre las 7restantes; elegida esa, hay 6 posibilidades para elegir la tercera;y as sucesivamente. Luego, segn la regla del producto, hay: 8 . 7 .6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320 maneras distintas de ordenar 8personas en fila.Esas ordenaciones se denominan Permutaciones osustituciones.Definicin: Dado un conjunto de m elementos, se llama permutacinde orden m a cada uno de los distintos ordenamientos de esoselementos. As, dos permutaciones son distintas slo cuando difierenen el orden en que ha sido considerado al menos uno de suselementos. Indicaremos con Pm el nmero total de permutaciones de melementos, que calcularemos mediante el producto de enterospositivos consecutivos decrecientes a partir de m, hasta 1. Parasimplificar su escritura, se emplea la siguiente notacin: m! En elcaso del ejemplo: 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1Definicin: Sea m Z , m 0, se llama factorial de m y serepresenta por m! al nmero definido por recurrencia de la siguientemanera: 0! = 1 m! = m. (m-1)! Es decir que: m! = m.(m-1)! (m-1)! =(m-1)(m-2)! (m-2)! = (m-2)(m-3)! . . . . . . . . . . . . . . . ..entonces m! = m.(m-1) (m-2) . . . 2.1Ejemplo 8: Un padre ha comprado para regalar a sus tres hijos,una caja de lpices de colores, una pelota y un libro. De cuntasmaneras puede repartir los regalos entre sus hijos?{3__{2__{1__ 3! = 3. 2. 1 = 6Entonces, existen 3! = 6 formas distintas de repartirlos. Encambio, si hubiera trado dos pelotas idnticas y un libro, cmo podraahora repartir los regalos? 1 2 3 L P P P L P P P L estaconstruccin nos permite ver que slo hay 3 repartos posibles. Estomuestra que la regla enunciada antes slo es aplicable si loselementos son distinguibles. Analicemos otra situacin que nospermitir generalizar una respuesta cuando hay objetos repetidosentre los que se debe ordenar.Ejemplo 9: En un bar, cinco amigos han pedido tres cafs y doscervezas. De cuntas maneras distintas puede el mozo distribuir lascinco bebidas?
  • 29Si los cafs fueran distintos (solo, con crema , cortado) y lascervezas fueran de distintas marcas, entonces es claro que lasposibles distribuciones podran hacerse de 5! =120 manerasdistintas. Pero siendo los 3 cafs iguales y las dos cervezasidnticas, una vez hecho un reparto, los 3 cafs podran permutarseentre s sin que cambie el resultado. Esto significa que los 120resultados pueden agruparse en 3! = 6 grupos que no presentandiferencias.Quedan pues 20 6120= resultados distintos.Anlogamente, cada reparto idntico a aquel en que se intercambianlas cervezas. Por lotanto, hay slo 220 maneras distintas de distribuir las bebidas.En resumen, el nmero de repartos posibles es: 10 2 . 6120!2 !3!5==Luego: Una coleccin de n objetos, clasificados en grupos deobjetos idnticos entre s, el primero con k1 objetos, el segundo conk2, etc., se pueden ordenar de !!…!!21 rkkknmaneras distintas. En este caso estamos frente a permutacionescon repeticin de n objetos, con k1, k2, ,kr iguales entre s.Subconjuntos ordenados o VariacionesVeamos ahora otra situacin: Ejemplo 10: En una carrera de 7atletas, de cuntas maneras distintas pueden adjudicarse lasmedallas dorada, de plata y de bronce? Aqu no interesa la listacompleta de llegada, sino los nombres de los tres primeros.Mediante el mtodo constructivo obtenemos la respuesta: El atletaque recibir la medalla dorada puede ser cualquiera de los 7participantes de la carrera, adjudicada esa, la medalla de platapuede obtenerla cualquiera de los 6 restantes y la de bronce,alguno de los 5 que quedaron. Esto es: { { {5673 2 1 luego hay 7 . 6 . 5 =210 formas distintas de adjudicarlas tresmedallas. Obsrvese que son 7! Los rdenes de llegada de los 7atletas, pero para los efectos de la adjudicacin de las medallas,los 4 ltimos da lo mismo que lleguen en el lugar 4 que en el lugar7. Entonces, todas las listas de llegada se pueden dividir engrupos de 4! Listas, obtenidas permutando sus cuatro ltimosnombres. Entonces, elnmero de listas con diferencia en la entrega de medallas es:7.6.5 4!7.6.5.4!!4!7==En general: Dado un conjunto A, de n elementos, el nmero desubconjuntos ordenados de r elementos que pueden elegirse entre losn, es: )!(!rnn.Obviamente, se consideran subconjuntos ordenados distintosaquellos que difieren en al menos un elemento o en el orden en quehan sido considerados.
  • 30Usualmente el nmero de subconjuntos ordenados de r elementos, deun conjunto de n elementos, se denominan Variaciones de n elementosde orden r. Siempre n > r. El nmero de Variaciones de nelementos de orden r (o tomas de a r) lo indicamos:1)r-2)…(n-1).(n-n.(n r)!-(nn! +==rnVEjemplo 11: Consideremos el conjunto {1, 2, 3, 4}, lasVariaciones de esos 4 elementos de orden 2, o tomados de a 2, son:123.424 ==V Ellas son: 1 2 2 1 3 1 4 1 1 3 2 3 3 2 4 2 1 4 2 4 3 44 3Si ahora quisiramos construir las variaciones de esos elementostomados de a 3, bastar agregar a cada una de las anteriores otroelemento a elegir de entre los restantes. As, para cada una de lasanteriores habr 2 nuevas: 3 3 2 1 2 2 1 3 1 . . . 4 4 4 2 1 3 . . .4 Luego: 2 . 2434 VV = 24 4.3.224 ==VProposicin: El nmero de variaciones de n elementos tomados de ar (r n) est dado por la expresin: 1)r-2)…(n-1).(n-n.(n V rn += ,esto es, r factores decrecientes a partir de n.Demostracin: Por Induccin sobre r: 1) Sea r = 1: n V1n = pueshay n maneras distintas de elegir 1 elemento entre los n. 2) Sea r> 1 y supongamos que la expresin es verdadera para (r-1)elementos:[ ]11)-(r-n1)…-n(n V 1-rn += = n (n-1) (n r + 2) 3) Probaremosque tambin es verdadera para r: De acuerdo al ejemplo anterior, unavez formadas las variaciones de orden (r-1), para formar las deorden r podremos agregar a cada una de las anteriores un nuevoelemento elegido entre los restantes n-(r-1) que no estnconsiderados en ella. Con eso, por cada variacin de orden (r 1)tendremos n-r+1 variaciones de orden r. Luego:1)r-2)(nr-1)…(n-n.(n V)1.(V Vrn1-rnrn++=+= rnlo que prueba la proposicin.Variaciones con repeticin
  • 31Definicin: dado un conjunto finito A de n elementos, se llamavariacin con repeticin de orden r de esos n elementos, a todasucesin de r trminos formada por elementos de A, no necesariamentedistintos entre s. Indicaremos: r’nV .Ejemplo 12: Cuntas sucesiones de tres elementos pueden formarsecon los elementos 0 y 1? Armemos esas sucesiones: 0 0 0 0 1 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 Luego: 8V ’32 =Proposicin: El nmero r’nV de variaciones con repeticin de nelementos tomados de a r, est dado por la expresin: rr’n n V =.Demostracin: Por Induccin sobre r. 1) Sea r = 1, es inmediatoque 1’1n n n V == 2) Sea r > 1 y supongamos que la expresin esverdadera para (r-1) elementos:1-r1)-(r’n n V =3) Probemos que la expresin es verdadera para r. Razonando comoen la Proposicin anterior, una vez construidas las variaciones conrepeticin de orden (r-1) para obtener las de orden r, deberemosagregar un elemento a cada una de las anteriores, que puede sercualquiera de los n elementos de A. Por lo tanto, de cada una delas anteriores obtendremos n, de orden r: n .V V 1)-(r’nr ‘n == nr-1. n= nr con lo que queda demostrada la validez de laProposicin.Subconjuntos o CombinacionesEjemplo 13: De cuntas maneras distintas pueden seleccionarse los6 nmeros de la boleta del Quini 6? Sabemos que hay que elegir los 6nmeros entre los 36 primeros nmeros naturales y que han de serdistintos entre s. Constructivamente calcularamos los subconjuntosordenados as:{36__{35__{34__{33__{32__{31__6)!-(3636!V636 =Pero, en esta situacin, el orden en que elegimos los nmeros nodistingue dos tarjetas, as es que ese nmero de posibilidades sepuede dividir en 6! grupos, lo que deja un total de!6!.30!36posibles elecciones o tarjetas distintas.
  • 32Esto es, se eligen 6 elementos de 36, pero dos tarjetas sondistintas si difieren al menos en un nmero. Esto es, se eligensubconjuntos de 6 elemento, no subconjuntos ordenados.Luego, de un conjunto de n elementos, pueden formarse)!rn(!r!nsubconjuntos de r elementos. Los subconjuntos de r elementos deun conjunto de n elementos se denominan Combinaciones de nelementos tomados de a r (o de orden r). Indicaremos:r)!-(n r!n!Crn =Ejemplo 14: Sea A = {a, e, i, o, u }, de cuantas maneras puedenelegirse conjuntos de tres vocales? Construyamos las posibilidades:aei aeo aeu aio aiu aou eio eiu eou iou Son:10 C35 =Obsrvese que si ahora formamos las 35V , tendramos:aei aeo aeu aio aiu aou eio eiu eou iou aie aoe aue aoi aui auoeoi eui euo iuo eai eao eau iao iau oau ieo ieu oeu oiu eia eoa euaioa iua oua ioe iue oue oui iae oae uae oai uai uao oei uei ueo uioiea oea uea oia uia uoa oie uie uoe uoiEsto es, por cada una de las combinaciones obtenidas antes,permutando sus elementos, obtenemos todas las variaciones de orden3.33535 P . C V =33535 PVC =3! 3)!-(55!C35 =En general, el nmero de combinaciones de n elementos tomados dea r, est dado por la expresin:r! r)!-(nn!C PVC rnrrnrn ==Como el nmero rnC aparece con frecuencia en muchos tipos declculos, existeuna notacin especial para indicarlo:=rn C rn que llamamos nmero combinatorion sobre r.Definicin: Se llama nmero combinatorio n sobre r al nmero queindicamos:r! r)!-(nn!=rn
  • 33As: 15462!4!6.5.4!!4)!46(!646===792 5! 5)!-(1212!512==Propiedades de los nmeros combinatoriosLos nmeros combinatorios verifican interesantes propiedades yrelaciones entre ellos. Entre las ms simples:P.1.-=r-nnrn Estos nmeros combinatorios se dicen complementarios.Definicin: Dos nmeros combinatorios se dicen complementarios sitienen igual numerador y sus denominadores suman ese numerador.Verificacin de P.1.:[ ]!r)-(n-n r)!-(nn!r-nn ==r)!n-(n )!r-n(!n+=r! )!r-n(!n=rnP.2.-+=1-r1-nr1-nrnVerificacin a cargo del lector.P.3.- nn02kn==kEsto es: n2 nn . . .2n1n0n=++++Cmo verificarlo? Obsrvese que el primer miembro expresa el nmerototal de subconjuntos de un conjunto de n elementos, pues es lasuma del nmero de subconjuntos de cero elementos, ms el nmero desubconjuntos de un elemento, ms Pero el nmero total de subconjuntospuede calcularse directamente. Para identificar un subconjuntoarbitrario, se puede sealar con X los elementos elegidos y con 0los descartados. Hay
  • 34dos posibilidades de eleccin (X o 0) para el primer elemento delconjunto, las mismas para el segundo elemento, y las mismas paracualquiera de los n elementos:{ { { {2222__ . . . __ __ __Luego, el nmero total de subconjuntos es 2n.La propiedad P.2. permite el clculo rpido de los nmeroscombinatorios de numerador n, conociendo los de denominador n-1.Suelen escribirse en filas sucesivas, as:n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 105 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1Este es el llamado Tringulo Aritmtico, atribuido a Tartaglia,aunque parece que su origen es mucho ms antiguo. Este Tringuloofrece mltiples relaciones interesantes y curiosas entre suselementos.Obsrvese que, escritas las dos oblicuas 1, 1, , 1, los elementosde cada lnea se forman aplicando P.2., que en definitiva expresa:cada elemento es la suma de los dos que figuran encima de l; laP.1. expresa la igualdad de los nmeros colocados simtricamenterespecto del eje vertical de simetra del tringulo.Potencia de un binomioUna aplicacin interesante de los nmeros combinatorios es suempleo en la frmula que permite calcular expresiones del tipo (a +b)n, con n Z, n 0, esto es, el desarrollo de la potencia n-sima deun binomio. Las expresiones correspondientes a n = 1, n =2 y n = 3,son conocidas por los alumnos, expresiones que escribimos:n = 1 (a + b)1 = a + b = b 11a 01+n = 2 (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 = 22 b 22ab 12a 02++n = 3 (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3= 3223 b33b a 23ba 13a 03+++
  • 35En general demostraremos el siguienteTeorema: Cualesquiera sea el entero no negativo n, es:( ) n0kk-n22-n1-n0nn b a nn … bakn… b a 2nb a 1na 0nb a++++++=+ b(a + b)n = kk-nn0kb a=knDemostracin: se har por Induccin sobre n:1) sea n = 1 ( ) kk-110k1 b a k1b a ==+= b a 11b a 01 00+= a + b luego es vlida la expresin para n = 1.2) Supongamos vlida la expresin para el exponente (n1), estoes:( ) kk-1-n1-n0k1-n b a k1-n b a==+y 3) probemos su validez para exponente n: (a + b)n = (a + b)n-1(a + b) (a + b)n = (a + b) . kk-1-n1-n0kb ak 1-n=(aplicando propiedaddistributiva) (a + b)n = 1kk-1-n1-nkkk-n1-n0kb ak 1-nb a k1-n+=+Sacando fuera de la primera sumatoria el primer sumando (quecorresponde a k = 0) y en la segunda sumatoria, sacamos el ltimosumando (que corresponde a k = n-1), resulta:(a + b)n = n01k1-k-n2-n0kkk-n1-n1k0n b a 1-n1-nb a k1-n b ak 1-nb a 01++++==nEn la segunda sumatoria haciendo un cambio en el ndice de lavariable k, por k-1, resulta:kk-n1-n1k1k1-k-n2-n0kb a1-k1-nb a k1n=+==Luego:(a + b)n = n0kk-n1-n1k1-n1kkk-n0n b a 1-n1-nb a 1-k1-nb a k1-n ba0 1n+++==
  • 36En ambas sumatoria hay trminos semejantes que podemos agrupar,con lo que quedar:(a + b)n = n01-n1kkk-n0n b a 1-n1-nb a 1-k1-nk 1-nba 01n+++=(a + b)n = an + nkk-n11b b akn+=nk(a + b)n = kk-nn0kb an=k con lo que queda probado el teorema.Esta expresin general recibe el nombre de Frmula del binomio deNewton.Ejemplo 15: Desarrollar (x2 + 3y)6.(x2 + 3y)6 = ( ) ( )kk6260k3y x k6=(x2 + 3y)6 =06 (x2)6 (3y)0 +16 (x2)5 3y +26 (x2)4 (3y)2 +36 (x2)3 (3y)3 ++46 (x2)2 (3y)4 +56×2 (3y)5 +66 (x2)0 (3y)6(x2 + 3y)6 = x12 + 6 x10 3y + 15 x8 9 y2 + 20 x6 27 y3 + 15 x481 y4 + 6 x2 243 y5 + 729 y6 (x2 + 3y)6 = x12 + 18 x10 y + 35 x8 y2+ 540 x6 y3 + 1215 x4 y4 + 1458 x2 y5 + 729 y6Veamos ahora cmo calcular un trmino dado, correspondiente aldesarrollo de la potencia n-sima de un binomio.Ejemplo 16: Calcular el sexto trmino del desarrollo de (3x +2y)8.De acuerdo a la frmula de Newton, el desarrollo correspondientees:(3x + 2y)8 = ( ) ( )kk880k2y 3x k8=Luego, el sexto trmino corresponde a k=5, con lo que ser:T5 =58 (3x)3 (2y)5 = 53 y 32 x27 .!3!.5!5.6.7.8T5 = 48382 x3 y5Ejemplo 17: Desarrollar (1 a2)5( ) k2550k52 )a (-1/2 1 k5a 2/11 k===0515 +1514 (-1/2 a2) +2513 (-1/2 a2)2 +3512 (-1/2 a2)3 +
  • 37+451 (-1/2 a2)4 +55 (-1/2 a2)5(1 a2)5 = 1 5/2 a2 + 5/2 a4 5/4 a6 + 5/16 a8 1/32 a10Obsrvese que, tratndose de un binomio diferencia, esto es de laforma (a b)n, resultan siempre, en el desarrollo, los signosalternados.
  • 38Los nmeros enterosEn el conjunto Z de los nmeros enteros estn definidas dosoperaciones binarias: la suma y el producto. Esas operacionesverifican las siguientes propiedades:S1.- Asociatividad. a, b, c Z : (a+b) + c = a + (b+c) S2.-Conmutatividad. a, b Z : a + b = b + a S3.- Existencia de elementoneutro. 0 Z : 0 + a = a a Z S4- Existencia de elemento opuesto. aZ, b Z : a + b = 0 Notacin: b = -a, luego: a + (-a) = 0 y decimosque (-a) es opuesto de a y viceversa.P1.- Asociatividad. a, b, c Z : (a b) c = a (b c) P2.-Conmutatividad. a, b Z : a b = b a P3.- Existencia de elementoneutro. 1 Z : 1 a = a a ZD.- Distributividad del producto respecto de la suma. a, b, c Z: a (b+c) = ab + ac y tambin (b+c) a = ba + caEstas propiedades de la suma y el producto dan a Z su estructuracaracterstica de anillo.En base a estas propiedades o leyes de las operaciones de suma yproducto, se pueden probar otras propiedades tales como: a) a Z: a(-1) = -a Esto es, el opuesto de a es igual a (-1)a b) -(-a) = a aZ c) Si a + b = 0 entonces b = -a d) -(a+b) = (-a) + (-b)Notacin: escribimos a + (-b) = a – b y a ese elemento lellamamos a menos be) (a-b) = b aEn Z se define tambin una relacin binaria 0 a c < b c a <b y c Z , c < 0 a c > b cNotacin: Si a < b entonces b > a a b si y slo si a = b a< b
  • 39El tema central de esta Unidad es analizar otras dos propiedadesimportantes y caractersticas del conjunto Z, que son:1.- La existencia del algoritmo de la divisin. 2.- LaFactorizacin de enteros. Antes de llegar a ellas, hemos de analizarla relacin divide en Z.Definicin: Se dice que un entero a 0 es divisor de un entero b,si k Z : b = k a. En tal caso decimos que a es divisor de b o adivide a b y escribimos a/b.Ejemplos: -3 / 15 pues existe -5 Z : (-5) (-3) = 15 9 / 9 puesexiste 1 Z : 9 1 = 9 -1 / -4 pues existe 4 Z : 4 (-1) = -4Propiedades:1.- Propiedad reflexiva. a Z : a / a2.- a Z : a / 03.- Si a / b a / -b ; -a / b ; -a / -b4.- Propiedad transitiva. Si a / b y b / c a / c5.- Si a / b y a / c a / xb + yc x, y Z Esto es, a divide acualquier combinacin lineal de b y c.6.- Si a / b ac / bc c Z Recprocamente: si c 0 y ac / bc a /b.A modo de ejemplo desarrollaremos la demostracin de alguna deestas propiedades, quedando las restantes a cargo del lector.Propiedad 3. Demostracin: Si a / b k1 Z: b = k1 a Como k1Z -k1Z,luego, multiplicando por (-1) la igualdad anterior, resulta: (-1) b= (-1) k1 a -b = [(-1)k1] a -b = -k1 a a / -bA partir de esta demostracin, pruebe el lector que -a / b y que-a / -b.Propiedad 5. Demostracin: Si a /b b = k1 a con k1Z Sea xZ : x =x . b x = (x k1) a (*)
  • 40Si a / c c = k2 a con k2Z Sea yZ : y = y . c y = (y k2) a(**)Sumando (*) y (**) resulta: b x + c y = (x k1 + y k2) a Como (xk1 + y k2) Z, entonces a / bx + cyPropiedad 6. Demostracin: Si a /b b = k1 a con k1Z. Sea c Z : cb= ck1 a aplicando propiedad conmutativa: cb = k1 ca ca / cbRecprocamente. Sea c 0, c Z c-1Q Si ac / bc bc = k acmultiplicando por c-1: b = k acc-1 b = k a a / b.Importancia de la relacin divide en Z300 aos antes de Cristo, ya Euclides y sus contemporneos conocany manejaban muchos resultados sobre el tema. Es claro que si a Z,a0, entonces a / b, bZ si y slo si el resto de dividir a por b escero. En cambio si se piensa en el conjunto Q de los racionales, noexiste problema para dividir, ya que cualquier racional esdivisible por cualquier otro distinto de cero.Divisin enteraEs bien conocido el procedimiento por el que, dados dos enterospositivos a y b se determina el cociente q y el resto r, de ladivisin de a por b. Si a = 1543 y b = 25 1543 | 25 . 043 61 18 q =61 y r = 18 1543 = 25 61 + 18En general: a = b q + rTeorema: Para todo par de enteros a y b, con b0, existen enterosq y r, llamados cociente y resto de dividir a por b, unvocamentedeterminados, tales que a = q b + r con 0 r < bDemostracin: Por razones de simplicidad probemos primero que siq y r existen, entonces son nicos. Supongamos, por Absurdo, queadems del par de enteros q y r, existen q y r Z, tales que:a = q b + r con 0 r < b
  • 41a = q b + r con 0 r < b entonces ser: q b + r = q b + r q b -q b = r – r(q q) b = r r y tomando valor absoluto, resulta: q qb = r -rEntonces, si r r r – r 0 y si q q q q 0tenemos: q qb = r – r () b q qb = r – r b r – r (*)Pero, siendo r < b y r< b b>r – r lo que contradice laexpresin (*). Esta contradiccin provino de suponer que r r, luego r= r y entonces, como b0, en () debe ser: q q = 0 q = q, lo queprueba la unicidad del cociente y del resto.Probemos ahora que, efectivamente existen los enteros q y r enlas condiciones del teorema. 1) Obsrvese primero que si a esmltiplo de b, entonces: a = k b , para algn kZ, entonces tomando q= k y r = 0, se tiene el par de enteros en las condicionesexigidas.2) Supongamos que a no es mltiplo de b, esto es xZ, a x b (o,dicho de otro modo, no existe ningn xZ, tal que a = x b)Consideremos entonces el conjunto S de todos los enteros positivosde la forma a xb con xZ. Por lo dicho anteriormente, a x b 0, perohabra que ver si existe xZ de tal modo que esa diferencia seapositiva; en caso contrario, S sera vaco.Veamos que S :Sea=0 a si 1-0 a si 1=0 b si 1-0 b si 1Entonces a= a y b= bConsideremos xZ, x de las forma : x = – a Entonces: a xb = a (-a) b a xb = a + a b a xb = a + ab a xb = a+ab a xb = a(+b) siendob> 1, pues b 0 y a b Entonces: (+b) > 0 (+b)a> 0 , por lotanto a xb > 0, esto es, es un entero positivo, luego S .Significa entonces que S es un subconjunto no vaco de N, luego Stiene primer elemento.
  • 42Sea r el primer elemento de S, que se obtiene cuando x asume elvalor q: r = a qb Entonces:a = q b + rVeamos ahora que r < b.Que r >0, lo hemos dicho al indicar que rS y SN. Supongamosque r b r > r – b 0 Como r – b = a qb – b = a (q+)b > 0 puesa b , entonces r – b tiene la forma a xb (para x = q + ) con lo quer -bS. Luego resulta r – b< r, un elemento de S. Absurdo! Pues res el primer elemento de S. Por lo tanto, r < b.Con lo que queda demostrado el teorema.Ejemplos: Si a = 3 y b = 9 q = 0 y r = 3 ya que 3 = 09 + 3 Si a= 18 y b = -4 q = -4 y r = 2 18 = (-4)(-4) + 2 Si a = -1548 y b =12 q = -129 y r = 0 -1548 = (-129)12 + 0Una interesante aplicacin del Algoritmo de la divisin entera esla de representar un entero positivo cualquiera en base b>1:Representacin b-dica de un entero, o representacin en baseb.El problema es el siguiente: Representar el entero positivo a 0en forma de polinomio en b, cuyos coeficientes ci satisfagan lasrelaciones:a = c0 + c1 b + c2 b2 + c3 b3 + . . . + cn bn b >1, 0 ci <b , para i = 0, 1, 2, , nEsto es: a = in0ii b c=El problema radica en determinar los ci, que llamaremos cifras,siendo b la base de representacin. Una vez determinados los ci, seconviene en escribir el entero a de la siguiente manera:a = cn cn-1 . . . c2 c1 c0 (base b)Veamos un ejemplo: sea a= 1536 y b= 10 (b es la base de larepresentacin)a = 1530 + 6 a = 153 10 + 6 a = (150+3) 10 +6 a = (15 10 +3) 10+6 a = {[(10 +5) 10] +3} 10 + 6 a = [(510 + 1010) +3] 10+6 a = 5 102+ 103 + 310 + 6
  • 43a = 6 + 310 + 5102 + 1103 Descomposicin 10-dica o decimal dea.Cmo resolver el problema en forma general? Simplementeprocediendo como en el ejemplo, usando sucesivamente el algoritmode la divisin: a = b q1 + r1 con 0 r1 < b Obsrvese que por ser a> 0, 0 q1 < aSi q1 < b, ya est la solucin, tomando: c0 = r1 , c1 = q1 yentonces n = 1 : a = c1 b + c0 entonces a = c1c0 Si q1 b, entonceslo dividimos por b: q1 = q2 b + r2 0 r2 < b ; 0 q2 < q1Entonces: a = b (q2 b + r2) + r1a = q2 b2 + r2 b + r1 Si q2 < b c0 = r1 ; c1 = r2 ; c2 = q2 ,n = 2 a = c0 + c1 b + c2 b2 a = c2c1c0(b)Si q2 b q2 = b q3 + r3 0 r3< b ; q3
  • 44Ejemplo: Expresar 117 en base 5117 5 . 17 23 5 . As, 117 = 432(5) 2 3 4 Cmo constatar?Escribiendo el polinomio: 250 + 35 + 452 = 117Observaciones:1.- Nuestro sistema de numeracin es decimal, esto es, en base10. Las cifras son 0, 1, 2, . . .,9 El nmero 3429 = 9 + 2 10 + 4102+ 3103 El 756 es: 6 + 510 + 71002.- En base b, las cifras son 0, 1, 2, , b-1 b 10 Los nmerosmenores que b se representan mediante una nica cifra .3.- El nmero b se representa siempre como : b = 10 (b) As, 6 =10 (6) En efecto: 6 6 . entonces 6 = 0 + 160 14.- Para representar nmeros en base b>10, se necesitan mssmbolos para indicar las cifras que siguen al 9.Por ejemplo, para b = 13, las cifras pueden ser: 0, 1, 2, , 9, ,,As 1493 = 8 (13) ya que 1493 13 . 19 114 13 . 63 8 1493 = + 13 +8132Ejemplos:1. Qu nmero decimal es N = 233 (13) ?N = 2 134 + 133 + 3132 + 13 + 3 N = 2 28561 + 10 2197 + 3 . 169+ 12 13 + 3 N =57122 + 21970 + 507 + 156 + 3 N = 797582. Representar en base 9 el nmero 2534 (7) 2534 (7) = 273 + 572+ 37 + 4 = 956 = 1272 (9)
  • 453. Considerando el entero positivo cuya representacin en base 6es: n = 342x (6),determinar la cifra x para que dicho nmero seadivisible por 5. n = 342x (6) n = 363 + 462 + 26 + x n = 648 +144+12 + x n = 804 + xLuego, si x = 1 n = 805 por lo tanto es divisible por 5Nmeros primosHemos dicho que si a0 y a/b, entonces b es mltiplo de a y aldividir b por a, el resto es cero. Es claro que, aZ, a es divisiblepor 1, -1, a y -a. Estos son los llamados divisores triviales de a.Cualquier divisor de a, distinto de ellos, se llamar divisor propiode a.Ejemplo: sea a = 48, entonces los divisores triviales de 48 son:1, -1, 48 y -48. Son divisores propios de 48: 2, -2, 3, -3, 4, -4,6, -6, 8, -8, 12, -12, 16, -16, 24 y -24Definicin: un entero p, distinto de 0, 1 y -1 se dice primo, sino admite mas divisores que los triviales. Esto es: pZ es primo sisus nicos divisores son: 1, -1, p y -p.Si aZ no es primo, entonces a se dice compuesto.Ejemplos: son enteros primos: 17, 43, -7, -61 Son enteroscompuestos: -96, 28, 100, -65As, Z queda dividido en tres subconjuntos disjuntos dos a dos,no vacos: {0, 1, -1 } P = { pZ : p es primo} C = {a Z : a escompuesto} Z CP Constituyen esos tres subconjuntos una particin de Z?Vemos cmo son los divisores de un entero dado.Teorema: Sea aZ, a 0 y sea c/a, entonces 1 c a Si c es divisorpropio de a, entonces 1 < c < a
  • 46Demostracin: Si c/a a = k c con c 0 y k0 a=kc siendo k 1 pues k0ac 1 ()Si c es divisor propio de a c 1 c 1 y c a c a Luego la expresin() se reduce a : a>c > 1 con lo que queda probado elTeorema.Esto nos dice que dado aZ, a0, a tiene un nmero finito dedivisores. Estos divisores forman un subconjunto del conjunto delos enteros cuyo valor absoluto est comprendido entre a y 1. Si aes compuesto, entonces es de la forma a = b c siendo b y cdivisores propios 1 < b< a y 1 < c < aProposicin: Cualesquiera sean a, b Z, las siguientesproposiciones son equivalentes:1) a y b tienen los mismos divisores 2) a y b difieren en unfactor unitario, esto es, a = b 3) a/b y b/aDemostracin: Recordemos que los nicos enteros que tienen inversomultiplicativo en Z son 1 y -1. A ellos se los llama enterosunitarios. Respecto de la divisin, los enteros unitarios tienen laparticularidad de dividir a cualquier otro entero.1 2: Supongamos que a y b tienen los mismos divisores, entoncescomo a / a ,a Z, debe darse tambin que a / b b = k1 a con k1Z. Deigual modo, como b / b y a tiene los mismos divisores que b,entonces b / a a = k2 b con k2Z. Luego: b = k1 (k2 b) b = (k1k2) bEntonces, si b 0, por la ley cancelativa, resulta: k1k2 = 1 k1 = k2= 1 k1 = k2 = -1 con lo que resulta b = a Si b = 0, siendo a = k2ba = 0 y obviamente se verifica la proposicin.2 3 : Suponiendo que a = b, entonces b / a pues existe (1) Z,tal que : a = 1b y si a = b b = a a / b3 1: Si a /b y b/ a veremos que a y b tienen los mismosdivisores: Sea cZ tal que c / a, entonces como a / b c / b. Estoes, cualquier divisor de a lo es tambin de b. De igual modo, si k /b como b /a k /a. Luego, todo divisor de b tambin divide a a.
  • 47Definicin: Dos enteros a y b que verifican las condiciones de laProposicin anterior se dicen enteros asociados. Evidentemente elasociado de un entero a es a.Ejercicio: Probar que la relacin ser asociado de definida sobreZ es una relacin de equivalencia.Divisor Comn MayorSea aZ, indicaremos con D(a) el conjunto de todos los divisoresde a. D(a) = {xZ : x /a }Ejemplos: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12 } D(-27) = {1, 3, 9, 27}D(1) = {1} D(p) = {1, p} D(0)= ZD(12) D(-27) = {1, 3}En general, el conjunto de los divisores comunes de dos enterosno simultneamente nulos, es distinto de vaco y finito. Entonces,como subconjunto de Z finito y distinto de , tiene ltimo elemento.Esto es, existe un divisor comn de a y de b que es mayor que losdems y adems, ese es positivo, pues si c/x -c/x de modo que cD(a)D(b) -c D(a)D(b).Definicin: Dados dos enteros a y b, no simultneamente nulos, sellama Divisor Comn Mayor de a y b al mayor de los divisorescomunes.Indicaremos el divisor comn mayor de los enteros a y b con: (a,b). Ejemplo: (12, -27) = 3Observacin: Si b/a (a, b) =b b0 En particular: (0, a) = aProposicin: Si a, b Z, b0 y r es el resto de dividir a por b,entonces a y b tienen los mismos divisores que b y r.Demostracin: Sean q y r Z: a = q b + r , con 0 r
  • 48Recprocamente: Sea t un divisor de b y de r t/b y t/r t / q b +r t / a Luego t es divisor de a y de b.Corolario: (a, b) = (b, r) Esto es, el divisor comn mayor entrea y b es igual al divisor comn mayor entre b y r.Probar el Corolario anterior como ejercicio.Ejemplo: consideremos el problema de calcular el divisor comnmayor de los nmeros 342 y 126. 342 126 12690 90 36 36 18 90 2 36 118 2 0 2As: (342, 126) = (126, 90) = (90, 36) = (36, 18) = 18Clculo del divisor comn mayor Algoritmo de EUCLIDESVamos a organizar las divisiones sucesivas realizadas en elejemplo anterior, a travs del siguiente cuadro:2 1 2 2 342 126 90 36 18 90 36 18 0Obsrvese que el divisor comn mayor entre 342 y 126 es el ltimoresto no nulo obtenido luego de las sucesivas divisiones.Veamos en general: Sean a , b Z , b0 Efectuamos divisionessucesivas como indica el cuadro. Se observa que los restos que seobtienen son positivos y estrictamente decrecientes, por ello elprocedimiento podr repetirse un nmero finito de veces. El ltimoresto ser siempre nulo.q1 q2 q3 qn-2 qn-1 qn qn+1 a b r1 r2 rn-3 rn-2 rn-1 rn r1 r2 r3rn-1 rn 0Formalizamos ahora en el siguiente:Teorema: si a , bZ , b0, el ltimo resto no nulo que se obtieneen el Algoritmo de Euclides, es el divisor comn mayor d de a y b.Adems d = xa + yb , x, y Z.Demostracin: 1) Si el primer resto obtenido es cero d = (a, b) =b y este puede escribirse: b= 0a + (1)b con lo que se verifica elteorema.
  • 492) Si el resto es 0 al cabo de n+1 divisiones, n>1, se tiene:a = q1 b + r1 0 r1 < b b = q2 r1 + r2 0 r2 < r1 r1 = q3 r2 +r3 0 r3 < r2 . . . . . . . . . . . . . . . .rn-2 = qn rn-1 + rn 0 rn < rn-1 rn-1 = qn+1 rn + 0De esta ltima igualdad resulta que: rn/rn-1 (rn-1, rn) = rn Porel Corolario de la Proposicin anterior, resulta:rn = (rn-1, rn) = (rn-2, rn-1) = . . . = (r1, r2) = (b, r1) =(a, b) Esto es,rn = (a, b) = dPor otra parte, de las igualdades anteriores, resulta: r1 = a q1b r1 = a + (-q1) b r2 = b q2 r1 r2 = b q2 (a + (-q1) b) r2 = (-q2)a + (1 + q1q2) b r3 = r1 q3 r2 r3 = a + (-q1) b q3 [(-q2) a + (1 +q1q2) b] r3 = (1 + q2 q3) a + (-q1 q3 q1 q2 q3) b . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .Sea observa que todo resto se puede escribir como un mltiplo dea ms un mltiplo de b, en particular:rn = d = x a + y b con x, y ZEn el ejemplo anterior, expresaremos (342, 126) = 18 como unmltiplo de 342 ms un mltiplo de 126: 342 = 2 126 + 90 90 = 342 +(-2) 126 126 = 1 90 + 36 36 = 126 + (-1) 90 90 = 2 36 + 18 18 = 90+ (-2) 3618 = [342+(-2) 126]+ (-2)[126 + (-1)90] 18 = 342 + (-4) 126 +290 18 = 342 + (-4) 126 + 2 [342 + (-2) 126] 18 = 3342 + (-8)126donde se ve que x = 3 , y = -8Observaciones: 1.- Como a y a tienen los mismos divisores,entonces por la definicin de divisor comn mayor, resulta: (a, b) =(-a, b) = (a, -b) = ( -a, -b)Luego, para el clculo del divisor comn mayor, d, de dos enteroscualesquiera, no simultneamente nulos, se puede suponer a ambospositivos.Enteros relativamente primos.
  • 50Definicin: se dice que el entero a es primo con el entero b, oque a y b son coprimos o primos relativos, si (a, b) = 1Proposicin: Si (a, b) = 1 entonces existen enteros s, t, talesque a s + b t = 1 y Recprocamente, si tales enteros existen,entonces a y b son coprimos.Demostracin: A cargo del alumnoProposicin: Sean a, bZ, (a, b) = 1 y a / b c entonces a/c.Demostracin: (a, b) = 1 1 = s a + t b multiplicando ambosmiembros por cZ: c = s a c + t b c y como por hiptesis a/ bc y a/aa / (sc) a + t (bc) a/c.Corolario: Si p es un entero primo y p/ bc, entonces p/bp/c.Demostracin: 1) Si p/b entonces es obvio que se verifica elcorolario. 2) Supongamos que p no divide a b y probaremos entoncesque p/c. Como p es primo y no divide a b (p, b) = 1, luego, por laproposicin anterior, resulta que: p/ bc y (p, b) = 1 p/cCorolario: Si p/ a1 a2 ar y p es primo, entonces p/ ai para algni =1, 2, .., r.Proposicin: Si a, b, c Z y (a, b) = 1 entonces existen x0, y0 Ztales que: a.x0 + b.y0 = c. Es decir, la ecuacin a.x + b.y = cadmite al menos una solucin entera.Demostracin: Si (a, b) = 1 s a + t b = 1 y multiplicando por c yasociando, es: (cs) a + (ct) b = c con lo que x0 = cs , y0 = c t,probando la existencia de soluciones x0, y0.Proposicin: la condicin necesaria y suficiente para que laecuacin de coeficientes enteros a x + b y = c tenga solucin entera,es que el divisor comn mayor de a y b sea divisor de c. Esto es:(a, b) /c. Demostracin: 1) Probaremos primero que si (a, b) =d yd/c entonces la ecuacin a x + b y = c admitesolucin entera:
  • 51Sea d= (a, b) tal que d/c, entonces existe kZ : c = k d Por otraparte, existen enteros s, t: d = s a + t b multiplicando por k: k d= k s a + k t b c = (ks) a + (kt) b Tomando x0 = ks Z y y0 = kt Zresulta que (x0, y0) es solucin de la ecuacin dada. 2)Recprocamente: si a x + b y = c tiene solucin, probaremos que d/c.Sea (x1, y1) una solucin de la ecuacin a x + b y = c a x1 + b y1 =c Si d = (a, b) a = ad y b = bd, reemplazando en la expresinanterior: adx1 + bdy1 = c d (ax1 +by1) = c d/c.Ecuaciones DIOFNTICASLas ecuaciones Diofnticas son ecuaciones de coeficientesenteros, para las que interesa determinar, si existen, lassoluciones enteras. El matemtico Diofanto (siglo III a.C) se ocupde estudiar las soluciones enteras de ciertas ecuaciones, de ah elnombre dado a estas ecuaciones. Las ecuaciones planteadas en lasProposiciones anteriores, son de ese tipo, en particular, sonecuaciones diofnticas lineales de dos incgnitas como lassiguientes: 3 x + 5 y = 8 137 x 25 y = 1 12 x + 81 y = 3Veamos que una ecuacin Diofntica del tipo ax + by = c, no tienesolucin entera o admite infinitas soluciones enteras:1) Si a = b = c = 0 es obvio que todo para de enteros (x0, y0)es solucin de la ecuacin, ya que 0 x0 + 0 y0 = 02) Si a = b = 0 y c 0, entonces no existe solucin posible.3) Si a y b no son simultneamente nulos, la proposicin anteriornos indica que la ecuacin admite al menos una solucin si (a, b) /c.La siguiente Proposicin muestra que si hay solucin, entoncesexisten infinitas soluciones.Proposicin: Si ax + b y = c , con a, b, c Z, tiene solucinentera y (x0 ,y0) es una solucin cualquiera, entonces todas lassoluciones de esa ecuacin son de la forma:*tday ytdb- xx00+==siendo d = (a, b) y tZDemostracin: 1. Veamos que cualquier par de enteros de las formaindicada en * es solucin de laecuacin ax + by = c Reemplazando en la ecuacin, segn *,resulta:=++tday b tdb- x a 00 a x0 – a dbt + b y0 + b dat
  • 52= a x0 + b y0 siendo (x0, y0) una solucin = cLuego, efectivamente la forma indicada en * es solucin de laecuacin.2. Veamos ahora que toda solucin de la ecuacin ax + b y = c seescribe de la forma indicada en *:Supongamos que a 0 y sea (m, n ) otra solucin, entonces tenemos:a x0 + b y0 = c a m + b n = crestando, miembro a miembro, a la segunda expresin la primera: a( m – x0) + b (n – y0) = 0 a ( m – x0) = – b (n – y0)Como d = (a, b) a = a’ d y b = b’ d siendo a’ y b’ coprimosRemplazando en la expresin anterior: a’ d (m – x0) = – b’ d (n-y0) cancelamos d en ambos miembros: a’ (m – x0) = – b’ (n -y0)Esto muestra que: a’ / -b (n – y0) a’ / n -y0 n – y0 = t a’ n = y0+ a’ tn = y0 + tdaDe igual forma, tomando n – y0 = tdaa’ (m – x0) = – b’ tdacona 0m – x0 = – tdbm = x0 – tdbLuego, una solucin (m, n) cualquiera, est dada por la forma * ,con tZ, lo que hace que entonces existan infinitas soluciones, unapara cada t elegido. En resumen, conociendo una solucin de laecuacin ax + by = c, se pueden conocer todas.Ejemplo 1: Consideremos la ecuacin lineal diofntica 3 x + 12 y =6 Como (3, 12 ) = 3 y 3/6, entonces existen infinitas soluciones.Fcilmente se observa que el par (-2, 1) es una solucin ya que : 3(-2) + 12 1 = 6 Luego las restantes soluciones sern del tipo:+==t331 yt312 – 2- x+==t 1 y t4- 2- xt ZLuego tambin son soluciones, por ejemplo:
  • 53Para t = 1 el par (-6, 2) Para t = 3 el par ( -14, 4) Para t =-1 el par ( 2, 0) Etc., etc.Ejemplo 2: 8 x + 12 y = 5 Como ( 8, 12) = 4 y 4 no divide a 5 noexisten soluciones para esta ecuacin.Ejemplo 3: Sea la ecuacin: 11 x + 4 y = 120 Como (11, 4) = 1Expresamos d = 1, como combinacin lineal de 11 y 4. 11 = 4 2 + 3 3= 11 – 4 2 4 = 3 1 + 1 1 = 4 – 3 1 1 = 4 – 11 + 4 2 1 = 3 4 – 11 1= (-1) 11 + 3 4 u = -1 y v = 3Por otro lado, como d = 1 c’ = c, en este caso c’ = 120 Luego lasolucin obtenida es: x0 = (-1) 120 = -120 y0 = 3 120 = 360esto es:==360y120- x00Verificacin: 11 (-120) + 4 360 = -1320 + 1440 = 120Cualquier otra solucin de la ecuacin dada ser de la forma:+==t11 360 y t 4 – 120- xsiempret ZMltiplo comn menorTeorema: Dados a, b Z+, existe un m Z+, tal que: 1) m es mltiplode a y de b, 2) si m’ es mltiplo de a y de b, entonces m’ esmltiplo de m.Demostracin: Sea d = (a, b) a = d a’, b = d b’ siendo (a’, b’) =1 Sea m = a b’ m es mltiplo de a, pero m = a’ d b’ m es mltiplo deb Luego m rene la condicin 1) Supongamos que m’ Z+: m’ es mltiplode a y es tambin mltiplo de b m’ = k1 a , m’ = k2 b con k1, k2 Z m’= k1 d a’ , m’ = k2 d b’ k1 d a’ = k2 d b’ , esto es k1 a’ = k2 b’a’ /k2b’ pero siendo (a’, b’) = 1 a’/ k2 luego existe cZ : k2 = a’c m’ = a’ d b’ c m’ = a’ c b y como a’ b = m
  • 54m’ = m c m/m’ m’ es mltiplo de m.Definicin: El entero m de la proposicin anterior es el mltiplocomn menor de a y b. Lo indicamos: m = [a, b]De acuerdo a la proposicin ante
  • Publicaciones Similares