unidad 3. amortizacion

1 Divisin de Ciencias Sociales y Administrativas | Licenciatura en Gestin y Administracin de PyMES.

Matemticas financieras

Unidad 3. Amortizacin

Licenciatura en:

Gestin y Administracin de las Pequeas y Medianas

Empresas (PyMES)

Programa de la asignatura:


Clave

080920414

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico




ndice

Unidad 3. Amortizacin ................................................................................................................... 3

Presentacin de la unidad ........................................................................................................... 3

Propsitos ...................................................................................................................................... 3

Competencia especfica .............................................................................................................. 3

3.1. Conceptos bsicos ............................................................................................................... 4

3.1.1. Capitalizacin ..................................................................................................................... 5

3.1.2. Tasa de amortizacin........................................................................................................ 7

3.2. Aplicaciones ......................................................................................................................... 10

3.2.1. Calculo de montos de capitalizacin ............................................................................ 10

3.2.2. Fondo de amortizacin ................................................................................................... 17

Actividad 1. Ensayo .................................................................................................................... 19

Actividad 2. Formulario .............................................................................................................. 20

Actividad 3. Aplicaciones reales ............................................................................................... 20

Autoevaluacin: .......................................................................................................................... 21

Evidencia de aprendizaje. Ejercicios prcticos ...................................................................... 23

Autorreflexin .............................................................................................................................. 23

Cierre de la unidad ..................................................................................................................... 24

Para saber ms ....................................................................................................................... 24

Fuentes de consulta ................................................................................................................... 24





Presentacin de la unidad

Las finanzas se ocupan del estudio e interpretacin de operaciones que implican inversin

o desembolso de capital, a una tasa de inters determinada y en un periodo de tiempo

especificado. Como gestor y administrador de PyMES, es imperativo que conozcas,

domines y apliques las matemticas financieras. Con la informacin de la unidad 3,

podrs integrar los conocimientos que has adquirido a lo largo del desarrollo de la

asignatura. Conocers a fondo el valor del dinero en diferentes periodos de tiempo y sus

aplicaciones.

Propsitos

Al terminar la unidad sers capaz de:

Aplicar los conceptos de capitalizacin y amortizacin en la resolucin de

problemas.

Competencia especfica

Calcular el monto de los pagos o la tasa de inters para facilitar la toma de decisiones de

ndole econmico mediante los esquemas de capitalizacin y amortizacin para facilitar la

toma de decisiones de ndole econmico.




3.1. Conceptos bsicos

La materia Matemticas financieras tiene como objeto de estudio las finanzas; este

concepto comprende ,como ya se ha establecido, el valor del dinero en el tiempo y la

transferencia de capitales entre dos o ms entes econmicos, teniendo en consideracin

una tasa de inters que puede ser simple o compuesto.

El tema de capitalizacin y amortizacin, se aborda tomando en cuenta la simbologa ya

citada, es decir:

Valor presente (capital actual).

Valor futuro (monto o capital futuro).

Tasa de inters por periodo (anual, semestral, trimestral, etc.) y puede ser Inters

simple o inters compuesto.

Numero de periodos (tiempo de capitalizacin o descuento).

Interes generados

En relacin a la simbologa anterior, se debe tener presente las siguientes expresiones:

Para Inters simple:

Si

Para Inters compuesto:

La expresin incluyen los intereses respectivos .

Las expresiones que se derivan del inters compuesto, se consideran ms laboriosas en

su aplicacin, debido a la utilizacin de potencias, a las cuales se hizo referencia en la

obtencin de las frmulas y factores de equivalencia respectivas.

Expresin

3.1 (1)

Expresin

3.1 (2)




3.1.1. Capitalizacin

La capitalizacin es una operacin financiera asociada a la accin del descuento, ya que

representan efectos cualitativa y cuantitativamente opuestos.

La operacin de capitalizacin referida a una inversin de un capital en el momento

presente a una tasa de inters determinada, y un cierto nmero de periodos, implica

que se obtendr un capital futuro mayor que el capital actual por efecto de los

intereses generados en dicha inversin.

Si se consigna la capitalizacin al mbito del servicio bancario, se define como la

operacin de aplazar o posponer el cobro o el pago de un capital, para obtener otro

superior. Sin embargo, si el cobro o el pago se anticipan, la operacin recibe el nombre de

descuento.

En sntesis, se puede establecer para la capitalizacin y el descuento de la siguiente

manera:

En el inters simple, la tasa correspondiente se aplica sobre un capital inicial, de tal

manera que los intereses producidos, no se acumulan al capital.

En el inters compuesto, la tasa respectiva se aplica cada vez sobre un capital diferente,

originado por la acumulacin sucesiva de los intereses o en su caso, de la resta

sucesiva de los descuentos.

En las operaciones financieras a corto plazo (mximo un ao), se emplea el inters

simple. Para operaciones a largo plazo (tiempo mayor de un ao), por lo general, se

utiliza el inters compuesto bajo el cual la capitalizacin es ms ventajosa para el banco o

personas fsicas o morales poseedoras de capital.

Con inters simple

Con inters compuesto

Operacin de capitalizacin

Con inters simple

Con inters compuesto

Operacin de descuento




Diagramticamente, la capitalizacin y el descuento se representan de la siguiente

manera:

Capitalizacin

Fecha inicial Fecha final

capital inicial

Ejemplo

= factor de capitalizacin

i = inters compuesto

Descuento

Fecha inicial Fecha final

capital inicial [

]

Ejemplo

[

] factor de descuento

i = inters compuesto




3.1.2. Tasa de amortizacin

Las operaciones financieras relativas a la capitalizacin y la amortizacin, tiene que ver

con el concepto renta, el cual se utiliza para denominar a una sucesin de pagos o cobros

regulares (es lo mismo que en la simbologa establecida).

El trmino renta puede corresponder a las siguientes denominaciones:

Renta de trabajo: sueldo de un trabajador.

Renta de crdito: pago mensual establecido.

En suma, dentro del campo financiero, una renta es una sucesin de capitales con

vencimientos peridicos con alguna relacin entre s.

Dentro del clculo financiero, se pueden identificar 2 clases de renta, es decir:

Una serie de depsitos peridicos para construir un capital.

Una serie de pagos derivados de un prstamo de este tipo de renta, se

deriv el concepto de amortizacin, el cual se especifica ms adelante.

En las rentas de cualquier tipo, se consideran los conceptos siguientes:

1. Fecha de compromiso: obligacin de pagar o el derecho de cobrar la renta.

2. Fecha de vencimiento: momento del cobro o pago de cada componente de

la serie de los flujos monetarios respectivos.

3. Fecha final: momento de cobro o pago del ltimo componente de la serie de

flujos monetarios.

4. Plazo: tiempo considerado entre la fecha de compromiso y la ultima fecha de

cobro o pago de la ultima componente de la serie de flujos.

5. Trmino: importe o monto de cada uno de los flujos relativos a cobros o

pagos. El concepto trmino puede ser sustituido por los vocablos siguientes:

prima, anualidad, mensualidad, etc.

La informacin anterior proporciona los requerimientos bsicos para abordar el concepto

de amortizacin. Se har referencia a dos tipos de renta, es decir:

Rentas de amortizacin

Rentas de capitalizacin




Rentas de amortizacin: la finalidad de este tipo de rentas es pagar un capital inicial o

actual, en tal virtud se establece que amortizar es igual a pagar o cubrir. A las rentas de

amortizacin les corresponde el diagrama siguiente:

En este caso, la incgnita es la cantidad a pagar en cada periodo para amortizar el

prstamo o valor actual .

Para el diagrama anterior, se tiene que para una tasa de inters compuesto , el valor

actual resulta ser:

Despejando se tiene:

[

]

En la expresin 3.1.2 (2), representa el pago por periodo o trmino. Las expresiones

anteriores se dedujeron en la unidad pasada.

Ejemplo:

Una persona solicita un crdito (capital actual) de $50,000 pesos. El compromiso consiste

en amortizar el crdito en doce mensualidades a un inters mensual del 3%. Cunto

debe pagar cada mes?

Solucin:

3%

=12

?

Segn la expresin 3.1.2 (2)

resulta:

[

]

[

]

-1 0 1 2 3 4

Expresin

3.1.2 (1)

Expresin

3.1.2 (2)




En el ejemplo anterior, se deben pagar doce documentos por $5,023.10 para amortizar

$50,000 en doce meses. Si nos referimos al concepto de equivalencia, se establece que:

doce flujos monetarios de $5,023.10 son equivalentes a un valor actual de $50,000,

siempre y cuando, el inters sea de 3% (0.03) mensual.

Rentas de capitalizacin: Con el propsito de vincular los conceptos de amortizacin y

capitalizacin con el concepto de equivalencia, se considera el siguiente caso de rentas

de capitalizacin relativo al ejemplo anterior, es decir:

Ejemplo:

Se requiere acumular $71,288.04 en el mes 12. Cunto se debe invertir mensualmente

si la tasa de inters compuesto es 3% mensual?

Solucin:

El diagrama de flujo monetario es:

La expresin a utilizar se deriva de:

[

] [

]

[

]

Observacin:

En los ejemplos anteriores referentes a las rentas de amortizacin y rentas de

capitalizacin, se enfatiza en la presencia de equivalencia entre , y , si prevalecen los

mismos valores de la tasa de inters compuesto con un valor de 3% por periodo y el

horizonte con un valor de 12 meses.

5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4




3.2. Aplicaciones

En este apartado, encontrars ejemplos de aplicaciones de los conceptos de

capitalizacin y amortizacin, con los que relacionars todos los conceptos de la unidad

con situaciones que enfrentars en la vida real.

En las operaciones financieras, acontece un intercambio de dinero en el cual la entrega y

la recuperacin del mismo, ocurren en fechas diferentes, generndose as, un rendimiento

o un costo, lo cual se traduce como un inters en dichas operaciones; lo anterior equivale

dentro de otras causas y efecto, a un premio o castigo, segn las circunstancias de las

partes involucradas.

3.2.1. Calculo de montos de capitalizacin

Capitalizar consiste en hacer productivo un capital actual ya sea que se invierta o se

ubique en un prstamo, para obtener en el futuro un valor mayor.

En referencia a lo anterior, se puede tambin establecer el concepto de descuento, es

decir, poseer anticipadamente un capital, que debera cobrarse en un tiempo futuro,

obtenido as, un valor menor.

La capitalizacin (o el descuento) es una operacin que se puede calcular con inters

simple o con inters compuesto. Observa:

Capitalizacin con inters simple

Ejemplo:

Un banco presta $10,000 pesos durante dos aos a una tasa de inters simple de 40%

anual. Calcular los intereses producidos y el monto total del banco al final de ao dos.

Solucin:

Formulas {

Valor futuro o monto total ?

Intereses producidos ?

Inters simple 0.40

2 aos




Ejemplo:

El banco expresa: te presto $10,000 pesos a un plazo de dos aos y al final de ese tiempo

me pagars $18,000 pesos. Determina el inters simple que te cobrara.

Solucin:

Se tiene que:

Tambin:




Ejemplo:

Si la financiera presta al 40% de inters simple y ofrece un prstamo de $10,000 para

despus pagar $18,000. A qu plazo en meses propone esa operacin?

Solucin:

Se tiene que:

Y que:

En el inters simple puede ocurrir que la tasa de inters adquiera dos o ms valores

durante un ao, tratndose en este caso de una tasa variable. Esta situacin puede

originarse debido a situaciones especiales en el mercado financiero que provoque alguna

importancia a los saldos de los inversionistas a corto plazo. El ejemplo al respecto es:

Un cliente ahorrador cuenta con un saldo de $20,000 al inicio de ao. El banco le hace

saber que en dicho ao, el inters ser:

- 40% a partir del 1 de enero

- 35% a partir del 1 de abril hasta el 31 de diciembre

En estas circunstancias, los intereses son:

- Para el 40%

- Para el 35%

En total, obtendr el ahorrador




Operacin de descuento

El descuento, consiste bsicamente en adelantar la fecha de disposicin o paso de un

capital, de tal manera, que el descuento equivale a la operacin inversa a la

capitalizacin.

En el siguiente diagrama, el descuento implica disminuir el monto de un capital futuro.

Observa:

Capital Actual = Capital Futuro Descuento

En el descuento, al capital futuro se denomina tambin como valor nominal y al valor

actual, como el valor efectivo, de tal maneta que:

;

Ejemplo:

Un banco descuenta una letra (documento) de cambio con valor nominal de $10,000

pesos, aplicando una tasa de inters simple del 40% anual, a 70 das antes de su

vencimiento. Cul es el valor del descuento y cul es el valor efectivo a pagar?

Solucin:

-1 0 1 2 3 4

Capital Futuro

Capital actual

Descuento




Capitalizacin con inters compuesto

En la unidad 2 se deriv la ecuacin de valor futuro un capital actual invertido a

una tasa de inters compuesto a periodos; es decir:

En la cual:

= Factor de capitalizacin, de tal manera que:

Capital futuro= Capital actual factor de capitalizacin, es decir:

Observacin:

Para encontrar el valor de un factor de capitalizacin requerido, existen tablas para

diferentes valores de y de .

Ejemplo:

Cunto se capitalizar dentro de 7 aos, si ahora se invierten $50,000 a un inters del

21% anual?

Solucin:

Si empleamos el factor de capitalizacin,

resulta que:

Ejemplo:

Se realizan las siguientes inversiones a un inters compuesto , es decir:

$1,000 ahora

$3,000 dentro de 3 aos





Cunto se capitalizar el ao 7?

Este caso equivale a una sola inversin en 3 ocasiones.

Solucin:

Lo anterior equivale al siguiente diagrama:

7 6 5 0 1 2 3 4




Ejemplo:

Un plan de inversiones uniformes acontecer durante los periodos de 1 al 4, con un

valor de $3,000 cada una. Cunto se capitalizar en el periodo 5, si el inters es del 10%

anual?

Solucin:

A este problema le corresponde el siguiente diagrama:

El primer paso es acumular o capitalizar los depsitos en el periodo 4 ya que el

factor opera directamente a un valor de (Cuatro depsitos). Despus, el valor

correspondiente, se capitaliza en el periodo 5 con y con el factor .

La frmula para capitalizar una serie es:

[

]

Aplicando la expresin anterior obtenida en la unidad 2, se tiene:

[

]

5 0 1 2 3 4




3.2.2. Fondo de amortizacin

Se enfatiza que las rentas o fondos de amortizacin, tienen la finalidad de amortizar o

pagar un capital presente o actual (un prstamo). Este concepto se cit en el inciso

3.1.2.

Los ejemplos del clculo de fondos de amortizacin que se presentan, revisten dos

aspectos a saber:

Fondos pagaderos al final cada periodo iniciado con el periodo uno (1).

Fondos pagaderos al final de cada periodo, pero iniciando en un periodo diferente

del primero hasta un punto ensimo.

Se aclara que las rentas o fondos de amortizacin se refieren a una serie uniforme de

flujos monetarios (A).

Ejemplo:

Un prstamo de $30,000 pesos deber ser amortizado o pagado en 12 pagos mensuales,

los cuales se efectuaran al final de cada mes, iniciando con el primer mes. La tasa es de

4% de inters compuesto mensual. De qu magnitud resulta cada pago ?

Solucin:

Diagrama:

5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4




En la unidad 2 se dedujo la frmula para hallar un valor uniforme A, a partir de un valor

actual o presente (P), es decir:

[

]

Nota:

La estructura del diagrama inters, permite la aplicacin directa de la frmula para

encontrar a partir de , teniendo como valor de , una cantidad de periodos igual al

horizonte de dicho diagrama .

Ejemplo:

Se solicita un prstamo de $50,000 para amortizarlo en 10 mensualidades, la condicin

de los pagos ser a partir del final del mes 3 hasta el mes 12. La tasa de inters

corresponde al 5% mensual compuesto.

Solucin:

En este ejemplo, podemos suponer dos situaciones:

1. Si la institucin que otorga el crdito, no realiza ningn cargo o costo financiero a

partir del presente hasta el final del mes 2, el problema se convierte en un caso

igual al ejemplo anterior (ejemplo 1), ya que solo bastara ubicar los $50,000 en el

punto 2 y resolver del mismo modo que el ejemplo citado (ejemplo 1) con la

expresin: hallar dado , y .

2. Por otra parte, si quien presta cobra intereses desde ahora, el problema se

resuelve de acuerdo al siguiente diagrama:

5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




Solucin:

El valor de indica el nuevo capital que se tiene que amortizar durante un horizonte de

, es decir:

[

] [

]

Actividad 1. Ensayo

En esta actividad elaborars un ensayo en el cual explicars la diferencia entre

capitalizacin y amortizacin.

1. Una vez que hayas revisado los contenidos de la unidad, identifica los

conceptos de capitalizacin y amortizacin y elabora un ensayo en el que

expliques la diferencia entre ambos conceptos.

2. Guarda tu archivo con la nomenclatura MF_U3_A1_XXYZ, envalo a tu

Facilitador(a) a travs de la seccin de Tareas y espera retroalimentacin.




Actividad 2. Formulario

En esta actividad realizars un formulario de las ecuaciones necesarias para calcular

montos, periodos y tasas de inters de capitalizacin y amortizacin.

1. Una vez que revisaste los contenidos de la Unidad, identifica los principales conceptos que son expuestas en el tema y, a partir de las mismas. Elabora un formulario en un documento de Word.

2. Enva tu archivo a la Base de datos con la siguiente nomenclatura MF_U3_A2_XXYZ.

3. Revisa los trabajos de tus compaeros(as) y comntalos. Recuerda enriquecer tu trabajo a partir de las observaciones que recibas. *Tu archivo no debe pesar ms de 4MB.

Actividad 3. Aplicaciones reales

En esta actividad investigars las aplicaciones reales dela capitalizacin y la

amortizacin, para ello:

1. Investiga en diversas fuentes con autoridad en la materia (libros de texto,

revistas, foros, entre otros) las aplicaciones de la capitalizacin y la

amortizacin.

2. Elabora un documento en el cual plasmes los resultados de tu investigacin.

3. Enva tu documento a la base de datos con la siguiente nomenclatura

MF_U3_A3_XXYZ.

4. Revisa los trabajos de tus compaeros(as) y comntalos. Recuerda

enriquecer tu trabajo a partir de las observaciones que recibas.

*Tu archivo no debe pesar ms de 4MB.




Autoevaluacin:

En este apartado pondrs a prueba los conocimientos adquiridos en la unidad. Lee con atencin el enunciado y elige la respuesta correcta. 1. Un banco presta $6,000 pesos durante tres aos a una tasa de inters simple de

45% anual. Calcular los intereses producidos y el monto total del banco al final del ao tres.

a) I=8,110 F=14,101 b) I=8,200 F=12,100 c) I=8,100 F=14,100 d) I=8,100 F=14,111

2. El banco del problema anterior, expresa: te presto $250,000 pesos a un plazo de

cuatro aos y al final de ese tiempo me pagars $396,000 pesos. Determina el inters simple que te cobrara.

a) b) c) d)

3. Si la financiera presta al 93% de inters simple y ofrece un prstamo de $6,500 para

despus pagar $18,590. A qu plazo en meses propone esa operacin?

a) b) c) d)

4. Un banco descuenta una letra (documento) de cambio con valor nominal de $6,300

pesos, aplicando una tasa de inters simple del 43% anual, a 90 das antes de su vencimiento. Cul es el valor del descuento y cul es el valor efectivo a pagar?

a) b) c) d)

5. Cunto se capitalizar dentro de 3 aos, si ahora se invierten $39,572 a un inters

del 49% anual?

a) b) c) d)




6. Se realizan las siguientes inversiones a un inters compuesto , es decir:

$3,000 ahora


$2,700 dentro de 5 aos Cunto se capitalizaba el ao 7 y en el ao 9?

a) b) c) d)

7. Un prstamo de $70,000 pesos deber ser amortizado o pagado en 5 pagos

mensuales, los cuales se efectuaran al final de cada mes, iniciando con el primer mes. La tasa es de 12% de inters compuesto mensual. De qu magnitud resulta cada pago ?

a) b) c) d)

8. Cunto se capitalizar dentro de 5 aos, si ahora se invierten $50, 000 a un inters

del 10% anual?

a) b) c) d)

9. Se realizan las siguientes inversiones a un inters compuesto , es decir:

$1,000 ahora


$2,500 dentro de 4 aos Cunto se capitalizar el ao 5?

a) 8, 080.32 b) , 080.32 c) 8, 090.32 d) 8, 980.32




10. Un prstamo de $10,000 pesos deber ser amortizado 3 pagos anuales, los cuales se efectuaran al final de cada ao, iniciando con el primer ao. La tasa es de 4% de inters compuesto anual. De qu magnitud resulta cada pago ?

a) b) c) d)

Evidencia de aprendizaje. Ejercicios prcticos

Mediante esta actividad puedes poner en prctica la resolucin de problemas relativos

a:

Capitalizacin con inters simple y compuesto

Amortizacin con inters simple y compuesto

Para ello:

1. Descarga el documento Ejercicios y resuelve lo que se te pide. *Debes leer con atencin el enunciado antes de desarrollar todo el procedimiento y llegar a la solucin.

1. Guarda tu documento con la nomenclatura MF_U3_EA_XXYZ. 2. Envalo a tu facilitador (a) a travs de, portafolio de evidencias y espera su

retroalimentacin.

Autorreflexin

Recuerda que debes realizar un ejercicio de autorreflexin al terminar la autoevaluacin.

Para ello, ingresa al Foro: Preguntas de Autorreflexiny consulta las preguntas que tu

Facilitador(a) haya formulado. Enva tus respuestas mediante la herramienta

Autorreflexiones.




Cierre de la unidad

Felicidades!

Has concluido la unidad 3. Capitalizacin y amortizacin. Con esto, tambin has finalizado

el curso de Matemticas financieras. Muy bien! Ahora posees todas las herramientas que

necesitas para tomar mejores decisiones financieras que permitirn usar el dinero

eficientemente. No olvides aplicar todo lo que has aprendido a la hora de gestionar y

administrar PyMES.

Para saber ms

Con el fin de que refuerces los conocimientos que adquiriste en esta unidad, te sugerimos

que ingreses a las siguientes pginas:

Hiru.com es un portal educativo, que te proporcionar informacin sobre las matemticas

dentro del campo de la economa y finanzas

http://www.hiru.com/matematicas/matematicas-financieras

En la siguiente pgina encontrars informacin y ejemplos de capitalizacin y

amortizacin que te ayudarn en la comprensin de estos temas:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/ipfacadiz/MATES/Est-

Mayores%2025/Hoja%2008%20Apuntes%20Aritmetica%20Mercantil.pdf

aulafacil.com es una pgina de internet con temas que te pueden ayudar en tu formacin

profesional, en la siguiente pgina se encuentra un artculo de las diferencias entre la

capitalizacin simple y compuesta:

http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza5.htm

Fuentes de consulta

Vidaurri Aguirre, H. M.(2008). Matemticas Financieras. Mxico: CengageLearning,

Cuarta edicin.

Daz Mata, A.; Aguilera Gmez, V. M. (1999). Matemticas Financieras. Mxico: Mc Graw

Hill, Tercera Edicin.

Highland, E. H.; Rosenbaum, R.S.(1987).Matemticas Financieras. Mxico: Prentice-Hall

Hispanoamericana, Primera Edicin.

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