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  • Teora de Redes o Grafos

    Area de Estadstica e Investigacion OperativaLicesio J. Rodrguez-Aragon

    Abril 2011

    Introduccion 2Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    Conceptos y Definiciones 5Definiciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Grafos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Tipos de Redes o Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Grafos no Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Otros Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Nucleo de una Red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Niveles en una Red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    Niveles de una Red 15Obtencion de los Niveles de una Red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    Arbol 18Arbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Algoritmo de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Algoritmo de Solin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    Componentes Fuertemente Conexas 22Componente Fuertemente Conexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Fuertemente Conexa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    Circuitos Elementales 25Busqueda de Circuitos Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    Caminos Mnimos 30Busqueda de Caminos Mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Algoritmo de Floyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Algoritmo de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    Caminos Hamiltonianos 41

    1

  • El Problema del Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Teorema de Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Multiplicacion Latina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Caminos Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2

  • Introduccion 2 / 47

    Introduccion

    Los modelos basados en redes o grafos proporcionan soluciones a veces espectaculares a problemas dela mas variada naturaleza.Disciplinas como:

    Economa.

    Ingeniera.

    Sociologa.

    Biologa, etc.

    La presentacion de los resultados tienen la ventaja de ser perfectamente comprensible, incluso parauna persona poco iniciada en las matematicas.

    Recordar el problema de los puentes de Konigsberg resuelto por Euler.

    Ademas, la teora de grafos permite una presentacion visual clara de muchos problemas que admitentambien otro tipo de resoluciones.

    Ejemplos de problemas interesantes que pueden resolverse mediante teora de grafos son:

    Determinar el recorrido de longitud mnima que ha de realizar un brazo robotico en un procesode soldado.

    Calcular el flujo maximo que puede circular por una red de comunicaciones.

    Estudio de la viabilidad de una red vial.

    Calculo de rutas optimas en procesos de distribucion y recogida de mercanca.

    Control de los tiempos de las tareas en que se subdivide un proyecto.

    Licesio J. Rodrguez-Aragon Metodos Cuantitativos Org. Ind. 3 / 47

    3

  • Contenido

    Nos limitaremos a presentar algunas de las tecnicas de esta teora.

    Es importante resaltar que la aplicacion a problemas reales de los algoritmos que vamos a explicar,requiere del uso de ordenadores. Debido a la gran dimension de los grafos que representan problemasreales.

    La notacion y la nomenclatura vara en el uso de los modelos de redes o grafos.

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    4

  • Conceptos y Definiciones 5 / 47

    Definiciones Generales

    1 Llamaremos Vertices o Nodos a un conjunto V con un numero finito o numerable de elementos.

    2 Llamaremos Arcos, U(V ), a un subconjunto de V V que representara parejas ordenadas denodos o vertices.

    Designando mediante numeros los nodos, 1, 2, . . . , n, un arco vendra dado por una pareja ordenada denumeros (i, j). El vertice i es el origen del arco y el vertice j es el extremo. Tambien se dice que i esel predecesor de j y que j es el sucesor de i.

    Ejemplo:

    3 Matriz de Incidencia: Es otra forma de representacion de un grafo V mediante una matriz,n n, con n el cardinal del grafo V y tal que si (i, j) U(V ) el elemento (i, j) de la matriz sera un1; en caso contrario sera un 0.

    Ejemplo:

    4 Red Valorada: En muchos casos cada arista o arco de un grafo tiene asociado un valor cuyosignificado puede ser de distancia, tiempo, coste, capacidad, etc. La matriz de incidencia en ese casosustituye el 1 por el valor que se asocie a cada arista.

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  • Definiciones respecto a Grafos Orientados

    5 Dado un vertice cualquiera i, el conjunto de arcos de la forma (h, i) se denominan ArcosIncidentes Interiores; U(i). El numero de arcos incidentes interiores se denomina Grado Interiordel Vertice i.

    6 Dado un vertice cualquiera i, el conjunto de arcos de la forma (i, j) se denominan ArcosIncidentes Exteriores; U(i+). El numero de arcos incidentes exteriores se denomina Grado Exteriordel Vertice i.

    7 La suma del Grado Interior y el Grado Exterior es el numero de arcos que inciden sobre un nodo yse denominan Grado del Nodo.

    8 Grafo o Red Parcial: La obtenida del grafo o red inicial por supresion de al menos un arco de lamisma.

    9 Subred o Subgrafo: El obtenido por la eliminacion de al menos un nodo de la red o grafo inicial.

    Ejemplo:

    10 Nodos Adyacentes: Aquellos que estan unidos entre s por al menos un arco.

    11 Arcos Adyacentes: Dos arcos (i, j), (h, k) se dice que son adyacentes si j = h o k = i.

    12 Camino: Sucesion de arcos adyacentes.

    13 Dados dos vertices h y k diremos que estan Conectados si al menos existe un camino desde hhasta k.

    14 Diremos que un camino es Simple o Sencillo si no utiliza dos veces ninguno de los arcos que loforman.

    15 Diremos que un camino es Compuesto si utiliza al menos dos veces un mismo arco.

    16 Diremos que un camino es Elemental si no pasa dos veces por ninguno de los vertices que loforman.

    Ejemplo:

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  • Definiciones respecto a Grafos Orientados

    17 Longitud de un camino: es el numero de arcos que lo componen.

    18 Diremos que un camino finito (con un numero finito de arcos y nodos) es un Circuito si losnodos inicial y final coinciden.

    19 Circuito Elemental: Es un circuito que, con excepcion del nodo inicial-final, no pasa dos vecespor ningun otro nodo.

    20 Bucle o Lazo: Es un circuito de longitud 1.

    21 Camino o Circuito Hamiltoniano: Es aquel Camino o Circuito que pasa una sola vez por todoslos Nodos del grafo. Es un Camino o Circuito Elemental que pasa por todos los vertices del grafo.

    22 Camino o Circuito Euleriano: Es aquel Camino o Circuito que pasa una sola vez por todos losArcos del grafo. Es un Camino o Circuito Simple que pasa por todos los arcos del grafo.

    Ejemplo:

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  • Tipos de Redes o Grafos

    23 Reflexiva: Si cada Vertice tiene asociado un bucle.

    24 Simetrica: Si existe el arco (i, j) (j, i).

    25 Antisimetrica: Si existe el arco (i, j) (j, i).

    26 Transitiva: Si la existencia de los arcos (i, j) y (j, k) supone tambien la existencia del arco (i, k).

    27 Completa: Si para dos vertices cualesquiera existe al menos un arco que los une en al menos unode los dos sentidos.

    28 Fuertemente Conexa: Si para todo par de vertices i y j, con i 6= j, existe un ca