rodolfo enrique sosa gómez1 matematicas financieras tecnicas financieras cuantitativas

Rodolfo Enrique Sosa Gómez 1

MATEMATICAS MATEMATICAS FINANCIERASFINANCIERAS

TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS



Las Matemáticas Financieras o Ingeniería Económica tienen como objetivo fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Interés, Tiempo y Tasa.



La Matemática Financiera la podemos asociar con dos símbolos es decir el de los números (#) y el de los pesos ($), ya, que cuando hablamos de Matemáticas automáticamente hacemos relación con los números; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo pesos; de allí la asociación.



Variables financieras:Capital CTiempo tTasa iInterés ICuota RMonto M


VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

NUNCA SE DEBEN SUMAR VALORES EN FECHAS DIFERENTES


INTERESINTERES

ES LO QUE SE PAGA O SE RECIBE POR CIERTA CANTIDAD DE DINERO TOMADA O DADA EN PRESTAMO


INTERES SIMPLEINTERES SIMPLE

Es aquel interes que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo.



Formula general de la tasa de interés:

i = I / C

Si condicionamos esta formula a la expresión de unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuación:

I = i . C . t



Clasificación del interés simple:Interés simple comercial en forma ordinariaInterés simple comercial en forma exactaInterés simple exacto en forma comercialInteres simple exacto en forma ordinaria



Clasificación del interés simple

Interés simple comercial:

360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al trimestre, 30 días al mes

Interés simple exacto:

365 días al año

Tabla o calculadora para las demás equivalencias



Valor futuro a interés simple:Tambien conocido como monto. Se deduce de la suma entre el capital y los intereses que se generan durante determinado período de tiempoM = C + IM = C + ( i . C . t ), luego por factorizaciónM = C ( 1 + i . t )



Conceptode Equivalencia Financiera:

Es la relación de igualdad que se establece entre una o unas deudas y uno o unos pagos en un momento determinado en el tiempo denominado fecha focal (momento de la negociación)



Equidad entre el tiempo y la tasa:- La tasa y el tiempo siempre deben ir

expresadas en la misma unidad de base.

- La tasa es la que condiciona la expresión del tiempo.



Series uniformes a interés simple:

Series vencidas:

Valor presente

Valor futuro

Series anticipadas

Valor presente

Valor futuro

Valor futuro

0 1 2 3 4 5 6Valor presente

Valor futuro

0 1 2 3 4 5 6Valor presente


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOConcepto:Es el interés que se genera sobre intereses.Los intereses que se generan en el primer período de capitalización se convierten en capirtal para generar mas intereses para el segundo periódo de capitalización y así sucesivamente.


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO

Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto

Capital 100.000$ Tasa 10% AnualTiempo 5 Años

Periodo Diferenciaen años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses

0 0 0 0 0 01 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 02 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.0003 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.1004 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.4105 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051

Interés simple Interés compuesto



Periodo Int. Sim. Int. Com.en años Monto Monto

00,5 105.000 104.8811 110.000 110.0002 120.000 121.0003 130.000 133.1004 140.000 146.4105 150.000 161.051

Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto



tM = C ( 1 + i )

FORMULA GENERALFORMULA GENERAL



Capital o valor presente: VATasa: TASAMonto o valor futuro: VFTiempo: NPERCuota: PAGO

EXCELEXCEL



x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fecha

focal

Regla comercial:



x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fecha

focal

Regla de saldos insolutos:



TASAS:

TASA NOMIAL

TASA EFECTIVA

TASAS EQUIVALENTES

TASAS ANTICIPADAS

TASAS VENCIDAS



Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:

Tasa nominal Tasa efectivaPeriodicidad PeriodicidadModalidad Modalidad

Tasa efectiva 0,0000% Tasa nominal 0,0000%

Anual A Vencida V

Semestral S Anticipada A

Cuatrimestral C Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa Gómez

Trimestral T Peguntas o comentarios:

Bimestral B e-mail: [email protected]

Mensual M Teléfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258

Diaria D Condominio Cañaveral Casa 135. Santa Marta.

Periodicidad: Modalidad

MANUAL DE INGENIERÍA ECONÓMICACONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS

SIMULADORPara obtener la tasa efectiva Para obtener la tasa nominal



Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICATABLA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉSPOR: RODOLFO SOSA GÓMEZ

J = i p . m i E.A. i p =

COMPLEMENTOS: Tasa de Interés Continua

iE.A. ó i p = Tasa efectiva o periódica / 100

J = Tasa nominal% / 100 i E.A.= e - 1

m = Número de periodos contenidos en un año

e = 2,71828182846

NOMINAL ANTICIPADA NOMINAL ANTICIPADA

PERIODICA NOMINAL VENCIDA NOMINAL VENCIDA PERIODICA

O R I G E NC O N O C I E N D O L A T A S A:

EFECTIVA ANUAL

D E S T I N OP A R A O B T E N E R L A T A S A:

J = 1 + i E.A.

1 / m

- 1 . m

J =

1 + i E.A.

1 / m

- 1

. m

1 + i E.A.

1 / m

- 11 +

J

m

m

i E.A. = - 1 1 +

J

m

J

m1 -

1 + i E.A. =

m

- 1

J

1 -

i VENCIDA = i ANTICIPADA

i ANTICIPADA

1 +i ANTICIPADA =

i VENCIDA

i VENCIDA

J


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOFORMULAS

MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA B = Saldo insoluto C.P.Eq. = Costo Periódico Equivalente

FORMULAS FINANCIERAS: Pc = Precio de contado R.B.C. = Relación Beneficio Costo

Rodolfo Sosa Gómez Ci = Cuota inicial T.I.R. = Tasa Interna de Retorno

C = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad RealM = Monto o Valor Futuro g = gradiente en $ o %I = Interés V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflacióni = Tasa de interés V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluaciónt = Tiempo: número de períodos, pagos o cuotas V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangeram = Periódos contenidos en un año V.P.Eq. = Valor Periódico Equivalente i = Tasa TotalR = Valor del pago o cuota I.P.Eq. = Ingreso Periódico Equivalente

INTERÉS SIMPLE: VENTAS A PLAZOS: 2 . m . I

1 i = 2 M = C + I 3 I = i.C.t 4 M = C ( 1 + i . t ) 5 i = 6 I = ( R . t ) - B 7 B = Pc - CiB ( t + 1 ) - I ( t - 1)

SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE 2t + ti . ( t - 1 ) 2t + ti . ( t + 1 )

R . R .2t + ti . ( t - 1 ) 2 2t + ti . ( t + 1 ) 2

8 M = R . 9 C = 10 M = R . 11 C = 2 2

INTERÉS COMPUESTO t - t Ln ( M / C ) Log ( M / C ) 1 / t

12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t = 16 i = ( M / C ) - 1Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i )

SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO t - t( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R

17 M = R 18 C = R 19 Perpetuidad: C = i i i

SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO t - t( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R

20 M = R ( 1 + i ) 21 C = R ( 1 + i ) 22 Perpetuidad: C = R +i i i

También puede ser: t + 1 - ( t - 1 )( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i )

23 M = R -1 24 C = R 1 +i i

GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTECálculo de la cuota uniforme: Infinito: Cálculo de una cuota:

1 t R1 g25 R = R1 + / - g . 26 C = + 27 Cuota = R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )

t i ii ( 1 + i ) - 1

( 1 + ti ) ( 1 + ti )

I

C

- 2 t

r

T


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOFORMULAS

GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTESi g es diferente de i: Si g es igual a i:

t t t - t( 1 + i ) - ( 1 + g ) R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1 R1. t

28 C = R1. 29 C = 30 C = t

( i - g ) . ( 1 + i )

t t t t( 1 + i ) - ( 1 + g ) t R1. ( 1 + g ) - ( 1 + i ) t - 1

31 M = R1. ( 1 + i ) 32 M = 33 M = R1 . t . ( 1 + i ) t

( i - g ) . ( 1 + i )

Infinito, si i es mayor que g: Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:R1 t - 1

34 C = 35 Cuota = R1 . ( 1 + / - g )i - g

GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE t t t t

( 1 + i ) - ( 1 - g ) ( 1 + i ) - ( 1 - g )36 C = R1. 37 M = R1.

t( i + g ) . ( 1 + i )

EVALUACIÓN DE PROYECTOS:V.P.N.

38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. = - t 1 - ( 1 + i )

V.P.I. V.P.E.41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i

- t - t 1 - ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )

43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.i i Resultado ideal: R.B.C. > 1

Nota:V.P.N. . ( i - i ) V.P.N. . ( i - i ) i Para V.P.N. > 0

44 T.I.R. = i - 45 T.I.R. = i + i > i V.P.N. - V.P.N. V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0

Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas:i - F 1 + i Nota:

46 i = 47 i = ( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1 48 i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49 i = 1 i > i1 + F 1 + i

g - i

1 + i

( i + g )

g - i

t

22

2 2 1

2 121

1 2 1

1 2

21 1

22 212

r r T 1 2 T2

1

1 2


INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOINFLACION - I.P.C.

DEVALUACION

TASAS COMBINADAS

TASAS DEFLACTADAS

D.T.F.

T.C.C.

T.B.S.

LIBOR

PRIME RATE

TMAR = T.I.O + Spreads


ANUALIDADESANUALIDADES

VENCIDAS

ANTICIPADAS

PERPETUAS

DIFERIDAS

PERPETUAS DIFERIDAS



Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10



Anualidad de 5 periodos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10

Anualidad diferida

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10



Anualidad perpetua

0 1 2 3 4 5

10 10 10 10 10

Anualidad perpetua diferida

0 1 2 3 4 5 6 7 8

10 10 10 10 10


GRADIENTESGRADIENTES

LINEALES O ARITMETICAS:

CRECIENTES Y DECRECIENTES

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

CALCULO DE CUOTA

GRADIENTE DIFERIDA

GRADIENTE PERPETUA

GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA



EXPONENCIALES O GEOMETRICAS

CRECIENTES Y DECRECIENTES

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

CALCULO DE CUOTA

GRADIENTE DIFERIDA

GRADIENTE PERPETUA

GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA



16001400

12001000

0 1 2 3 4

1000950

900850

0 1 2 3 4

Gradiente lineal creciente

Gradiente lineal decreciente


GRADIENTESGRADIENTESGradiente exponencial creciente

Gradiente exponencial decreciente

1.331,001.210,00

1.100,001.000,00

0 1 2 3 4

1000950

902,5857,38

0 1 2 3 4


GRADIENTESGRADIENTESR1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)g (Gradiente en $) g (Gradiente en $)i % (Tasa) i % (Tasa)n (Tiempo) n (Tiempo)Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0!V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x #¡DIV/0!V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x #¡DIV/0!CUOTA No. 24 CUOTA No.VALOR 0,00 VALOR 0,00INFINITO 0,00

R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)g (Gradiente en %) g (Gradiente en %)i % (Tasa) i % (Tasa)n (Tiempo) n (Tiempo)V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00CUOTA No. CUOTA No.VALOR 0,00 VALOR 0,00INFINITO Si i > g 0,00

GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICOCRECIENTE DECRECIENTE

GRADIENTE LINEAL O ARITMETICOCRECIENTE DECRECIENTE


EVALUACIONES EVALUACIONES FINANCIERASFINANCIERAS

FLUJO DE CAJA

FLUJO DE CAJA NETO

V.P.N.

T.I.R.


U.V.R.U.V.R.

t / d UVRt = UVR 15 * ( 1 + i )


U.V.R.U.V.R.

Del 31 de Julio al 5 de Agosto:El DANE pública los resultados de la inflación del mes deJulio de 2002Del 6 de Agosto al 15 de Agosto:El Banco de la Republica le informa los valores de la UVRque regirán entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.El sistema financiero actualiza sus bases de datos15 de Agosto:U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anteriorDel 16 de Agosto al 15 de Septiembre:Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre

Procedimiento para el calculo de la U.V.R.


U.V.R.U.V.R.- UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVRDel día t del período de calculo.-UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVRel día 15 de cada mes.- i = Variación mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes de inicio del período de calculo-t = Número de días calendario transcurridos desde el inicio de un período de calculo hasta el día de calculo de la UVR.Por lo tanto, t tendrá valores entre 1 y 31 de acuerdo con el número de días calendario del respectivo período de calculo.- d = Número de días calendario del respectivo período de calculo


U.V.R.U.V.R.VALORES

VALOR DE LA UVR 127,9002FECHA DE REGISTRO 16-Nov-02 VECES QUE SE PAGO EL CREDITO 3,35TASA DE INFLACION 6,00% SALDO EN PESOS MAS ALTO 25.561.151,08TASA DE INFLACION MENSUAL 0,49% MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO 66TASA DE INTERES E.A. 12,00% FECHA DEL SALDO MAS ALTO 18-Abr-08TASA DE INTERES MENSUAL 0,95% INTERESES PAGADOS 35.740.735,91VALOR PRESTAMO O DEUDA 23.000.000 CAPITAL PAGADO 41.245.432,84TIEMPO EN AÑOS 15 TOTAL PAGADO 76.986.168,74TIEMPO EN MESES 180

PERI

ODO

FECHA VALOR UVR CUOTA EN

UVR

ABONO A CAPITAL EN

UVR

INTERESES

EN UVR

SALDO EN UVR CUOTA EN

PESOS

ABONO A CAPITAL EN

PESOS

INTERESES EN

PESOS

SALDO EN

PESOS0 16-Nov-02 127,9002 179.827,7094 0,00 0,00 0,00 23.000.000,001 16-Dic-02 128,5228 2.087,7769 381,4290 1.706,3479 179.446,2804 268.326,86 49.022,31 219.304,54 23.062.931,352 15-Ene-03 129,1484 2.087,7769 385,0483 1.702,7286 179.061,2320 269.632,95 49.728,36 219.904,59 23.125.462,983 14-Feb-03 129,7770 2.087,7769 388,7020 1.699,0750 178.672,5300 270.945,40 50.444,57 220.500,83 23.187.582,764 16-Mar-03 130,4087 2.087,7769 392,3903 1.695,3866 178.280,1397 272.264,24 51.171,10 221.093,14 23.249.278,395 15-Abr-03 131,0435 2.087,7769 396,1136 1.691,6633 177.884,0261 273.589,50 51.908,10 221.681,41 23.310.537,336 15-May-03 131,6813 2.087,7769 399,8722 1.687,9047 177.484,1539 274.921,21 52.655,70 222.265,51 23.371.346,857 14-Jun-03 132,3223 2.087,7769 403,6666 1.684,1104 177.080,4873 276.259,41 53.414,08 222.845,33 23.431.693,988 14-Jul-03 132,9664 2.087,7769 407,4969 1.680,2801 176.672,9905 277.604,11 54.183,38 223.420,74 23.491.565,569 13-Ago-03 133,6136 2.087,7769 411,3635 1.676,4134 176.261,6270 278.955,37 54.963,75 223.991,61 23.550.948,1910 12-Sep-03 134,2640 2.087,7769 415,2669 1.672,5101 175.846,3601 280.313,19 55.755,37 224.557,82 23.609.828,2511 12-Oct-03 134,9175 2.087,7769 419,2072 1.668,5697 175.427,1529 281.677,63 56.558,39 225.119,24 23.668.191,8912 11-Nov-03 135,5742 2.087,7769 423,1850 1.664,5919 175.003,9678 283.048,71 57.372,97 225.675,74 23.726.025,0413 11-Dic-03 136,2341 2.087,7769 427,2005 1.660,5764 174.576,7673 284.426,47 58.199,29 226.227,18 23.783.313,3714 10-Ene-04 136,8973 2.087,7769 431,2541 1.656,5228 174.145,5132 285.810,93 59.037,51 226.773,42 23.840.042,3515 9-Feb-04 137,5636 2.087,7769 435,3462 1.652,4307 173.710,1670 287.202,13 59.887,80 227.314,33 23.896.197,16

DATOS

TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R. TABLA DE AMORTIZACION EN PESOSPAGO

RESUMEN DEL CREDITO


U.V.R.U.V.R.Curva de Amortización de Créditos Hipotecarios

-5.000.000

0

5.000.000

10.000.000

15.000.000

20.000.000

25.000.000

30.000.000

Periodos (Cuotas mensuales)

$


MATEMATICAS FINANCIERAS

TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS

FIN DE LA PRESENTACION

RODOLFO SOSA GOMEZ

rodolfo enrique sosa gómez1 matematicas financieras tecnicas financieras cuantitativas

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