Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Transformada Zcb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-4-02.pdf ·

  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasMatematicas Avanzadas para Ingeniera:Transformada ZDepartamento de MatematicasMA3002
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasTransformada zEn lo siguiente, para representar sucesiones utilizaremos lanotacion x(n) en lugar de {xn}; x(i) representara el valor deltermino i-esimo de la sucesion. Para nostros, las sucesionesrepresentaran senales ideales cuyo valor exacto en el tiempot = n es conocido. Una senal o sucesion se dice causal si todoslos valores anteriores al instante 0 son cero; es decir, six(n) = 0 para n < 0. Para una sucesion x(n) definiremos latransformada Z unilateral de x(n) como la serieZ {x(n)} =n=0x(n)zn = x(0)+x(1) z1+x(2) z2+x(3) z3+ Para simplificar la notacion, representaremos a las sucesionespor letras minusculas, como x(n), y a su transformada Z larepresentaremos simplemente como la letra mayusculacorrespondiente aplicada a la variable compleja z . AsZ {x(n)} = X (z), Z {y(n)} = Y (z), Z {h(n)} = H(z), etc
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasEjemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:(n) : (0) = 1, (1) = 0, (2) = 0, (3) = 0, . . .determine su transformada z .11 0 1 2 3 4 5(n)(n 3)SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1). Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, (n m), es:(n m) zm, |z | > 0
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasEjemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:(n) : (0) = 1, (1) = 0, (2) = 0, (3) = 0, . . .determine su transformada z .11 0 1 2 3 4 5(n)(n 3)SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1).Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, (n m), es:(n m) zm, |z | > 0
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasEjemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:(n) : (0) = 1, (1) = 0, (2) = 0, (3) = 0, . . .determine su transformada z .11 0 1 2 3 4 5(n)(n 3)SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1). Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, (n m), es:(n m) zm, |z | > 0
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasEjemplo 2Determine la transformada Z de una sucesion cuyos unicosvalores diferentes de cero son:x(0) = 1.1, x(2) = 1.0, x(4) = 0.5111 0 1 2 3 4 5 6 7x(n)SolucionLos instantes donde no es cero da las potencias negativas queaparecen en X (z) mientras que los valores son los coeficientes:X (z) = 1.1 1.0 z2 + 0.5 z4 = 1.1 z4 1.0 z2 + 0.5z4
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasEjemplo 2Determine la transformada Z de una sucesion cuyos unicosvalores diferentes de cero son:x(0) = 1.1, x(2) = 1.0, x(4) = 0.5111 0 1 2 3 4 5 6 7x(n)SolucionLos instantes donde no es cero da las potencias negativas queaparecen en X (z) mientras que los valores son los coeficientes:X (z) = 1.1 1.0 z2 + 0.5 z4 = 1.1 z4 1.0 z2 + 0.5z4
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasEjemplo 3Determine la transformada Z de una sucesion geometrica de laforma an u(n)0 < a < 111 0 1 2 3 4 5 6 7a > 1SolucionDirectamente de la definicion:X (z) =n=0an zn =n=0(az)n=zz a, para |z | > |a|
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  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasEjemplo 3 (resumen)an u(n) zz a, |z | > |a|Region de convergenciaRegion de divergenciaa, polo0, cero
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasLinealidadLa transformada Z cumple la propiedad de linealidad: Si x(n) yy(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n enellas):Z {a x(n) + b y(n)} = a Z {x(n)}+ b Z {y(n)}Ejemplo 4Tomando la transformada de la sucesion geometrica paraa = e i tenemos:Z{en i u(n)}= Z{(e i)nu(n)}=zz e i, |z | > 1Como sen( n) = 12 i ei n 12 i ei n as:Z {sen( n) u(n)} =12 i zz ei12 i zz e+i=z sen()z2 2 z cos() + 1
  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasLinealidadLa transformada Z cumple la propiedad de linealidad: Si x(n) yy(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n enellas):Z {a x(n) + b y(n)} = a Z {x(n)}+ b Z {y(n)}Ejemplo 4Tomando la transformada de la sucesion geometrica paraa = e i tenemos:Z{en i u(n)}= Z{(e i)nu(n)}=zz e i, |z | > 1Como sen( n) = 12 i ei n 12 i ei n as:Z {sen( n) u(n)} =12 i zz ei12 i zz e+i=z sen()z2 2 z cos() + 1
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  • MatematicasAvanzadasparaIngeniera:TransformadaZDepartamentodeMatematicasX (z)Z {an u(n)}LinealidadAtrasoAdelantoConvolucionZ {n x(n)}Z {an x(n)}Z{nm=0 x(n)}Valores dex(n)SemiperiodicaReferenciasEjemplo 5Determine la transformada Z de la senal geometrica truncada:x(n) ={an para 0 n no0 para no + 1 n
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