OPTICA FISICA IProblemas resueltosFernando Carreno y Miguel AntonFacultad de Optica y OptometraUniversidad Complutense de MadridSeptiembre 2014
Fernando Carreno y Miguel Angel AntonISBN: 978-84-617-1291-9
PROLOGOEste libro, destinado a los alumnos de grados tecnicos, estadividido en tres Temas:Tema 1. Movimiento ondulatorio.Tema 2. El campo electromagnetico.Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia.Esta estructurado como sigue:Cada Tema tiene introduccion teorica que se ajusta a loscriterios de libros habitualmenteempleados en la ensenanza de laoptica como por ejemplo el de E. Hetch Optica. Se empleael sistemainternacional de unidades.Seccion de problemas resueltos con abundantes gracos queilustran las situaciones experi-mentales consideradas.Seccion de problemas propuestos, en los que se indican lassoluciones numericas e ilustracionesgracas de las situacionesexperimentales consideradas.El enunciado de los problemas se efectua de modo que sudesarrollo siga procedimientos logicosy que permitan al lectoradivinar las conexiones entre los diferentes apartados. Por otroladohay continuas referencias entre los problemas de los diferentesTemas, en el sentido de que se haninterconexionado los mismos paradarle unidad conceptual. En cualquier caso, en la resolucion sehaprocurado desvelar las estrategias de pensamiento que permitenllegar a las soluciones.Ciertos ejercicios son clasicos y sirven para ejercitar losconceptos elementales involucrados, ascomo la estimacion de ordenesde magnitud de las variables tpicas: longitudes de onda,tamanos,trazados opticos, etc. Hemos incorporado una amplia gama delo que podramos denominarejercicios contextuales: en ellos seplantean situaciones realistas que implican la introduccionaproblemas de otras disciplinas. Los ejercicios contextualesrequieren un esfuerzo de pensamientoanadido e involucran laaplicacion de conocimientos globales, no solo de la optica sinotambiende otros campos de conocimiento. Asimismo permiten alcanzarobjetivos importantes y a nuestroentender desatendidos en lostextos tradicionales:Introduce estrategias de pensamiento y resolucion deproblemas.Permiten la conexion con los contenidos de otras asignaturas,favoreciendo la vision deconjunto de los diferentes contenidos dela disciplina. Esto es mas acorde con la formaen que se produce elconocimiento cientco.i
iiConecta los aspectos basicos de la asignatura o disciplina conlos productos tecnologicosavanzados, instrumentacion optica de muyvariados nes y procesos naturales. Se evitara aslacompartimentacion de conocimientos habitual que, pensamos,imposibilita una necesariavision de conjunto.En esta nueva edicion hemos corregido erratas que nos han hechollegar diferentes personas alas que manifestamos nuestroagradecimiento. Finalmente, agradecemos por anticipado las crticasysugerencias que nos hagan llegar los lectores.Los autores.Madrid, Septiembre 2014.
Contenidos1 Movimiento Ondulatorio 1Ecuacion de ondas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Polarizacion de las ondas. Promedios temporales . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3Introduccion al analisis de Fourier .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 El campo electromagnetico 29Ondas electromagneticas . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29Energa transportada por las ondas . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 303 Interaccion de la radiacion con la materia 59Teora clasica dela radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 59Procesos de esparcimiento y absorcion . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Reexion y refraccionen medios isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 65Medios anisotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Medios conductores . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69Bibliografa 147iii
TEMA 1Movimiento OndulatorioEcuacion de ondasCuando una magnitud fsica, M , es perturbada con respecto a suvalor en condiciones de equilibrio,y esa perturbacion se traslada aotras regiones del espacio al cabo de un cierto tiempo, decimosquese ha producido un movimiento ondulatorio.La ecuacion que describe la propagacion de la perturbacion sedenomina ecuacion de ondas.Esta ecuacion se obtiene de principiosbasicos: as por ejemplo la ecuacion de ondas en una cuerdaseobtiene a partir de la segunda ley de Newton; si consideramos lasondas que se propagan en unuido, la ecuacion de ondas se obtiene apartir de las ecuaciones de movimiento de tal uido, etc…Si la magnitud perturbada es escalar, hablaremos de ondasescalares, mientras que si lamagnitud perturbada tiene caractervectorial hablaremos de ondas vectoriales: un ejemplo delprimertipo seran las ondas en una cuerda o las variaciones de presion enun uido, en tanto queun ejemplo del segundo caso seran los camposelectromagneticos.Consideremos en primer lugar el caso de ondas escalares que sepropagan en la direccion X.La ecuacion de ondas es una ecuaciondiferencial en derivadas parciales para la magnitud M . Alo largodel presente libro vamos a considerar solamente aquellos casos enlos que la ecuacion deondas es lineal : en estos casostendremos2Mx2 1v22Mt2= 0, (I-1)donde v es la velocidad de propagacion de las ondasconsideradas. En el caso de considerarfenomenos ondulatorioslineales se verica el denominado principio de superposicion.Puede demostrarse que las soluciones mas generales de laecuacion (I-1) son de la formaM(x, t) = f(x vt) + g(x+ vt), (I-2)donde f y g son funciones arbitrarias que describen lapropagacion de ondas progresivas que viajanen las direcciones +X yX respectivamente.1
2 Problemas de Optica Fsica IComo caso de especial interes cabe mencionar las solucionesarmonicas del tipoM(x, t) = M0 cos(kx t+ 0), (I-3)donde k = 2 es el numero de ondas y =2T = 2 es la frecuenciaangular. A la variable M0 sela denomina amplitud de la onda. Asimismo a la magnitud se ladenomina longitud de onda operiodo espacial, y a T se le denominaperiodo temporal. A la inversa del periodo se la denominafrecuencia( = 1T ). En la ecuacion (I-3) a la variable 0 se la llama faseinicial. El interes delas funciones trigonometricas para expresarmovimientos ondulatorios estriba en su sencillez y suspropiedadescclicas. Justamente el teorema de Fourier, que veremos brevementemas adelante,permite expresar cualquier perturbacion en terminos deestas funciones elementales.A la variable = kx t + 0 se la denomina fase de la onda.Sustituyendo la expresion(I-3) en (I-1) vemos que ha desatisfacerse la siguiente relacion= kv, o sea =v. (I-4)Al lugar geometrico de los puntos del espacio que verica que lafase de la onda es constante sele denomina frente de ondas. En elcaso de ondas como la indicada en (I-3), el frente de ondas esunplano, de ah que se diga de estas ondas que son planas. Noteseadicionalmente que si en (I-3)la variable M0 no depende de lavariable espacial o temporal, diremos que se trata de una ondaplanahomogenea, por contraposicion al caso en el que M0 =M0(t, x) (ondainhomogenea).Cuando la direccion en la que se produce la perturbacion y ladireccion en la que se propagason coincidentes hablaremos de ondaslongitudinales mientras que cuando ambas direccionessonperpendiculares entre s hablaremos de ondas transversales.En el caso de que la magnitud perturbada tenga caractervectorial, ~M = (Mx,My,Mz), laecuacion de ondas vendra dada por2Mxx21v22Mxt2= 0,2Myy21v22Myt2= 0, (I-5)2Mzz21v22Mzt2= 0,cuando el sistema de coordenadas elegidas es cartesiano y losvectores unitarios son ux, uy y uz. Laecuacion (I-5) puedeescribirse de forma compacta en terminos del operador diferenciallaplacianocomo2 ~M 1v22 ~Mt2= ~0. (I-6)En el caso de ondas tridimensionales las soluciones armonicastendran la forma~M (~r, t) = ~M0 cos(~k ~r t+ 0), (I-7)donde ~k = (kx, ky, kz) =2 (cos()ux + cos()uy + cos()uz) es elvector de propagacion, , yson los cosenos directores y ~r = (x, y, z) determina lascoordenadas del punto de observacion. Eneste caso el frente deondas en un instante de tiempo dado, t0, es un plano cuya ecuacionesta dadaporkxx+ kyy + kzz = cte. (I-8)
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 3Finalmente cabe considerar otras soluciones mas generales de laecuacion (I-5) que son lasdenominadas ondas esfericas cuyaexpresion viene dada por~M(~r, t) =~M0rcos(kr t+ 0), (I-9)donde r = |~r|. En este caso los frentes de ondas son esferas yla amplitud de la perturbaciondisminuye inversamente con ladistancia, cosa que no ocurre en las ondas planas.Polarizacion de las ondas. Promedios temporalesEn el caso de las ondas transversales se suele hablar de lanocion de polarizacion. Para ellotengamos en cuenta que si losvectores ~k y ~M0 no son colineales, entonces determinan un planoquese denomina plano de polarizacion. Por simplicidad consideremosdos ondas planas que se propaganen la direccion del eje Y , cuyasamplitudes son M1 y M2, tienen la misma frecuencia y vibranendirecciones perpendiculares entre s, o seaMx(~r, t) = M1 cos(ky t+ 1),y (I-10)Mz(~r, t) = M2 cos(ky t+ 2),donde 1 y 2 son constantes (independientes del tiempo). La ondaresultante sera la suma deambas ondas y tendra la misma frecuencia,si bien el plano de polarizacion de la onda resultantepuede ser joo cambiante. En efecto, si considaremos una posicion ja del espacioy = y0 yanalizamos como evoluciona la resultante en funcion deltiempo se tendran los siguientes casos1:1 = 2 + 2m con m un numero entero: el vector resultante en cadainstante de tiempo seencuentra contenido en una lnea recta queforma un angulo = tan1(M2M1)con el eje X. Alangulo se le denomina azimut. En este caso se dice que la ondaresultante esta linealmentepolarizada.1 = 2+(2m+1) con m un numero entero: el vector resultante encada instante de tiempose encuentra contenido en una lnea recta queforma un angulo = tan1(M2M1)con eleje X. Al angulo se le denomina azimut. En este caso se dice quela onda resultante estalinealmente polarizada.1 = 2+(2m+1)2 , con m un numero entero yM1 =M2: en este caso elvector resultante encada instante de tiempo describe unacircunferencia. Diremos entonces que la onda resultanteestacircularmente polarizada. Si la recorre en sentido horario diremosque es dextrogiray si lo hace en sentido antihorario diremos que eslevogira.En el resto de los casos diremos que se trata de ondaselpticamente polarizadas. De nuevoel sentido de recorrido lasdistinguira entre dextrogira y levogira.Queda un ultimo caso en el que 1 y 2 cambian con el tiempo demanera completamenteazarosa, de modo que el plano de polarizacioncambiara tambien al azar, en cuyo caso diremos quela onda estadespolarizada.1Para convencerse de ello basta escribir la ecuacion (I-10) enforma parametrica.
4 Problemas de Optica Fsica IPara detectar las ondas cuya frecuencia es elevada, piensese porejemplo las frecuencias opticasdel orden de 1015 Hz, se usansensores que no responden instantaneamente a la perturbacion,demanera que realmente proporcionan un promedio o, en otraspalabras, integran la senal durante uncierto intervalo de tiempo:as por ejemplo si se emplea una pelcula fotograca para registrarunaescena debemos determinar la exposicion adecuada; si empleamosuna fotocelula para determinarla cantidad de luz, el tiempo quetarda en cambiar la fotocelula es del orden de 109 segundos, queessensiblemente superior al periodo temporal de la la ondaluminosa.Si llamamos T al tiempo caracterstico de cambio de una onda,entonces el promedio de la senalU(t) se determina medianteU = 1Tt+T/2tT/2U(t) dt, (I-11)donde U(t) estara asociada a la magnitud perturbada (energa porejemplo). Puede ocurrir que elpromedio dependa de Texplcitamente.Introduccion al analisis de FourierLas ondas armonicas puras como la expresada por la ecuacion(I-3) no tienen existencia fsica.En general las perturbacionesondulatorias tienen una duracion temporal nita y,equivalentemente,estan acotadas espacialmente. Sin embargo podemosanalizar los fenomenos ondulatorios con ondasarmonicas y, teniendoen cuenta el principio de superposicion, podremos conocer losfenomenosondulatorios reales si somos capaces de expresar estos enterminos de funciones armonicas. Elteorema de Fourier nos permiterealizar este estudio.En la version sencilla el teorema de Fourier se enuncia comosigue: dada una funcion f quedepende de la variable x y cuyoperiodo de repeticion es 0, puede descomponerse esta funcioncomouna suma de funciones armonicas de diferentes amplitudes yperiodos que son multiplos de 0. Laecuacion que traduce esteenunciado es como sigue:f(x) =A02+j=1Aj cos(j20x)+j=1Bj sin(j20x), (I-12)donde los coecientes se determinan a partir de la siguienteecuacionAj =2000f(x) cos(j20x), (j = 0, 1, …) ,y (I-13)Bj =2000f(x) sin(j20x), (j = 1, …) .Notese que f0 =20es lo que se denomina frecuencia fundamental. El termino A0 esun fondoconstante que da una idea del valor medio de la senal en unperiodo. Lo que nos indica la ecuacion(I-13) es sencillamente quela senal f(x) puede descomponerse como suma de senales armonicasqueson multiplos enteros de la frecuencia fundamental junto con elfondo. Al conjunto de frecuenciasinvolucradas se le denominacontenido espectral de la senal (este conjunto puede ser nito oinnitonumerable).La demostracion del teorema de Fourier se puede encontrar entextos de Analisis Matematico,donde se analiza las condiciones decontinuidad y convergencia de la serie de Fourier. Departicular
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 5interes resulta el elegir adecuadamente el sistema de ejes paracomputar los coecientes Aj y Bj,dependiendo de la paridad de lafuncion.Es preciso notar que en la ecuacion (I-13) la variable x puedeser una coordenada espacial ouna variable temporal, dependiendo deltipo de senal que estemos analizando.Existe otra version del teorema de Fourier que sirve paraanalizar senales que tienen un comienzoy un nal, o sea, estanacotadas. En este caso se habla de la transformada de Fourier de lafuncionf(x) que viene dada porF() =f(x)eixdx. (I-14)Puede demostrarse que si se verica que |f(x)|
6 Problemas de Optica Fsica IPROBLEMAS RESUELTOSEcuacion de ondas1.1 La ecuacion de una cierta onda esy(x, t) = 10 sin [2 (2x 100t)] , (1.1)donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcular:La amplitud.A la vista de la ecuacion (1.1) deducimos que laamplitud de la onda es 10 metros, sibien no se especica a que tipode perturbacion esta asociada dicha expresion.La longitud de onda.De la ecuacion (1.1) vemos que el numero deondas es k = 22 = 2 (m1), por lo quela longitud de onda es = 0.5 m.La frecuencia.A partir de la ecuacion (1.1) vemos que lafrecuencia de la onda es = 100 Hz. Por lotanto la frecuenciaangular de la onda es = 200 rad s1.La velocidad de propagacion de la onda.Es bien conocido que laexpresion (1.1) es la de una onda plana, por lo que la velocidaddefase vendra dada por vf =k = 50 ms1.Dibujar la onda en un instante de tiempo dado mostrando lalongitud deonda.En la Figura 1.1 se muestra un tramo de la onda apartir de x = 0 en el instantet = 0 segundos. Asimismo se hasenalado la distancia que equivale al periodo espacial olongitud deonda.Considerar que la expresion (1.1) corresponde a las ondastransversalesproducidas en una cuerda uniforme de masa M y longitudL muy grande.Determinar la velocidad instantanea de desplazamientode un punto de lacuerda.En este caso la magnitud y(x, t) de laecuacion (1.1) representa el desplazamientotransversal de un puntode la cuerda cuya coordenada es x en funcion del tiempo.De estemodo la velocidad con la que se desplaza transversalmente ese puntose puedeestablecer comovy =y(x, t)t= 2000 cos [2 (2x 100t)] , (ms1). (1.2)Siguiendo con el caso del enunciado anterior determinar laenerga cineticainstantanea de un punto de la cuerda.Consideremos un instante de tiempo t = t0 antes de que al puntode coordenada x0 lleguela perturbacion, esto es, la cuerda estasujeta por un extremo y tensa de modo que ningunpunto de la cuerdase mueve. En esta situacion de equilibrio, la energa potencial deuntramo de cuerda de anchura x L es igual en todos los tramos decuerda. Aliniciarse en el extremo movil un movimiento respecto a lasituacion de equilibrio, los
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 70 1 2 3 4x(m)y(x,t=0)(m)5 6-10-8-6-4-20246810lFigura 1.1: Representacion en el instante de tiempo t = 0 de untramo de la onda (perl espacial) dadapor la expresion (1.1).diferentes tramos de cuerda se desplazan respecto a su situacionde equilibrio de modoque instantaneamente los tramos de cuerda sedesplazaran respecto a su situacion deequilibrio de acuerdo con laexpresion (1.1) y, como hemos visto en el apartado anterior,eltramo de anchura x adquirira una velocidad dada por (1.2). De estemodo la energacinetica del tramo de cuerda considerado seraExc =12m(x)[y(x0, t)t]2, (1.3)donde m(x) = xML . Si tenemos en cuenta lo anterior la expresion(1.3) puedereescribirse comoExc =12xML4 1062 cos2 [2 (2×0 100t)] , (J). (1.4)Notese de paso que mientras que el desplazamiento y la velocidadinstantanea de untramo de cuerda cambian con el tiempo confrecuencia angular , la energa cineticacambia con el tiempo confrecuencia 2, ya que cos2() = 12(1+ cos(2)), y en este caso = 2(2×0 100t).1.2 Dos ondas de la misma amplitud y frecuencia se propagan conigual velocidady en la misma direccion en sentidos contrarios.Determinar el movimientoondulatorio resultante.Comencemos porescribir la expresion de ambas ondas dadas pory1(x, t) = a1 cos (kx t) ,(1.5)y2(x, t) = a1 cos (kx+ t) ,
8 Problemas de Optica Fsica Idonde a1 tendra las unidades correspondientes a la magnitud ycorrespondiente. Notese apartir de la ecuacion (1.5) que el modulode la velocidad de fase, vf , de ambas ondas es elmismo. Ademasrecordemos que se verica la relacion = kvf .Supondremos que la superposicion de ambas ondas sera una onda2que estara dada poryT (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2a1 cos(kx) cos(t), (1.6)donde se ha tenido en cuenta la siguiente igualdadtrigonometricacos(A) + cos(B) = 2 cos(AB2)cos(A+B2). (1.7)Vemos que la onda resultante dada por la expresion (1.6) es lade una onda estacionaria.Vamos a ver las caractersticas especcas deeste tipo de movimiento ondulatorio que con-trastan con lasllamadas ondas progresivas.En primer lugar, de la inspeccion ocular de la ecuacion (1.6)vemos que hay puntos en loscuales la perturbacion resultante esnula en todo instante de tiempo: en efecto, estos puntossonaquellos cuya coordenada x es tal que se cumple la relacion kx =(2m+1)2 , donde m esun numero entero. A aquellos puntos en los quese cumple esta relacion se les llama nodos. Esfacil convencerse deque entre dos nodos adyacentes hay un punto en el cual laperturbacionalcanza el maximo valor 2a1, a ese punto se le sueledenominar vientre.Un ejemplo donde son de interes las ondasestacionarias es el de la acustica musical. Con-sideremos unacuerda de guitarra de longitud L = 0.65 m. Sabemos queconvenientementepicada podemos observar que se establece en lacuerda un movimiento en el cual el vientrese encuentra en la mitadde la cuerda: de hecho este efecto nos puede permitir anar 5cuerdassi previamente hemos anado la otra con un diapason dereferencia.1.3 Dos ondas de la misma amplitud y velocidad pero defrecuencias 1 = 1000 Hz y2 = 1+ = 1010 Hz respectivamente, viajanen la misma direccion a 10 m/s.Escribir las ecuacionescorrespondientes a las ondas separadas y a su suma.Hacer un dibujode la onda resultante.La expresion de ambas ondas esta dada pory1(x, t) = a1 cos(k1x 1t),(1.8)y2(x, t) = a1 cos(k2x+ 2t),donde 1 = 2000 (rad s1) y 2 = 2020 (rad s1). Notese que en laecuacion (1.8) losnumeros de onda de ambas ondas son diferentes: esto es as ya quenos dicen que la velocidadde propagacion de ambas ondas es lamisma, por lo que si las frecuencias son diferentesnecesariamentelos numeros de onda han de ser diferentes.De la misma manera que en el problema anterior, la suma de ambasondas sera una ondadada poryT (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2a1 cos[(k1 k22)x(1 22)t]cos[(k1 + k22)x(1 + 22)t], (1.9)2Esto equivale a asumir que la ecuacion de ondas es lineal.
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 9donde de nuevo se ha tenido en cuenta la relacion (1.7). Espreciso notar que el segundotermino corresponde a una oscilacionrapida mientras que el primero corresponde a unaoscilacion lenta.En la Figura 1.2(a)-(b) se muestra como es el perl temporal decadaonda individual y el de la onda resultante en la posicion x =0. En la Figura 1.2(c) se hat(s)t(s)t(s)Tgy(x=0,t)1y(x=0,t)2y(x=0,t)T(a)(b)(c)Figura 1.2: Representacion en la posicion x = 0 de un tramo dela onda (perl temporal) para y1, (b)para y2 y (c) para la ondaresultante dada por la expresion (1.9).representado en continua la oscilacion rapida de la expresion(1.9) y en discontinua el perltemporal de evolucion de laenvolvente de la onda resultante. La velocidad con la quesedesplazan los maximos de la envolvente esta dada porvg =1 2k1 k2 . (1.10)Si hiciesemos que 2 1, en la expresion (1.10) se podrareemplazar los incrementos porla derivada, esto es, vg =ddk . A la magnitud vg se la denomina velocidad de grupo.Considerar una fuente de ondas planas progresivas que se mueveconvelocidad uniforme vs en la direccion X. Si las ondas emitidaspor lafuente tienen frecuencia , escribir la expresion de las ondasemitidas porla fuente en movimiento desde un sistema de referenciaque esta en reposorespecto a la fuente.Si consideramos que el sistema de referencia en el que la fuenteesta en reposo es X Y Z ,entonces la expresion de las ondasemitidas por la fuente vendran dadas porE(x, t) = E0 cos(t kx). (1.11)Para expresar las ondas emitidas por la fuente en un sistema dereferencia en reposo(XY Z) respecto a la fuente hemos de tener encuenta las relaciones que ligan las
10 Problemas de Optica Fsica Icoordenadas en ambos sistemas de referencia (transformaciones deGalileo) que sonx = x vst,y = y, (1.12)z = z,t = t.De este modo la expresion de las ondas emitidas por la fuente enel sistema de referenciaXY Z esta dada porE(x, t) = E0 cos [t k(x vst)] . (1.13)La expresion (1.13) puedereescribirse comoE(x, t) = E0 cos(t kx), (1.14)donde = kvs = c vs = (1 vsc ). Este resultado expresa elconocido efectoDoppler en su version no relativista.El papel de la fuente y del observador son intercambiablesnaturalmente.Consideremos una fuente de radiacion de ondas de frecuencia = 1GHz.Estas ondas inciden sobre un automovil que circula a unavelocidad vc. Lasondas reflejadas y parte de la onda emitida por lafuente son combinadaspara dar una onda resultante. Escribir como esesta onda y analizar elresultado.Las ondas emitidas por la fuentevendran dadas porEe(x, t) = E0 cos(t kx), (1.15)y las ondas reejadas por elautomovil vendran dadas porEr(x, t) E0 cos(t+ kx), (1.16)donde = (1 + vc/c). Laperturbacion resultante proporciona un batido de ondasque,convenientemente analizadas, esto es, determinando la velocidad degrupo, permitedeterminar la velocidad vc del automovil (este es elprincipio basico de funcionamientode un radar de velocidad).Polarizacion de las ondas. Promedios temporales1.4 Dos ondas polarizadas en planos perpendiculares viajan en ladireccion OXa la misma velocidad, c. Hallar el movimientoondulatorio resultante en lossiguientes casos:A1 = 2A2 y de fases iguales,En este caso las expresiones de lasondas estan dadas porMy(x, t) = 2A2 cos(kx t),(1.17)Mz(x, t) = A2 cos(kx t),
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 11t5t4 t4 t4t5 t5t6 t6t7t7t8 t8t9 t9t10 t10t3 t3 t3t2 t2t2t1 t1t1t6xMyMzMy(b)MzMy(c)Mz(a)Figura 1.3: Representacion en diferentes instantes de tiempo dela vibracion resultante de la superposicionde dos ondas que vibranperpendicularmente entre s y se propagan en la misma direccion: (a)dos ondas enfase y amplitudes diferentes, (b) dos ondas desfasadas/2 y amplitudes iguales y (c) dos ondas desfasadas/2 y amplitudesdiferentes.donde A2 tiene las unidades de la magnitud M : notese que laecuacion (1.17) corres-ponde a dos ondas que vibran a lo largo delos ejes Y y Z respectivamente y que sepropagan a lo largo del ejeX. En la Figura 1.3(a) se muestran los valores resultantesde lavibracion en x = 0 para los instantes de tiempo t1 = 0, t2 =112 , t3 =18 , t4 =16 ,t5 =14 , t6 =13 . Notese que si se traza el vector resultante desde elorigen, este siemprevibra en la misma direccion, de ah que se arme que la ondaresultante esta linealmentepolarizada. El angulo que forma elvector resultante con el eje Y se le denomina azimuty en este casoes = 26.570.A1 = A2 y desfasadas /2.En este ejemplo las expresiones de lasondas vienen dadas porMy(x, t) = A2 cos(kx t+ /2),(1.18)Mz(x, t) = A2 cos(kx t).Si procedemos como en el caso anterior y representamos en elplano Y Z los valoresinstantaneos de la onda en diferentesinstantes de tiempo observamos que en este casola direccion devibracion de la onda resultante no es ja sino que cambia, comopuedeapreciarse en la Figura 1.3(b). Notese que se han anadidootros instantes temporalest7 =12 , t8 =23 , t9 =34 y t10 =45 . En este caso la vibracion resultante se dice queesta circularmente polarizada. Notese que el sentido de giro dela vibracion resultantetiene lugar en el sentido contrario a lasagujas del reloj de ah que se le denomine girolevogiro.
12 Problemas de Optica Fsica IA1 = 2A2 y desfasadas /2,Ahora las expresiones de las ondasvienen dadas porMy(x, t) = 2A2 cos(kx t+ /2),(1.19)Mz(x, t) = A2 cos(kx t).Procediendo como anteriormente llegamos a la conclusion de quela vibracion resultanteesta elpticamente polarizada y el sentido degiro es levogiro. Esta situacion se harepresentado en la Figura1.3(c).En todos los casos anteriormente mencionados vemos que dos ondasque vibran perpendicular-mente entre s, tienen la misma frecuenciay la misma direccion de propagacion, proporcionanuna ondaresultante que en una posicion ja del espacio evolucionadescribiendo una lnearecta, una circunferencia o una elipse. En elcaso de la optica veremos en el Tema 3 comoondas que inicialmenteestan linealmente polarizadas al atravesar un cierto mediomaterialpueden pasar a estar circular o elpticamente polarizadas, obien seguir siendo linealmentepolarizadas.1.5 Una fuente puntual emite ondas esfericas de = 500 nm.Estimar a quedistancia hay que colocarse de la fuente para quesobre un area circular deun centmetro cuadrado las ondas esfericasdifieran de una onda plana en /10.Consideremos una fuente puntual S colocada en el origen decoordenadas que emite ondasesfericas de la formay(r, t) =y0rcos(kr t). (1.20)La expresion para una onda plana seray(r, t) = y0 cos(ky t). (1.21)Estamos interesados en computar la diferencia entre el frente deondas esferico y uno planoen un area de Ap = 1 cm2 (area de prueba) tal y como se muestra en la Figura 1.4. Elradiodel area de prueba sera rp =Ap/ =104 metros. La diferencia de camino optico en elborde del area de prueba sera= r y, (1.22)donde r =x2 + z2 + y2. Como < 10 , de la ecuacion (1.22)obtenemos una desigualdadtal que si realizamos las operaciones pertinentes, teniendo encuenta que x2 + z2 = r2p =3.183 105, llegamos a que se ha devericarr2p 2100+y5 y5, (1.23)o lo que es lo mismo, la distancia y ha de ser mayor de 318.3metros.El interes de este problema radica en que permite estimar a quedistancia de una fuente deondas esfericas nos hemos de colocar parapoder considerar que localmente las ondas sonplanas. Veamos estopara el caso de ondas luminosas procedentes del sol y que llegan alasupercie terrestre.
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 13Podemos considerar que el radio de la orbita de la tierra es Rt= 1.491011 m (supondremospor simplicidad que la orbita escircular). El tamano tpico de un detector de radiacion es de104 m2.De este modo en la region de receptora el frente de ondas esfericoemitido por el Soles localmente plano, en el sentido de que en laregion de interes el frente de ondas se desva deun plano en la cantidadr2p2Rt= 3.36 1016 (metros) que resulta ser muy inferior acualquierlongitud de onda del espectro visible. As pues podremosconsiderar que la luz procedentedel sol que incida sobre un sistemaoptico convencional estara esencialmente colimada.ZYXSyrQreadepruebaFigura 1.4: Fuente puntual que emite ondas esfericas que seobservan en un area de 1 cm2 en torno alpunto Q.1.6 Determinar el promedio temporal de la siguiente ondaE(r, t) = E0 cos(t kr). (1.24)La expresion (1.24) corresponde a una onda monocromatica cuyoperiodo de cambio caracte-rstico es T = 2 . El promedio temporal sedetermina mediante la expresionE(r) = 1TT0E(r, t)dt. (1.25)Realizando la integral indicada en (1.25) se llega a que E(r) =0, esto es, aunque la magnitudE cambie instantaneamente con eltiempo, el promedio del cambio en un periodo es nulo.Para entender este resultado acudamos al ejemplo mecanico de lasondas en una cuerda, estoes, que E(r, t) represente eldesplazamiento transversal de un tramo de cuerda. Lo que nosindicael resultado (1.25) es que ese tramo de cuerda en promedio no sedesplaza, a pesar deque instantaneamente s lo haga como indica(1.24).
14 Problemas de Optica Fsica IDeterminar asimismo el promedio temporal de |E|2.En este casohemos de computar la siguiente integral|E(r)|2=1TT0E20 cos2(t kr)dt. (1.26)Si tenemos en cuenta que cos2() = 12 [1 + cos(2)], se obtienenalmente que|E(r)|2=E202. (1.27)Si, por ejemplo, la magnitud E representa la propagacion de unaonda armonica en unacuerda, la ecuacion (1.27) nos informa acercade la energa cinetica o potencial adquiridaen promedio. En efectorecordemos del problema 1 de este Tema que la energacineticainstantanea de un tramo de cuerda es proporcional alcuadrado de la amplitud delmovimiento y cuya frecuencia era eldoble que la del desplazamiento. Notese el contrastedel resultadoobtenido en (1.27) con el expresado en (1.25).Introduccion al analisis de Fourier1.7 Supongamos que en un punto del espacio llega unaperturbacion ondulatoriacuya variacion temporal viene dada porE(t) = E0et cos(0t), (1.28)para t > 0 y nula para t < 0. Suponer que 0.Dibujar la variacion temporal de la perturbacion.Si = 0 laexpresion (1.28) corresponde a una onda armonica de frecuencia 0.Sinembargo cuando > 0 corresponde a una onda amortiguada. En laFigura 1.5 semuestra la evolucion temporal de la onda amortiguadapara dos valores de la constantede amortiguamiento diferentes,donde 1 < 2. Como puede apreciarse en el caso demayoramortiguamiento la oscilacion se atenua mas rapidamente.Calcular el espectro en frecuencias de esta perturbacion.Paradeterminar el espectro en frecuencias de la onda amortiguada hemosde realizarla descomposicion en terminos de la integral del Fourierde la onda considerada. As latransformada vendra dada porG() =E(t)eit dt. (1.29)Para realizar la integral indicada en (1.29) expresaremos laecuacion (1.28) en la formaE(t) = E0et 12(ei0t + ei0t). (1.30)
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 15g1t tE(t)E0E(t)E0g2Figura 1.5: Forma del perl temporal de dos ondas amortiguadascon diferentes constantes de atenuacion.Con lo que nalmente resultaG() = E02( 1i( + 0) +1i( 0) ). (1.31)Notese que la expresion (1.31) puede ponerse comoG() = E02( 1z1+1z2), (1.32)donde z1 y z2 son numeros complejos. Si analizamos como es elmodulo de z1 y el de z2vemos que se tiene |z1| |z2|, de ah que elprimer termino de la ecuacion (1.31) puededespreciarse frente alsegundo, por lo que cabe aproximar el espectro comoG() E021i( 0) . (1.33)Calcular el modulo |E()|2 y encontrar la relacion entre y laanchura de|E()|2 a mitad de altura.A partir de la ecuacion (1.33)obtenemos la densidad espectral de potencia dada por|G()|2 = E2041( 0)2 + 2 . (1.34)Notese que cuanto mayor es el factor de amortiguamiento, masancho es el espectro comose aprecia en la Figura 1.6 o, en otraspalabras, para sintetizar una onda que se amortiguarapidamentenecesitaremos sumar mas ondas monocromaticas de frecuencias cadavezmas alejadas de 0.A partir de la ecuacion (1.34) vemos que si = 0, entonces|G(0)|2 = E2042 . Paradeterminar una anchura espectral caracterstica seemplea el criterio de calcular la
16 Problemas de Optica Fsica I|G( )w |2g110g2ww0DwFigura 1.6: Densidad espectral de potencia para los casosconsiderados en la Figura 1.5. Los datos hansido normalizados a susrespectivos valores maximos.frecuencia 1 para la cual |G(1)|2 = |G(0)/2|2. Con lo queresulta 1 0 = .Y la anchura espectral resulta ser = 2. En la Figura1.6 se ha senalado la anchuraespectral () de una de las ondasconsideradas.1.8 Determinar la transformada de Fourier de la funcionrectangulo definida por:f(x, x0, a) =0 si |(x x0)/a| > 12 ,1 si |(x x0)/a| < 12 ,12 si |(xx0)/a| = 12 .(1.35)Esta funcion as denida esta acotada y la emplearemos conprofusion mas adelante. Latransformada vendra dada porG(k) =f(x, x0, a)eikx dx, (1.36)donde k tendra dimensiones de inverso de longitud (de ah que eneste caso se hable defrecuencia espacial y se suele especicar enlneas por milmetro). Sustituyendo la expresion(1.35) en (1.36) sellega a queG(k) = x0+a/2x0a/2eikx dx = a eikx0sin(ka/2)ka/2. (1.37)Habitualmente se suele denir la funcion sinc(x) sin(x)x de modoque el resultado expresadoen (1.37) se escribe de manera mascompacta.Notese que si x0 = 0 la transformada de Fourier es la funcionsinc, sin embargo al desplazarla funcion rectangulo a un punto x06= 0, esto solo afecta a la transformada en un factor defase.
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 17En ocasiones resulta de interes el estudio de la transformada deFourier dela funcion rectangulo apodizada definida porfA(x, x0, a) =0 si (xx0)a > 12 ,A0 cos(ax)si (xx0)a < 12 ,12 si(xx0)a = 12 .(1.38)Determinar la transformada de Fourier de fA.En este caso la transformada viene dada porG(k) = x0+a/2x0a/2eikxA02(eiax + eiax)dx. (1.39)Tras realizar la integracion indicada se llega nalmente aqueG(k) = A0a2eikx0{sinc[(k +a) a2]+ sinc[(ka) a2]}. (1.40)1.9 La extension del teorema de Fourier a funciones de dosvariables es inmediataa partir de la definicion (I-14). Determinarla transformada de Fourier de lafuncion bidimensionalf(x, y,R) ={0 si x2 + y2 > R2,1 si x2 + y2 < R2,(1.41)Esta funcion as denida tambien esta acotada y sera empleada conprofusion mas adelante.La transformada vendra dada porG(kx, ky) =f(x, y,R)ei(kxx+kyy) dxdy. (1.42)Para realizar la integral indicada en (1.42) es preferibleexpresarla en coordenadas polares:x = r cos(), y = r sin(), kx = kcos() y ky = k sin(). De este modo se tendra que dxdy =rdrd.Analogamente podemos escribir kxx + kyy = kr [cos() cos() + sin()sin()] =kr cos() [ver Figura 1.7(a) ], donde k =k2x + k2y y r =x2 + y2. Con esto la ecuacion(1.42) puede escribirse comoG(kx, ky) = R020rdrdeikr cos(). (1.43)Si imponemos que el resultado de (1.43) tenga simetra axial,esto es que no dependa de ,podemos tomar = 0 y de este modo laintegral angular queda como 20eikr cos d = 2J0(kr), (1.44)donde J0(x) denota la funcion de Bessel de primera especie deorden cero. De este modollegamos a queG(kx, ky) = 2 R0J0(kr)rdr. (1.45)
18 Problemas de Optica Fsica I(a)Rrq(b)k-6 -4 -2 0 2 4 60.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0|G(k)|2Figura 1.7: (a) Geometra para calcular la integral expresada en(1.42) y (b) representacion de unaseccion del disco de Airy.Teniendo en cuenta las propiedades de las funciones de Bessel deprimera especie se llega aque la integral radial esG(kx, ky) = 2RkJ1(kR), (1.46)donde J1(x) es la funcion de Bessel de orden uno. De particularinteres es el modulo alcuadrado de la trasformada que se conocecomo funcion de Airy. En la Figura 1.7(b) semuestra el aspecto deesta funcion.1.10 Consideremos la onda cuya expresion esta dada porE(t) ={0 si t < 0,sin(2 t)= sin(t) si t > 0.(1.47)Esta onda tiene un comienzo en el instante t = 0 pero no estaacotada. Probarque si permitimos que sea una variable complejaexiste una representacionintegral de (1.47) en la formaE(t) = 1Leitd2 2 , (1.48)donde L es un contorno de integracion adecuado en el planocomplejo.En primer lugar hay que tener en cuenta el hecho de que, alcontrario que una onda mono-cromatica que se extiende desde hasta ,una senal real tiene un origen temporal. Sinembargo para senalesque estan acotadas solo en un extremo tal como la dada en (1.47)laforma usual de la transformada de Fourier no es adecuada ya quela integral de la funcionE(t) diverge. En la Figura 1.8(a) semuestra esta senal.Veamos que la representacion (1.48) reproduce la senal dada en(1.47): para ello consideremos
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 19Sealt0(a) (b)02p/t-2p/tFigura 1.8: (a) Representacion de un tren de ondas limitado enuno de sus extremos. (b) Caminos deintegracion en el planocomplejo.el caso de que t < 0, con lo cual si tomamos = a + ib con a yb constantes positivas, laexponencial de la integral eit = ebteiatdecrece cuando b crece. Podemos hacer que elcamino de integracionen el semiplano superior se extienda todo lo que queramos, lo cualseindica con las echas , por lo que la funcion E(t) se anula para t< 0, tal como prescribela ecuacion (1.47). Para instantes detiempo t > 0, el camino de integracion ha de sortearlassingularidades de que son polos de orden uno [ver Fig. 1.8(a) ]. Laintegracion a lolargo del camino en el semiplano inferior (seindica con las echas ) se puede llevar a cabomediante el metodo delos residuos y el resultado esE(t) = 1residuosRes(eitd2 2)= sin(2t), (1.49)por lo que se reproduce el resulado prescrito en (1.47).El interes de este desarrollo radica en su utilidad en elestudio de la propagacion de esta senalen un medio dispersivo, enparticular en el estudio de los llamados precursores.
20 Problemas de Optica Fsica IPROBLEMAS PROPUESTOSEcuacion de ondas1.1 La ecuacion de una onda transversal esta especicada por laexpresiony(x, t) = 1/3 sin [(0.25x 25t)] ,donde x e y se especican en centmetros y t en segundos.(a) Hallar la amplitud, el numero de ondas, la longitud de onda,el perodo temporal y lavelocidad de propagacion de la onda.SOL: (a) A = 13 102 m, k = 25 m1, = 0.08 m, T = 225 s, v = 1ms1.1.2 Especicar la expresion de una onda armonica longitudinal quese mueve en la direccion Xnegativa con amplitud 0.0025 m,frecuencia 6 Hz y velocidad de 300 m/s.SOL: y(x, t) = 0.0025 cos[(x25 + 12t)](m).1.3 Cuantos periodos espaciales de una radiacion visible delongitud de onda 600 nm se precisanpara cubrir una distancia de1/10 mm?SOL: nperiodos = 166.6.1.4 Escribir una expresion para la onda que se muestra en laFigura 1.9. Determinar su longitudde onda, su velocidad y sufrecuencia.SOL: y(z, t) = 2.5 cos(t kz + ), = 0.5m, v = 3 108 m/s, = 5,99988 1014 Hz, y = 0.1.5 Consideremos una onda transversal que se propaga en ladireccion X con velocidad de fase c.(a) Escribir la ecuacion que describe la perturbacion yi(t,x).(b) La onda se reeja completamente en la supercie de un ciertomedio material (metal).Escribir la ecuacion de la onda reejadayr(t, x).(c) Escribir la expresion resultante de la superposicion de laonda incidente y la ondareejada, yT (t, x), y analizar suspropiedades.(d) En contacto con la supercie del metal y formando un pequenoangulo se coloca unapelcula fotograca que es expuesta durante uncierto tiempo (ver Figura 1.10). Tras serrevelada se examinavisualmente la pelcula: indicar razonadamente cual sera elaspectodel registro fotograco.SOL: (a) yi(t, x) = A0 cos(t kx), (b) yr(t, x) = A0 cos(t + kx),(c) yT (t, x) =2A0 cos(kx) cos(t).
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 21-2.50-1.250.001.252.50(a)z (nm)z (nm)z (nm)0 200 400 600 800 1000 1200 1400(b)(c)Figura 1.9: Representacion del estado de vibracion de una ondaen funcion de la coordenada z (expresadaen nm) en distantesinstantes de tiempo: (a) t = 0 s, (b) t = 0.8333 1015 s y (c) t =1.6667 1015 s.1.6 Consideremos que el perl de una onda cuya expresion estadada por (x, t) = 25(xvt)2+2(unidades arbitrarias), donde x se expresa en metros y t ensegundos sabiendo que la velocidadde propagacion es v = 0.5 m/s.Realizar el esquema graco del perl de la onda en los instantest =0, 2, y 4 s. Cual es la direccion de propagacion de la onda?SOL: La onda se propaga en la direccion +X.1.7 Considere la situacion que se describe en la Figura 1.11cuando se consideran ondas que sepropagan con velocidad de fase c =3 108 m/s fuera de la lamina y que el espesor de lalamina es 0.05cm. Conteste a las siguientes preguntas:(a) Cuantas longitudes de onda (np) de 0 = 500 nm se extiendenentre Ai y Af si AiAf =50 cm?(b) Cuantas longitudes de onda (np) de 0 = 500 nm se extiendenentre Bi y Bf ( BiBf =50 cm) sabiendo que dentro de la lamina lavelocidad de propagacion de las ondas es0.98 veces menor que lavelocidad en el trayecto entre Ai y Af?(c) Computar el retardo (t) introducido por la presencia de lalamina.(d) Expresar las ecuaciones de las ondas que llegan a Af y Bf enel mismo instante detiempo.SOL: (a)np = 106, (b) np = 1.00002 106, (c)t = 1.021c d = 3.41014 s.(d)yAiAf (x, t) = A0 cos(t kx),yBiBf (x, t) A0 cos((tt) kx).1.8 Una cadena de emisoras radiofonicas emite ondas conlongitudes de onda entre 30 y 100metros. Determinar la banda defrecuencias de emision de esta cadena.
22 Problemas de Optica Fsica IapelculafotogrficaFigura 1.10: Esquema de la supercie del metal y la pelculafotograca (experimento de Wiener).eAi AfBi BfFigura 1.11: Retardo introducido por un medio material conrespecto a otro medio. El espesor e es de0.05 cm.SOL: La banda de emision es [3, 10] MHz.1.9 En un punto O del estanque del Retiro se dejan caerregularmente gotas de agua a razon de95 por minuto. Si la velocidadde las ondas que se originan es de 30 cm/s: (a) determinarladistancia entre dos crestas adyacentes y (b) a 45 cm del punto O seencuentra un corchootando y que empieza a vibrar con una amplitudde 2 cm cuando llegan las ondas a el.
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 23Determine la ecuacion de movimiento del corcho.SOL: (a) = 0.1898 metros. (b) y(x0, t) = 0.02 cos [2 (1.58t0.053×0)] m, donde x0 = 45cm.Polarizacion de las ondas. Promedios temporales1.10 Escribir la expresion de dos ondas que tienen la mismafrecuencia, se propagan en la mismadireccion (Z por ejemplo) yvibran en direcciones perpendiculares entre s (X e Y ). Laamplitudde una de las ondas es la mitad que la de la otra.(a) Si ambas ondas estan en fase, describir el tipo demovimiento ondulatorio resultante ~ETy discutir su estado depolarizacion.(b) Descomponer el resultado anterior como superposicion de dosondas circularmente po-larizadas pero con sentidos de giro opuestos~ELT y~EDT .SOL: (a) Ex(z, t) = A1 cos(t kz + 1) y Ey(z, t) = A12 cos(t kz +2).Si 1 = 2 2m la onda resultante ~ET esta linealmente polarizada ysu azimut respectoal eje X es = 26.565o:~ET =52 A1 cos(t kz)u0, donde u0 = cos() + sin().(b) ~EDT =54 A112 (u0 cos(t kz) + up sin(t kz)) y~ELT =54 A112 (u0 cos(t kz) up sin(t kz)) donde up = sin()+ cos().1.11 Escriba la expresion de una onda circularmente polarizadade amplitud A1 y levogira ~EL.Escriba la expresion de una onda onda circularmente polarizadade amplitud A2 6= A1 ydextrogira ~ED. Si consideramos que ambasondas son de la misma frecuencia y se propaganen la direccion deleje Z, obtenga el estado de polarizacion de la onda resultante delasuperposicion ~ET .SOL: ~ED = A1 cos(t kz)+A1 cos(t kz /2),~EL = A2 cos(t kz)+A2cos(t kz + /2),~ET = (A1 + A2) cos(t kz) + (A1 A2) cos(t kz + /2).La onda resultante estaelpticamente polarizada y el sentido de giroes dextrogiro.1.12 Determinar el promedio temporal de la siguiente ondaE(r, t) = E0 cos(2Tt kr),teniendo en cuenta que el periodo de integracion es T1, y que noes necesariamente igual aT . Analizar el resultado y particularizarpara T1 = 0.903 103T . Determinar asimismo elpromedio temporal deE2(r, t).SOL: E(r, t) = E0TT1 sin(T1T)yE2(r, t)=E202[1 + sinc(2T1T)].
24 Problemas de Optica Fsica I1.13 Determinar la resultante de la superposicion de dos ondasparalelas dadas porE1 = E01 cos(t+ 1),yE2 = E02 cos(t+ 2),donde 1 y 2 son constantes que no dependen del tiempo.(a) Representar gracamente cada onda por separado y laresultante para 1 = 0 y 2 = .(b) Representar gracamente cada onda por separado y laresultante para 1 = 0 y 2 = 2.(c) Determinar el promedio temporal de (E1 + E2)2 para valoresarbitrarios de 1 y 2.Analizar el resultado obtenido para los valores de 1 y 2considerados en los dosapartados anteriores.SOL: (c)(E1 + E2)2(r, t)=E2012 +E2022 + 2E02E012 cos(1 2).Introduccion al analisis de Fourier1.14 Obtener la representacion en serie de Fourier de la funcionque se representa en la Figura1.12.1xf(x)TaFigura 1.12: Funcion de periodo T y anchura a que se extiende entoda la recta real.(a) Particularizar para el caso a = 0.01 m y T = 0.1 m.Representar gracamente los valoresde los coecientes de los primeros10 armonicos.
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 25(b) Reconstruir gracamente la senal original empleando 2, 5 y100 terminos del desarrollode la serie. Analizar los resultadosobtenidos y compararlos con la forma de la senaloriginal.SOL: (a) A0 =aT , Aj =aT sinc(j0a2 ), Bj = 0, con 0 =2T y j = 1, . . ..1.15 Considere la perturbacion ondulatoria que se muestra en laFigura 1.13.(a) Escribir una expresion para dicha perturbacion.(b) Obtenga la transformada de Fourier.(c) Estime la anchura tpica del espectro de potencia, : paraello determine la posiciondel maximo de la transformada y estimepara que valores de el valor de la transformadase ha reducido a lamitad con respecto al valor maximo.(d) Analice la condicion t 1 que se obtiene del apartadoanterior.(e Particularizar para el caso t = 109 s y determinar laanchura espectral del pulso.SOL: (a) E(t) = E0 cos(0t) si |t ta| < t y E(t) = 0 si |t ta|> t, donde 0 = 2T .(b) E() = F{E(t)} = iE0teita{sinc[( + 0)t2] sinc [( 0) t2 ]}.(c) 1t(e) = 2.2147 108 Hz.tDt-E0E0Figura 1.13: Aspecto de la perturbacion ondulatoria de duracionlimitada t.1.16 Determinar la transformada de Fourier de la funcion denidapor (abertura elptica):f(x, y, a, b) ={0 si (xa )2 + (yb )2 > 1,1 si (xa )2 + (yb )2 < 1,SOL: G(kx, ky) = 2abk J1(k), donde k =k2xa2 + k2yb2.
26 Problemas de Optica Fsica I(a)2L+a2L+a aa(b)XYL+aL+aaL/2Figura 1.14: Aberturas de interes. El sistema de ejes se haindicado entre ambas guras.1.17 Si denominamos a G(k) = F{f(x)} a la transformada deFourier de la funcion f(x),determinar la transformada de Fourier dela funcion f(x/b), Ge(k).SOL: Ge(k) = bG(kb).1.18 Si denominamos a G(k) = F{f(x)} a la transformada deFourier de la funcion f(x),determinar la transformada de Fourier dela funcion f(x x0), Gx0(k).SOL: Gx0(k) = eikx0G(k).1.19 Determinar la transformada de Fourier de la funcion denidapor f(x) = a2 [1 + b cos(x)].SOL: F{f(x)} = 2a(k) + ba2 [(k + ) + (k )].1.20 Determinar la transformada de Fourier de cada una de lasfunciones que se muestran en laFigura 1.14. Considere que en lasregiones oscuras el valor de la funcion es nulo y que enlasregiones claras el valor de la funcion es la unidad. Realizarcon un paquete matematico unarepresentacion graca del espectro depotencia de ambas funciones.
Tema 1. Movimiento Ondulatorio 27SOL: (a)G(kx, ky) = a2sinc(kxa2)sinc(kya2)+ aL cos(kxL2)sinc(kxL2)sinc(kya2)+aL cos(kyL2)sinc(kxa2)sinc(kyL2).(b)G(kx, ky) = aLsinc(kxa2)sinc(kyL2)+aL cos{12[kx (L+ a) + kyL]}sinc(kxL2)sinc(kya2)aL2eikxL/4sinc(kxL4)sinc(kya2).
28 Problemas de Optica Fsica I
TEMA 2El campo electromagneticoOndas electromagneticasLos fenomenos electricos, magneticos y luminosos fueron unicadosa nales del siglo XIX por JamesClerk Maxwell. El conjunto deecuaciones de Maxwell, junto con la ley de fuerzas sobrepartculascargadas y la segunda ley de Newton consituye el armazonde lo que se denomica electrodinamicaclasica. En su formulacionactual, las leyes de Maxwell en el vaco pueden establecerse enformaintegral mediante las ecuacionesC~E d~l = dd tSC~B d~S,C~B d~l = 0SC(~j + 0~Et) d~S, (II-1)S~E d~S = Q0,S~B d~S = 0.En la ecuacion (II-1), ~E y ~B son el campo electrico y lainduccion magnetica respectivamente, ~j esla densidad de corriente,Q es la carga total encerrada en la superice cerrada SC , y 0 y 0sonla permeabilidad magnetica y la permitividad dielectrica delvaco respectivamente. La primeraecuacion es la conocida como ley deFaraday-Henry, la segunda es la ley de Ampe`re-Maxwell ylas terceray cuarta ecuaciones constituyen la ley de Gauss para el campoelectrico y la induccionmagnetica respectivamente.La ley de fuerzas que actua sobre una partcula cargada, de cargaq, en el seno de camposelectricos y magneticos viene dada por laley de Lorentz que reza~FL = q(~E + ~vp ~B), (II-2)donde ~vp es la velocidad de la partcula.29
30 Problemas de Optica Fsica IMediante el uso de los teoremas de Stokes y de Gauss se puedeobtener la formulacion diferencialde las ecuaciones de Maxwell quequedan como~E = ~Bt , ~B = 0~j + 00 ~Et,~E = 0 , ~B = 0, (II-3)donde es la densidad de carga o carga porunidad de volumen. En regiones en las que no hayacargas ycorrientes (el vaco, por ejemplo) las ecuaciones (II-3) predicen laexistencia de camposelectricos y magneticos autosustentados quepueden propagarse en forma de ondas (aun en ausenciade mediomaterial). En otras palabras, se tendra que2 ~E = 002 ~Et2,2 ~B = 002 ~Bt2, (II-4)de donde resulta que la velocidad de las ondas electromagneticasen el vaco es v = 100 = c =3 108 m/s (velocidad de la luz en elvaco).De particular interes resultan las soluciones de la ecuacion enforma de ondas planas de la forma~E = ~E0ei(t~k~r),~B = ~B0ei(t~k~r). (II-5)Para que las expresiones (II-5) satisfagan las ecuaciones deMaxwell han de cumplirse las siguientesrelaciones~k ~E0 = 0,~k ~B0 = 0, (II-6)~k ~E0 = ~B0.De la ecuacion (II-6) se inere que los vectores ~k, ~E y ~B sonperpendiculares entre s, esto es, lasondas electromagneticas planas son transversales. Ademas sededuce que | ~B0| = | ~E0|c . Teniendoen cuenta este hecho, la leyde fuerzas para partculas cargadas sobre las que actua unaondaelectromagnetica puede aproximarse por~FL q ~E, (II-7)siempre y cuando las velocidades de laspartculas sean mucho menores que c [ |~vp| c en laecuacion (II-2)].Energa transportada por las ondasLas ondas electromagneticas transportan energa. Si en una regioncerrada del espacio, V , en laque hay una coleccion de cargasincide una onda electromagnetica, los campos realizarantrabajosobre las cargas, de manera que parte de la energa del camposera cedida a las cargas y el resto setransmitira a otras regiones.El teorema de Poynting nos indica la forma de este balanceenergetico:si llamamos uB y uE a las densidades de energa delcampo, entonces se ha de vericar queV~j ~E dV = +SV~P d~S + tV(uB + uE) dV, (II-8)
Tema 2. El campo electromagnetico 31donde ~P ~E ~B0 es el denominado vector de Poynting que nosindica en que direccion se propagala energa. Las densidades deenerga se relacionan con las amplitudes de los campos de la formauE= 0 ~E2 y uB =10~B2 respectivamente. El primer termino en la ecuacion(II-8) da cuenta delcalentamiento de las cargas o efecto Joule y tiene signonegativo ya que la energa es cedida por elcampo a las cargas.Si la region considerada no hay cargas, la relacion (II-8)establece que la variacion temporal deenerga almacenada en dicharegion es igual al ujo de energa que abandona dicha region.Para el caso de una onda armonica, [ver ecuacion (II-5) ], en elrango de frecuencias opticas enlas que 1015 rad s1, la densidad deenerga instantanea vara rapidamente de modo que sepreere emplear ladensidad de energa promediada temporalmente (o densidad de energaecaz)que resulta uE =02~E20 y uB =02~E20 , esto es, las densidades de energa electrica ymagneticaasociadas a una onda son iguales. De la misma manera, el vectorde Poynting para una ondaarmonica que se propaga en el vaco quedacomo~P = c20 ~E ~B = c20 ~E0 ~B0 cos2(t ~k ~r), (II-9)que es una medida de la energa instantanea que atraviesa launidad de area en la unidad de tiempo.Dada la relacion detransversalidad entre los campos y la direccion de propagacion,resulta que elvector de Poynting es paralelo a la direccion depropagacion de los frentes de onda. Este resultadoes cierto en elcaso de que las ondas se propagen dentro de medios materialesisotropos: aquellosen los que la interaccion de la radiacion con elmedio material no depende de la orientacion delcampo electrico (verTema 3).Actualmente se dene la irradiancia de una onda promediada en eltiempo comoI ~P = c02~E02 . (II-10)Es bien conocido que dentro de una medio materialla luz viaja mas despacio que en el vaco.Si llamamos vf a la velocidad de las ondas dentro de un mediomaterial dado, entonces en lasrelaciones anteriores hemos de teneren cuenta este hecho:| ~B0| = |~E0|vf, (II-11)de modo que la irradiancia dentro del medio quedara comoI = ~P = nc02~E02 , (II-12)donde n cvf es el ndice de refraccion queexperimenta la onda dentro del medio.
32 Problemas de Optica Fsica IPROBLEMAS RESUELTOSOndas electromagneticas2.1 Una onda electromagnetica plana en el vaco esta dada porEx = 102 sin[(3 106z 9 1014t)] , (V/m)Ey = 0, (2.1)Ez = 0.Determinar la longitud de onda, frecuencia, velocidad de fase yel promediotemporal del modulo del vector de Poynting.A la vista de la ecuacion (2.1) podemos deducir que la ondavibra a lo largo del eje X y quese propaga a lo largo del eje Z,esto es, el vector de propagacion estara dado por ~kp =2 k,donde k es un vector unitario en la direccion del eje Z. De estamanera podemos determinarla longitud de onda ya que se verica larelacion 2 = 3 106, resultando = 23 106m, esto corresponde a unaradiacion visible de color rojo. Asimismo la frecuencia de laonda,, se puede determinar a partir de la expresion 2 = 9 1014, por loque resulta que = 92 1014 Hz. Vemos a partir de los datosanteriores que, efectivamente, la velocidad depropagacion de laonda es c = 3 108 m/s.Podemos determinar la direccion en la queoscila el vector induccion magnetica a partir de laconocidarelacion~kp ~E = ~B, (2.2)de manera que realizando las operaciones indicadas en (2.2) seobtiene~B =Exc. (2.3)Finalmente podemos determinar el vector de Poynting~P = ~E ~B0, (2.4)resultando que ~P = 104c0 sin2[(3 106z 9 1014t)] k.Para determinar el promedio temporal del vector de Poynting,procederemos como hicimosen el problema 6 del Tema 1. De estamanera resultaI ~P = 104c0sin2[(3 106z 9 1014t)] , (2.5)resultando nalmenteI = 13.275 (W/m2). (2.6)
Tema 2. El campo electromagnetico 332.2 Un haz de luz se propaga a traves de un medio de ndice derefraccion (n = 1.5).Si la amplitud del campo electrico del haz deluz es de 100 V/m cual es laamplitud del campo de induccionmagnetica?Supongamos por simplicidad que la expresion de la onda puedeexpresarse como~E = ~E0 cos(~k ~r t)(V/m), (2.7)de tal manera que la velocidad de fase de la onda es vf =|~k| < c y recuerdese que n =cvf.En este caso la relacion entre la frecuencia angular y lavelocidad de propagacion esta dadapor = kvf . Asimismo la relacionentre el campo electrico y la induccion magnetica1 estadada por una expresion similar a (2.3) excepto por elhecho de que en este caso la velocidadde propagacion no es igual a c. De lo anterior se deduce que ~B= | ~E|vf = 5 107 (T).2.3 Una onda electromagnetica que se propaga en el vaco(especificada en el S.I.de unidades) esta dada por la expresion~E =(3i+ 33j) 104ei[3(5x+53y)1078.12461015t], (V/m). (2.8)Encontrar la direccion a lo largo de la cual oscila el campoelectrico.Teniendo en cuenta la expresion del campo electrico, ladireccion de oscilacion, ~uosc, estadada por~uosc =(+3). (2.9)El valor del modulo de la amplitud campo electrico.La amplituddel campo electrico esta dada por~E0 =(3+ 33) 104, (V/m). (2.10)y su modulo resulta ~E0 = 6 104 (V/m).La direccion de propagacion, la frecuencia y la longitud deonda.La direccion de propagacion de la onda se obtiene de la fasede la oscilacion y esta dadapor~kp =(5+53)3 107 = 2up. (2.11)Teniendo en cuenta que ~kp =~kp up = 2 up, siendo up un vectorunitario en ladireccion de ~kp, podemos determinar la longitud de onda queresulta = 335 107m. Naturalmente no corresponde a una radiacion visible por unobservador humano.Resultando que up =32 +12 .Asimismo la frecuencia angular de la onda esta dada por 2 =8.1246 1015, de donderesulta que = 1.2931 1015 Hz. Notese que lavelocidad de fase de esta onda esvf = 3 108 m/s.1Supuesto que el medio material no esta magnetizado.
34 Problemas de Optica Fsica IDeterminar el campo magnetico asociado.En este caso y teniendoen cuenta la relacion (2.2) llegamos a que~H =~B0=10cup ~E. (2.12)Realizando las operaciones indicadas en (2.12) se llega nalmentea que~H = 6c0 104ei[3(5x+53y)1078.12461015t]k, (2.13)Determinar la direccion de propagacion de la energa.Para ellobasta determinar el vector de Poynting~P = R ( ~E) R ( ~H), (2.14)resultando ~P = 36c0 108 cos2[3(5x+53y) 107 8.1246 1015t]up.2.4 Determinar el estado de polarizacion de las siguientes ondaselectromagneticas.Para realizar este ejercicio hemos de examinarlos resultados a que llegamos en el problema4 del Tema 1.~E = E0 cos(kz t) E0 cos(kz t).Se trata de dos ondas que vibrana lo largo de los ejes X e Y respectivamente y de igualamplitud yfases por lo que la vibracion resultante esta linealmentepolarizada a lo largode un eje que forma 45o con respecto al ejeX.~E = E0 sin(kz + t) + E0 sin(kz + t /4).En el caso que nos ocupase trata de dos ondas desfasadas = /4 (o sea ambas ondasestanretrasadas entre s una distancia espacial /8) y amplitudes igualespor lo que lavibracion resultante describe una elipse en el planoXY .~E = E0 cos(kz t) + E0 cos(kz t+ /2).En este caso el desfaseentre ambas ondas es de /2 y dado que las amplitudes soniguales laonda resultante estara circularmente polarizada.2.5 Escribir la expresion, en unidades del sistema M.K.S., deuna ondaelectromagnetica plana que tiene una longitud de onda de500 nm y unairradiancia de 53.2 W/m2, que se propaga a lo largo deleje Z. Considereseque la onda esta linealmente polarizada a 450 deleje X.A partir de la irradiancia podemos determinar el modulo delcampo electrico que resulta serE0 = 200.188 V/m. Teniendo en cuentaque la direccion de propagacion es el eje Z el vectorde propagacionsera ~kp =20.5106 k = 4 106k (m1), siendo k un vector unitario a lolargodel eje Z. De forma que las componentes del campo seranEx = E0 cos(45o) cos(|~kp|z t),Ey = E0 sin(45o) cos(|~kp|z t), (2.15)Ez = 0, (2.16)donde = kc = 12 1014 (rad s1).En la Figura 2.1 se muestra laevolucion espacial de las componentes del campoelectricoconsiderado: notese que ambas componentes estan en fase yque tienen igual amplitud.
Tema 2. El campo electromagnetico 35XYZEyExlFigura 2.1: Perl espacial de las componentes del campo electricoconsiderado. La componente Ex y laEy estan en fase: evolucionansncronamente.2.6 Escribir la expresion, en unidades del sistema M.K.S. de unaondaelectromagnetica plana que tiene una longitud de onda de 632.8nm y unairradiancia de 100 W/m2, que incide sobre la superficie deseparacion de dosmedios con un angulo de 300. El plano de sepaciones el plano XY, el deincidencia es el plano YZ y la onda estapolarizada segun se indica:Obtendremos en primer lugar el modulo del numero de onda k y lafrecuencia angular de laonda, :k =2=2632.8 109 = 9.93 106 (m), (2.17)= kc = 9.93 106 3 108 = 29.8 1014 (rad/s). (2.18)Por otra parte,si la irradiancia vale 100 W/m, se puede obtener la amplitud delcampoelectrico:I =12c0|E0|2, (2.19)de donde|E0| =2 1003 108 8.8 1012 = 275.2 (V/m). (2.20)Deberemos calcular la direccion del vector ~k. En la Figura 2.2se muestra la situacion generalde un campo que incide desde unmedio en otro con un angulo arbitrario: notese que debido aque elcampo ~E ha de estar contenido en un plano perpendicular a ladireccion de propagacion,~k, el campo incidente podra descomponerseen un sistema cartesiano tal que una parte de esecampo estecontenida en el plano de incidencia y la otra seaperpendicular.~k = [0, k sin(30o),k cos(30o)] = (0, 4.9,8.6) 106m1. (2.21)Ahora consideraremos los dos casos planteados.
36 Problemas de Optica Fsica IYZXE||iplano deincidenciaqiE i^ kFigura 2.2: Onda incidente en el plano YZ con i arbitrario: elcampo incidente se ha descompuesto enla componente paralela, E, yperpendicular, E, al plano de incidencia (Y Z).polarizada segun el eje X.En este caso el campo electrico tienesolo componente a lo largo del eje X, vease Figura2.3(a),Ex = 275.2 cos[(4.9y 8.6z) 106 29.8 1014t] ,Ey = 0 , (2.22)Ez = 0.polarizada en el plano YZ.En este caso el campo debera vibrarperpendicularmente a la direccion de propagaciony contenido en elplano ZY, esto es, tendra componentes Ey y Ez oscilando en fase.Dela Figura 2.3(b) se obtienen las amplitudes de cadacomponente:E0x = 0 ,E0y = 275.2 cos(30o) , (2.23)E0z = 275.2 sin(30o) ,Los campos se podran espresar comoEx = 0,Ey = 275.2 cos(30o) cos[(4.9y 8.6z) 106 29.8 1014t] , (2.24)Ez = 275.2 sin(30o) cos[(4.9y 8.6z) 106 29.8 1014t] .Notese de paso que se verica que ~k ~E0 = 0 como prescribe laecuacion de Maxwell ~E = 0.
Tema 2. El campo electromagnetico 37ZExk(a)30oYX XZEyzk(b)30oYFigura 2.3: (a) Onda incidente en el plano YZ con i = 300 yvibrando segun el eje X y (b) ondaincidente en el plano YZ con i =300 y vibrando en el plano Y Z.2.7La variacion temporal del campo de induccion magnetica, ~B,de una ondaelectromagnetica se presenta en la Figura 2.4. La ondase propaga a lo largodel eje X en el vaco y ~B vibra en ladireccion del eje Z.0 0.2 0.4 0.6t(x10 s)-14B(x10T)z-60.8 1 1.2 1.4 1.6-2-1012Figura 2.4: Evolucion temporal de la componente Bz de la ondaconsiderada.
38 Problemas de Optica Fsica IDeterminar el modulo y direccion de los campos ~E y ~B.La gurarepresenta la variacion temporal del campo magnetico asociado a laondaelectromagnetica plana. Como la onda se propaga en la direcciondel eje X y ~B vibraen la direccion del eje Z, su expresionseraBz = Bz0 cos (kx t) . (2.25)De la Figura 2.4 se deduce que para t = 0 y x = 0, la amplituddel campo magneticovale Bz0 = 2 106 Tesla. Por otro lado, elperiodo temporal de la oscilacion vale T =11014 segundos. Por lotanto la frecuencia angular es = 2T = 21014 (rad s1), yel modulodel vector de propagacion es k = c =23 106 (m1). Por lo tanto la expresionde ~B esta dada por~B =(0, 0, 2 106 cos[2 106(x3 108t)]). (2.26)El campo electrico asociado a una onda plana debera satisfacerlas ecuaciones de Maxwell;en particular~B = 0~j + 1c2 ~Et. (2.27)Como la onda se propaga en el vaco se tiene que ~j = ~0, con loque se tiene~B = B0zk sin (kx t) . (2.28)Al introducir este resultado en la ecuacion (2.27) seobtieneB0zk sin (kx t) = 1c2 ~Et. (2.29)Integrando la expresion anterior respecto al tiempo obtenemos elcampo electricoEy =c2B0zk sin (kx t) dt = c2kB0zcos (kx t) , (2.30)que puede reescibirse de la siguiente manera~E = (0, 6 102 cos[2 106(x3 108t)], 0)V/m. (2.31)Determinar la irradiancia instantanea y promedio de la onda.Paradeterminar la irradiancia instantanea hemos de calcular el modulodel vector dePoynting el cual viene dado por~P = 10~E ~B = c036 104 cos2[2 106(x3 108t)]. (2.32)Por lo tanto la irradiancia instantanea se obtiene como elmodulo del vector calculado en(2.32). Para obtener la irradianciapromedio basta realizar el promedio temporal de lafuncion obtenidaanteriormente (vease el problema 6 del Tema 1), por lo que seobtienenalmenteI = c018 104 = 477.9 (W/m2). (2.33)
Tema 2. El campo electromagnetico 39Energa transportada por las ondas2.8 La irradiancia producida por el sol en la superficie de latierra es I = 1.34 103W/m2. Calcular el campo electrico y el campomagnetico en la superficie de latierra, asumiendo que el promediodel vector de Poynting es igual al valor dela irradiancia.Comosabemos la irradiancia, IT , se obtiene como el promedio temporaldel vector de Poynting,de modo que para una onda plana2 setieneIT =c02~E02 . (2.34)De manera que teniendo en cuenta la relacion (2.34)se llega a que~E0 = 1.005103 (V/m).Asumiendo que el ndice de refraccion de laatmosfera es practicamente la unidad podemosestimar la amplitud de la induccion magnetica como ~B0 = | ~E0|c= 3.35 106 (T).Estimar la potencia emitida por el sol.Para ello deberemos dehacer algunas hipotesis que nos permitan hacer la estimacion deunamanera sencilla: por ejemplo hemos de considerar en primer lugarque la emisiondel sol es isotropa, esto es, que la energa emitidapor unidad de tiempo es independientede la direccion. Ademas hemosde suponer por simplicidad que la orbita de la Tierra escircular3:en ese caso podemos considerar que el radio de la orbita es Rt =1.49 1011m. De esta manera podemos aproximar la potencia emitidapor el Sol porPsol ~PS = 1.34 1034R2t = 3.738 1026W. (2.35)Al hacer la estimacion indicada en (2.35) implcitamente estamosrealizando una hipotesisadicional que consiste en considerar que lairradiancia es la misma, salvo el factor 1/R2en la supercie terrestre que fuera de la atmosfera, o lo que eslo mismo, que no hayabsorcion de la radiacion en la atmosfera. Esbien conocido que el espectro de emisiondel sol no es monocromaticoy que el ujo de radiacion por unidad de longitud de ondano es elmismo fuera de la atmosfera que a nivel del mar, sino que debido ala presencia dediferentes compuestos moleculares en la atmosferaalgunas radiaciones seran atenuadasas como esparcidas por laatmosfera, de ah que la estimacion realizada sea a la alta.Estimar la irradiancia recibida en la el territorio de Espana.Tenga encuenta que la latitud es de 40o.Una vez que tenemos una estimacion de la potencia emitida por elsol, podemos estimarla potencia luminosa que se recibe sobre lasupercie del pas sin mas que considerar queaproximadamente lasupercie de aquel es de unos Ae 500, 000 km2. As se tendraIE =PsolAecos(40o) = 5.715 1014W. (2.36)Naturalmente en un da nuboso esta magnitud es susceptiblementemenor debido justa-mente a los procesos de esparcimiento queanalizaremos en el Tema 3.2Imaginemos que el detector tiene un area tpica de 1 cm2, a lavista de los resultados del problema 5 del Tema 1vemos queconsiderar las ondas como planas es una buena aproximacion.3Esto nos permitira hacer estimaciones que sean independientesdel da del ano.
40 Problemas de Optica Fsica IEstimar la potencia en retina cuando se mira directamente alsol.Considerar que el ojo del observador cuya pupila es de P = 6mm.Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a undioptrioequivalente de 7.2 mm de radio y un ndice de no = 1.335.Determinarel flujo del vector de Poynting a traves de la superficiede la pupila. Si trasrefractarse en el dioptrio, la radiacion seconcentra en un area de radioRr = 1.22f noP, donde f es la focal del dioptrio, estimar la irradiancia delaonda en la retina.En primer lugar podemos calcular la focal deldioptrio que resulta ser f = nr/(n1) =28.7 mm, con lo cual podremosdeterminar el area de la supercie iluminada en la retina,Sr = R2r = 1.5 1011 m2. Para esta estimacion del area iluminada hemosempleadouna longitud de onda tpica = 0.5m. El ujo de radiacion queatraviesa un areaequivalente a la pupila esP =~Pinc d ~SP = 1.34 103(P2)2= 37.89 103 (W ). (2.37)Podemos suponer que el ujo en la retina, R, sea proporcional alujo incidente sobrela pupila, esto es,R =~PR d ~Sr = P , (2.38)donde es un factor de proporcionalidad que tendra en cuenta lasperdidas por reexionas como la fraccion de energa difractada.Podemos considerar que 0.82 como unaprimera aproximacion. A partirde la expresion (2.38) podemos estimar el modulo delvector dePoynting en la supercie iluminada en la retina que seraIret = ~PR = PSr= 2.07 109W/m2. (2.39)Vemos pues que la potencia por unidad de area es muy elevada deah que si se mirasedirectamente al sol se produciran lesionesoculares irreversibles [ver problema 10 de esteTema donde seaanaliza el campo electrico interatomico: notese que el campoelectricoen la region focalizada sera del orden de 1.25 106(V/m)].Estimar la potencia en retina cuando se antepone un filtro dedensidadoptica D = 4.La densidad optica de un ltro se dene comoD log10 T, (2.40)donde T es la fraccion de ujo transmitidorespecto al incidente, por lo que al anteponerel ltro se tendra que~P cfR= TPSr = 2.07 105W/m2. (2.41)Notese que en este caso el campoelectrico en la region focalizada es del orden de 12.5103(V/m).Observese que a pesar de emplear el ltro la densidad de energasigue siendomuy elevada. Es particularmente interesante esteaspecto toda vez que durante uneclipse se suele observar el mismosin las debidas precauciones y las consecuencias que sederivan deello suelen ser la produccion de lesiones oculares notables.Naturalmente enla region de sombra del eclipse la irradianciaincidente sobre la pupila de un observadoren un da sin nubes estanotablemente reducida, pero en el caso de estar en la zonadepenumbra esta situacion no es exactamente la misma.
Tema 2. El campo electromagnetico 412.9 Un pulso de ultravioleta de 2.00 ns de duracion es emitidopor una fuente lasery tiene un diametro de 2.5 mm y una energa de6.0 J. Determinar la longitudespacial del pulso y suirradiancia.La longitud L del pulso seraL = ct = 3 108 2 109 = 0.6 (m). (2.42)La irradiancia seraI =energaunid. de tiempo unid. de area = 6.1 1014 (W/m2). (2.43)2.10 Un haz laser de 14 kW se focaliza sobre un area de 109 m2.Calcular lairradiancia y la amplitud del campo electrico en elfoco.La irradiancia I vendra dada por la potencia por unidad de area,es decirI =PA=14 103109= 14 1012 (W/m2). (2.44)El valor de la amplitud del campo en el foco se obtiene a partirde la expresion de la irradiancia:I =c02|E0|2. (2.45)de donde|E0| =2Ic0= 1.03 108 (V/m). (2.46)Se puede comparar el valor de este campo con una estimacion delcampo atomico que existeentre un electron y un proton. Este campovendra dado por la ley de CoulombEa =140qer2B= 1.4 1011 (V/m). (2.47)En la expresion anterior se ha tomado rB el valor del doble delradio de Bohr, esto es 1010m.Por lo tanto, el campo creado por el laser es sucientementeintenso para ionizar la materia.Mediante un laser de YAG Neodimiofocalizado en la cara posterior del cristalino se ionizala materiade ciertas cataratas que aparecen en la cara posterior delcristalino. El plasmaelectronico que se genera hace que se absorbala radiacion del laser produciendo un cambiolocal y brusco de latemperatura lo que produce a su vez una onda de choque que eliminalacatarata.2.11 Escribir la expresion de una onda plana linealmentepolarizada que se propagaa lo largo del eje X y vibra a 300 del ejeZ y cuya longitud de onda es = 2m.Indicar a que region del espectro electromagnetico correspondeestecampo.La radiacion considerada es monocromatica y pertenece a laregion del infrarrojo cercano,por lo tanto no es visible por unobservador humano.
42 Problemas de Optica Fsica ISi la amplitud del campo es de 3 V/m hallar la irradiancia de laonda.La expresion del campo electrico viene dada por~E(x, t) = 3ei(tk0x)u (V/m), (2.48)donde k0 = 106m1 es el modulo del vector de ondas, = 3 1014 s1es lafrecuencia angular y u = [0, sin(30o), cos(30o)] es un vectorunitario a lo largo de ladireccion de vibracion. La induccionmagnetica asociada esta dada por~B(x, t) = 108ei(tk0x)v (T), (2.49)donde v = [0, cos(30o),+sin(30o)] es la direccion en la quevibra el vector induccionmagnetica. De esta manera el vector dePoynting esta dado por~P(x, t) = c09 cos2(t k0x) (W/m2). (2.50)La irradiancia promedio de la onda de la onda se obtienepromediando en (2.50) resul-tandoI = ~P(x, t) = 1.195 102 (W/m2). (2.51)Determinar el flujo del vector de Poynting a traves de lasuperficie de uncuadrado de lado 1 cm perpendicular al eje X.El ujo del vector de Poynting a traves del cuadrado sera(~P) =Area~P d ~A (W), (2.52)donde d ~A = dydz es el elemento de area normal al cuadrado.Realizando la integralindicada en (2.52) se llega a que (~P) =2.3895 106 cos2(t k0x) (W).Esta onda incide sobre el ojo de un observador cuya pupila es deP = 6mm. Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a undioptrioequivalente de 7.2mm de radio y un ndice de no = 1.335.Determinar el flujodel vector de Poynting a traves de la superficiede la pupila perpendicularal eje X. Si tras refractarse en eldioptrio, la radiacion se concentra en unarea de radio Rr =1.22f noP, donde f es la focal del dioptrio, estimar lairradiancia de laonda en la retina.La onda plana colimada incide sobre el ojo. Sillamamos Ap al area de la pupila del ojo,supuesta esta en el planodel dioptrio, se tendra:Ap =(P2)2=(3 103)2 = 2.8 105m2. (2.53)El ujo de energa que pasa al ojo, suponiendo despreciables lasperdidas por reexion,sera=12c0|E0|2Ap = 123 108 8.8 1012 32 2.8 105 = 3.3 107W. (2.54)El ojo converge este haz en la retina no en un punto tal comopredice la optica geometricasi no hay aberraciones. Se produce unadistribucion de irradiancia que consiste en unaserie de anillosconcentricos. El 86 por ciento de la irradiancia se distribuye enun crculo
Tema 2. El campo electromagnetico 43de radio dado por la expresion Rr = 1.22f noP. Por lo tanto, si Ar es el area de estecrculo, la irradianciaen la retina seraIr =Ar. (2.55)Para calcular el valor de Ar necesitamos conocer la focal delojo teorico que se propone.Aplicando el invariante de Abbe aldioptrio se tienens ns=n nr, (2.56)es decir1.335s 1 =0.3357.2, (2.57)de donde f s = 28.7 mm. Por lo tanto el area Ar esAr = R2r = 1.5 1011m2. (2.58)Substituyendo los valores en la expresion (2.55) se obtiene unairradiancia en la retinadeIr = 0.823.3 1071.5 1011 = 1.85 104W/m2. (2.59)2.12 Considere una fuente de ondas electromagneticas esfericassituada en el origenque emite en 0 = 555 nm.Expresar el campo electrico de las ondas emitidas por lafuente.La expresion del campo electrico vendra dada por~E(~r, t) =E0rcos(t kr)u, (2.60)donde r = |~r| y u es un vector unitario que en cada punto delfrente de ondas perteneceal plano tangente a las supercies de faseconstante (esfera).Expresar el vector de Poynting de las ondas emitidas.En estecaso la expresion del vector de Poynting esta dada por~P(~r, t) = c0E20r2cos2(t kr)ur, (2.61)donde ur =xr +yr +zr k es un vector unitario que en cada punto es perpendicular alassupercies de fase constante. El promedio temporal del vector dePoynting vendra dadopor~P(~r)=12c0E20r2ur, (2.62)A una distancia D se coloca un detector circular de radio R0.Determinarel flujo del promedio temporal del vector de Poynting atraves del area deldetector.El ujo vendra dado por la expresionD =A~P(~r)d~S, (2.63)
44 Problemas de Optica Fsica IZDra/0 2YR0XFigura 2.5: Esquema de la situacion considerada. La fuentepuntual esta colocada en la perpendicularque parte del centro deldetector.donde d~S es el elemento innitesimal de area normal al detectorque viene dado pord~S = dxdz (ver Figura 2.5). En este caso elvector unitario ur en cada punto de lasupercie del detector vienedado por ur =xr +Dr +zr k. Teniendo en cuenta estollegamos a que la expresion (2.63) resultaD =Ac0E202r2Drdxdz. (2.64)Para realizar la integral indicada en (2.64) es preferibleexpresarla en coordenadaspolares: teniendo en cuenta que r2 = D2 +2 se llega a que dxdz = dd, de modoque nalmente se llega a queD = 2c0E20D2D2+R20D1r2dr. (2.65)La integral radial que resta en (2.65) es elemental por lo queel resultado puede expresarsecomoD =c0E2022 [1 cos (0/2)] , (2.66)donde tan(0/2) =R0D . A la vista del resultado expresado en(2.66) vemos que el ujototal recibido por el detector viene dado porD = L4 sin2(04)= L, (2.67)donde = 4 sin2(04 ) es el angulo solido que subtiende eldetector desde la fuente yL =c0E202 .
Tema 2. El campo electromagnetico 45Es particularmente interesante considerar el caso en el queR0 Dde modo que entoncesel angulo solido puede aproximarse a R20D2= AreaD2. Esta aproximacion sera empleadamas adelante.Suponga ahora que la fuente se desplaza una cantidad a en ladireccion deleje Z de modo que se verifica que a D. Obtenga laexpresion del flujoradiante que incide sobre el detector en estascondiciones.A partir de la expresion (2.63) el ujo radiante en la nuevasituacion vendra dado porD =A~P(~r)d~S =A~P(~r) dS cos(), (2.68)siendo el angulo indicado en la Figura2.6.ZDL1abYXrR0Figura 2.6: Esquema de la situacion considerada. La fuentepuntual se ha desplazado una distancia arespecto a la situacionconsiderada en la Figura 2.5.A la vista del resultado anterior, cabe esperar que el ujoradiante pueda expresarse demanera similar al obtenido en (2.67)donde ahora sera sustituido por el nuevo angulosolido subtendido .Si consideramos que D >> R0 podremos estimar el nuevoangulosolido como = AreaL21, donde ahora el area de la supercie corresponde a una elipsedesemiejes R0 y R0 cos(). Teniendo en cuenta ademas que D = L1cos() llegamos a queel angulo solido en la nueva situacion sera = R0R0 cos()L21= cos3(). Con lo cualteniendo en cuenta las ecuaciones (2.67) y (2.68) llegamos a queel ujo radiante vendradado porD = Lcos4(). (2.69)Determinar el flujo luminoso si E0 = 2 V/m, R0 = 1 cm yD = 5metros y lafuente esta enfrentada con el centro del detector.
46 Problemas de Optica Fsica IEl ujo luminoso, lD, es la magnitud fotometrica4 asociada al ujoradiante que es lamagnitud radiometrica hasta ahora empleada. Para convertir lamagnitud radiometricaa fotometrica basta tener en cuenta quelD = Ky0D, (2.70)donde K = 680 lumenes/Watio es el factor de conversioncomunmente aceptado e y0 esel valor de la curva de luminosidadestandard para la longitud de onda de interes (estacurva estanormalizada a la unidad en 0 = 555 nm). Tras realizar los calculosindicadosen (2.70) llegamos a que el ujo luminoso es lD = 0.000454lumenes.Supongamos ahora que la fuente es extensa y de forma circular(radio Rf).Asimismo suponga que cada punto de la fuente emite demanera isotropay de manera independiente con respecto a la emisionde otros puntos.Finalmente considere que el radio de la fuenteverifica la condicion Rf D.Obtenga la expresion del flujo radianteque incide sobre el detector en estascondiciones.En este caso lo interesante estriba en considerar justamente quelos diferentes puntosde la fuente emiten de manera independiente,de forma que la contribucion al ujo porparte de cada punto de lamisma es independiente: en otras palabras vamos a hacerunasuperposicion incoherente de las irradiancias procedentes de cadapunto. De estamanera, si tenemos en cuenta el resultado expresadoen la ecuacion (2.69), la contribucional ujo total de un puntodesplazado una cantidad adExtD = Lcos4()dxsdys, (2.71)donde xs e ys son coordenadas en el plano de la fuente. Siexpresamos la ecuacion (2.71)en coordenadas polares tendremosdExtD = L[DD2 + 2s]4sdsds. (2.72)Si sumamos a todos los puntos de la fuente se tendraExtD = LD2 sin2(0), (2.73)donde 0 = arctan(RfD).4Ver G. Wyszecki, Color Science: concepts and methods,quantitative data and formulae, 2nd Edition, (John Wiley& Sons,New York, 1982), Caps. 1 y 2.
Tema 2. El campo electromagnetico 472.13 Considere una carga q en el origen de coordenadas queejecuta un movimientooscilante en la direccion del eje Z de laforma z(t) = A0 cos(t). Este movimientoacelerado produce emision deondas electromagneticas dadas por~E(r, t) =q40c2rs s z(t)k,~B(r, t) =04crz(t)k s (2.74)donde t = tr/c es el instante retardado y s es un vectorunitario en la direccionde observacion. Esta es la conocidaexpresion del campo radiado por un dipolooscilante en la zona deondas. Tengase en cuenta que en esta region loscampos radiadoscumplen la relacion de transversalidad que hemos analizadoparaondas planas.Expresar explcitamente el campo electrico de las ondas emitidaspor lafuente.En primer lugar vamos a considerar la forma del vectorunitario en la direccion deobservacion que esta dado pors =xr+yr+zrk. (2.75)De la misma manera evaluaremos la aceleracion de la partcula quevendra dada porz(t) = 2A0 cos (t kr) . (2.76)Con lo cual nos resta realizar el triple producto vectorialindicado en (2.74) que resulta~E(r, t) = A0q240c2r[xzr2+yzr2 x2 + y2r2k]cos (t kr) . (2.77)Expresar explcitamente el campo magnetico de las ond
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