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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL PARALELO: “ B ” Ing. Oscar René Lomas Reyes Módulo Algebra Página 1

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Portafolio de Álgebra

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  • 1. Mdulo Algebra Pgina 1 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Mdulo ALGEBRA PRIMER NIVEL PARALELO: B Ing. Oscar Ren Lomas Reyes Marzo 2013 Agosto 2013

2. Mdulo Algebra Pgina 2 Contenido INTRODUCCIN............................................................................................................................. 3 OBJETIVOS................................................................................................................................. 4 CONJUNTO DE NMEROS NATURALES..................................................................................... 5 PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES................................................................................. 6 EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 7 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 9 QU ES UNA ECUACIN?....................................................................................................... 11 Partes de una ecuacin........................................................................................................... 11 Exponente!............................................................................................................................. 12 PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 13 FACTORIZACIN...................................................................................................................... 15 FACTORIZACIN POR AGRUPAMIENTO.................................................................................. 16 ECUACIONES LINEALES............................................................................................................ 16 SILABO......................................................................................................................................... 18 3. Mdulo Algebra Pgina 3 INTRODUCCIN El lgebra es una rama de las matemticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritmticas y lo nmeros para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos anlogos. Esta rama se caracteriza por hacer implcitas las incgnitas dentro de la misma operacin; ecuacin algebraica. El lgebra continu su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el lgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitgoras. El lgebra es el rea de las matemticas donde las letras (como x o y) u otros smbolos son usados para representar nmeros desconocidos. Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a ambos lados del signo igual (=), as: x - 5 = 2 x - 5 + 5 = 2 + 5 x + 0 = 7 x = 7 (la respuesta) Se realizara el estudio tanto de nmeros reales, nmeros enteros positivos, negativos , fraccionarios , productos notables, factorizacin , sistemas de ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera. 4. Mdulo Algebra Pgina 4 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Recopilar toda la informacin de cada tema ya visto en el mdulo de algebra, para que sirva de gua base para nuestro estudio. OBJETIVOS ESPECFICOS Elaborar el portafolio estudiantil Analizar la informacin recolectada que servir de base de estudio para la evaluacin. Trabajar en forma grupal en la recoleccin de la informacin 5. Mdulo Algebra Pgina 5 CONJUNTO DE NMEROS NATURALES Ciertos conjuntos de nmeros tienen nombres especiales. Los nmeros 1,2,3 y as sucesivamente , forman el conjunto de los nmeros enteros positivos o nmeros naturales. Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3) Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3 forman el conjunto de los enteros. Conjunto de enteros = (,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,) El conjunto de los nmeros racionales consiste en nmeros como y , que pueden escribirse como una razn (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es aqul que puede escribirse como donde p y q son enteros y q 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es racional. Los nmeros que se representan mediante decimales no peridicos que terminan se conocen como nmeros irracionales. Los nmeros y son ejemplos de nmeros irracionales. Junto, los nmeros racionales y los nmeros irracionales forman el conjunto de los nmeros reales. Los nmeros reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas 6. Mdulo Algebra Pgina 6 PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES Propiedad transitiva de igualdad.-Dos nmeros iguales a un tercer nmero son iguales entre s. Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicacin.- Dos nmeros pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un nmero real. Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicacin.- Dos nmeros pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden. Propiedad asociativa de la suma y la multiplicacin.- En la suma o en la multiplicacin, los nmeros pueden agruparse en cualquier orden. Propiedad de la identidad.- existen nmeros reales denotados 0 y 1 tales que para todo nmero real a. Propiedad del inverso.- Para cada nmero real a, existe un nico nmero real denotado poa a Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un nmero da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el nmero y despus sumar todos los productos. 7. Mdulo Algebra Pgina 7 EXPONENTES Y RADICALES Exponentes Un exponente es un valor ndice que me indica el nmero de veces que se va a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base. Por ejemplo: b es el valor base y -5 es el exponente -2 es el valor base y 7 es el exponente Leyes de los exponentes RADICALES La radicacin es la operacin inversa a la potenciacin. Se llama raz ensima de un nmero x a otro nmero y, que elevado a la n da como resultado x. n = ndice x = radicando y = raz 8. Mdulo Algebra Pgina 8 =signo radical Leyes radicales 9. Mdulo Algebra Pgina 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama a un conjunto de letras y nmeros ligados por los signos de las operaciones aritmticas. Monomio: Se llama monomio a la expresin algebraica que tiene un solo trmino. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo trmino: Binomio: Se llama binomio a la expresin algebraica que tiene dos trminos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos trminos: Trinomio: Se llama trinomio a la expresin algebraica que tiene tres trminos. Ejemplo: Las expresiones algebraicas que contienen ms de tres trminos se llaman Polinomios. Suma o adicin.- es una operacin que tiene por objeto reunir dos o ms expresiones algebraicas en una sola expresin algebraica. 10. Mdulo Algebra Pgina 10 Resta o sustraccin.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuacin el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los trminos semejantes. Multiplicacin.- se multiplica el monomio por cada uno de los trminos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los productos parciales con sus propios signos. Divisin.- se divide cada uno de los trminos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. 11. Mdulo Algebra Pgina 11 QU ES UNA ECUACIN? Una ecuacin dice que dos cosas son iguales. Tendr un signo de igualdad "=", por ejemplo: x + 2 = 6 Lo que esta ecuacin dice: lo que est a la izquierda (x + 2) es igual que lo que est en la derecha (6) As que una ecuacin es como una afirmacin "esto es igual a aquello" Partes de una ecuacin Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (mejor que decir "esta cosa de aqu"!) Aqu tienes una ecuacin que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes: Una variable es un smbolo para un nmero que todava no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un nmero solo se llama una constante. Un coeficiente es un nmero que est multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, as que 4 es un coeficiente) Un operador es un smbolo (como +, , etc) que representa una operacin (es decir, algo que quieres hacer con los valores). 12. Mdulo Algebra Pgina 12 Un trmino es o bien un nmero o variable solo, o nmeros y variables multiplicados juntos. Una expresin es un grupo de trminos (los trminos estn separados por signos + o -) Ahora podemos decir cosas como "esa expresin slo tiene dos trminos", o "el segundo trmino es constante", o incluso "ests seguro de que el coeficiente es 4?" Exponente! Elexponente (como el 2 en x2 ) dice cuntas veces usar el valor en una multiplicacin. Ejemplos: 82 = 8 8 = 64 y3 = y y y y2 z = y y z Los exponentes hacen ms fcil escribir y usar muchas multiplicaciones Ejemplo: y4 z2 es ms fcil que y y y y z z, o incluso yyyyzz 13. Mdulo Algebra Pgina 13 PRODUCTOS NOTABLES Binomio al cuadrado Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer trmino, ms el doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (X + 3)2 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer trmino, menos el doble producto del primero por el segundo, ms el cuadrado segundo. (a b)2 = a2 2 a b + b2 (2x 3)2 = (2x)2 2 2x 3 + 3 2 = 4x2 12 x + 9 Suma por diferencia Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) (a b) = a2 b2 (2x + 5) (2x - 5) = (2 x)2 52 = 4x2 25 Binomio al cubo Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, ms el triple del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 x2 3 + 3 x 32 + 33 = = x 3 + 9x2 + 27x + 27 14. Mdulo Algebra Pgina 14 Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a b)3 = a3 3 a2 b + 3 a b2 b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 (2x)2 3 + 3 2x 32 - 33 = = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, ms el cuadrado del seguno, ms el cuadrado del tercero, ms el doble del primero por el segundo, ms el doble del primero por el tercero, ms el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c (x2 x + 1)2 = = (x2 )2 + (x)2 + 12 +2 x2 (x) + 2 x2 1 + 2 (x) 1 = = x4 + x2 + 1 2x3 + 2x2 2x = = x4 2x3 + 3x2 2x + 1 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2 ) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9) Diferencia de cubos a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2 ) 8x3 27 = (2x 3) (4x2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un trmino comn (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x2 + (2 + 3)x + 2 3 = = x2 + 5x + 6 15. Mdulo Algebra Pgina 15 FACTORIZACIN Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto de dos o ms polinomios de menor grado .este proceso se llama factorizacin y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples. Factorizacin por factor comn. Cuando en los diversos trminos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor comn, para lo cual, se escribe e inmediatamente, despus, dentro de un parntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los trminos del polinomio entre el factor comn. Factorizacin de una diferencia de cuadros. Se sabe que: ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados. Factorizacin de un cuadrado perfecto Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raz cuadrada al primero y tercer trmino del trinomio separndose estas races por medio del signo del segundo trmino y elevando este binomio al cuadrado: Factorizacin de una suma o diferencia de cubos Se sabe que: Factorizacin de cubos perfectos de binomios. 16. Mdulo Algebra Pgina 16 FACTORIZACIN POR AGRUPAMIENTO. Algunas veces en un polinomio los trminos no contienen ningn factor comn, pero pueden ser separados en grupos de trminos con factor comn. Este mtodo consiste en formar grupos, los ms adecuados, para factorizar cada uno como ms convenga en cada caso y lograr finalmente la factorizacin total de la expresin. FACTORIZACIN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA ECUACIONES LINEALES Sabemos que una ecuacin lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) Ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuacin el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque el resultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin se debe: Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro. Luego despejar "x" reduciendo trminos semejantes. Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 17. Mdulo Algebra Pgina 17 35x = 182 b) Ecuaciones Fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin se debe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: C . ECUACIONES LITERALES Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. 18. Mdulo Algebra Pgina 18 SILABO I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATGICO UPEC MISIN MISIN - ESCUELA Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos cientficos y tecnolgicos; comprometida con la investigacin y la solucin de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integracin fronteriza La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la produccin, transformacin, investigacin y dinamizacin del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad UPEC - VISIN VISIN ESCUELA Ser una Universidad Politcnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional Liderar a nivel regional el proceso de formacin y lograr la excelencia acadmica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un slido apoyo basado en el profesionalismo y actualizacin de los docentes, en la investigacin, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los ltimos adelantos tecnolgicos, pedaggicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotacin racional de los recursos naturales, produccin limpia, principios de equidad, participacin, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberana alimentaria. REA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE- UNESCO SUB-REA CONOCIMIENTO CINE- UNESCO Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca. II. DATOS BSICOS DEL MDULO ALGEBRA: CDIGO NIVEL PRIMERO DOCENTE: Oscar Ren Lomas Reyes Ing. TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected] 19. Mdulo Algebra Pgina 19 [email protected] CRDITOS T 1 CRDITOS P 2 TOTAL CRDITOS 3 HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48 PRE-REQUISITOS:(Mdulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de ste mdulo) CDIGOS 1. Nivelacin Aprobada CO-REQUISITOS:(Mdulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a ste mdulo) CDIGOS 1. Fsica Aplicada 1 EJE DE FORMACIN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL REA DE FORMACIN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrcola LIBRO(S)BASE DEL MDULO:(Referencie con norma APA el libro, fsico o digital, disponible en la UPEC para estudio ) Haeussler, E. (2008). Matemticas para Administracin y Economa, Dcima segunda edicin: Mxico LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MDULO:(Referencie con norma APA el libro, fsico o digital, disponible en la UPEC para estudio) Snut S. y otros (2012). Matemticas para el anlisis econmico. Segunda edicin: Madrid Espaa. Escudero R. y otros. (2011). Matemticas Bsicas. Segunda edicin: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemticas. Tercera edicin: Colombia. Pullas G. (2011). Matemtica bsica. Primera edicin: Ecuador. 20. Mdulo Algebra Pgina 20 SnchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edicin Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemtico.pdf DESCRIPCIN DEL MDULO:(Describe el aporte del mdulo a la formacin del perfil profesional, a la MISIN y VISIN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de ste mdulo). 100 palabras / 7 lneas El mdulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolucin de problemticas del entorno a travs del conocimiento matemtico, haciendo nfasis en estudio de casos, datos estadsticos, anlisis de datos, las matemticas relacionadas a los finanzas, la economa, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y as fortalecer el aprendizaje acadmico pedaggico de los educandos. III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA). Escaso razonamiento lgico matemtico Competencia GENRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO) Desarrollar el pensamiento lgico Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENRICA) Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural Competencia ESPECFICA - MDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLMICO y las COMPETENCIAS GENRICA y GLOBAL) Desarrollar el pensamiento lgico adecuadamente a travs del lenguaje y las estructuras matemticas 21. Mdulo Algebra Pgina 21 para plantear y resolver problemas del entorno. NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVO LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenieras El estudiante es capaz de: DIMENSIN (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIR para alcanzar el logro) 1. TERICO BSICO RECORDAR MLP Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. TERICO AVANZADO ENTENDER Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 3. PRCTICO BSICO APLICAR Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 4. PRCTICO AVANZADO ANALIZAR Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 5. TERICO PRCTICO BSICO EVALUAR Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 6. TERICO PRCTICO AVANZADO CREAR Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno. 1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les 22. Mdulo Algebra Pgina 22 permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIN GENERAL, as como la sensibilizacin y el conocimiento del propio conocimiento. Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los mdulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formacin de la COMPETENCIA ESPECFICA). Algebra, calculo, estadstica descriptiva, estadstica inferencial, investigacin de operaciones, matemticas discretas. 23. Mdulo Algebra Pgina 23 IV. METODOLOGA DE FORMACIN DEL PERFIL: LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) El estudiante ser capaz de CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS DIDCTICAS Estrategias, mtodos y tcnicas HORAS CLASE COGNITIVOS Qu TIENEque saber? PROCEDIMENTALES Saber cmo TIENE queaplicar el conocimiento? AFECTIVO MOTIVACIONALES Saber qu y cmo TIENEactuar axiolgicamente? T P Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. Sistema de Nmeros Reales Recta de nmeros Reales Operaciones Binarias Potenciacin y Radicacin Propiedades fundamentales Aplicaciones Utilizar organizadores grficos para identificar las clases de nmeros reales que existe Utilizar organizadores grficos para ubicar los elementos Relacionar en la uve heurstica Identificar los diferentes propiedades en potenciacin y radicacin Hacer sntesis grfica Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turstico Demostrar comprensin sobre los tipos de nmeros reales Disposicin para trabajar en equipo Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemtica bsica Aceptar opiniones diferentes Potenciar el clima positivo Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autnoma y eficiente DEMOSTRAR. 1. Caracterizar los nmeros reales para la demostracin 2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los nmeros reales. CONVERSACIN HEURISTICA 1. Determinacin del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, bsqueda individual de la solucin, socializar la solucin. 2 4 24. Mdulo Algebra Pgina 24 Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico. Expresiones algebraicas: nomenclatura y clasificacin. Polinomios clasificacin. Operaciones con Polinomios: adicin, resta, multiplicacin y divisin. Productos notables. Descomposicin Factorial Aplicar operaciones mentales Identificar los diferentes tipos polinomios Aplicar operaciones mentales en la resolucin de un sistema de ecuaciones. Identificar los diferentes tipos de productos notables Resolver ejercicios Aceptar opiniones divergentes Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo Potenciar la resolucin de problemas Valorar las participaciones de los dems Demostrar grado por lo que hacemos INDUCTIVO-DEDUCTIVO INDUCTIVO 1.Observacin 2. Experimentacin. 3. Informacin (oral, escrita, grfica, etc.) 4. Dramatizacin. 5. Resolucin de problemas. 6. comprobacin. 7. Asociacin (especial temporal y casual) 8. Abstraccin. 9. Generalizacin. 10. Resmenes. 11. Ejercicios de fijacin. CONVERSACIN HEURISTICA 1. Determinacin del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, bsqueda individual de la solucin, 2 4 25. Mdulo Algebra Pgina 25 socializar la solucin. Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. Mximo comn divisor de polinomios. Mnimo comn mltiplos de polinomios. Operaciones con fracciones. Aplicaciones Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos Aplicar procesos de resolucin adecuados para resolver problemas. Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los mximos y los mnimos Distinguir los componentes de las expresiones racionales Utilizar una actitud crtica y reflexiva sobre el tema. Cooperar en el desarrollo del conocimiento. Demostrar confianza en el desarrollo del proceso. Cooperar con el grupo en la resolucin de funciones. RAZONAR 1. Determinar las premisas. 2. Encontrar la relacin de inferencia entre las premisas a travs del trmino medio. 3. Elaborar las conclusiones. RELACIONAR. 1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar. 2. Determinar los criterios de relacin entre los objetos 3 6 Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados Ecuaciones lineales, resolucin Sistemas lineales y clasificacin. Resolucin de ecuaciones lineales. Aplicaciones Plantear ecuaciones lineales. Identificar los sistemas lneas y su clasificacin Elaborar modelos matemticos en la solucin de problemas de la carrera Implementar procesos de resolucin adecuados en problemas reales. Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolucin de problemas. Demostrar inters en el trabajo individual y de equipo Respetar las opiniones del grupo y fuera de l. Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante. EXPOSICION PROBLEMICA. 1. Determinar el problema. 2. Realizar el encuadre del problema. 3. Comunicar el conocimiento. 4. Formulacin de la hiptesis. 5. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 6. Encontrar solucin (fuentes, argumentos, bsqueda, contradicciones) 3 6 Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados. Definicin y clasificacin. Ecuaciones reducibles a cuadrticas Resolucin de ecuaciones Nombrar la definicin de ecuaciones cuadrticas Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadrticas Resolver ejercicios sobre Utilizar creatividad y capacidad de anlisis y sntesis respetando los criterios del grupo. Demostrar razonamiento crtico y reflexivo cooperando en la obtencin de resultados EXPOSICIN PROBLEMICA 1. Determinar el problema 2. Realizar el encuadre del problema 3. Comunicar el 3 6 26. Mdulo Algebra Pgina 26 cuadrticas por factoreo. Resolucin por completacin de un trinomio cuadrado. expresiones cuadrticas Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos. conocimiento (conferencia ,video ) 4. Formulacin de la hiptesis ( interaccin de las partes) Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno. Frmula general para resolver ecuaciones cuadrticas. Aplicaciones de la ecuacin cuadrtica. Aplicar la frmula general para la resolucin de ecuaciones cuadrticas Distinguir los componentes de las expresiones racionales Valorar la creatividad de los dems Respetar el criterio del grupo. 1. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 2. Encontrar la solucin ( fuentes ,argumentos, bsqueda ,contradicciones) 3 6 27. Mdulo Algebra Pgina 27 V. PLANEACIN DE LA EVALUACIN DEL MDULO LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) FORMAS DE EVALUACIN DE LOGROS DE APRENDIZAJE indicar las polticas de evaluacin para ste mdulo segn los resultados esperados DIMENSIN (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIR para alcanzar el logro) INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA descripcin TCNICAS e INSTRUMENTOS de EVALUACIN 1 PARCIA L 2 PARCIA L 3 PARCIA L SUPLETORI O Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. FACTUAL. Interpretar informacin. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico. CONCEPTUAL. Interpretar la informacin. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Documento Documento Documento Chat-Foro 10% 10% 10% 10% 28. Mdulo Algebra Pgina 28 Pruebas Portafolio Reactivos Documento 50% 10% 100% Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% 100% Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados. CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseo. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 5% 5% 5% 5% 25% 5% Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno. FACTUAL. CONCEPTUAL. PROCESAL METACOGNITIVO Interpretar informacin. Modelar, simular sistemas complejos. Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 5% 5% 5% 5% 25% 5% 100% ESCALA DE VALORACIN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable Aceptable 29. Mdulo Algebra Pgina 29 Nivel ponderado de aspiracin y alcance 8.0 a 8.9 Acreditable Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable Inaceptable 30. Mdulo Algebra Pgina 30 VI. GUA DE TRABAJO AUTNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE HORAS AUTNO MAS INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO T P Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. Consulte informacin en el internet y textos especializados los conceptos de nmeros reales, presentar en organizadores grficos. Prueba Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Diferencia los diferentes tipos de sistemas de nmeros reales. 2 4 Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico. Consulta sobre la definicin de un monomio y polinomio. Grado de un polinomio y su ordenamiento Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Identifica los tipos de polinomios 2 4 Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales 3 6 Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados Dar solucin a ecuaciones de primer grado Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Dar solucin a ecuaciones de primer grado 3 6 31. Mdulo Algebra Pgina 31 Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solucin de expresiones cuadrticas. Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solucin de expresiones cuadrticas 3 6 Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno. 3 6 PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los mdulos del Nivel ) TOTAL 16 32 CRDITOS 1 2 3 32. Mdulo Algebra Pgina 32 VII. Bibliografa. BSICA: (Disponible en la UPEC en fsico y digital REFENCIAR con normas APA) Haeussler, E. (2008). Matemticas para Administracin y Economa, Dcima segunda edicin: Mxico COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en fsico y digital - REFENCIAR con normas APA) Snut S. y otros (2012). Matemticas para el anlisis econmico. Segunda edicin: Madrid Espaa. Escudero R. y otros. (2011). Matemticas Bsicas. Segunda edicin: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemticas. Tercera edicin: Colombia. Pullas G. (2011). Matemtica bsica. Primera edicin: Ecuador. SnchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edicin Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemtico.pdf DOCENTES: Firma: Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing. ENTREGADO: Marzo 2013 33. Mdulo Algebra Pgina 33 34. Mdulo Algebra Pgina 34 35. Mdulo Algebra Pgina 35 36. Mdulo Algebra Pgina 36 37. Mdulo Algebra Pgina 37 38. Mdulo Algebra Pgina 38 39. Mdulo Algebra Pgina 39 1 NMEROS REALES 40. Mdulo Algebra Pgina 40 PROBLEMAS 0.2 41. Mdulo Algebra Pgina 41 42. Mdulo Algebra Pgina 42 43. Mdulo Algebra Pgina 43 44. Mdulo Algebra Pgina 44 45. Mdulo Algebra Pgina 45 46. Mdulo Algebra Pgina 46 2 EJERCICIOS-POTENCIACIN-RACIONALIZACIN 47. Mdulo Algebra Pgina 47 48. Mdulo Algebra Pgina 48 49. Mdulo Algebra Pgina 49 50. Mdulo Algebra Pgina 50 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 51. Mdulo Algebra Pgina 51 52. Mdulo Algebra Pgina 52 53. Mdulo Algebra Pgina 53 54. Mdulo Algebra Pgina 54 55. Mdulo Algebra Pgina 55 56. Mdulo Algebra Pgina 56 57. Mdulo Algebra Pgina 57 EJERCICIOS-FACTORIZACIN 58. Mdulo Algebra Pgina 58 59. Mdulo Algebra Pgina 59 60. Mdulo Algebra Pgina 60 61. Mdulo Algebra Pgina 61 3 TABLA DINMICA EXCEL 62. Mdulo Algebra Pgina 62 REACTIVOSDE LGEBRA NOMBRE PATRICIA PUSD LGEBRA 1. Cul de los siguientes ejemplos es un nmero natural? a) b) c) d) -8 2. Solucionar a) b) c) d) 3. Simplificar X2 / x6 y 2 y5 a) Y3/ x2 b) Y3/ x3 c) X3/y33 d) Ninguna 4. Resolver X2 +(a +b) x + ab a) (x +b)(x +a) b) (x- b )(x +ab) c) Ninguna d) a y b 5. Solucionar Y= X2 + 5x +6 a) Y= 4 63. Mdulo Algebra Pgina 63 b) Y = 6 c) Y= 12 d) X= 34 Economa y finanzas 1. La curva de demanda de trabajo se desplazar hacia la izquierda cuando: a. Aumente el precio del producto. b. Se produzca una mejora tecnolgica. c. Disminuya el precio del producto. d. Ninguna de las anteriores 2. cuando el activo circulante (activo corriente), es menor que el pasivo circulante (pasivo corriente), se dice que: a) el fondo de maniobra es negativo b) el fondo de maniobra es despreciable c) el fondo de maniobra es positivo d) ninguno 3. los organigramas reflejan: a) la interrelacin entre los diferentes objetos de la empresa b) una visin grfica y resumida de la estructura formal de la organizacin c) una visin grfica y resumida de la estructura informal de la organizacin d) nada de lo anterior 4. Si el activo de una empresa es igual al neto patrimonial: a) La empresa se encuentra en una grave situacin de inestabilidad b) Estamos ante la mxima estabilidad financiera c) El empresario ha invertido todo su dinero en el negocio d) Ninguna de las anteriores 5. La diferencia entre activo circulante y el pasivo circulante define: a) El fondo de maniobra b) El ratio de tesorera c) El ratio de liquidez d) Ninguna de las anteriores 64. Mdulo Algebra Pgina 64 EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 65. Mdulo Algebra Pgina 65 66. Mdulo Algebra Pgina 66 67. Mdulo Algebra Pgina 67 68. Mdulo Algebra Pgina 68 69. Mdulo Algebra Pgina 69 70. Mdulo Algebra Pgina 70 71. Mdulo Algebra Pgina 71 72. Mdulo Algebra Pgina 72 73. Mdulo Algebra Pgina 73 74. Mdulo Algebra Pgina 74 Depreciaciones 75. Mdulo Algebra Pgina 75 Trabajo en clase 76. Mdulo Algebra Pgina 76 FRACCIONES ALGEBRAICAS Expresiones algebraicas Una expresin algebraica es un conjunto de nmeros y letras ligados por operaciones. A las letras se les llama parte literal de la expresin y suelen designar magnitudes variables. Los nmeros reciben el nombre de coecientes. Algunos ejemplos son: a) La expresin P 5 2a 1 2b puede servir para designar de forma genrica el permetro de un rectngulo de lados a y b. Para un valor de P determinado, digamos P 5 100, la expresin ser 100 5 2a 1 2b. b) La expresin D 5 10000 2 2p puede dar la demanda de un producto en funcin de su precio p. Esta relacin permite determinar la demanda para cada valor de p. Tipos de expresiones algebraicas Monomio Un monomio es una expresin algebraica formada por un solo trmino. Ejercicios 12ab+ 3ab+ 7ab= 22ab (15a) (8a)= 15a- 8a = 7a (3ab) (-5ac) = - 15abc 4ab - 2ab= -2a (3- 1) b(2- 1) = -2ab 77. Mdulo Algebra Pgina 77 Binomio Un binomio es una expresin algebraica formada por dos trminos. abx+aby (ab)(x+y) Trinomio Un trinomio es una expresin algebraica formada por tres trminos. X 2 +6x+9 x2-6x+9 Polinomio Un polinomio es una expresin algebraica formada por ms de un trmino. Polinomio de primer grado P(x) = 3x + 2 Polinomio de segundo grado P(x) = 2x2+ 3x + 2 Polinomio de tercer grado P(x) = x3 2x2+ 3x + 2 Polinomio de cuarto grado P(x) = x4 + x3 2x2+ 3x + 2 78. Mdulo Algebra Pgina 78 OPERACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son: Suma y Resta Multiplicacin Divisin Simplificacin de Fracciones Algebraicas Se dice que una fraccin est reducida a sus trminos ms sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningn factor comn al numerador y denominador. Evidentemente una fraccin dada puede reducirse a sus trminos ms sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en comn. Ejemplo: Simplifica la siguiente fraccin CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Fraccin algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. 79. Mdulo Algebra Pgina 79 Fraccin propia e impropia Una fraccin simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Fraccin compuesta Una fraccin compuesta es aquella que contiene una o ms fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. 80. Mdulo Algebra Pgina 80 EJERCICIOS DE ECUACIONES LINEALES 2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5 3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0 8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1 Ejemplo 1: Ecuaciones lineales Una ecuacin lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son nmeros reales con adiferente de cero. Definici n 81. Mdulo Algebra Pgina 81 Una ecuacin de primer grado o ecuacin lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o ms variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuacin que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Tambin podemos decir que ax + b = c es una ecuacin de primer grado en x. Not a 5x 2 + 3 = 5 Es una ecuacin de segundo grado 6x 3 + 2x = 4 Es una ecuacin de tercer grado Contraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones lineales 82. Mdulo Algebra Pgina 82 83. Mdulo Algebra Pgina 83 Ejercicios Ejercicio 1 x-15 = -27 x = -27+15 x = -12 Comprobacin -12-15 = -27 -27 = -27 Ejercicio 2 -11x+12 = 144 -11x = 144-12 -11x = 132 x = 132/-11 x = -12 Comprobacin -11(-12)+12 = 144 132+12 = 144 144 = 144 84. Mdulo Algebra Pgina 84 Ejercicio 3 -8x-15 = -111 -8x = -111+15 -8x = -96 x = -96/-8 x = 12 Comprobacin -8(12)-15 = -111 -96-15 = -111 -111 = -111 Ejercicio 4 6x-10 = -16 6x = -16+10 6x = -6 x = -6/6 x = -1 Comprobacin 6(-1)-10 = -16 -6-10 = -16 -16 = -16 Ejercicio 5 -15x-6 = 9 85. Mdulo Algebra Pgina 85 -15x = 9+6 -15x = 15 x = 15/-15 x = -1 Comprobacin -15(-1)-6 = 9 15-6 = 9 9 = 9 Ejercicio 6 12x+12 = 72 12x = 72-12 12x = 60 x = 60/12 x = 5 Comprobacin 12(5)+12 = 72 60+12 = 72 72 = 72 Ejercicio 7 -10x+9 = -81 -10x = -81-9 86. Mdulo Algebra Pgina 86 -10x = -90 x = -90/-10 x = 9 Comprobacin -10(9)+9 = -81 -90+9 = -81 -81 = -81 Ejercicio 8 5x-15 = 15 5x = 15+15 5x = 30 x = 30/5 x = 6 Comprobacin 5(6)-15 = 15 30-15 = 15 15 = 15 Ejercicio 9 2x-13 = -19 2x = -19+13 2x = -6 87. Mdulo Algebra Pgina 87 x = -6/2 x = -3 Comprobacin 2(-3)-13 = -19 -6-13 = -19 -19 = -19 SISTEMAS DE ECUACIONES 88. Mdulo Algebra Pgina 88 89. Mdulo Algebra Pgina 89 90. Mdulo Algebra Pgina 90 91. Mdulo Algebra Pgina 91 92. Mdulo Algebra Pgina 92 93. Mdulo Algebra Pgina 93 94. Mdulo Algebra Pgina 94 En las matemticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o ms ecuaciones con varias incgnitas que conforman un problema matemtico consistente en encontrar los valores de las incgnitas que satisfacen dichas ecuaciones. En un sistema de ecuaciones algebraicas las incgnitas son valores numricos (o ms generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuacin diferencial las incgnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solucin de dicho sistema es por tanto, un valor o una funcin que substituida en las ecuaciones del sistema hace que stas se cumplan automticamente sin que se llegue a una contradiccin. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incgnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incgnitas se suelen representar utilizando las ltimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subndices. Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones: forman un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. El conjunto de ecuaciones: forman un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas. Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incgnita del sistema. Por ejemplo, es un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman tambin sistema de ecuaciones cuadrticas. El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incgnitas (porque todos los valores estn elevados a 1, que no se escribe). 95. Mdulo Algebra Pgina 95 Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y adems no aparecen trminos con las incgnitas multiplicadas entre s(tipo x y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. Resolviendo sistemas Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes mtodos: Mtodo de sustitucin Lo que debemos hacer: 1.- Despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones. 2.- Sustituir la expresin obtenida en la otra ecuacin. 3.- Resolver la ecuacin resultante. 4.- Calcular la otra incgnita en la ecuacin despejada. Ejemplo: Resolver Se despeja x en la segunda ecuacin: x = 8 2y Se sustituyen en la primera ecuacin: 3(8 2y) 4y = 6 Operando: 24 6y 4y = 6 24 10y = 6 10y = 6 24 10y = 30 Se resuelve: y = 3 Se sustituye este valor en la segunda: x + 2(3) = 8 x + 6 = 8 x = 8 6 = 2 Solucin del sistema: x = 2, y = 3 96. Mdulo Algebra Pgina 96 Mtodo de reduccin Lo que debemos hacer: 1.- Se igualan los coeficientes de una incgnita, salvo el signo, eligiendo un mltiplo comn de ambos. 2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incgnita. 3.- Se suman o restan, segn convenga, las ecuaciones. 4.- Se resuelve la ecuacin de primer grado resultante. 5.- Se calcula la otra incgnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema. Ejemplo: Resolver Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incgnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuacin por 4 y amplificamos la segunda ecuacin por 3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por 3 queda 24x, y se anulan entre s; o sea, hemos eliminado una incgnita para trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos lo mismo con la y. Se elimina la x: Se elimina la y: Ver: PSU: Matemtica; Pregunta 26_2010 Mtodo de igualacin Lo que debemos hacer: 1.- Se despeja una de las incgnitas en ambas ecuaciones. 2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una incgnita. 97. Mdulo Algebra Pgina 97 3.- Se resuelve la ecuacin resultante. 4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejada la otra incgnita. 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema. Ejemplo: Resolver Despejamos x en la primera ecuacin: Despejamos x en la segunda ecuacin: x = 1 2y Igualamos ambas expresiones: :Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuacin: x = 3 + 2(1) x = 3 2 x = 1 Solucin del sistema: x = 1, y = 1 Otro ejemplo: Resolver, por el mtodo de igualacin, el sistema Despejamos, por ejemplo, la incgnita x de la primera y segunda ecuacin: 98. Mdulo Algebra Pgina 98 Igualamos ambas expresiones: Luego, resolvemos la ecuacin: Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x: 99. Mdulo Algebra Pgina 99 ECUACIONES CUADRTICAS ECUACION CUADRTICA Una ecuacin de segundo grado o ecuacin cuadrtica es una ecuacin que tiene la forma de una suma de trminos cuyo grado mximo es dos, es decir, una ecuacin cuadrtica puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrtico. La expresin cannica general de una ecuacin cuadrtica es: Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrtico (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el trmino independiente. Este polinomio se puede representar mediante una grfica de una funcin cuadrtica o parbola. Esta representacin grfica es til, porque la interseccin de esta grfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuacin (y dado que pueden existir dos, una o ninguna interseccin, esos pueden ser los nmeros de soluciones de la ecuacin). 100. Mdulo Algebra Pgina 100 Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son nmeros reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las races ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadrticas: 1. Factorizacin Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Frmula Cuadrtica Factorizacin Simple: 101. Mdulo Algebra Pgina 101 La factorizacin simple consiste en convertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorizacin simple de la ecuacin x2 + 2x 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8 (x ) (x ) = 0 [x x = x2 ] ( x + ) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x 2) = 0 4 y 2 4 + -2 = 2 4 -2 = -8 x + 4 = 0 x 2 = 0 x + 4 = 0 x 2 = 0 x = 0 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones. 102. Mdulo Algebra Pgina 102 Completando el Cuadrado: En este mtodo, la ecuacin tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuacin 4x2 + 12x 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x 8 = 0 [Ya est en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] x2 + 2x + 1 = 8 + 1 x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre ser un cuadrado perfecto. 103. Mdulo Algebra Pgina 103 ( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = x + 1 = 3 x = -1 3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3 x = -1 3 x = 2 x = -4 Frmula Cuadrtica: Este mtodo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a la siguiente frmula: Ejemplo: X2 + 2x 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8 104. Mdulo Algebra Pgina 104 x = -2 6 2 X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2 x = 4 x = -8 2 2 x = 2 x = - 4 EJEMPLOS 105. Mdulo Algebra Pgina 105 106. Mdulo Algebra Pgina 106 GRAFICAR ECUACIONES CUADRTICAS ECUACIONES CUADRTICAS Una ecuacin de este tipo se llaman de segundo grado o cuadrtica conviene notar que, lo que caracteriza a una ecuacin de segundo grado es que, la potencia mxima de la incgnita sea la segunda, independientemente del nmero de incgnitas. Grfica Uno de los mtodos para resolver las ecuaciones cuadrticas es la graficacin, donde tenemos que encontrar la variable independiente (x) y la variable dependiente (y).Pero para hacer esto debemos primero de ubicar las ecuaciones cuadrticas: Las ecuaciones de la forma ax + bx + c = 0,son las ecuaciones de segundo grado o cuadrticas toda ecuacin de segundo grado en la que b = 0 es una ecuacin cuadrtica pura, la cual carece del termino de primer grado. 107. Mdulo Algebra Pgina 107 108. Mdulo Algebra Pgina 108 Caractersticas Para graficar una funcin cuadrtica se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y el vrtice. Parbola f(x) = x2 + 5x + 6 La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la funcin. Hallamos el vrtice de la parbola: 109. Mdulo Algebra Pgina 109 Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2 Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 = -49/4 V = (-2.5, - 12.5) Supongamos una ecuacin de 2 grado (el exponente de x debe ser 2): Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos: En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, despus 0, seguidamente 2 y por fin, 3. La variable dependiente y recibir los valores: 9,4,0, 4 y 9 Podemos escribir: Colocamos en el eje de coordenadas los puntos: y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente: 110. Mdulo Algebra Pgina 110 13.82 Representa grficamente la ecuacin de 2 grado: Respuesta: Solucin 111. Mdulo Algebra Pgina 111 Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuacin de 2 grado: Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parbola. Por qu los puntos no los unimos con rectas? Porque si en la ecuacin de 2 grado diramos a x los valores que indicamos a continuacin los correspondientes al eje y seran:: Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos y obtendramos algo parecido a: 112. Mdulo Algebra Pgina 112 Por la colocacin de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado. Vamos a dibujar una parbola cuyo vrtice se encuentre en el punto (0,1). En primer lugar debemos conocer la ecuacin de 2 grado, supongamos que se trata de: El vrtice se hallar en el punto (0,1). Veamos porqu. Si a "x" le das el valor cero en esta ecuacin, comprobars que el valor de y es 1. Luego, parax=0; y=1. Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas. El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parbola: 113. Mdulo Algebra Pgina 113 En el caso de que representsemos grficamente la ecuacin: Para x=0 y=-2 La parbola sera: En el caso de que la ecuacin fuese el vrtice estara situado en el punto (0,2): 114. Mdulo Algebra Pgina 114 Si a x le das el valor 0 en la ecuacin propuesta, y valdr 2. 13.82(a) Representa grficamente la ecuacin: 13.83 Representa grficamente la ecuacin: Respuesta: 115. Mdulo Algebra Pgina 115 Solucin Los puntos que hemos tomado han sido: El vrtice de la parbola lo tenemos en el punto (0,-1) Ejemplo: En este caso a vale 1. Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto comn de la parbola y su eje. Si doblsemos el papel por el eje de la parbola, las dos ramas o brazos coincidiran. 116. Mdulo Algebra Pgina 116 UNIVERSIDAD Politcnica ESTATAL DEL CARCHI DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO Modulo: LGEBRA Tema: GRAFICAR ECUACIONES CUADRTICAS Ing. OSCAR LOMAS NOMBRE: Patricia Pusd 117. Mdulo Algebra Pgina 117 GRAFICAR ECUACIONES CUADRTICAS ECUACIONES CUADRTICAS Una ecuacin de este tipo se llaman de segundo grado o cuadrtica conviene notar que, lo que caracteriza a una ecuacin de segundo grado es que, la potencia mxima de la incgnita sea la segunda, independientemente del nmero de incgnitas. Grfica Uno de los mtodos para resolver las ecuaciones cuadrticas es la graficacin, donde tenemos que encontrar la variable independiente (x) y la variable dependiente (y).Pero para hacer esto debemos primero de ubicar las ecuaciones cuadrticas: Las ecuaciones de la forma ax + bx + c = 0, son las ecuaciones de segundo grado o cuadrticas toda ecuacin de segundo grado en la que b = 0 es una ecuacin cuadrtica pura, la cual carece del termino de primer grado. 118. Mdulo Algebra Pgina 118 Caractersticas Para graficar una funcin cuadrtica se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y el vrtice. Parbola f(x) = x2 + 5x + 6 La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la funcin. Hallamos el vrtice de la parbola: 119. Mdulo Algebra Pgina 119 Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2 Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 = -49/4 V = (-2.5, - 12.5) Supongamos una ecuacin de 2 grado (el exponente de x debe ser 2): Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos: En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, despus 0, seguidamente 2 y por fin, 3. La variable dependiente y recibir los valores: 9,4,0, 4 y 9 Podemos escribir: Colocamos en el eje de coordenadas los puntos: y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente: 120. Mdulo Algebra Pgina 120 13.82 Representa grficamente la ecuacin de 2 grado: Respuesta: Solucin 121. Mdulo Algebra Pgina 121 Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuacin de 2 grado: Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parbola. Por qu los puntos no los unimos con rectas? Porque si en la ecuacin de 2 grado diramos a x los valores que indicamos a continuacin los correspondientes al eje y seran:: Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos y obtendramos algo parecido a: 122. Mdulo Algebra Pgina 122 Por la colocacin de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado. Vamos a dibujar una parbola cuyo vrtice se encuentre en el punto (0,1). En primer lugar debemos conocer la ecuacin de 2 grado, supongamos que se trata de: El vrtice se hallar en el punto (0,1). Veamos porqu. Si a "x" le das el valor cero en esta ecuacin, comprobars que el valor de y es 1. Luego, para x=0; y=1. Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas. El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parbola: 123. Mdulo Algebra Pgina 123 En el caso de que representsemos grficamente la ecuacin: Para x=0 y=-2 La parbola sera: En el caso de que la ecuacin fuese el vrtice estara situado en el punto (0,2): 124. Mdulo Algebra Pgina 124 Si a x le das el valor 0 en la ecuacin propuesta, y valdr 2. 13.82(a) Representa grficamente la ecuacin: 13.83 Representa grficamente la ecuacin: Respuesta: 125. Mdulo Algebra Pgina 125 Solucin Los puntos que hemos tomado han sido: El vrtice de la parbola lo tenemos en el punto (0,-1) Ejemplo: En este caso a vale 1. Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto comn de la parbola y su eje. Si doblsemos el papel por el eje de la parbola, las dos ramas o brazos coincidiran. 126. Mdulo Algebra Pgina 126