portafolio de algebra oscar lomas

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MODULO DE ALGEBRA Página 1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL PARALELO: ―A‖ JOSELYN CHILES Ing. Oscar René Lomas Reyes Enero del 2014

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  • 1. UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIASAGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral AgropecuarioMdulo ALGEBRA PRIMER NIVEL PARALELO: AJOSELYN CHILESIng. Oscar Ren Lomas ReyesEnero del 2014MODULO DE ALGEBRA Pgina 1

2. ndice. Introduccin.1 Conjunto de los nmeros reales...2 Conjunto de los nmeros naturales...3 Conjunto de los nmeros enteros4 Conjuntos de los nmeros racineles5 Propiedad conmutativa...6 Propiedades de los nmeros reales...7 Propiedad transitiva......8 Propiedad de la suma y multiplicacin.9 Propiedad conmutativa de la suma y multiplicacin..10 Propiedad asociativa de la suma y multiplicacin11 Propiedad de la identidad..12 Propiedades del inverso13 Propiedad distributiva14 Exponentes y radicales....15 Exponentes.16 Radicales.17 Operaciones con expresiones algebraicas18 Expresiones algebraicas...19 Suma de expresiones algebraicas20 Resta de expresiones algebraicas21 MODULO DE ALGEBRA Pgina 2 3. Factorizacin22 Factor comn23 Factorizacin de trinomios...24 Fracciones..25 Simplificacin de fracciones..26 Multiplicacin y divisin de fracciones..27 Racionalizacin de denominadores..28 Suma y resta de fracciones29 Operacin combinada de fraccione..30 Ecuaciones lineales31 Ecuaciones lineales31 Terminologa para las ecuaciones..32 Ecuaciones equivalentes..33 Ecuaciones lineales34 Ecuaciones con literales..35 Ecuaciones fraccionarias36 Ecuacin con radicales37 Ecuaciones cuadrticas..38 Resolucin por factorizacin39 Formula..40 Desigualdades lineales.41 Aplicacin de las desigualdades..42 Valor absoluto..43 MODULO DE ALGEBRA Pgina 3 4. Ecuaciones con valor absoluto.44 Propiedades del valor absoluto45 Sistemas de ecuaciones lineales...46 Sistemas de ecuaciones con dos variables...47 Mtodo de eliminacin por adicin...48 Mtodo de eliminacin por sustitucin...49 Sistemas de ecuaciones con tres variables.50 Sistemas no lineales51 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones...52 Programacin lineal.53 Sistemas de desigualdades..54 Mtodo simplex55 Programacin lineal en Excel..56 Solver57 Bibliografa..59MODULO DE ALGEBRA Pgina 4 5. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES Introduccin. . El ente bsico de la parte de la matemtica conocida como ANLISIS, lo constituye el llamado sistema de los nmeros reales. Nmeros tales como: 1,3,y suscorrespondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos mtodos principales para estudiar el sistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistema ms primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4,..., y a partir de l, por medio de una secuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los nmeros reales. En el segundo mtodo se hace una descripcin formal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse. En esta primer parte, se har una presentacin intuitiva del conjuntode losnmeros reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo ms a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico del mismo El conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos: Conjunto de los nmeros naturales. El conjunto de los nmeros naturales, que se denota por N o tambin por Z+, corrientemente se presenta as: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} MODULO DE ALGEBRA Pgina 5 6. La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carcter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numricos, y lleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales. Conjunto de los nmeros enteros. El conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta as: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los nmeros enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N, como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = -2. Puede notarse que.Conjunto de los nmeros racionales. El conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera:Q=/ m, n son enteros y nLa introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacin: ax = b, con a, b sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b. Note que todo entero n puede escribirse como el nmero racional n/1 y, enMODULO DE ALGEBRA Pgina 6 7. consecuencia, se puede concluir que: Z En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los nmeros racionales, a/b, c/d,..., se entender que a, b, c, d,..., son nmeros enteros y que los denominadores son diferentes de cero. Conjunto de los nmeros irracionales. En muchos temas de la geometra se plantea en general, problemas para cuya solucin el conjunto Q de los nmeros racionales resulta insuficiente. As, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el nmero x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitgoras permite establecer que x, satisface la ecuacin: x2 = 2. Puede demostrarse fcilmente, que no existe XQ que verifique esta ltima ecuacin.En general, una ecuacin de la forma xn = a, con aQ y nN, carecer (exceptocasos particulares) de solucin. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solucin. El conjunto de los nmeros irracionales, que se denota por Q*, est constituido por los nmeros reales que no admiten la representacin racional. Ejemplos de esta clase de nmeros son: el nmero e (base del logaritmo natural), , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en Q, como sucede, por ejemplo, con la ecuacin x2 2 = 0, cuyas soluciones son: x =, queno son nmeros racionales. *Finalmente se define el Conjunto R de los nmeros reales como:.En el conjunto R de los nmeros reales, estn definidas dos operaciones: adicin (+) y MODULO DE ALGEBRA Pgina 7 8. multiplicacin (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas tambin axiomas de campo). LOS NUMEROS REALES Y ARECTA REAL En la geometra analtica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de la recta. Existe una condicin que cumplen los nmeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada nmero real le corresponde un nico punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un nico nmero real. Como se observa en el grfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona adems una unidad de longitud para medir distancias. Se elige tambin un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada nmero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente: Se asocia al origen el nmero 0, Se asocia a cada nmero positivo p un punto que est a una distancia de p unidades del origen en la direccin positiva,Se asocia a cada nmero negativo - p el punto que est a p unidades de distancia del origen en la direccin negativa.Los puntos en la recta se identifican con los nmeros que representan. El nmero real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numrica o recta de los nmeros reales. Tambin se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".MODULO DE ALGEBRA Pgina 8 9. Ejemplo.Orden Los nmeros reales estn ordenados cumpliendo slo una de las afirmaciones siguientes: dados dos nmeros reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y slo si el punto que representa al nmero a est a la izquierda del punto que representa al nmero b.Anlogamente, a > b s y slo s el punto que representa al nmero a se halla a la derecha del que representa a b.Si a = b, los puntos se superponen.La relacin de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a preceder al punto b si el nmero real a es menor que el nmero real bMODULO DE ALGEBRA Pgina 9 10. (a < b).([email protected], s.f.)PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS En lgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A:Son las de mayor inters, porque se utilizan tanto en los sistemas numricos o, ms abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatizacin de los diversos sistemas matemticosLa propiedad conmutativa Dice que resultado de una operacin es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera. Dado un conjunto no vaco A, en el que se ha definido una ley de composicin interna *:Se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.MODULO DE ALGEBRA Pgina 10 11. Del mismo modo podemos decir que la ley de composicin interna *, no es conmutativa en A si:Si existe algn a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a. La adicin en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo cualquier conjunto indicado La multiplicacin es asociativa en cualquiera de los conjuntos La divisin en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b b:a, salvo para 1 y -1. El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo. El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB BxA. Propiedad conmutativa de la suma El orden de los sumandos no vara la suma. a+b=b+a 2+5=5+2 7=7 Propiedad conmutativa de la multiplicacin El orden de los factores no vara el producto. ab=ba 25=52MODULO DE ALGEBRA Pgina 11 12. 10 = 10PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES Todos los nmeros que usamos en nuestra vida diaria son nmeros reales. Conocer sus propiedades te ayudar a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemtica pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc. Sean, entonces se verifican las siguientes propiedades:Sean, entonces se verifican las siguientes propiedades:PropiedadAdicinMultiplicacinCerradura Conmutativa AsociativaDistributiva IdentidadInversoPropiedad de la cerradura La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o ms nmeros reales, y el resultado ser siempre un nmero real. Por ejemplo:MODULO DE ALGEBRA Pgina 12 13. Importante: La propiedad de la cerradura tambin aplica para la substraccin pero NO para la divisin, no se puede dividir entre cero.Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa para la adicin y la multiplicacin dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado ser siempre el mismo. Por ejemplo:Importante: La propiedad conmutativa NO aplica para la substraccin o la divisin, pues el resultado se altera.Propiedad asociativa La propiedad asociativa para la adicin y la multiplicacin nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para despus sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el clculo de una expresin. Por ejemplo:MODULO DE ALGEBRA Pgina 13 14. Importante: La propiedad asociativa NO aplica para la substraccin o la divisin, pues el resultado se altera.Propiedad distributiva La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adicin y multiplicacin en una expresin, con el fin de facilitar las operaciones aritmticas.Propiedad de identidad (elemento neutro) La propiedad de identidad para la adicin dice que existe un nmero (llamado elemento neutro de la adicin) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: , el elemento neutro de la adicin es el nmero CERO. La propiedad de identidad para la multiplicacin dice que existe un nmero (llamado elemento neutro de la multiplicacin) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicacin: , el elemento neutro de la multiplicacin es el nmero UNO.MODULO DE ALGEBRA Pgina 14 15. Propiedad del inverso La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un nmero que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO. el inverso aditivo para esta suma es el nmero La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un nmero que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicacin sea igual a UNO., el inverso multiplicativo para esta multiplicacin esEXPONENTES Y RADICALES Exponentes Los exponentes tambin se llaman potencias o ndices El exponente de un nmero nos dice cuntas veces se usa el nmero en una multiplicacin. En este ejemplo: 82 = 8 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"Ms ejemplos: Ejemplo: 53 = 5 5 5 = 125 En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo"Ejemplo: 24 = 2 2 2 2 = 16 MODULO DE ALGEBRA Pgina 15 16. En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta"Y los exponentes hacen ms fcil escribir muchas multiplicaciones Ejemplo: 96 es ms fcil de escribir y leer que 9 9 9 9 9 9 Puedes multiplicar cualquier nmero por s mismo tantas veces como quieras con esta notacin. As que, en general:an te dice que multipliques a por s mismo, y hay n de esos a's:Exponentes negativos Negativos? Qu es lo contrario de multiplicar? Dividir! Un exponente negativo significa cuntas veces se divide entre el nmero. Ejemplo: 8-1 = 1 8 = 0,125 O varias divisiones: Ejemplo: 5-3 = 1 5 5 5 = 0,008 Pero esto lo podemos hacer ms fcilmente: 5-3 tambin se podra calcular as: 1 (5 5 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008MODULO DE ALGEBRA Pgina 16 17. Este ltimo ejemplo nos muestra una manera ms fcil de manejar exponentes negativos: Calcula la potencia positiva (an)Despus cacula el recproco (o sea 1/an)Ms ejemplos: Exponente negativoRecproco del exponente positivoRespuesta4-2=1 / 42=1/16 = 0,062510-3=1 / 103=1/1.000 = 0,001Qu pasa si el exponente es 1 o 0? Si el exponente es 1, entonces tienes el nmero solo (por ejemplo 91 = 9) Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1) Radicales Un radical es una expresin de la forma, en la que nya; con tal quecuando a sea negativo, n ha de ser impar.MODULO DE ALGEBRA Pgina 17 18. POTENCIAS Y RADICALES Se puede expresar un radical en forma de potencia:Radiales equivalentes Utilizando la notacin de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo nmero la fraccin es equivalente, obtenemos que:Si se multiplican o dividen el ndice y el exponente de un radical por un mismo nmero natural, se obtiene otro radical equivalente.Simplificacin de radicales Si existe un nmero natural que divida al ndice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.Reduccin a ndice comn 1. Hallamos el mnimo comn mltiplo de los ndices, que ser el comn ndice 2. Dividimos el comn ndice por cada uno de los ndices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.MODULO DE ALGEBRA Pgina 18 19. Extraccin de factores en un radical Se descompone el radicando en factores. Si: 1. Un exponente es menor que el ndice, el factor correspondiente se deja en el radicando.2. Un exponente es igual al ndice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.3. Un exponente es mayor que el ndice, se divide dicho exponente por el ndice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.MODULO DE ALGEBRA Pgina 19 20. La potenciacin es una nueva forma de escribir el producto de un nmero por l mismo. Es muy prctica, elegante, til y fcil. Fjate que la base es el nmero que multiplicas varias veces por s mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado. As por ejemplo:Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por s mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un nmero se multiplica por s mismo una cantidad definida de veces es una potenciacin. Por ejemplo, si se multiplica ocho por s mismo cinco veces se tendr 8 X 8 X 8 X 8 X 8. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85. En este caso, al nmero ocho se lo llama base (nmero que se va a multiplicar por s mismo) y al cinco se le denomina exponente (nmero de veces que se va a multiplicar al ocho por s mismo). De acuerdo con lo anterior, se puede decir que: 85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768 Elevar a una potencia el nmero 10MODULO DE ALGEBRA Pgina 20 21. Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el nmero 10. Por ejemplo lo elevamos a la cuarta: 104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000 Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros. As se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)... Propiedades de la potenciacin Las propiedades de la potenciacin son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicacin de los primeros exponentes. Multiplicacin de potencias de igual base La multiplicacin de dos o ms potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. Divisin de potencias de igual base La divisin de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Propiedad distributiva La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. En particular: MODULO DE ALGEBRA Pgina 21 22. (a + b)m = am + bm (a b)m = am bm Se cumple en los siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b son iguales a 0 y m0 Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciacin, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo nmero / la misma cifra o equivalentes. En particular: ab = ba Si y slo si a=b. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. a0 = 1 si se cumple que Potencia de exponente 1 Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a. a1 = a Potencia de base 10 MODULO DE ALGEBRA Pgina 22 23. Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 Como tambin pues ser unos conjuntos de nmeros potenciados o elevados a un exponente 106 = 1000000 104 = 10000radicacin Vos sabes que la resta es la operacin inversa de la suma y la divisin es la operacin inversa de la multiplicacin. La potenciacin tiene tambin su operacin inversa; y se llama radicacin. Observa que82=64entonces64 = 8 8 es la raz cuadrada de 64. De lamisma manera calcular la raz cuadrada de 25 significa buscar un nmero que elevado al cuadrado d como resultado 25. Es decir que:Por ahora slo trabajaremos con races cuadradas (las que corresponden al exponente dos), pero estas no son las nicas que existen, como podrs ver en cursos posteriores. Raz cuadradaMODULO DE ALGEBRA Pgina 23 24. 1- Para calcular la raz cuadrada de un nmero se comienza separando el nmero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha Por ejemplo: 5560164 lo separaramos 5'56'01'64 2- A continuacin se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo ms prximo al nmero del primer grupo, empezando por la izquierda). En nuestro ejemplo el primer nmero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca ms a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raz. 3- despus se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del nmero del primer grupo En nuestro ejemplo 22 = 4 y restndolo del nmero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1 4- A continuacin ponemos al lado del resto anterior el nmero del siguiente grupo En nuestro ejemplo nos quedara 156 5- despus multiplicamos por 2 el nmero que hemos calculado hasta el momento de la raz. En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4 6- A continuacin tenemos que buscar un nmero que multiplicado por el nmero que resulta de multiplicar por 10 el nmero anterior y sumarle el nmero que estamos buscando se acerque lo ms posible al nmero que tenemos como resto. Ese nmero ser el siguiente nmero de la raz. En nuestro ejemplo el nmero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el nmero que se aproxima ms a 156 y la raz seria 23... 7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el nmero obtenido del que queramos obtener realmente.MODULO DE ALGEBRA Pgina 24 25. En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27 8- A continuacin repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el nmero del siguiente grupo En nuestro ejemplo: 2701 9- A continuacin repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46 10- despus repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el nmero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el nmero que se aproxima ms a 2701 y la raz seria 235... 11- despus repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376 12- A continuacin repetimos el paso 8 En nuestro ejemplo: 37664 13 A continuacin repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470 14- A continuacin repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el nmero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el nmero que se aproxima ms a 37664 y la raz seria 2358 15- A continuacin repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raz es exacta pues el resto es cero. MODULO DE ALGEBRA Pgina 25 26. Clculo de races cuadradas por aproximaciones sucesivas Este mtodo se debe a Newton Siconocemosunaaproximacindelaraz,podemoscalcularunaaproximacin mejor utilizando la siguiente frmula: ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1) Por ejemplo, para calcular la raz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximacin 2, entonces: a1 = 2 a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250 a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236OPERACIN CON EXPRESIONES ALGBRICAS 1. Suma 2. Resta 3. Multiplicacin 4. Divisin. Suma de expresiones algebraicas Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los trminos semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los trminos semejantes por su grado en la misma columna y a continuacin, se suman los trminos de cada columna. Ejemplo. MODULO DE ALGEBRA Pgina 26 27. Suma horizontal (2x + x -5) + (x + x +6) = 2x + x -5 + x + x +6 = 2x + (x + x) + x + (6 -5) = 2x + 2x + x + 1 Suma vertical (5x + 2x - x + 7) + (3x - 4x + 7) + (-x + 4x - 8)Resta de expresiones algebraicas Para restar cambie el signo de cada uno de los trminos que va a restarse y despus sume los trminos semejantes resultantes. Se lo realiza en forma horizontal y vertical. Ejemplo. Resta horizontal. Restar x + 2x - x 4 de 3x - 5x + 3 (3x - 5x + 3) (x + 2x - x 4) = 3x - 5x + 3 x - 2x + x + 4 = (3x - x) + (-5x - 2x) + x + (3 + 4) = 2x - 7x + x + 7Resta vertical (4x4 - 2x + 5x - x + 8) (3x4 - 2x + 3x 4)MODULO DE ALGEBRA Pgina 27 28. Multiplicacin de expresiones algebraicas Podemos tener multiplicaciones como las siguientes: 1. Multiplicacin de dos o ms monomios. Se realiza aplicando las reglas de la potenciacin, de los signos y las propiedades asociativa y conmutativa del producto. Ejemplo. Multiplicar -3xyz, 2x4y, y -4xy4z (-3xyz)(2x4y)(-4xy4z) =[(-3)(2)(-4)][(x)(x4)(x)][(y)(y)(y4)][(z)(z)] = 24x7y8z3 para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en prximos ejercicios, esto se realizar con la prctica. 2. Multiplicacin de un monomio por un polinomio El producto se obtiene por la directa aplicacin de la propiedad distributiva. Ejemplo 4x(3x 2x + 1) = 4x(3x) 4x(2x) +4x(1) = 12x 8x5 + 4x = 8x5 + 12x + 4x3. Multiplicacin de binomios Utilizando la propiedad distributiva MODULO DE ALGEBRA Pgina 28 29. Ejemplo (x + 2)(x 3) = x(x 3) + 2(x 3) = x - 3x + 2x 6 = x - x 6Utilizando el mtodo PEIU PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros trminos, los trminos Externos, trminos Internos y el trmino ltimo. Ejemplo (3x + 4)(2x + 1)Multiplicacin de polinomios Para multiplicar polinomios que tienen tres o ms trminos, se puede usar el mismo principio bsico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es cada trmino de un polinomio debe multiplicarse por cada trmino del otro polinomio. Puede hacer la multiplicacin en forma horizontal o vertical. Multiplicacin horizontal Ejemplo. Multiplicar (4x - 3x 1) (2x 5) = 4x(2x 5) -3(2x 5) -1(2x 5) MODULO DE ALGEBRA Pgina 29 30. = 8x - 20x - 6x + 15x -2x + 5 = 8x - 26x + 13x + 5Multiplicacin vertical Se alinea trminos semejantes en las mismas columnas verticales. Ejemplo Multiplicar (4x + x 2) (-x + 3x + 5)Divisin de expresiones algebraicas 1. Divisin de dos monomios. Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales aplicando las reglas de potenciacin. Ejemplo. Dividir: 24x4yz por -3xy4zMODULO DE ALGEBRA Pgina 30 31. Divisin de dos polinomios a.Se ordenan los trminos de ambos polinomios segn las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.b.Se divide el primer trmino del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer trmino del cociente.c.Se multiplica el primer trmino del cociente por el divisor y se resta el dividendo, obtenindose un nuevo dividendo.d.Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c. hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo.e.El resultado es:Ejemplo Dividir 2x4 - 3x + x + x + 2 por x - 3x + 2Por lo tanto,MODULO DE ALGEBRA Pgina 31 32. Expresiones algebraicas Trabajar en lgebra consiste en manejar relaciones numricas en las que una o ms cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incgnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresin algebraica es una combinacin de letras y nmeros ligadas por los signos de las operaciones: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y potenciacin. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar reas y volmenes. Longitud de la circunferencia:, donde r es el radio de la circunferencia. rea del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo. Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un nmero: 2x El triple de un nmero: 3x El cudruplo de un nmero: 4x La mitad de un nmero: x/2 Un tercio de un nmero: x/3 Un cuarto de un nmero: x/4 Un nmero es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... Un nmero al cuadrado: x Un nmero al cubo: x MODULO DE ALGEBRA Pgina 32 33. Un nmero par: 2x Un nmero impar: 2x + 1 Dos nmeros consecutivos: x y x + 1 Dos nmeros consecutivos pares: 2x y 2x + 2 Dos nmeros consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 Descomponer 24 en dos partes: x y 24 x La suma de dos nmeros es 24: x y 24 x La diferencia de dos nmeros es 24: x y 24 + x El producto de dos nmeros es 24: x y 24/x El cociente de dos nmeros es 24: x y 24 xFACTORIZACIN Factorizar una expresin algebraica es hallar dos o ms factores cuyo producto es igual a la expresin propuesta. La factorizacin puede considerarse como la operacin inversa a la multiplicacin, pues el propsito de sta ltima es hallar el producto de dos o ms factores; mientras que en la factorizacin, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresin algebraica, a los trminos que multiplicados entre s dan como producto la primera expresin.FactorizacinMODULO DE ALGEBRA Pgina 33 34. MultiplicacinAl factorizar una expresin, escribimos la expresin como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos nmeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos. En el proceso inverso, tenemos el producto15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos Al factorizar el nmero 20, tendremos Advierte queyo.no estn factorizados por completo. Contienenfactores que no son nmeros primos. Los primeros nmeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones est completa, notamos que en la primera factorizacin segunda factorizacin, de modo que , de modo quefactorizacin completa para 20 esmientras que la , en cualquier caso la.De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nmero, queremos decir factorizarla por completo. Adems se supone que los factores numricos son nmeros primos. De esta manera no Factorizamos 20 como.Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.MODULO DE ALGEBRA Pgina 34 35. Factor comn. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrn.Usanlapropiedaddistributiva.Cuando. Cuando factorizamosmultiplicamos,tenemosque:.Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea comn a todos los trminos. El primer paso para tener una expresin completamente factorizada es seleccionar el mximo factor comn,. Aqutenemos como hacerlo: Mximo factor comn (MFC) El trmino, es el MFC de un polinomio s:1. a es el mximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y2. n es el mnimo exponente de x en todos los trminos del polinomio. De este modo para factorizar, podramos escribirPero no est factorizado por completo por quepuede factorizarse anms. Aqu el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mnimo exponente de x en MODULO DE ALGEBRA Pgina 35 36. todos los trminos es. De esta manera la factorizacin completa es. Dondees el MFC.EJEMPLOFactorizarEJEMPLOFactorizarEJEMPLOFactorizarEJEMPLOFactorizarEJEMPLOFactorizarMODULO DE ALGEBRA Pgina 36 37. EJEMPLOFactorizarEJEMPLOFactorizarDiferencia de cuadrados.Aqu tenemos un producto notablepodemos utilizar estarelacin para factorizar una diferencia de cuadrados.EJEMPLOFactorizarEJEMPLO FactorizarMODULO DE ALGEBRA Pgina 37 38. EJEMPLOFactorizarTrinomios con trmino de segundo grado. Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.Los trinomios, son trinomios cuadrados porque soncuadrados de un binomio.Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.A. Dos de los trminos deben de ser cuadrados B. No debe haber signo de menos enyo enC. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer trmino 2AB o su inverso aditivo -2AB.Esun trinomio cuadrado? La respuesta es no porqu solo hay untrmino al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algn nmero. Es fcil verificar, mediante la multiplicacin del segundo miembro de cada ecuacin, las siguientes frmulas de factorizacin para la suma y la diferencia deMODULO DE ALGEBRA Pgina 38 39. dos cubos.EJEMPLO Factorizar, observemos primero que se puede escribir en otra forma:As, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la frmula de factorizacin y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizartrinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.MODULO DE ALGEBRA Pgina 39 40. Por Agrupacin. Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro trminos. Consideremos 1. Sin embargo podemos factorizar aPor lo tanto. No hay ningn factor diferente de ypor separado:. Podemos utilizar la propiedaddistributiva una vez ms y sacamos el factor comn: x+1Este mtodo se llama factorizacin por grupos (o por agrupacin). No todas las expresiones con cuatro trminos se pueden factorizar con este mtodo. EJEMPLOEJEMPLO FactorizarEJEMPLO FactorizarMODULO DE ALGEBRA Pgina 40 41. FRACCIONES Una fraccin es una parte de un total Corta una pizza en trozos, y tendrs fracciones:1/2(Una mitad)1/4(Un cuarto)3/8(Tres octavos)El nmero de arriba te dice cuntas porciones tienes y el de abajo te dice en cuntos trozos se ha cortado la pizza.Numerador / Denominador Al nmero de arriba lo llamamos Numerador, es el nmero de partes que tienes. Al de abajo lo llamamos Denominador, es el nmero de partes en que se ha dividido el total.MODULO DE ALGEBRA Pgina 41 42. Numerador DenominadorSlo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D" de dividir)Fracciones equivalentesAlgunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo:4/82=/4(Cuatro octavos)1=(Dos cuartos)/2(Una mitad)Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fraccin ms simple (1/2 en este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fraccin. Sumar fracciones Puedes sumar fracciones fcilmente si el nmero de abajo (el denominador) es el mismo: 1/4+1/4=2/4=1/2MODULO DE ALGEBRA Pgina 42 43. (Un cuarto)(Un cuarto)(Dos cuartos)(Una mitad)Para simplificar una fraccin, se dividen el numerador y el denominador por uno o ms factores comunes a ambos. Se obtiene as otra fraccin equivalente .Por ejemplo: SimplificarDonde hemos dividido numerador y denominador entre 3,,Para poder simplificar una fraccin el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo estn la primera operacin ha de ser la de factorizarlos.Por ejemplo: Simplificar Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el mtodo adecuado es sacar factor comnasMODULO DE ALGEBRA Pgina 43 44. Ms ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas1.Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes2. 3.En esta fraccin aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor comnen el numerador een el denominador, aqu el numerador es una suma pero no se puede factorizar,4.pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.MODULO DE ALGEBRA Pgina 44 45. , aqu slo podemos factorizar el denominador, que se trata de una5.diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferenciaMULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FRACCIONESMultiplicacin de fracciones La multiplicacin de dos fracciones es otra fraccin que tiene: 1. Por numerador el producto de numeradores. 2. Por denominador el producto de denominadores.Ejemplo:Divisin de fracciones La divisin de dos fracciones es otra fraccin que tiene: 1. Por numerador el producto de los extremos. 2. Por denominador el producto de los medios. MODULO DE ALGEBRA Pgina 45 46. Ejemplo:RACIONALIZACIN DE DENOMINADORES.Recuerda que se llama irracional al nmero que no puede expresarse con nmeros enteros ni fraccionarios. Son nmeros que su expresin decimal tiene infinitas cifras pero sin formar perodos.Podemos decir que 0,5 es lo mismo que.Es lo mismo que 0,75.Todos estos nmeros son racionales, podemos escribirlos como enteros o fraccionarios. Existen nmeros que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo a estos nmeros los llamamos irracionales porque si queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo decimales. No hay ningn nmero que multiplicado por s mismo te d 2, ni 3 ni MODULO DE ALGEBRA Pgina 46 47. 11, ni 13,. La raz cuadrada de estos nmeros nunca acabars de obtener. Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan races en el denominador llamamos racionalizacin de radicales de los denominadores:.El denominador es un nmero irracional, por mucho que intentesEjemplo: calcularsuvalorversquenuncaacabasdehaceroperaciones.Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una fraccin por un mismo nmero, su valor sigue siendo el mismo.Para hacer racional el denominador por s mismo:lo ms simple es que le multipliquemos. Pero para que no vare el valor de la fraccin hemos de multiplicarle tambin alnumerador por.Podemos decir que:son iguales perono tiene como denominador un nmero irracional.Racionaliza:Respuesta.MODULO DE ALGEBRA Pgina 47 48. Racionaliza:Respuesta.Solucin:Racionaliza:Respuesta.Solucin: Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso:Racionaliza:Respuesta: Solucin: El proceso de clculos con letras es el mismo que aplicamos con los nmeros. Tienes desarrollado paso a paso la resolucin del ejercicio: MODULO DE ALGEBRA Pgina 48 49. Racionaliza:Respuesta:.Solucin:Tratamos ahora una raz cbica. Si tienesy quieres quitar la raz tienes queconseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al ndice de la raz(que es 3). Para que sean iguales atendrs que multiplicarlede este modo, en el denominador al multiplicartendrs que sumar los exponentes dejando la misma base:por . Para queel valor de la fraccin no vare tendrs que multiplicar tambin al numerador por:Racionaliza:Respuesta:.Solucin: MODULO DE ALGEBRA Pgina 49 50. Para poder quitar la raz de,5 tena que tener como exponente un 7.Vemos que tendramos que multiplicarle porde este modo al sumar losexponentes el valor obtenido iguala al ndice de la raz y entonces podemos simplificar. Para que no vare el valor de la fraccin tendremos que multiplicarle al numerador tambin por:Racionaliza:Respuesta.Suma y resta de fracciones Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:a + c = bdad + bc bd(se multiplica cruzado y los productos de suman) (se multiplican los denominadores)MODULO DE ALGEBRA Pgina 50 51. Veamos un ejemplo: El jefe de Cheo reparti los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le toc una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia ms la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que falt. En total, qu parte del trabajo tiene que realizar Cheo?1 + 1 4= 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 73(4)(3)1212Solucin: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.Notita para darle pensamiento: (para darle "coco") A Cheo le toc ms de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo? Solucin: Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones a. Sia=c bb. Sidacentonces ad < cbd entonces ad > cbMODULO DE ALGEBRA Pgina 51 52. bdVolviendo a Cheo, 7/12 es menor o mayor que 1/2 ? 7 ? 1 127(2) > 12(1), por lo tanto27 > 1 122De modo que Cheo realiz ms de la mitad del trabajo. Veamos otro ejemplo: A Mara le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedi a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. En total qu parte de la herencia la toc a Mara? Solucin 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11 3 5151515A Mara le toc 11/ 15 de la herencia de su padre.Suma de FraccionesPara sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 1. Fracciones homogneas(1, 3, 5) 4 4 42. Fracciones heterogneas (1, 2, 3) 3 5 7MODULO DE ALGEBRA Pgina 52 53. Lasfraccioneshomogneassonlasfraccionesquetienenelmismo denominador; y las fracciones heterogneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. Ejemplo de suma de fracciones homogneas: 1 + 3 = 4 2 +3 =5 7 7 7 Ejemplo de suma de fracciones heterogneas:1 +1 4 2Para sumar fracciones heterogneas: 1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. 3. Se suman los productos para obtener el numerador.1 +1 4 2Paso 1 : 1 + 1 = ___ 4 2 8MODULO DE ALGEBRA Pgina 53 54. Paso 2 : 1 + 1 = (2 1) + (4 1) < Se multiplic cruzado> 4 2 8Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.> 8 8 Paso 4: 6 2 = 3 < Se simplifica la fraccin si es posible.> 8 2 4Resta de Fracciones En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.Ejemplo 1:5-1 =4 9 9 9Resta de Fracciones HomogneasEjemplo 2: 2 - 1 = ( 2 2) - (3 1) = 4 - 3 = 1 3 2 6 6 6Suma y resta con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. Ejemplo:MODULO DE ALGEBRA Pgina 54 55. Suma y resta con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a comn denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Ejemplo:Operaciones combinadas de fracciones 1. Pasar a fraccin los nmeros mixtos y decimales. 2 .Calcular las potencias y races. 3 .Efectuar las operaciones entre parntesis, corchetes y llaves. 4 .Efectuar los productos y cocientes. 5 .Realizar las sumas y restas. Ejemplo:MODULO DE ALGEBRA Pgina 55 56. 1. Primero operamos con los productos y nmeros mixtos dentro de los parntesis. 2 .Operamos en el primer parntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el ltimo. 3 .Realizamos el producto y lo simplificamos. 4 .Realizamos las operaciones del parntesis. 5 .Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.ECUACIONES LINEALES Una ecuacin lineal con n incgnitas x1,..., xn es una ecuacin que se puede escribir en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman coeficientes de los x y el nmero b se llama trmino constante. Se asume que las a- es y la b son valores conocidos. Ejemplos.a. b. c.a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incgnitas respectivamente.a.MODULO DE ALGEBRA Pgina 56 57. b. c. d.Terminologa para las ecuacionesEcuaciones equivalentes Las solucin de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones que tienen la misma solucin se denominan ecuaciones equivalentes. Para obtener una ecuacin equivalente a una dada se utilizan las siguientes propiedades de las igualdades: a) Si sumamos o restamos un mismo nmero o una misma expresin algebraica a los dos miembros de una ecuacin obtenemos otra ecuacin equivalente. b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuacin por un mismo nmero diferente de cero obtenemos otra ecuacin equivalente. Por ejemplo, para obtener una ecuacin equivalente a x+2=5 multiplicamos por 4 los dos miembros: 4(x+2)=45 4x+8=20Fjate en que la ecuacin obtenida 4x+8=20 tambin tiene por solucin 3. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucin. 2x 3 = 3x + 2x = 5x + 3 = 2x = 5MODULO DE ALGEBRA Pgina 57 58. 1. Si a los dos miembros de una ecuacin se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuacin es equivalente a la dada. x + 3 = 2 x + 3 3 = 2 3 x = 5 2. Si a los dos miembros de una ecuacin se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuacin es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x+2=3 x + 2 2= 3 2 x=1 Ecuaciones lineales Ecuacin lineal con n incgnita Una ecuacin lineal con n incgnitas es cualquier expresin del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b.Los valores ai se denominan coeficientes, b es el trmino independiente. Los valores xi son las incgnitas. Solucin de una ecuacin lineal Cualquier conjunto de n nmeros reales que verifica la ecuacin se denomina solucin de la ecuacin.MODULO DE ALGEBRA Pgina 58 59. Dada la ecuacin x + y + z + t = 0, son soluciones de ella: (1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4). Ecuaciones lineales equivalentes Son aquellas que tienen la misma solucin. x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0Ecuaciones lineales de primer grado Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a 0, cualquier otra ecuacin en la que al operar, trasponer trminos y simplificar adopten esa expresin. Resolucin de ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuacin de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1 Quitar parntesis. 2 Quitar denominadores. 3 Agrupar los trminos en x en un miembro y los trminos independientes en el otro. 4 Reducir los trminos semejantes. 5 Despejar la incgnita.Despejamos la incgnita: MODULO DE ALGEBRA Pgina 59 60. Agrupamos los trminos semejantes y los independientes, y sumamos:Quitamos parntesis:Agrupamos trminos y sumamos:Despejamos la incgnita:Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mnimo comn mltiplo.MODULO DE ALGEBRA Pgina 60 61. Quitamos parntesis, agrupamos y sumamos los trminos semejantes:Despejamos la incgnita:Quitamos parntesis y simplificamos:Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los trminos semejantes:Quitamos corchete:Quitamos parntesis:MODULO DE ALGEBRA Pgina 61 62. Quitamos denominadores:Quitamos parntesis:Agrupamos trminos:Sumamos:Dividimos los dos miembros por: 9Ecuaciones con literalesEn nuestro diario vivir y en el mundo del trabajo nos enfrentamos a muchas situaciones que se resuelven por medio de las ecuaciones. La industria, el comercio, las ciencias, la ingeniera, y otras reas necesitan frmulas en las cuales se aplican los principios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas de estas frmulas se les llaman ecuaciones literales. Una ecuacin literal es una ecuacin en la cual se usan letras para representar constantes. Ejemplos:MODULO DE ALGEBRA Pgina 62 63. 1. P = 2L + 2W es la frmula que se utiliza para hallar el permetro de un rectngulo. Si el largo (L) de un rectngulo es 5 pulgadas y el ancho (W) es 3 pulgadas, entonces el permetro del rectngulo es:P = 2L +2W = 2 (5) + 2(3) = 10 + 6 P = 16 pulgadasEs la frmula para hallar la velocidad de un objeto conociendo la Distancia (d) y el tiempo (t). Si un objeto se mueve a una distancia de 10 pulgadas en 2 segundos su velocidad es:Otrosejemplos de ecuaciones literales sonlas siguientes: y c = d; C= 2r; d = vt, A = bh. Otros ejemplos: 1. C = 2r (frmula para hallar la circunferencia de un crculo) Cul es la circunferencia de un crculo si su radio mide 3 pulgadas? MODULO DE ALGEBRA Pgina 63 64. ]2.Cul es el promedio actual de Pedro en la clase de matemticas si sus notas son 80, 75 y 94?3. La frmula que un pescador tiene para estimar el peso de un pez en librases, donde W representa el peso en libras, L el largo en pulgadasy g el grueso (distancia alrededor del pez en el rea central) en pulgadas. Halla el peso de un pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas de grueso. Resuelve la frmula para g2.4. C = mx + b, ecuacin de costo total, dado el costo fijo (b), el costo variable (m) y la cantidad (x). El costo diario de alquiler de auto es $30.00 ms $0.50 por milla recorrida.Carlos pag $150 por el alquiler delauto. Cuntas millas viaj?5. Cambia 1220 Fahrenheit a centgrados.Ecuaciones fraccionarias Ecuacin Fraccionaria. Ecuacin que contiene fracciones algebraicas, es decir, donde la variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellos).MODULO DE ALGEBRA Pgina 64 65. EjemplosResolucin Para resolver una ecuacin fraccionaria de primer grado: 1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en parntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que aparece antes de una fraccin afecta a todo el numerador. 2. Buscamos el mnimo comn mltiplo de los denominadores. 3. Multiplicamos cada trmino de la ecuacin por el m.c.m. encontrado. 4. Simplificamos los denominadores de los trminos fraccionarios con el m.c.m. 5. Resolvemos los parntesis efectuando las operaciones indicadas. 6. Continuamos resolviendo la ecuacin con los nmeros enteros que obtuvimos. En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformndolas en ecuaciones enteras, para lo cual es necesario eliminar los denominadores. Para eliminar los denominadores en una ecuacin fraccionaria se procede de la siguiente manera: 1. Se halla el mcm de los denominadores. 2. Se multiplican ambos miembros de la ecuacin por el m.c.m de los denominadores.Ejemplo 1 el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x - 1) MODULO DE ALGEBRA Pgina 65 66. Multiplicando ambos miembros de la ecuacin por (x + 1) (x - 1) resulta:Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuacin fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene una ecuacin equivalente a la dada, siempre que la solucin obtenida no anule algn denominador. Comprobacin:Ejemplo2:Estas ecuaciones no son equivalentes a la original, porque el conjunto solucin es {3}paraambas,peronoparalaecuacinoriginal.Sustituyendo tenemosMODULO DE ALGEBRA Pgina 66 67. Ecuaciones con radicales Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incgnita bajo el signo radical.Resolucin de ecuaciones con radicales 1 Se asla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los trminos, aunque tengan tambin radicales. 2 Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3 Se resuelve la ecuacin obtenida. 4 Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuacin inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuacin se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, adems las de la ecuacin que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuacin. 5 Si la ecuacin tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.1 Aislamos el radical:MODULO DE ALGEBRA Pgina 67 68. 2 Elevamos al cuadrado los dos miembros:3Resolvemos la ecuacin:4Comprobamos:La ecuacin tiene por solucin x = 2.Ejercicios de ecuaciones con radicales 1 MODULO DE ALGEBRA Pgina 68 69. 23 MODULO DE ALGEBRA Pgina 69 70. Ecuaciones cuadrticas La ecuacin cuadrtica o tambin conocida como la ecuacin de segundo grado es aquella ecuacin que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuacin lineal o de primer orden)Mtodo de solucin de la ecuacin cuadrticaMODULO DE ALGEBRA Pgina 70 71. Lo primero es dividir la ecuacin completa por el primer trmino aSe procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresinPara lo cual se suma y resta, que puede escribirse comoAhora simplemente se resuelve esta ecuacin aprovechando que el trminopuede despejarseMODULO DE ALGEBRA Pgina 71 72. El valor de x es lo que se conoce como frmula general de la ecuacin de segundo grado El teorema fundamental del lgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo + y - de la x que se obtuvo De esta manera se tieneSila ecuacin tiene dos races reales diferentes entre sSilas dos races son reales e igualesSilas dos races son complejas conjugadasEjemplos numricos Primer ejemplo, 2x2 x 1 = 0 Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1MODULO DE ALGEBRA Pgina 72 73. Luego se procede a reemplazarlos en la frmulaAmbas soluciones son reales y diferentes entre s. Note que, eneste ejemplo en particular Segundo ejemplo, 9x2 6x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la frmulaAmbas soluciones son reales y e iguales entre s. Note que Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1MODULO DE ALGEBRA Pgina 73 74. Se reemplazan los coeficientes en la frmulaAmbas soluciones son complejas conjugadas. Note que, paraesta ecuacin se obtuvo Propiedades bsicas de las soluciones de la ecuacin cuadrticaDemostracinMODULO DE ALGEBRA Pgina 74 75. DemostracinECUACIONES CUADRTICAS FACTORIZACIN Por: Melissa MurriasUna ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son nmeros reales.Ejemplo: 9x2 + 6x + 10a = 9, b = 6, c = 103x2 - 9xa = 3, b = -9, c = 0-6x 2 + 10a = -6, b = 0, c = 10Hay tres formas de hallar las races ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadrticas:1. Factorizacin Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Frmula Cuadrtica MODULO DE ALGEBRA Pgina 75 76. Factorizacin Simple: La factorizacin simple consiste en convertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorizacin simple de la ecuacin x2 + 2x 8 = 0(x) (xa=1)=0b=2c=-8[x x = x2]( x + ) (x - ) = 0(x + 4 ) (x 2) = 04 y 24 + -2 = 24 -2 = -8x+4=0x2=0MODULO DE ALGEBRA Pgina 76 77. x+4=0 x=04 x = -4x2=0 x=0+2 x=2Estas son las dos soluciones.Completando el Cuadrado: En este mtodo, la ecuacin tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuacin 4x2 + 12x 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:4x2 + 12x 8 = 0 4 4 4 4x2 + 3x 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x 8 = 0[Ya est en su forma donde a = 1.]x2 + 2x = 8[ Pasar a c al lado opuesto.]x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]MODULO DE ALGEBRA Pgina 77 78. x2 + 2x + 1=8+1x2 + 2x + 1 = 9 () () =9Hay que factorizar. Nota: Siempre ser un cuadrado perfecto.( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = x+1= 3 x = -1 3[Separar las dos soluciones.]x = -1 + 3 x=2x = -1 3 x = -4Frmula Cuadrtica: Este mtodo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a la siguiente frmula:MODULO DE ALGEBRA Pgina 78 79. Ejemplo: X2 + 2x 8 = 0a = 1, b = 2, c = -8x = -2 6 2 MODULO DE ALGEBRA Pgina 79 80. X = -2 + 6 2 x=4 2 x=2x = -2 - 6 2 x = -8 2x=-4MODULO DE ALGEBRA Pgina 80 81. MODULO DE ALGEBRA Pgina 81 82. MODULO DE ALGEBRA Pgina 82 83. DESIGUALDADES LINEALESDESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE Tambinconocidascomoinecuacionesdeprimergrado)Se establece rpidamente la definicin de una desigualdad lineal, pasando a dar un bosquejo de una estrategia general para resolver este tipo de desigualdad.Se puntualiza el tipo de conjunto solucin de este tipo dedesigualdad, de manera grfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que sepuedenemplearotrasestrategias,siempreycuandorespetenlapropiedades algebraicas y de desigualdades. Una desigualdad es un enunciado o ecuacin en el que dos expresiones no son iguales, tambin son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos smbolos que son:,,. En una definicin decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes: X es mayor que YX es menor que YDesigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incgnita La expresin,Quiere decir que "a" no es igual a "b". Segn los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferenciaesMODULO DE ALGEBRA Pgina 83 84. positiva y, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferenciaesnegativa. Desigualdad "es la expresin de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los trminos que estn a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los trminos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definicin de desigualdad, lo mismo que de la escala de los nmeros algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1 Todo nmero positivo es mayor que cero Ejemplo:Porque 5 - 0 = 5 2 Todo nmero negativo es menor que cero Ejemplo:Porque -9 -0 = -9 3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo:Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20DESIGUALDADES LINEALES Una desigualdad es un enunciado o ecuacin en el que dos expresiones no son iguales, tambin son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos smbolos que son:,,. En una definicin decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes: MODULO DE ALGEBRA Pgina 84 85. X es mayor que YX es menor que YDesigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incgnita La expresin, quiere decir que "a" no es igual a "b". Segn los valoresparticulares de "a" y de "b", puede tenerse cuando la diferencia la diferenciaes positiva y, que se lee "a" mayor que "b",, que se lee "a" menor que "b", cuandoes negativa. Desigualdad "es la expresin de dos cantidadestales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los trminos que estn a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los trminos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definicin de desigualdad, lo mismo que de la escala de los nmeros algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1 Todo nmero positivo es mayor que cero Ejemplo:Porque 5 - 0 = 5 2 Todo nmero negativo es menor que cero Ejemplo:Porque -9 -0 = -9 3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo:Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20 MODULO DE ALGEBRA Pgina 85 86. Para cada par de nmeros reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:Propiedades de las desigualdades Teorema1-Propiedad transitiva: Teorema2-Suma:Ejemplo ilustrativo:Ejemplo ilustrativo:Teorema3-Multiplicacin por un nmero positivo:Teorema4:Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo:Los Teoremas 1 a 4 tambin son vlidos si se cambia ">" por "