Portafolio de algebra oscar lomas

  • 1. UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DEINDUSTRIASAGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela deDesarrollo Integral AgropecuarioMdulo ALGEBRA PRIMER NIVELPARALELO: AJOSELYN CHILESIng. Oscar Ren Lomas ReyesEnero del2014MODULO DE ALGEBRA Pgina 1

2. ndice. Introduccin.1 Conjunto de los nmeros reales…2Conjunto de los nmeros naturales…3 Conjunto de los nmerosenteros4 Conjuntos de los nmeros racineles5 Propiedadconmutativa…6 Propiedades de los nmeros reales…7 Propiedadtransitiva……8 Propiedad de la suma y multiplicacin.9 Propiedadconmutativa de la suma y multiplicacin..10 Propiedad asociativa dela suma y multiplicacin11 Propiedad de la identidad..12 Propiedadesdel inverso13 Propiedad distributiva14 Exponentes y radicales….15Exponentes.16 Radicales.17 Operaciones con expresionesalgebraicas18 Expresiones algebraicas…19 Suma de expresionesalgebraicas20 Resta de expresiones algebraicas21 MODULO DE ALGEBRAPgina 2 3. Factorizacin22 Factor comn23 Factorizacin detrinomios…24 Fracciones..25 Simplificacin de fracciones..26Multiplicacin y divisin de fracciones..27 Racionalizacin dedenominadores..28 Suma y resta de fracciones29 Operacin combinadade fraccione..30 Ecuaciones lineales31 Ecuaciones lineales31Terminologa para las ecuaciones..32 Ecuaciones equivalentes..33Ecuaciones lineales34 Ecuaciones con literales..35 Ecuacionesfraccionarias36 Ecuacin con radicales37 Ecuaciones cuadrticas..38Resolucin por factorizacin39 Formula..40 Desigualdades lineales.41Aplicacin de las desigualdades..42 Valor absoluto..43 MODULO DEALGEBRA Pgina 3 4. Ecuaciones con valor absoluto.44 Propiedades delvalor absoluto45 Sistemas de ecuaciones lineales…46 Sistemas deecuaciones con dos variables…47 Mtodo de eliminacin poradicin…48 Mtodo de eliminacin por sustitucin…49 Sistemas deecuaciones con tres variables.50 Sistemas no lineales51Aplicaciones de sistemas de ecuaciones…52 Programacin lineal.53Sistemas de desigualdades..54 Mtodo simplex55 Programacin lineal enExcel..56 Solver57 Bibliografa..59MODULO DE ALGEBRA Pgina 4 5. ELSISTEMA DE LOS NMEROS REALES Introduccin. . El ente bsico de laparte de la matemtica conocida como ANLISIS, lo constituye elllamado sistema de los nmeros reales. Nmeros tales como: 1,3,ysuscorrespondientes negativos, son usados en medicionescuantitativas. Existen dos mtodos principales para estudiar elsistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistemams primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enterospositivos; 1, 2, 3, 4,…, y a partir de l, por medio de unasecuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistemade los nmeros reales. En el segundo mtodo se hace una descripcinformal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), pormedio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de lascuales muchas otras propiedades pueden deducirse. En esta primerparte, se har una presentacin intuitiva del conjuntode losnmerosreales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N delos nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones delmismo, atendiendo ms a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones,en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultaninsuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico delmismo El conjunto de los nmeros reales est constituido pordiferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar lossiguientes 6 conjuntos: Conjunto de los nmeros naturales. Elconjunto de los nmeros naturales, que se denota por N o tambin porZ+, corrientemente se presenta as: N = {1, 2, 3, 4, 5, …} MODULODE ALGEBRA Pgina 5 6. La notacin de conjunto que incluye los puntossuspensivos es de carcter informal. Este conjunto permitefundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de lossistemas numricos, y lleva principalmente a la consideracin de losnmeros reales. Conjunto de los nmeros enteros. El conjunto de losnmeros enteros, que se denota por Z , corrientemente se presentaas: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} En el conjunto de losnmeros enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucinen N, como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuyasolucin es x = -2. Puede notarse que.Conjunto de los nmerosracionales. El conjunto de los nmeros racionales, que se denota porQ , se define de la siguiente manera:Q=/ m, n son enteros y nLaintroduccin de los nmeros racionales responde al problema deresolver la ecuacin: ax = b, con a, b sta slo tiene solucin en Z,en el caso particular en que a es un divisor de b. Note que todoentero n puede escribirse como el nmero racional n/1 y, enMODULO DEALGEBRA Pgina 6 7. consecuencia, se puede concluir que: Z En losucesivo, cuando se haga referencia a los nmeros racionales, a/b,c/d,…, se entender que a, b, c, d,…, son nmeros enteros y quelos denominadores son diferentes de cero. Conjunto de los nmerosirracionales. En muchos temas de la geometra se plantea en general,problemas para cuya solucin el conjunto Q de los nmeros racionalesresulta insuficiente. As, por ejemplo, al considerar el problema dedeterminar el nmero x que mide la longitud de la diagonal de uncuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitgoras permiteestablecer que x, satisface la ecuacin: x2 = 2. Puede demostrarsefcilmente, que no existe XQ que verifique esta ltima ecuacin.Engeneral, una ecuacin de la forma xn = a, con aQ y nN, carecer(exceptocasos particulares) de solucin. Se hace por lo tantonecesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como lasanteriores tenga solucin. El conjunto de los nmeros irracionales,que se denota por Q*, est constituido por los nmeros reales que noadmiten la representacin racional. Ejemplos de esta clase de nmerosson: el nmero e (base del logaritmo natural), , etc. En esteconjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en Q,como sucede, por ejemplo, con la ecuacin x2 2 = 0, cuyas solucionesson: x =, queno son nmeros racionales. *Finalmente se define elConjunto R de los nmeros reales como:.En el conjunto R de losnmeros reales, estn definidas dos operaciones: adicin (+) y MODULODE ALGEBRA Pgina 7 8. multiplicacin (.), las cuales verifican lassiguientes propiedades (llamadas tambin axiomas de campo). LOSNUMEROS REALES Y ARECTA REAL En la geometra analtica el pasoimportante fue establecer una correspondencia entre los nmerosreales y los puntos de la recta. Existe una condicin que cumplenlos nmeros reales llamada axioma de completitud que garantiza unacorrespondencia biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de losnmeros reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cadanmero real le corresponde un nico punto sobre la recta y a cadapunto en la recta o eje se le asocia un nico nmero real. Como seobserva en el grfico, se elige un punto de referencia arbitrariosobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona adems unaunidad de longitud para medir distancias. Se elige tambin unsentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y seconsidera como negativo al sentido opuesto. A cada nmero realentonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta losiguiente: Se asocia al origen el nmero 0, Se asocia a cada nmeropositivo p un punto que est a una distancia de p unidades delorigen en la direccin positiva,Se asocia a cada nmero negativo – pel punto que est a p unidades de distancia del origen en ladireccin negativa.Los puntos en la recta se identifican con losnmeros que representan. El nmero real que le corresponde a un puntode la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la rectarecibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numrica orecta de los nmeros reales. Tambin se la conoce como eje coordenadoo eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sindejar «huecos».MODULO DE ALGEBRA Pgina 8 9. Ejemplo.Orden Losnmeros reales estn ordenados cumpliendo slo una de las afirmacionessiguientes: dados dos nmeros reales a y b puede ser que a sea menorque b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en larecta que a < b si y slo si el punto que representa al nmero aest a la izquierda del punto que representa al nmero b.Anlogamente,a > b s y slo s el punto que representa al nmero a se halla a laderecha del que representa a b.Si a = b, los puntos sesuperponen.La relacin de orden queda establecida teniendo en cuentaque el punto a preceder al punto b si el nmero real a es menor queel nmero real bMODULO DE ALGEBRA Pgina 9 10. (a cbMODULO DE ALGEBRA Pgina 51 52. bdVolviendo a Cheo, 7/12 esmenor o mayor que 1/2 ? 7 ? 1 127(2) > 12(1), por lo tanto27> 1 122De modo que Cheo realiz ms de la mitad del trabajo.Veamos otro ejemplo: A Mara le tocaba una tercera parte de laherencia de su padre. Su madre le cedi a ella dos quintas partesadicionales que le tocaban a ella. En total qu parte de la herenciala toc a Mara? Solucin 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11 3 5151515AMara le toc 11/ 15 de la herencia de su padre.Suma deFraccionesPara sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de queexisten 2 tipos de fracciones: 1. Fracciones homogneas(1, 3, 5) 4 442. Fracciones heterogneas (1, 2, 3) 3 5 7MODULO DE ALGEBRA Pgina52 53. Lasfraccioneshomogneassonlasfraccionesquetienenelmismodenominador; y las fracciones heterogneas son las fracciones quetienen diferentes denominadores. Ejemplo de suma de fraccioneshomogneas: 1 + 3 = 4 2 +3 =5 7 7 7 Ejemplo de suma de fraccionesheterogneas:1 +1 4 2Para sumar fracciones heterogneas: 1. Semultiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se colocaen el numerador. 3. Se suman los productos para obtener elnumerador.1 +1 4 2Paso 1 : 1 + 1 = ___ 4 2 8MODULO DE ALGEBRA Pgina53 54. Paso 2 : 1 + 1 = (2 1) + (4 1) < Se multiplic cruzado>4 2 8Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener elnumerador.> 8 8 Paso 4: 6 2 = 3 < Se simplifica la fraccin sies posible.> 8 2 4Resta de Fracciones En la resta de fracciones,se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero eneste caso hay que restar.Ejemplo 1:5-1 =4 9 9 9Resta de FraccionesHomogneasEjemplo 2: 2 – 1 = ( 2 2) – (3 1) = 4 – 3 = 1 3 2 6 66Suma y resta con el mismo denominador Se suman o se restan losnumeradores y se mantiene el denominador. Ejemplo:MODULO DE ALGEBRAPgina 54 55. Suma y resta con distinto denominador En primer lugarse reducen los denominadores a comn denominador, y se suman o serestan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.Ejemplo:Operaciones combinadas de fracciones 1. Pasar a fraccin losnmeros mixtos y decimales. 2 .Calcular las potencias y races. 3.Efectuar las operaciones entre parntesis, corchetes y llaves. 4.Efectuar los productos y cocientes. 5 .Realizar las sumas yrestas. Ejemplo:MODULO DE ALGEBRA Pgina 55 56. 1. Primero operamoscon los productos y nmeros mixtos dentro de los parntesis. 2.Operamos en el primer parntesis, quitamos el segundo,simplificamos en el tercero y operamos en el ltimo. 3 .Realizamosel producto y lo simplificamos. 4 .Realizamos las operaciones delparntesis. 5 .Hacemos las operaciones del numerador, dividimos ysimplificamos el resultado.ECUACIONES LINEALES Una ecuacin linealcon n incgnitas x1,…, xn es una ecuacin que se puede escribir enla forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +… + anxn = b (1), donde las a-es sellaman coeficientes de los x y el nmero b se llama trminoconstante. Se asume que las a- es y la b son valores conocidos.Ejemplos.a. b. c.a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2,3 y 4 incgnitas respectivamente.a.MODULO DE ALGEBRA Pgina 56 57. b.c. d.Terminologa para las ecuacionesEcuaciones equivalentes Lassolucin de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Lasecuaciones que tienen la misma solucin se denominan ecuacionesequivalentes. Para obtener una ecuacin equivalente a una dada seutilizan las siguientes propiedades de las igualdades: a) Sisumamos o restamos un mismo nmero o una misma expresin algebraica alos dos miembros de una ecuacin obtenemos otra ecuacin equivalente.b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuacin porun mismo nmero diferente de cero obtenemos otra ecuacinequivalente. Por ejemplo, para obtener una ecuacin equivalente ax+2=5 multiplicamos por 4 los dos miembros: 4(x+2)=45 4x+8=20Fjateen que la ecuacin obtenida 4x+8=20 tambin tiene por solucin 3. Dosecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucin. 2x 3 = 3x +2x = 5x + 3 = 2x = 5MODULO DE ALGEBRA Pgina 57 58. 1. Si a los dosmiembros de una ecuacin se les suma o se les resta una mismacantidad, la ecuacin es equivalente a la dada. x + 3 = 2 x + 3 3 =2 3 x = 5 2. Si a los dos miembros de una ecuacin se les multiplicao se les divide una misma cantidad, la ecuacin es equivalente a ladada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x+2=3 x + 2 2= 3 2 x=1Ecuaciones lineales Ecuacin lineal con n incgnita Una ecuacinlineal con n incgnitas es cualquier expresin del tipo: a1x1 + a2x2+ a3x3 + … + anxn = b, donde ai, b.Los valores ai se denominancoeficientes, b es el trmino independiente. Los valores xi son lasincgnitas. Solucin de una ecuacin lineal Cualquier conjunto de nnmeros reales que verifica la ecuacin se denomina solucin de laecuacin.MODULO DE ALGEBRA Pgina 58 59. Dada la ecuacin x + y + z +t = 0, son soluciones de ella: (1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).Ecuaciones lineales equivalentes Son aquellas que tienen la mismasolucin. x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0Ecuaciones linealesde primer grado Las ecuaciones lineales de primer grado son deltipo ax + b = 0 , con a 0, cualquier otra ecuacin en la que aloperar, trasponer trminos y simplificar adopten esa expresin.Resolucin de ecuaciones de primer grado En general para resolveruna ecuacin de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1Quitar parntesis. 2 Quitar denominadores. 3 Agrupar los trminos enx en un miembro y los trminos independientes en el otro. 4 Reducirlos trminos semejantes. 5 Despejar la incgnita.Despejamos laincgnita: MODULO DE ALGEBRA Pgina 59 60. Agrupamos los trminossemejantes y los independientes, y sumamos:Quitamosparntesis:Agrupamos trminos y sumamos:Despejamos laincgnita:Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamosel mnimo comn mltiplo.MODULO DE ALGEBRA Pgina 60 61. Quitamosparntesis, agrupamos y sumamos los trminos semejantes:Despejamos laincgnita:Quitamos parntesis y simplificamos:Quitamos denominadores,agrupamos y sumamos los trminos semejantes:Quitamoscorchete:Quitamos parntesis:MODULO DE ALGEBRA Pgina 61 62. Quitamosdenominadores:Quitamos parntesis:Agrupamostrminos:Sumamos:Dividimos los dos miembros por: 9Ecuaciones conliteralesEn nuestro diario vivir y en el mundo del trabajo nosenfrentamos a muchas situaciones que se resuelven por medio de lasecuaciones. La industria, el comercio, las ciencias, la ingeniera,y otras reas necesitan frmulas en las cuales se aplican losprincipios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas de estasfrmulas se les llaman ecuaciones literales. Una ecuacin literal esuna ecuacin en la cual se usan letras para representar constantes.Ejemplos:MODULO DE ALGEBRA Pgina 62 63. 1. P = 2L + 2W es la frmulaque se utiliza para hallar el permetro de un rectngulo. Si el largo(L) de un rectngulo es 5 pulgadas y el ancho (W) es 3 pulgadas,entonces el permetro del rectngulo es:P = 2L +2W = 2 (5) + 2(3) =10 + 6 P = 16 pulgadasEs la frmula para hallar la velocidad de unobjeto conociendo la Distancia (d) y el tiempo (t). Si un objeto semueve a una distancia de 10 pulgadas en 2 segundos su velocidades:Otrosejemplos de ecuaciones literales sonlas siguientes: y c =d; C= 2r; d = vt, A = bh. Otros ejemplos: 1. C = 2r (frmula parahallar la circunferencia de un crculo) Cul es la circunferencia deun crculo si su radio mide 3 pulgadas? MODULO DE ALGEBRA Pgina 6364. ]2.Cul es el promedio actual de Pedro en la clase de matemticassi sus notas son 80, 75 y 94?3. La frmula que un pescador tienepara estimar el peso de un pez en librases, donde W representa elpeso en libras, L el largo en pulgadasy g el grueso (distanciaalrededor del pez en el rea central) en pulgadas. Halla el peso deun pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas de grueso. Resuelve lafrmula para g2.4. C = mx + b, ecuacin de costo total, dado el costofijo (b), el costo variable (m) y la cantidad (x). El costo diariode alquiler de auto es $30.00 ms $0.50 por milla recorrida.Carlospag $150 por el alquiler delauto. Cuntas millas viaj?5. Cambia 1220Fahrenheit a centgrados.Ecuaciones fraccionarias EcuacinFraccionaria. Ecuacin que contiene fracciones algebraicas, esdecir, donde la variable aparece en los denominadores de lasfracciones (al menos en uno de ellos).MODULO DE ALGEBRA Pgina 6465. EjemplosResolucin Para resolver una ecuacin fraccionaria deprimer grado: 1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios,debemos encerrarlos en parntesis para evitar errores con los signosnegativos. El signo menos que aparece antes de una fraccin afecta atodo el numerador. 2. Buscamos el mnimo comn mltiplo de losdenominadores. 3. Multiplicamos cada trmino de la ecuacin por elm.c.m. encontrado. 4. Simplificamos los denominadores de lostrminos fraccionarios con el m.c.m. 5. Resolvemos los parntesisefectuando las operaciones indicadas. 6. Continuamos resolviendo laecuacin con los nmeros enteros que obtuvimos. En general, lasecuaciones fraccionarias se resuelven transformndolas en ecuacionesenteras, para lo cual es necesario eliminar los denominadores. Paraeliminar los denominadores en una ecuacin fraccionaria se procedede la siguiente manera: 1. Se halla el mcm de los denominadores. 2.Se multiplican ambos miembros de la ecuacin por el m.c.m de losdenominadores.Ejemplo 1 el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x- 1) MODULO DE ALGEBRA Pgina 65 66. Multiplicando ambos miembros dela ecuacin por (x + 1) (x – 1) resulta:Es importante tener presenteque cuando ambos miembros de una ecuacin fraccionaria semultiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtieneuna ecuacin equivalente a la dada, siempre que la solucin obtenidano anule algn denominador. Comprobacin:Ejemplo2:Estas ecuaciones noson equivalentes a la original, porque el conjunto solucin es{3}paraambas,peronoparalaecuacinoriginal.Sustituyendo tenemosMODULODE ALGEBRA Pgina 66 67. Ecuaciones con radicales Las ecuaciones conradicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen laincgnita bajo el signo radical.Resolucin de ecuaciones conradicales 1 Se asla un radical en uno de los dos miembros, pasandoal otro miembro el resto de los trminos, aunque tengan tambinradicales. 2 Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3 Se resuelvela ecuacin obtenida. 4 Se comprueba si las soluciones obtenidasverifican la ecuacin inicial. Hay que tener en cuenta que al elevaral cuadrado una ecuacin se obtiene otra que tiene las mismassoluciones que la dada y, adems las de la ecuacin que se obtienecambiando el signo de uno de los miembros de la ecuacin. 5 Si laecuacin tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fasesdel proceso hasta eliminarlos todos.1 Aislamos el radical:MODULO DEALGEBRA Pgina 67 68. 2 Elevamos al cuadrado los dosmiembros:3Resolvemos la ecuacin:4Comprobamos:La ecuacin tiene porsolucin x = 2.Ejercicios de ecuaciones con radicales 1 MODULO DEALGEBRA Pgina 68 69. 23 MODULO DE ALGEBRA Pgina 69 70. Ecuacionescuadrticas La ecuacin cuadrtica o tambin conocida como la ecuacinde segundo grado es aquella ecuacin que obedece a un polinomio desegundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.Donde elcoeficiente «a» es necesariamente diferente a cero (En el caso quea = 0 se obtiene una ecuacin lineal o de primer orden)Mtodo desolucin de la ecuacin cuadrticaMODULO DE ALGEBRA Pgina 70 71. Loprimero es dividir la ecuacin completa por el primer trmino aSeprocede a completar un trinomio cuadrado perfecto con laexpresinPara lo cual se suma y resta, que puede escribirsecomoAhora simplemente se resuelve esta ecuacin aprovechando que eltrminopuede despejarseMODULO DE ALGEBRA Pgina 71 72. El valor de xes lo que se conoce como frmula general de la ecuacin de segundogrado El teorema fundamental del lgebra garantiza que un polinomiode grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que segeneran con el signo + y – de la x que se obtuvo De esta manera setieneSila ecuacin tiene dos races reales diferentes entre sSilasdos races son reales e igualesSilas dos races son complejasconjugadasEjemplos numricos Primer ejemplo, 2×2 x 1 = 0 Primero seidentifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1MODULO DEALGEBRA Pgina 72 73. Luego se procede a reemplazarlos en lafrmulaAmbas soluciones son reales y diferentes entre s. Note que,eneste ejemplo en particular Segundo ejemplo, 9×2 6x + 1 = 0 Seidentifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1 Se reemplazanlos coeficientes en la frmulaAmbas soluciones son reales y eiguales entre s. Note que Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0 Seidentifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1MODULO DE ALGEBRAPgina 73 74. Se reemplazan los coeficientes en la frmulaAmbassoluciones son complejas conjugadas. Note que, paraesta ecuacin seobtuvo Propiedades bsicas de las soluciones de la ecuacincuadrticaDemostracinMODULO DE ALGEBRA Pgina 74 75.DemostracinECUACIONES CUADRTICAS FACTORIZACIN Por: MelissaMurriasUna ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx +c, donde a, b, y c son nmeros reales.Ejemplo: 9×2 + 6x + 10a = 9, b= 6, c = 103×2 – 9xa = 3, b = -9, c = 0-6x 2 + 10a = -6, b = 0, c =10Hay tres formas de hallar las races ( el o los valores de lavariable) de las ecuaciones cuadrticas:1. Factorizacin Simple 2.Completando el Cuadrado 3. Frmula Cuadrtica MODULO DE ALGEBRA Pgina75 76. Factorizacin Simple: La factorizacin simple consiste enconvertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios. Luego,se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar lafactorizacin simple de la ecuacin x2 + 2x 8 = 0(x)(xa=1)=0b=2c=-8[x x = x2]( x + ) (x – ) = 0(x + 4 ) (x 2) = 04 y 24+ -2 = 24 -2 = -8x+4=0x2=0MODULO DE ALGEBRA Pgina 76 77. x+4=0 x=04x = -4×2=0 x=0+2 x=2Estas son las dos soluciones.Completando elCuadrado: En este mtodo, la ecuacin tiene que estar en su formaax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Porejemplo, para factorizar la ecuacin 4×2 + 12x 8 = 0, hay quedespejar de la siguiente forma:4×2 + 12x 8 = 0 4 4 4 4×2 + 3x 2 = 0Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x 8 = 0[Ya est en su forma donde a =1.]x2 + 2x = 8[ Pasar a c al lado opuesto.]x2 + 2x + ___ = 8 + ___[Colocar los blancos]MODULO DE ALGEBRA Pgina 77 78. x2 + 2x +1=8+1×2 + 2x + 1 = 9 () () =9Hay que factorizar. Nota: Siempre serun cuadrado perfecto.( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) =x+1= 3 x = -1 3[Separar las dos soluciones.]x = -1 + 3 x=2x = -1 3x = -4Frmula Cuadrtica: Este mtodo es muy simple: hay que sustituirlos valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a la siguientefrmula:MODULO DE ALGEBRA Pgina 78 79. Ejemplo: X2 + 2x 8 = 0a = 1,b = 2, c = -8x = -2 6 2 MODULO DE ALGEBRA Pgina 79 80. X = -2 + 6 2x=4 2 x=2x = -2 – 6 2 x = -8 2x=-4MODULO DE ALGEBRA Pgina 80 81.MODULO DE ALGEBRA Pgina 81 82. MODULO DE ALGEBRA Pgina 82 83.DESIGUALDADES LINEALESDESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLETambinconocidascomoinecuacionesdeprimergrado)Se establecerpidamente la definicin de una desigualdad lineal, pasando a dar unbosquejo de una estrategia general para resolver este tipo dedesigualdad.Se puntualiza el tipo de conjunto solucin de este tipodedesigualdad, de manera grfica, por intervalos y por conjuntos. Sedan una serie de pasos recomendados que conducen siempre al despejede la variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dosprocedimientos, el primero siguiendo los pasos recomendados, elsegundo es para aclarar quesepuedenemplearotrasestrategias,siempreycuandorespetenlapropiedadesalgebraicas y de desigualdades. Una desigualdad es un enunciado oecuacin en el que dos expresiones no son iguales, tambin sonparecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo deigual hay unos smbolos que son:,,. En una definicin decimos que:Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con lascondiciones siguientes: X es mayor que YX es menor queYDesigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado conuna incgnita La expresin,Quiere decir que «a» no es igual a «b».Segn los valores particulares de «a» y de «b», puede tenerse, quese lee «a» mayor que «b», cuando la diferenciaesMODULO DE ALGEBRAPgina 83 84. positiva y, que se lee «a» menor que «b», cuando ladiferenciaesnegativa. Desigualdad «es la expresin de dos cantidadestales que la una es mayor o menor que la otra». Lo mismo que en lasigualdades, en toda desigualdad, los trminos que estn a laizquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de ladesigualdad, y los trminos de la derecha, forman el segundomiembro. De la definicin de desigualdad, lo mismo que de la escalade los nmeros algebraicos, se deducen algunas consecuencias, asaber: 1 Todo nmero positivo es mayor que cero Ejemplo:Porque 5 – 0= 5 2 Todo nmero negativo es menor que cero Ejemplo:Porque -9 -0 =-9 3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valorabsoluto; Ejemplo:Porque -10 – (-30) = -10 +30 = 20DESIGUALDADESLINEALES Una desigualdad es un enunciado o ecuacin en el que dosexpresiones no son iguales, tambin son parecidas a las ecuacionessolo que en lugar de tener un signo de igual hay unos smbolos queson:,,. En una definicin decimos que: Suponemos que X y Ypertenecen a los reales donde cumplen con las condicionessiguientes: MODULO DE ALGEBRA Pgina 84 85. X es mayor que YX esmenor que YDesigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primergrado con una incgnita La expresin, quiere decir que «a» no esigual a «b». Segn los valoresparticulares de «a» y de «b», puedetenerse cuando la diferencia la diferenciaes positiva y, que se lee»a» mayor que «b»,, que se lee «a» menor que «b», cuandoesnegativa. Desigualdad «es la expresin de dos cantidadestales que launa es mayor o menor que la otra». Lo mismo que en las igualdades,en toda desigualdad, los trminos que estn a la izquierda del signomayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y lostrminos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definicinde desigualdad, lo mismo que de la escala de los nmerosalgebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1 Todonmero positivo es mayor que cero Ejemplo:Porque 5 – 0 = 5 2 Todonmero negativo es menor que cero Ejemplo:Porque -9 -0 = -9 3 Si dosnmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;Ejemplo:Porque -10 – (-30) = -10 +30 = 20 MODULO DE ALGEBRA Pgina85 86. Para cada par de nmeros reales a y b, es verdadera una, ysolamente una, de las proposiciones:Propiedades de lasdesigualdades Teorema1-Propiedad transitiva: Teorema2-Suma:Ejemploilustrativo:Ejemplo ilustrativo:Teorema3-Multiplicacin por un nmeropositivo:Teorema4:Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo:LosTeoremas 1 a 4 tambin son vlidos si se cambia «>» por «

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