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  • 1. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES _________________________________________ 12 Introduccin ___________________________________________________________________12 Conjunto de los nmeros reales____________________________________________________12 Conjunto de los nmeros naturales_________________________________________________12 Conjunto de los nmeros enteros __________________________________________________13 Conjunto de los nmeros racionales ________________________________________________13 Conjunto de los nmeros reales____________________________________________________13 EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES _______________________________________ 14 LOS NMEROS REALES Y LA RECTA REAL________________________________________ 15 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________________ 18 Propiedad conmutativa. _______________________________________________________18 Propiedad Anti conmutativa ______________________________________________________19 Ejemplos ____________________________________________________________________________20 Propiedad distributiva. ________________________________________________________20 Divisores del cero _______________________________________________________________21 Elementos distinguidos _______________________________________________________22 Elemento neutro________________________________________________________________22 Elemento involutivo _____________________________________________________________23 Elemento absorbente ____________________________________________________________23 Operacin inversa_______________________________________________________________23 POTENCIACION Y RADICACION________________________________________________ 24 POTENCIACION ____________________________________________________________ 24 Propiedades de la potenciacin ____________________________________________________25 Potencia de potencia ____________________________________________________________________25 Multiplicacin de potencias de igual base ___________________________________________________25 Divisin de potencias de igual base_________________________________________________________25 Propiedad distributiva ___________________________________________________________________25 Propiedad conmutativa __________________________________________________________________26 Potencia de exponente 0 _________________________________________________________________26 Potencia de exponente 1 _________________________________________________________________26 Potencia de base 10 _____________________________________________________________________26

2. RADICACIN ______________________________________________________________ 27 Raz cuadrada __________________________________________________________________28 OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN Y DIVISIN.______ 30 SUMA: ________________________________________________________________________30 RESTA: ________________________________________________________________________32 MULTIPLICACIN: _______________________________________________________________34 DIVISION:______________________________________________________________________41 Divisin entre fracciones _________________________________________________________________41 Divisin de polinomios entre monomios. ____________________________________________________42 Divisin entre polinomios. ________________________________________________________________43 PRODUCTOS NOTABLES _____________________________________________________ 44 Otros casos de productos notables (o especiales): _____________________________________47 Cubo de una suma ______________________________________________________________49 Cubo de una diferencia___________________________________________________________49 MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS_____________________________________ 50 Aplicaciones del m.c.m. __________________________________________________________55 1. Reducir fracciones a comn denominador. ________________________________________________55 2. Resolver problemas de la vida prctica. ___________________________________________________55 Aplicaciones del m.c.d. ___________________________________________________________56 1. Simplificar una fraccin hasta su irreducible. _______________________________________________56 2. Resolver problemas de la vida prctica. ___________________________________________________56 RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACIN __________________ 58 Descripcin:____________________________________________________________________58 Ecuaciones de primer grado __________________________________________________ 60 Ecuaciones literales de primer grado ___________________________________________ 61 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) _____________________________ 63 Ecuaciones de segundo grado y una incgnita ________________________________________63 Solucin de ecuaciones cuadrticas___________________________________________________64 Solucin por completacin de cuadrados ____________________________________________66 Solucin por la frmula general ____________________________________________________69 PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES ________________________ 70 3. Inverso aditivo _________________________________________________________________70 Propiedad del doble negativo _____________________________________________________70 Operaciones con los nmeros Reales _______________________________________________________71 1. Sumar nmeros reales_______________________________________________________________71 Restar nmeros reales_________________________________________________________________72 Multiplicar nmeros reales _____________________________________________________________72 Propiedades de los nmeros reales. ________________________________________________73 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES _______________________________________ 73 Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________________76 a) ecuaciones lineales propiamente tales ____________________________________________________77 b) ecuaciones fraccionarias _______________________________________________________________78 c) ecuaciones literales ___________________________________________________________________78 Sistemas de ecuaciones lineales _______________________________________________79 Sistema compatible indeterminado _________________________________________________79 Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas____________________________________79 CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ________________ 81 Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales _________________ 83 Mtodo de reduccin ____________________________________________________________84 Ejemplo ______________________________________________________________________________84 Ejemplo ______________________________________________________________________________86 Mtodo de sustitucin_________________________________________________________86 Ejemplo ______________________________________________________________________________87 Mtodo de Gauss _____________________________________________________________88 Ejemplo ______________________________________________________________________________88 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ___________________________________________ 90 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: _________________________________________90 CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA________________________________ 91 MONOMIO. ____________________________________________________________________91 BINOMIO______________________________________________________________________91 TRINOMIO. ____________________________________________________________________91 POLINOMIO. ___________________________________________________________________92 GRADO DE UN MONOMIOS __________________________________________________ 92 4. GRADO DE UN POLINOMIO___________________________________________________ 92 ORDENAR UN POLINOMIO ___________________________________________________ 92 NOMENCLATURA ALGEBRAICA________________________________________________ 95 DESCOMPOSICIN FACTORIAL_____________________________________________________97 Mtodos para la factorizacin de polinomios _________________________________________97 Binomios______________________________________________________________________________97 Trinomios _____________________________________________________________________________98 Polinomios ____________________________________________________________________________98 Factorizar un monomio __________________________________________________________________98 Factorizar un polinomio__________________________________________________________________98 Factor comn. __________________________________________________________________98 Factor comn de un polinomio_____________________________________________________99 Factor comn por agrupacin de trminos ___________________________________________99 Trinomio cuadrado perfecto______________________________________________________100 Raz cuadrada de un monomio____________________________________________________100 Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ______________________101 Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto __________________________101 Trinomios de la forma x2 + px + q _________________________________________________________102 Regla prctica para factorizar el trinomio ______________________________________102 Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m 1)______________________________________________103 CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M _______________________________________ 105 Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) entre polinomios ________________________ 105 Ejercicios ___________________________________________________________________107 OPERACIONES CON FRACCIONES _____________________________________________ 110 SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES __________________________________________ 110 MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ________________________________ 114 DIVISIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________________________ 115 ECUACIONES CUADRATICAS _________________________________________________ 117 Factorizacin: _________________________________________________________________118 Raz cuadrada: ________________________________________________________________________118 Completando el cuadrado: _______________________________________________________119 5. Frmula cuadrtica: ____________________________________________________________119 Clasificacin___________________________________________________________________121 Completa____________________________________________________________________121 Completa General ___________________________________________________________________121 Completa Particular _________________________________________________________________121 Incompleta __________________________________________________________________121 Incompleta Binomial ________________________________________________________________121 Incompleta Pura_____________________________________________________________________121 Frmula general para resolver ecuaciones cuadrticas ____________________ 122 PROPIEDADES DE LOS NMEROS ENTEROS_____________________________________ 124 Propiedades de la suma de nmeros enteros________________________________________________124 Multiplicacin de nmeros enteros _______________________________________________________125 Regla de los signos _____________________________________________________________________125 Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros ________________________________________125 Propiedades de la divisin de nmeros enteros______________________________________________126 Potencia de nmeros enteros ____________________________________________ 127 Propiedades: _______________________________________________________________________127 Potencias de exponente entero negativo ___________________________________________128 RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ______________ 130 Solucin de ecuaciones cuadrticas por completacin del cuadrado ____________133 Resolver ecuaciones cuadrticas en forma estndar ___________________________134 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRTICAS _______________________________ 135 ANEXOS: NOTAS DE CLASE _____________________________ Error! Marcador no definido. EVALUACIONES ___________________________________________________________ 294 6. ___________________________________________________ Error! Marcador no definido. 7. Bibliografia ______________________________________________________________ 301 8. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES Introduccin El ente bsico de la parte de la matemtica conocida como anlisis lo constituye el llamado sistema de los nmeros reales. Nmeros tales como 1, 3, , , e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos mtodos principales para estudiar el sistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistema ms primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de l, por medio de una secuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los nmeros reales1. En el segundo mtodo se hace una descripcin formal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades. En esta primera parte se har una presentacin intuitiva del conjunto R de los nmeros reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo ms a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico del mismo. Conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los nmeros naturales El conjunto de los nmeros naturales, que se denota por N o tambin por Z corrientemente se presenta as: 9. N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carcter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numricos y lleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales. Conjunto de los nmeros enteros El conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta as: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los nmeros enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N, como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = 2. Puede notarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionales El conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera { } La introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacin ax = b, con a, b Z, a 0. sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Conjunto de los nmeros reales Se define como. = 10. En el conjunto de los nmeros reales estn definidas dos operaciones: adicin (+) y multiplicacin (), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas tambin axiomas de campo). (Peano, 1889) EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES Al conjunto de los nmeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numrico a partir de los nmeros naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto de la anterior. Con los nmeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a- b) si a < b. Se definen as los nmeros negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nmeros enteros (Z). Con los nmeros enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir si a no es mltiplo de b. Se definen as los nmeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de los nmeros racionales. Todo nmero racional se puede expresar como un nmero decimal exacto o como un nmero decimal peridico, es decir con infinitas cifras decimales que se repiten Con los nmeros racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b 0). Si bien el conjunto de los nmeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de l ( , , p , entre otros). Surgen los nmeros irracionales para dar respuesta a estas instancias. 11. Los nmeros irracionales se pueden expresar como nmeros decimales de infinitas cifras decimales no peridicas. Los nmeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los nmeros reales (R). Los nmeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoras: propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen que los nmeros reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por cero) obtenindose otro nmero real. LOS NMEROS REALES Y LA RECTA REAL En la geometra analtica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de la recta. Existe una condicin que cumplen los nmeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada nmero real le corresponde un nico punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un nico nmero real. Como se observa en el grfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona adems una unidad de longitud 12. para medir distancias. Se elige tambin un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada nmero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente: Se asocia al origen el nmero 0, Se asocia a cada nmero positivo p un punto que est a una distancia de p unidades del origen en la direccin positiva, Se asocia a cada nmero negativo - p el punto que est a p unidades de distancia del origen en la direccin negativa. Los puntos en la recta se identifican con los nmeros que representan. El nmero real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numrica o recta de los nmeros reales. Tambin se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Ejemplo. Orden Los nmeros reales estn ordenados cumpliendo slo una de las afirmaciones siguientes: dados dos nmeros reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. 13. Puede observarse en la recta que a < b si y slo si el punto que representa al nmeroa est a la izquierda del punto que representa al nmero b. Anlogamente, a > b s y slo s el punto que representa al nmero a se halla a la derecha del que representa a b. Si a = b, los puntos se superponen. La relacin de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si el nmero real a es menor que el nmero real b (a < b).([email protected], s.f.) 14. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS En lgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A: son las de mayor inters, porque se utilizan tanto en los sistemas numricos o, ms abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatizacin de los diversos sistemas matemticos Propiedad conmutativa. Dado un conjunto no vaco A, en el que se ha definido una ley de composicin interna *: se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple: Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a. Del mismo modo podemos decir que la ley de composicin interna *, no es conmutativa en A si: Si existe algn a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a. La adicin en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo cualquier conjunto indicado La multiplicacin es asociativa en cualquiera de los conjuntos 15. La divisin en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b b:a, salvo para 1 y -1. El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo. El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB BxA. Propiedad Anti conmutativa Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al opuesto de operar b con a. Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos: Se tiene con el producto vectorial : Y En general, para cualquier par de vectores a, b: Para los enteros, se ve que la sustraccin Es anti conmutativa, pues si: Sea A un conjunto no vaco y * una operacin binaria en A: 16. Se dice que * es asociativa si, solo si: Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c. Tambin se puede decir que la operacin * no es asociativa si se cumple: Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de operar a con el resultado de operar b con c. Ejemplos La adicin y la multiplicacin con nmeros pares son asociativas. La sustraccin en el conjunto Z de los enteros no es asociativa La adicin en el conjunto Z[i] es asociativa el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial. Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R. () Propiedad distributiva. Dado un conjunto A no vaco en el que se han definidos dos operaciones internas: Que expresaremos se dice que la operacin es distributiva por la derecha de si se cumple: Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w) =uxv + uxw Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN + MQ. 17. Es importante el orden de factor en la definicin de R-mdulos a izquierda. Del mismo modo se dice que la operacin es distributiva por la izquierda de si se cumple: Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P= MP+ NP, la simple yuxtaposicin indica el producto de matrices. La composicin de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de funciones: (f +g)=, donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso sealado. Una operacin es distributiva sobre otra si es distributiva por la derecha y por la izquierda. Los conjuntos numricos gozan de la distributiva por ambos lados. Al definir un anillo se indican las dos formas distributivas a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semi grupo multiplicativo no se exige la conmutatividad. Ver si se cumple a*(b+ c) = a*b + a*c siendo * la operacin definida en () y , + la suma usual en R. Sea A con la operacin * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado a por la izquierda. Y si de b*a =c*a de deduce b=a se dice que se ha simplificado por la derecha. Si se puede simplificar por ambos lados se haba de simplificacin o cancelacin. En el caso de la suma de nmeros (de cualquier naturaleza) a+ b= a + c , cancelando a, resulta b=c En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para el caso, los grupos simtricos. Divisores del cero . Sea el conjunto A y la operacin * , siendo a 0, b 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y b son divisores del 0. 18. Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0. En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos mdulo 6 con la multiplicacin * de restos, resulta 2*3=0. Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x0 y g(x) =0 en otro caso; tanto f y g no son nulas pero s su producto (x) = 0 para todo x real. Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos mdulo 4; con la adicin tenemos que en este caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos ms dos dan cuatro". Elementos distinguidos Elemento neutro Si se tiene el conjunto A, no vaco, provisto de una operacin binaria *, que indicaremos: (A,*), Diremos que el elemento es el elemento neutro por la derecha si: Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e = e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo: En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el elemento neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a. En los mismos sistemas, pero con la multiplicacin, el 1 uno es el elemento neutro multiplicativo. a.1 = 1.a = a. En el conjunto de los racionales con la operacin a*b = a+b +ab , el elemento neutro es 0. En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicacin, el elemento neutro es la matriz que tiene unos en la diagonal principal y los dems elementos son cero. En la composicin de funciones de variable real, el elemento neutro es la funcin I(x) = x para todo x. 19. Sea A un conjunto no vaco y * una operacin binaria: Diremos que a' es simtrico de a si: Donde es el elemento neutro. El 2 es el simtrico de -2 en Z con la adicin; 1/2 es el simtrico de 2 en Q* con la multiplicacin. En el casos de los sistemas algebraicos aditivos, el simtrico se llama opuesto o inverso aditivo, en el caso de los multiplicativos se llama: inverso multiplicativo. Elemento involutivo Se llama as al elemento d de A, con la operacin binaria *, tal que d*d= d. el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicacin en el conjunto Z de los enteros. Elemento absorbente Se denomina as al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la operacin *. 0 es elemento absorbente se un sistema numrico multiplicativo. El conjunto vaco es elemento absorbente para la interseccin definida en el conjunto de partes de U. Operacin inversa Sea A un conjunto con una operacin binaria *: 20. Por lo que cabe la ecuacin: Pero si se da el caso de que: Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operacin inversa. Si A admite elementos simtricos, se define: (S.R) POTENCIACION Y RADICACION POTENCIACION ROF. Jos Luis Gallardo La potenciacin es una nueva forma de escribir el producto de un nmero por l mismo. Es muy prctica, elegante, til y fcil. Fjate que la base es el nmero que multiplicas varias veces por s mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado. As por ejemplo: Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por s mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un nmero se multiplica por s mismo una cantidad definida de veces es una potenciacin. Por ejemplo, si se multiplica ocho por s mismo cinco veces se tendr 8 X 8 X 8 X 8 X 8. 21. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85 . En este caso, al nmero ocho se lo llama base (nmero que se va a multiplicar por s mismo) y al cinco se le denomina exponente (nmero de veces que se va a multiplicar al ocho por s mismo). De acuerdo con lo anterior, se puede decir que: 85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768 Elevar a una potencia el nmero 10 Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el nmero 10. Por ejemplo lo elevamos a la cuarta: 104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000 Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros. As se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)... Propiedades de la potenciacin Las propiedades de la potenciacin son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicacin de los primeros exponentes. Multiplicacin de potencias de igual base La multiplicacin de dos o ms potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. Divisin de potencias de igual base La divisin de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Propiedad distributiva La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. 22. En particular: (a + b)m = am + bm (a b)m = am bm Se cumple en los siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b son iguales a 0 y m0. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciacin, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo nmero / la misma cifra o equivalentes. En particular: ab = ba Si y slo si a=b. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. a0 = 1 si se cumple que Potencia de exponente 1 Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a. a1 = a Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 Como tambin pues ser unos conjuntos de nmeros potenciados o elevados a un exponente 23. 106 = 1000000 104 = 10000 RADICACIN ROF. Jos Luis Gallardo Vos sabes que la resta es la operacin inversa de la suma y la divisin es la operacin inversa de la multiplicacin. La potenciacin tiene tambin su operacin inversa; y se llama radicacin. Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raz cuadrada de 64. De la misma manera calcular la raz cuadrada de 25 significa buscar un nmero que elevado al cuadrado d como resultado 25. Es decir que: Por ahora slo trabajaremos con races cuadradas (las que corresponden al exponente dos), pero estas no son las nicas que existen, como podrs ver en cursos posteriores. 24. Raz cuadrada 1- Para calcular la raz cuadrada de un nmero se comienza separando el nmero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha Por ejemplo: 5560164 lo separaramos 5'56'01'64 2- A continuacin se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo ms prximo al nmero del primer grupo, empezando por la izquierda). En nuestro ejemplo el primer nmero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca ms a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raz. 3- despus se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del nmero del primer grupo En nuestro ejemplo 22 = 4 y restndolo del nmero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1 4- A continuacin ponemos al lado del resto anterior el nmero del siguiente grupo En nuestro ejemplo nos quedara 156 5- despus multiplicamos por 2 el nmero que hemos calculado hasta el momento de la raz. En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4 6- A continuacin tenemos que buscar un nmero que multiplicado por el nmero que resulta de multiplicar por 10 el nmero anterior y sumarle el nmero que estamos buscando se acerque lo ms posible al nmero que tenemos como resto. Ese nmero ser el siguiente nmero de la raz. En nuestro ejemplo el nmero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el nmero que se aproxima ms a 156 y la raz seria 23... 7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el nmero obtenido del que queramos obtener realmente. En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27 8- A continuacin repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el nmero del siguiente grupo En nuestro ejemplo: 2701 9- A continuacin repetimos el paso 5 25. En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46 10- despus repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el nmero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el nmero que se aproxima ms a 2701 y la raz seria 235... 11- despus repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376 12- A continuacin repetimos el paso 8 En nuestro ejemplo: 37664 13 A continuacin repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470 14- A continuacin repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el nmero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el nmero que se aproxima ms a 37664 y la raz seria 2358 15- A continuacin repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raz es exacta pues el resto es cero. Clculo de races cuadradas por aproximaciones sucesivas Este mtodo se debe a Newton Si conocemos una aproximacin de la raz, podemos calcular una aproximacin mejor utilizando la siguiente frmula: ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1) Por ejemplo, para calcular la raz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximacin 2, entonces: a1 = 2 a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250 a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236 26. OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN Y DIVISIN. SUMA: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre s los coeficientes de los trminos del mismo grado El resultado de sumar dos trminos del mismo grado, es otro trmino del mismo grado. Si falta algn trmino de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se complet con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los trminos de igual grado. Tambin se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIN de cada ejercicio lo mostrar resuelto de las dos maneras. EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) + -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros trminos con ceros. As, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado trmino a trmino con el otro polinomio. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2) 27. B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3) 0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo) + 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3 - 8x2 + 7x 3 La suma de los trminos de grado 2 di 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los trminos con coeficiente cero. EJEMPLO 3: (Uno de los trminos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x 5x3 - 4x2 + x + 9 + 0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________ 5x3 + 0x2 - x + 6 A + B = 5x3 - x + 6 Se llama trminos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay trminos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos trminos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sum cero, por no tener otro trmino semejante. EJEMPLO 4: (No hay trminos semejantes) 28. A = 4x3 + 5 B = -2x + x2 4x3 + 0x2 + 0x + 5 + 0x3 + x2 - 2x + 0 ____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5 A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los trminos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. As que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los trminos de igual parte literal. EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 RESTA: EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x 29. B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) - 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio: 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 + -5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados) ______________________________ 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2 A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2 Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los trminos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero tambin se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado. Y tambin se los puede restar "en el mismo rengln", tal como mostr que se puede hacer en la suma. EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado) A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2) B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 (grado 3) 0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo) 30. - 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 0x3 - 3x2 + 5x - 4 + -4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados) ____________________ -4x3 + 2x2 + 3x - 5 A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5 Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros trminos con ceros. As, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede en columnado trmino a trmino con el otro polinomio. MULTIPLICACIN: Cmo se multiplican los polinomios? Multiplicando todos los trminos de uno de ellos por todos los trminos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicacin y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo: (x + 5).(x - 3) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1 2x.(x + 1) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1 31. Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que haba que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada trmino de una expresin con cada trmino de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 = Y luego "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los nmeros que tienen delante". En este ejemplo slo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro nmero no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve tambin la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros..." es en realidad "sumar los trminos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) = x2 + 2x - 15 Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la multiplicacin con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se haca en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos trminos. Por ejemplo: A = -9x3 + x + 4x5 B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x (-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) = Se trata, como antes, de multiplicar cada trmino de uno por todos los trminos del otro. EJEMPLO 1: (Multiplicacin por un monomio) A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x B = -5x4 -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x X -5x4 ______________________________ 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 32. A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 Se multiplica al monomio por cada trmino del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicacin de potencias de igual base. Tambin se pueden multiplicar "en el mismo rengln": poniendo el polinomio entre parntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras. EXPLICACIN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: (Multiplicacin de polinomios completos) A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 B = 3x - 6 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo) X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ -24x3 + 30x2 - 12x - 6 + 12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x _________________________ 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6 A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6 A cada trmino del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada trmino del primer polinomio. Si ambos polinomios estn completos y ordenados, los resultados quedan tambin completos y ordenados, y es ms fcil en columnarlos segn su grado, porque van saliendo en 33. orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicacin de nmeros de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" nmeros a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicacin de nmeros de varias cifras, y as se logra que los trminos de igual grado queden en la misma columna. explicacin ejemplo 2 EJEMPLO 3: (Multiplicacin de polinomios incompletos y desordenados, completndolos y ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. As es ms fcil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque 34. todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recin aprende el tema, pero luego cuando se tiene ms prctica se preferir no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicacin sin completar los polinomios. En el resultado final ya no se ponen los trminos con 0. EJEMPLO 4: (Multiplicacin de polinomios incompletos; sin completarlos, pero s ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado) _____________________ 15x4 - 27x2 + 3x -10x6 + 18x4 - 2x3 ____________________________ -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x En el resultado de multiplicar por el 3 no hay trmino con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay trmino de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los trminos de igual grado, haya que saltearse columnas, 35. borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dnde ubicar cada trmino. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los trminos vayan saliendo en orden y no haya qu pensar en dnde ponerlos. EJEMPLO 5: (Multiplicacin de polinomios de varias letras) A = -3x2 y3 + 4 - 7x2 y2 - 6x3 y3 B = 5x4 y + 8x - 2x3 y - 10 A x B = (-3x2 y3 + 4 - 7x2 y2 - 6x3 y3 ).(5x4 y + 8x - 2x3 y - 10) = -15x6 y4 - 24x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 14x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 + 60x3 y3 = -15x6 y4 + 12x6 y4 - 24x3 y3 + 60x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 14x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 = -3x6 y4 + 36x3 y3 + 6x5 y4 + 30x2 y3 + 20x4 y + 32x - 8x3 y - 40 - 35x6 y3 - 56x3 y2 + 28x5 y3 + 70x2 y2 - 30x7 y4 - 48x4 y3 + 12x6 y4 Cuando los polinomios tienen varias letras, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo rengln" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicacin de los trminos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los trminos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos trminos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los dems quedan como estn. 36. EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del - 27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el trmino de grado x. Todo lo dems sali ordenado por grado. EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 37. 9x2 + x + 5x4 (polinomio A incompleto y desordenado) X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado) __________________________ - 10x6 + 18x4 - 2x3 + 15x4 - 27x2 + 3x _________________________________________ - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando ms o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x6 , sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas ms para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo trmino, para los grados intermedios que faltan. As quedan ms o menos acomodados, para que en la prxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente. DIVISION: Divisin entre fracciones En este tipo de divisin se cumplen las mismas reglas que con la divisin de monomios y las reglas de divisin de fracciones de la aritmtica. 38. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer trmino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la divisin, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la divisin (esto se llama divisin cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (n = 1), y se escriben en orden alfabtico. Ejemplos: Divisin de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtindolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de l polinomio. Separamos el polinomio en diferentes trminos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: 39. Divisin entre polinomios. En este tipo de divisin se procede de manera similar a la divisin aritmtica los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los trminos que faltan. El primer trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer trmino del cociente por todos los trminos del divisor, se coloca este producto debajo de l dividendo y se resta del dividendo. El segundo trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer trmino del divisor. Se multiplica el segundo trmino del cociente por todos los trminos del divisor, se coloca este producto debajo de l dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer trmino no pueda ser dividido por el primer trmino del divisor. Cuando esto ocurre el resto ser el residuo de la divisin. La intencin con este mtodo de divisin es que con cada resta se debe eliminar el trmino que se encuentra ms a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. 40. Ejemplos: PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicacin. Tambin sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. 41. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (tambin productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuacin veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, ms el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a + b)2 Nota: Se recomienda volver al tema factorizacin para reforzar su comprensin. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades 42. a2 2ab + b2 = (a b)2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a b)2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a b) = a2 b2 El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostracin: 43. Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma (a + b) (a b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como a2 b2 Otros casos de productos notables (o especiales): Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) Demostracin: Veamos un ejemplo explicativo: Tenemos la expresin algebraica x2 + 9 x + 14 Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 ) Cmo llegamos a la expresin? a) El cuadrado del trmino comn es (x)(x) = x2 b) La suma de trminos no comunes multiplicada por el trmino comn es (2 + 7)x = 9x c) El producto de los trminos no comunes es (2)(7) = 14 As, tenemos: x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 ) 44. Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (x + a) (x + b) Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma x2 + (a b)x ab = (x + a) (x b) Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 + (a b)x ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (x + a) (x b). Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma x2 (a + b)x + ab = (x a) (x b) Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x a) (x b). Producto de dos binomios con un trmino comn, de la forma 45. mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b) En este caso, vemos que el trmino comn (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx). Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b). Cubo de una suma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3 . Cubo de una diferencia a3 3a2 b + 3ab2 b3 = (a b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 3a2 b + 3ab2 b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)3 . A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresin algebraica que lo representa: 46. Producto notable Expresin algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2 ) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS El problema de calcular el mximo comn divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia fundamental en lgebra computacional. Estos clculos aparecen como subproblemas en operaciones aritmticas sobre funciones racionales o aparecen como clculo prominente en factorizacin de polinomios y en integracin simblica, adems de otros clculos en lgebra. En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variacin del algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrs, es fcil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del lgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando tcnicas un poco ms sofisticadas. En esta primera parte vamos a entrar en la teora bsica y en los algoritmos (relativamente) ms sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aqu lo llamaremos PRS subresultante) y el algoritmo heurstico (conocido como "GCDHEU''). Este ltimo algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y 47. se usa tambin como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el 90% de los clculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13]. No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el clculo del MCD de dos polinomios. Los algoritmos ms usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16] GCDHEU es ms veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es ms veloz que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con muchos coeficientes nulos y stos, en la prctica, son la mayora. En la segunda parte, en el prximo nmero, nos dedicaremos a EZGCD y SPMOD. Estos algoritmos requieren tcnicas ms sofisticadas basadas en inversin de homomorfismos va el teorema chino del resto, iteracin lineal p-dica de Newton y construccin de Hensel. Como CGDHEU es un algoritmo modular, aprovechamos para iniciar con parte de la teora necesaria para los dos primeros algoritmos. En este trabajo, primero vamos a presentar los preliminares algebraicos, el algoritmo de Euclides, el algoritmo primitivo de Euclides, el algoritmo PRS Subresultante y el algoritmo heurstico, adems de el algoritmo extendido de Euclides. Las implementaciones requieren, por simplicidad, construir un par de clases para manejo de polinomios con coeficientes racionales grandes ("BigRational'') y para manejo de polinomios con coeficientes enteros grandes ("BigInteger'').(Escuela de Matemtica - Centro de Recursos Virtuales (CRV). Instituto Tecnolgico de Costa Rica) EJERCICIOS Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2 48. 1) Se factorizan las expresiones dadas: > 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplic Caso I de Factorizacin) > 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplic Caso I y IV de Factorizacin) 2) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 4a y 2a^2 son 2a Factor comn de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b) por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solucin. NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposicin de Factores o Factorizacin, segn el Caso que le corresponda. ___________________________________________________________ Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1) Se factorizan las expresiones dadas: > x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplic el Caso IV de Factorizacin > x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplic el Caso III de Factorizacin. > x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplic el Caso III de Factorizacin. Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de las 3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solucin. ___________________________________________________________ Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab Factorizando las expresiones dadas: > 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplic el Caso I de Factorizacin. 49. > 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplic el Caso I de Factorizacin. Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a < Solucin. _________________________________________________________ 2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: > 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2) > 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y < Solucin. _________________________________________________________ 3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 Faxctorizando las expresiones dadas: > 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) > 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Factor comn de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2 Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 < Solucin. __________________________________________________________ 4) Hallar el m.c.d. de ab +b y a^2 +a Factorizando las expresiones dadas: 50. > ab +b = b(a +1) > a^2 +a = a(a +1) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Factor comn de b(a +1) y a(a +1) es = (a +1) Por lo tanto el m.c.d. de ab +b y a^2 +a es = a +1 < Solucin. ___________________________________________________________ 5) Hallar el m.c.d. de x^2 -x y x^3 -x^2 Factorizando las expresiones dadas: > x^2 -x = x(x -1) > x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Factor comn de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) Por lo tanto el m.c.d. de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) < Solucin. ___________________________________________________________ 6) Hallar el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: > 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x) > 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplic el Caso I Factor comn de (3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x Por lo tanto el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x < Solucin. ___________________________________________________________ 7) Hallar el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 Factorizando las expresiones dadas: > 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2) > 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplic el Caso I para ambas expresiones. 51. Factor comn para 6a^2xy^4(3x^2) y 6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4 Por lo tanto el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es = 6a^2xy^4 < Solucin. ___________________________________________________________ 8) Hallar el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 Factorizando las expresiones dadas: > 5a^2 -15a = 5a(a -3) > a^3 -3a^2 = a^2(a -3) Se aplic el Caso I, para ambas expresiones. Factor comn de 5a(a -3) y a^2(a -3) es = a(a-3) Por lo tanto el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 es = a(a -3) < Solucin. Aplicaciones del m.c.m. 1. Reducir fracciones a comn denominador. Ejemplo: Reducir a comn denominador las siguientes fracciones: Factor izamos los denominadores: 12 = 22 x 3 9 = 32 18 = 2 x 32 Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 32 = 4 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador. 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. Habr algn momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es as, cada cuntos segundos coincidirn los dos? Solucin: Buscamos una cantidad de segundos que sea mltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea el ms cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12). Factorizamos 8 y 12: 8 = 23 12 = 22 x 3 52. Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y calculamos el mnimo comn mltiplo. m.c.m. (8, 12) = 23 3 = 8 3 = 24. Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se vern al mismo tiempo cada 24 segundos. Aplicaciones del m.c.d. 1. Simplificar una fraccin hasta su irreducible. Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fraccin: Hallamos el M.C.D. (360, 336). Para ello factorizamos el numerador y el denominador. 360 = 23 x 32 x 5 336 = 24 x 3 x 7 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (360, 336) = 23 3 = 8 3 = 24. Dividimos el numerador y el denominador entre 24 360 = 360 : 24 = 15 336 336 : 24 14 y obtenemos la fraccin equivalente irreducible: 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. De qu tamao tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo ms grande posible? Cuntas baldosas tengo que comprar? Solucin: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor comn de 270 y 180, y el ms grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el mximo comn divisor de 270 y 180. Factorizamos 270 y 180: 270 = 2 x 33 x 5 180 = 22 x 33 x 5 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: 53. M.C.D. (270,180) = 2 32 5 = 2 9 5 = 90. Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuntas necesitamos: 270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo. 180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho. Respuesta: Necesitamos 6 baldosas. 54. RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACI N Descripcin: La funcin cuadrtica es una funcin de los reales en los reales cuya regla de correspondencia est dada por f(x) = ax 2 + bx + c (a0) y cuyo dominio incluye todos los nmeros reales. Para resolver ecuaciones cuadrticas utilizamos principalmente el mtodo de factorizacin. Ejemplos: 1) Resuelva x 32x 1 9 . Solucin: Lo primero es lograr que la ecuacin se iguale a cero. Para esto, primero multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Despus factorizaremos la ecuacin resultante para obtener la solucin final. Es conveniente verificar la solucin final en la ecuacin original. x 32x 1 9 2x 2 x 6x 3 9 2x 2 5x 3 9 0 2x 2 5x 12 0 2x 3x 4 0 2x 3 0 2x 3 x 3/2 55. x 4 0 x 4 2) Halle las soluciones de x 3 8x 2 16x 0. Solucin: Como la ecuacin ya est igualada a cero solamente hay que factorizar e igualar sus factores a cero y resolver en trminos de x . xx 2 8x 16 0 xx 4x 4 0 x 0 x 4 0 x 4 56. Ecuaciones de primer grado Una ecuacin de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incgnita cuyo valor est relacionado a travs de operaciones aritmticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incgnita es uno. Para resolver una ecuacin de primer grado se deben traspasar los trminos de un lado a otro de la ecuacin, de manera que todos los trminos que tengan la incgnita queden a un lado y los dems al otro, teniendo la precaucin de mantener la igualdad de la expresin. Por eso, cada vez que trasponemos un trmino se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuacin: (x + 3)2 (x - 1)2 = 3x (x 4) a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresin x2 + 6x + 9 (x2 2x + 1) = 3x x + 4 x2 + 6x + 9 x2 + 2x 1 = 3x x + 4 b) Trasponemos los trminos: x2 + 6x x2 + 2x 3x + x = 4 9 + 1; c) Reducimos trminos semejantes: 6x = -4 ; d) Dividimos por 6: x = -4/6 e) Simplificamos por 2: x = -2/3 57. Ecuaciones literales de primer grado Una ecuacin de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales adems de la incgnita. Por convencin, se identifica como incgnitas a las ltimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efecta el mismo procedimiento aplicado en la ecuacin del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incgnitas a un lado de la ecuacin, factorizaremos por ella para poder despejarla. Desarrollemos un ejemplo: ax b(x 1) = 3(x + a) Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos trminos semejantes y trasponemos trminos: a) Resolvemos las operaciones ax bx + b = 3x + 3a b) Reducimos trminos semejantes y trasponemos trminos: ax bx 3x = 3a b c) Factorizamos al lado izquierdo por la incgnita: x(a b 3) = 3a b d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a b 3): (Por qu se divide? Porque el factor de la incgnita es diferente de 1) Ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Encuentra dos nmeros consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9. Sean x y x + 1 los nmeros. Entonces, segn el enunciado dado: (x + 1)2 x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 x2 = 9 58. 2x + 1 = 9 x = 4; Por lo tanto los nmeros son 4 y 5. Ejemplo 2: Sergio tiene un ao ms que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. Qu edad tiene el menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuacin: x + 2x + 1 = 97 3x = 96 x = 32 Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65. Respuesta: la edad del menor es 32. Ejemplo: 1.-Resolucin de la ecuacin 2x - 3 = 2 1 paso: Se suma a los dos miembros 3. 2x -3 + 3 = 2 + 3 2x = 5 2 pas. Se divide los dos miembros por 2. 2x /2 = 5/2 2.- Resolucin de la ecuacin 3x -2 = x + 5 59. 1 paso: Restamos x a los dos miembros. 3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5 2 pas. Sumamos 2 a los dos miembros. 2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7 3 pas. Dividimos por 2, el coeficiente de la x 2x/2 = 7/2 SOLUCIN: x = 7 / 2 3.- Resolucin de la ecuacin 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5 1 paso: Se simplifica los dos miembros. 6x - 4 = 12 - 3x 2 paso: Sumamos 3x a los dos miembros. 6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12 3 paso. Sumamos 4 a los dos miembros. 9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16 4 paso: Dividimos por 9 SOLUCIN: x = 16 / 9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) Ecuaciones de segundo grado y una incgnita Sabemos que una ecuacin es una relacin matemtica entre nmeros y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que slo hay una letra, llamada incgnita, que suele ser la x. Resolver la ecuacin consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incgnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solucin de la ecuacin. 60. Ejemplo: Resolver la ecuacin x 1 = 0 El nmero que hace que esa ecuacin sea cierta es el 1, ya que 1 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solucin de la ecuacin. Si en la ecuacin la incgnita est elevada al cuadrado, decimos que es una ecuacin de segundo grado (llamadas tambin ecuaciones cuadrticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque tambin una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuacin de segundo grado o cuadrtica se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parmetros que habr que sustituir por los nmeros reales que corresponda en cada caso particular. Solucin de ecuaciones cuadrticas Hemos visto que una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son nmeros reales. Pero este tipo de ecuacin puede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 9x + 0 = 0 a = 3, b = 9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no est) 6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe) Para resolver la ecuacin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes mtodos: Solucin por factorizacin En toda ecuacin cuadrtica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. 61. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuacin a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios: Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero: Ahora podemos factorizar esta ecuacin: (2x 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada trmino del producto para resolver las incgnitas: Si 2x 3 = 0 2x = 3 Si x + 4 = 0 x = 4 Esta misma ecuacin pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x 1) = 9 2x2 + 5x 12 = 0 2x2 + 5x = 12 62. 2x2 12 = 5x 2) Halle las soluciones de La ecuacin ya est igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en trminos de x: Ahora, si x = 0 o si x 4 = 0 x = 4 Solucin por completacin de cuadrados Se llama mtodo de la completacin de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geomtricamente, y porque en la ecuacin cuadrtica se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuacin del tipo: (ax + b)2 = n en la cual el primer miembro de la ecuacin (ax + b)2 , es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuacin del tipo x2 + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuacin x2 + 8x = 48, que tambin puede escribirse x2 + 8x 48 = 0 Al primer miembro de la ecuacin (x2 + 8x) le falta un trmino para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2 63. Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2 En nuestro ejemplo x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo nmero del binomio, por lo tanto, ese nmero debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2 ) el tercer trmino corresponde al cuadrado del segundo trmino (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuacin por 16, as tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 x2 + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a (x + 4)2 = 64 Extraemos raz cuadrada de ambos miembros y tenemos Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 4 x = 4 Se dice que "se complet un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuacin se logr obtener la expresin (x + 4)2 , que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuacin x2 + 6x 16 = 0 64. Hacemos x2 + 6x = 16 Luego, a partir de la expresin x2 + 6x (primer miembro de la ecuacin) debemos obtener una expresin de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio). Para encontrar el trmino que falta hacemos (Para encontrar dicho trmino en cualquier ecuacin siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo trmino y el resultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresin completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuacin: x2 + 6x = 16 x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 (x + 3)2 = 25 La expresin x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2 , y as la ecuacin se resuelve con facilidad: Extraemos raz cuadrada y queda x + 3 = 5 y x + 3 = 5 (pues 52 = 5 y tambin (5)2 = 5 Entonces x = 5 3 x = 2 Y 65. x = 5 3 x = 8 La ecuacin 1 da x = 2 y la ecuacin 2 da x = 8. Solucin por la frmula general Existe una frmula que permite resolver cualquier ecuacin de segundo grado, que es la siguiente: La frmula genera dos respuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos () antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la frmula. La frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las tcnicas de factorizacin. Resolver la ecuacin 2x2 + 3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = 5, as es que: Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el As es que las soluciones son 66. PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES Para tener xito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros Reales. Dos nmeros, en la recta numrica, que estn a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan: Inversos aditivos, opuestos o simtricos uno del otro. Por ejemplo. 3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3 El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo. La suma de un nmero y su inverso aditivo es 0 (cero). Inverso aditivo Para cualquier nmero real de a, su inverso aditivo es a. Considere el nmero -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este nmero debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. ste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo. Propiedad del doble negativo Para cualquier nmero real a, -(-a) = a Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absoluto El valor de cualquier nmero distinto del cero siempre ser un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0. 67. Para determinar el valor absoluto de un nmero real, use la definicin siguiente. La definicin de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier nmero no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier nmero negativo es el inverso aditivo (opuesto9 del nmero. El valor absoluto de un nmero puede determinarse por medio de la definicin. Por ejemplo. Operaciones con los nmeros Reales 1. Sumar nmeros reales Para sumar dos nmeros con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo comn antes de la suma. La suma de dos nmeros positivos ser un nmero positivo, y la suma de dos nmeros negativos ser un nmero negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solucin: Como ambos nmeros que se suman son negativos, la suma ser negativa. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos nmeros y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos nmeros con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del nmero con el valor absoluto ms grande. 68. La suma de un nmero positivo y un nmero negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta ser el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los nmeros que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto ms pequeo del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 3 = 5. El nmero -8 tiene un valor absoluto mayor que el nmero 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar nmeros reales Todo problema de sustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 (+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicar nmeros reales Para multiplicar dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo Cuando multiplicamos ms de dos nmeros, el producto ser negativo cuando exista un nmero impar de nmeros negativos. El producto ser positivo cuando exista un nmero par de nmeros negativos. 69. Propiedad del cero en la multiplicacin Para cualquier nmero a, Dividir nmeros reales Para dividir dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fraccin es un numero negativo, por lo comn reescribimos la fraccin con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente. Propiedades de los nmeros reales. Propiedades de los nmeros reales. APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES Pasos para la solucin de problemas: 70. 1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras. 2. Identificar la informacin disponible y qu es lo que se pregunta. 3. Representar la incgnita con un smbolo algebraico, como x. 4. Expresar las dems cantidades en trminos de x. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x. 6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los mtodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje comn. Ejemplos El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. Cuntos estudiantes practican deporte? Solucin: Como , entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2, es decir: 240 0,2 = 48. Ejemplo Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte. En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, qu porcentaje de alumnos aprobaron el examen? 71. Solucin: Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60 Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33 Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podra haber hecho 200 60 = 140) Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91 Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124 Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces Ejemplos La ta Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces ms que Laura a cunto le toco cada uno? Solucin Laurita=x Pedro=2x (dos veces ms que Laura) juanita=5x (cinco veces ms que Laurita) x+2x+5x=160 8x=160 x=160/8 x=20 con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100 millones.. 72. Ejemplos Los miembros de una fundacin desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. Cunto debern invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producira al 8% de la inversin total? Solucin: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 P) ser la cantidad a invertir al 6%. Establecemos: (Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total Sustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 P) = (8%)*($18,000) Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 P) = .08*(18,000) .09P + 1,080 .06P = 1,440 .09P .06P = 1,440 1,080 .15P = 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundacin deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 $2,400 = $15,600 al 6%. Ecuaciones lineales de primer grado Sabemos que una ecuacin lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas 73. a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuacin el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque el resultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin se debe: Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro. Luego despejar "x" reduciendo trminos semejantes. Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182 74. b) ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin se debe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo: 75. Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas tiene la siguiente la forma: Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuacin de una recta. Determinar la solucin del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas. Grficamente, la situacin es la siguiente Sistema compatible indeterminado Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas 76. Se puede ver: Con lo que podemos decir que la primera ecuacin multiplicada por tres da la segunda ecuacin, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuacin. Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos: 77. CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) 2 x + y = 6 2 x - y = 2 a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 1, y = 4; x = 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y= 0; x = 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que ser la solucin:x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema ser compatible determinado. Vemos la representacin ms abajo .x + y = 3 2 x + 2 y = 6 b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 0, y = 3; x = 3, y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y = 2; x = 2, y = 1 Las rectas coinciden, toda la recta es solucin del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema ser compatible indeterminado. Vemos la representacin ms abajo 78. b) x + y = 3 x + y = - 1 c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 0,y = 3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 0, y =-1; x = -2, y = 1 Las rectas son paralelas, no tienen ningn punto en comn, luego el sistema no tiene solucin. Por tanto, el sistema ser incompatible. Vemos la representacin siguiente: 79. Graficas Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales 80. Mtodo de reduccin Consiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlas para reducir el nmero de incgnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incgnita. Multiplicar una ecuacin por un nmero consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuacin por dicho nmero. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuacin cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuacin por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuacin Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es La eleccin de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones. 81. Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de igualacin El mtodo de igualacin consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones: Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incgnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuacin No contendra dicha incgnita. Este proceso de eliminacin de incgnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuacin con solo una incgnita, digamos . 82. Una vez que se obtiene la solucin de esta ecuacin se sustituye por su solucin en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el nmero de incgnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a este otro El segundo sistema lo he obtenido pasando los trminos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que Que es una ecuacin con una sola incgnita cuya solucin es . Sustituyendo por 1 en la primera ecuacin del sistema de partida se tiene que Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de sustitucin Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segunda ecuacin y sustituirla en la primera, para obtener la ecuacin: 83. Lo que se busca es que esta ecuacin dependa de menos incgnitas que las de partida. Aqu y son expresiones algebraicas de las incgnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuacin se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuacin del sistema se deduce que Sustituyendo por en Se tiene que Que es una ecuacin con solo una incgnita y cuya solucin es . Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuacin de una sola incgnita Cuya solucin es . 84. Mtodo de Gauss Gauss es uno de los matemticos ms importantes de todos los tiempos. Fue un GENIO! El mtodo de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fcil de resolver. Es esencialmente el mtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno se ahorra el escribir las incgnitas porque al ir los coeficientes de una misma incgnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incgnita a la que multiplican. Ejemplo La matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Es: Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos: 85. Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuacin la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior: Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Que es equivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocupacin para obtener : En la primera y segunda ecuacin, sustituimos por la solucin de la tercera ecuacin ( ), para obtener: La segunda ecuacin es ahora una ecuacin con una sola incgnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuacin, por 1 ( ). Esto nos da una ecuacin en : Que al resolverla termina de darnos la solucin del sistema de ecuaciones inicial: 86. EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIN ALGEBRAICA. Es la representacin de un smbolo algebraico o de una o ms operaciones algebraicas. TRMINO. Es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo + o -. Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UN TRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales. GRADO DE UN TRMINO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el exponente de dicha letra. CLASES DE TRMINOS. El trmino entero es el que no tiene denominador literal, el trmino fraccionario es el que tiene denominador literal. El trmino racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. TRMINOS HOMOGNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. TRMINOS HETEROGNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TRMINOS SEMEJANTES. Dos trminos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya que ambos trminos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un trmino semejante a -3y2 x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2 x) 3. 5xyrb es un trmino semejante con xyrb 4. 4bx2 no es semejante a 4b2 x ya que el literal bx2 no es igual al b2 x. 87. 5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 es semejante a 9j3 k3 porque (jk)3 = j3 k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10.378ab3 c2 no es semejante a 378a2 b3 c CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES