Portafolio de algebra lomas.docx alg p1

  • 1. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES_________________________________________ 12 Introduccin___________________________________________________________________12Conjunto de los nmerosreales____________________________________________________12Conjunto de los nmerosnaturales_________________________________________________12Conjunto de los nmeros enteros__________________________________________________13 Conjunto delos nmeros racionales________________________________________________13 Conjunto de losnmeros reales____________________________________________________13EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES_______________________________________ 14 LOS NMEROS REALES Y LARECTA REAL________________________________________ 15 PROPIEDADESDE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________________ 18Propiedad conmutativa._______________________________________________________18 PropiedadAnti conmutativa______________________________________________________19 Ejemplos____________________________________________________________________________20Propiedad distributiva.________________________________________________________20Divisores del cero_______________________________________________________________21Elementos distinguidos_______________________________________________________22 Elementoneutro________________________________________________________________22Elemento involutivo_____________________________________________________________23Elemento absorbente____________________________________________________________23Operacininversa_______________________________________________________________23POTENCIACION YRADICACION________________________________________________ 24POTENCIACION____________________________________________________________ 24Propiedades de la potenciacin____________________________________________________25 Potencia depotencia____________________________________________________________________25Multiplicacin de potencias de igual base___________________________________________________25 Divisin depotencias de igualbase_________________________________________________________25Propiedad distributiva___________________________________________________________________25Propiedad conmutativa__________________________________________________________________26Potencia de exponente 0_________________________________________________________________26Potencia de exponente 1_________________________________________________________________26Potencia de base 10_____________________________________________________________________26

2. RADICACIN______________________________________________________________ 27Raz cuadrada__________________________________________________________________28OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN YDIVISIN.______ 30 SUMA:________________________________________________________________________30RESTA:________________________________________________________________________32MULTIPLICACIN:_______________________________________________________________34DIVISION:______________________________________________________________________41Divisin entre fracciones_________________________________________________________________41Divisin de polinomios entre monomios.____________________________________________________42 Divisinentre polinomios.________________________________________________________________43PRODUCTOS NOTABLES_____________________________________________________ 44 Otroscasos de productos notables (o especiales):_____________________________________47 Cubo de una suma______________________________________________________________49Cubo de unadiferencia___________________________________________________________49MAXIMO COMUN DIVISOR DEPOLINOMIOS_____________________________________ 50 Aplicaciones delm.c.m. __________________________________________________________551. Reducir fracciones a comn denominador.________________________________________________55 2. Resolverproblemas de la vida prctica.___________________________________________________55 Aplicacionesdel m.c.d.___________________________________________________________56 1.Simplificar una fraccin hasta su irreducible._______________________________________________56 2. Resolverproblemas de la vida prctica.___________________________________________________56 RESOLUCIN DEECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACIN __________________ 58Descripcin:____________________________________________________________________58Ecuaciones de primer grado__________________________________________________ 60 Ecuacionesliterales de primer grado___________________________________________ 61 ECUACIONES DESEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) _____________________________ 63Ecuaciones de segundo grado y una incgnita________________________________________63 Solucin de ecuacionescuadrticas___________________________________________________64Solucin por completacin de cuadrados____________________________________________66 Solucin por lafrmula general____________________________________________________69 PROPIEDADESY OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES ________________________ 70 3.Inverso aditivo_________________________________________________________________70Propiedad del doble negativo_____________________________________________________70 Operacionescon los nmeros Reales_______________________________________________________71 1. Sumarnmerosreales_______________________________________________________________71Restar nmerosreales_________________________________________________________________72Multiplicar nmeros reales_____________________________________________________________72Propiedades de los nmeros reales.________________________________________________73 APLICACIONES DEECUACIONES LINEALES _______________________________________ 73Ecuaciones lineales de primer grado________________________________________________76 a) ecuacioneslineales propiamente tales____________________________________________________77 b)ecuaciones fraccionarias_______________________________________________________________78c) ecuaciones literales___________________________________________________________________78Sistemas de ecuaciones lineales_______________________________________________79 Sistemacompatible indeterminado_________________________________________________79 Sistema linealde dos ecuaciones con dosincgnitas____________________________________79 CLASIFICAMOS LOSSIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ________________ 81Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales_________________ 83 Mtodo de reduccin____________________________________________________________84Ejemplo______________________________________________________________________________84Ejemplo______________________________________________________________________________86Mtodo desustitucin_________________________________________________________86Ejemplo______________________________________________________________________________87Mtodo de Gauss_____________________________________________________________88Ejemplo______________________________________________________________________________88EXPRESIONES ALGEBRAICAS ___________________________________________90 10 Ejemplos de Trminos Semejantes:_________________________________________90 CLASIFICACION DE LASEXPRESIONES ALGEBRAICA________________________________ 91 MONOMIO.____________________________________________________________________91BINOMIO______________________________________________________________________91TRINOMIO.____________________________________________________________________91POLINOMIO.___________________________________________________________________92GRADO DE UN MONOMIOS__________________________________________________ 92 4. GRADO DEUN POLINOMIO___________________________________________________ 92ORDENAR UN POLINOMIO___________________________________________________ 92 NOMENCLATURAALGEBRAICA________________________________________________ 95DESCOMPOSICINFACTORIAL_____________________________________________________97Mtodos para la factorizacin de polinomios_________________________________________97Binomios______________________________________________________________________________97Trinomios_____________________________________________________________________________98Polinomios____________________________________________________________________________98Factorizar un monomio__________________________________________________________________98Factorizar unpolinomio__________________________________________________________________98Factor comn.__________________________________________________________________98Factor comn de unpolinomio_____________________________________________________99Factor comn por agrupacin de trminos___________________________________________99 Trinomio cuadradoperfecto______________________________________________________100Raz cuadrada de unmonomio____________________________________________________100Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto______________________101 Regla para Factorizar un TrinomioCuadrado Perfecto __________________________101 Trinomios de laforma x2 + px + q_________________________________________________________102 Reglaprctica para factorizar el trinomio______________________________________102 Trinomios de la forma mx2+ px + q con (m 1)______________________________________________103CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M_______________________________________ 105 Mnimo Comn Mltiplo(m.c.m.) entre polinomios ________________________ 105 Ejercicios___________________________________________________________________107OPERACIONES CON FRACCIONES_____________________________________________ 110 SUMA ALGEBRAICADE FRACCIONES __________________________________________ 110MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS________________________________ 114 DIVISIN DE FRACCIONESALGEBRAICAS _______________________________________ 115 ECUACIONESCUADRATICAS _________________________________________________ 117Factorizacin:_________________________________________________________________118Raz cuadrada:________________________________________________________________________118Completando el cuadrado:_______________________________________________________119 5.Frmula cuadrtica:____________________________________________________________119Clasificacin___________________________________________________________________121Completa____________________________________________________________________121Completa General___________________________________________________________________121Completa Particular_________________________________________________________________121Incompleta__________________________________________________________________121Incompleta Binomial________________________________________________________________121IncompletaPura_____________________________________________________________________121Frmula general para resolver ecuaciones cuadrticas____________________ 122 PROPIEDADES DE LOS NMEROSENTEROS_____________________________________ 124 Propiedades de lasuma de nmerosenteros________________________________________________124Multiplicacin de nmeros enteros_______________________________________________________125 Regla delos signos_____________________________________________________________________125Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros________________________________________125 Propiedades de ladivisin de nmerosenteros______________________________________________126 Potenciade nmeros enteros ____________________________________________ 127Propiedades:_______________________________________________________________________127Potencias de exponente entero negativo___________________________________________128 RESOLUCION PORCOMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ______________ 130 Solucinde ecuaciones cuadrticas por completacin del cuadrado____________133 Resolver ecuaciones cuadrticas en forma estndar___________________________134 APLICACIONES DE LAS FUNCIONESCUADRTICAS _______________________________ 135 ANEXOS: NOTAS DECLASE _____________________________ Error! Marcador no definido.EVALUACIONES___________________________________________________________ 294 6.___________________________________________________ Error! Marcadorno definido. 7. Bibliografia______________________________________________________________ 3018. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES Introduccin El ente bsico de laparte de la matemtica conocida como anlisis lo constituye elllamado sistema de los nmeros reales. Nmeros tales como 1, 3, , ,e, y sus correspondientes negativos, son usados en medicionescuantitativas. Existen dos mtodos principales para estudiar elsistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistemams primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enterospositivos 1, 2, 3, 4, … , y a partir de l, por medio de unasecuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistemade los nmeros reales1. En el segundo mtodo se hace una descripcinformal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), pormedio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de lascuales pueden deducirse muchas otras propiedades. En esta primeraparte se har una presentacin intuitiva del conjunto R de los nmerosreales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` delos nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones delmismo, atendiendo ms a la necesidad de resolver ciertas ecuacionesen las cuales los conjuntos que se van definiendo resultaninsuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico delmismo. Conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmerosreales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entreellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto delos nmeros naturales El conjunto de los nmeros naturales, que sedenota por N o tambin por Z corrientemente se presenta as: 9. N ={1, 2, 3, 4, 5,…}. La notacin de conjunto que incluye los puntossuspensivos es de carcter informal. Este conjunto permitefundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemasnumricos y lleva principalmente a la consideracin de los nmerosreales. Conjunto de los nmeros enteros El conjunto de los nmerosenteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta as: Z ={…, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,…}. En el conjunto de los nmerosenteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N,como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x= 2. Puede notarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionales Elconjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se definede la siguiente manera { } La introduccin de los nmeros racionalesresponde al problema de resolver la ecuacin ax = b, con a, b Z, a0. sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a seaun divisor de b. Conjunto de los nmeros reales Se define como. =10. En el conjunto de los nmeros reales estn definidas dosoperaciones: adicin (+) y multiplicacin (), las cuales verificanlas siguientes propiedades AC (llamadas tambin axiomas de campo).(Peano, 1889) EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES Al conjunto de losnmeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numricoa partir de los nmeros naturales. En cada una de las ampliacionesse avanza y mejora respecto de la anterior. Con los nmerosnaturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar(a- b) si a < b. Se definen as los nmeros negativos o enterosnegativos que al unirse con el cero y los naturales constituyen elconjunto de los nmeros enteros (Z). Con los nmeros enteros (Z) sepuede sumar, restar, multiplicar pero no dividir si a no es mltiplode b. Se definen as los nmeros fraccionarios que unidos a losenteros constituyen el conjunto de los nmeros racionales. Todonmero racional se puede expresar como un nmero decimal exacto ocomo un nmero decimal peridico, es decir con infinitas cifrasdecimales que se repiten Con los nmeros racionales se puede sumar,restar, multiplicar y dividir ( si b 0). Si bien el conjunto de losnmeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar lasdiferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se puedenconsiderar dentro de l ( , , p , entre otros). Surgen los nmerosirracionales para dar respuesta a estas instancias. 11. Los nmerosirracionales se pueden expresar como nmeros decimales de infinitascifras decimales no peridicas. Los nmeros irracionales (I) unidos alos racionales (Q) definen el conjunto de los nmeros reales (R).Los nmeros reales cumplen propiedades comprendidas en trescategoras: propiedades algebraicas, propiedades de orden y decompletitud. Las propiedades algebraicas establecen que los nmerosreales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos(excepto por cero) obtenindose otro nmero real. LOS NMEROS REALES YLA RECTA REAL En la geometra analtica el paso importante fueestablecer una correspondencia entre los nmeros reales y los puntosde la recta. Existe una condicin que cumplen los nmeros realesllamada axioma de completitud que garantiza una correspondenciabiunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y elconjunto de puntos en la recta o eje. A cada nmero real lecorresponde un nico punto sobre la recta y a cada punto en la rectao eje se le asocia un nico nmero real. Como se observa en elgrfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la rectaal que se denomina origen. Se selecciona adems una unidad delongitud 12. para medir distancias. Se elige tambin un sentido a lolargo de la recta a la que se llama positivo y se considera comonegativo al sentido opuesto. A cada nmero real entonces se leasocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente: Seasocia al origen el nmero 0, Se asocia a cada nmero positivo p unpunto que est a una distancia de p unidades del origen en ladireccin positiva, Se asocia a cada nmero negativo - p el punto queest a p unidades de distancia del origen en la direccin negativa.Los puntos en la recta se identifican con los nmeros querepresentan. El nmero real que le corresponde a un punto de larecta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibeel nombre de recta real, recta coordenada, recta numrica o recta delos nmeros reales. Tambin se la conoce como eje coordenado o ejereal. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar"huecos". Ejemplo. Orden Los nmeros reales estn ordenadoscumpliendo slo una de las afirmaciones siguientes: dados dos nmerosreales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o asea igual a b. 13. Puede observarse en la recta que a < b si yslo si el punto que representa al nmeroa est a la izquierda delpunto que representa al nmero b. Anlogamente, a > b s y slo s elpunto que representa al nmero a se halla a la derecha del querepresenta a b. Si a = b, los puntos se superponen. La relacin deorden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precedeal punto b si el nmero real a es menor que el nmero real b (a 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Seaplic Caso I de Factorizacin) > 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 b^2) =2a^2(a+b)(a-b) (Se aplic Caso I y IV de Factorizacin) 2) Se buscanlos factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de4a y 2a^2 son 2a Factor comn de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b) por lotanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es laSolucin. NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas parala Descomposicin de Factores o Factorizacin, segn el Caso que lecorresponda.___________________________________________________________ Ejemplob) Hallar el m.c.d. de x^2 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1) Sefactorizan las expresiones dadas: > x^2 -4 = (x -2)(x +2) Seaplic el Caso IV de Factorizacin > x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Seaplic el Caso III de Factorizacin. > x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x+2)(x +2) Se aplic el Caso III de Factorizacin. Se buscan losfactores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de las3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x-6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solucin.___________________________________________________________Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4abFactorizando las expresiones dadas: > 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Seaplic el Caso I de Factorizacin. 49. > 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Seaplic el Caso I de Factorizacin. Buscando los factores comunes delas expresiones encontradas: Factor comn de 2a(a +b) y 4a(a -b) es= 2a por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x-2) > 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambasexpresiones se aplic el Caso I) Buscando los factores comunes delas expresiones encontradas: Factor comn de 3x^2y(2x -2) y3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y < Solucin._________________________________________________________ 3) Hallarel m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 Faxctorizando lasexpresiones dadas: > 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) > 4a^3b^2-8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I)Factor comn de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2 Por lo tantoel m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 < Solucin.__________________________________________________________ 4)Hallar el m.c.d. de ab +b y a^2 +a Factorizando las expresionesdadas: 50. > ab +b = b(a +1) > a^2 +a = a(a +1) (Para ambasexpresiones se aplic el Caso I) Factor comn de b(a +1) y a(a +1) es= (a +1) Por lo tanto el m.c.d. de ab +b y a^2 +a es = a +1 x^2 -x = x(x -1) > x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambasexpresiones se aplic el Caso I) Factor comn de x(x -1) y x^2(x -1)es = x(x -1) Por lo tanto el m.c.d. de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x-1) < Solucin.___________________________________________________________ 6)Hallar el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 Factorizandolas expresiones dadas: > 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) =(3)(5)(x)(x)(2a -x) > 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) =(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplic el Caso I Factor comn de(3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x Por lo tanto elm.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x < Solucin.___________________________________________________________ 7)Hallar el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4Factorizando las expresiones dadas: > 18a^2x^3y^4 =6a^2xy^4(3x^2) > 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplicel Caso I para ambas expresiones. 51. Factor comn para6a^2xy^4(3x^2) y 6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4 Por lo tanto elm.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es = 6a^2xy^4 5a^2 -15a = 5a(a -3) > a^3 -3a^2 = a^2(a-3) Se aplic el Caso I, para ambas expresiones. Factor comn de 5a(a-3) y a^2(a -3) es = a(a-3) Por lo tanto el m.c.d. de 5a^2 -15a ,a^3 -3a^2 es = a(a -3) < Solucin. Aplicaciones del m.c.m. 1.Reducir fracciones a comn denominador. Ejemplo: Reducir a comndenominador las siguientes fracciones: Factor izamos losdenominadores: 12 = 22 x 3 9 = 32 18 = 2 x 32 Escogemos losfactores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.El m.c.m (12, 9, 18) = 22 32 = 4 9 = 36. Ya tenemos el nuevodenominador. 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo:Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observoque el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. Encambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. Habr algnmomento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Sies as, cada cuntos segundos coincidirn los dos? Solucin: Buscamosuna cantidad de segundos que sea mltiplo de 8 y de 12 y que a lavez sea el ms cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8,12). Factorizamos 8 y 12: 8 = 23 12 = 22 x 3 52. Escogemos losfactores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente,y calculamos el mnimo comn mltiplo. m.c.m. (8, 12) = 23 3 = 8 3 =24. Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros severn al mismo tiempo cada 24 segundos. Aplicaciones del m.c.d. 1.Simplificar una fraccin hasta su irreducible. Ejemplo: Simplificahasta su equivalente irreducible la siguiente fraccin: Hallamos elM.C.D. (360, 336). Para ello factorizamos el numerador y eldenominador. 360 = 23 x 32 x 5 336 = 24 x 3 x 7 Elegimos losfactores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:M.C.D. (360, 336) = 23 3 = 8 3 = 24. Dividimos el numerador y eldenominador entre 24 360 = 360 : 24 = 15 336 336 : 24 14 yobtenemos la fraccin equivalente irreducible: 2. Resolver problemasde la vida prctica. Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de unacocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm delargo por 180 cm de ancho. De qu tamao tengo que comprar lasbaldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y seanlo ms grande posible? Cuntas baldosas tengo que comprar? Solucin:la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor comn de 270y 180, y el ms grande posible. Por lo tanto, estamos buscando elmximo comn divisor de 270 y 180. Factorizamos 270 y 180: 270 = 2 x33 x 5 180 = 22 x 33 x 5 Elegimos los factores primos comuneselevados al menor exponente y tenemos que: 53. M.C.D. (270,180) = 232 5 = 2 9 5 = 90. Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm delado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna.Ahora vamos a calcular cuntas necesitamos: 270 : 90 = 3. Tresbaldosas de largo. 180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho. Respuesta:Necesitamos 6 baldosas. 54. RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS PORFACTORIZACI N Descripcin: La funcin cuadrtica es una funcin de losreales en los reales cuya regla de correspondencia est dada porf(x) = ax 2 + bx + c (a0) y cuyo dominio incluye todos los nmerosreales. Para resolver ecuaciones cuadrticas utilizamosprincipalmente el mtodo de factorizacin. Ejemplos: 1) Resuelva x32x 1 9 . Solucin: Lo primero es lograr que la ecuacin se iguale acero. Para esto, primero multiplicaremos el lado izquierdo y luegorestaremos el nueve. Despus factorizaremos la ecuacin resultantepara obtener la solucin final. Es conveniente verificar la solucinfinal en la ecuacin original. x 32x 1 9 2x 2 x 6x 3 9 2x 2 5x 3 9 02x 2 5x 12 0 2x 3x 4 0 2x 3 0 2x 3 x 3/2 55. x 4 0 x 4 2) Halle lassoluciones de x 3 8x 2 16x 0. Solucin: Como la ecuacin ya estigualada a cero solamente hay que factorizar e igualar sus factoresa cero y resolver en trminos de x . xx 2 8x 16 0 xx 4x 4 0 x 0 x 40 x 4 56. Ecuaciones de primer grado Una ecuacin de primer grado esuna igualdad de dos expresiones en las que aparece una incgnitacuyo valor est relacionado a travs de operaciones aritmticas. Sedenominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incgnitaes uno. Para resolver una ecuacin de primer grado se debentraspasar los trminos de un lado a otro de la ecuacin, de maneraque todos los trminos que tengan la incgnita queden a un lado y losdems al otro, teniendo la precaucin de mantener la igualdad de laexpresin. Por eso, cada vez que trasponemos un trmino se aplica elopuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguienteejemplo: Resolver la ecuacin: (x + 3)2 (x - 1)2 = 3x (x 4) a)Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresin x2 + 6x+ 9 (x2 2x + 1) = 3x x + 4 x2 + 6x + 9 x2 + 2x 1 = 3x x + 4 b)Trasponemos los trminos: x2 + 6x x2 + 2x 3x + x = 4 9 + 1; c)Reducimos trminos semejantes: 6x = -4 ; d) Dividimos por 6: x =-4/6 e) Simplificamos por 2: x = -2/3 57. Ecuaciones literales deprimer grado Una ecuacin de primer grado literal es aquella quecontiene expresiones literales adems de la incgnita. Por convencin,se identifica como incgnitas a las ltimas letras del alfabeto ycomo literales a las primeras letras del alfabeto (estos literalesse suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literalesse efecta el mismo procedimiento aplicado en la ecuacin del ejemploanterior. La variante es que cuando tengamos todas las incgnitas aun lado de la ecuacin, factorizaremos por ella para poderdespejarla. Desarrollemos un ejemplo: ax b(x 1) = 3(x + a) Tal comoen el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos trminossemejantes y trasponemos trminos: a) Resolvemos las operaciones axbx + b = 3x + 3a b) Reducimos trminos semejantes y trasponemostrminos: ax bx 3x = 3a b c) Factorizamos al lado izquierdo por laincgnita: x(a b 3) = 3a b d) Para despejar x y calcular su valor,debemos dividir por (a b 3): (Por qu se divide? Porque el factor dela incgnita es diferente de 1) Ejemplos de planteo de ecuaciones:Ejemplo 1: Encuentra dos nmeros consecutivos cuya diferencia decuadrados sea igual a 9. Sean x y x + 1 los nmeros. Entonces, segnel enunciado dado: (x + 1)2 x2 = 9; desarrollando el cuadrado debinomio, tenemos: x2 + 2x + 1 x2 = 9 58. 2x + 1 = 9 x = 4; Por lotanto los nmeros son 4 y 5. Ejemplo 2: Sergio tiene un ao ms que eldoble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. Qu edad tieneel menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergioes 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos laecuacin: x + 2x + 1 = 97 3x = 96 x = 32 Reemplazando este valor dex, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.Respuesta: la edad del menor es 32. Ejemplo: 1.-Resolucin de laecuacin 2x - 3 = 2 1 paso: Se suma a los dos miembros 3. 2x -3 + 3= 2 + 3 2x = 5 2 pas. Se divide los dos miembros por 2. 2x /2 = 5/22.- Resolucin de la ecuacin 3x -2 = x + 5 59. 1 paso: Restamos x alos dos miembros. 3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5 2 pas. Sumamos 2a los dos miembros. 2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7 3 pas. Dividimos por2, el coeficiente de la x 2x/2 = 7/2 SOLUCIN: x = 7 / 2 3.-Resolucin de la ecuacin 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5 1 paso: Sesimplifica los dos miembros. 6x - 4 = 12 - 3x 2 paso: Sumamos 3x alos dos miembros. 6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12 3 paso.Sumamos 4 a los dos miembros. 9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16 4 paso:Dividimos por 9 SOLUCIN: x = 16 / 9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (OCUADRTICAS) Ecuaciones de segundo grado y una incgnita Sabemos queuna ecuacin es una relacin matemtica entre nmeros y letras.Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que slo hay una letra,llamada incgnita, que suele ser la x. Resolver la ecuacin consisteen encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por laincgnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solucinde la ecuacin. 60. Ejemplo: Resolver la ecuacin x 1 = 0 El nmeroque hace que esa ecuacin sea cierta es el 1, ya que 1 1 = 0, por lotanto, 1 es la solucin de la ecuacin. Si en la ecuacin la incgnitaest elevada al cuadrado, decimos que es una ecuacin de segundogrado (llamadas tambin ecuaciones cuadrticas), que se caracterizanporque pueden tener dos soluciones (aunque tambin una sola, eincluso ninguna). Cualquier ecuacin de segundo grado o cuadrtica sepuede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b yc son unos parmetros que habr que sustituir por los nmeros realesque corresponda en cada caso particular. Solucin de ecuacionescuadrticas Hemos visto que una ecuacin cuadrtica es una ecuacin ensu forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son nmeros reales. Peroeste tipo de ecuacin puede presentarse de diferentes formas:Ejemplos: 9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 9x + 0 = 0 a =3, b = 9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no est) 6x2 + 0x +10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)Para resolver la ecuacin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0 (ocualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de lossiguientes mtodos: Solucin por factorizacin En toda ecuacincuadrtica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y elotro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado puedafactorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.61. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de xde cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despejapara la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si unproducto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, esigual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x 1) = 9 Lo primero esigualar la ecuacin a cero. Para hacerlo, multiplicamos losbinomios: Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primermiembro para igualar a cero: Ahora podemos factorizar esta ecuacin:(2x 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada trmino delproducto para resolver las incgnitas: Si 2x 3 = 0 2x = 3 Si x + 4 =0 x = 4 Esta misma ecuacin pudo haberse presentado de variasformas: (x + 3)(2x 1) = 9 2x2 + 5x 12 = 0 2x2 + 5x = 12 62. 2x2 12= 5x 2) Halle las soluciones de La ecuacin ya est igualada a cero ysolo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luegoresolver en trminos de x: Ahora, si x = 0 o si x 4 = 0 x = 4Solucin por completacin de cuadrados Se llama mtodo de lacompletacin de cuadrados porque se puede completar un cuadradogeomtricamente, y porque en la ecuacin cuadrtica se pueden realizaroperaciones algebraicas que la transforman en una ecuacin del tipo:(ax + b)2 = n en la cual el primer miembro de la ecuacin (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuacindel tipo x2 + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuacin x2 + 8x = 48, quetambin puede escribirse x2 + 8x 48 = 0 Al primer miembro de laecuacin (x2 + 8x) le falta un trmino para completar el cuadrado dela suma de un binomio del tipo (ax + b)2 63. Que es lo mismo que(ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2 En nuestroejemplo x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo nmerodel binomio, por lo tanto, ese nmero debe ser obligadamente 8dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de lasuma de un binomio ( a2 + 2ab + b2 ) el tercer trmino correspondeal cuadrado del segundo trmino (42 = 16) amplificamos ambosmiembros de la ecuacin por 16, as tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 x2+ 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:(x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a (x + 4)2 = 64 Extraemos razcuadrada de ambos miembros y tenemos Nos queda x + 4 = 8 Entonces x= 8 4 x = 4 Se dice que "se complet un cuadrado" porque para elprimer miembro de la ecuacin se logr obtener la expresin (x + 4)2 ,que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo:Partamos con la ecuacin x2 + 6x 16 = 0 64. Hacemos x2 + 6x = 16Luego, a partir de la expresin x2 + 6x (primer miembro de laecuacin) debemos obtener una expresin de la forma (ax + b)2(cuadrado de la suma de un binomio). Para encontrar el trmino quefalta hacemos (Para encontrar dicho trmino en cualquier ecuacinsiempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo trmino y elresultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresincompleta se suma 9 a ambos miembros de la ecuacin: x2 + 6x = 16 x2+ 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 factorizamos, y queda (x +3) (x+ 3) = 25 (x + 3)2 = 25 La expresin x2 + 6x se ha completado paraformar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2 , y as laecuacin se resuelve con facilidad: Extraemos raz cuadrada y queda x+ 3 = 5 y x + 3 = 5 (pues 52 = 5 y tambin (5)2 = 5 Entonces x = 5 3x = 2 Y 65. x = 5 3 x = 8 La ecuacin 1 da x = 2 y la ecuacin 2 da x= 8. Solucin por la frmula general Existe una frmula que permiteresolver cualquier ecuacin de segundo grado, que es la siguiente:La frmula genera dos respuestas: Una con el signo ms (+) y otra conel signo menos () antes de la raz. Solucionar una ecuacin desegundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b yc y sustituir sus valores en la frmula. La frmula general pararesolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquierecuacin de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtenerbuenos resultados tiene que ver con las tcnicas de factorizacin.Resolver la ecuacin 2x2 + 3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b =3 y c = 5, as es que: Ahora, tenemos que obtener las dossoluciones, con el + y con el As es que las soluciones son 66.PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES Para tener xito enalgebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividirnmeros Reales. Dos nmeros, en la recta numrica, que estn a la mismadistancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan:Inversos aditivos, opuestos o simtricos uno del otro. Por ejemplo.3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3 Elnumero 0 (cero) es su propio inverso aditivo. La suma de un nmero ysu inverso aditivo es 0 (cero). Inverso aditivo Para cualquiernmero real de a, su inverso aditivo es a. Considere el nmero -4. Suinverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este nmero debe serpositivo, esto implica que -(-4) = 4. ste es un ejemplo de lapropiedad del doble negativo. Propiedad del doble negativo Paracualquier nmero real a, -(-a) = a Por la propiedad del doblenegativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absoluto El valor de cualquier nmerodistinto del cero siempre ser un nuero positivo, y el valorabsoluto de 0 es 0. 67. Para determinar el valor absoluto de unnmero real, use la definicin siguiente. La definicin de valorabsoluto indica que el valor absoluto de cualquier nmero nonegativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier nmeronegativo es el inverso aditivo (opuesto9 del nmero. El valorabsoluto de un nmero puede determinarse por medio de la definicin.Por ejemplo. Operaciones con los nmeros Reales 1. Sumar nmerosreales Para sumar dos nmeros con el mismo signo (ambos positivos oambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismosigno comn antes de la suma. La suma de dos nmeros positivos ser unnmero positivo, y la suma de dos nmeros negativos ser un nmeronegativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solucin: Como ambos nmeros que sesuman son negativos, la suma ser negativa. Para determinar la suma,sume los valores absolutos de estos nmeros y coloque un signonegativo antes del valor. Para sumar dos nmeros con signosdiferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valorabsoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene elsigno del nmero con el valor absoluto ms grande. 68. La suma de unnmero positivo y un nmero negativo puede ser positiva, negativa ocero, el signo de la respuesta ser el mismo signo que el numero conmayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los nmeros que sesuman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto ms pequeodel valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.Ahora determinamos la diferencia, 8 3 = 5. El nmero -8 tiene unvalor absoluto mayor que el nmero 3, por lo que la suma esnegativa. 3 + (-8) = -5 Restar nmeros reales Todo problema desustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio dela regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume elopuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5(+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 =5 + (-8) = -3 Multiplicar nmeros reales Para multiplicar dos nmeroscon signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multipliquesus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicardos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.Ejemplo Cuando multiplicamos ms de dos nmeros, el producto sernegativo cuando exista un nmero impar de nmeros negativos. Elproducto ser positivo cuando exista un nmero par de nmerosnegativos. 69. Propiedad del cero en la multiplicacin Paracualquier nmero a, Dividir nmeros reales Para dividir dos nmeroscon signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida susvalores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dosnmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos.Cuando el denominador de una fraccin es un numero negativo, por locomn reescribimos la fraccin con un denominador positivo. Parahacerlo, usamos el hecho siguiente. Propiedades de los nmerosreales. Propiedades de los nmeros reales. APLICACIONES DEECUACIONES LINEALES Pasos para la solucin de problemas: 70. 1. Leerel problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otraspalabras. 2. Identificar la informacin disponible y qu es lo que sepregunta. 3. Representar la incgnita con un smbolo algebraico, comox. 4. Expresar las dems cantidades en trminos de x. 5. Traducir elenunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los mtodosadecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si esposible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje comn.Ejemplos El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240alumnos, practica deporte. Cuntos estudiantes practican deporte?Solucin: Como , entonces para calcular el 20% de 240, basta conmultiplicar 240 por 0,2, es decir: 240 0,2 = 48. Ejemplo Entonces48 alumnos (de los 240) practican deporte. En un curso con 200alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron.Si en el curso el 30% son mujeres, qu porcentaje de alumnosaprobaron el examen? 71. Solucin: Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33 Cantidad devarones: 0,7.200 = 140 (se podra haber hecho 200 60 = 140) Cantidadde varones que aprobaron: 0,65.140 = 91 Total de alumnos queaprobaron: 33 + 91 = 124 Si x representa al porcentaje de alumnosque aprobaron, entonces Ejemplos La ta Berta al morir dejo 160millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el dobleque a Laurita, pero juanita tiene 5 veces ms que Laura a cunto letoco cada uno? Solucin Laurita=x Pedro=2x (dos veces ms que Laura)juanita=5x (cinco veces ms que Laurita) x+2x+5x=160 8x=160 x=160/8x=20 con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita ledejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100 millones.. 72.Ejemplos Los miembros de una fundacin desean invertir $18,000 endos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%,respectivamente. Cunto debern invertir a cada tasa si el ingresodebe ser equivalente al que producira al 8% de la inversin total?Solucin: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000P) ser la cantidad a invertir al 6%. Establecemos: (Ingresodevengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso TotalSustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 P) = (8%)*($18,000)Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 P) = .08*(18,000) .09P +1,080 .06P = 1,440 .09P .06P = 1,440 1,080 .15P = 360 P = (360) /(.15) P = 2,400 Los miembros de la fundacin deben invertir $2,400al 9% y $18,000 $2,400 = $15,600 al 6%. Ecuaciones lineales deprimer grado Sabemos que una ecuacin lineal o de primer grado esaquella que involucra solamente sumas y restas de variableselevadas a la primera potencia (elevadas 73. a uno, que no seescribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar comorectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos deecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamente tales Eneste tipo de ecuacin el denominador de todas las expresionesalgebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque elresultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin se debe:Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a "x" enun miembro y los nmeros en el otro. Luego despejar "x" reduciendotrminos semejantes. Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x +10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182 74. b)ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal eldenominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas esdiferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin sedebe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicandola ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.)Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 c) ecuaciones literales Pueden serlineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipolineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factorizapor "x" para despejarla. Ejemplo: 75. Sistemas de ecuacioneslineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas tienela siguiente la forma: Donde cada una de las ecuaciones correspondea la ecuacin de una recta. Determinar la solucin del sistema, eshallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar elpunto donde se intersectan ambas rectas. Grficamente, la situacines la siguiente Sistema compatible indeterminado Sistema lineal dedos ecuaciones con dos incgnitas 76. Se puede ver: Con lo quepodemos decir que la primera ecuacin multiplicada por tres da lasegunda ecuacin, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes,sino dos formas de expresar la misma ecuacin. Tomando una de lasecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos: 77. CLASIFICAMOS LOSSIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) 2 x + y = 6 2 x - y =2 a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cadaecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 1, y = 4; x= 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y= 0; x= 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que ser la solucin:x =2, y = 2. Por tanto, el sistema ser compatible determinado. Vemosla representacin ms abajo .x + y = 3 2 x + 2 y = 6 b) Dibujamos lasrectas que representan las soluciones de cada ecuacin: Dossoluciones de la primera ecuacin son: x = 0, y = 3; x = 3, y = 0Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y = 2; x = 2, y =1 Las rectas coinciden, toda la recta es solucin del sistema(infinitas soluciones). Por tanto, el sistema ser compatibleindeterminado. Vemos la representacin ms abajo 78. b) x + y = 3 x +y = - 1 c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones decada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 0,y =3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 0, y=-1; x = -2, y = 1 Las rectas son paralelas, no tienen ningn puntoen comn, luego el sistema no tiene solucin. Por tanto, el sistemaser incompatible. Vemos la representacin siguiente: 79. GraficasMtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales 80. Mtodo dereduccin Consiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlaspara reducir el nmero de incgnitas hasta llegar a ecuaciones consolo una incgnita. Multiplicar una ecuacin por un nmero consiste enmultiplicar ambos miembros de la ecuacin por dicho nmero. Sumar dosecuaciones consiste en obtener una nueva ecuacin cuyo miembroderecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primeraecuacin por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones Elsumar ambas ecuaciones nos da la ecuacin Que es una ecuacin con unasola incgnita y cuya solucin es La eleccin de los factores 3 y -5se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambasecuaciones. 81. Sustituyendo por uno en la primera ecuacin delsistema de ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuacincon una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de igualacin Elmtodo de igualacin consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemosdos ecuaciones: Donde , , y representan simplemente los miembros deestas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dosigualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incgnita delsistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuacinNo contendra dicha incgnita. Este proceso de eliminacin deincgnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuacincon solo una incgnita, digamos . 82. Una vez que se obtiene lasolucin de esta ecuacin se sustituye por su solucin en otrasecuaciones donde aparezca para reducir el nmero de incgnitas endichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalentea este otro El segundo sistema lo he obtenido pasando los trminosen del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada unade las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduceque Que es una ecuacin con una sola incgnita cuya solucin es .Sustituyendo por 1 en la primera ecuacin del sistema de partida setiene que Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucines . Mtodo de sustitucin Supongamos que un sistema de ecuaciones sepuede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segundaecuacin y sustituirla en la primera, para obtener la ecuacin: 83.Lo que se busca es que esta ecuacin dependa de menos incgnitas quelas de partida. Aqu y son expresiones algebraicas de las incgnitasdel sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuacin sepuede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuacindel sistema se deduce que Sustituyendo por en Se tiene que Que esuna ecuacin con solo una incgnita y cuya solucin es . Sustituyendopor uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partidaobtenemos una ecuacin de una sola incgnita Cuya solucin es . 84.Mtodo de Gauss Gauss es uno de los matemticos ms importantes detodos los tiempos. Fue un GENIO! El mtodo de Gauss consiste entransformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamosla matriz ampliada del sistema y mediante las operacioneselementales con sus filas la transformamos en una matriz triangularsuperior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistemaequivalente al inicial y que es muy fcil de resolver. Esesencialmente el mtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se operacon ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno seahorra el escribir las incgnitas porque al ir los coeficientes deuna misma incgnita siempre en una misma columna, uno sabe en todomomento cual es la incgnita a la que multiplican. Ejemplo La matrizampliada del sistema de ecuaciones: Es: Si a la tercera y segundafila le restamos la primera, obtenemos: 85. Lo que acabamos dehacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuacin laprimera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas(ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Que esequivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocupacin paraobtener : En la primera y segunda ecuacin, sustituimos por lasolucin de la tercera ecuacin ( ), para obtener: La segunda ecuacines ahora una ecuacin con una sola incgnita, , que resolvemos paraobtener . Sustituimos, en la primera ecuacin, por 1 ( ). Esto nosda una ecuacin en : Que al resolverla termina de darnos la solucindel sistema de ecuaciones inicial: 86. EXPRESIONES ALGEBRAICASEXPRESIN ALGEBRAICA. Es la representacin de un smbolo algebraico ode una o ms operaciones algebraicas. TRMINO. Es una expresinalgebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos noseparados entre s por el signo + o -. Los elementos de un trminoson cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.GRADO ABSOLUTO DE UN TRMINO. Es la suma de los exponentes de susfactores literales. GRADO DE UN TRMINO CON RELACIN A UNA LETRA. Esel exponente de dicha letra. CLASES DE TRMINOS. El trmino entero esel que no tiene denominador literal, el trmino fraccionario es elque tiene denominador literal. El trmino racional es el que notiene radical, e irracional el que tiene radical. TRMINOSHOMOGNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. TRMINOSHETEROGNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TRMINOSSEMEJANTES. Dos trminos son semejantes cuando tienen la misma parteliteral, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de igualesexponentes. 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: 1. x es semejantecon 3x ya que ambos trminos tienen la misma literal (x). 2. xy2 esun trmino semejante a -3y2 x ya que ambos tienen la misma literal(xy2 = y2 x) 3. 5xyrb es un trmino semejante con xyrb 4. 4bx2 no essemejante a 4b2 x ya que el literal bx2 no es igual al b2 x. 87. 5.5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3es semejante a 9j3 k3 porque (jk)3 = j3 k3 7. 5ty es semejante a3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky510.378ab3 c2 no es semejante a 378a2 b3 c CLASIFICACION DE LASEXPRESIONES

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