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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 2

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES __________________________________________ 8

Introducción ____________________________________________________________________ 8

Conjunto de los números reales _____________________________________________________ 8

Conjunto de los números naturales __________________________________________________ 9

Conjunto de los números enteros ___________________________________________________ 9

Conjunto de los números racionales _________________________________________________ 9

Conjunto de los números reales ____________________________________________________ 10

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES _______________________________________ 10

LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL ________________________________________ 12

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________________ 15

Propiedad conmutativa. _______________________________________________________ 15

Propiedad Anti conmutativa ______________________________________________________ 16

Ejemplos ____________________________________________________________________________ 17

Propiedad distributiva. ________________________________________________________ 18

Divisores del cero _______________________________________________________________ 19

Elementos distinguidos _______________________________________________________ 19

Elemento neutro ________________________________________________________________ 19

Elemento involutivo _____________________________________________________________ 20

Elemento absorbente ____________________________________________________________ 21

Operación inversa _______________________________________________________________ 21

POTENCIACION Y RADICACION ________________________________________________ 21

POTENCIACION ____________________________________________________________ 21

Propiedades de la potenciación ____________________________________________________ 23

Potencia de potencia ____________________________________________________________________ 23

Multiplicación de potencias de igual base ___________________________________________________ 23

División de potencias de igual base _________________________________________________________ 23

Propiedad distributiva ___________________________________________________________________ 23

Propiedad conmutativa __________________________________________________________________ 24

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 3

Potencia de exponente 0 _________________________________________________________________ 24

Potencia de exponente 1 _________________________________________________________________ 24

Potencia de base 10 _____________________________________________________________________ 24

RADICACIÓN ______________________________________________________________ 25

Raíz cuadrada __________________________________________________________________ 25

OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN. ______ 27

SUMA: ________________________________________________________________________ 27

RESTA: ________________________________________________________________________ 30

MULTIPLICACIÓN: _______________________________________________________________ 32

DIVISION: ______________________________________________________________________ 39

División entre fracciones _________________________________________________________________ 39

División de polinomios entre monomios. ____________________________________________________ 40

División entre polinomios. ________________________________________________________________ 41

PRODUCTOS NOTABLES _____________________________________________________ 42

Otros casos de productos notables (o especiales): _____________________________________ 45

Cubo de una suma ______________________________________________________________ 47

Cubo de una diferencia ___________________________________________________________ 47

MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS _____________________________________ 48

Aplicaciones del m.c.m. __________________________________________________________ 53

1. Reducir fracciones a común denominador. ________________________________________________ 53

2. Resolver problemas de la vida práctica. ___________________________________________________ 54

Aplicaciones del m.c.d. ___________________________________________________________ 54

1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. _______________________________________________ 54

2. Resolver problemas de la vida práctica. ___________________________________________________ 55

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN __________________ 56

Descripción: ____________________________________________________________________ 56

Ecuaciones de primer grado __________________________________________________ 58

Ecuaciones literales de primer grado ___________________________________________ 59

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) _____________________________ 62

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 4

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ________________________________________ 62

Solución de ecuaciones cuadráticas ___________________________________________________ 63

Solución por completación de cuadrados ____________________________________________ 65

Solución por la fórmula general ____________________________________________________ 68

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES ________________________ 69

Inverso aditivo _________________________________________________________________ 69

Propiedad del doble negativo _____________________________________________________ 69

Operaciones con los números Reales _______________________________________________________ 70

1. Sumar números reales _______________________________________________________________ 70

Restar números reales _________________________________________________________________ 71

Multiplicar números reales _____________________________________________________________ 71

Propiedades de los números reales. ________________________________________________ 72

APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES _______________________________________ 73

Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________________ 76

a) ecuaciones lineales propiamente tales ____________________________________________________ 77

b) ecuaciones fraccionarias _______________________________________________________________ 77

c) ecuaciones literales ___________________________________________________________________ 78

Sistemas de ecuaciones lineales _______________________________________________ 79

Sistema compatible indeterminado _________________________________________________ 80

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas ____________________________________ 80

CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ________________ 81

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales _________________ 85

Método de reducción ____________________________________________________________ 85

Ejemplo ______________________________________________________________________________ 85

Ejemplo ______________________________________________________________________________ 87

Método de sustitución _________________________________________________________ 87

Ejemplo ______________________________________________________________________________ 88

Método de Gauss _____________________________________________________________ 89

Ejemplo ______________________________________________________________________________ 89

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ___________________________________________ 91

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 5

10 Ejemplos de Términos Semejantes: _________________________________________ 92

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA ________________________________ 92

MONOMIO. ____________________________________________________________________ 92

BINOMIO ______________________________________________________________________ 93

TRINOMIO. ____________________________________________________________________ 93

POLINOMIO. ___________________________________________________________________ 93

GRADO DE UN MONOMIOS __________________________________________________ 93

GRADO DE UN POLINOMIO ___________________________________________________ 94

ORDENAR UN POLINOMIO ___________________________________________________ 94

NOMENCLATURA ALGEBRAICA ________________________________________________ 97

DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL _____________________________________________________ 99

Métodos para la factorización de polinomios ________________________________________ 100

Binomios _____________________________________________________________________________ 100

Trinomios ____________________________________________________________________________ 100

Polinomios ___________________________________________________________________________ 100

Factorizar un monomio _________________________________________________________________ 100

Factorizar un polinomio _________________________________________________________________ 100

Factor común. _________________________________________________________________ 101

Factor común de un polinomio ____________________________________________________ 102

Factor común por agrupación de términos __________________________________________ 102

Trinomio cuadrado perfecto ______________________________________________________ 103

Raíz cuadrada de un monomio ____________________________________________________ 103

Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ______________________ 104

Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto __________________________ 104

Trinomios de la forma x2 + px + q _________________________________________________________ 104

Regla práctica para factorizar el trinomio ______________________________________ 105

Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1) ______________________________________________ 106

CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M _______________________________________ 108

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 6

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios ________________________ 108

Ejercicios ___________________________________________________________________ 110

OPERACIONES CON FRACCIONES _____________________________________________ 114

SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES __________________________________________ 114

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ________________________________ 119

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________________________ 120

ECUACIONES CUADRATICAS _________________________________________________ 122

Factorización: _________________________________________________________________ 122

Raíz cuadrada: ________________________________________________________________________ 123

Completando el cuadrado: _______________________________________________________ 123

Fórmula cuadrática: ____________________________________________________________ 124

Clasificación ___________________________________________________________________ 126

Completa ____________________________________________________________________ 126

Completa General ___________________________________________________________________ 126

Completa Particular _________________________________________________________________ 126

Incompleta __________________________________________________________________ 126

Incompleta Binomial ________________________________________________________________ 126

Incompleta Pura _____________________________________________________________________ 127

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas ____________________ 127

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS _____________________________________ 129

Propiedades de la suma de números enteros ________________________________________________ 129

Multiplicación de números enteros _______________________________________________________ 130

Regla de los signos _____________________________________________________________________ 130

Propiedades de la multiplicación de números enteros ________________________________________ 131

Propiedades de la división de números enteros ______________________________________________ 132

Potencia de números enteros ____________________________________________ 132

Propiedades: _______________________________________________________________________ 132

Potencias de exponente entero negativo ___________________________________________ 133

RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ______________ 136

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 7

Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado ____________ 139

Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar ___________________________ 141

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS _______________________________ 142

EVALUACIONES ______________________________________ ¡Error! Marcador no definido.

Bibliografia ______________________________________________________________ 145

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 8

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Introducción

El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el

llamado sistema de los números reales.

Números tales como 1, 3,√

, π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en

mediciones cuantitativas.

Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno

de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los

números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de

una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los

números reales1.

En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números

reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de

propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.

En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los

números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los

números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo

más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se

van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático

del mismo.

Conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.

Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 9

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z

corrientemente se presenta así:

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.

La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los

sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

Conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta

así:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen

solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es

x = –2.

Puede notarse que N ⊂ Z.

Conjunto de los números racionales

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente

manera

{

}

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la

ecuación

ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 10

Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Conjunto de los números reales

Se define como. ℜ= ∪

En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y

multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas

también axiomas de campo). (Peano, 1889)

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo

numérico a partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se

avanza y mejora respecto de la anterior.

Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar

(a- b) si a < b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al

unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los números enteros

(Z). Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no

dividir si a no es múltiplo de b.

Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el

conjunto de los números racionales.

Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto

o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras

decimales que se repiten

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 11

Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b ¹ 0).

Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para

realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden

considerar dentro de él ( , , p , entre otros). Surgen los números irracionales

para dar respuesta a estas instancias.

Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas

cifras decimales no periódicas.

Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los

números reales (R).

Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías:

propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades

algebraicas establecen que los números reales pueden ser sumados, restados,

multiplicados y divididos (excepto por cero) obteniéndose otro número real.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 12

LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL

En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia

entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen

los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una

correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el

conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único

punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número

real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre

la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud

para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se

llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real

entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:

Se asocia al origen el número 0,

Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p

unidades del origen en la dirección positiva,

Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de

distancia del origen en la dirección negativa.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número

real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa

del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica

o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje

real.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 13

El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".

Ejemplo.

Orden

Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones

siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea

mayor que b o a sea igual a b.

Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al

númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.

Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la

derecha del que representa a b.

Si a = b, los puntos se superponen.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 14

La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al

punto b si el número real a es menor que el número real b

(a < b).([email protected], s.f.)

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 15

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones

de A x A en A:

son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o,

más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de

ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos

sistemas matemáticos

Propiedad conmutativa.

Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición

interna *:

se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de

operar b con a.

Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es

conmutativa en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto

de operar b con a.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 16

La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales,

reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b

elementos de mismo cualquier conjunto indicado

La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos

La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para

1 y -1.

El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.

Propiedad Anti conmutativa

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de

operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.

Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:

Se tiene con el producto vectorial :

Y

En general, para cualquier par de vectores a, b:

Para los enteros, se ve que la sustracción

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 17

Es anti conmutativa, pues si:

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:

Se dice que * es asociativa si, solo si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual

a operar a con el resultado de operar b con c.

También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:

Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es

distinto de operar a con el resultado de operar b con c.

Ejemplos

La adición y la multiplicación con números pares son asociativas.

La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa

La adición en el conjunto Z[i] es asociativa

el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw

≠ ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.

Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R.

(α)

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 18

Propiedad distributiva.

Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:

Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si

se cumple:

Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w)

=uxv + uxw

Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN

+ MQ.

Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.

Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se

cumple:

Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P=

MP+ NP, la simple yuxtaposición indica el producto de matrices.

La composición de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de

funciones: (f +g)º=, donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso señalado.

Una operación es distributiva sobre otra si es distributiva por la derecha y por la

izquierda.

Los conjuntos numéricos gozan de la distributiva por ambos lados.

Al definir un anillo se indican las dos formas distributivas

a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semi

grupo multiplicativo no se exige la conmutatividad.

Ver si se cumple a*(b+ c) = a*b + a*c siendo * la operación definida en (α) y , + la

suma usual en R.

Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado

a por la izquierda. Y si de b*a =c*a de deduce b=a se dice que se ha simplificado por

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 19

la derecha. Si se puede simplificar por ambos lados se haba

de simplificación o cancelación.

En el caso de la suma de números (de cualquier naturaleza) a+ b= a + c , cancelando

a, resulta b=c

En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para

el caso, los grupos simétricos.

Divisores del cero

.Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se

dice que a y b son divisores del 0.

Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.

En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de

restos, resulta 2*3=0.

Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x≥0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x≥0 y g(x)

=0 en otro caso; tanto f y g no son nulas pero sí su producto θ(x) = 0 para todo x real.

Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos módulo 4; con la adición tenemos que

en este caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos más dos dan cuatro".

Elementos distinguidos

Elemento neutro

Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria *, que

indicaremos: (A,*),

Diremos que el elemento es el elemento

neutro por la derecha si:

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e =

e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo:

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 20

En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el

elemento neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a.

En los mismos sistemas, pero con la multiplicación, el 1 uno es el elemento neutro

multiplicativo. a.1 = 1.a = a.

En el conjunto de los racionales con la operación a*b = a+b +ab , el elemento neutro

es 0.

En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicación, el elemento neutro es

la matriz que tiene unos en la diagonal principal y los demás elementos son cero.

En la composición de funciones de variable real, el elemento neutro es la función I(x)

= x para todo x.

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria:

Diremos que a' es simétrico de a si:

Donde es el elemento neutro.

El 2 es el simétrico de -2 en Z con la adición; 1/2 es el simétrico de 2 en Q* con la

multiplicación. En el casos de los sistemas algebraicos aditivos, el simétrico se

llama opuesto o inverso aditivo, en el caso de los multiplicativos se llama: inverso

multiplicativo.

Elemento involutivo

Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.

el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de

los enteros.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 21

Elemento absorbente

Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la

operación *.

0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.

El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el

conjunto de partes de U.

Operación inversa

Sea A un conjunto con una operación binaria *:

Por lo que cabe la ecuación:

Pero si se da el caso de que:

Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite

elementos simétricos, se define: (S.R)

POTENCIACION Y RADICACION

POTENCIACION

ROF. José Luis Gallardo

La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él

mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.

Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el

exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.

Así por ejemplo:

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 22

Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y

obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.

Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces

es una potenciación.

Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X

8.

Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.

En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a

multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces

que se va a multiplicar al ocho por sí mismo).

De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:

85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768

Elevar a una potencia el número 10

Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.

Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:

104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000

Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros.

Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones

(100.000.000)...

Page 23: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 23

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las siguientes:

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente

igual a la multiplicación de los primeros exponentes.

Multiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de

base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y

exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no

lo es con respecto a la suma ni a la resta.

En particular:

(a + b)m = am + bm

(a &#8722; b)m = am &#8722; bm

Se cumple en los siguientes casos:

Si m=1.

Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.

Si a y b son iguales a 0 y m&#8800;0.

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Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos

casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.

En particular:

ab = ba

Si y sólo si a=b.

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

a0 = 1 si se cumple que

Potencia de exponente 1

Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.

a1 = a

Potencia de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como

unidades posee el exponente.

101 = 10

Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un

exponente

106 = 1000000

104 = 10000

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 25

RADICACIÓN

ROF. José Luis Gallardo

Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es

la operación inversa de la multiplicación.

La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama “radicación”.

Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.

De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un

número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:

Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al

exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en

cursos posteriores.

Raíz cuadrada

1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número en

grupos de dos cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64

2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o

lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al

cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.

3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 26

En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale 5

-4 = 1

4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo

En nuestro ejemplo nos quedaría 156

5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento de

la raíz.

En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número

que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que estamos

buscando se acerque lo más posible al número que tenemos como resto. Ese

número será el siguiente número de la raíz.

En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se

aproxima más a 156 y la raíz seria 23...

7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del que

queríamos obtener realmente.

En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27

8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el

número del siguiente grupo

En nuestro ejemplo: 2701

9- A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

10- después repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que se

aproxima más a 2701 y la raíz seria 235...

11- después repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376

12- A continuación repetimos el paso 8

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En nuestro ejemplo: 37664

13 A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470

14- A continuación repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número que

se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358

15- A continuación repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto

es cero.

Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas

Este método se debe a Newton

Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación

mejor utilizando la siguiente fórmula:

ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)

Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación

2, entonces:

a1 = 2

a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250

a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA,

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.

SUMA:

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos

del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro

término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede

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completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2.

Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden

los términos de igual grado.

También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la

EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x

B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3

2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

+

-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con

ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,

para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)

A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)

B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

+

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

4x3 - 8x2 + 7x - 3

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 29

A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3

La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se

ponen los términos con coeficiente cero.

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)

A = 9 + 5x3 - 4x2 + x

B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x2 + x + 9

+

0x3 + 4x2 - 2x - 3

____________________

5x3 + 0x2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6

Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios

con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes.

Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos

polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener

otro término semejante.

EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)

A = 4x3 + 5

B = -2x + x2

4x3 + 0x2 + 0x + 5

Page 30: Portafolio de algebra listo1234

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+

0x3 + x2 - 2x + 0

____________________

4x3 + x2 - 2x + 5

A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5

Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que

son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte

literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de

ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias

entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar"

los términos de igual parte literal.

EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)

A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy

B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y

A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =

-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =

-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =

-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2

RESTA:

EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x

B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

-

Page 31: Portafolio de algebra listo1234

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5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo

polinomio:

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

+

-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)

______________________________

4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del

polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar

es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los

coeficientes del mismo grado.

Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede

hacer en la suma.

EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)

A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2)

B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 (grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

-

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

0x3 - 3x2 + 5x - 4

+

Page 32: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 32

-4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)

____________________

-4x3 + 2x2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los

primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de

uno de los polinomios, para que quede en columnado término a término con el otro

polinomio.

MULTIPLICACIÓN:

¿Cómo se multiplican los polinomios?

Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se

aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de

aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones

algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:

(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema

"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada

término de una expresión con cada término de la otra:

(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...".

"Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En

este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x.

Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de

juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con

los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado".

(ver: suma de polinomios)

= x2 + 2x - 15

Page 33: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 33

Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de

la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las

ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener

muchos términos. Por ejemplo:

A = -9x3 + x + 4x5

B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =

Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del

otro.

EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

B = -5x4

-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

X -5x4

______________________________

15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra

con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una

multiplicación de potencias de igual base.

También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y

luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos

resueltos de las dos maneras.

Page 34: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 34

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

B = 3x - 6

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)

X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

-24x3 + 30x2 - 12x - 6

+

12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x

_________________________

12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer

polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también

completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque van saliendo en

orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un

procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de

que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al

empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la

multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado

queden en la misma columna.

Page 35: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 35

explicación ejemplo 2

EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,

completándolos y ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)

______________________________

15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2

________________________________________

-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es

más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque

todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo

polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir

cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se

preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha

esta misma multiplicación sin completar los polinomios.

En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 36

EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí

ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado)

X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)

_____________________

15x4 - 27x2 + 3x

-10x6 + 18x4 - 2x3

____________________________

-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado

de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que

queden en columnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas,

borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes

prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso

es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos

polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden y no haya qué

pensar en dónde ponerlos.

Page 37: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 37

EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)

A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3

B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10

A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =

-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3

- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =

-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x

- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3

+ 12x6y4 =

-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 +

28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de

ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el

mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los

términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la

Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos

semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo

dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están.

EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no

completando el segundo)

A = -9x2 + x + 5x4

Page 38: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 38

B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)

______________________________

15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2

________________________________________

-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -

27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás

salió ordenado por grado.

EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

9x2 + x + 5x4 (polinomio A incompleto y desordenado)

X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado)

__________________________

- 10x6 + 18x4 - 2x3

+ 15x4 - 27x2 + 3x

_________________________________________

Page 39: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 39

- 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos

el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado

que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más

para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda,

dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer

en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio

entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan

más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los

resultados debajo en la columna correspondiente.

DIVISION:

División entre fracciones

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de

monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

Se aplica ley de signos

Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el

dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para

crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como

elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

Page 40: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 40

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el

monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno

dividido por el monomio.

Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el

capitulo anterior.

Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

Page 41: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 41

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los

pasos a seguir son los siguientes.

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en

orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los

espacios de los términos que faltan.

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo

entre el primer miembro del divisor.

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se

coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo

parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se

coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo

primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el

término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

Page 42: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 42

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También

sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran

frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin

necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente

porque son muy utilizados en los ejercicios.

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A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la

igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el

cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factoriza la como (a + b)2

Nota:

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

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El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el

cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factoriza la como (a – b)2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos

binomios conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la

primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Page 45: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 45

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factoriza la como a2 – b2

Otros casos de productos notables (o especiales):

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x +

b)

Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:

Tenemos la expresión algebraica

x2 + 9 x + 14

Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )

¿Cómo llegamos a la expresión?

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es

(2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:

x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 46

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber

que podemos factoriza la como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x –

b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber

que podemos factoriza la como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x –

b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber

que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx +

a) (nx + b)

Page 47: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 47

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada

binomio (mx y nx).

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y

saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y

saber que podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y

saber que podemos factorizarla como (a – b)3.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la

expresión algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo

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a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados

a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos

a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +

2bc

Trinomio al cuadrado

MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS

El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de

importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como

sub problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen

como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica,

además de otros cálculos en álgebra.

En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del

algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo

atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista

del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales

de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco

más sofisticadas.

En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos

(relativamente) más sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aquí lo llamaremos

PRS subresultante) y el algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este

último algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 49

se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el

90% de los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].

No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del

MCD de dos polinomios.

Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended

Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]

GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente

para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz

que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con

muchos coeficientes nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.

En la segunda parte, en el próximo número, nos dedicaremos a EZGCD y SPMOD.

Estos algoritmos requieren técnicas más sofisticadas basadas en inversión de

homomorfismos vía el teorema chino del resto, iteración lineal p-ádica de Newton y

construcción de Hensel. Como CGDHEU es un algoritmo modular, aprovechamos

para iniciar con parte de la teoría necesaria para los dos primeros algoritmos.

En este trabajo, primero vamos a presentar los preliminares algebraicos, el algoritmo

de Euclides, el algoritmo primitivo de Euclides, el algoritmo PRS Subresultante y el

algoritmo heurístico, además de el algoritmo extendido de Euclides. Las

implementaciones requieren, por simplicidad, construir un par de clases para manejo

de polinomios con coeficientes racionales grandes ("BigRational'') y para manejo de

polinomios con coeficientes enteros grandes ("BigInteger'').(Escuela de Matemática -

Centro de Recursos Virtuales (CRV). Instituto Tecnológico de Costa Rica)

EJERCICIOS

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Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2

1°) Se factorizan las expresiones dadas:

–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de

Factorización)

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 4a y 2a^2 son 2a

Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)

por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la

Solución.

NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de

Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.

___________________________________________________________

Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4

1°) Se factorizan las expresiones dadas:

–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización

–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de

Factorización.

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)

por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.

___________________________________________________________

Ejercicio 112.

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1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab

Factorizando las expresiones dadas:

–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplicó el Caso I de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a

por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a <– Solución.

_________________________________________________________

2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2

Factorizando las expresiones dadas:

–> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)

–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplicó el

Caso I)

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y

por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <–

Solución.

_________________________________________________________

3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3

Faxctorizando las expresiones dadas:

–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)

–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplicó el

Caso I)

Factor común de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2

Page 52: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 52

Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 <–

Solución.

__________________________________________________________

4) Hallar el m.c.d. de ab +b y a^2 +a

Factorizando las expresiones dadas:

–> ab +b = b(a +1)

–> a^2 +a = a(a +1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de b(a +1) y a(a +1) es = (a +1)

Por lo tanto el m.c.d. de ab +b y a^2 +a es = a +1 <– Solución.

___________________________________________________________

5) Hallar el m.c.d. de x^2 -x y x^3 -x^2

Factorizando las expresiones dadas:

–> x^2 -x = x(x -1)

–> x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1)

Por lo tanto el m.c.d. de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) <– Solución.

___________________________________________________________

6) Hallar el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2

Factorizando las expresiones dadas:

–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)

–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I

Factor común de (3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x

Por lo tanto el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x <–

Solución.

Page 53: Portafolio de algebra listo1234

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___________________________________________________________

7) Hallar el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4

Factorizando las expresiones dadas:

–> 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2)

–> 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplicó el Caso I para ambas

expresiones.

Factor común para 6a^2xy^4(3x^2) y 6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4

Por lo tanto el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es =

6a^2xy^4 <– Solución.

___________________________________________________________

8) Hallar el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2

Factorizando las expresiones dadas:

–> 5a^2 -15a = 5a(a -3)

–> a^3 -3a^2 = a^2(a -3) Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.

Factor común de 5a(a -3) y a^2(a -3) es = a(a-3)

Por lo tanto el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 es = a(a -3) <– Solución.

Aplicaciones del m.c.m.

1. Reducir fracciones a común denominador.

Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:

Factor izamos los denominadores:

12 = 22 x 3

9 = 32

18 = 2 x 32

Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor

exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo

denominador.

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2. Resolver problemas de la vida práctica.

Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el

destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro

faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el

destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los

dos?

Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a

la vez sea el más cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).

Factorizamos

8 y 12:

8 = 23

12 = 22 x 3

Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor

exponente, y calculamos el mínimo común múltiplo.

m.c.m. (8, 12) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.

Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo

cada 24 segundos.

Aplicaciones del m.c.d.

1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.

Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:

Hallamos el M.C.D. (360, 336).

Para ello factorizamos el numerador y el denominador.

360 = 23 x 32 x 5

336 = 24 x 3 x 7

Page 55: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 55

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:

M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.

Dividimos el numerador y el denominador entre 24

360 = 360 : 24 = 15

336 336 : 24 14

y obtenemos la fracción equivalente irreducible:

2. Resolver problemas de la vida práctica.

Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas

cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño

tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas

dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?

Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180,

y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de

270 y 180.

Factorizamos 270 y 180:

270 = 2 x 33 x 5

180 = 22 x 33 x 5

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:

M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.

Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina

sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:

270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.

180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.

Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.

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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN

Descripción:

La función cuadrática es una función de los reales en los reales

cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a0) y cuyo

dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas

utilizamos principalmente el método de factorización.

Ejemplos:

1) Resuelva x 32x 1 9 .

Solución:

Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero

multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después

factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es

conveniente verificar la solución final en la ecuación original.

x 32x 1 9

2x2 x 6x 3 9

2x2 5x 3 9 0

2x2 5x 12 0

2x 3x 4 0

2x 3 0

2x 3

x 3/2

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ó x 4 0 x 4

2) Halle las soluciones de x3 8x

2 16x 0 .

Solución:

Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e

igualar sus factores a cero y resolver en términos de x .

xx 2

8x 16 0

xx 4x 4 0

x 0 ó

x 4

0

x 4

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Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que

aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones

aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la

incógnita es uno.

Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un

lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita

queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la

igualdad de la expresión.

Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo),

tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación:

(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)

a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión

x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4

x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4

b) Trasponemos los términos:

x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;

c) Reducimos términos semejantes:

6x = -4 ;

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d) Dividimos por 6:

x = -4/6

e) Simplificamos por 2:

x = -2/3

Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales

además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas

letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales

se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el

mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es

que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos

por ella para poder despejarla.

Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos

semejantes y trasponemos términos:

a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a

b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b

c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b

d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):

(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 60

Ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:

Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.

Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:

x2 + 2x + 1 – x2 = 9

2x + 1 = 9

x = 4;

Por lo tanto los números son 4 y 5.

Ejemplo 2:

Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman

97. ¿Qué edad tiene el menor?

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que

la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:

x + 2x + 1 = 97

3x = 96

x = 32

Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.

Respuesta: la edad del menor es 32.

Ejemplo:

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1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2

1º paso: Se suma a los dos miembros 3.

2x -3 + 3 = 2 + 3

2x = 5

2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.

2x /2 = 5/2

2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5

1º paso: Restamos x a los dos miembros.

3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5

2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.

2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7

3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x

2x/2 = 7/2

SOLUCIÓN: x = 7 / 2

3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5

1º paso: Se simplifica los dos miembros.

6x - 4 = 12 - 3x

2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.

6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12

3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.

Page 62: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 62

9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16

4º paso: Dividimos por 9

SOLUCIÓN: x = 16 / 9

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.

Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,

llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por

la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo

tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es

una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas),

que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una

sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la

siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales

que corresponda en cada caso particular.

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Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c

= 0, donde a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de

las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización

En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo

grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda

factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos

a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus

multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

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Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las

incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x2 + 5x − 12 = 0

2x2 + 5x = 12

2x2 − 12 = − 5x

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a

cero y luego resolver en términos de x:

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Ahora, si

x = 0

o si

x− 4 = 0

x = 4

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un

cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar

operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma

de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación

x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar

el cuadrado de la suma de un binomio del tipo

(ax + b)2

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

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ax2 + 2axb + b2

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto,

ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como

en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término

corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos

miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la

ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un

binomio.

Veamos otro ejemplo:

Partamos con la ecuación

x2 + 6x − 16 = 0

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Hacemos

x2 + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos

obtener una expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos

(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2

el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la

ecuación:

x2 + 6x = 16

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

factorizamos, y queda

(x +3) (x + 3) = 25

(x + 3)2 = 25

La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este

caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada

y queda

x + 3 = 5 y x + 3 = −5

(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5

Entonces

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x = 5 − 3

x = 2

Y

x = − 5 − 3

x = − 8

La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.

Solución por la fórmula general Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que

es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el

signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se

limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver

cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener

buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 69

Así es que las soluciones son

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES

Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir

números Reales.

Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en

direcciones opuestas se denominan:

Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.

3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3

El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.

La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).

Inverso aditivo

Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.

Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número

debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del

doble negativo.

Propiedad del doble negativo

Para cualquier número real a, -(-a) = a

Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9

Valor absoluto

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El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el

valor absoluto de 0 es 0.

Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.

La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no

negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso

aditivo (opuesto9 del número.

El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por

ejemplo.

Operaciones con los números Reales

1. Sumar números reales Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)

Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.

La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos

números negativos será un número negativo.

Ejemplo.

-5 + (-9)

Solución:

Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.

Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un

signo negativo antes del valor.

Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro

negativo)

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Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo

del número con el valor absoluto más grande.

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o

cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor

absoluto.

Ejemplo.

3 + (-8)

Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor

absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor

absoluto.

Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto

mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.

3 + (-8) = -5

Restar números reales

Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por

medio de la regla siguiente.

a – b = a + (-b)

Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a

Ejemplo.

5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.

5 – 8 = 5 + (-8) = -3

Multiplicar números reales

Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos

negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

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Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,

multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplo

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista

un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un

número par de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación

Para cualquier número a,

Dividir números reales

Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,

divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida

sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplos.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común

reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el

hecho siguiente.

Propiedades de los números reales.

Propiedades de los números reales.

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APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES Pasos para la solución de problemas: 1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras. 2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta. 3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x. 4. Expresar las demás cantidades en términos de x. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x. 6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.

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Ejemplos

El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.

¿Cuántos estudiantes practican deporte?

Solución:

Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por

0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.

Ejemplo

Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.

En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres

aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos

aprobaron el examen?

Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60

Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33

Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)

Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91

Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124

Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

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Ejemplos

La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo

el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco

cada uno?

Solución

Laurita=x

Pedro=2x (dos veces más que Laura)

juanita=5x (cinco veces más que Laurita)

x+2x+5x=160

8x=160

x=160/8

x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a

pedro 40 y a juanita 100 millones..

Ejemplos

Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros

que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán

invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la

inversión total?

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Solución: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al 6%. Establecemos: (Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total Sustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000) Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000) .09P + 1,080 − .06P = 1,440 .09P − .06P = 1,440 − 1,080 .15P = 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600 al 6%.

Ecuaciones lineales de primer grado

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra

solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas

a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar

como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

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a) ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es

igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el

otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) ecuaciones fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

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Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

c) ecuaciones literales

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

Ejemplo:

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Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas

ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Gráficamente, la situación es la siguiente

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Sistema compatible indeterminado

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres

da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones

independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.

Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

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CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES a) 2 x + y = 6 2

x - y = 2

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:

Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 1, y = 4; x = 2, y = 2

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y= 0; x = 2, y = 2

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 82

Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto,

el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más

abajo

.x + y = 3 2

x + 2 y = 6

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:

Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 0, y = 3; x = 3, y = 0

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y = 2; x = 2, y = 1

Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas

soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la

representación más abajo

b) x + y = 3

x + y = - 1

c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:

Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 0,y = 3; x = 3,y = 0

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 0, y =-1; x = -2, y = 1

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 83

Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema

no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la

representación siguiente:

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 85

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número

de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de

la ecuación por dicho número.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro

derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las

ecuaciones que se suman.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las

ecuaciones

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la

desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 86

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida,

se obtiene

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son

expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,

entonces la ecuación

No contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar

a una ecuación con solo una incógnita, digamos .

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 87

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución

en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en

dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

Es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la

izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer

sistema.

Del segundo sistema se deduce que

Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .

Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Page 88: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 88

Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera,

para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Sustituyendo por en

Se tiene que

Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 89

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida

obtenemos una ecuación de una sola incógnita

Cuya solución es .

Método de Gauss

Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un

GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.

Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones

elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o

inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy

fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con

ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir

las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una

misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Es:

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Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación

la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la

siguiente matriz triangular superior:

Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocupación para obtener :

En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera

ecuación ( ), para obtener:

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La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que

resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por

1 ( ). Esto nos da una ecuación en :

Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de

una o más operaciones algebraicas.

TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios

símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son

cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus

factores literales.

GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de

dicha letra.

CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el

término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que

no tiene radical, e irracional el que tiene radical.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 92

TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.

TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.

TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma

parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

10 Ejemplos de Términos Semejantes:

1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).

2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2

= y2x)

3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb

4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.

5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)

6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3

7. 5ty es semejante a 3ty

8. 5kl4 es semejante a -2kl4

9. 68lky5 es semejante a -96lky5

10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA

MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

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BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

GRADO DE UN MONOMIOS

Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El

monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

Page 94: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 94

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado

respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

GRADO DE UN POLINOMIO

Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 ¿Cuál es el grado de: ?

9.6 ¿Cuál es el grado de: ?

ORDENAR UN POLINOMIO

Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en

cuenta su grado:

9.8 Ordena el polinomio:

Respuesta:

ORDENAR UN POLINOMIO RESPECTO A UNA LETRA

Si hay dos o más letras se deben indicar respecto a que letra se ordena.

Page 95: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 95

Ejemplo:

9.9 Ordena respecto a ‘x’, el polinomio:

Respuesta:

9.10 Ordena con respecto a ‘z’:

Respuesta:

9.11 Escribe un trinomio ordenado de quinto grado (los números y letras los que

prefieras)

Respuesta: (con respecto a ‘c’) :

9.12 ¿De qué grado son las expresiones:

Page 96: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 96

Respuestas:

1) Primer grado

2) Quinto grado

GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO. Es el grado de su término de mayor

grado.

GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el mayor

exponente de dicha letra en el polinomio.

CLASES DE POLINOMIOS. Un polinomio es entero cuando ninguno de sus término

tiene denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en

el denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene

radical; homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto;

heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado.

POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el que contiene

todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que

tenga dicha letra en el polinomio.

POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el

cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando

o disminuyendo.

ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes

de una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o

ascendente.

Page 97: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 97

NOMENCLATURA ALGEBRAICA 1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o

no denominador y a si tienen o no radical:

S o l u c i ó n :

2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:

S o l u c i ó n :

3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores

literales:

Page 98: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 98

4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre

hetereogéneos

S o l u c i ó n :

5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y

racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales

S o l u c i ó n :

6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado,

quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado

S o l u c i ó n :

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 99

7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación

a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y;

otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b

S o l u c i ó n :

DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL

- Factores

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto

entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto

entre a y a + b, se obtiene:

a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de

a2 + ab de tal manera que:

(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15

Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15

Page 100: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 100

Métodos para la factorización de polinomios

Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los

números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos

especiales.

Binomios

Diferencia de Cuadrados

Suma o diferencia de Cubos

Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x²+bx+c

Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios

Factor común

Factorizar un monomio

Se descompone el término en el producto de factores primos.

Ejemplo:

Factorizar un polinomio

No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más

factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números

primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay

Page 101: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 101

expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en

consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no

puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a +

b y por la unidad.

A continuación diferentes casos de descomposición factorial.

Caso I: Factor común

Factor común.

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

Ejemplos:

a) Descomponer en factores a2 + 2a

a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente

de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de

efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya

Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)

b) Factorizar 10b - 40ab2

Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque

siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común

es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor

exponente. El factor común será 10b

Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)

c) Descomponer en factores:

10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)

Page 102: Portafolio de algebra listo1234

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Factor común de un polinomio

a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)

Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se

escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben

los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).

Factorizando se obtiene:

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)

x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by

Obteniendo:

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by

Factor común por agrupación de términos

Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y

luego se extrae el factor común de cada uno.

Ejemplos

a) Factorizar ax + by +ay + by

Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor

común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos

también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es

positivo se obtiene:

ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)

ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes

ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando

Page 103: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 103

Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado.

Trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.

Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.

En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2.

Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).

Raíz cuadrada de un monomio

Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su

coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.

Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es

el producto de dos binomios iguales.

Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b

Por tanto:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

Page 104: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 104

Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer

y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y

positivos, y el segundo término equivale al doble del producto de éstas raíces

cuadradas.

Ejemplo:

a) a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de a2 = a

Raíz cuadrada de 4b2 = 2b

Doble producto de estas raíces 2 x a x 2b = 4ab

Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplo:

a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que:

raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b

Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab

Trinomios de la forma x2 + px + q

En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un

trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q

Por tanto:

Page 105: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 105

Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos

factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma

algebraica sea p y cuyo producto sea q

Regla práctica para factorizar el trinomio

1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es

decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del

trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de

multiplicar el signo del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del

trinomio.

3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos

números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo

producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los

segundos términos de los binomios.

4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos

números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y

cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de

estos números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo

término del segundo binomio.

Ejemplos:

Descomponer en factores:

a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20

b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12

c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28

Page 106: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 106

Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)

Observemos que el producto:

(ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db

= acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd).

Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, será posible factorizar

¿Cómo determinar estos números?

a) Se selecciona una descomposición factorial de m y otra de q:

m = ac y q = bd

b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos:

c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso contrario se ensaya con otra combinación de factores para m y para q

Ejemplos:

a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4

Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4)

Page 107: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 107

Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones.

Por ejemplo: 2 = 1 · 2, 12 = 6 · 2, 12 = 1 · 12, 12 = 4 · 3, 12 = 2 · 6

También puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo:

2 = (-1) · (-2) , 12 = (-6) · (-2)

Page 108: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 108

CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M

Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios

Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo

entre números enteros:

Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36.

Page 109: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 109

Primero había que "factorizar" o descomponer a los números. Así:

Luego, en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos

"factores" (los números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y

había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un

número o en el otro.

Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos

m.c.m. = 23.32.5

Porque:

Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay

que ponerlos todos.

El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2

está tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está

menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo

elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le

pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la

descomposición de un número, en la columna de la derecha).

Page 110: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 110

El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3

está dos veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el

m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32.

El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una

sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 =

51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente

(o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece

(porque otro 5 no hay).

Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

(MCM)

Bueno, para hallar el mínimo común múltiplo entre polinomios, hay que hacer

exactamente lo mismo. Con la diferencia de que los que se "factorizan" ya no son

números, sino polinomios. Y los factores son también polinomios. Ya no se factoriza

dividiendo, con las 2 columnas, sino que para factorizar los polinomios se usan los

Casos de Factoreo. Los siguientes son ejemplos donde se busca el m.c.m. Por

practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya están

factorizados.

Ejercicios

Hallar el M.C.M. de:

Page 111: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 111

* Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4)3(x – 7)2(x + 6)8(x + 7)3

F(x) = (x + 6)2(x – 7)3(x + 7)4(x – 6)2 S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2 a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 b) (x + 7)4(x + 6)8 c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2(x + 2)3 d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2 e) (x + 7)4(x + 4)8(x – 7)3(x – 6)2(x + 2)3

Hallar el MCM de los polinomios:

F(x) = (x + 5)4(x – 6)2(x + 9)3(x – 1)4

S(x) = (x + 5)2(x – 6)4(x + 7)2(x – 1)3

a) (x +5)(x – 6)(x – 1)

b) (x + 5)2(x – 6)2(x – 1)3

c) (x + 5)4(x – 6)4(x – 1)4(x + 9)3(x + 7)2

d) (x + 1)(x – 2)(x + 9)

e) (x – 1)3(x – 6)4

1

6 12

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18

24

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30

36

42

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48

(Baldor, 2013)

OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES

Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se

resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones.

En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones

tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores.

En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual

denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones

dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de las fracciones

dadas.

Page 115: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 115

En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por

dos caminos.

Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el

cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la

suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que

hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y

al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo

numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está.

El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y

después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos

denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual

se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador

Page 116: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 116

en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos

visto.

Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones

algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual

Page 117: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 117

denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores

según sea el caso.

Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestión se

complica un poco. Primero hay que determinar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de

los polinomios que están en el denominador, y después debemos optar por el

camino de dividir este m.c.m. por cada denominador para después multiplicar por los

numeradores, o bien transformar esta suma de distinto denominador en una de igual

denominador usando fracciones equivalentes, si quieres liarte con divisiones y

multiplicaciones de polinomios.

Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m., para lo cual hay que factorar todos

los denominadores. El m.c.m. estará formado por todos los factores que hemos

hallado, pero si alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algún factor que se

repite aparece con distinto exponente, debe ir con el mayor de los exponentes.

Veamos un par de ejemplos:

* Ejemplo 1:

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 118

* Ejemplo 2:

Una vez que tenemos el m.c.m. de los denominadores, se procede de la siguiente

manera:

Se determina que factores faltan en cada denominador para obtener el m.cm. ; y una

vez que se tienen estos factores, se multiplican por el denominador y numerador de

cada fracción.

Al hacer esto, se ha transformado, la suma de fracciones de distinto denominador,

en una de igual denominador, la que se resuelve del modo que se ha explicado

previamente.

Para terminar. Veamos un ejemplo numérico:

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 119

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los

denominadores entre sí.

Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los

polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican

entre sí los polinomios que están en los denominadores.

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 120

En la práctica, procederemos de la siguiente manera:

1) Factoramos todos los polinomios.

2) Simplificamos lo que se pueda.

3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.

Veamos un ejemplo:

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto

cruzado entre los numeradores y los denominadores.

Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda.

(Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la

división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 121

Desarrollando por el segundo método.

Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es

decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.

Formula:

En la práctica, procederemos de la siguiente manera:

1) Factoramos todos los polinomios.

2) Invertimos la segunda fracción y simplificamos lo que se pueda.

3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.

Page 122: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 122

ECUACIONES CUADRATICAS

Definicion

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son

ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas

de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0

donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que

exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las

ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática

depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso

estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el

cuadrado y la fórmula cuadrática.

Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego

expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.

Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos

1) x2 - 4x = 0

2) x2 - 4x = 12

Page 123: Portafolio de algebra listo1234

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 123

3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización

porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que

conocer otros métodos.

Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es

equivalente a :

Ejemplos

1) x2 - 9 = 0

2) 2x2 - 1 = 0

3) (x - 3)2 = -8

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado

perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

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ALGEBRA Yadira Fuertes Página 124

Regla para hallar el último término de x2 + bx +?: El último término de un trinomio

cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término

del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son

x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio

cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que

completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos

1) x2 + 6x + 7 = 0

2) x2 – 10x + 5 = 0

3) 2x2 - 3x - 4 = 0

Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la

fórmula cuadrática:

La expresión:

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Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La

tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de

solución de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de:

Tipo de solución

positivo dos soluciones reales

cero una solución real

negativo dos soluciones

imaginarias

Ejemplos

1) x2 + 8x + 6 = 0

2) 9x2 + 6x + 1 = 0

3) 5x2 - 4x + 1 = 0

Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula

cuadrática.

1) x2 - x - 20 = 0 (por factorización)

2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)

3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)

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4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)

Clasificación

Completa

Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.

Completa General

Es C.general porque es más de 1 es decir como ej: aX2=2X2 o 5X2 u otros que

sean mayor a 1...

ax²+bx+c=0

ej: 3x²+5x+7

Completa Particular

Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a

1 (a=1) ejemplo: x² + 3x + 1 = 0

Incompleta

Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del término de primer grado,

término libre o ambos.

Incompleta Binomial

Si el término libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0

ej: 4X2 -5x=0

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Incompleta Pura

¿Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces:

ax2+c = 0?

bx=0

ej: 5x2-1=0

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que

tiene la forma: .

Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de que cumplen con

la expresión, si es que existen.

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la

primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios

números hasta "atinarle" (ya sea porque nos sonría la buena fortuna, o por

aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la

"Fuerza Bruta").

Después, conforme nos vamos enfrentando a más problemas que involucran

ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros

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que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica

correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que

abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro

método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión

cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos

expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen

que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se

garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución

"Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la

"Fórmula General".

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si es menor que los resultados de X serán dos valores con parte real

y parte imaginaria. Es decir, el resultado será un número complejo.

Si es mayor que obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si es igual que obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Al término se le llama discriminante.

Tomando en cuenta el orden de los términos: "a", "b" y "c"=x²-6x+9

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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b

3 + (−5)

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

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a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

− (−5) = 5

Propiedades de la resta de números enteros

1. Interna:

a − b

10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

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(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

a · b

2 · (−5)

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

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(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

(−2): 6

2. No es Conmutativo:

a: b ≠ b : a

6: (−2) ≠ (−2): 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero,

cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se

deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades:

a0 = 1 ·

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a1 = a

am · a n = am+n

(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

am : a n = am - n

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8

(am)n = am · n

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

an · b n = (a · b) n

(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216

an : b n = (a : b) n

(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

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El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número. (ditutor)

ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS

1. Las ecuaciones que, directamente o mediante transformaciones de

equivalencia, se pueden expresar de la forma: ax2n+bxn+c=0, con a 0;

mediante el cambio de variable z=xn se pueden expresar como una ecuación

de segundo grado así: az2+bz+c=0

Una vez resuelta esta ecuación, las soluciones de la ecuación original se determinan

resolviendo x= .

Entre estas ecuaciones se hallan las bicuadradas, ecuaciones de cuarto grado en

las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.

Ejemplos: x4 - 5x2 +4 = 0 ; x4 - 4 = x2 - 1

Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de

segundo grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la

ecuación con el segundo miembro igualado a 0.

Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado,

representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez

igualado a 0. . (recursostic.educacion)

Ejemplo, resuelve x4 - 5x2 + 4 = 0

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1. realizamos un cambio de variable, x2 = z, y reescribimos la ecuación: z2 -

5z + 4 = 0

2. resolvemos esta ecuación, z1 = 1 y z2 = 4

3. las soluciones de la ecuación inicial son:

B) Ejemplo, resuelve

1. aislamos la raíz,

2. elevamos al cuadrado,

3. desarrollamos y resolvemos, 36x2+4x-11=0, cuyas soluciones son

4. hacemos la comprobación en la ecuación inicial y sólo la primera de las

raíces es solución de la ecuación original, la segunda no.

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RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO

CUADRADO

En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la

expresión original en un trinomio cuadrado perfecto.

Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en

realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión

básica en nada.

La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión

básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un

trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo.

Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado

perfecto.

Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el

trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos

expresiones cuadráticas que se agregaron.

Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresión

original totalmente factorizada, mediante la completación de un trinomio cuadrado

perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados.

Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los casos,

para nosotros es conocido como completación del trinomio cuadrado perfecto,

entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto.

Recordemos que sabíamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tomábamos las

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raíces y encontrábamos el doble producto. En este caso la factorización es muy

simple, pongamos las raíces en un paréntesis y pongamos entre ellas el signo del

doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorización del trinomio

cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no encontramos ese

doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos lograrlo para luego

volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para

averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces siempre de los que estén

solos. El problema de las matemáticas es que si yo sumo algo también se lo debo

restar porque al restarlo no afectó la expresión. Luego de eso si se puede factorizar.

Aunque hagamos la completación y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una

diferencia y para factorizar se deben obtener productos. Entonces se debe hacer

una diferencia de cuadrados porque lo bueno del trinomio cuadrado perfecto es que

cuando yo lo factorizo siempre se me genera un cuadrado y si la expresión que

sume y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea que no

podemos usar el caso cinco. Siempre que haya completación tengo que darme

cuenta que lo que vaya a sumar o restar tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble

producto ya puedo empezar a factorizar, poniendo entre paréntesis las raíces, el

signo de la mitad que en este caso si importa. Con esto dejamos por explicado como

se resuelven trinomios y binomios utilizando la completación del trinomio cuadrado

perfecto.

2 Comentarios en: factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto

Paola Arteaga dice:

19/02/2013 at 11:34 PM

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En el minuto 11:30, al momento de desarrollar el trinomio, la solución debería ser

(a↑2+2b↑2)↑2, puesto que colocaste como raíz de 4b↑4 = b↑2; así que el resultado

sería (a↑2+2b↑2+2ab)(a↑2+2b↑2-2ab).

Espero pronto tu rta para saber si estoy en lo correcto o no, gracias

Tareasplus dice:

20/02/2013 at 10:21 AM

Nos quedó faltando el 2 que acompaña a b^2. Vamos a tener una anotación en el

video para corregirlo. Muchas gracias por el comentario.

Recuerda que igual tenemos una mejor versión de este tema que puedes ver en:

EJERCICIOS

2

X + 6X + 9 es un T.C.P.

si es un TCP factorizado:

1°) X y 9 son cuadrados por lo tanto:

2°) doble producto: 2 x Xx 3 = 6X

2

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3°) factorando: X + 6X + 9 = (X + 3)

Para resolver una ecuación de segundo grado por la competición de cuadrados se

siguen los siguientes pasos:

1) se forma la mitad del coeficiente de X: b., luego se eleva al

2 2

cuadrado b

2

2) se adiciona a ambos lados de la igualdad

3) se factoriza

4) se hallan las raices (X1 , X2 )

Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado

Demostremos el método de completación del cuadrado con un ejemplo.

Ejemplo 3

Resolver la siguiente ecuación cuadrática .

Solución

El método de completación de cuadrados es como se muestra a continuación.

1. Reescribir como

2. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto al lado derecho necesitamos

añadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.

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3. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar el lado derecho de la

ecuación.

4. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.

Respuesta y

Si el coeficiente del término no es uno, debemos dividir toda la expresión por este

número antes de completar el cuadrado.

Ejemplo 4

Resolver la siguiente ecuación cuadrática .

Solución:

1. Dividir todos los términos por el coeficiente del término .

2. Reescribir como

3. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho necesitamos

añadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.

4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.

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5. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.

Respuesta y

Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar

Una ecuación en forma estándar se escribe como . Para resolver

una ecuación en esta forma primero movemos el término constante al lado derecho

de la ecuación.

Ejemplo 5

Resolver la siguiente ecuación cuadrática .

Solución

El método de completación de cuadrados se aplica como sigue:

1. Mover la constante al otro lado de la ecuación.

2. Reescribir como

3. Sumar la constante a ambos lados de la ecuación

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4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.

5. Sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.

Respuesta y

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son

ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con

forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar

de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores

parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las

funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios,

graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores

mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los

carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado

funciones cuadráticas para su diseño.

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Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se

multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando

trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la

misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto

vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática

para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad

vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la

gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en

un puente suspendido.

Ejemplos:

Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

x 2 + 4 x - 12 = 0

Paso 2: Factorizar

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x

x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2

Paso 4: Verificar la solución.

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Verificar x=-6

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( -

6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 -

24 - 12 = 0 0 = 0

Verificar x=2

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -

12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

2 x 2 - 5 x - 3 = 0

Paso 2: Factorizar

2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x

2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3

Paso 4: Verificar la solución.

Verificar x=-1/2

2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( -

1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 -

3 = - 5 2 - 5 2 =- 5 2

Verificar x=3

2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 -

3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 -

3 = 15 15= 15

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Bibliografia

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FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

son fracciones algebraicas equivalentes porque:

(x + 2) · (x − 2) = x2 − 4

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Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el

denominadorde dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la

fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas

cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y

ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/b es una fracción

algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre

expresión b (divisor).

Fracción algebraica simple

Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son

ejemplos de fracciones simples:

.

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y

denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

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Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones

numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y

denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que

son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de

paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores,

pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el

denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común.

Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y

denominador.

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Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para

quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en

transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede

simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con

fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta

de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de

distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

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Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando

el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores

se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

(2010)

(vitutor, 2010)

(fracciones algebraicas, 2008)

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ECUACIONES LINEALES

Ecuación lineal con incógnitas

Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2

+ a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b .

Los valores ai se denominan coeficientes,

b es el término independiente.

Los valores xi son las incógnitas.

Solución de una ecuación lineal

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina

solución de la ecuación.

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:

(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO

Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó

cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar

adopten esa expresión.

Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los

siguientes pasos:

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1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el

otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

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Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:

Quitamos paréntesis:

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Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

CLASIFICACION DE ECUACIONES LINEALES

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra

solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas

a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar

como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

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a) ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es

igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el

otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) ecuaciones fraccionarias

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En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las

expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

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x y

-2 1

-1 4

0 7

1 10

2 13

(Murrias, 2002)

(ditutor, 2010)

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ECUACIONES CUADRÁTICAS

Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede

ser 0.)

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los

coeficientes (lee las Definiciones básicas de Álgebra)

Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado,

porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras

x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

En esta a=2, b=5 y c=3

Aquí hay una un poco más complicada:

¿Dónde está a? En realidad a=1, porque

normalmente no escribimos "1x2"

b=-3

¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.

¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta

el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

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¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial

llamada fórmula cuadrática:

El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que

normalmente hay dos soluciones!

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para

"discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:

si es positivo, hay DOS soluciones

si es cero sólo hay UNA solución,

y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números

imaginarios .

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los

cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

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Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:

5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0

5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones

astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas Qué hacer En forma

estándar

a, b y c

x2 = 3x -1 Mueve todos los

términos a la

izquierda

x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1

2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla

paréntesis

2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5

x(x-1) = 3 Desarrolla

paréntesis

x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3

5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1

Ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c

son números reales.

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Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las

ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple

2. Completando el Cuadrado

3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un

producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

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( x + ) (x - ) = 0

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la

constante de a tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la

siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0

4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

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x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.

Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

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x = -1 + 3 x = -1 – 3

x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la

ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

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(DISFRUTA LAS MATEMATICAS, 2011)

(Melissa Murrias, 2000)

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EJEMPLOS DE GRAFICAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Colocamos en el eje de coordenadas los puntos:

y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente:

13.82 Representa gráficamente la ecuación de 2º grado:

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Respuesta:

Solución

Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º grado:

Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola.

¿Por qué los puntos no los unimos con rectas?

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Porque si en la ecuación de 2º grado diéramos a x los valores que

indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían::

Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos

y obtendríamos algo parecido a:

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Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado.

Vértice de la parábola

Si te has fijado bien, en todas las figuras referidas a la parábola has visto, por un lado, el eje

de coordenadas y por otro, la parábola.

Llamamos vértice de la parábola al punto común de la parábola con el eje vertical de la

misma o su eje de simetría. No se trata del eje vertical o de ordenadas de un eje de coordenadas.

Nos referimos al eje de la parábola.

El eje de la parábola es un eje de simetría que divide a la parábola en dos curvas iguales.

Cada una de estas curvas se llaman ramas o brazos de la parábola.

¿Qué es un eje de simetría en una parábola?

Es una línea de modo que si doblásemos el papel por dicha línea, las ramas de la parábola

coincidirían.

Todas las figuras que has visto hasta ahora, el vértice lo tienen en el punto (0.0).

En todos los casos que vamos estudiando, el eje de la parábola coincide con el eje

coordenadas, pero esto no es siempre así como veremos más adelante.

Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1).

En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se trata de:

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El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué.

Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es 1. Luego,

para x=0; y=1.

Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas.

El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parábola:

En el caso de que representásemos gráficamente la ecuación:

Para x=0 y=-2 La parábola sería:

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En el caso de que la ecuación fuese el vértice estaría situado en el punto

(0,2):

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Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2.

13.82(a) Representa gráficamente la ecuación:

13.83 Representa gráficamente la ecuación:

Respuesta:

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