portafolio de algebra

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Módulo Algebra Página 1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL ADRIANA GUACHAGMIRA PARALELO: “ B ” Ing. Oscar René Lomas Reyes Marzo 2013 Agosto 2013

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1. Mdulo Algebra Pgina 1 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Mdulo ALGEBRA PRIMER NIVEL ADRIANA GUACHAGMIRA PARALELO: B Ing. Oscar Ren Lomas Reyes Marzo 2013 Agosto 2013 2. Mdulo Algebra Pgina 2 Contenido INTRODUCCIN............................................................................................................................. 3 OBJETIVOS................................................................................................................................. 4 CONJUNTO DE NMEROS NATURALES..................................................................................... 5 PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES................................................................................. 6 EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 7 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 9 QU ES UNA ECUACIN?....................................................................................................... 11 Partes de una ecuacin........................................................................................................... 11 Exponente!............................................................................................................................. 12 PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 13 FACTORIZACIN...................................................................................................................... 15 FACTORIZACIN POR AGRUPAMIENTO.................................................................................. 16 ECUACIONES LINEALES............................................................................................................ 16 SILABO......................................................................................................................................... 18 3. Mdulo Algebra Pgina 3 INTRODUCCIN El lgebra es una rama de las matemticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritmticas y lo nmeros para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos anlogos. Esta rama se caracteriza por hacer implcitas las incgnitas dentro de la misma operacin; ecuacin algebraica. El lgebra continu su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el lgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitgoras. El lgebra es el rea de las matemticas donde las letras (como x o y) u otros smbolos son usados para representar nmeros desconocidos. Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a ambos lados del signo igual (=), as: x - 5 = 2 x - 5 + 5 = 2 + 5 x + 0 = 7 x = 7 (la respuesta) Se realizara el estudio tanto de nmeros reales, nmeros enteros positivos, negativos , fraccionarios , productos notables, factorizacin , sistemas de ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera. 4. Mdulo Algebra Pgina 4 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Recopilar toda la informacin de cada tema ya visto en el mdulo de algebra, para que sirva de gua base para nuestro estudio. OBJETIVOS ESPECFICOS Elaborar el portafolio estudiantil Analizar la informacin recolectada que servir de base de estudio para la evaluacin. Trabajar en forma grupal en la recoleccin de la informacin 5. Mdulo Algebra Pgina 5 CONJUNTO DE NMEROS NATURALES Ciertos conjuntos de nmeros tienen nombres especiales. Los nmeros 1,2,3 y as sucesivamente , forman el conjunto de los nmeros enteros positivos o nmeros naturales. Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3) Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3 forman el conjunto de los enteros. Conjunto de enteros = (,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,) El conjunto de los nmeros racionales consiste en nmeros como 1 2 y 5 3 , que pueden escribirse como una razn (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es aqul que puede escribirse como donde p y q son enteros y q 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = 2 1 . De hecho todo entero es racional. Los nmeros que se representan mediante decimales no peridicos que terminan se conocen como nmeros irracionales. Los nmeros y2 son ejemplos de nmeros irracionales. Junto, los nmeros racionales y los nmeros irracionales forman el conjunto de los nmeros reales. Los nmeros reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas 6. Mdulo Algebra Pgina 6 PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES Propiedad transitiva de igualdad.-Dos nmeros iguales a un tercer nmero son iguales entre s. = = , = Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicacin.- Dos nmeros pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un nmero real. , + Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicacin.- Dos nmeros pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden. + = + = Propiedad asociativa de la suma y la multiplicacin.- En la suma o en la multiplicacin, los nmeros pueden agruparse en cualquier orden. + ( + ) = ( + ) + () = () Propiedad de la identidad.- existen nmeros reales denotados 0 y 1 tales que para todo nmero real a. 0 + = 1 = Propiedad del inverso.- Para cada nmero real a, existe un nico nmero real denotado poa a + () = 0 Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un nmero da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el nmero y despus sumar todos los productos. ( + ) = + ( + ) = = 7. Mdulo Algebra Pgina 7 EXPONENTES Y RADICALES Exponentes Un exponente es un valor ndice que me indica el nmero de veces que se va a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base. Por ejemplo: 5 b es el valor base y -5 es el exponente 27 -2 es el valor base y 7 es el exponente Leyes de los exponentes ( )( ) = + = 0 = 1 = 1 = 1 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) RADICALES La radicacin es la operacin inversa a la potenciacin. Se llama raz ensima de un nmero x a otro nmero y, que elevado a la n da como resultado x. = n = ndice x = radicando y = raz 8. Mdulo Algebra Pgina 8 =signo radical Leyes radicales 1/2 = 1/2 = 1 1/2 = 1 = = = ,/ = ( ) = 9. Mdulo Algebra Pgina 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama a un conjunto de letras y nmeros ligados por los signos de las operaciones aritmticas. Monomio: Se llama monomio a la expresin algebraica que tiene un solo trmino. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo trmino: Binomio: Se llama binomio a la expresin algebraica que tiene dos trminos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos trminos: Trinomio: Se llama trinomio a la expresin algebraica que tiene tres trminos. Ejemplo: Las expresiones algebraicas que contienen ms de tres trminos se llaman Polinomios. Suma o adicin.- es una operacin que tiene por objeto reunir dos o ms expresiones algebraicas en una sola expresin algebraica. 10. Mdulo Algebra Pgina 10 Resta o sustraccin.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuacin el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los trminos semejantes. Multiplicacin.- se multiplica el monomio por cada uno de los trminos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los productos parciales con sus propios signos. Divisin.- se divide cada uno de los trminos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. 11. Mdulo Algebra Pgina 11 QU ES UNA ECUACIN? Una ecuacin dice que dos cosas son iguales. Tendr un signo de igualdad "=", por ejemplo: x + 2 = 6 Lo que esta ecuacin dice: lo que est a la izquierda (x + 2) es igual que lo que est en la derecha (6) As que una ecuacin es como una afirmacin "esto es igual a aquello" Partes de una ecuacin Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (mejor que decir "esta cosa de aqu"!) Aqu tienes una ecuacin que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes: Una variable es un smbolo para un nmero que todava no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un nmero solo se llama una constante. Un coeficiente es un nmero que est multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, as que 4 es un coeficiente) Un operador es un smbolo (como +, , etc) que representa una operacin (es decir, algo que quieres hacer con los valores). 12. Mdulo Algebra Pgina 12 Un trmino es o bien un nmero o variable solo, o nmeros y variables multiplicados juntos. Una expresin es un grupo de trminos (los trminos estn separados por signos + o -) Ahora podemos decir cosas como "esa expresin slo tiene dos trminos", o "el segundo trmino es constante", o incluso "ests seguro de que el coeficiente es 4?" Exponente! Elexponente (como el 2 en x2) dice cuntas veces usar el valor en una multiplicacin. Ejemplos: 82 = 8 8 = 64 y3 = y y y y2z = y y z Los exponentes hacen ms fcil escribir y usar muchas multiplicaciones Ejemplo: y4z2 es ms fcil que y y y y z z, o incluso yyyyzz 13. Mdulo Algebra Pgina 13 PRODUCTOS NOTABLES Binomio al cuadrado Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer trmino, ms el doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (X + 3)2 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer trmino, menos el doble producto del primero por el segundo, ms el cuadrado segundo. (a b)2 = a2 2 a b + b2 (2x 3)2 = (2x)2 2 2x 3 + 3 2 = 4x2 12 x + 9 Suma por diferencia Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) (a b) = a2 b2 (2x + 5) (2x - 5) = (2 x)2 52 = 4x2 25 Binomio al cubo Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, ms el triple del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 x2 3 + 3 x 32 + 33 = = x 3 + 9x2 + 27x + 27 14. Mdulo Algebra Pgina 14 Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a b)3 = a3 3 a2 b + 3 a b2 b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 (2x)2 3 + 3 2x 32 - 33 = = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, ms el cuadrado del seguno, ms el cuadrado del tercero, ms el doble del primero por el segundo, ms el doble del primero por el tercero, ms el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c (x2 x + 1)2 = = (x2)2 + (x)2 + 12 +2 x2 (x) + 2 x2 1 + 2 (x) 1 = = x4 + x2 + 1 2x3 + 2x2 2x = = x4 2x3 + 3x2 2x + 1 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9) Diferencia de cubos a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2) 8x3 27 = (2x 3) (4x2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un trmino comn (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x2 + (2 + 3)x + 2 3 = = x2 + 5x + 6 15. Mdulo Algebra Pgina 15 FACTORIZACIN Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto de dos o ms polinomios de menor grado .este proceso se llama factorizacin y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples. Factorizacin por factor comn. Cuando en los diversos trminos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor comn, para lo cual, se escribe e inmediatamente, despus, dentro de un parntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los trminos del polinomio entre el factor comn. 2 + 2 = ( + 2) 10 + 30 = 10(1 + 3) Factorizacin de una diferencia de cuadros. Se sabe que: 2 2 = ( + )( ) ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados. 92 42 = (3 + 2)(3 2) Factorizacin de un cuadrado perfecto Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raz cuadrada al primero y tercer trmino del trinomio separndose estas races por medio del signo del segundo trmino y elevando este binomio al cuadrado: 92 12 + 42 = (3 2)(3 2) Factorizacin de una suma o diferencia de cubos Se sabe que: 3 +3 = ( + )(2 + 2)3 3 = ( )(2 + + 2) Factorizacin de cubos perfectos de binomios. ( + )3 = 3 + 32 + 32 + 3 : ( )3 = 3 32 + 32 3 16. Mdulo Algebra Pgina 16 FACTORIZACIN POR AGRUPAMIENTO. Algunas veces en un polinomio los trminos no contienen ningn factor comn, pero pueden ser separados en grupos de trminos con factor comn. Este mtodo consiste en formar grupos, los ms adecuados, para factorizar cada uno como ms convenga en cada caso y lograr finalmente la factorizacin total de la expresin. 2 + + + = ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) FACTORIZACIN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA + + 92 + 6 3 = (3 1)(3 + 3) 42 24 + 11 = (3 1)(3 + 3) ECUACIONES LINEALES Sabemos que una ecuacin lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) Ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuacin el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque el resultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin se debe: Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro. Luego despejar "x" reduciendo trminos semejantes. Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 17. Mdulo Algebra Pgina 17 35x = 182 b) Ecuaciones Fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin se debe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: C . ECUACIONES LITERALES Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. 18. Mdulo Algebra Pgina 18 SILABO I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATGICO UPEC MISIN MISIN - ESCUELA Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos cientficos y tecnolgicos; comprometida con la investigacin y la solucin de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integracin fronteriza La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la produccin, transformacin, investigacin y dinamizacin del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad UPEC - VISIN VISIN ESCUELA Ser una Universidad Politcnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional Liderar a nivel regional el proceso de formacin y lograr la excelencia acadmica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un slido apoyo basado en el profesionalismo y actualizacin de los docentes, en la investigacin, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los ltimos adelantos tecnolgicos, pedaggicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotacin racional de los recursos naturales, produccin limpia, principios de equidad, participacin, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberana alimentaria. REA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE- UNESCO SUB-REA CONOCIMIENTO CINE- UNESCO Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca. II. DATOS BSICOS DEL MDULO ALGEBRA: CDIGO NIVEL PRIMER O DOCENTE: Oscar Ren Lomas Reyes Ing. 19. Mdulo Algebra Pgina 19 TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected] [email protected] CRDITOS T 1 CRDITOS P 2 TOTAL CRDITOS 3 HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48 PRE-REQUISITOS:(Mdulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de ste mdulo) CDIGOS 1. Nivelacin Aprobada CO-REQUISITOS:(Mdulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a ste mdulo) CDIGOS 1. Fsica Aplicada 1 EJE DE FORMACIN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL REA DE FORMACIN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrcola LIBRO(S)BASE DEL MDULO:(Referencie con norma APA el libro, fsico o digital, disponible en la UPEC para estudio ) Haeussler, E. (2008). Matemticas para Administracin y Economa, Dcima segunda edicin: Mxico LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MDULO:(Referencie con norma APA el libro, fsico o digital, disponible en la UPEC para estudio) Snut S. y otros (2012). Matemticas para el anlisis econmico. Segunda edicin: Madrid Espaa. Escudero R. y otros. (2011). Matemticas Bsicas. Segunda edicin: Colombia 20. Mdulo Algebra Pgina 20 Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemticas. Tercera edicin: Colombia. Pullas G. (2011). Matemtica bsica. Primera edicin: Ecuador. SnchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edicin Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemtico.pdf DESCRIPCIN DEL MDULO:(Describe el aporte del mdulo a la formacin del perfil profesional, a la MISIN y VISIN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de ste mdulo). 100 palabras / 7 lneas El mdulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolucin de problemticas del entorno a travs del conocimiento matemtico, haciendo nfasis en estudio de casos, datos estadsticos, anlisis de datos, las matemticas relacionadas a los finanzas, la economa, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y as fortalecer el aprendizaje acadmico pedaggico de los educandos. III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA). Escaso razonamiento lgico matemtico Competencia GENRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO) Desarrollar el pensamiento lgico Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENRICA) Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural Competencia ESPECFICA - MDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLMICO y las COMPETENCIAS GENRICA y GLOBAL) Desarrollar el pensamiento lgico adecuadamente a travs del lenguaje y las estructuras matemticas para plantear y resolver problemas del entorno. 21. Mdulo Algebra Pgina 21 NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVO LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenieras El estudiante es capaz de: DIMENSIN (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIR para alcanzar el logro) 1. TERICO BSICO RECORDAR MLP Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. TERICO AVANZADO ENTENDER Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 3. PRCTICO BSICO APLICAR Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 4. PRCTICO AVANZADO ANALIZAR Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 5. TERICO PRCTICO BSICO EVALUAR Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 6. TERICO PRCTICO AVANZADO CREAR Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno. 1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO 22. Mdulo Algebra Pgina 22 HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIN GENERAL, as como la sensibilizacin y el conocimiento del propio conocimiento. Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los mdulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formacin de la COMPETENCIA ESPECFICA). Algebra, calculo, estadstica descriptiva, estadstica inferencial, investigacin de operaciones, matemticas discretas. 23. Mdulo Algebra Pgina 23 IV. METODOLOGA DE FORMACIN DEL PERFIL: LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) El estudiante ser capaz de CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS DIDCTICAS Estrategias, mtodos y tcnicas HORAS CLASE COGNITIVOS Qu TIENEque saber? PROCEDIMENTALES Saber cmo TIENE queaplicar el conocimiento? AFECTIVO MOTIVACIONALES Saber qu y cmo TIENEactuar axiolgicamente? T P Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. Sistema de Nmeros Reales Recta de nmeros Reales Operaciones Binarias Potenciacin y Radicacin Propiedades fundamentales Aplicaciones Utilizar organizadores grficos para identificar las clases de nmeros reales que existe Utilizar organizadores grficos para ubicar los elementos Relacionar en la uve heurstica Identificar los diferentes propiedades en potenciacin y radicacin Hacer sntesis grfica Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turstico Demostrar comprensin sobre los tipos de nmeros reales Disposicin para trabajar en equipo Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemtica bsica Aceptar opiniones diferentes Potenciar el clima positivo Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autnoma y eficiente DEMOSTRAR. 1. Caracterizar los nmeros reales para la demostracin 2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los nmeros reales. CONVERSACIN HEURISTICA 1. Determinacin del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, bsqueda individual de la solucin, socializar la solucin. 2 4 24. Mdulo Algebra Pgina 24 Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico. Expresiones algebraicas: nomenclatura y clasificacin. Polinomios clasificacin. Operaciones con Polinomios: adicin, resta, multiplicacin y divisin. Productos notables. Descomposicin Factorial Aplicar operaciones mentales Identificar los diferentes tipos polinomios Aplicar operaciones mentales en la resolucin de un sistema de ecuaciones. Identificar los diferentes tipos de productos notables Resolver ejercicios Aceptar opiniones divergentes Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo Potenciar la resolucin de problemas Valorar las participaciones de los dems Demostrar grado por lo que hacemos INDUCTIVO-DEDUCTIVO INDUCTIVO 1.Observacin 2. Experimentacin. 3. Informacin (oral, escrita, grfica, etc.) 4. Dramatizacin. 5. Resolucin de problemas. 6. comprobacin. 7. Asociacin (especial temporal y casual) 8. Abstraccin. 9. Generalizacin. 10. Resmenes. 11. Ejercicios de fijacin. CONVERSACIN HEURISTICA 1. Determinacin del 2 4 25. Mdulo Algebra Pgina 25 problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, bsqueda individual de la solucin, socializar la solucin. Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. Mximo comn divisor de polinomios. Mnimo comn mltiplos de polinomios. Operaciones con fracciones. Aplicaciones Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos Aplicar procesos de resolucin adecuados para resolver problemas. Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los mximos y los mnimos Distinguir los componentes de las expresiones racionales Utilizar una actitud crtica y reflexiva sobre el tema. Cooperar en el desarrollo del conocimiento. Demostrar confianza en el desarrollo del proceso. Cooperar con el grupo en la resolucin de funciones. RAZONAR 1. Determinar las premisas. 2. Encontrar la relacin de inferencia entre las premisas a travs del trmino medio. 3. Elaborar las conclusiones. RELACIONAR. 1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar. 2. Determinar los criterios de relacin entre los objetos 3 6 Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados Ecuaciones lineales, resolucin Sistemas lineales y clasificacin. Resolucin de Plantear ecuaciones lineales. Identificar los sistemas lneas y su clasificacin Elaborar modelos matemticos en la solucin de problemas de la carrera Implementar procesos de resolucin adecuados en Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolucin de problemas. Demostrar inters en el trabajo individual y de equipo Respetar las opiniones del grupo y fuera de l. Expresar coherencia en las soluciones EXPOSICION PROBLEMICA. 1. Determinar el problema. 2. Realizar el encuadre del problema. 3. Comunicar el conocimiento. 4. Formulacin de la hiptesis. 5. Determinar los 3 6 26. Mdulo Algebra Pgina 26 ecuaciones lineales. Aplicaciones problemas reales. propuestas valorando las iniciativas de cada participante. procedimientos para resolver problemas. 6. Encontrar solucin (fuentes, argumentos, bsqueda, contradicciones) Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados. Definicin y clasificacin. Ecuaciones reducibles a cuadrticas Resolucin de ecuaciones cuadrticas por factoreo. Resolucin por completacin de un trinomio cuadrado. Nombrar la definicin de ecuaciones cuadrticas Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadrticas Resolver ejercicios sobre expresiones cuadrticas Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos. Utilizar creatividad y capacidad de anlisis y sntesis respetando los criterios del grupo. Demostrar razonamiento crtico y reflexivo cooperando en la obtencin de resultados EXPOSICIN PROBLEMICA 1. Determinar el problema 2. Realizar el encuadre del problema 3. Comunicar el conocimiento (conferencia ,video ) 4. Formulacin de la hiptesis ( interaccin de las partes) 3 6 Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno. Frmula general para resolver ecuaciones cuadrticas. Aplicaciones de la ecuacin cuadrtica. Aplicar la frmula general para la resolucin de ecuaciones cuadrticas Distinguir los componentes de las expresiones racionales Valorar la creatividad de los dems Respetar el criterio del grupo. 1. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 2. Encontrar la solucin ( fuentes ,argumentos, bsqueda ,contradicciones) 3 6 27. Mdulo Algebra Pgina 27 V. PLANEACIN DE LA EVALUACIN DEL MDULO LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) FORMAS DE EVALUACIN DE LOGROS DE APRENDIZAJE indicar las polticas de evaluacin para ste mdulo segn los resultados esperados DIMENSIN (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIR para alcanzar el logro) INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA descripcin TCNICAS e INSTRUMENTOS de EVALUACIN 1 PARCIA L 2 PARCIA L 3 PARCIA L SUPLETORI O Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. FACTUAL. Interpretar informacin. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico. CONCEPTUAL. Interpretar la informacin. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Documento Documento Documento Chat-Foro 10% 10% 10% 10% 28. Mdulo Algebra Pgina 28 Pruebas Portafolio Reactivos Documento 50% 10% 100% Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% 100% Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados. CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseo. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 5% 5% 5% 5% 25% 5% Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno. FACTUAL. CONCEPTUAL. PROCESAL METACOGNITIVO Interpretar informacin. Modelar, simular sistemas complejos. Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participacin virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 5% 5% 5% 5% 25% 5% 100% ESCALA DE VALORACIN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable Aceptable 29. Mdulo Algebra Pgina 29 Nivel ponderado de aspiracin y alcance 8.0 a 8.9 Acreditable Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable Inaceptable 30. Mdulo Algebra Pgina 30 VI. GUA DE TRABAJO AUTNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE HORAS AUTNO MAS INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO T P Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. Consulte informacin en el internet y textos especializados los conceptos de nmeros reales, presentar en organizadores grficos. Prueba Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Diferencia los diferentes tipos de sistemas de nmeros reales. 2 4 Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico. Consulta sobre la definicin de un monomio y polinomio. Grado de un polinomio y su ordenamiento Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Identifica los tipos de polinomios 2 4 Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales 3 6 Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados Dar solucin a ecuaciones de primer grado Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Dar solucin a ecuaciones de primer grado 3 6 31. Mdulo Algebra Pgina 31 Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solucin de expresiones cuadrticas. Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solucin de expresiones cuadrticas 3 6 Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno. 3 6 PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los mdulos del Nivel ) TOTAL 16 32 CRDITOS 1 2 3 32. Mdulo Algebra Pgina 32 VII. Bibliografa. BSICA: (Disponible en la UPEC en fsico y digital REFENCIAR con normas APA) Haeussler, E. (2008). Matemticas para Administracin y Economa, Dcima segunda edicin: Mxico COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en fsico y digital - REFENCIAR con normas APA) Snut S. y otros (2012). Matemticas para el anlisis econmico. Segunda edicin: Madrid Espaa. Escudero R. y otros. (2011). Matemticas Bsicas. Segunda edicin: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemticas. Tercera edicin: Colombia. Pullas G. (2011). Matemtica bsica. Primera edicin: Ecuador. SnchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edicin Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemtico.pdf DOCENTES: Firma: Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing. ENTREGADO: Marzo 2011 33. Mdulo Algebra Pgina 33 34. Mdulo Algebra Pgina 34 35. Mdulo Algebra Pgina 35 36. Mdulo Algebra Pgina 36 37. Mdulo Algebra Pgina 37 38. Mdulo Algebra Pgina 38 39. Mdulo Algebra Pgina 39 40. Mdulo Algebra Pgina 40 41. Mdulo Algebra Pgina 41 42. Mdulo Algebra Pgina 42 43. Mdulo Algebra Pgina 43 44. Mdulo Algebra Pgina 44 45. Mdulo Algebra Pgina 45 46. Mdulo Algebra Pgina 46 47. Mdulo Algebra Pgina 47 48. Mdulo Algebra Pgina 48 49. Mdulo Algebra Pgina 49 50. Mdulo Algebra Pgina 50 51. Mdulo Algebra Pgina 51 52. Mdulo Algebra Pgina 52 53. Mdulo Algebra Pgina 53 54. Mdulo Algebra Pgina 54 55. Mdulo Algebra Pgina 55 56. Mdulo Algebra Pgina 56 57. Mdulo Algebra Pgina 57 58. Mdulo Algebra Pgina 58 59. Mdulo Algebra Pgina 59 60. Mdulo Algebra Pgina 60 61. Mdulo Algebra Pgina 61 62. Mdulo Algebra Pgina 62 63. Mdulo Algebra Pgina 63 64. Mdulo Algebra Pgina 64 65. Mdulo Algebra Pgina 65 66. Mdulo Algebra Pgina 66 67. Mdulo Algebra Pgina 67 68. Mdulo Algebra Pgina 68 69. Mdulo Algebra Pgina 69 70. Mdulo Algebra Pgina 70 71. Mdulo Algebra Pgina 71 72. Mdulo Algebra Pgina 72 73. Mdulo Algebra Pgina 73 74. Mdulo Algebra Pgina 74 75. Mdulo Algebra Pgina 75 76. Mdulo Algebra Pgina 76 77. Mdulo Algebra Pgina 77 78. Mdulo Algebra Pgina 78 79. Mdulo Algebra Pgina 79 80. Mdulo Algebra Pgina 80 81. Mdulo Algebra Pgina 81 82. Mdulo Algebra Pgina 82 83. Mdulo Algebra Pgina 83 84. Mdulo Algebra Pgina 84 85. Mdulo Algebra Pgina 85 86. Mdulo Algebra Pgina 86 87. Mdulo Algebra Pgina 87 88. Mdulo Algebra Pgina 88 89. Mdulo Algebra Pgina 89 90. Mdulo Algebra Pgina 90 91. Mdulo Algebra Pgina 91 92. Mdulo Algebra Pgina 92 93. Mdulo Algebra Pgina 93 94. Mdulo Algebra Pgina 94 95. Mdulo Algebra Pgina 95 96. Mdulo Algebra Pgina 96 97. Mdulo Algebra Pgina 97 98. Mdulo Algebra Pgina 98 99. Mdulo Algebra Pgina 99 100. Mdulo Algebra Pgina 100 101. Mdulo Algebra Pgina 101 102. Mdulo Algebra Pgina 102 103. Mdulo Algebra Pgina 103 104. Mdulo Algebra Pgina 104 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Mdulo ALGEBRA PRIMER NIVEL ADRIANA GUACHAGMIRA PARALELO: B Ing. Oscar Ren Lomas Reyes FRACCIONES ALGEBRAICAS 105. Mdulo Algebra Pgina 105 OPERACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son: Suma y Resta Multiplicacin Divisin SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificacin de Fracciones Algebraicas Se dice que una fraccin est reducida a sus trminos ms sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningn factor comn al numerador y denominador. Evidentemente una fraccin dada puede reducirse a sus trminos ms sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en comn. Ejemplo: Simplifica la siguiente fraccin CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Fraccin algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Fraccin propia e impropia Una fraccin simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es 106. Mdulo Algebra Pgina 106 mayor o igual que el grado del denominador. Fraccin compuesta Una fraccin compuesta es aquella que contiene una o ms fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. DEFINICION y SIGNOS DE UNA FRACCION DEFINICION Se llama fraccin algebraica al cociente indicado de dos polinomios P(x):Q(x). El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador . Ejemplo: SIGNOS Toda fraccin algebraicas tiene tres signos: Signo del Numerador, Signo del Denominador y Signo de la Fraccin Significados de una fraccin Significado 1.- Una fraccin indica una divisin. Por ejemplo, quiere decir 3 divido por 4 o bien 34. Cuando una fraccin significa divisin, el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. Significado 2.- Una fraccin indica una razn. Por ejemplo, quiere decir 3 a 4 o bien 3:4. Cuando una fraccin significa razn de dos cantidades, stas deben estar expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo la razn de 3 das a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la equivalencia de 2 semanas a 14 das eliminndose luego la unidad comn. Significado 3.- Una fraccin indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por ejemplo, puede expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas. Numerador o Denominador Nulo 107. Mdulo Algebra Pgina 107 Si el denominador de una fraccin es cero, el valor de dicha fraccin es nulo siempre que el denominador sea distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0. La fraccin para x = 5 vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado. Como la divisin por cero carece de sentido, una fraccin cuyo denominador sea cero es imposible. Por ejemplo 30 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, si x = 0 la fraccin 5x es imposible o bien 5/x carece de sentido. EJERCCICIOS http://fraccionesalgebraicas.blogspot.com/ 108. Mdulo Algebra Pgina 108 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Mdulo ALGEBRA PRIMER NIVEL ADRIANA GUACHAGMIRA PARALELO: B Ing. Oscar Ren Lomas Reyes Marzo 2013 Agosto 2013 109. Mdulo Algebra Pgina 109 ECUACIONES LINEALES Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales est formado por ecuaciones de primer grado en todas las incgnitas. Todas esas ecuaciones han de verificarse a la vez. Un sistema formado por dos ecuaciones y dos incgnitas, se puede escribir como sigue: 11 12 1 21 22 2 a x a y b a x a y b Cada una de estas ecuaciones es una recta. La solucin del sistema es el punto en el que se cortan las dos rectas. Puede pasar que las rectas no se corten. En ese caso el sistema no tiene solucin. 110. Mdulo Algebra Pgina 110 http://www.slideshare.net/chela5808/ec-lin-ejer002-presentation 111. Mdulo Algebra Pgina 111 112. Mdulo Algebra Pgina 112 113. Mdulo Algebra Pgina 113 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Mdulo ALGEBRA PRIMER NIVEL ADRIANA GUACHAGMIRA PARALELO: B Ing. Oscar Ren Lomas Reyes Marzo 2013 Agosto 2013 114. Mdulo Algebra Pgina 114 115. Mdulo Algebra Pgina 115 116. Mdulo Algebra Pgina 116 117. Mdulo Algebra Pgina 117 118. Mdulo Algebra Pgina 118 119. Mdulo Algebra Pgina 119 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Mdulo ALGEBRA PRIMER NIVEL ADRIANA GUACHAGMIRA PARALELO: B Ing. Oscar Ren Lomas Reyes Marzo 2013 Agosto 2013 120. Mdulo Algebra Pgina 120 Ejercicios ecuaciones cuadrticas La ecuacin cuadrtica o tambin conocida como la ecuacin de segundo grado es aquella ecuacin que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero. Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuacin lineal o de primer orden) Primer ejemplo, 2x2 x 1 = 0 Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1 Luego se procede a reemplazarlos en la frmula Ambas soluciones son reales y diferentes entre s. Note que , en este ejemplo en particular Segundo ejemplo, 9x2 6x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1 121. Mdulo Algebra Pgina 121 Ejercicios 122. Mdulo Algebra Pgina 122 Nmero de soluciones Solucionar una ecuacin de segundo grado consiste en averiguar qu valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuacin en una identidad. Llamamos discriminante , en funcin del signo del discriminante conoceremos el nmero de soluciones de la ecuacin, as: Si el discriminante es menor que 0 la ecuacin no tiene solucin. Si el discriminante es 0 hay una solucin. Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones. 123. Mdulo Algebra Pgina 123 124. Mdulo Algebra Pgina 124 125. Mdulo Algebra Pgina 125 126. Mdulo Algebra Pgina 126 UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Mdulo ALGEBRA PRIMER NIVEL ADRIANA GUACHAGMIRA PARALELO: B Ing. Oscar Ren Lomas Reyes Marzo 2013 Agosto 2013 127. Mdulo Algebra Pgina 127 Graficas de ecuaciones cuadrticas 128. Mdulo Algebra Pgina 128 129. Mdulo Algebra Pgina 129 130. Mdulo Algebra Pgina 130 131. Mdulo Algebra Pgina 131 132. Mdulo Algebra Pgina 132 133. Mdulo Algebra Pgina 133 134. Mdulo Algebra Pgina 134 135. Mdulo Algebra Pgina 135 136. Mdulo Algebra Pgina 136 137. Mdulo Algebra Pgina 137 138. Mdulo Algebra Pgina 138 139. Mdulo Algebra Pgina 139 140. Mdulo Algebra Pgina 140 141. Mdulo Algebra Pgina 141 142. Mdulo Algebra Pgina 142 143. Mdulo Algebra Pgina 143 144. Mdulo Algebra Pgina 144 145. Mdulo Algebra Pgina 145 146. Mdulo Algebra Pgina 146 147. Mdulo Algebra Pgina 147 148. Mdulo Algebra Pgina 148