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ALGEBRAPORTAFOLIO DE ALGEBRA
Xiomara Sepúlveda Cayambe
13UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
PORTAFOLIO
DE ALGEB
RA
TEORIA
Contenido
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES........................................................................7
Conjunto de los números reales........................................................................................7
Conjunto de los números naturales...................................................................................7
Conjunto de los números enteros.....................................................................................7
Conjunto de los números racionales.................................................................................7
Conjunto de los números reales........................................................................................8
CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES.........................................................8
PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES........................................................................9
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL..................................................................10
Operación inversa...........................................................................................................12
POTENCIACION Y RADICACION......................................................................................12
POTENCIACION.............................................................................................................12
Propiedades de la potenciación...................................................................................13
Potencia de potencia...................................................................................................13
Multiplicación de potencias de igual base...................................................................13
División de potencias de igual base............................................................................13
Propiedad distributiva......................................................................................................13
Propiedad conmutativa....................................................................................................13
Potencia de exponente 0.................................................................................................13
Potencia de exponente 1.................................................................................................13
Potencia de base 10........................................................................................................14
RADICACIÓN......................................................................................................................14
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.14
SUMA:.............................................................................................................................14
RESTA:............................................................................................................................16
MULTIPLICACIÓN:.........................................................................................................17
DIVISION:........................................................................................................................17
División entre fracciones..............................................................................................17
División de polinomios entre monomios......................................................................18
División entre polinomios.............................................................................................19
PRODUCTOS NOTABLES.................................................................................................19
Cubo de una suma..........................................................................................................22
Cubo de una diferencia...................................................................................................22
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS.................................................................23
Aplicaciones del m.c.m....................................................................................................25
1. Reducir fracciones a común denominador..............................................................25
2. Resolver problemas de la vida práctica...................................................................25
Aplicaciones del m.c.d.....................................................................................................26
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible...........................................................26
2. Resolver problemas de la vida práctica...................................................................26
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN...................27
Descripción:.....................................................................................................................27
Ecuaciones de primer grado...............................................................................................27
Ecuaciones literales de primer grado..................................................................................28
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)............................................29
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita...............................................................29
Solución por complementación de cuadrados................................................................31
Solución por la fórmula general.......................................................................................34
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES...............................35
Inverso aditivo.................................................................................................................35
Propiedad del doble negativo..........................................................................................35
Operaciones con los números Reales............................................................................36
1. Sumar números reales.............................................................................................36
Restar números reales.................................................................................................37
Multiplicar números reales...........................................................................................37
Ecuaciones lineales de primer grado..................................................................................39
a) ecuaciones lineales propiamente tales.......................................................................39
b) ecuaciones fraccionarias.............................................................................................40
c) ecuaciones literales.................................................................................................40
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales..............................................43
Método de reducción.......................................................................................................43
Ejemplo........................................................................................................................43
Ejemplo........................................................................................................................45
Método de sustitución......................................................................................................45
Ejemplo........................................................................................................................46
Método de Gauss............................................................................................................47
Ejemplo........................................................................................................................47
EXPRESIONES ALGEBRAICAS........................................................................................49
EXPRESIÓN ALGEBRAICA............................................................................................49
TÉRMINO........................................................................................................................49
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO.........................................................................49
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA........................................49
CLASES DE TÉRMINOS................................................................................................49
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS..........................................................................................49
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS......................................................................................49
TÉRMINOS SEMEJANTES.............................................................................................49
10 Ejemplos de Términos Semejantes:.......................................................................49
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA................................................50
MONOMIO.......................................................................................................................50
BINOMIO.........................................................................................................................50
TRINOMIO.......................................................................................................................50
POLINOMIO....................................................................................................................51
GRADO DE UN MONOMIOS.............................................................................................51
GRADO DE UN POLINOMIO.............................................................................................51
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL......................................................................................52
Factores...........................................................................................................................52
Métodos para la factorización de polinomios..................................................................52
Binomios......................................................................................................................52
Trinomios.....................................................................................................................52
Polinomios...................................................................................................................52
Factorizar un monomio................................................................................................52
Factorizar un polinomio................................................................................................53
Caso I: Factor común..........................................................................................................53
Factor común...................................................................................................................53
Factor común de un polinomio........................................................................................54
Factor común por agrupación de términos......................................................................54
Trinomio cuadrado perfecto.............................................................................................55
Raíz cuadrada de un monomio.......................................................................................55
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto.............................................55
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto...................................................56
Trinomios de la forma x2 + px + q...............................................................................56
Regla práctica para factorizar el trinomio....................................................................56
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1).........................................................57
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios.............................................................58
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES...........................................................................60
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.....................................................61
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS...................................................................62
ECUACIONES CUADRATICAS..........................................................................................63
Definicion.........................................................................................................................63
Factorización:..................................................................................................................64
Raíz cuadrada:................................................................................................................64
Completando el cuadrado:..............................................................................................65
Propiedades de la suma de números enteros.............................................................65
Propiedades de la resta de números enteros.....................................................................66
Multiplicación de números enteros.....................................................................................67
Regla de los signos......................................................................................................67
Propiedades de la multiplicación de números enteros.......................................................67
Propiedades de la división de números enteros.................................................................68
Potencia de números enteros.............................................................................................69
Propiedades:...................................................................................................................69
Potencias de exponente entero negativo........................................................................70
Raíz cuadrada de un número entero..................................................................................70
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO.................70
Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado....................72
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar...............................................73
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS...................................................75
DEPRECIACION.................................................................................................................77
AMORTIZACIÓN.................................................................................................................77
SISTEMA DE AMORTIZACION......................................................................................77
AMORTIZACION GRADUAL...........................................................................................78
CALCULO DE LOS VALORES DE LAS AMOTIZACIONES...........................................78
OFERTA..............................................................................................................................78
CURVA DE LA OFERTA.................................................................................................78
DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE OFERTA.........................................................78
DEMANDA..........................................................................................................................79
DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE DEMANDA......................................................79
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Conjunto de los números realesEl conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas,
se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturalesEl conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se
presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas
numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enterosEl conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en
N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionalesEl conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera
Q={mn
, conm ,n enteros y n ≠ 0}La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Conjunto de los números realesSe define como. ℜ= ∪En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación
(·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también axiomas de campo).
(Peano, 1889)
CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES
En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el
conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el
problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado
sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2.
Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ÎQ que verifique esta última ecuación. En general,
una ecuación de la forma xn = a, con a ÎQ y n ÎN, carecerá (excepto casos particulares) de
solución. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las
anteriores tengan solución.
El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números
reales que no admiten la representación racional.
Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), p , , etc.
En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por
ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son números
racionales.
1.2.5. Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q È Q*.
En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de
campo).
PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los
números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales
llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el
conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le
corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único
número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la
recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir
distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se
considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto
de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
Se asocia al origen el número 0,
Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del
origen en la dirección positiva,
Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del
origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le
corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe
el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales. También
se la conoce como eje coordenado o eje real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados
dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al númeroa está a la
izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del que
representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.
La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si el
número real a es menor que el número real b (a < b).([email protected], s.f.)
Operación inversa
Sea A un conjunto con una operación binaria *:
Por lo que cabe la ecuación:
Pero si se da el caso de que:
Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite elementos
simétricos, se define: (S.R)
POTENCIACION Y RADICACION
POTENCIACION
La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo. Es muy
práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente es la
cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y obtenemos
125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces es una
potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.
En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a multiplicar por sí
mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces que se va a multiplicar al ocho por
sí mismo).
De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:
85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768
Elevar a una potencia el número 10
Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.
Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:
104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000
Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros.
Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)...
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la
multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la
resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributivaLa potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con
respecto a la suma ni a la resta.
Propiedad conmutativaLa propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que
base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
Potencia de exponente 0Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
Potencia de exponente 1Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
Potencia de base 10Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el
exponente.
RADICACIÓN
la radicación de la misma manera se puede calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar
un número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:
Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al exponente dos), pero
estas no son las únicas que existen, como podrás ver en cursos posteriores.
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
SUMA:Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo
grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si
falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el
segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para
que en cada columna queden los términos de igual grado.
EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo
tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el
resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a
cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante.
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que
tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos
polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque
en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al
lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2
RESTA:EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
-
5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se
resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el
"opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la
suma.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2
MULTIPLICACIÓN:¿Cómo se multiplican los polinomios?
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la
Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas
veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en
las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que
había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión con cada
término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =
Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era en
realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo tenemos
para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay, queda -15. Y
como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x
con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de
igual grado". (ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
DIVISION:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las
reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de
la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división
(esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero
(nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se
realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el
monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir
son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden
ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los
términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer
miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial o
resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término
no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término que se
encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los
valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente
y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por
paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy
utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se
muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el
doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a
+ b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos
el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a –
b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza
la como a2 – b2
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a + b)3.
Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión
algebraica que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo
a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados
a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos
a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia
fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como sub-problemas en
operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como cálculo prominente en
factorización de polinomios y en integración simbólica, además de otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del algoritmo de
Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es fácil de entender y
de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra computacional, este algoritmo
tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos
mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.
Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.
___________________________________________________________
Ejercicio 112.
1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab
Factorizando las expresiones dadas:
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplicó el Caso I de Factorización.
–> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplicó el Caso I de Factorización.
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a
por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a <– Solución.
_________________________________________________________
2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2
Factorizando las expresiones dadas:
–> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)
–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y
por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <– Solución.
_________________________________________________________
3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3
Factorizando las expresiones dadas:
–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2
Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2
Aplicaciones del m.c.m.
1. Reducir fracciones a común denominador.
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El m.c.m
(12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador.
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz
de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12
segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es
así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los dos?
Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea el
más cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).
Factorizamos.
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y
calculamos el mínimo común múltiplo.
m.c.m. (8, 12) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24
segundos.
Aplicaciones del m.c.d.
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el M.C.D. (360, 336).
Para ello factorizamos el numerador y el denominador.
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360 : 24 = 15
336 336 : 24 14
y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La
cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las
baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible?
¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más
grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que
romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN
Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) y
cuyo dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una
incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan
ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de
la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los
demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se
ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4
x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
Ecuaciones literales de primer grado
Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de la
incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y como
literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para
resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del
ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la
ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y
trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2 + 2x + 1 – x2 = 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnitaSabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se
trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita,
haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la
solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de
segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque
pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que
corresponda en cada caso particular.
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es
cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que
convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que
sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
Solución por complementación de cuadrados
Se llama método de la complementación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado
geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas
que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la
suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número
debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma
de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 =
16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró
obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2 + 6x − 16 = 0
Hacemos
x2 + 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una
expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real
del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:
x2 + 6x = 16
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
Factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2 = 25
La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y
así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5
Entonces
x = 5 − 3
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Solución por la fórmula general Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes
de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las
letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier
ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que
ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números
Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en direcciones
opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser
positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.
Propiedad del doble negativoPara cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor absoluto de
0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo, es el
mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo (opuesto9 del
número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos
será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo
negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número
con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo
de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más
pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el
número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la
regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique
sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus
valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número
impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números
negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus
valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores
absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la
fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.
Ejemplos
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que
a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
x+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20
con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a
juanita 100 millones..
Ecuaciones lineales de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas
y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son
llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se
presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas
es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común
múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de
reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas
hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación
por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo)
es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar
ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones
algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la
ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una
ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras
ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al
miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la
ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos
una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es .
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello
tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la
transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema
equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como
se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los
coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento
cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz
triangular superior:
Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener :
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera ecuación (
), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que resolvemos para
obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( ). Esto nos da una
ecuación en :
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no
separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el
coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores
literales.
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el término
fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e
irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x)
3. 5xy es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10.378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio
es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la
letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:
9.5 ¿Cuál es el grado de: ?
9.6 ¿Cuál es el grado de: ?
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos
factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal
manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números
complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos
de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por
la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la
unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas.
Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a +
b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Caso I: Factor común
Factor común.Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un
paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente
entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge
el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en los dos
términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
Factor común de un polinomioa) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como
coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de
dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego se extrae
el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor común y,
asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en un paréntesis
precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo
resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raíz
cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raiz
cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente numérico
y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto
de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer
término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo
término equivale al doble del producto de éstas raíces cuadradas.
Ejemplo:
a) a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque:
Raíz cuadrada de a2 = a
Raíz cuadrada de 4b2 = 2b
Doble producto de estas raíces 2 x a x 2b = 4ab
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el
signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se
multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que:
raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab
Trinomios de la forma x2 + px + q
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la
forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q
Por tanto:
Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x +
a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto
sea q
Regla práctica para factorizar el trinomio
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es decir, la raíz
cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el
segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do término
del trinomio y el signo del tercer término del trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos números cuya
suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto
del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor
absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el primer término del primer
binomio, y el menor, es el segundo término del segundo binomio.
Ejemplos:
Descomponer en factores:
a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20
b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12
c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)
Observemos que el producto:
(ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db
= acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd).
Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, será posible factorizar
¿Cómo determinar estos números?
a) Se selecciona una descomposición factorial de m y otra de q:
m = ac y q = bd
b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos:
c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso contrario se
ensaya con otra combinación de factores para m y para q
Ejemplos:
a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4
Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4)
Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones.
Por ejemplo: 2 = 1 · 2, 12 = 6 · 2, 12 = 1 · 12, 12 = 4 · 3, 12 = 2 · 6
También puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo:
2 = (-1) · (-2) , 12 = (-6) · (-2)
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios
Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo entre números
enteros:
Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36.
Primero había que "factorizar" o descomponer a los números. Así:
Luego, en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los
números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y había que ponerlos con el
mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un número o en el otro.
Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos
m.c.m. = 23.32.5
Porque:
Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que ponerlos
todos.
El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 está tres
veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está menos veces (dos veces).
En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la
dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de veces que
aparece en la descomposición de un número, en la columna de la derecha).
El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 está dos
veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el m.c.m. al 3 hay que
ponerlo elevado a la potencia segunda: 32.
El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una sola vez, lo que
significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay que poner
el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente (o con el 1), porque obviamente es el mayor
exponente con que aparece (porque otro 5 no hay).
Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES
Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se resuelven las sumas
y las restas cuando tenemos fracciones.
En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual
denominador, y cuando tienen distintos denominadores.
En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es
una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador será la
suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas.
En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos.
Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual será el
denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la suma algebraica de
números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que hemos determinado, por cada uno de
los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo
multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está.
El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y después,
expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos denominadores serán el
mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual se consigue transformar una suma
algebraica de fracciones de distinto denominador en una suma algebraica de igual denominador,
que se resuelve como ya hemos visto.
Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas
fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual denominador, se mantiene el
denominador y se suman o restan sus denominadores según sea el caso.
Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestión se complica un
poco. Primero hay que determinar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios que están
en el denominador, y después debemos optar por el camino de dividir este m.c.m. por cada
denominador para después multiplicar por los numeradores, o bien transformar esta suma de
distinto denominador en una de igual denominador usando fracciones equivalentes, si quieres
liarte con divisiones y multiplicaciones de polinomios.
Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m., para lo cual hay que factorar todos los
denominadores. El m.c.m. estará formado por todos los factores que hemos hallado, pero si
alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algún factor que se repite aparece con distinto
exponente, debe ir con el mayor de los exponentes.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí.
Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios que
están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican entre sí los polinomios que
están en los denominadores.
En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) Factoramos todos los polinomios.
2) Simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre los
numeradores y los denominadores.
Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda. (Traducción: se invierte la
segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la división en una multiplicación, y se
resuelve el ejercicio como un producto).
Desarrollando por el segundo método.
Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay que
invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.
Formula:
En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) Factoramos todos los polinomios.
2) Invertimos la segunda fracción y simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.
ECUACIONES CUADRATICAS
Definicion
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones
polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas
como ecuaciones cuadráticas.
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y ,
c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el
término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El
método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática
que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz
cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el
lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero
cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos
1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este
método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :
Ejemplos
1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8
Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando
conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + ?
Regla para hallar el último término de x 2 + bx +?: El último término de un trinomio cuadrado
perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el
trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2 + bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado
perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado
debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos
1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna:
a + b
3 + (−5)
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
− (−5) = 5
Propiedades de la resta de números enteros
Interna:
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor
absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación
de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
a · b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:
(−2): 6
2. No es Conmutativo:
a: b ≠ b : a
6: (−2) ≠ (−2): 6
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor
absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación
de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Propiedades:
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
am : a n = am - n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
an · b n = (a · b) n
(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216
an : b n = (a : b) n
(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
Raíz cuadrada de un número entero
Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.
El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado
número. (ditutor)
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO
CUADRADO
En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la expresión
original en un trinomio cuadrado perfecto.
Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en realidad
estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión básica en nada.
La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión básica que
necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un trinomio cuadrado perfecto. La
parte negativa queda agregada al final de todo.
Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado perfecto.
Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el trinomio cuadrado
perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos expresiones cuadráticas que se
agregaron.
Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a Factorizar, como tal, y deja la expresión original
totalmente Factorizando, mediante la completación de un trinomio cuadrado perfecto y de llevar
todo a una diferencia de cuadrados.
EJERCICIOS
2
X + 6X + 9 es un T.C.P.
si es un TCP factorizado:
1°) X y 9 son cuadrados por lo tanto:
2°) doble producto: 2 x Xx 3 = 6X
2
3°) factorando: X + 6X + 9 = (X + 3)
Para resolver una ecuación de segundo grado por la competición de cuadrados se siguen los
siguientes pasos:
1) se forma la mitad del coeficiente de X: b., luego se eleva al
2 2
Cuadrado b
2
2) se adiciona a ambos lados de la igualdad
3) se factoriza
4) se hallan las raíces (X1 , X2 )
Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado
Demostremos el método de completación del cuadrado con un ejemplo.
Ejemplo 3
Resolver la siguiente ecuación cuadrática .
Solución
El método de completación de cuadrados es como se muestra a continuación.
1. Reescribir como
2. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto al lado derecho necesitamos añadir la
constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.
3. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar el lado derecho de la ecuación.
4. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.
Respuesta y
Si el coeficiente del término no es uno, debemos dividir toda la expresión por este número antes
de completar el cuadrado.
Ejemplo 4
Resolver la siguiente ecuación cuadrática .
Solución:
1. Dividir todos los términos por el coeficiente del término .
2. Reescribir como
1. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho necesitamos añadir la
constante
. Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
5. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.
Respuesta
y
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar
Una ecuación en forma estándar se escribe como . Para resolver una ecuación
en esta forma primero movemos el término constante al lado derecho de la ecuación.
Ejemplo 5
Resolver la siguiente ecuación cuadrática .
Solución
El método de complementación de cuadrados se aplica como sigue:
1. Mover la constante al otro lado de la ecuación.
2. Reescribir como
3. Sumar la constante a ambos lados de la ecuación
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
5. Sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
Respuesta
y
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la
ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de
chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras
como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las
funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de
objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los
objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en
alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño.
Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican
juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si
ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación
cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces
usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de
la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la
gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente
suspendido.
Ejemplos:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 (
- 6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0
= 0
Verificar x=2
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -
12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
2 x 2 - 5 x - 3 = 0
Paso 2: Factorizar
2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-1/2
2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( -
1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3
= - 5 2 - 5 2 =- 5 2
Verificar x=3
2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 - 3 = 5
(3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 - 3 = 15
15= 15
DEPRECIACION
La depreciación en línea recta es uno de los métodos de depreciación mas utilizados,
principalmente por su sencillez, por la facilidad de implementación.
La depreciación en línea recta supone una depreciación constante, una alícuota periódica de
depreciación invariable
En este método de depreciación se supone que el activo sufre un desgaste constante con el paso
del tiempo, lo que no siempre se ajusta a la realidad, toda vez que hay activos que en la medida
en que se desgastan, el nivel de desgaste se incrementa, es creciente.
Pérdida de valor experimentada por los elementos de archivo fijo o inmovilizado de la empresa o
de cualquier otra institución al prestar la función que le es propia, por el mero transcurso del
tiempo o a causa del progreso tecnológico. Mientras que, en general, los bienes de archivos
circulante se agotan con un solo acto de consumo, del mismo modo que los bienes de consumo
corriente, los bienes de activo fijo o inmovilizado se van consumiendo poco a poco, esto es, se
deprecian, al igual que ocurre con los bienes de consumo duradero. Los principales tipod de
depreciación.
AMORTIZACIÓN
Es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por medio de pagos periódicos.
El éxito en el desarrollo de un esquema de amortización dependerá exclusivamente del buen
criterio del financista para interpretar las condiciones económicas y desarrollo futuro de su
comunidad.
SISTEMA DE AMORTIZACION En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas y, dentro de cada uno, hay
numerosas variantes que hacen prácticamente inagotable este tema. Todos estos modelos
aplicaciones de las anualidades.
AMORTIZACION GRADUALConsiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos. En este tipo de
amortización, los pagos son iguales y se hacen en intervalo iguales.
CALCULO DE LOS VALORES DE LAS AMOTIZACIONESEn la amortización de una deuda cada pago o anualidad-que se entrega al acreedor- sirve para
pagar los intereses y reducir el importe de la deuda
OFERTA
Es la cantidad de productos o servicios ofrecidos en el mercado. En la oferta ante un aumento del
precio, aumenta la cantidad ofrecida.
CURVA DE LA OFERTA
En la curva puede verse como cuando el precio es muy bajo, ya no es rentable ofrecer ese
producto o servicio es producto o servicio en el mercado, por lo tanto la cantidad ofrecida es 0.
DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE OFERTASe producen modificaciones en diferentes al precio. (Incentivos a la fabricación de un determinado
producto) se produce un desplazamiento de la curva en sí (y no sobre la curva). Es decir que al
mismo precio habrá más o menos interesados en ofertar. (Mayor o menor cantidad ofrecida en el
mercado).
DEMANDA
Es la cantidad de bienes o servicios que los compradores intentan adquirir en el mercado
Por medio de la ley de la demando, se determina que al subir el precio de un bien o servicio, la
demanda de este disminuye (a diferencia de los cambios en otros factores que determina un
corrimiento de la curva en sí).
DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE DEMANDASi se producen modificaciones diferentes al precio 8los habitos de consumo al ponerse de moda
un producto o dejarse de utilizar debido a la aparición de otro) se produce un desplazamiento de la
curva de demanda. Esto significa que a un mismo precio habrá mas o menos interesado en
demandar ese bien o producto.
La demanda es elástica cuando ante una variación del precio, la variación en la cantidad
demandada es (en porcentaje) mayor que la del precio. Por ejemplo en los bienes de lujo suele
pasar que ante un aumento de precio la cantidad demandada baja mucho más porcentualmente.
La demanda es inelástica, cuando ante variaciones del precio la cantidad demanda varia (en
porcentaje) menos que la del precio. Por ejemplo: en algunos alimentos básicos, por más que
haya un aumento importante de su precio, la cantidad demandada no varía tanto.
APUNTES
DE
ALGEBRA
EVALUACIONES
EVALUACIONES
SEGUNDO PARCIAL
PRIMER PARCIAL
TRABAJOS AUTONOMO
S
“UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI”
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
DEPRECIACIÓN
ALGEBRA
AUTOR:
Xiomara Sepúlveda Cayambe
CURSO:
Primer nivel “A”
CATEDRÁTICO
ING. OSCAR LOMAS
“UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI”
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
GRAFICAS
ALGEBRA
AUTOR:
Xiomara Sepúlveda Cayambe
CURSO:
Primer nivel “A”
CATEDRÁTICO
ING. OSCAR LOMAS
“UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI”
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
Tabla de amortización
AUTOR:
Xiomara Sepúlveda Cayambe
CURSO:
Primer nivel “A”
CATEDRÁTICO
Ing. Oscar Lomas
En el área financiera, amortización significa saldar gradualmente una deuda por medio de una
serie de pagos, que, generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de tiempos
iguales.
Aunque esta igualdad de pagos y de periodicidad es lo más común, también se llevan a cabo
operaciones con algunas variantes.
Los problemas de amortización de deudas representan la aplicación práctica del concepto de
anualidad.
Fórmula
C= Monto
R= Pago periódico
n= Plazo en años
P= Período en años
TABLA DE AMORTIZACIÓN
Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a reducir el
importe de la deuda. Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla de
amortización que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortización y
el saldo.
La tabla de amortización
Es un despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta la extinción de la deuda.
Se refiere a una tabulación ordenada de los diferentes valores en una amortización.
Se realiza con la finalidad de visualizar lo que sucede con la deuda al comienzo de cada período,
intereses por pagar en cada período, parte de la deuda que se amortiza con cada acta en cada
período, y el total de la deuda amortizada hasta el final de cada período.
Una vez que conocemos todos los datos del problema de amortización (saldo de la deuda, valor
del pago regular, tasa de interés y número de periodos), construimos la tabla con el saldo inicial de
la deuda, desglosamos el pago regular en intereses y pago del principal, deducimos este último del
saldo de la deuda en el período anterior, repitiéndose esta mecánica hasta el último período de
pago.
Si los cálculos son correctos, veremos que al principio el pago corresponde en mayor medida a
intereses, mientras que al final el grueso del pago regular es aplicable a la disminución del
principal.
En el último período, el principal de la deuda deber ser cero.
Preparación de la tabla de amortización. Para poder analizar el contenido de una tabla
primero se debe tomar en consideración el modo de pago, con el cuál se va a amortizar,
bien sea, mensual, trimestral o semestral. Por consiguiente, los valores de los pagos,
interés sobre saldo, y la reducción en el saldo no pagado serán calculados de acuerdo al
tiempo.
Los datos de la tabla son:
1. Períodos de interés (Fecha de expedición).
2. Fecha de pago. (Columna A).
3 .Pago (bien sea mensual, semestral o trimestral) (Columna B).
4. Interés sobre saldo (Columna C).
5. Reducción en el saldo no pagado o amortización (Columna D).
6. Saldo no pagado o capital insoluto (Columna E)
La tasa de interés que se utilice en la tabla tiene una importancia especial; esta tasa debe coincidir
con el período entre fechas de pago. Por lo tanto, si los pagos se realizaran de manera mensual
(por ejemplo) la columna B de gastos por intereses deberá estar basada en la tasa de interés
mensual y así sucesivamente.
Lo que se puede observar en las tablas:
1-. La suma de los pagos anuales es igual a la suma de los intereses más la suma de las
amortizaciones.
2-. El saldo, como ya se había visto, es igual al saldo anterior más los intereses menos el pago.
Por ejemplo, el saldo ($ 623.57) del fin del semestre 3 es igual al saldo anterior $ (720.49) más los
intereses del periodo ($ 14.41) menos el pago (111.33) = $ 623.57.
3-. La amortización es igual al pago menos los intereses. En cada periodo subsecuente, cada vez
va siendo mayor la parte del pago que se aplica a la amortización, ya que al mismo tiempo
también van disminuyendo tanto el saldo como los intereses correspondientes.
4-. Se puede ver claramente cuánto es lo que resta por pagar al final de cada periodo: el saldo.
5-. El valor del último pago en ocasiones se tiene que ajustar para que coincida exactamente al
saldo de la deuda.
Aunque el ajuste sea sólo en centavos, en casi todas las operaciones es necesario hacerlo debido
a pequeñas diferencias ocasionadas por redondeo.
Trabajo de amortización
amortizacion.xlsx
“UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI”
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL
AGROPECUARIO
ALGEBRA
AUTOR:
Xiomara Sepúlveda Cayambe
CURSO:
Primer nivel “A”
CATEDRÁTICO
Ing. Oscar Lomas
“Universidad Politécnica Estatal del Carchi”
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo de algebra
ALGEBRA
AUTOR:
Xiomara Sepúlveda Cayambe
Nivel:
Primero “A”
FRACCIONES ALGEBRAICAS............................................................................................3
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN......................................................................................3
Fracción algebraica simple............................................................................................3
Fracción propia e impropia............................................................................................3
Fracción compuesta.......................................................................................................3
Simplificación de Fracciones Algebraicas.........................................................................4
Suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo denominador...............................5
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador..................................5
EJEMPLOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS..................................................................6
Operaciones con fracciones algebraicas..........................................................................6
División de fracciones algebraicas................................................................................6
Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas..................................................................8
LINKOGRAFIA....................................................................................................................11
FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓNSe llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/bes una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b (divisor).
Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples:
.
Fracción propia e impropia
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Por ejemplo, son fracciones propias, mientras
Que son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse
como la suma de un polinomio y una fracción propia.
Fracción compuesta
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas.
La fracción puede tener tres significados.
1. División.- Cuando el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
2. Razón.- Cuando se comparan dos cantidades de la misma especie.
3. Parte de un todo.- Cuando dividimos una unidad y tomamos una parte determinada de ella.
Simplificación de Fracciones Algebraicas.
Una de las razones por las cuales se llevan a cabo las aplicaciones más importantes de la factorización o descomposición en factores de una expresión algebraica, se debe a que nos ayuda a realizar la simplificación y operaciones con fracciones algebraicas.
Así mismo, existe una propiedad fundamental que se debe tener en cuenta para hacer cualquier operación o simplificación de una fracción y es la siguiente:
Si al numerador y al denominador de una fracción se les multiplica o divide por la misma cantidad, excepto el cero, no cambia el valor de la fracción y nos da como resultado las fracciones equivalentes.
Ejemplo:
Si tenemos la fracción , y queremos una fracción equivalente. Podemos multiplicar
por dos el denominador y el numerador
Suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo denominador
Si las fracciones tienen el mismo denominador, la suma o diferencia es otra fracción cuyo numerador es la suma o la diferencia de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Si no tienen el mismo denominador, antes de sumar o restar debemos hallar el denominador común que será el m.c.m. de los denominadores.
Esto supone una operación previa que es la factorización de los denominadores de las fracciones que queremos sumar o restar, y después tomar los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Así, para hallar el numerador de cada fracción se divide el m.c.m. por su denominador y el cociente obtenido se multiplica por el correspondiente numerador.
Una vez calculado el denominador común, lo dividimos entre cada uno de los denominadores, multiplicando el resultado por el numerador de la fracción algebraica correspondiente.
Realizada esta operación, sólo nos queda sumar los numeradores:
EJEMPLOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Operaciones con fracciones algebraicas
División de fracciones algebraicas
Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas
2Suma las fracciones algebraicas
3Resta las fracciones algebraicas
4Multiplica las fracciones algebraicas
1
2
Opera
LINKOGRAFIA
PUEBLA. (2013). Obtenido de http://www.iupuebla.com/Sb/sbt912.htm
SALVADOR. (2013). EPL. Obtenido de
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIV/4_4_multip.htm
VITUTOR. (2013). VITUTUR. Obtenido de http://www.vitutor.net/1/38.html
ALGEBRA
PORTAFOLIO DE ALGEBRA
Ecuación lineal..............................................................................................................2
METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES............................................2
Método de reducción...................................................................................................3
Ejemplo.....................................................................................................................3
Método de igualación...................................................................................................5
Ejemplo.....................................................................................................................5
Método de sustitución..................................................................................................6
Ejemplo.....................................................................................................................6
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES...........................................................................................8
EJEMPLOS..................................................................................................................9
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Método Gráfico - Ejercicios Resueltos..............10
Ecuación lineal
Ecuación en la que la mayor potencia de cualquier variable es uno. La forma general de una ecuación lineal es y = mx + b, que es una línea recta en una gráfica de coordenadas Cartesianas. El parámetro m es la pendiente de la línea y b es el punto de intersección en y.
METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema difícil en uno más fácil.
A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utiliza un método (el de reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utiliza otro método (el de igualación, por ejemplo).
Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas.
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados indeterminados.
Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:
El método de la matriz inversa y la regla de Carme solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones.
Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales.
Hay tres tipos de operaciones elementales:
I. Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L.
II. Reemplazar una ecuación del S.E.L. por un múltiplo escalar de esta. (Se multiplica a ambos lados de una ecuación por un número diferente de cero).
III. Reemplazo de una ecuación del S.E.L. por la suma de esta.
En el proceso de pasar de un sistema equivalente a otro, puede ahorrarse trabajo escribiendo solamente los coeficientes de las variables y los términos constantes, que son los únicos que cambian en el procedimiento. En el ejemplo anterior al sistema de ecuaciones original lo podemos representar por medio del siguiente arreglo:
Se llama matriz asociada al sistema y cada número de la matriz se llama componente, también se llama matriz aumentada del sistema.
EJEMPLOS
EJEMPLO 1: Ecuaciones lineales.
a.
b.
c.
a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas respectivamente.
EJEMPLO 2: Ecuaciones que no son lineales.
a.
b.
c.
d.
EJEMPLO 3:
La ecuación lineal tiene como solución la pareja ordenada (5, 8) ya que 3(5) – 4 (8) =
– 17.
EJEMPLO 4:
La ecuación lineal tiene como solución la cuadruplito (2, -1, 0, 3).
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Método Gráfico - Ejercicios Resueltos.Para aplicar el método gráfico se realizan los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las ecuaciones la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. Se hallan los puntos de intercepción. Puede suceder los siguientes casos:
i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema
ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones
iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución
BALDPR. (s.f.). OPENTOR. Obtenido de http://www.opentor.com/algebra-baldor/pagina-318.html
HUITOTO. (2013). UDEA. EDU.CO. Obtenido de
http://huitoto.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni1/seccion11/ejemplos11.html
HUITOTO. (2013). udea.co. Obtenido de http://huitoto.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni1/seccion11.html
matematicas. (2013). Obtenido de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html
“UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI”
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
GRAFICAS
ALGEBRA
AUTOR:
Xiomara Sepúlveda Cayambe
CURSO:
Primer nivel “A”
CATEDRÁTICO
ING. OSCAR LOMAS
EJERCICIOS SISTE
MA DE
ECUACIONE
S
Universidad Politécnica Estatal Del
Carchi
Facultad De Industrias Agropecuarias Y Ciencias Ambientales
Escuela De Desarrollo Integral Agropecuario
Modulo: ALGEBRA
DOCENTE: Ing. Oscar Lomas
ESTUDIANTE:
Xiomara Sepúlveda
Ecuaciones Cuadráticas.......................................................................................................3
Factorización Simple:........................................................................................................4
Completando el Cuadrado:................................................................................................5
Fórmula Cuadrática:..........................................................................................................7
ECUACIONES CUADRÁTICAS......................................................................................10
Ecuaciones Cuadráticas
► Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.
Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación
y = tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola
► Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple 2.Completandoel Cuadrado 3.Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2] ( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para Factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0
4 4 4 4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
EJEMPLO
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3
x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
x = -2 ± 6 2
X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2
x = 4 x = -8 2 2
x = 2 x = - 4
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 )
-12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0
Verificar x=2
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -12 =
0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
2 x 2 - 5 x - 3 = 0
Paso 2: Factorizar
2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-1/2
2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( - 1 2 )
2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3 = - 5 2 - 5
2 =- 5 2
Verificar x=3
2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 - 3 = 5 (3 )
2 ( 9 ) - 3 = 15 18 - 3 = 15 15= 15
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Utilizaremos la descomposición en factores por ser un método común, pero cuando se dispone de una calculadora es preferible usar la Fórmula Cuadrática. En ambos casos es necesario tener la ecuación igualada a cero.
EJEMPLO A: Resolver x2 – 7x – 30 = 0
Solución: Al descomponer en factores resulta (x – 10)(x + 3) = 0.
Ahora bien, sabemos que si a . b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
Por lo tanto, x – 10 = 0 ó x + 3 = 0 x = 10, x = –3.
Luego, el conjunto solución es {–3, 10}.
Solución: Al multiplicar por el MCD (que es 6x) obtenemos: x2 – 3x = 18(x – 5).
Al igualar acero, obtenemos x2 – 21x + 90 = 0.
Descomponemos en factores: (x – 15)(x – 6) = 0 x = 15, x = 6.
Luego, el conjunto solución es {6, 15}.
Bibliografía
amschool. (2013). Obtenido de http://www.amschool.edu.sv/paes/c3.htm
Murrias, M. (2013). quiz. Obtenido de tutorial cuadratica :
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/Cuad_Eq/cuadeq_home.html
wordpress. (2013). Obtenido de http://edumate.files.wordpress.com/2008/12/ecuaciones-cuadraticas.pdf
wordpress. (s.f.). edumate . Obtenido de http://edumate.files.wordpress.com/2008/12/ecuaciones-
cuadraticas.pdf
Universidad Politécnica Estatal Del
Carchi
Facultad De Industrias Agropecuarias Y Ciencias Ambientales
Escuela De Desarrollo Integral Agropecuario
Modulo: ALGEBRA
DOCENTE: Ing. Oscar Lomas
ESTUDIANTE:
Xiomara Sepúlveda
TABLE 1.1:
x y = x2
−3 (−3)2 = 9-2 (−2)2 = 4-1 (−1)2 = 10 (0)2 = 01 (1)2 = 12 (2)2 = 43 (3)2 = 9
Para dibujar la parábola, trazar una curva suave a través de todos los puntos (No conectar los puntos con líneasrectas).
Grafiquemos algunos ejemplos más.Ejemplo 1Graficar las siguientes parábolas.
a) y = 2x2
b) y = −x2
c) y = x2 − 2x + 3Solución
a) y = 2x2 + 4x + 1Hacer una tabla de valores.
TABLE 1.2:
x y = 2x2 + 4x + 10 2(0)2 + 4(0) + 1 = 11 2(1)2 + 4(1) + 1 = 72 2(2)2 + 4(2) + 1 = 173 2(3)2 + 4(3) + 1 = 31
Nota que los últimos dos puntos tienen valores grandes en y−. No los graficaremos ya que estos harían demasiadogrande la escala en y−. Ahora grafiquemos los puntos restantes y conectémoslos con una curva suave.
b) y = −x2 + 3Hacer una tabla de valores.
TABLE 1.3:
x y = −x2 + 3−3 −(−3)2 + 3 = −6-2 −(−2)2 + 3 = −1-1 −(−1)2 + 3 = 20 −(0)2 + 3 = 31 −(1)2 + 3 = 2
2 −(2)2 + 3 = −13 −(3)2 + 3 = −6
Grafiquemos los puntos y conectémoslos con una curva suave.
1.1. Gráficas de funciones cuadráticas
Nótese que esta es una parábola “hacia abajo”. Nuestra ecuación tiene un signo negativo enfrente del término x2. Elsigno del coeficiente del término x2 determina si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.Si el coeficiente de x2 es positivo, entonces la parábola se habre hacia arriba.Si el coeficiente de x2 es negativo, entonces la parábola se habre hacia abajo.c) y = x2 − 8x + 3Hacer una tabla de valores.
TABLE 1.4:
x y = x2 − 8x + 3−3 (−3)2 − 8(−3) + 3 = 36-2 (−2)2 − 8(−2) + 3 = 23-1 (−1)2 − 8(−1) + 3 = 120 (0)2 − 8(0) + 3 = 31 (1)2 − 8(1) + 3 = −42 (2)2 − 8(2) + 3 = −93 (3)2 − 8(3) + 3 = −12
No graficaremos los primero dos puntos de la tabla ya que sus valores son muy grandes. Graficar el resto de puntosy conectarlos con una curva suave.
Esta no parece la gráfica de una parábola. ¿Qué está sucediendo aquí? Si no está clara la apariencia de la gráfica, sedeben obtener más puntos hasta obtener una curva familiar. Para valores negativos de x, los valores de y se vuelvencada vez más grandes. Usemos más valores positivos de x después de x = 3.
TABLE 1.5:
x y = x2 − 8x + 3−1 (−1)2 − 8(−1) + 3 = 120 (0)2 − 8(0) + 3 = 31 (1)2 − 8(1) + 3 = −40 (0)2 − 8(0) + 3 = 31 (1)2 − 8(1) + 3 = −42 (2)2 − 8(2) + 3 = −93 (3)2 − 8(3) + 3 = −124 (4)2 − 8(4) + 3 = −135 (5)2 − 8(5) + 3 = −126 (6)2 − 8(6) + 3 = −9
7 (7)2 − 8(7) + 3 = −
Ahora podemos ver la forma parabólica con la que estamos familiarizados. Graficar construyendo una tabla devalores puede ser muy tedioso, especialmente en ejercicios como el de este ejemplo. En las siguientes secciones,aprenderemos algunas técnicas que simplificarán este procedimiento grandemente, pero primero necesitamos cono-cer más sobre las propiedades de las parábolas.
Bibliografía
Flexbook. (2013). Ck12. Obtenido de http://www.ck12.org/saythanks
