portafolio de algebra

of 222 /222
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI 13 ALGEBRA PORTAFOLIO DE ALGEBRA Xiomara Sepúlveda Cayambe

Author: xiomy-sepulveda

Post on 18-Nov-2014

1.956 views

Category:

Documents


2 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

  • 1. UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHI 13 ALGEBRA PORTAFOLIO DE ALGEBRA Xiomara Seplveda Cayambe

2. PORTAFOLIO DE ALGEBRA TEORIA 3. Contenido EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES...................................................................... 8 Conjunto de los nmeros reales..................................................................................... 8 Conjunto de los nmeros naturales................................................................................ 8 Conjunto de los nmeros enteros................................................................................... 8 Conjunto de los nmeros racionales .............................................................................. 8 Conjunto de los nmeros reales..................................................................................... 8 CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES....................................................... 9 PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES.................................................................... 10 LOS NMEROS REALES Y LA RECTA REAL ............................................................... 11 Operacin inversa........................................................................................................ 12 POTENCIACION Y RADICACION................................................................................... 12 POTENCIACION.......................................................................................................... 12 Propiedades de la potenciacin................................................................................ 13 Potencia de potencia ................................................................................................ 13 Multiplicacin de potencias de igual base................................................................. 13 Divisin de potencias de igual base.......................................................................... 13 Propiedad distributiva................................................................................................... 14 Propiedad conmutativa................................................................................................. 14 Potencia de exponente 0.............................................................................................. 14 Potencia de exponente 1.............................................................................................. 14 Potencia de base 10 .................................................................................................... 14 RADICACIN.................................................................................................................. 14 OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN Y DIVISIN.14 SUMA: ......................................................................................................................... 15 RESTA:........................................................................................................................ 17 MULTIPLICACIN: ...................................................................................................... 17 DIVISION: .................................................................................................................... 18 Divisin entre fracciones........................................................................................... 18 Divisin de polinomios entre monomios.................................................................... 19 Divisin entre polinomios.......................................................................................... 19 PRODUCTOS NOTABLES.............................................................................................. 20 Cubo de una suma....................................................................................................... 22 4. Cubo de una diferencia ................................................................................................ 22 MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS............................................................... 22 Aplicaciones del m.c.m................................................................................................. 25 1. Reducir fracciones a comn denominador............................................................ 25 2. Resolver problemas de la vida prctica. ............................................................... 25 Aplicaciones del m.c.d.................................................................................................. 25 1. Simplificar una fraccin hasta su irreducible. ........................................................ 25 2. Resolver problemas de la vida prctica. ............................................................... 26 RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACIN.................. 26 Descripcin: ................................................................................................................. 26 Ecuaciones de primer grado ............................................................................................ 27 Ecuaciones literales de primer grado............................................................................... 28 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS).......................................... 29 Ecuaciones de segundo grado y una incgnita ............................................................ 29 Solucin por complementacin de cuadrados.............................................................. 30 Solucin por la frmula general.................................................................................... 32 PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES.............................. 33 Inverso aditivo.............................................................................................................. 33 Propiedad del doble negativo....................................................................................... 34 Operaciones con los nmeros Reales.......................................................................... 34 1. Sumar nmeros reales.......................................................................................... 34 Restar nmeros reales ............................................................................................. 35 Multiplicar nmeros reales........................................................................................ 35 Ecuaciones lineales de primer grado ............................................................................... 36 a) ecuaciones lineales propiamente tales..................................................................... 36 b) ecuaciones fraccionarias.......................................................................................... 37 c) ecuaciones literales .............................................................................................. 38 Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales ............................................ 39 Mtodo de reduccin.................................................................................................... 40 Ejemplo .................................................................................................................... 40 Ejemplo .................................................................................................................... 41 Mtodo de sustitucin .................................................................................................. 42 Ejemplo .................................................................................................................... 42 5. Mtodo de Gauss......................................................................................................... 43 Ejemplo .................................................................................................................... 43 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................... 44 EXPRESIN ALGEBRAICA......................................................................................... 44 TRMINO. ................................................................................................................... 44 GRADO ABSOLUTO DE UN TRMINO. ..................................................................... 44 GRADO DE UN TRMINO CON RELACIN A UNA LETRA....................................... 45 CLASES DE TRMINOS. ............................................................................................ 45 TRMINOS HOMOGNEOS....................................................................................... 45 TRMINOS HETEROGNEOS. .................................................................................. 45 TRMINOS SEMEJANTES.......................................................................................... 45 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: .................................................................... 45 CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA.............................................. 45 MONOMIO................................................................................................................... 45 BINOMIO. .................................................................................................................... 46 TRINOMIO................................................................................................................... 46 POLINOMIO................................................................................................................. 46 GRADO DE UN MONOMIOS .......................................................................................... 46 GRADO DE UN POLINOMIO .......................................................................................... 46 DESCOMPOSICIN FACTORIAL................................................................................... 47 Factores....................................................................................................................... 47 Mtodos para la factorizacin de polinomios................................................................ 47 Binomios................................................................................................................... 47 Trinomios.................................................................................................................. 47 Polinomios................................................................................................................ 47 Factorizar un monomio ............................................................................................. 48 Factorizar un polinomio ............................................................................................ 48 Caso I: Factor comn ...................................................................................................... 48 Factor comn. .............................................................................................................. 48 Factor comn de un polinomio ..................................................................................... 49 Factor comn por agrupacin de trminos ................................................................... 49 Trinomio cuadrado perfecto.......................................................................................... 49 Raz cuadrada de un monomio .................................................................................... 50 6. Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ........................................... 50 Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto................................................. 50 Trinomios de la forma x2 + px + q............................................................................. 51 Regla prctica para factorizar el trinomio.................................................................. 51 Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m 1)....................................................... 51 Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) entre polinomios .......................................................... 52 SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES ........................................................................ 54 MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS................................................... 55 DIVISIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS................................................................. 55 ECUACIONES CUADRATICAS....................................................................................... 56 Definicion ..................................................................................................................... 56 Factorizacin:............................................................................................................... 57 Raz cuadrada:............................................................................................................. 57 Completando el cuadrado: ........................................................................................... 58 Propiedades de la suma de nmeros enteros........................................................... 58 Propiedades de la resta de nmeros enteros................................................................... 59 Multiplicacin de nmeros enteros................................................................................... 60 Regla de los signos .................................................................................................. 60 Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros ..................................................... 60 Propiedades de la divisin de nmeros enteros............................................................... 61 Potencia de nmeros enteros .......................................................................................... 62 Propiedades:................................................................................................................ 62 Potencias de exponente entero negativo...................................................................... 63 Raz cuadrada de un nmero entero................................................................................ 63 RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ............... 63 Solucin de ecuaciones cuadrticas por completacin del cuadrado................... 64 Resolver ecuaciones cuadrticas en forma estndar ............................................. 66 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRTICAS................................................. 67 DEPRECIACION ............................................................................................................. 68 AMORTIZACIN ............................................................................................................. 69 SISTEMA DE AMORTIZACION ................................................................................... 69 AMORTIZACION GRADUAL........................................................................................ 69 CALCULO DE LOS VALORES DE LAS AMOTIZACIONES......................................... 69 7. OFERTA.......................................................................................................................... 69 CURVA DE LA OFERTA.............................................................................................. 70 DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE OFERTA....................................................... 70 DEMANDA....................................................................................................................... 70 DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE DEMANDA.................................................... 71 8. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES Conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los nmeros naturales El conjunto de los nmeros naturales, que se denota por N o tambin por Z corrientemente se presenta as: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carcter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numricos y lleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales. Conjunto de los nmeros enteros El conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta as: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los nmeros enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N, como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = 2. Puede notarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionales El conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera La introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacin ax = b, con a, b Z, a 0. sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Conjunto de los nmeros reales Se define como. = En el conjunto de los nmeros reales estn definidas dos operaciones: adicin (+) y multiplicacin (), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas tambin axiomas de campo). (Peano, 1889) 9. CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES En muchos temas de la geometra se plantea en general, problemas para cuya solucin el conjunto Q de los nmeros racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el nmero x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitgoras permite establecer que x, satisface la ecuacin: x2 = 2. Puede demostrarse fcilmente, que no existe X Q que verifique esta ltima ecuacin. En general, una ecuacin de la forma xn = a, con a Q y n N, carecer (excepto casos particulares) de solucin. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solucin. El conjunto de los nmeros irracionales, que se denota por Q* , est constituido por los nmeros reales que no admiten la representacin racional. Ejemplos de esta clase de nmeros son: el nmero e (base del logaritmo natural), p , , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuacin x2 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son nmeros racionales. 1.2.5. Finalmente se define el Conjunto R de los nmeros reales como: R =Q Q* . En el conjunto R de los nmeros reales, estn definidas dos operaciones: adicin (+) y multiplicacin (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas tambin axiomas de campo). 10. PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES 11. LOS NMEROS REALES Y LA RECTA REAL En la geometra analtica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de la recta. Existe una condicin que cumplen los nmeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada nmero real le corresponde un nico punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un nico nmero real. Como se observa en el grfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona adems una unidad de longitud para medir distancias. Se elige tambin un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada nmero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente: Se asocia al origen el nmero 0, Se asocia a cada nmero positivo p un punto que est a una distancia de p unidades del origen en la direccin positiva, Se asocia a cada nmero negativo - p el punto que est a p unidades de distancia del origen en la direccin negativa. Los puntos en la recta se identifican con los nmeros que representan. El nmero real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numrica o recta de los nmeros reales. Tambin se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Ejemplo. Orden Los nmeros reales estn ordenados cumpliendo slo una de las afirmaciones siguientes: dados dos nmeros reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y slo si el punto que representa al nmeroa est a la izquierda del punto que representa al nmero b. 12. Anlogamente, a > b s y slo s el punto que representa al nmero a se halla a la derecha del que representa a b. Si a = b, los puntos se superponen. La relacin de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si el nmero real a es menor que el nmero real b (a < b).([email protected], s.f.) Operacin inversa Sea A un conjunto con una operacin binaria *: Por lo que cabe la ecuacin: Pero si se da el caso de que: Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operacin inversa. Si A admite elementos simtricos, se define: (S.R) POTENCIACION Y RADICACION POTENCIACION La potenciacin es una nueva forma de escribir el producto de un nmero por l mismo. Es muy prctica, elegante, til y fcil. Fjate que la base es el nmero que multiplicas varias veces por s mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado. 13. Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por s mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un nmero se multiplica por s mismo una cantidad definida de veces es una potenciacin. Por ejemplo, si se multiplica ocho por s mismo cinco veces se tendr 8 X 8 X 8 X 8 X 8. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85 . En este caso, al nmero ocho se lo llama base (nmero que se va a multiplicar por s mismo) y al cinco se le denomina exponente (nmero de veces que se va a multiplicar al ocho por s mismo). De acuerdo con lo anterior, se puede decir que: 85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768 Elevar a una potencia el nmero 10 Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el nmero 10. Por ejemplo lo elevamos a la cuarta: 104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000 Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros. As se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)... Propiedades de la potenciacin Las propiedades de la potenciacin son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicacin de los primeros exponentes. Multiplicacin de potencias de igual base La multiplicacin de dos o ms potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. Divisin de potencias de igual base La divisin de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. 14. Propiedad distributiva La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciacin, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo nmero / la misma cifra o equivalentes. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. Potencia de exponente 1 Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a. Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. RADICACIN la radicacin de la misma manera se puede calcular la raz cuadrada de 25 significa buscar un nmero que elevado al cuadrado d como resultado 25. Es decir que: Por ahora slo trabajaremos con races cuadradas (las que corresponden al exponente dos), pero estas no son las nicas que existen, como podrs ver en cursos posteriores. OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN Y DIVISIN. 15. SUMA: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre s los coeficientes de los trminos del mismo grado El resultado de sumar dos trminos del mismo grado, es otro trmino del mismo grado. Si falta algn trmino de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se complet con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los trminos de igual grado. 16. EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) + -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 Se llama trminos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay trminos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos trminos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sum cero, por no tener otro trmino semejante. Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los trminos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. As que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los trminos de igual parte literal. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 17. RESTA: EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) - 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los trminos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero tambin se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado. Y tambin se los puede restar "en el mismo rengln", tal como mostr que se puede hacer en la suma. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 MULTIPLICACIN: Cmo se multiplican los polinomios? Multiplicando todos los trminos de uno de ellos por todos los trminos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicacin y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo: 18. (x + 5).(x - 3) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1 2x.(x + 1) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1 Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que haba que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada trmino de una expresin con cada trmino de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 = Y luego "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los nmeros que tienen delante". En este ejemplo slo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro nmero no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve tambin la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros..." es en realidad "sumar los trminos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) = x2 + 2x - 15 DIVISION: Divisin entre fracciones En este tipo de divisin se cumplen las mismas reglas que con la divisin de monomios y las reglas de divisin de fracciones de la aritmtica. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer trmino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la divisin, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la divisin (esto se llama divisin cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (n = 1), y se escriben en orden alfabtico. Ejemplos: 19. Divisin de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtindolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de l polinomio. Separamos el polinomio en diferentes trminos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: Divisin entre polinomios. En este tipo de divisin se procede de manera similar a la divisin aritmtica los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los trminos que faltan. El primer trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer trmino del cociente por todos los trminos del divisor, se coloca este producto debajo de l dividendo y se resta del dividendo. 20. El segundo trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer trmino del divisor. Se multiplica el segundo trmino del cociente por todos los trminos del divisor, se coloca este producto debajo de l dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer trmino no pueda ser dividido por el primer trmino del divisor. Cuando esto ocurre el resto ser el residuo de la divisin. La intencin con este mtodo de divisin es que con cada resta se debe eliminar el trmino que se encuentra ms a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicacin. Tambin sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (tambin productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuacin veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, ms el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a + b)2 21. Nota: Se recomienda volver al tema factorizacin para reforzar su comprensin. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a2 2ab + b2 = (a b)2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a b)2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a b) = a2 b2 El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostracin: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma (a + b) (a b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como a2 b2 22. Cubo de una suma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3 . Cubo de una diferencia a3 3a2 b + 3ab2 b3 = (a b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 3a2 b + 3ab2 b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)3 . A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresin algebraica que lo representa: Producto notable Expresin algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2 ) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS El problema de calcular el mximo comn divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia fundamental en lgebra computacional. Estos clculos aparecen como sub-problemas en operaciones aritmticas sobre funciones racionales o aparecen como clculo prominente en factorizacin de polinomios y en integracin simblica, adems de otros clculos en lgebra. 23. En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variacin del algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrs, es fcil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del lgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando tcnicas un poco ms sofisticadas. 24. Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1) Se factorizan las expresiones dadas: > x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplic el Caso IV de Factorizacin > x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplic el Caso III de Factorizacin. > x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplic el Caso III de Factorizacin. Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de las 3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solucin. ___________________________________________________________ Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab Factorizando las expresiones dadas: > 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplic el Caso I de Factorizacin. > 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplic el Caso I de Factorizacin. Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a < Solucin. _________________________________________________________ 2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: > 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2) > 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y < Solucin. _________________________________________________________ 3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 25. Factorizando las expresiones dadas: > 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) > 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Factor comn de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2 Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 Aplicaciones del m.c.m. 1. Reducir fracciones a comn denominador. Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 32 = 4 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador. 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. Habr algn momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es as, cada cuntos segundos coincidirn los dos? Solucin: Buscamos una cantidad de segundos que sea mltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea el ms cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12). Factorizamos. Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y calculamos el mnimo comn mltiplo. m.c.m. (8, 12) = 23 3 = 8 3 = 24. Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se vern al mismo tiempo cada 24 segundos. Aplicaciones del m.c.d. 1. Simplificar una fraccin hasta su irreducible. Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fraccin: Hallamos el M.C.D. (360, 336). Para ello factorizamos el numerador y el denominador. 360 = 23 x 32 x 5 26. 336 = 24 x 3 x 7 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (360, 336) = 23 3 = 8 3 = 24. Dividimos el numerador y el denominador entre 24 360 = 360 : 24 = 15 336 336 : 24 14 y obtenemos la fraccin equivalente irreducible: 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. De qu tamao tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo ms grande posible? Cuntas baldosas tengo que comprar? Solucin: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor comn de 270 y 180, y el ms grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el mximo comn divisor de 270 y 180. Factorizamos 270 y 180: 270 = 2 x 33 x 5 180 = 22 x 33 x 5 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (270,180) = 2 32 5 = 2 9 5 = 90. Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuntas necesitamos: 270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo. 180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho. Respuesta: Necesitamos 6 baldosas. RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACIN Descripcin: La funcin cuadrtica es una funcin de los reales en los reales cuya regla de correspondencia est dada por f(x) = ax 2 + bx + c (a0) y cuyodominio incluye todos los nmeros reales. Para resolver ecuaciones cuadrticas 27. utilizamos principalmente el mtodo de factorizacin. Ecuaciones de primer grado Una ecuacin de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incgnita cuyo valor est relacionado a travs de operaciones aritmticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incgnita es uno. Para resolver una ecuacin de primer grado se deben traspasar los trminos de un lado a otro de la ecuacin, de manera que todos los trminos que tengan la incgnita queden a un lado y los dems al otro, teniendo la precaucin de mantener la igualdad de la expresin. Por eso, cada vez que trasponemos un trmino se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuacin: (x + 3)2 (x - 1)2 = 3x (x 4) a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresin x2 + 6x + 9 (x2 2x + 1) = 3x x + 4 x2 + 6x + 9 x2 + 2x 1 = 3x x + 4 b) Trasponemos los trminos: x2 + 6x x2 + 2x 3x + x = 4 9 + 1; c) Reducimos trminos semejantes: 6x = -4 ; d) Dividimos por 6: x = -4/6 e) Simplificamos por 2: x = -2/3 28. Ecuaciones literales de primer grado Una ecuacin de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales adems de la incgnita. Por convencin, se identifica como incgnitas a las ltimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efecta el mismo procedimiento aplicado en la ecuacin del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incgnitas a un lado de la ecuacin, factorizaremos por ella para poder despejarla. Desarrollemos un ejemplo: ax b(x 1) = 3(x + a) Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos trminos semejantes y trasponemos trminos: a) Resolvemos las operaciones ax bx + b = 3x + 3a b) Reducimos trminos semejantes y trasponemos trminos: ax bx 3x = 3a b c) Factorizamos al lado izquierdo por la incgnita: x(a b 3) = 3a b d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a b 3): (Por qu se divide? Porque el factor de la incgnita es diferente de 1) Ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Encuentra dos nmeros consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9. Sean x y x + 1 los nmeros. Entonces, segn el enunciado dado: (x + 1)2 x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 x2 = 9 2x + 1 = 9 x = 4; Por lo tanto los nmeros son 4 y 5. 29. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) Ecuaciones de segundo grado y una incgnita Sabemos que una ecuacin es una relacin matemtica entre nmeros y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que slo hay una letra, llamada incgnita, que suele ser la x. Resolver la ecuacin consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incgnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solucin de la ecuacin. Ejemplo: Resolver la ecuacin x 1 = 0 El nmero que hace que esa ecuacin sea cierta es el 1, ya que 1 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solucin de la ecuacin. Si en la ecuacin la incgnita est elevada al cuadrado, decimos que es una ecuacin de segundo grado (llamadas tambin ecuaciones cuadrticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque tambin una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuacin de segundo grado o cuadrtica se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parmetros que habr que sustituir por los nmeros reales que corresponda en cada caso particular. Solucin por factorizacin En toda ecuacin cuadrtica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuacin a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios: 30. Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero: Ahora podemos factorizar esta ecuacin: (2x 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada trmino del producto para resolver las incgnitas: Si 2x 3 = 0 2x = 3 Si x + 4 = 0 x = 4 Esta misma ecuacin pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x 1) = 9 2x2 + 5x 12 = 0 2x2 + 5x = 12 2x2 12 = 5x Solucin por complementacin de cuadrados Se llama mtodo de la complementacin de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geomtricamente, y porque en la ecuacin cuadrtica se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuacin del tipo: (ax + b)2 = n en la cual el primer miembro de la ecuacin (ax + b)2 , es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuacin del tipo x2 + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuacin x2 + 8x = 48, que tambin puede escribirse x2 + 8x 48 = 0 31. Al primer miembro de la ecuacin (x2 + 8x) le falta un trmino para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2 Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2 En nuestro ejemplo x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo nmero del binomio, por lo tanto, ese nmero debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2 ) el tercer trmino corresponde al cuadrado del segundo trmino (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuacin por 16, as tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 x2 + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a (x + 4)2 = 64 Extraemos raz cuadrada de ambos miembros y tenemos Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 4 x = 4 Se dice que "se complet un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuacin se logr obtener la expresin (x + 4)2 , que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuacin x2 + 6x 16 = 0 Hacemos 32. x2 + 6x = 16 Luego, a partir de la expresin x2 + 6x (primer miembro de la ecuacin) debemos obtener una expresin de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio). Para encontrar el trmino que falta hacemos (Para encontrar dicho trmino en cualquier ecuacin siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo trmino y el resultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresin completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuacin: x2 + 6x = 16 x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 Factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 (x + 3)2 = 25 La expresin x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2 , y as la ecuacin se resuelve con facilidad: Extraemos raz cuadrada y queda x + 3 = 5 y x + 3 = 5 (pues 52 = 5 y tambin (5)2 = 5 Entonces x = 5 3 x = 2 Y x = 5 3 x = 8 La ecuacin 1 da x = 2 y la ecuacin 2 da x = 8. Solucin por la frmula general Existe una frmula que permite resolver cualquier ecuacin de segundo grado, que es la siguiente: 33. La frmula genera dos respuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos () antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la frmula. La frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las tcnicas de factorizacin. Resolver la ecuacin 2x2 + 3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = 5, as es que: Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el As es que las soluciones son PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES Para tener xito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros Reales. Dos nmeros, en la recta numrica, que estn a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan: Inversos aditivos, opuestos o simtricos uno del otro. Por ejemplo. 3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3 El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo. La suma de un nmero y su inverso aditivo es 0 (cero). Inverso aditivo Para cualquier nmero real de a, su inverso aditivo es a. Considere el nmero -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este nmero debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. ste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo. 34. Propiedad del doble negativo Para cualquier nmero real a, -(-a) = a Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absoluto El valor de cualquier nmero distinto del cero siempre ser un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0. Para determinar el valor absoluto de un nmero real, use la definicin siguiente. La definicin de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier nmero no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier nmero negativo es el inverso aditivo (opuesto9 del nmero. El valor absoluto de un nmero puede determinarse por medio de la definicin. Por ejemplo. Operaciones con los nmeros Reales 1. Sumar nmeros reales Para sumar dos nmeros con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo comn antes de la suma. La suma de dos nmeros positivos ser un nmero positivo, y la suma de dos nmeros negativos ser un nmero negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solucin: Como ambos nmeros que se suman son negativos, la suma ser negativa. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos nmeros y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos nmeros con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del nmero con el valor absoluto ms grande. La suma de un nmero positivo y un nmero negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta ser el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) 35. Como los nmeros que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto ms pequeo del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 3 = 5. El nmero -8 tiene un valor absoluto mayor que el nmero 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar nmeros reales Todo problema de sustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 (+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicar nmeros reales Para multiplicar dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo Cuando multiplicamos ms de dos nmeros, el producto ser negativo cuando exista un nmero impar de nmeros negativos. El producto ser positivo cuando exista un nmero par de nmeros negativos. Propiedad del cero en la multiplicacin Para cualquier nmero a, Dividir nmeros reales Para dividir dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fraccin es un numero negativo, por lo comn reescribimos la fraccin con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente. 36. Ejemplos La ta Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces ms que Laura a cunto le toco cada uno? Solucin Laurita=x Pedro=2x (dos veces ms que Laura) juanita=5x (cinco veces ms que Laurita) x+2x+5x=160 8x=160 x=160/8 x=20 con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100 millones.. Ecuaciones lineales de primer grado Sabemos que una ecuacin lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuacin el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque el resultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin se debe: Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro. Luego despejar "x" reduciendo trminos semejantes. Ejemplo: 37. 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182 b) ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin se debe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 38. c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo: 39. Graficas Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales 40. Mtodo de reduccin Consiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlas para reducir el nmero de incgnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incgnita. Multiplicar una ecuacin por un nmero consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuacin por dicho nmero. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuacin cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuacin por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuacin Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es La eleccin de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de igualacin El mtodo de igualacin consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones: 41. Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incgnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuacin No contendra dicha incgnita. Este proceso de eliminacin de incgnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuacin con solo una incgnita, digamos . Una vez que se obtiene la solucin de esta ecuacin se sustituye por su solucin en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el nmero de incgnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a este otro El segundo sistema lo he obtenido pasando los trminos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que Que es una ecuacin con una sola incgnita cuya solucin es . Sustituyendo por 1 en la primera ecuacin del sistema de partida se tiene que 42. Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de sustitucin Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segunda ecuacin y sustituirla en la primera, para obtener la ecuacin: Lo que se busca es que esta ecuacin dependa de menos incgnitas que las de partida. Aqu y son expresiones algebraicas de las incgnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuacin se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuacin del sistema se deduce que Sustituyendo por en Se tiene que Que es una ecuacin con solo una incgnita y cuya solucin es . Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuacin de una sola incgnita 43. Cuya solucin es . Mtodo de Gauss Gauss es uno de los matemticos ms importantes de todos los tiempos. Fue un GENIO! El mtodo de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fcil de resolver. Es esencialmente el mtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno se ahorra el escribir las incgnitas porque al ir los coeficientes de una misma incgnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incgnita a la que multiplican. Ejemplo La matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Es: Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos: Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuacin la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior: 44. Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Que es equivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocupacin para obtener : En la primera y segunda ecuacin, sustituimos por la solucin de la tercera ecuacin ( ), para obtener: La segunda ecuacin es ahora una ecuacin con una sola incgnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuacin, por 1 ( ). Esto nos da una ecuacin en : Que al resolverla termina de darnos la solucin del sistema de ecuaciones inicial: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIN ALGEBRAICA. Es la representacin de un smbolo algebraico o de una o ms operaciones algebraicas. TRMINO. Es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo + o -. Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UN TRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales. 45. GRADO DE UN TRMINO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el exponente de dicha letra. CLASES DE TRMINOS. El trmino entero es el que no tiene denominador literal, el trmino fraccionario es el que tiene denominador literal. El trmino racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. TRMINOS HOMOGNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. TRMINOS HETEROGNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TRMINOS SEMEJANTES. Dos trminos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya que ambos trminos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un trmino semejante a -3y2 x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2 x) 3. 5xy es un trmino semejante con xyrb 4. 4bx2 no es semejante a 4b2 x ya que el literal bx2 no es igual al b2 x. 5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 es semejante a 9j3 k3 porque (jk)3 = j3 k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10.378ab3 c2 no es semejante a 378a2 b3 c CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA MONOMIO. Es una expresin algebraica que consta de un solo trmino. 46. BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos trminos. TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres trminos. POLINOMIO. Es una expresin algebraica que consta de ms de un trmino. GRADO DE UN MONOMIOS Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6 grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: 9.5 Cul es el grado de: ? 47. 9.6 Cul es el grado de: ? DESCOMPOSICIN FACTORIAL Factores Se llaman factores o divisores de una expresin algebraica a los que el producto entre s (de estos factores) nos da la expresin primitiva. As, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe, cuyo producto entre s dan la expresin a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15 Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Mtodos para la factorizacin de polinomios Todo Polinomio se puede factorizar utilizando nmeros reales, si se consideran los nmeros complejos. Existen mtodos de factorizacin, para algunos casos especiales. Binomios Diferencia de Cuadrados Suma o diferencia de Cubos Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x+bx+c Trinomio de la forma ax+bx+c Polinomios Factor comn 48. Factorizar un monomio Se descompone el trmino en el producto de factores primos. Ejemplo: Factorizar un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o ms factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmtica, hay nmeros primos que slo son divisibles por la unidad y por s mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que slo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. As a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque slo es divisible por a + b y por la unidad. A continuacin diferentes casos de descomposicin factorial. Caso I: Factor comn Factor comn. Cuando todos los trminos de un polinomio tienen un factor comn. Ejemplos: a) Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor comn a. Se escribe este factor comn como coeficiente de un parntesis, dentro de este parntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2) b) Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge el mayor factor comn. De las variables, el nico factor comn es b ya que se haya en los dos trminos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor comn ser 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2) 49. Factor comn de un polinomio a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b) Los dos trminos de la expresin tienen como factor comn (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un parntesis, dentro del parntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b). Factorizando se obtiene: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by Obteniendo: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by Factor comn por agrupacin de trminos Se agrupan los trminos que tengan factor comn, asocindolos entre parntesis y luego se extrae el factor comn de cada uno. Ejemplos a) Factorizar ax + by +ay + by Los dos primeros trminos tienen el factor comn x, y los dos ltimos tienen el factor comn y, asociando los dos primeros trminos en un parntesis y los dos ltimos tambin en un parntesis precedido de un signo + ya que el tercer trmino es positivo se obtiene: ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by) ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando Nota: La asociacin de trminos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendr el mismo resultado. Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a. En efecto (4a2 ) = 4a x 4a = 16a2 , 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2 , 4a es la raz cuadrada de 16a2 . 50. Sin embargo (-4a2 ) = (-4a)((-4a) = 16a2 , luego (-4a) es tambin raz de 16a2 , por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-). Raz cuadrada de un monomio Para extraer la raz cuadrada de un monomio, se saca la raz cuadrada de su coeficiente numrico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2. Ejemplo: La raz cuadrada de 25a2 b4 es 5ab2 Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales. As, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b Por tanto: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto Un trinomio ordenado con relacin a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer trmino son cuadrados perfectos (o tienen la raz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo trmino equivale al doble del producto de stas races cuadradas. Ejemplo: a) a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque: Raz cuadrada de a2 = a Raz cuadrada de 4b2 = 2b Doble producto de estas races 2 x a x 2b = 4ab Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trmino del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio ya formado, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplo: a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que: raz cuadrada de a2 = a raz cuadrada de 16b2 = 4b 51. Doble producto de las races: 2 x a x 4b = 8ab Trinomios de la forma x2 + px + q En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q Por tanto: Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos nmeros a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto sea q Regla prctica para factorizar el trinomio 1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer trmino es x, es decir, la raz cuadrada del primer trmino del trinomio. 2) En el primer factor, despus de x se escribe el signo del segundo trmino del trinomio, y en el segundo factor, despus de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do trmino del trinomio y el signo del tercer trmino del trinomio. 3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos nmeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio. Estos nmeros son los segundos trminos de los binomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos nmeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio. El mayor de estos nmeros es el primer trmino del primer binomio, y el menor, es el segundo trmino del segundo binomio. Ejemplos: Descomponer en factores: a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20 b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12 c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28 Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m 1) Observemos que el producto: (ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db 52. = acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd). Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, ser posible factorizar Cmo determinar estos nmeros? a) Se selecciona una descomposicin factorial de m y otra de q: m = ac y q = bd b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos: c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso contrario se ensaya con otra combinacin de factores para m y para q Ejemplos: a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4 Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4) Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones. Por ejemplo: 2 = 1 2, 12 = 6 2, 12 = 1 12, 12 = 4 3, 12 = 2 6 Tambin puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo: 2 = (-1) (-2) , 12 = (-6) (-2) Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) entre polinomios Recordemos primero con un ejemplo cmo se calculaba el mnimo comn mltiplo entre nmeros enteros: 53. Hallar el mnimo comn mltiplo entre 120 y 36. Primero haba que "factorizar" o descomponer a los nmeros. As: Luego, en el m.c.m. haba que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los nmeros que aparecen en la columna derecha de la factorizacin), y haba que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un nmero o en el otro. Habra que aclarar que los factores tienen que ser todos nmeros primos m.c.m. = 23.32.5 Porque: Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que ponerlos todos. El 2: El exponente ms alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 est tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 est menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la descomposicin de un nmero, en la columna de la derecha). El 3: El exponente ms alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 est dos veces", en cambio en el 120 el 3 est una sola vez. Por eso en el m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32. El 5: El 5 aparece solamente en la descomposicin del 120. Y aparece una sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo as, sin exponente (o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay). Ms sobre el MCM entre nmeros en: CALCULO DEL MNIMO COMN MLTIPLO (MCM) 54. SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones. En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores. En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es una fraccin que tendr el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador ser la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas. En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos. Uno de ellos, implica determinar el mnimo comn mltiplo de los denominadores, el cual ser el denominador de la fraccin resultado, en tanto que el numerador ser la suma algebraica de nmeros que surgen de dividir el mnimo comn mltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya est. El otro camino implica determinar el mnimo comn mltiplo de los denominadores, y despus, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos denominadores sern el mnimo comn mltiplo que se ha determinado, con lo cual se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos visto. Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresin con igual denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores segn sea el caso. Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestin se complica un poco. Primero hay que determinar el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de los polinomios que estn en el denominador, y despus debemos optar por el camino de dividir este m.c.m. por cada denominador para despus multiplicar por los numeradores, o bien transformar esta suma de distinto denominador en una de igual denominador usando fracciones equivalentes, si quieres liarte con divisiones y multiplicaciones de polinomios. Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m., para lo cual hay que factorar todos los denominadores. El m.c.m. estar formado por todos los factores que hemos hallado, pero si alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algn factor que se repite aparece con distinto exponente, debe ir con el mayor de los exponentes. 55. MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los denominadores entre s. Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios que estn en los numeradores, entre s, y de igual manera se multiplican entre s los polinomios que estn en los denominadores. En la prctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron DIVISIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La divisin de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre los numeradores y los denominadores. Caso contrario, se multiplica la primera por la recproca de la segunda. (Traduccin: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la divisin en una multiplicacin, y se resuelve el ejercicio como un producto). 56. Desarrollando por el segundo mtodo. Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay que invertir la segunda fraccin y resolverla como una multiplicacin. Formula: En la prctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Invertimos la segunda fraccin y simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron. ECUACIONES CUADRATICAS Definicion Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinmicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinmicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadrticas. Definicin: Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y ,c son nmeros reales y a es un nmero diferente de cero. 57. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0 La condicin de que a es un nmero diferente de cero en la definicin asegura que exista el trmino x2 en la ecuacin. Existen varios mtodos para resolver las ecuaciones cuadrticas. El mtodo apropiado para resolver una ecuacin cuadrtica depende del tipo de ecuacin cuadrtica que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes mtodos: factorizacin, raz cuadrada, completando el cuadrado y la frmula cuadrtica. Factorizacin: Para utilizar este mtodo la ecuacin cuadrtica debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuacin que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos 1) x2 - 4x = 0 2) x2 - 4x = 12 3) 12x2 - 17x + 6 = 0 Nota:No podemos resolver todas las ecuaciones cuadrticas por factorizacin porque este mtodo est limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros mtodos. Raz cuadrada: Este mtodo requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuacin. Propiedad de la raz cuadrada: Para cualquier nmero real k, la ecuacin x2 = k es equivalente a : Ejemplos 1) x2 - 9 = 0 2) 2x2 - 1 = 0 3) (x - 3)2 = -8 58. Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer trmino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + ? Regla para hallar el ltimo trmino de x2 + bx +?: El ltimo trmino de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del trmino del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros trminos son x2 + bx es : Al completar el cuadrado queremos una ecuacin equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuacin equivalente el nmero que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacin. Ejemplos 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 Propiedades de la suma de nmeros enteros 1. Interna: a + b 3 + (5) 2.Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)] 5 5 = 2 + ( 2) 59. 0 = 0 3.Conmutativa: a + b = b + a 2 + ( 5) = ( 5) + 2 3 = 3 4.Elemento neutro: a + 0 = a (5) + 0 = 5 5.Elemento opuesto a + (-a) = 0 5 + (5) = 0 (5) = 5 Propiedades de la resta de nmeros enteros Interna: a b 10 (5) 2.No es Conmutativa: a - b b - a 5 2 2 5 60. Multiplicacin de nmeros enteros La multiplicacin de varios nmeros enteros es otro nmero entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicacin de la regla de los signos. Regla de los signos 2 5 = 10 (2) (5) = 10 2 (5) = 10 (2) 5 = 10 Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros 1.Interna: a b 2 (5) 2.Asociativa: (a b) c = a (b c) (2 3) (5) = 2 [(3 (5)] 6 (5) = 2 (15) -30 = -30 3.Conmutativa: 61. a b = b a 2 (5) = (5) 2 -10 = -10 4. Elemento neutro: a 1 = a (5) 1 = (5) 5.Distributiva: a (b + c) = a b + a c (2) (3 + 5) = (2) 3 + (2) 5 (2) 8 =- 6 - 10 -16 = -16 6.Sacar factor comn: a b + a c = a (b + c) (2) 3 + (2) 5 = (2) (3 + 5) Propiedades de la divisin de nmeros enteros 1.No es una operacin interna: (2): 6 2.No es Conmutativo: a: b b : a 6: (2) (2): 6 62. Potencia de nmeros enteros La potencia de exponente natural de un nmero entero es otro nmero entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicacin de las siguientes reglas: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Propiedades: a0 = 1 a1 = a am a n = am+n (2)5 (2)2 = (2)5+2 = (2)7 = 128 am : a n = am - n (2)5 : (2)2 = (2)5 - 2 = (2)3 = 8 (am )n = am n [(2)3 ]2 = (2)6 = 64 an b n = (a b) n (2)3 (3)3 = (6) 3 = 216 an : b n = (a : b) n (6)3 : 3 3 = (2)3 = 8 63. Potencias de exponente entero negativo Raz cuadrada de un nmero entero Las races cuadradas de nmeros enteros tienen dos signos: positivo y negativo. El radicando es siempre un nmero positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado nmero. (ditutor) RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO En este tipo de expresin, hace falta un trmino cuadrtico, para transformar a la expresin original en un trinomio cuadrado perfecto. Dicho trmino cuadrtico se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresin bsica en nada. La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresin bsica que necesitaba esa adicin para transformar dicha parte bsica en un trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo. Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado perfecto. 64. Ahora se tendr una diferencia de cuadrados, en la cual el primer trmino es el trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos expresiones cuadrticas que se agregaron. Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a Factorizar, como tal, y deja la expresin original totalmente Factorizando, mediante la completacin de un trinomio cuadrado perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados. EJERCICIOS 2 X + 6X + 9 es un T.C.P. si es un TCP factorizado: 1) X y 9 son cuadrados por lo tanto: 2) doble producto: 2 x Xx 3 = 6X 2 3) factorando: X + 6X + 9 = (X + 3) Para resolver una ecuacin de segundo grado por la competicin de cuadrados se siguen los siguientes pasos: 1) se forma la mitad del coeficiente de X: b., luego se eleva al 2 2 Cuadrado b 2 2) se adiciona a ambos lados de la igualdad 3) se factoriza 4) se hallan las races (X1 , X2 ) Solucin de ecuaciones cuadrticas por completacin del cuadrado Demostremos el mtodo de completacin del cuadrado con un ejemplo. 65. Ejemplo 3 Resolver la siguiente ecuacin cuadrtica . Solucin El mtodo de completacin de cuadrados es como se muestra a continuacin. 1. Reescribir como 2. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto al lado derecho necesitamos aadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuacin. 3. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar el lado derecho de la ecuacin. 4. Sacar la raz cuadrada en ambos lados. Respuesta y Si el coeficiente del trmino no es uno, debemos dividir toda la expresin por este nmero antes de completar el cuadrado. Ejemplo 4 Resolver la siguiente ecuacin cuadrtica . Solucin: 1. Dividir todos los trminos por el coeficiente del trmino . 2. Reescribir como 1. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho necesitamos aadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuacin. 4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar. 66. 5. Sacar la raz cuadrada en ambos lados. Respuesta y Resolver ecuaciones cuadrticas en forma estndar Una ecuacin en forma estndar se escribe como . Para resolver una ecuacin en esta forma primero movemos el trmino constante al lado derecho de la ecuacin. Ejemplo 5 Resolver la siguiente ecuacin cuadrtica . Solucin El mtodo de complementacin de cuadrados se aplica como sigue: 1. Mover la constante al otro lado de la ecuacin. 2. Reescribir como 3. Sumar la constante a ambos lados de la ecuacin 4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar. 5. Sacar la raz cuadrada a ambos lados de la ecuacin. 67. Respuesta y APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRTICAS Las funciones cuadrticas son ms que curiosidades algebraicas son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniera. La parbola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parablicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadrticas ayudan a predecir ganancias y prdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinacin de valores mnimos y mximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en da, desde los carros hasta los relojes, no existiran si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadrticas para su diseo. Comnmente usamos ecuaciones cuadrticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un rea. Si ambas dimensiones estn escritas en trminos de la misma variable, usamos una ecuacin cuadrtica. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuacin cuadrtica para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadrticas tambin son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido. Ejemplos: Resolver la siguiente ecuacin x 2 + 4 x = 12 Solucin: Paso 1: Escribir la ecuacin en la forma general. x 2 + 4 x - 12 = 0 Paso 2: Factorizar x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2 68. Paso 4: Verificar la solucin. Verificar x=-6 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0 Verificar x=2 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0 Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuacin 2 x 2 - 3 = 5 x Solucin: Paso 1: Escribir la ecuacin en la forma general. 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 Paso 2: Factorizar 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x 2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3 Paso 4: Verificar la solucin. Verificar x=-1/2 2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( - 1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3 = - 5 2 - 5 2 =- 5 2 Verificar x=3 2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 - 3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 - 3 = 15 15= 15 DEPRECIACION La depreciacin en lnea recta es uno de los mtodos de depreciacin mas utilizados, principalmente por su sencillez, por la facilidad de implementacin. La depreciacin en lnea recta supone una depreciacin constante, una alcuota peridica de depreciacin invariable En este mtodo de depreciacin se supone que el activo sufre un desgaste constante con el paso del tiempo, lo que no siempre se ajusta a la realidad, toda vez que hay activos que en la medida en que se desgastan, el nivel de desgaste se incrementa, es creciente. Prdida de valor experimentada por los elementos de archivo fijo o inmovilizado de la empresa o de cualquier otra institucin al prestar la funcin que le es propia, por el mero transcurso del tiempo o a causa del progreso tecnolgico. Mientras que, en general, los bienes de archivos circulante se agotan con un solo acto de consumo, del mismo modo que los bienes de consumo 69. corriente, los bienes de activo fijo o inmovilizado se van consumiendo poco a poco, esto es, se deprecian, al igual que ocurre con los bienes de consumo duradero. Los principales tipod de depreciacin. AMORTIZACIN Es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por medio de pagos peridicos. El xito en el desarrollo de un esquema de amortizacin depender exclusivamente del buen criterio del financista para interpretar las condiciones econmicas y desarrollo futuro de su comunidad. SISTEMA DE AMORTIZACION En cuanto a la amortizacin de deudas se aplican diversos sistemas y, dentro de cada uno, hay numerosas variantes que hacen prcticamente inagotable este tema. Todos estos modelos aplicaciones de las anualidades. AMORTIZACION GRADUAL Consiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos. En este tipo de amortizacin, los pagos son iguales y se hacen en intervalo iguales. CALCULO DE LOS VALORES DE LAS AMOTIZACIONES En la amortizacin de una deuda cada pago o anualidad-que se entrega al acreedor- sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda OFERTA Es la cantidad de productos o servicios ofrecidos en el mercado. En la oferta ante un aumento del precio, aumenta la cantidad ofrecida. 70. CURVA DE LA OFERTA En la curva puede verse como cuando el precio es muy bajo, ya no es rentable ofrecer ese producto o servicio es producto o servicio en el mercado, por lo tanto la cantidad ofrecida es 0. DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE OFERTA Se producen modificaciones en diferentes al precio. (Incentivos a la fabricacin de un determinado producto) se produce un desplazamiento de la curva en s (y no sobre la curva). Es decir que al mismo precio habr ms o menos interesados en ofertar. (Mayor o menor cantidad ofrecida en el mercado). DEMANDA Es la cantidad de bienes o servicios que los compradores intentan adquirir en el mercado 71. Por medio de la ley de la demando, se determina que al subir el precio de un bien o servicio, la demanda de este disminuye (a diferencia de los cambios en otros factores que determina un corrimiento de la curva en s). DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE DEMANDA Si se producen modificaciones diferentes al precio 8los habitos de consumo al ponerse de moda un producto o dejarse de utilizar debido a la aparicin de otro) se produce un desplazamiento de la curva de demanda. Esto significa que a un mismo precio habr mas o menos interesado en demandar ese bien o producto. La demanda es elstica cuando ante una variacin del precio, la variacin en la cantidad demandada es (en porcentaje) mayor que la del precio. Por ejemplo en los bienes de lujo suele pasar que ante un aumento de precio la cantidad demandada baja mucho ms porcentualmente. La demanda es inelstica, cuando ante variaciones del precio la cantidad demanda varia (en porcentaje) menos que la del precio. Por ejemplo: en algunos alimentos bsicos, por ms que haya un aumento importante de su precio, la cantidad demandada no vara tanto. 72. APUNTES DE ALGEBRA 73. EVALUACIONES 74. EVALUACIONES SEGUNDO PARCIAL 75. PRIMER PARCIAL 76. TRABAJOS AUTONOMOS 77. UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO DEPRECIACIN ALGEBRA AUTOR: Xiomara Seplveda Cayambe CURSO: Primer nivel A CATEDRTICO ING. OSCAR LOMAS 78. UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO GRAFICAS ALGEBRA AUTOR: Xiomara Seplveda Cayambe CURSO: Primer nivel A CATEDRTICO ING. OSCAR LOMAS 79. UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO Tabla de amortizacin AUTOR: Xiomara Seplveda Cayambe CURSO: Primer nivel A CATEDRTICO Ing. Oscar Lomas 80. En el rea financiera, amortizacin significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos, que, generalmente, son iguales y que se realizan tambin a intervalos de tiempos iguales. Aunque esta igualdad de pagos y de periodicidad es lo ms comn, tambin se llevan a cabo operaciones con algunas variantes. Los problemas de amortizacin de deudas representan la aplicacin prctica del concepto de anualidad. Frmula C= Monto R= Pago peridico n= Plazo en aos P= Perodo en aos TABLA DE AMORTIZACIN Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla de amortizacin que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortizacin y el saldo. La tabla de amortizacin Es un despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta la extincin de la deuda. Se refiere a una tabulacin ordenada de los diferentes valores en una amortizacin. Se realiza con la finalidad de visualizar lo que sucede con la deuda al comienzo de cada perodo, intereses por pagar en cada perodo, parte de la deuda que se amortiza con cada acta en cada perodo, y el total de la deuda amortizada hasta el final de cada perodo. Una vez que conocemos todos los datos del problema de amortizacin (saldo de la deuda, valor del pago regular, tasa de inters y nmero de periodos), construimos la tabla con el saldo inicial de la deuda, desglosamos el pago regular en intereses y pago del principal, deducimos este ltimo del saldo de la deuda en el perodo anterior, repitindose esta mecnica hasta el ltimo perodo de pago. Si los clculos son correctos, veremos que al principio el pago corresponde en mayor medida a intereses,