1. Universidad Politcnica Estatal del Carchi Facultad de Industrias Agropecuarias y Ciencias AmbientalesEscuela de Desarrollo Integral AgropecuarioPortafolio de Algebra I n g . Oscar LomasALGEBRA

2. Contenido SILABO .............................................................................................Error! Bookmark not defined. INTRODUCCIN ............................................................................................................................. 3 OBJETIVOS ................................................................................................................................. 4 CONJUNTO DE NMEROS NATURALES .......................................Error! Bookmark not defined. PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES ...................................Error! Bookmark not defined. EXPONENTES Y RADICALES..........................................................Error! Bookmark not defined. EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................Error! Bookmark not defined. QU ES UNA ECUACIN?...........................................................Error! Bookmark not defined. Partes de una ecuacin ...............................................................Error! Bookmark not defined. Exponente! .................................................................................Error! Bookmark not defined. PRODUCTOS NOTABLES ..............................................................Error! Bookmark not defined. FACTORIZACIN ..........................................................................Error! Bookmark not defined. FACTORIZACIN POR AGRUPAMIENTO. .....................................Error! Bookmark not defined. ECUACIONES LINEALES ................................................................Error! Bookmark not defined.ALGEBRA 3. INTRODUCCIN El lgebra es una rama de las matemticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritmticas y lo nmeros para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos anlogos. Esta rama se caracteriza por hacer implcitas las incgnitas dentro de la misma operacin; ecuacin algebraica. El lgebra continu su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el lgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitgoras. El lgebra es el rea de las matemticas donde las letras (como x o y) u otros smbolos son usados para representar nmeros desconocidos.Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a ambos lados del signo igual (=), as:x-5=2 x-5+5=2+5 x+0=7 x = 7 (la respuesta) Se realizara el estudio tanto de nmeros reales,nmeros enteros positivos,negativos , fraccionarios , productos notables, factorizacin , sistemas de ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.ALGEBRA 4. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Recopilar toda la informacin de cada tema ya visto en el mdulo de algebra, para que sirva de gua base para nuestro estudio. OBJETIVOS ESPECFICOS Elaborar el portafolio estudiantil Analizar la informacin recolectada que servir de base de estudio para la evaluacin. Trabajar en forma grupal en la recoleccin de la informacinALGEBRA 5. SILABO I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATGICO UPEC MISINFormarMISIN ESCUELAprofesionales La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuariohumanistas, emprendedores y contribuye al desarrollo Provincial, Regional y competentes, poseedores de Nacional, conocimientoscientficostecnolgicos;comprometida investigacinconlainvestigacinyentregandoprofesionalesquey participan en la produccin, transformacin, ydinamizacindelsectorla agropecuario y agroindustrial, vinculados con lasolucin de problemas del comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y entorno para contribuir con el calidad desarrolloylaintegracinfronteriza UPEC - VISINALGEBRAVISIN ESCUELA 6. Conjunto de Nmeros Reales Introduccin Un conjunto es una coleccin de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de nmeros pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Las palabras conjunto y elemento son semejantes a lnea y punto en geometra plana. No puede pedirse definirlos en trminos ms primitivos, es slo con la prctica que es posible entender su significado. La situacin es tambin parecida en la forma en la que el nio aprende su primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, un nio infiere el significado de unas cuantas palabras muy simples y termina usndolas para construir un vocabulario funcional. Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la misma forma, es posible aprender matemticas prcticas sin involucrarse con trminos bsico no definidos. Los nmeros reales son los nmeros que se puede escribir con anotacin decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansin decimal infinita. El conjunto de los nmeros reales contiene todos los nmeros enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los nmeros irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de nmeros irracionales son: 2 = 1.4142135623730951 . . . = 3.141592653589793 . . .e = 2.718281828459045 . . .Es muy til representar a los nmeros reales como puntos en la recta real, como mostrado aqu.Observe que los nmeros ms mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estar a la derecha del punto que corresponde a a. Conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:ALGEBRA 7. Conjunto de los nmeros naturales El conjunto de los nmeros naturales, que se denota por corrientemente se presenta as:N o tambin porZN = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carcter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numricos y lleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales. Conjunto de los nmeros enteros El conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta as: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los nmeros enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N, como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = 2.Puede notarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionales El conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente maneraLa introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacinax = b, con a, b Z, a 0. sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.Propiedades de los Nmeros RealesALGEBRA 8. Todos los nmeros que usamos en nuestra vida diaria son nmeros reales. Conocer sus propiedades te ayudar a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemtica pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc. Sean, entonces se verifican las siguientes propiedades:Propiedad de la cerradura La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o ms nmeros reales, y el resultado ser siempre un nmero real. Por ejemplo:Importante:La propiedad de la cerradura tambin aplica para la substraccin pero NO para la divisin, no se puede dividir entre cero.Propiedad conmutativa ALGEBRA 9. La propiedad conmutativa para la adicin y la multiplicacin dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado ser siempre el mismo. Por ejemplo:Importante:La propiedad conmutativa NO aplica para la substraccin o la divisin, pues el resultado se altera.Propiedad asociativa La propiedad asociativa para la adicin y la multiplicacin nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para despus sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el clculo de una expresin. Por ejemplo:Importante:La propiedad asociativa NO aplica para la substraccin o la divisin, pues el resultado se altera.Propiedad distributiva La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adicin y multiplicacin en una expresin, con el fin de facilitar las operaciones aritmticas.Propiedad de identidad (elemento neutro) ALGEBRA 10. La propiedad de identidad para la adicin dice que existe un nmero (llamado elemento neutro de la adicin) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: 25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adicin es el nmero CERO. La propiedad de identidad para la multiplicacin dice que existe un nmero (llamado elemento neutro de la multiplicacin) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicacin: 25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicacin es el nmero UNO. Propiedad del inverso La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un nmero que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO. 28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el nmero La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un nmero que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicacin sea igual a UNO., el inverso multiplicativo para esta multiplicacin esOperaciones con Nmeros Reales Suma Para sumar dos nmeros con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo comn antes de la suma. La suma de dos nmeros positivos ser un nmero positivo, y la suma de dos nmeros negativos ser un nmero negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solucin: Como ambos nmeros que se suman son negativos, la suma ser negativa.ALGEBRA 11. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos nmeros y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos nmeros con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del nmero con el valor absoluto ms grande. La suma de un nmero positivo y un nmero negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta ser el mismo signo que el nmero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los nmeros que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto ms pequeo del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 3 = 5. El nmero -8 tiene un valor absoluto mayor que el nmero 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar Todo problema de sustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 (+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicacin Para multiplicar dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. EjemploALGEBRA 12. Cuando multiplicamos ms de dos nmeros, el producto ser negativo cuando exista un nmero impar de nmeros negativos. El producto ser positivo cuando exista un nmero par de nmeros negativos. Propiedad del cero en la multiplicacin Para cualquier nmero a, Divisin Para dividir dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fraccin es un numero negativo, por lo comn reescribimos la fraccin con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.Exponentes y Radicales La potenciacin o exponenciacin es una multiplicacin de varios factores iguales, al igual que la multiplicacin es una suma de varios sumandos iguales. En la nomenclatura de la potenciacin se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por s misma: Una de las definiciones de la potenciacin, por recurcion, es la siguiente: x1 = x Si en la segunda expresin se toma a=1, se tiene que x = xx0. Al dividir los dos trminos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1. As que cualquier nmero (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no est definido. Sin embargo, tambin se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vaci o simplemente por analoga con el resto de nmeros. Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo. ALGEBRA 13. Propiedades de la potenciacin Las propiedades de la potenciacion son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicacin de los primeros exponentes. Multiplicacin de potencias de igual base La multiplicacin de dos o ms potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. Divisin de potencias de igual base La divisin de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Propiedad distributiva La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. En general:ab = ba Si y slo si a=b. En particular: (a + b)m = am + bm (a b)m = am bm Se cumple en los siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b son iguales a 0 y m0. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciacin, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo nmero / la misma cifra o equivalentes. En particular: ALGEBRA 14. ab = ba Si y slo si a=b. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. a0 = 1 si se cumple que Potencia de exponente 1 Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a. a1 = a Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente 106 = 1000000 104 = 10000 Grfico grfico de Y = X2El grfico de una potencia par tiene la forma de una parbola. Su extremo est en el punto (0, 0), a menos que el grfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones.Radicacin Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: La radicacin de la empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretara de Produccin, Los hechos ALGEBRA 15. muestran que la radicacin en suelo australiano no fue una buena idea para la familia Gonzlez, Tenemos que luchar contra la radicacin de esos hbitos nocivos en nuestra comunidad. En el campo de la matemtica, se conoce como radicacin a la operacin que consiste en obtener la raz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicacin es el proceso que, conociendo el ndice y el radicando, permite hallar la raz. sta ser la cifra que, una vez elevada al ndice, dar como resultado el radicando.Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman un radical. La raz es el nmero que, multiplicado la cantidad de veces que indica el ndice, da como resultado el radicando. Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raz cbica de 8. Tendremos el radicando (8) y el ndice o exponente (3, ya que es una raz cbica). A travs de la radicacin, llegamos a la raz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado alcubo (2 x 2 x 2) es igual a 8. Como puede advertirse, la radicacin es una operacin que resulta inversa a la potenciacin: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x 2 (2elevado al cubo) llegamos a la raz cbica de 8.Operaciones con Expresiones Algebraicas Expresin Algebraica:Es la representacin de un smbolo algebraico o de una o ms operaciones algebraicas. Trmino:Es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo + o -. Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Grado Absoluto de un Trmino: Es la suma de los exponentes de sus factores literales. Grado de un Trmino con relacin a una Letra: Es el exponente de dicha letra. ALGEBRA 16. Clases de Trminos El trmino entero es el que no tiene denominador literal, el trmino fraccionario es el que tiene denominador literal. El trmino racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. Trminos Homogneos:Son los que tienen el mismo grado absoluto. Trminos Heterogneos:Son los de distinto grado absoluto. Trminos Semejantes:Dos trminos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya que ambos trminos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un trmino semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x) 3. 5xyrb es un trmino semejante con xyrb 4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x. 5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3cCLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS MONOMIO. Es una expresin algebraica que consta de un solo trmino.BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos trminos. ALGEBRA 17. TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres trminos.POLINOMIO. Es una expresin algebraica que consta de ms de un trmino.GRADO DE UN MONOMIO Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6 grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:9.5 Cul es el grado de:ALGEBRA? 18. 9.6 Cul es el grado de:?CLASES DE POLINOMIOS.Un polinomio es entero cuando ninguno de sus trminos tiene denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus trminos tiene letras en el denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical; homogneo cuando todos sus trminos son del mismo grado absoluto; heterogneo cuando sus trminos no son del mismo grado. POLINOMIO COMPLETO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el ms alto al ms bajo que tenga dicha letra en el polinomio. POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus trminos de modo que los exponentes de una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. Suma: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre s los coeficientes de los trminos del mismo grado El resultado de sumar dos trminos del mismo grado, es otro trmino del mismo grado. Si falta algn trmino de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se complet con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los trminos de igual grado. Tambin se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIN de cada ejercicio lo mostrar resuelto de las dos maneras. Ejemplo 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x32x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 + ALGEBRA(el polinomio A ordenado y completo) 19. -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros trminos con ceros. As, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado trmino a trmino con el otro polinomio.Ejemplo 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1(grado 2) (grado 3)0x3 - 3x2 + 5x - 4(el polinomio A ordenado y completo)+ 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3A + B = 4x3 - 8x2 + 7x 3 La suma de los trminos de grado 2 di 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los trminos con coeficiente cero. Ejemplo 3: (Uno de los trminos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x5x3 - 4x2 + x + 9 + 0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________ 5x3 + 0x2 - x + 6A + B = 5x3 - x + 6 ALGEBRA 20. Se llama trminos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay trminos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos trminos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sum cero, por no tener otro trmino semejante. Ejemplo 4: (No hay trminos semejantes) A = 4x3 + 5 B = -2x + x24x3 + 0x2 + 0x + 5 + 0x3 + x2 - 2x + 0 ____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los trminos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. As que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los trminos de igual parte literal. Ejemplo 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2ALGEBRA 21. Resta:Ejemplo 1: (Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8(el polinomio A ordenado y completo)5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio: 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 + -5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados) ______________________________ 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los trminos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero tambin se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado. Y tambin se los puede restar "en el mismo rengln", tal como mostr que se puede hacer en la suma. Ejemplo 2: (Resta de polinomios de distinto grado) A = 5x - 4 - 3x2 B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 0x3 - 3x2 + 5x - 4 ALGEBRA(grado 2) (grado 3) (el polinomio A ordenado y completo) 22. 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________0x3 - 3x2 + 5x - 4 + -4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados) ____________________ -4x3 + 2x2 + 3x - 5A - B = -4x3 + 2x2 + 3x 5Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros trminos con ceros. As, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede en columnado trmino a trmino con el otro polinomio. Multiplicacin: Multiplicando todos los trminos de uno de ellos por todos los trminos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicacin y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo: (x + 5).(x - 3) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1 2x.(x + 1) es una multiplicacin de dos polinomios de grado 1Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que haba que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada trmino de una expresin con cada trmino de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =Y luego "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los nmeros que tienen delante". En este ejemplo slo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro nmero no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve tambin ALGEBRA 23. la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los nmeros con los nmeros..." es en realidad "sumar los trminos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) = x2 + 2x - 15 Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la multiplicacin con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se haca en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos trminos. Por ejemplo: A = -9x3 + x + 4x5 B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x (-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) = Se trata, como antes, de multiplicar cada trmino de uno por todos los trminos del otro.Ejemplo 1: (Multiplicacin por un monomio) A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x B = -5x4 -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x X -5x4 ______________________________ 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5Se multiplica al monomio por cada trmino del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicacin de potencias de igual base. Tambin se pueden multiplicar "en el mismo rengln": poniendo el polinomio entre parntesis y luego aplicando la propiedad distributiva.ALGEBRA 24. Ejemplo 2: (Multiplicacin de polinomios completos) A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 B = 3x - 6 4x3 - 5x2 + 2x + 1(el polinomio A ordenado y completo)X 3x - 6 ____________________ -24x3 + 30x2 - 12x - 6(el polinomio B ordenado y completo)+ 12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x _________________________ 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6A cada trmino del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada trmino del primer polinomio. Si ambos polinomios estn completos y ordenados, los resultados quedan tambin completos y ordenados, y es ms fcil en columnarlos segn su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicacin de nmeros de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" nmeros a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicacin de nmeros de varias cifras, y as se logra que los trminos de igual grado queden en la misma columna.Ejemplo 3: (Multiplicacin de polinomios incompletos y desordenados, completndolos y ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x25x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) ALGEBRA 25. X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3xAunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. As es ms fcil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recin aprende el tema, pero luego cuando se tiene ms prctica se preferir no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicacin sin completar los polinomios. En el resultado final ya no se ponen los trminos con 0.Ejemplo 4: (Multiplicacin de polinomios incompletos; sin completarlos, pero s ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x25x4 - 9x2 + x(polinomio A incompleto pero ordenado)X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado) _____________________ 15x4 - 27x2 + 3xALGEBRA 26. -10x6 + 18x4 - 2x3 ____________________________ -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3xA x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x En el resultado de multiplicar por el 3 no hay trmino con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay trmino de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los trminos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dnde ubicar cada trmino. EJEMPLO 5: (Multiplicacin de polinomios de varias letras) A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3 B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10 A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) = -15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 = -15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 = -3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4Cuando los polinomios tienen varias letras, no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo rengln" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicacin de los trminos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los trminos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos trminos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los dems quedan como estn. ALGEBRA 27. Ejemplo 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)X______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el trmino de grado x. Todo lo dems sali ordenado por grado. Ejemplo 7: (Sin ordenar ni completar) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x29x2 + x + 5x4(polinomio A incompleto y desordenado)X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado) __________________________ - 10x6 + 18x4 - 2x3 + 15x4 - 27x2 + 3x _________________________________________ ALGEBRA 28. - 10x6+ 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3xA x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando ms o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas ms para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo trmino, para los grados intermedios que faltan. Divisin: Divisin entre fracciones En este tipo de divisin se cumplen las mismas reglas que con la divisin de monomios y las reglas de divisin de fracciones de la aritmtica. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer trmino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la divisin, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la divisin (esto se llama divisin cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (n = 1), y se escriben en orden alfabtico. Ejemplos:ALGEBRA 29. Divisin de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtindolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de l polinomio. Separamos el polinomio en diferentes trminos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realiz en el captulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos:Divisin entre polinomios. En este tipo de divisin se procede de manera similar a la divisin aritmtica los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los trminos que faltan. El primer trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer trmino del cociente por todos los trminos del divisor, se coloca este producto debajo de l dividendo y se resta del dividendo. El segundo trmino del cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer trmino del divisor. Se multiplica el segundo trmino del cociente por todos los trminos del divisor, se coloca este producto debajo de l dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.ALGEBRA 30. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer trmino no pueda ser dividido por el primer trmino del divisor. Cuando esto ocurre el resto ser el residuo de la divisin. La intencin con este mtodo de divisin es que con cada resta se debe eliminar el trmino que se encuentra ms a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.Factorizacin Factores Se llaman factores o divisores de una expresin algebraica a los que el producto entre s (de estos factores) nos da la expresin primitiva. As, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe, cuyo producto entre s dan la expresin a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15 Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Mtodos para la factorizacin de polinomios Todo Polinomio se puede factorizar utilizando nmeros reales, si se consideran los nmeros complejos. Existen mtodos de factorizacin, para algunos casos especiales. Binomios Diferencia de Cuadrados Suma o diferencia de Cubos Suma o diferencia de potencias impares igualesTrinomios Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x+bx+c Trinomio de la forma ax+bx+cPolinomios Factor comnALGEBRA 31. Factorizar un monomio Se descompone el trmino en el producto de factores primos. Ejemplo: 15ab= 3 x 5 x a x b Factorizar un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o ms factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmtica, hay nmeros primos que slo son divisibles por la unidad y por s mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que slo son divisibles por la unidad ypor ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. As a + b nopuede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque slo es divisible por a + b y por la unidad. A continuacin diferentes casos de descomposicin factorial.Caso I: Factor comn Cuando todos los trminos de un polinomio tienen un factor comn. Ejemplos: a) Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor comn a. Se escribe este factor comn como coeficiente de un parntesis, dentro de este parntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2) b) Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge el mayor factor comn. De las variables, el nico factor comn es b ya que se haya en los dos trminos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor comn ser 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)ALGEBRA 32. Factor comn de un polinomio a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b) Los dos trminos de la expresin tienen como factor comn (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un parntesis, dentro del parntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b). Factorizando se obtiene: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by Obteniendo: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by Factor comn por agrupacin de trminos Se agrupan los trminos que tengan factor comn, asocindolos entre parntesis y luego se extrae el factor comn de cada uno. Ejemplos a) Factorizar ax + by +ay + by Los dos primeros trminos tienen el factor comn x, y los dos ltimos tienen el factor comn y, asociando los dos primeros trminos en un parntesis y los dos ltimos tambin en un parntesis precedido de un signo + ya que el tercer trmino es positivo se obtiene: ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by) ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando Nota: La asociacin de trminos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendr el mismo resultado. Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. As, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a. ALGEBRA 33. En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raz cuadrada de 16a2. Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es tambin raz de 16a2, por lo que la raz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-). Raz cuadrada de un monomio Para extraer la raz cuadrada de un monomio, se saca la raz cuadrada de su coeficiente numrico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2. Ejemplo: La raz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2 Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales. As, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b Por tanto: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trmino del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio ya formado, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplo: a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que: raz cuadrada de a2 = a raz cuadrada de 16b2 = 4b Doble producto de las races: 2 x a x 4b = 8ab Trinomios de la forma x2 + bx + c En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la forma x2 + bx + c, haciendo para ello a + b = b y ab = c Por tanto:ALGEBRA 34. Un trinomio de la forma x2 + bx + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos nmeros a y b cuya suma algebraica sea b y cuyo producto sea c Regla prctica para factorizar el trinomio 1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer trmino es x, es decir, la raz cuadrada del primer trmino del trinomio. 2) En el primer factor, despus de x se escribe el signo del segundo trmino del trinomio, y en el segundo factor, despus de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do trmino del trinomio y el signo del tercer trmino del trinomio. 3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos nmeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio. Estos nmeros son los segundos trminos de los binomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos nmeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio. El mayor de estos nmeros es el primer trmino del primer binomio, y el menor, es el segundo trmino del segundo binomio. Ejemplos: Descomponer en factores: a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20 b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12 c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28 Cubo de una sumaa3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.Cubo de una diferencia ALGEBRA 35. a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 3a2b + 3ab2 b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)3. A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresin algebraica que lo representa:Producto notableExpresin algebraica 22Nombre2(a + b)=a + 2ab + b(a + b)3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Binomio al cuboa2 - b2=(a + b) (a - b)Diferencia cuadradosa3 - b3=(a - b) (a2 + b2 + ab)Diferencia de cubosa3 + b 3=(a + b) (a2 + b2 - ab)Suma de cubosa4 - b4=(a + b) (a - b) (a2 + b2)Diferencia cuarta(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bcTrinomio al cuadradoBinomio al cuadradodeMAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS El problema de calcular el mximo comn divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia fundamental en lgebra computacional. Estos clculos aparecen como subproblemas en operaciones aritmticas sobre funciones racionales o aparecen como clculo prominente en factorizacin de polinomios y en integracin simblica, adems de otros clculos en lgebra. En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variacin del algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrs, es fcil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del lgebra ALGEBRA 36. computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando tcnicas un poco ms sofisticadas. EJERCICIOS Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4aby2a^4-2a^2b^21) Se factorizan las expresiones dadas: > 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)(Se aplic Caso I de Factorizacin)> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) Factorizacin)(Se aplic Caso I y IV de2) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 4a y 2a^2 son 2a Factor comn de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b) por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solucin. NOTA: Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposicin de Factores o Factorizacin, segn el Caso que le corresponda.Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1) Se factorizan las expresiones dadas: > x^2 -4 = (x -2)(x +2) > x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)Se aplic el Caso IV de Factorizacin Se aplic el Caso III de Factorizacin.> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)Se aplic el Caso III de Factorizacin.Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de las 3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4,x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solucin.Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab ALGEBRA 37. Factorizando las expresiones dadas: > 2a^2 +2ab = 2a(a +b)Se aplic el Caso I de Factorizacin.> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b)Se aplic el Caso I de Factorizacin.Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 2a(a +b) por lo tanto el m.c.d. dey4a(a -b)2a^2 +2abyes = 2a 4a^2 -4ab es = 2a< Solucin.2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2) 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I) Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de 3x^2y(2x -2) por lo tanto el m.c.d. dey3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y6x^3y -6x^2y3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3yy9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y4a^3b^2 -8a^2b^3Factorizando las expresiones dadas: > 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) > 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) Factor comn de 4a^2b^2(3b) Por lo tanto el m.c.d. de4) Hallar el m.c.d. dey4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^212a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2ab +byFactorizando las expresiones dadas: ALGEBRA(Para ambas expresiones se aplic el Caso I)a^2 +a 38. > ab +b = b(a +1) > a^2 +a = a(a +1) Factor comn de(Para ambas expresiones se aplic el Caso I)b(a +1)Por lo tanto el m.c.d. de5) Hallar el m.c.d. deya(a +1) esab +bx^2 -xy= (a +1)a^2 +a es = a +1y x^3 -x^2Factorizando las expresiones dadas: > x^2 -x = x(x -1) > x^3 -x^2 = x^2(x -1) Factor comn de x(x -1) Por lo tanto el m.c.d. de6) Hallar el m.c.d. de(Para ambas expresiones se aplic el Caso I) yx^2(x -1) es = x(x -1)x(x -1)y x^2(x -1) es = x(x -1)30ax^2 -15x^3 ,10axy^2 -20x^2y^2Factorizando las expresiones dadas: > 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x) > 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplic el Caso I Factor comn de(3)(5)(x)(x)(2a -x)Por lo tanto el m.c.d. deALGEBRAy30ax^2 -15x^3 ,(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x 10axy^2 -20x^2y^2 es =5x 39. ALGEBRA 40. Ecuaciones Ecuaciones Lineales En matemticas y lgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuacin es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seales, anlisis estructural, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacin lineal as como en la aproximacin de problemas no lineales de anlisis numrico. a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuacin el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque el resultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin se debe: Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) ALGEBRA 41. 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182. Ecuaciones Fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin se debe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.)Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12Ecuaciones LiteralesALGEBRA 42. Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo:Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas tiene la siguiente la forma:Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuacin de una recta. Determinar la solucin del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas. Grficamente, la situacin es la siguienteALGEBRA 43. Representacin Grfica Un sistema con incgnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente. En los sistemas con 2 incgnitas, el universo de nuestro sistema ser el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones ser representada por una recta. La solucin ser el punto (o lnea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningn punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las lneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solucin. En el caso de un sistema con 3 incgnitas, el universo ser el espacio tridimensional, siendo cada ecuacin un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un nico punto, las coordenadas de este sern la solucin al sistema. Si, por el contrario, la interseccin de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendr infinitas soluciones, que sern las coordenadas de los puntos que forman dicha lnea o superficie. Para sistemas de 4 ms incgnitas, la representacin grfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta ptica.Tipos de sistemasLos sistemas de ecuaciones se pueden clasificar segn el nmero de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema compatible si tiene solucin, en este caso adems puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado cuando tiene una nica solucin. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatible si no tiene solucin. Quedando as la clasificacin: ALGEBRA 44. Los sistemas incompatibles geomtricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un nico punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o ms generalmente un hiperplano de dimensin menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:Mtodos de solucin a sistemas de ecuaciones linealesSustitucin El mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuacin, sustituirla en otra ecuacin por su valor. En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuacin y una incgnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este mtodo reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitucin este sistema:En la primera ecuacin, seleccionamos la incgnita Y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite ms las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuacin.El siguiente paso ser sustituir cada ocurrencia de la incgnita Y en la otra ecuacin, para as obtener una ecuacin donde la nica incgnita sea la X Al resolver la ecuacin obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta incgnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7 sistema queda ya resuelto.ALGEBRA, con lo que el 45. Igualacin El mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el mtodo de sustitucin, si despejamos la incgnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas tambin son iguales entre s..Una vez obtenido el valor de la incgnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la . La forma ms fcil de tener el mtodo de sustitucin es realizando un cambio para despejar x despus de averiguar el valor de la y. Reduccin Este mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple. Por ejemplo, en el sistema:Mtodo de Gauss Gauss es uno de los matemticos ms importantes de todos los tiempos. Fue un GENIO!ALGEBRA 46. El mtodo de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fcil de resolver. Es esencialmente el mtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno se ahorra el escribir las incgnitas porque al ir los coeficientes de una misma incgnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incgnita a la que multiplican.Es:Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:Mtodo grficoALGEBRA 47. Consiste en construir la grfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El mtodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensin 2. El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resuelve en los siguientes pasos: 1. Se despeja la incgnita (y) en ambas ecuaciones. 2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. 3. Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4. En este ltimo paso hay tres posibilidades: 1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las incgnitas (x,y). "Sistema compatible determinado". 2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado. 3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin en los reales pero si en los complejos.Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitasSe puede ver:Con lo que podemos decir que la primera ecuacin multiplicada por tres da la segunda ecuacin, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuacin.ALGEBRA 48. Ecuaciones Cuadrticas Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales.Las ecuaciones lineales sonecuaciones polinmicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinmicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadrticas. Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son nmeros reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10a = 9, b = 6, c = 103x2 - 9xa = 3, b = -9, c = 0-6x 2 + 10a = -6, b = 0, c = 10Hay tres formas de hallar las races (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadrticas: 1. Factorizacin Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Frmula CuadrticaFactorizacin Simple: La factorizacin simple consiste en convertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorizacin simple de la ecuacinALGEBRA 49. x2 + 2x 8 = 0(x) (xa=1b=2c=-8[x x = x2])=0( x + ) (x - ) = 0(x + 4 ) (x 2) = 04 y 24 + -2 = 24 -2 = -8 x+4=0x2=0x+4=0 x=04 x = -4x2=0 x=0+2 x=2Estas son las dos soluciones.Completando el Cuadrado: En este mtodo, la ecuacin tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuacin 4x2 + 12x 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:4x2 + 12x 8 = 0 4 4 4 4x2 + 3x 2 = 0 Ahora, a= 1.Ejemplo: x2 + 2x 8 = 0 x2 + 2x = 8ALGEBRA[Ya est en su forma donde a = 1.] [ Pasar a c al lado opuesto.] 50. x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]x2 + 2x + 1=8+1x2 + 2x + 1 = 9 () () =9Hay que factorizar. Nota: Siempre ser un cuadrado perfecto.( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = x+1= 3 x = -1 3[Separar las dos soluciones.]x = -1 + 3 x=2x = -1 3 x = -4Frmula General: Este mtodo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a la siguiente frmula:La frmula genera dos respuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos () antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la frmula.ALGEBRA 51. La frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las tcnicas de factorizacin. Resolver la ecuacin 2x2 + 3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2,b=3 yc = 5, as es que:Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el As es que las soluciones sonALGEBRA 52. ALGEBRA 53. ALGEBRA 54. Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades Aplicaciones de Ecuaciones Pasos para la solucin de problemas: 1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras. 2. Identificar la informacin disponible y qu es lo que se pregunta. 3. Representar la incgnita con un smbolo algebraico, como x. 4. Expresar las dems cantidades en trminos de x. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x. 6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los mtodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje comn. Ejemplo El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. Cuntos estudiantes practican deporte? Solucin: Como, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2, es decir: 240 0,2 = 48. Ejemplo ALGEBRA 55. Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte. En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, qu porcentaje de alumnos aprobaron el examen?Solucin:Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60 Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33 Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podra haber hecho 200 60 = 140) Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91 Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124 Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entoncesEjemplo La ta Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces ms que Laura a cunto le toco cada uno? Solucin Laurita=x Pedro=2x (dos veces ms que Laura) Juanita=5x (cinco veces ms que Laurita) X+2x+5x=160 8x=160 x=160/8 x=20con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100 millones. ALGEBRA 56. Ejemplos Los miembros de una fundacin desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. Cunto debern invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producira al 8% de la inversin total? Solucin: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 P) ser la cantidad a invertir al 6%. Establecemos: (Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total Sustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 P) = (8%)*($18,000)Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 P) = .08*(18,000) .09P + 1,080 .06P = 1,440 .09P .06P = 1,440 1,080 .15P = 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundacin deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 $2,400 = $15,600 al 6%.Desigualdades Lineales Una desigualdad es un enunciado o ecuacin en el que dos expresiones no son iguales, tambin son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos smbolos:,,. En una definicin decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes: X es mayor que YX es menor que YALGEBRA 57. Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incgnita La expresin , Quiere decir que "a" no es igual a "b". Segn particulares de "a" y de "b", puede tenerse , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es positiva y , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es negativa. Desigualdad "es la expresin de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los trminos que estn a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los trminos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definicin de desigualdad, lo mismo que de la escala de los nmeros algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1 Todo nmero positivo es mayor que cero Ejemplo:porque 5 - 0 = 5 2 Todo nmero negativo es menor que cero Ejemplo:Porque -9 -0 = -9 3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menorPorque -10 - (-30) = -10 +30 = 20Ejemplo 1:ALGEBRA 58. Casos Especiales Cuando el lado de la incgnita queda con signo negativo (), se debe realizar un arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incgnita nunca debe quedar con valor negativo. Veamos el siguiente ejemplo: 2x [x (x 50)] < x (800 3x) Primero quitamos los parntesis: 2x [x x +50] < x 800 +3x Reducimos trminos semejantes. 2x [50] < 4x 800 Ahora quitamos los corchetes 2x 50 < 4x 800 Transponemos los trminos, empleando el criterio de operaciones inversas. 2x 4x < 800 +50 Nuevamente reducimos trminos semejantes y llegamos a 2x < 750ALGEBRA 59. Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incgnita, entonces cambiamos de signo a todo (2x queda 2x y 750 queda 750), y adems cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >). 2x > 750 Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.Aplicacin de Desigualdades Una compaa produce un determinado nmero de microscopios; Si duplica su produccin y vende 60 le quedan ms de 26 pero si bajara su produccin a la tercera parte y vendiera 5, entonces tendra menos de 10 microscopios. Cuntos microscopios se fabricaron? SolucinNmero de microscopios fabricados: x La compaa duplica su produccin: 2x Vende 60 : 2x-60 Le quedan ms de 26 : 2x-60 > 26 (I) Baja su produccin a la tercera parte: x/3 Vende 5 microscopios : x/3 5 Tendra menos de 10 : x/3 5 < 10..... (II) Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:mcm:3Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser mayor que 43 pero menor que 45, resultando x=44. Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.ALGEBRA 60. No es muy comn encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemtico y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incgnita (el dato que deseamos conocer). Veamos un problema sencillo como ejemplo: Dentro de cinco aos, Ximena tendr no menos de 18 aos. Qu edad tiene actualmente Ximena? Tenemos entonces: xedad de Ximenax+5edad de Ximena en 5 aosSabemos que la edad de Ximena en cinco aos ser mayor que 18 aos (Dentro de cinco aos, Ximena tendr no menos de 18 aos). x + 5 > 18 Resolvemos la inecuacin: x + 5 > 18 x > 18 -5 x > 13 Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene ms de 13 aos, pero no podemos determinar exactamente su edad. Dos ejemplos de inecuaciones representando la solucin en la recta numrica e indicando el intervalo en el cual se ubica sta:a)X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido. ALGEBRA 61. b)X pertenece al intervalo que va entre la fraccin incluida y el infinito hacia la derecha.Valor Absoluto Si el grado de la inecuacin es uno (de primer grado), se dice que la inecuacin es lineal. Esto porque al escribir las desigualdades usamos nmeros y por esto mismo es que podemos usar la recta numrica para visualizar o graficar dichas desigualdades.Observa que en la recta de arriba: 4 > 1, porque 4 est a la derecha de 1 en la recta numrica. 2 < 3, porque 2 est a la izquierda de 3 en la recta numrica 3 < 1, porque -3 est a la izquierda de 1 en la recta numrica 0 > 4, porque 0 est a la derecha de 4 en la recta numrica Una inecuacin lineal, entonces, es una expresin matemtica que describe cmo se relacionan entre s dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3 + 5x 18; y otro, 2(x + 3) < 9.Como resolver una inecuacin Resolver una inecuacin es encontrar el valor de la incgnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solucin de una inecuacin es, por lo general, un intervalo o una unin de intervalos de nmeros reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numrica, la cual contiene infinitos nmeros reales.ALGEBRA 62. Las reglas para la resolucin de una inecuacin son prcticamente las mismas que se emplean para la resolucin de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades. Como ya dijimos, se puede ilustrar la solucin de una inecuacin con una utilizando la recta numrica y marcando el intervalo entre los nmeros que dan solucin a la desigualdad. Si la solucin incluye algn extremo definido del intervalo, en la grfica representamos dicho extremo con un crculo en negrita; en cambio, si la solucin no incluye el extremo, lo representamos mediante un crculo en blanco. Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numrica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe: Ejemplo: x 7 (equis es mayor o igual a 7)Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numrica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe: Ntese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro del intervalo.Resolucin de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incgnita Veamos algunos ejemplos: Resolver la inecuacin 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53) Debemos colocar las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la desigualdad (en este caso, mayor que >), entonces para llevar el 3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de 3 es +3, porque la operacin inversa de la resta es la suma). ALGEBRA 63. Tendremos: 4x 3 + 3 > 53 + 3 4x > 53 +3 4x > 56 Ahora tenemos el nmero 4 que est multiplicando a la variable o incgnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operacin inversa de la multiplicacin es la divisin). Tendremos ahora:x > 56 4 x> 14Entonces el valor de la incgnita o variable "x" sern todos los nmeros mayores que 14, no incluyendo al 14. Grficamente, esta solucin la representamos as:Esto significa que en la recta numrica, desde el nmero 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ) resuelven la inecuacin. Veamos el siguiente ejemplo: 11x -5x +1 < 65x +36 Llevamos los trminos semejantes a un lado de la desigualdad y los trminos independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario). 11x 5x +65x < 36 1 Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente 49x < 35 Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.ALGEBRA 64. Funciones y Grficas En matemtica, una funcin (f) es una relacin entre un conjunto dado X (Llamado dominio). Y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un nico elemento f(x) del Codominio (los que forman el recorrido, tambin llamado rango o mbito).En lenguaje cotidiano o ms simple, diremos que las funciones matemticas equivalen al proceso lgico comn que se expresa como depende de. Las funciones matemticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefnica que depende de su duracin, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, cul sera la regla que relaciona los nmeros de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: ALGEBRA 65. 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los nmeros de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de funcin). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el nmero". Usualmente se emplean dos notaciones: x --------> x2of(x) = x2 .As, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc. Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemticas. Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilosCada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos tambin que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.ALGEBRA 66. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los nmeros reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del nmero ms 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de nmeros que se corresponden por medio de esta regla son:Con estos ejemplos vamos entendiendo la nocin de funcin: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) estn asociados a uno, y slo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y slo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definicin ms formal: Una funcin (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definicin equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una funcin de X en Y es una regla (o un mtodo) que asigna un (y slo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de nmeros. Generalizando, si se tiene una funcin f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por Bf : X -----> Y) o f(x) = xRecordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la funcin y B es el codominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el nmero 3 es la imagen del nmero 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del nmero 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o mbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x vara en todo el dominio de la funcin. ALGEBRA 67. Ejemplo 3 Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relacin de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cudruplo". Vamos a examinar si esta relacin es una funcin de A en B y determinaremos dominio y recorrido. Veamos: A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un nico elemento de Y, la relacin de dependencia es una funcin (funcin de A en B). Dominio = {1, 2, 3}Recorrido = {4, 8, 12}Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} Aqu debemos recordar que toda funcin es una relacin, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5} Podemos establecer las relaciones f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) } g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) } h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }: Est claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero slo f es una funcin (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es funcin ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una funcin ya que Dom(h) = {1; 2; 3} A (falta el 4). Ejemplo 4 Sea X = {4, 1, 0, 4, 9}, Y = {4,3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raz cuadrada". Vamos a determinar si esta regla constituye funcin de X en Y. Veamos: A simple vista se aprecia que los nmeros 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los nmeros 4 y 1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relacin no es funcinde X en Y. ALGEBRA 68. Dominio y rango de una funcin Como ya vimos, el dominio de una funcin es el conjunto de valores para los cuales la funcin est definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Por ejemplo la funcin f(x) = 3x2 5x est definida para todo nmero real (x puede ser cualquier nmero real). As el dominio de esta funcin es el conjunto de todos los nmeros reales.En cambio, la funcin tiene como dominio todos los valores de x para los cuales 1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de 2, en su definicin determina en qu intervalo est comprendida. Si el dominio no se especfica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los nmeros reales para los cuales la funcin tiene sentido. En el caso de la funcin , el dominio de esta funcin son todos los nmeros reales mayores o iguales a 3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raz cuadrada. Como resumen, para determinar el dominio de una funcin, debemos considerar lo siguiente: Si la funcin tiene radicales de ndice par, el dominio est conformado por todos los nmeros reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero. Si la funcin es un polinomio; una funcin de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio est conformado por el conjunto de todos los nmeros reales. Si la funcin es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio est conformado por todos los nmeros reales para los cuales el denominador sea diferente de cero. El rango (recorrido o mbito) es el conjunto formado por todas las imgenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores estn determinados adems, por el dominio de la funcin. Ejemplo Identificar dominio y rango de la funcin Veamos: Como la funcin tiene radicales el dominio est conformado por todos los valores para los cuales x 2 0. Esto es, el dominio de la funcin incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2. ALGEBRA 69. El rango es igual al conjunto de los nmeros reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen nicamente valores positivos bajo la funcin f. Funciones Especiales Dominio y recorridoEl dominio de una funcin es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la grfica de la funcin, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente estn asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y). Ejemplo para discusin: Determina el dominio y el recorrido de la funcin f cuya grfica es:Ejercicio de prctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente grfica:ALGEBRA 70. Funciones crecientes, decrecientes y constantes Definicin: Sea I in intervalo en el dominio de una funcin f. Entonces: 1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I. 2) f es decreciente en el intervalo I si f(b) y. ALGEBRA 72. Graficar otras desigualdades en la forma estndar y = mx + b es bastante simple tambin. Una vez que graficamos la lnea lmite, podemos encontrar cul es la regin a sombrear si probamos algunos pares ordenados dentro de la regin o, en muchos casos, slo observando la desigualdad. La grfica de la desigualdad y > 4x 5.5 se muestra abajo. La lnea lmite es la recta y = 4x 5.5, y est punteada porque nuestro trmino y es mayor que, no mayor o igual que.Grficas en Coordenadas Rectangulares Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas. ALGEBRA 73. Se puede representar una funcin en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.Funcin identidadLa funcin identidad es la funcin de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los nmeros reales.ALGEBRA 74. Funcin linealUna funcin lineal es una funcin de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son nmeros reales. La restriccin m diferente de cero implica que la grfica no es una recta horizontal. Tampoco su grfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una funcin lineal es el conjunto de los nmeros reales. Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la grfica es creciente en los nmeros reales y si la pendiente es negativa la grfica es decreciente en los nmeros reales. El intercepto en y es (0,b).Rectas, Parbolas y Sistemas de Ecuaciones Rectas Pendiente de una recta Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada por rectas. Una caracterstica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura 4.1 la recta Ll crece ms rpido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En este sentido Ll est ms inclinada respecto a la horizontal. Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2, conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la coordenada x aumenta desde 1 hasta 3.ALGEBRA 75. Definicin Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta es el numero m dado porUna recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella deben tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuacin (1). Para una recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un numerador de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.Ejemplo 1 Relacin precio/cantidad La recta de La figura 4.4 muestra La relacin entre el precio p de un artculo (en dlares) Y La cantidad q de artculos (en miles) que Los consumidores comprarn a ese precio. Determinar e interpretar la pendiente.ALGEBRA 76. Solucin: En la frmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4) (qIpI) Y (8, 1) = (q2' p2)' tenemos:La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la cantidad (un millar de artculos), habr una disminucin de t (d6lar por artculo) en el precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha. En resumen, podemos caracterizar la orientacin de una recta por su pendiente: Pendiente cero: recta horizontal Pendiente indefinida: recta vertical Pendiente positiva: recta que sube de izquierda a derecha Pendiente negativa:recta que desciende de izquierda a derecha Observe que entre ms cercana a cero es la pendiente, est ms cerca de ser horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estar ms cercana a ser vertical. Notamos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son verticales. Ecuaciones de rectas Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuacin cuya grfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a travsdel punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (podemos encontrar una relacin algebraica entre x y y. Utilizando la frmula de la pendiente con los puntos (XI' y I) y (x, y), se obtieneALGEBRA 77. Ejemplo 2 Forma punto-pendiente Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3). Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente. Solucin: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se obtieneEjemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen Encontrar una ecuacin de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4. Solucin: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y b= 4, se obtiene:Rectas paralelas y perpendiculares Como se estableci previamente, existe una regia para rectas paralelas: Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales. Tambin existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2. EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recproco negativo de la pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como lo establece la siguiente regla. Ejemplo 5 Rectas paralelas y perpendiculares Lafigura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x + 1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas ALGEBRA 78. Aplicaciones y Funciones Lineales Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y denotan el nmero de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos los niveles de produccin estn dados por las combinaciones de x y y que satisfacen la ecuacin.Resolviendo para y se obtiene: de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de A, se requerirn 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades menos de B. Por tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2 unidades. Para bosquejar la grfica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepcin y (0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30 Curvas de demanda y de oferta Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de eseproducto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algn periodo. Por 10 comn, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio baja, la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto est dado por p y una cantidad (en unidades) est dada por q. Entonces una ecuacin que relaciona p y q es llamada ecuacin de demanda. Su grfica es la curva de demanda. La Figura 4.14(a) muestra una curva de demanda. ALGEBRA 79. De acuerdo con la prctica de la mayora de los economistas, el eje horizontal es el eje q y el eje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en dlares y el periodo es una semana. As el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dlares por unidad, los consumidores demandaran a unidades por semana. Como precios 0 cantidades negativos no tienen sentido, a y b deben ser no negativos. Para la mayora de los productos, un incremento en la cantidad demandada que corresponde una disminucin en el precio. Por tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a derecha, como en la Figura 4. 14(a).Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los productores estn dispuestos a proveer al mercado durante algn periodo. Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores estn dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye tambin 10 hace la cantidad suministrada. Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una ecuaci6n que relacionap y q es llamadaecuacin de oferta y su grfica es una curva de oferta. La figura 4.14(b) muestra una curva de oferta. Si p est en dlares y el periodo esuna semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los productores proveern c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos. Unacurva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura 4. 14(b). Esto indica que un fabricante suministrara ms de un producto a precios mayores. Centraremos la atencin ahora en las curvas de oferta y de demanda que son lneas rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta linealy de demanda lineal.ALGEBRA 80. Tales curvas tienen ecuaciones en las quep y q estn linealmente relacionadas. Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha, unacurva de demanda lineal tiene pendiente negativa. Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva asciende de izquierda a derecha. Ejemplo 2 Determinacin de una ecuacin de demanda Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinar laecuacin de demanda, suponiendo que es lineal.Solucin: Estrategia:Ya que la ecuacin de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser una lnea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p estn relacionadoslinealmente de tal modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q =200. Estos datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. ppor los puntos (100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuacin de la recta, esto es, la ecuacin de demanda. La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) esUna ecuacin de la recta (forma punto-pendiente) esSimplificando, da la ecuaci6n de demandaALGEBRA 81. Por costumbre, una ecuacin de demanda (as como una ecuacin de oferta) expresaP en trminos de q y define una funcin de q. Por ejemplo, la ecuacin (I) define P como una funcin de q y es llamada la funcin de demanda para el producto Funciones Lineales En la seccin 3.2 se describi una funcinlineal. A continuacin se presenta una definicin formal. Definicin Una funcin f es unafuncin linealsi y solo si f(x) puede ser escrita en laforma f(x)= ax+ b, en donde a y b son constantes y aO.Ejemplo 3 Graficacin de funciones lineales a. Graficar f(x) = 2x - 1. Solucin: Aqu f es una funcin lineal (con pendiente 2), de modo que su grfica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, solonecesitamos graficardos puntos y despus dibujar una recta que pase por ellos. Observe que uno de los puntos graficados es la intercepcin en el eje vertical, -I, que ocurre cuando x = O.ALGEBRA 82. Funciones Cuadrticas Definicin Una funcin f es una funcin cuadrtica si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x) = ax2 + bx+ c, donde a, by c son constantes y a"# O. Por ejemplo: f(x) = x2- 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadrticas. Sinembargo, g(x) = 2 no es cuadrtica ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =ax2 + bx+ c. La grfica de la funcin cuadrtica y = f(x) = ax2 + bx+ c es llamada parbola y tiene una forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la grfica se extiende hacia arriba de manera indefinida y decimos que la parbola se abre haciaarriba. Si a < 0, entonces la parbola se abre hacia abajo. Cada parbola en la figura 4.19 es simtrica con respecto a una recta vertical, llamada el eje de simetra de la parbola. Esto es, si la pgina fuera doblada en unade estas rectas, las dos mitades de la parbola correspondiente coincidiran. El eje(de simetra) no es parte de la parbola, pero es una ayuda til al bosquejarla. La figura 4.19 tambin muestra puntos etiquetados como vrtice, donde el eje corta a la parbola. Si a > 0, el vrtice es el punto "ms bajo" de la parbola. Esto significa que f(x) tiene un valor mnimo en ese punto. Realizando manipulaciones algebraicas sobre ax2 + bx+ c (completar el cuadrado), podemos determinar no solo este valor mnimo, sino tambin en donde ocurre. Tenemos:ALGEBRA 83. ALGEBRA 84. Rpidamente podemos bosquejar la grfica de una funci6n cuadrtica localizando primero el vrtice, la intercepcin y y unos cuantos puntos ms, aquellos en donde la parbola interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0y resolviendo parax. Una vez que las intercepciones y el vrtice han sido 1encontrados,es relativamente fcil trazar la parbola apropiada a travs de estos puntos. Cuando las intercepciones x estn muy cercanas al vrtice, 0 no existan, fijaremos un punto a cada lado del vrtice de modo que podamos dar un bosquejo razonable dela parbola. Tenga en cuenta que una recta vertical (con Inea punteada) a travs del vrtice da el eje de simetra. Graficando puntos a un lado del eje, podemos obtener por simetra los correspondientes del otro lado.Ejemplo 1 Graficacin de una funcin cuadrtica Graficar La funci6n cuadrtica y = f(x) = _x2 - 4x + 12.Solucin: Aqu a = -I, b = -4 Y c = 12. Como a < 0, la parbola abre hacia abajo y por tanto tiene un punto ms alto. La coordenada x del vrtice es b -4- 2a = - 2( - I) = - 2. La coordenada y es f{ -2) = _(_2)2 - 4(-2) + 12 = 16. As, el vrtice es (-2, 16),