Portafolio de algebra amanda – [DOCX Document]

  • 1. UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHIESCUELA DEDESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIOPORTAFOLIO DEL ESTUDIANTEMATERIA:ALGEBRAING: OSCAR LOMASNOMBRE: AMANDA ORDOEZ

2. SILABOSI.DIRECCIONAMIENTO ESTRATGICO UPEC -MISINFormarprofesionalesMISIN – ESCUELAhumanistas,LaEscuelaemprendedores y competentes, poseedoresAgropecuariodeDesarrollocontribuyealIntegral desarrollodeconocimientos cientficos y tecnolgicos; Provincial, Regional yNacional, entregando comprometida con la investigacin y laprofesionalesqueparticipanenlasolucin de problemas del entorno paraproduccin, transformacin, investigacin y contribuir con eldesarrollo y la integracin dinamizacin del sector agropecuario yfronterizaagroindustrial, vinculados con la comunidad, todo estocon criterios de eficiencia y calidad UPEC – VISINVISIN ESCUELASeruna Universidad Politcnica acreditada Liderar a nivel regional elproceso de formacin y por su calidad y posicionamiento regionalREACONOCIMIENTO ESCUELA CINE-UNESCO Agricultura.lograr la excelenciaacadmica generando profesionales competentes en Desarrollo IntegralAgropecuario, con un slido apoyo basado en el profesionalismo yactualizacin de los docentes, en la investigacin, criticidad ycreatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura queincorpore los ltimos adelantos tecnolgicos, pedaggicos y queimplique un ejercicio profesional caracterizado por la explotacinracional de los recursos naturales, produccin limpia, principios deequidad, participacin, ancestralidad, que den seguridad y consiganla soberana alimentaria. SUB-REA CONOCIMIENTO CINE-UNESCOAgricultura, Silvicultura y Pesca.II. DATOS BSICOS DEL MDULOALGEBRA:CDIGO DOCENTE:NIVELPRIMEROOscar Ren Lomas ReyesIng.TELEFONO:0986054587062-932310e-mail:[email protected][email protected] T1CRDITOS P2TOTAL CRDITOS3 3. HORAST16HORAS P32TOTAL HORASPRE-REQUISITOS:(Mdulos obligatorios queDEBEN estar aprobados antes de ste mdulo)48CDIGOS1. NivelacinAprobadaCO-REQUISITOS:(Mdulos obligatorios que TIENEN que aprobaren paralelo a ste mdulo)CDIGOS1. Fsica Aplicada 1EJE DEFORMACIN:(En la malla ubicado en un eje con unnombre)PROFESIONALREA DE FORMACIN:(En la malla agrupado con uncolorAgrcolay un nombre)LIBRO(S)BASE DEL MDULO:(Referencie connorma APA el libro, fsico o digital, disponible en la UPEC paraestudio ) Haeussler, E. (2008). Matemticas para Administracin yEconoma, Dcima segunda edicin:MxicoLIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MDULO:(Referencie connorma APA el libro, fsico o digital, disponible en la UPEC paraestudio)Snut S. y otros (2012). Matemticas para el anlisiseconmico. Segunda edicin: Madrid Espaa. Escudero R. y otros.(2011). Matemticas Bsicas. Segunda edicin: Colombia Soler F. yotros. (2009). Fundamentos de Matemticas. Tercera edicin: Colombia.Pullas G. (2011). Matemtica bsica. Primera edicin: Ecuador.SnchezA.(2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal,Edicin Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl/libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl,Programas Gratis.http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre2012 4. Manual_Razonamiento_Matemtico.pdfDESCRIPCIN DELMDULO:(Describe el aporte del mdulo a la formacin del perfilprofesional, a la MISIN y VISIN de la ESCUELA y, a los logros deaprendizaje de ste mdulo). 100 palabras / 7 lneasEl mdulo deAlgebra, permite al estudiante identificar las posibilidades deresolucin de problemticas del entorno a travs del conocimientomatemtico, haciendo nfasis en estudio de casos, datos estadsticos,anlisis de datos, las matemticas relacionadas a los finanzas, laeconoma, al campo empresarial de manera preferencial al campoagropecuario; donde se genere proyectos productivos y as fortalecerel aprendizaje acadmico pedaggico de los educandos.III. RUTAFORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de lapropuesta GENRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).Escasorazonamiento lgico matemtico Competencia GENRICA – UPEC:(Elija unaque guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)Desarrollar elpensamiento lgico Competencia GLOBAL – ESCUELA:(Elija una queguarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIASGENRICA)Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluarproyectos y servicios del sector rural Competencia ESPECFICA -MDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLMICO ylas COMPETENCIAS GENRICA y GLOBAL)Desarrollar el pensamiento lgicoadecuadamente a travs del lenguaje y las estructuras matemticaspara plantear y resolver problemas del entorno.LOGROS DEAPRENDIZAJE NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVODIMENSIN(Accionessistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)(Elija elgrado de complejidad que UD. EXIGIR para alcanzar ellogro)Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil deIngenieras 5. El estudiante es capaz de:2.TERICO BSICO RECORDARMLPFACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR elDiferenciar losconceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgicomatemtico.1.Identificar los trminos bsicos utilizados durante eldesarrollo del pensamiento lgico matemtico.CONCEPTUAL.-SiTERICOAVANZADO ENTENDERVOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBESABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas enella.el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO oELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA msgrande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.PROCESAL.-Siel estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y loscriterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas ymtodos.PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, 3.PRCTICO BSICOAPLICAR4.PRCTICO AVANZADO ANALIZARDemostrar la utilidad de lasmatemticas para el desarrollo del razonamiento lgicomatemtico.mtodos de investigacin, y los criterios para el uso dehabilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos.PROCESAL.-Si elestudiante SABE CMO HACER,Argumentar el planteamiento que solucin alos problemas planteados. 5.Plantear alternativas mediante laaplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemasplanteadosCONCEPTUAL.-SidarTERICO PRCTICO BSICO EVALUARmtodos deinvestigacin, y los criterios para el uso de habilidades,algoritmos, tcnicas y mtodos.el estudiante va a INTERRELACIONARentre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentrode una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS losvocablos.PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos deinvestigacin, y los criterios para el uso de habilidades,algoritmos, tcnicas y mtodos.Construir expresiones algebraicas quecontribuyan a la solucin de problemas del entorno.1. FACTUAL.-Si elestudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUEDEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolverproblemas en ella.2.6.TERICO PRCTICO AVANZADO CREARCONCEPTUAL.-Siel estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOSBSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande queles permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.-Si elestudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criteriospara el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos.4.METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DELA COGNICIN GENERAL, as como la sensibilizacin y el conocimientodel propio conocimiento. 6. Trabajo interdisciplinar:(Saberesintegrados de los mdulos recibidos y recibiendo que tributandirectamente a la formacin de la COMPETENCIA ESPECFICA). Algebra,calculo, estadstica descriptiva, estadstica inferencial,investigacin de operaciones, matemticas discretas. 7. IV.METODOLOGA DE FORMACIN DEL PERFIL:LOGROS DE APRENDIZAJEHORASCLASECONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOSLOGROS ESPERADOSESTRATEGIAS DIDCTICAS(Acciones sistmicas, ELEMENTOSDE COMPETENCIA, SUB – COMPETENCIAS)COGNITIVOSPROCEDIMENTALESQuTIENEque saber?Saber cmo TIENE queaplicar elconocimiento?Estrategias, mtodos y tcnicasAFECTIVOMOTIVACIONALESPSaber qu y cmo TIENEactuar axiolgicamente?Elestudiante ser capaz deIdentificar los trminos bsicos utilizadosdurante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico.TSistema deNmeros RealesUtilizar organizadores grficos para identificar lasclases de nmeros reales que existeDemostrar comprensin sobre lostipos de nmeros reales1. Disposicin para trabajar en equipoRecta denmeros Reales Operaciones Binarias Potenciacin y RadicacinPropiedades fundamentales AplicacionesUtilizar organizadoresgrficos para ubicar los elementos Relacionar en la uveheursticaUtilizar una actitud reflexiva y critica sobre laimportancia de la matemtica bsicaIdentificar los diferentespropiedades en potenciacin y radicacinAceptar opinionesdiferentesHacer sntesis grficaAceptar errores y elevar elautoestima para que pueda actuar de manera autnoma yeficienteRepasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a lavida del profesional TursticoDEMOSTRAR.Potenciar el climapositivoCaracterizar los nmeros reales para la demostracin 2.Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los nmerosreales. CONVERSACIN HEURISTICA 1. 2. 3.Determinacin del problema.Dialogo mediante preguntas. Debatir, discutir, intercambiarcriterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, bsquedaindividual de la solucin, socializar la solucin.24 8. Diferenciarlos conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamientolgico matemtico.Expresiones algebraicas: nomenclatura yclasificacin. Polinomios clasificacin. Operaciones con Polinomios:adicin, resta, multiplicacin y divisin.Aplicar operacionesmentalesAceptar opiniones divergentesINDUCTIVO-DEDUCTIVOIdentificarlos diferentes tipos polinomiosDestacar la solidaridad en losambientes de trabajoINDUCTIVOAplicar operaciones mentales en laresolucin de un sistema de ecuaciones.Potenciar la resolucin deproblemas24361.ObservacinProductos notables.Identificar losdiferentes tipos de productos notablesDescomposicin Factorial2.Experimentacin. Valorar las participaciones de los demsResolverejercicios3. Informacin (oral, escrita, grfica, etc.)Demostrargrado por lo que hacemos 4. Dramatizacin. 5. Resolucin deproblemas. 6. comprobacin. 7. Asociacin (especial temporal ycasual) 8. Abstraccin. 9. Generalizacin. 10. Resmenes. 11.Ejercicios de fijacin. CONVERSACIN HEURISTICA 1.Mximo comn divisorde polinomios. Demostrar la utilidad de lasResolver ejercicios conpolinomios sencillos y complejosUtilizar una actitud crtica yreflexiva sobre el tema.Determinacin del problema. 2. Dialogomediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios,hurgar la ciencia, discutir la ciencia, bsqueda individual de lasolucin, socializar la solucin. RAZONAR 1.Determinar las 9.matemticas para el desarrollo del razonamiento lgicomatemtico.Mnimo comn mltiplos de polinomios. Operaciones confracciones.Aplicar procesos de resolucin adecuados para resolverproblemas. Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta losmximos y los mnimosAplicacionesCooperar en el desarrollo delconocimiento. Demostrar confianza en el desarrollo del proceso.Cooperar con el grupo en la resolucin de funciones.Distinguir loscomponentes de las expresiones racionalesPlantear alternativasmediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin alos problemas planteadosPlantear ecuaciones lineales.Ecuacioneslineales, resolucin Sistemas lineales y clasificacin. Resolucin deecuaciones lineales.Identificar los sistemas lneas y suclasificacin Elaborar modelos matemticos en la solucin de problemasde la carreraArgumentar el planteamiento que dar solucin a losproblemas planteados.Definicin y clasificacin.1.Trabajar coneficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolucin deproblemas. Demostrar inters en el trabajo individual y de equipoRespetar las opiniones del grupo y fuera de l.Implementar procesosde resolucin adecuados en problemas reales.Expresar coherencia enlas soluciones propuestas valorando las iniciativas de cadaparticipante.Nombrar la definicin de ecuaciones cuadrticasUtilizarcreatividad y capacidad de anlisis y sntesis respetando loscriterios del grupo.AplicacionesEcuaciones reducibles acuadrticasReducir a expresiones sencillas las expresionescuadrticasResolucin de ecuaciones cuadrticas por factoreo.Resolverejercicios sobre expresiones cuadrticasResolucin por completacin deun trinomio cuadrado.Ejercitar las operaciones con polinomiosincompletos.premisas. Encontrar la relacin de inferencia entre laspremisas a travs del trmino medio. 3. Elaborar las conclusiones.RELACIONAR. 2.Analizar de manera independiente los objetos arelacionar. 2. Determinar los criterios de relacin entre losobjetos EXPOSICION PROBLEMICA. Determinar el problema. 2. Realizarel encuadre del problema. 3. Comunicar el conocimiento. 4.Formulacin de la hiptesis. 5. Determinar los procedimientos pararesolver problemas. 6. Encontrar solucin (fuentes, argumentos,bsqueda, contradicciones) EXPOSICIN PROBLEMICA6361.1. Demostrarrazonamiento crtico y reflexivo cooperando en la obtencin deresultados32. 3.4.Determinar el problema Realizar el encuadre delproblema Comunicar el conocimiento (conferencia ,video ) Formulacinde la hiptesis ( interaccin 10. de las partes)Construir expresionesalgebraicas que contribuyan a la solucin de problemas delentorno.Frmula general para resolver ecuaciones cuadrticas.Aplicarla frmula general para la resolucin de ecuacionescuadrticasAplicaciones de la ecuacin cuadrtica.Distinguir loscomponentes de las expresiones racionalesValorar la creatividad delos dems1.Respetar el criterio del grupo. 2.Determinar losprocedimientos para resolver problemas. Encontrar la solucin (fuentes ,argumentos, bsqueda ,contradicciones)36 11. V. PLANEACINDE LA EVALUACIN DEL MDULO FORMAS DE EVALUACIN DE LOGROS DEAPRENDIZAJE LOGROS DE APRENDIZAJEindicar las polticas de evaluacinpara ste mdulo segn los resultados esperados(Acciones sistmicas,ELEMENTOS DEDIMENSINCOMPETENCIA, SUB – COMPETENCIAS)(Elija el gradode complejidad que UD. EXIGIR para alcanzar el logro)INDICADORES DELOGRO DE INGENIERIA descripcin2 PARCIALChat-Foro10%Reactivos50%Documento10%DeberesDocumento10%Documento10%Documento10%ParticipacinvirtualChat-Foro10%PruebasReactivos50%PortafolioDemostrar lautilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamientolgico matemtico.10%ConsultasModelar, simular sistemascomplejos.DocumentoTrabajosCONCEPTUAL.10%Portafolio Interpretar lainformacin.DocumentoPruebasCONCEPTUAL.10%ParticipacinvirtualDiferenciar los conceptos bsicos utilizados para eldesarrollo de pensamiento lgicomatemtico.DocumentoTrabajosFACTUAL.DeberesConsultasIdentificar lostrminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamientolgico matemtico.Interpretar informacin.TCNICAS e INSTRUMENTOS deEVALUACIN1 PARCIALDocumento10%DeberesDocumento10%TrabajosDocumento10%ConsultasDocumento10%ParticipacinvirtualChat-Foro10%PruebasReactivos50%3 PARCIA LSUPLETORI O 12.Portafolio10%Documento10%Chat-Foro10%Reactivos50%Documento10%DeberesDocumento5%TrabajosDocumento5%ConsultasDocumento5%ParticipacinvirtualChat-Foro5%PruebasReactivos25%PortafolioDesarrollar unaestrategia para eldiseo.DocumentoPortafolioCONCEPTUAL10%PruebasArgumentar elplanteamiento que dar solucin a los problemasplanteados.DocumentoConsultasAnalizar problemas y sistemascomplejos.Deberes TrabajosPROCESAL10%Participacin virtualPlantearalternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan darsolucin a los problemasplanteadosDocumento100%Documento5%100%FACTUAL.Interpretarinformacin.DeberesDocumento5%CONCEPTUAL.Modelar, simular sistemascomplejos.TrabajosDocumento5%ConsultasDocumento5%ParticipacinvirtualChat-Foro5%PruebasReactivos25%PortafolioConstruirexpresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemasdel entorno.Documento5%PROCESALAnalizar problemas y sistemascomplejos.METACOGNITIVOESCALA DE VALORACIN Nivel ponderado deaspiracin y9.0 a 10.0 Acreditable – Muy Satisfactorio7.0 a 7.9Acreditable Aceptable8.0 a 8.9 Acreditable Satisfactorio4.0 a 6.9No Acreditable Inaceptable100% 13. alcance 14. VI.GUA DE TRABAJOAUTNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOSLOGROS DE APRENDIZAJEHORAS AUTNOMASAPRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE(Acciones sistmicas,ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)Identificar los trminosbsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgicomatemtico.T INSTRUCCIONESConsulte informacin en el internet ytextos especializados los conceptos de nmeros reales, presentar enorganizadores grficos.RECURSOSLibros. CopiasPPRODUCTODiferencia losdiferentes tipos de sistemas de nmeros reales.24Identifica lostipos de polinomios24Distinguir plenamente entre expresionesracionales 3 e irracionales63636Documentos en pdf. Descarga dedocumentos de la web.Prueba Diferenciar los conceptos bsicosutilizados para el desarrollo de pensamiento lgicomatemtico.Consulta sobre la definicin de un monomio y polinomio.Grado de un polinomio y su ordenamientoLibros. Copias Documentos enpdf. Descarga de documentos de la web.Distinguir plenamente Libros.entre expresiones Copias las racionales e irracionalesDemostrar lautilidad de matemticas para el desarrollo del razonamiento lgicomatemtico. Plantear alternativas mediante la aplicacin de lamatemtica que permitan dar solucin a los problemas planteadosDarsolucin a ecuaciones de primer gradoLibros. Descarga de documentosde Copias la web. Documentos en pdf. Descarga de documentos de laweb.Dar solucin a ecuaciones de primer gradoArgumentar elplanteamiento que dar solucin a los problemasIdentificar los tiposde soluciones que puedenLibros.IdentificarDocumentos enpdf.lostiposdesolucionesquepueden 15. planteados.presentarse en lasolucin de expresiones cuadrticas.Copiaspresentarse en la solucinde expresiones cuadrticasDocumentos en pdf. Descarga de documentosde la web.Construir expresiones algebraicas que contribuyan a lasolucin de problemas del entorno.36PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES:(Proyecto Integrador de conocimientos con los mdulos del Nivel)163212TOTALCRDITOS3 16. VII. Bibliografa.BSICA: (Disponible en laUPEC en fsico y digital REFENCIAR con normas APA) Haeussler, E.(2008). Matemticas para Administracin y Economa, Dcima segundaedicin: Mxico COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en fsico ydigital – REFENCIAR con normas APA) Snut S. y otros (2012).Matemticas para el anlisis econmico. Segunda edicin: Madrid Espaa.Escudero R. y otros. (2011). Matemticas Bsicas. Segunda edicin:Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemticas.Tercera edicin: Colombia. Pullas G. (2011). Matemtica bsica.Primera edicin: Ecuador.SnchezA. (2012). Desarrollo delPensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edicin Primera, Ecuador.http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre2012 Manual_Razonamiento_Matemtico.pdfDOCENTES:Firma:Nombres yApellidosOscar Rene Lomas Reyes Ing. 17. Conjunto de Nmeros RealesIntroduccin Un conjunto es una coleccin de objetos. Por ejemplo, sepuede hablar del conjunto de nmeros pares entre 5 y 11, a saber 6,8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina elemento de eseconjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Laspalabras conjunto y elemento son semejantes a lnea y punto engeometra plana. No puede pedirse definirlos en trminos msprimitivos, es slo con la prctica que es posible entender susignificado. La situacin es tambin parecida en la forma en la queel nio aprende su primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, unnio infiere el significado de unas cuantas palabras muy simples ytermina usndolas para construir un vocabulario funcional. Nadienecesita entender el mecanismo de este proceso para aprenderhablar. De la misma forma, es posible aprender matemticas prcticassin involucrarse con trminos bsico no definidos. Los nmeros realesson los nmeros que se puede escribir con anotacin decimal,incluyendo aquellos que necesitan una expansin decimal infinita. Elconjunto de los nmeros reales contiene todos los nmeros enteros,positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los nmerosirracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca serepiten. Ejemplos de nmeros irracionales son: 2 =1.4142135623730951 . . . = 3.141592653589793 . . .e =2.718281828459045 . . .Es muy til representar a los nmeros realescomo puntos en la recta real, como mostrado aqu.Observe que losnmeros ms mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces elpunto corresponde a b estar a la derecha del punto que correspondea a. Conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmeros realesest constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, sepueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de losnmeros naturales El conjunto de los nmeros naturales, que se denotapor corrientemente se presenta as:N o tambin porN = {1, 2, 3, 4,5,...}. La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivoses de carcter informal.Z 18. Este conjunto permite fundamentar lassucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numricos ylleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales.Conjunto de los nmeros enteros El conjunto de los nmeros enteros,que se denota por Z, corrientemente se presenta as: Z = {..., 3, 2,1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los nmeros enteros se puedenresolver ecuaciones que no tienen solucin en N, como sucede porejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = 2.Puedenotarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionales El conjunto delos nmeros racionales, que se denota por Q, se define de lasiguiente maneraLa introduccin de los nmeros racionales responde alproblema de resolver la ecuacinax = b, con a, b Z, a 0. sta slotiene solucin en Z, en el caso particular en que a sea un divisorde b.Propiedades de los Nmeros Reales 19. Todos los nmeros queusamos en nuestra vida diaria son nmeros reales. Conocer suspropiedades te ayudar a resolver gran cantidad de problemascuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemtica pura,ciencias experimentales, ciencias sociales, etc. Sean, entonces severifican las siguientes propiedades:Propiedad de la cerradura Lapropiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos oms nmeros reales, y el resultado ser siempre un nmero real. Porejemplo:Importante:La propiedad de la cerradura tambin aplica parala substraccin pero NO para la divisin, no se puede dividir entrecero.Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa para la adiciny la multiplicacin dice que puedes cambiar el orden de los sumandoso de los factores y el resultado ser siempre el mismo. Porejemplo:Importante:La propiedad conmutativa NO aplica para lasubstraccin o la divisin, pues el resultado se altera.Propiedadasociativa La propiedad asociativa para la adicin y lamultiplicacin nos permite hacer sumas o multiplicaciones parcialesagrupando los sumandos o los factores para despus sumar omultiplicar los resultados parciales para facilitar el clculo deuna expresin. Por ejemplo: 20. Importante:La propiedad asociativaNO aplica para la substraccin o la divisin, pues el resultado sealtera.Propiedad distributiva La propiedad distributiva tiene quever con reordenar o reorganizar las operaciones de adicin ymultiplicacin en una expresin, con el fin de facilitar lasoperaciones aritmticas.Propiedad de identidad (elemento neutro) Lapropiedad de identidad para la adicin dice que existe un nmero(llamado elemento neutro de la adicin) que al ser usado comosumando no cambia el resultado de la suma: 25 + 0 = 25 el elementoneutro de la adicin es el nmero CERO. La propiedad de identidadpara la multiplicacin dice que existe un nmero (llamado elementoneutro de la multiplicacin) que al ser usado como factor no cambiael resultado de la multiplicacin: 25 * 1 = 25 el elemento neutro dela multiplicacin es el nmero UNO. Propiedad del inverso Lapropiedad del inverso aditivo, dice que existe un nmero que al serusado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual aCERO. 28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el nmeroLa propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un nmeroque al ser usado como factor hace que el resultado de lamultiplicacin sea igual a UNO., el inverso multiplicativo para estamultiplicacin es 21. Operaciones con Nmeros Reales Suma Para sumardos nmeros con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo comn antes dela suma. La suma de dos nmeros positivos ser un nmero positivo, yla suma de dos nmeros negativos ser un nmero negativo. Ejemplo. -5+ (-9) Solucin: Como ambos nmeros que se suman son negativos, lasuma ser negativa. Para determinar la suma, sume los valoresabsolutos de estos nmeros y coloque un signo negativo antes delvalor. Para sumar dos nmeros con signos diferentes (uno positivo yel otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absolutomayor. La respuesta tiene el signo del nmero con el valor absolutoms grande. La suma de un nmero positivo y un nmero negativo puedeser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta ser elmismo signo que el nmero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 +(-8) Como los nmeros que se suman son de signos opuestos, restamosel valor absoluto ms pequeo del valor absoluto mayor. Primerotomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 3= 5. El nmero -8 tiene un valor absoluto mayor que el nmero 3, porlo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar Todo problema desustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio dela regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume elopuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 22. 5 - 8 significa 5(+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 =5 + (-8) = -3 Multiplicacin Para multiplicar dos nmeros con signosiguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valoresabsolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos nmeroscon signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multipliquesus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo Cuandomultiplicamos ms de dos nmeros, el producto ser negativo cuandoexista un nmero impar de nmeros negativos. El producto ser positivocuando exista un nmero par de nmeros negativos. Propiedad del ceroen la multiplicacin Para cualquier nmero a, Divisin Para dividirdos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Paradividir dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otronegativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.Ejemplos. Cuando el denominador de una fraccin es un numeronegativo, por lo comn reescribimos la fraccin con un denominadorpositivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.Exponentes yRadicales La potenciacin o exponenciacin es una multiplicacin devarios factores iguales, al igual que la multiplicacin es una sumade varios sumandos iguales. En la nomenclatura de la potenciacin sediferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe enforma de superndice. El exponente determina la cantidad de vecesque la base se multiplica por s misma: Una de las definiciones dela potenciacin, por recurcion, es la siguiente: x1 = x Si en lasegunda expresin se toma a=1, se tiene que x = xx0. Al dividir losdos trminos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que xsea distinto de 0), queda que x0=1. 23. As que cualquier nmero(salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, enprincipio, no est definido. Sin embargo, tambin se puede definircomo 1 si nos atenemos a la idea de producto vaci o simplemente poranaloga con el resto de nmeros. Para convertir una base conexponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, esdecir que la potencia pasa con exponente positivo. Propiedades dela potenciacin Las propiedades de la potenciacion son lassiguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia debase a es igual a la potencia de base a y exponente igual a lamultiplicacin de los primeros exponentes. Multiplicacin depotencias de igual base La multiplicacin de dos o ms potencias deigual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual ala suma de los mismos exponentes. Divisin de potencias de igualbase La divisin de dos potencias de igual base a es igual a lapotencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentesrespectivos. Propiedad distributiva La potenciacin es distributivacon respecto a la multiplicacin y a la divisin, pero no lo es conrespecto a la suma ni a la resta. En general:ab = ba Si y slo sia=b. En particular: (a + b)m = am + bm (a b)m = am bm Se cumple enlos siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 yel otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b soniguales a 0 y m0. Propiedad conmutativa 24. La propiedadconmutativa no se cumple para la potenciacin, exceptuando aquelloscasos en que base y exponente son el mismo nmero / la misma cifra oequivalentes. En particular: ab = ba Si y slo si a=b. Potencia deexponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 esigual a 1. a0 = 1 si se cumple que Potencia de exponente 1 Todapotencia de base a y exponente 1 es igual a a. a1 = a Potencia debase 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida detantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 comotambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados aun exponente 106 = 1000000 104 = 10000 Grfico grfico de Y = X2Elgrfico de una potencia par tiene la forma de una parbola. Suextremo est en el punto (0, 0), a menos que el grfico seatrasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambasdirecciones.Radicacin Es el proceso y el resultado de radicar. Esteverbo, por su parte, se refiere a lo que dispone de arraigo en undeterminado lugar. Por ejemplo: La radicacin de la empresa en elpolo industrial debe hacerse en la Secretara de Produccin, Loshechos 25. muestran que la radicacin en suelo australiano no fueuna buena idea para la familia Gonzlez, Tenemos que luchar contrala radicacin de esos hbitos nocivos en nuestra comunidad. En elcampo de la matemtica, se conoce como radicacin a la operacin queconsiste en obtener la raz de una cifra o de un enunciado. De estemodo, la radicacin es el proceso que, conociendo el ndice y elradicando, permite hallar la raz. sta ser la cifra que, una vezelevada al ndice, dar como resultado el radicando.Para comprenderestos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes queforman un radical. La raz es el nmero que, multiplicado la cantidadde veces que indica el ndice, da como resultado el radicando.Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la razcbica de 8. Tendremos el radicando (8) y el ndice o exponente (3,ya que es una raz cbica). A travs de la radicacin, llegamos a laraz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado alcubo (2 x 2 x 2) es iguala 8. Como puede advertirse, la radicacin es una operacin queresulta inversa a la potenciacin: retomando el ejemplo anterior,vemos que multiplicando 2 x 2 x 2 (2elevado al cubo) llegamos a laraz cbica de 8.Operaciones con Expresiones Algebraicas ExpresinAlgebraica:Es la representacin de un smbolo algebraico o de una oms operaciones algebraicas. Trmino:Es una expresin algebraica queconsta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre spor el signo + o -. Los elementos de un trmino son cuatro: elsigno, el coeficiente, la parte literal y el grado. Grado Absolutode un Trmino: Es la suma de los exponentes de sus factoresliterales. Grado de un Trmino con relacin a una Letra: Es elexponente de dicha letra. Clases de Trminos 26. El trmino entero esel que no tiene denominador literal, el trmino fraccionario es elque tiene denominador literal. El trmino racional es el que notiene radical, e irracional el que tiene radical. TrminosHomogneos:Son los que tienen el mismo grado absoluto. TrminosHeterogneos:Son los de distinto grado absoluto. TrminosSemejantes:Dos trminos son semejantes cuando tienen la misma parteliteral, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de igualesexponentes. 10 Ejemplos de Trminos Semejantes: 1. x es semejantecon 3x ya que ambos trminos tienen la misma literal (x). 2. xy2 esun trmino semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal(xy2 = y2x) 3. 5xyrb es un trmino semejante con xyrb 4. 4bx2 no essemejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x. 5. 5hkes semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 essemejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8.5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10.378ab3c2 no es semejante a 378a2b3cCLASIFICACION DE LAS EXPRESIONESALGEBRAICAS MONOMIO. Es una expresin algebraica que consta de unsolo trmino.BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos trminos. 27.TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres trminos.POLINOMIO. Esuna expresin algebraica que consta de ms de un trmino.GRADO DE UNMONOMIO Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de suparte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6 grado. Elgrado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemploanterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 yrespecto a c es 1.GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los gradosde los monomios que contiene el polinomio:9.5 Cul es el gradode:9.6 Cul es el grado de: CLASES DE POLINOMIOS.?? 28. Un polinomioes entero cuando ninguno de sus trminos tiene denominador literal;fraccionario cuando alguno de sus trminos tiene letras en eldenominador; racional cuando no contiene radicales; irracionalcuando contiene radical; homogneo cuando todos sus trminos son delmismo grado absoluto; heterogneo cuando sus trminos no son delmismo grado. POLINOMIO COMPLETO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el quecontiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el msalto al ms bajo que tenga dicha letra en el polinomio. POLINOMIOORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el cual losexponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, vanaumentando o disminuyendo. ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sustrminos de modo que los exponentes de una letra escogida come letraordenatriz queden en orden descendente o ascendente. Suma: Parasumar dos polinomios, hay que sumar entre s los coeficientes de lostrminos del mismo grado El resultado de sumar dos trminos del mismogrado, es otro trmino del mismo grado. Si falta algn trmino dealguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemploen el segundo polinomio se complet con 0x2. Y se los suele ordenarde mayor a menor grado, para que en cada columna queden los trminosde igual grado. Tambin se los puede sumar de otra forma (sinponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIN de cada ejercicio lomostrar resuelto de las dos maneras. Ejemplo 1: (Suma de polinomiosde igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x+ 7x32x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8(el polinomio A ordenado ycompleto)+ -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado ycompleto) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x -18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 En el polinomio de menorgrado, se pueden completar los primeros trminos con ceros. As, serellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,para que quede encolumnado trmino a trmino con el otro polinomio.29. Ejemplo 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x- 4 B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1(grado 2) (grado 3)0x3 - 3x2 + 5x - 4(elpolinomio A ordenado y completo)+ 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomioB ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3A + B= 4x3 - 8x2 + 7x 3 La suma de los trminos de grado 2 di 0x2. Luego,en el resultado final ya no se ponen los trminos con coeficientecero. Ejemplo 3: (Uno de los trminos del resultado es cero) A = 9 +5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x5x3 - 4x2 + x + 9 + 0x3 + 4x2 - 2x -3 ____________________ 5x3 + 0x2 - x + 6A + B = 5x3 - x + 6 Sellama trminos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en lospolinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomiosno hay trminos semejantes. Se puede observar que el resultado es lasuma de todos trminos de los dos polinomios, sin modificarseninguno, ya que a cada uno se le sum cero, por no tener otro trminosemejante. Ejemplo 4: (No hay trminos semejantes) A = 4x3 + 5 B =-2x + x2 30. 4x3 + 0x2 + 0x + 5 + 0x3 + x2 - 2x + 0____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los trminossemejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismosexponentes (la misma "parte literal"). Para sumar estos polinomios,no es prctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "encolumnas", porque en general hay pocas coincidencias entre suspartes literales. As que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y"juntar" los trminos de igual parte literal. Ejemplo 5: (Suma depolinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B =8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) +(8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy -2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y- 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2Resta:Ejemplo 1:(Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 +1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8(elpolinomio A ordenado y completo)5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (elpolinomio B ordenado y completo) ______________________________Laresta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos delsegundo 31. polinomio: 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 + -5x4 - 7x3 +0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)______________________________ 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2A - B =4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2Para restar polinomios se suelencambiar los signos de todos los trminos del polinomio que se resta("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar eslo mismo que sumar el "opuesto". Pero tambin se puede hacerrestando los coeficientes del mismo grado. Y tambin se los puederestar "en el mismo rengln", tal como mostr que se puede hacer enla suma. Ejemplo 2: (Resta de polinomios de distinto grado) A = 5x- 4 - 3x2 B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 0x3 - 3x2 + 5x - 4(grado 2)(grado 3) (el polinomio A ordenado y completo)4x3 - 5x2 + 2x + 1(el polinomio B ordenado y completo) ____________________0x3 - 3x2+ 5x - 4 + -4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signoscambiados) ____________________ -4x3 + 2x2 + 3x - 5A - B = -4x3 +2x2 + 3x 5Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, sepueden completar los primeros trminos con ceros. As, se rellenanlas columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para quequede en columnado trmino a trmino con el otro polinomio. 32.Multiplicacin: Multiplicando todos los trminos de uno de ellos portodos los trminos del otro. Se aplica la Propiedad distributivaentre en la multiplicacin y la suma. Antes de aprender polinomios,muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresionesalgebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Porejemplo: (x + 5).(x - 3) es una multiplicacin de dos polinomios degrado 1 2x.(x + 1) es una multiplicacin de dos polinomios de grado1Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes dever el tema "Polinomios". Lo que haba que hacer era "multiplicartodo con todo", es decir, cada trmino de una expresin con cadatrmino de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x+ 5x - 15 =Y luego "juntar las x con las x, los nmeros con losnmeros, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer lacuenta entre los nmeros que tienen delante". En este ejemplo slotenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x.Como otro nmero no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2.Eso de juntar se ve tambin la suma de polinomios: "juntar las x conlas x, los nmeros con los nmeros..." es en realidad "sumar lostrminos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) =x2 + 2x - 15 Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa queaplicar la Propiedad distributiva de la multiplicacin con la suma aesos dos polinomios. Es lo mismo que se haca en las ecuaciones,pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, ytener muchos trminos. Por ejemplo: A = -9x3 + x + 4x5 B = 3x2 + 2x4- 8 - x3 + 5x (-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) = Setrata, como antes, de multiplicar cada trmino de uno por todos lostrminos del otro.Ejemplo 1: (Multiplicacin por un monomio) A = -3x2+ 2x4 - 8 - x3 + 5x B = -5x4 33. -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x X -5x4______________________________ 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5A xB = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5Se multiplica al monomio porcada trmino del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letracon la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman losexponentes, ya que es una multiplicacin de potencias de igual base.Tambin se pueden multiplicar "en el mismo rengln": poniendo elpolinomio entre parntesis y luego aplicando la propiedaddistributiva.Ejemplo 2: (Multiplicacin de polinomios completos) A =4x3 - 5x2 + 2x + 1 B = 3x - 6 4x3 - 5x2 + 2x + 1(el polinomio Aordenado y completo)X 3x - 6 ____________________ -24x3 + 30x2 -12x - 6(el polinomio B ordenado y completo)+ 12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x_________________________ 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6A x B = 12x4 -39x3 + 36x2 - 9x - 6A cada trmino del segundo polinomio hay quemultiplicarlo por cada trmino del primer 34. polinomio. Si ambospolinomios estn completos y ordenados, los resultados quedan tambincompletos y ordenados, y es ms fcil en columnarlos segn su grado,porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultadoscomo se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de lamultiplicacin de nmeros de varias cifras, con la diferencia de queno se "llevan" nmeros a la columna siguiente, sino que se baja elresultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hayque saltearse una columna, tal como en la multiplicacin de nmerosde varias cifras, y as se logra que los trminos de igual gradoqueden en la misma columna.Ejemplo 3: (Multiplicacin de polinomiosincompletos y desordenados, completndolos y ordenndolos) A = -9x2 +x + 5x4 B = 3 - 2x25x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo yordenado) X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 0x5 + 0x4+ 0x3 + 0x2 + 0x -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 -27x2 + 3x + 0A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3xAunque no esobligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Ases ms fcil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de losresultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso sise completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicartodo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando unorecin aprende el tema, pero luego cuando se tiene ms prctica sepreferir no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 sepuede ver hecha esta misma multiplicacin sin completar lospolinomios. En el resultado final ya no se ponen los trminos con 0.35. Ejemplo 4: (Multiplicacin de polinomios incompletos; sincompletarlos, pero s ordenndolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x25x4- 9x2 + x(polinomio A incompleto pero ordenado)X -2x2 + 3(polinomio B incompleto pero ordenado) _____________________ 15x4 -27x2 + 3x -10x6 + 18x4 - 2x3 ____________________________ -10x6 +33x4 - 2x3 - 27x2 + 3xA x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x En elresultado de multiplicar por el 3 no hay trmino con grado 3. Y enel resultado de multiplicar por -2x2, no hay trmino de grado 2. Esoobliga a que, para que queden encolumnados los trminos de igualgrado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios,etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren notener que ponerse a pensar en dnde ubicar cada trmino. EJEMPLO 5:(Multiplicacin de polinomios de varias letras) A = -3x2y3 + 4 -7x2y2 - 6x3y3 B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10 A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2- 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) = -15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 +30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 +70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 = -15x6y4 + 12x6y4 -24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 = -3x6y4 +36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2+ 28x5y3 + 36. 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4Cuando lospolinomios tienen varias letras, no es prctico usar elprocedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobreotro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo rengln" aplicando laPropiedad distributiva. En la multiplicacin de los trminos, hay quesumar los exponentes de las letras que son iguales, por laPropiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" lostrminos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En esteejemplo solamente hubo dos trminos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3.Los dems quedan como estn. Ejemplo 6: (Ordenando y completando elprimero; y ordenando pero no completando el segundo) A = -9x2 + x +5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo yordenado) -2x2 + 3 (polinomio B completo yordenado)X______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x +0-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 -27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Fue necesariosaltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del-27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el trmino de gradox. Todo lo dems sali ordenado por grado. Ejemplo 7: (Sin ordenar nicompletar) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 37. 9x2 + x +5x4(polinomio A incompleto y desordenado)X 3 - 2x2 (polinomio Bincompleto y desordenado) __________________________ - 10x6 + 18x4- 2x3 + 15x4 - 27x2 + 3x _________________________________________- 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2+ 3x Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarloscalculando ms o menos el espacio que necesitamos para todos losgrados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x6,sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas ms para losgrados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a laizquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otrosgrados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si elsegundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y estenuevo trmino, para los grados intermedios que faltan. Divisin:Divisin entre fracciones En este tipo de divisin se cumplen lasmismas reglas que con la divisin de monomios y las reglas dedivisin de fracciones de la aritmtica. Se aplica ley de signos Semultiplica el dividendo del primer trmino por el divisor delsegundo para crear el dividendo de la divisin, y el divisor delprimero por el dividendo del segundo para crear el divisor de ladivisin (esto se llama divisin cruzada) Se divide el coeficientedel dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de losexponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas acero (n = 1), y se escriben en orden alfabtico. Ejemplos: 38.Divisin de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomioentre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, estose realiza convirtindolos en fracciones. Pasos: Colocamos elmonomio como denominador de l polinomio. Separamos el polinomio endiferentes trminos separados por el signo y cada uno dividido porel monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomiostal como se realiz en el captulo anterior. Se realizan las sumas yrestas necesarias. Ejemplos:Divisin entre polinomios. En este tipode divisin se procede de manera similar a la divisin aritmtica lospasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios conrespecto a una misma letra y en el mismo sentido (en ordenascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo sedejan los espacios de los trminos que faltan. El primer trmino delcociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo entreel primer miembro del divisor. Se multiplica el primer trmino delcociente por todos los trminos del divisor, se coloca este productodebajo de l dividendo y se resta del dividendo. El segundo trminodel cociente se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendoparcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primertrmino del divisor. 39. Se multiplica el segundo trmino delcociente por todos los trminos del divisor, se coloca este productodebajo de l dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Secontinua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendoparcial cuyo primer trmino no pueda ser dividido por el primertrmino del divisor. Cuando esto ocurre el resto ser el residuo dela divisin. La intencin con este mtodo de divisin es que con cadaresta se debe eliminar el trmino que se encuentra ms a la izquierdaen el dividendo o dividendo parcial.Factorizacin Factores Se llamanfactores o divisores de una expresin algebraica a los que elproducto entre s (de estos factores) nos da la expresin primitiva.As, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe,cuyo producto entre s dan la expresin a2 + ab, estos son losdivisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Mtodos para lafactorizacin de polinomios Todo Polinomio se puede factorizarutilizando nmeros reales, si se consideran los nmeros complejos.Existen mtodos de factorizacin, para algunos casos especiales.Binomios Diferencia de Cuadrados Suma o diferencia de Cubos Suma odiferencia de potencias impares igualesTrinomios Trinomio cuadradoperfecto Trinomio de la forma x+bx+c Trinomio de la formaax+bx+cPolinomios Factor comn 40. Factorizar un monomio Sedescompone el trmino en el producto de factores primos. Ejemplo:15ab= 3 x 5 x a x b Factorizar un polinomio No todo polinomio sepuede descomponer en un producto indicado de dos o ms factoresdistintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmtica, haynmeros primos que slo son divisibles por la unidad y por s mismos,en Algebra, hay expresiones algebraicas que slo son divisibles porla unidad ypor ellas mismas, en consecuencia, no son el producto deotras expresiones algebraicas. As a + b nopuede descomponerse endos factores distintos de 1 porque slo es divisible por a + b y porla unidad. A continuacin diferentes casos de descomposicinfactorial.Caso I: Factor comn Cuando todos los trminos de unpolinomio tienen un factor comn. Ejemplos: a) Descomponer enfactores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor comn a. Se escribeeste factor comn como coeficiente de un parntesis, dentro de esteparntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar elcociente entre a2 y a y 2a ya Obteniendo como resultado: a2 + 2a =a(a + 2) b)Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numricos tienenlos factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge elmayor factor comn. De las variables, el nico factor comn es b yaque se haya en los dos trminos del binomio y se toma con su menorexponente. El factor comn ser 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 -4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 +3a2)Factor comn de un polinomio a) Descomponer en factores:x(a+b)+y(a+b) 41. Los dos trminos de la expresin tienen como factorcomn (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un parntesis,dentro del parntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b)entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b). Factorizando se obtiene:x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y)= ax+ay+bx+by Obteniendo: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb= ax+ay+bx+by Factor comn por agrupacin de trminos Se agrupan lostrminos que tengan factor comn, asocindolos entre parntesis y luegose extrae el factor comn de cada uno. Ejemplos a)Factorizar ax + by+ay + by Los dos primeros trminos tienen el factor comn x, y losdos ltimos tienen el factor comn y, asociando los dos primerostrminos en un parntesis y los dos ltimos tambin en un parntesisprecedido de un signo + ya que el tercer trmino es positivo seobtiene: ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by) ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b)extrayendo los factores comunes ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y)factorizando Nota: La asociacin de trminos puede hacerse de variosmodos y siempre se obtendr el mismo resultado. Trinomio cuadradoperfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto dedos factores iguales. As, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a. Enefecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por simisma da 16a2, 4a es la raz cuadrada de 16a2. Sin embargo (-4a2) =(-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es tambin raz de 16a2, por lo quela raz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y(-). 42. Raz cuadrada de un monomio Para extraer la raz cuadrada deun monomio, se saca la raz cuadrada de su coeficiente numrico y sedividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2. Ejemplo:La raz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2 Un trinomio es cuadrado perfectocuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto dedos binomios iguales. As, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porquees el cuadrado de a + b Por tanto: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 +2ab + b2 Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto Seextrae la raz cuadrada del primer y tercer trmino del trinomio y seseparan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio yaformado, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por smismo o se eleva al cuadrado. Ejemplo: a) El trinomio a2 + 8ab +16b2 es cuadrado perfecto ya que: raz cuadrada de a2 = a razcuadrada de 16b2 = 4b Doble producto de las races: 2 x a x 4b = 8abTrinomios de la forma x2 + bx + c En el producto notable (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de laforma x2 + bx + c, haciendo para ello a + b = b y ab = c Por tanto:Un trinomio de la forma x2 + bx + q se puede descomponer en elproducto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrardos nmeros a y b cuya suma algebraica sea b y cuyo producto sea cRegla prctica para factorizar el trinomio 1) El trinomio sedescompone en dos factores binomios, cuyo primer trmino es x, esdecir, la raz cuadrada del primer trmino del trinomio. 43. 2) En elprimer factor, despus de x se escribe el signo del segundo trminodel trinomio, y en el segundo factor, despus de x se escribe elsigno que resulta de multiplicar el signo del 2do trmino deltrinomio y el signo del tercer trmino del trinomio. 3) Si los dosfactores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dosnmeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo trmino deltrinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trminodel trinomio. Estos nmeros son los segundos trminos de losbinomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en los mediossignos distintos se buscan dos nmeros cuya diferencia sea el valorabsoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea elvalor absoluto del tercer trmino del trinomio. El mayor de estosnmeros es el primer trmino del primer binomio, y el menor, es elsegundo trmino del segundo binomio. Ejemplos: Descomponer enfactores: a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5= 20 b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y(-6)(-2) = 12 c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y(-4) x 7 = -28 Cubo de una sumaa3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramoscon una expresin de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemosidentificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a+ b)3.Cubo de una diferenciaa3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3Entonces,para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con unaexpresin de la forma a3 3a2b + 3ab2 b3debemos identificarla deinmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)3. A modo deresumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y laexpresin algebraica que lo representa: 44. Producto notableExpresinalgebraicaNombre(a + b)2=a2 + 2ab + b2Binomio al cuadrado(a +b)3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Binomio al cuboa2 - b2=(a + b) (a -b)Diferencia cuadradosa3 - b3=(a - b) (a2 + b2 + ab)Diferencia decubosa3 + b 3=(a + b) (a2 + b2 - ab)Suma de cubosa4 - b4=(a + b) (a- b) (a2 + b2)Diferencia cuarta(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2ab +2ac + 2bcTrinomio al cuadradodeMAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOSEl problema de calcular el mximo comn divisor (MCD) de dospolinomios es de importancia fundamental en lgebra computacional.Estos clculos aparecen como subproblemas en operaciones aritmticassobre funciones racionales o aparecen como clculo prominente enfactorizacin de polinomios y en integracin simblica, adems de otrosclculos en lgebra. En general, podemos calcular el MCD de dospolinomios usando una variacin del algoritmo de Euclides. Elalgoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrs, es fcilde entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vistadel lgebra computacional, este algoritmo tiene variosinconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrolladoalgoritmos mejorados usando tcnicas un poco ms sofisticadas.EJERCICIOS Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4aby2a^4-2a^2b^21)Se factorizan las expresiones dadas: > 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)(Seaplic Caso I de Factorizacin)> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 b^2) =2a^2(a+b)(a-b) Factorizacin)(Se aplic Caso I y IV de 45. 2) Sebuscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factorcomn de 4a y 2a^2 son 2a Factor comn de (a+b) y (a+b)(a-b) son(a+b) por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es =2a(a+b) , que es la Solucin. NOTA: Al factorizar es necesarioaplicar las reglas para la Descomposicin de Factores oFactorizacin, segn el Caso que le corresponda.Ejemplo b) Hallar elm.c.d. de x^2 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1) Se factorizan lasexpresiones dadas: > x^2 -4 = (x -2)(x +2)Se aplic el Caso IV deFactorizacin> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)Se aplic el Caso III deFactorizacin.> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)Se aplic elCaso III de Factorizacin.Se buscan los factores comunes de lasexpresiones encontradas: Factor comn de las 3 expresiones es = (x+2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4,x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x+2 Solucin.Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2-4ab Factorizando las expresiones dadas: > 2a^2 +2ab = 2a(a+b)Se aplic el Caso I de Factorizacin.> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b)Seaplic el Caso I de Factorizacin.Buscando los factores comunes delas expresiones encontradas: Factor comn de 2a(a +b) por lo tantoel m.c.d. dey4a(a -b)2a^2 +2abyes = 2a 4a^2 -4ab es = 2a 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) > 4a^3b^2-8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) Factor comn de 4a^2b^2(3b) Por lo tanto elm.c.d. de4) Hallar el m.c.d. dey(Para ambas expresiones se aplic elCaso I) 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^212a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es =4a^2b^2ab +bya^2 +aFactorizando las expresiones dadas: > ab +b =b(a +1) > a^2 +a = a(a +1) Factor comn de(Para ambas expresionesse aplic el Caso I)b(a +1)Por lo tanto el m.c.d. de5) Hallar elm.c.d. deya(a +1) esab +bx^2 -xy= (a +1)a^2 +a es = a +1y x^3-x^2Factorizando las expresiones dadas: > x^2 -x = x(x -1) >x^3 -x^2 = x^2(x -1) Factor comn de x(x -1) Por lo tanto el m.c.d.de(Para ambas expresiones se aplic el Caso I) yx^2(x -1) es = x(x-1)x(x -1)y x^2(x -1) es = x(x -1) 47. 6) Hallar el m.c.d. de30ax^2-15x^3 ,10axy^2 -20x^2y^2Factorizando las expresiones dadas: >30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x) > 10axy^2-20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplic el CasoI Factor comn de(3)(5)(x)(x)(2a -x)Por lo tanto el m.c.d. dey30ax^2-15x^3 ,(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x 10axy^2 -20x^2y^2 es =5x 48.Ecuaciones Ecuaciones Lineales En matemticas y lgebra lineal, unsistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como sistema linealde ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto deecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en dondecada ecuacin es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o unanillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones serael siguiente:El problema consiste en encontrar los valoresdesconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tresecuaciones. 49. El problema de los sistemas lineales de ecuacioneses uno de los ms antiguos de la matemtica y tiene una infinidad deaplicaciones, como en procesamiento digital de seales, anlisisestructural, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacinlineal as como en la aproximacin de problemas no lineales deanlisis numrico. a) ecuaciones lineales propiamente tales En estetipo de ecuacin el denominador de todas las expresiones algebraicases igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque el resultado spuede serlo). Para proceder a la resolucin se debe: Eliminarparntesis. Dejar todos los trminos que contengan a «x» en unmiembro y los nmeros en el otro Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x +16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182.Ecuaciones Fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal eldenominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas esdiferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin sedebe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicandola ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores(m.c.m.)Ejemplo: 50. m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12Ecuaciones LiteralesPueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, sellevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminossemejantes se factoriza por «x» para despejarla. Ejemplo:Sistemasde ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales con dosincgnitas tiene la siguiente la forma: 51. Donde cada una de lasecuaciones corresponde a la ecuacin de una recta. Determinar lasolucin del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambasecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambasrectas. Grficamente, la situacin es la siguienteRepresentacinGrfica Un sistema con incgnitas se puede representar en eln-espacio correspondiente. En los sistemas con 2 incgnitas, eluniverso de nuestro sistema ser el plano bidimensional, mientrasque cada una de las ecuaciones ser representada por una recta. Lasolucin ser el punto (o lnea) donde se intersequen todas las rectasrepresentan a las ecuaciones. Si no existe ningn punto en el que seintersequen al mismo tiempo todas las lneas, el sistema esincompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solucin. En el caso deun sistema con 3 incgnitas, el universo ser el espaciotridimensional, siendo cada ecuacin un plano dentro del mismo. Sitodos los planos intersecan en un nico punto, las coordenadas deeste sern la solucin al sistema. Si, por el contrario, lainterseccin de todos ellos es una recta o incluso un plano, elsistema tendr infinitas soluciones, que sern las coordenadas de lospuntos que forman dicha lnea o superficie. Para sistemas de 4 msincgnitas, la representacin grfica no existe, por lo que dichosproblemas no se enfocan desde esta ptica. 52. Tipos de sistemasLossistemas de ecuaciones se pueden clasificar segn el nmero desoluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se puedenpresentar los siguientes casos: Sistema compatible si tienesolucin, en este caso adems puede distinguirse entre: Sistemacompatible determinado cuando tiene una nica solucin. Sistemacompatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito desoluciones. Sistema incompatible si no tiene solucin. Quedando asla clasificacin: Los sistemas incompatibles geomtricamente secaracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse.Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por unconjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un nico punto.Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por(hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o msgeneralmente un hiperplano de dimensin menor]. Desde un punto devista algebraico los sistemas compatibles determinados secaracterizan porque el determinante de la matriz es diferente decero:Mtodos de solucin a sistemas de ecuaciones linealesSustitucinEl mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de lasecuaciones cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menorcoeficiente, para, a continuacin, sustituirla en otra ecuacin porsu valor. En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, laseleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todaslas ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En eseinstante, tendremos un sistema con una ecuacin y una incgnita menosque el inicial, en el que podemos seguir aplicando este mtodoreiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver porsustitucin este sistema: 53. En la primera ecuacin, seleccionamosla incgnita Y por ser la de menor coeficiente y que posiblementenos facilite ms las operaciones, y la despejamos, obteniendo lasiguiente ecuacin.El siguiente paso ser sustituir cada ocurrenciade la incgnita Y en la otra ecuacin, para as obtener una ecuacindonde la nica incgnita sea la X Al resolver la ecuacin obtenemos elresultado x = 5,y si ahora sustituimos esta incgnita por su valoren alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7 sistemaqueda ya resuelto., con lo que elIgualacin El mtodo de igualacin sepuede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin enel que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y acontinuacin se igualan entre s la parte derecha de ambasecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para elmtodo de sustitucin, si despejamos la incgnita y en ambasecuaciones nos queda de la siguiente manera:Como se puede observar,ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo quepodemos afirmar que las partes derechas tambin son iguales entres..Una vez obtenido el valor de la incgnita , se sustituye su valoren una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .La forma ms fcil de tener el mtodo de sustitucin es realizando uncambio para despejar x despus de averiguar el valor de la y.Reduccin Este mtodo suele emplearse mayoritariamente en lossistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza pararesolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado parasistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformaruna de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de maneraque obtengamos dos 54. ecuaciones en la que una misma incgnitaaparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin,se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacinde dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita,donde el mtodo de resolucin es simple. Por ejemplo, en elsistema:Mtodo de Gauss Gauss es uno de los matemticos msimportantes de todos los tiempos. Fue un GENIO! El mtodo de Gaussconsiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Paraello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante lasoperaciones elementales con sus filas la transformamos en unamatriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemosun sistema equivalente al inicial y que es muy fcil de resolver. Esesencialmente el mtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se operacon ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno seahorra el escribir las incgnitas porque al ir los coeficientes deuna misma incgnita siempre en una misma columna, uno sabe en todomomento cual es la incgnita a la que multiplican.Es:Si a la terceray segunda fila le restamos la primera, obtenemos: 55. MtodogrficoConsiste en construir la grfica de cada una de las ecuacionesdel sistema. El mtodo (manualmente aplicado) solo resulta eficienteen el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensin 2. Elproceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodogrfico se resuelve en los siguientes pasos: 1. Se despeja laincgnita (y) en ambas ecuaciones. 2. Se construye para cada una delas dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valorescorrespondientes. 3. Se representan grficamente ambas rectas en losejes coordenados. 4. En este ltimo paso hay tres posibilidades: 1.Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte sonlos nicos valores de las incgnitas (x,y). «Sistema compatibledeterminado». 2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tieneinfinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todoslos puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistemacompatible indeterminado. 3. Si ambas rectas son paralelas, elsistema no tiene solucin en los reales pero si en loscomplejos.Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitasSepuede ver: 56. Con lo que podemos decir que la primera ecuacinmultiplicada por tres da la segunda ecuacin, por lo tanto no sondos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la mismaecuacin.Ecuaciones Cuadrticas Anteriormente trabajamos conecuaciones lineales.Las ecuaciones lineales sonecuacionespolinmicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinmicasde grado dos conocidas como ecuaciones cuadrticas. Una ecuacincuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y cson nmeros reales. Ejemplo: 9×2 + 6x + 10a = 9, b = 6, c = 103×2 -9xa = 3, b = -9, c = 0-6x 2 + 10a = -6, b = 0, c = 10Hay tresformas de hallar las races (el o los valores de la variable) de lasecuaciones cuadrticas: 1. Factorizacin Simple 2. Completando elCuadrado 57. 3. Frmula CuadrticaFactorizacin Simple: Lafactorizacin simple consiste en convertir la ecuacin cuadrtica enun producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cadabinomio. Ejemplo: Realizar la factorizacin simple de la ecuacin x2+ 2x 8 = 0(x) (xa=1)=0b=2c=-8[x x = x2]( x + ) (x – ) = 0(x + 4 )(x 2) = 04 y 24 + -2 = 24 -2 = -8 x+4=0x2=0x+4=0 x=04 x = -4×2=0x=0+2 x=2Estas son las dos soluciones.Completando el Cuadrado: Eneste mtodo, la ecuacin tiene que estar en su forma ax2+bx+c; ysiempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo,para factorizar la ecuacin 4×2 + 12x 8 = 0, hay que despejar de lasiguiente forma:4×2 + 12x 8 = 0 4 4 4 4×2 + 3x 2 = 0 Ahora, a= 1.58. Ejemplo: x2 + 2x 8 = 0 x2 + 2x = 8[Ya est en su forma donde a =1.] [ Pasar a c al lado opuesto.]x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocarlos blancos]x2 + 2x + 1=8+1×2 + 2x + 1 = 9 () () =9Hay quefactorizar. Nota: Siempre ser un cuadrado perfecto.( x + 1) (x + 1)= 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = x+1= 3 x = -1 3[Separar las dossoluciones.]x = -1 + 3 x=2x = -1 3 x = -4Frmula General: Este mtodoes muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de laecuacin cuadrtica a la siguiente frmula:La frmula genera dosrespuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos ()antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita,entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valoresen la frmula. 59. La frmula general para resolver una ecuacin desegundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundogrado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tieneque ver con las tcnicas de factorizacin. Resolver la ecuacin 2×2 +3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2,b=3 yc = 5, as es que:Ahora,tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el As es quelas soluciones son 60. Aplicaciones de Ecuaciones Y DesigualdadesAplicaciones de Ecuaciones Pasos para la solucin de problemas: 1.Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo conotras palabras. 2. Identificar la informacin disponible y qu es loque se pregunta. 3. Representar la incgnita con un smboloalgebraico, como x. 4. Expresar las dems cantidades en trminos dex. 5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicasque contengan x. 6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendolos mtodos adecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para versi es posible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguajecomn. Ejemplo El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene240 alumnos, practica deporte. Cuntos estudiantes practicandeporte? Solucin: Como, entonces para calcular el 20% de 240, bastacon multiplicar 240 por 0,2, es decir: 240 0,2 = 48. EjemploEntonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte. En un curso con200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombresaprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, qu porcentaje dealumnos aprobaron el examen?Solucin: 61. Cantidad de mujeres:0,3.200 = 60 Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podra haber hecho 200 60 =140) Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91 Total dealumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124 Si x representa al porcentajede alumnos que aprobaron, entoncesEjemplo La ta Berta al morir dejo160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo eldoble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces ms que Laura acunto le toco cada uno? Solucin Laurita=x Pedro=2x (dos veces msque Laura) Juanita=5x (cinco veces ms que Laurita) X+2x+5x=1608x=160 x=160/8 x=20con el valor descubierto de x ahora sabemos queLaurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100millones. Ejemplos Los miembros de una fundacin desean invertir$18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9y 6%, respectivamente. Cunto debern invertir a cada tasa si elingreso debe ser equivalente al que producira al 8% de la inversintotal? Solucin: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto($18,000 P) ser la cantidad a invertir al 6%. 62. Establecemos:(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = IngresoTotal Sustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 P) =(8%)*($18,000)Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 P) =.08*(18,000) .09P + 1,080 .06P = 1,440 .09P .06P = 1,440 1,080 .15P= 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundacin debeninvertir $2,400 al 9% y $18,000 $2,400 = $15,600 al6%.Desigualdades Lineales Una desigualdad es un enunciado o ecuacinen el que dos expresiones no son iguales, tambin son parecidas alas ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hayunos smbolos:,,. En una definicin decimos que: Suponemos que X y Ypertenecen a los reales donde cumplen con las condicionessiguientes: X es mayor que YX es menor que YDesigualdades.Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incgnita Laexpresin , Quiere decir que «a» no es igual a «b». Segnparticulares de «a» y de «b», puede tenerse , que se lee «a» mayorque «b», cuando la diferencia es positiva y , que se lee «a» menorque «b», cuando la diferencia es negativa. Desigualdad «es laexpresin de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que laotra». Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, lostrminos que estn a la izquierda del signo mayor o menor, forman elprimer miembro de la desigualdad, y los trminos de la derecha,forman el segundo miembro. De la definicin de desigualdad, lo mismoque de la escala de los nmeros algebraicos, se deducen algunasconsecuencias, a saber: 1 Todo nmero positivo es mayor que cero 63.Ejemplo:porque 5 – 0 = 5 2 Todo nmero negativo es menor que ceroEjemplo:Porque -9 -0 = -9 3 Si dos nmeros son negativos, es mayorel que tiene menorPorque -10 – (-30) = -10 +30 = 20Ejemplo 1:CasosEspeciales Cuando el lado de la incgnita queda con signo negativo(), se debe realizar un arreglo para eliminar ese signo negativo,ya que la incgnita nunca debe quedar con valor negativo. Veamos elsiguiente ejemplo: 2x [x (x 50)] < x (800 3x) Primero quitamoslos parntesis: 2x [x x +50] < x 800 +3x Reducimos trminossemejantes. 64. 2x [50] < 4x 800 Ahora quitamos los corchetes 2x50 < 4x 800 Transponemos los trminos, empleando el criterio deoperaciones inversas. 2x 4x < 800 +50 Nuevamente reducimostrminos semejantes y llegamos a 2x < 750 Pero sabemos que nopuede quedar signo negativo en la parte de la incgnita, entoncescambiamos de signo a todo (2x queda 2x y 750 queda 750), y ademscambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por>). 2x > 750 Despejamos x pasando al 2 a dividir, luegosimplificamos.Aplicacin de Desigualdades Una compaa produce undeterminado nmero de microscopios; Si duplica su produccin y vende60 le quedan ms de 26 pero si bajara su produccin a la terceraparte y vendiera 5, entonces tendra menos de 10 microscopios.Cuntos microscopios se fabricaron? SolucinNmero de microscopiosfabricados: x La compaa duplica su produccin: 2x Vende 60 : 2x-60Le quedan ms de 26 : 2x-60 > 26 (I) Baja su produccin a latercera parte: x/3 Vende 5 microscopios : x/3 5 Tendra menos de 10: x/3 5 < 10..... (II) Resolviendo las inecuaciones I y II,tenemos:mcm:3 65. Es decir, el numero de microscopios fabricadosdebe ser mayor que 43 pero menor que 45, resultando x=44. Rpta. Sefabricaron 44 microscopios.No es muy comn encontrar problemas coninecuaciones, pero de todas formas, si nos encontramos frente aeste caso, debemos plantearlo en lenguaje matemtico y luegorealizar las operaciones correspondientes para hallar el valor dela incgnita (el dato que deseamos conocer). Veamos un problemasencillo como ejemplo: Dentro de cinco aos, Ximena tendr no menosde 18 aos. Qu edad tiene actualmente Ximena? Tenemos entonces:xedad de Ximenax+5edad de Ximena en 5 aosSabemos que la edad deXimena en cinco aos ser mayor que 18 aos (Dentro de cinco aos,Ximena tendr no menos de 18 aos). x + 5 > 18 Resolvemos lainecuacin: x + 5 > 18 x > 18 -5 x > 13 Entonces podemosafirmar que Ximena actualmente tiene ms de 13 aos, pero no podemosdeterminar exactamente su edad. Dos ejemplos de inecuacionesrepresentando la solucin en la recta numrica e indicando elintervalo en el cual se ubica sta:a) 66. X pertenece al intervaloque va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.b)Xpertenece al intervalo que va entre la fraccin incluida y elinfinito hacia la derecha.Valor Absoluto Si el grado de lainecuacin es uno (de primer grado), se dice que la inecuacin eslineal. Esto porque al escribir las desigualdades usamos nmeros ypor esto mismo es que podemos usar la recta numrica para visualizaro graficar dichas desigualdades.Observa que en la recta de arriba:4 > 1, porque 4 est a la derecha de 1 en la recta numrica. 2< 3, porque 2 est a la izquierda de 3 en la recta numrica 3 <1, porque -3 est a la izquierda de 1 en la recta numrica 0 > 4,porque 0 est a la derecha de 4 en la recta numrica Una inecuacinlineal, entonces, es una expresin matemtica que describe cmo serelacionan entre s dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3 + 5×18; y otro, 2(x + 3) < 9.Como resolver una inecuacin Resolveruna inecuacin es encontrar el valor de la incgnita para los cualesse cumple la desigualdad. La solucin de una inecuacin es, por logeneral, un intervalo o una unin de intervalos de nmeros reales,por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos enla recta numrica, la cual contiene infinitos nmeros reales. 67. Lasreglas para la resolucin de una inecuacin son prcticamente lasmismas que se emplean para la resolucin de ecuaciones, pero debentenerse presentes las propiedades de las desigualdades. Como yadijimos, se puede ilustrar la solucin de una inecuacin con unautilizando la recta numrica y marcando el intervalo entre losnmeros que dan solucin a la desigualdad. Si la solucin incluye algnextremo definido del intervalo, en la grfica representamos dichoextremo con un crculo en negrita; en cambio, si la solucin noincluye el extremo, lo representamos mediante un crculo en blanco.Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)Los valores mayores a 7 serepresentan a la derecha de la recta numrica y no incluyen al 7. Enintervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha seescribe: Ejemplo: x 7 (equis es mayor o igual a 7)Los valoresmayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la rectanumrica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia elinfinito a la derecha se escribe: Ntese la postura del corchetecuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro delintervalo.Resolucin de inecuaciones lineales (de primer grado) conuna incgnita Veamos algunos ejemplos: Resolver la inecuacin 4x – 3> 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53) Debemoscolocar las letras a un lado y los nmeros al otro lado de ladesigualdad (en este caso, mayor que >), entonces para llevar el3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso(el inverso de 3 es +3, porque la operacin inversa de la resta esla suma). Tendremos: 4x 3 + 3 > 53 + 3 4x > 53 +3 68. 4x >56 Ahora tenemos el nmero 4 que est multiplicando a la variable oincgnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdaddividiendo (la operacin inversa de la multiplicacin es la divisin).Tendremos ahora:x > 56 4 x> 14Entonces el valor de laincgnita o variable «x» sern todos los nmeros mayores que 14, noincluyendo al 14. Grficamente, esta solucin la representamosas:Esto significa que en la recta numrica, desde el nmero 14 (sinincluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito +) resuelven la inecuacin. Veamos el siguiente ejemplo: 11x -5x +1< 65x +36 Llevamos los trminos semejantes a un lado de ladesigualdad y los trminos independientes al otro lado de ladesigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde eranecesario). 11x 5x +65x < 36 1 Resolvemos las operacionesindicadas anteriormente 49x < 35 Aplicamos operaciones inversas,y simplificamos. 69. Funciones y Grficas En matemtica, una funcin(f) es una relacin entre un conjunto dado X (Llamado dominio). Yotro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de Forma que a cadaelemento x del dominio le corresponde un nico elemento f(x) delCodominio (los que forman el recorrido, tambin llamado rango ombito).En lenguaje cotidiano o ms simple, diremos que las funcionesmatemticas equivalen al proceso lgico comn que se expresa comodepende de. Las funciones matemticas pueden referirse a situacionescotidianas, tales como: el costo de una llamada telefnica quedepende de su duracin, o el costo de enviar una encomienda quedepende de su peso. A modo de ejemplo, cul sera la regla querelaciona los nmeros de la derecha con los de la izquierda en lasiguiente lista?: 1 --------> 1 2 ——–> 4 3 ——–>9 4 ——–> 16 Los nmeros de la derecha son los cuadrados delos de la izquierda. La regla es entonces «elevar al cuadrado»: 1——–> 1 70. 2 ——–> 4 3 ——–> 9 4 ——–>16 x ——–> x2. Para referirse a esta regla podemos usar unnombre, que por lo general es la letra f (de funcin). Entonces, fes la regla «elevar al cuadrado el nmero». Usualmente se empleandos notaciones: x ——–> x2of(x) = x2 .As, f(3) significaaplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. Entonces f(3) =9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc. Veamosalgunos ejemplos que constituyen funciones matemticas. Ejemplo 1Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y supeso expresado en kilosCada persona (perteneciente al conjunto X odominio) constituye lo que se llama la entrada o variableindependiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio)constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.Notemos tambin que es posible que dos personas diferentes tengan elmismo peso. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de losnmeros reales (variable independiente) y el mismo conjunto(variable dependiente), definida por la regla «doble del nmero ms3». x ——-> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares denmeros que se corresponden por medio de esta regla son: 71. Conestos ejemplos vamos entendiendo la nocin de funcin: como vemos,todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) estnasociados a uno, y slo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos ycada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin sucorrespondiente elemento en Y. A uno y slo a uno significa que a unmismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementosdistintos en Y. Ahora podemos enunciar una definicin ms formal: Unafuncin (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjuntoX (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y(codominio). Otra definicin equivalente es: sean X e Y dosconjuntos. Una funcin de X en Y es una regla (o un mtodo) queasigna un (y slo uno) elemento en Y a cada elemento en X.Usualmente X e Y son conjuntos de nmeros. Generalizando, si setiene una funcin f, definida de un conjunto A en un conjunto B, seanota f : A —–> B (o, usando X por A e Y por Bf : X —–>Y) o f(x) = xRecordemos de nuevo que el primer conjunto A se conocecomo dominio (Dom) de la funcin y B es el codominio o conjunto dellegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es lapreimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el nmero 3 es la imagendel nmero 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del nmero 5. Elrango (Rg) o recorrido (Rec) o mbito (A) es el conjunto de todoslos valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x vara en todoel dominio de la funcin. Ejemplo 3 Suponga que el conjunto A (desalida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B ={0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relacin de dependencia ocorrespondencia entre A y B es «asignar a cada elemento sucudruplo». Vamos a examinar si esta relacin es una funcin de A en By determinaremos dominio y recorrido. Veamos: 72. A los elementos1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, loselementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A lecorresponde un nico elemento de Y, la relacin de dependencia es unafuncin (funcin de A en B). Dominio = {1, 2, 3}Recorrido = {4, 8,12}Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0,4, 6, 8, 10, 12} Aqu debemos recordar que toda funcin es unarelacin, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplosde relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos lassiguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2;3; 4; 5} Podemos establecer las relaciones f = { (1; 2); (2; 3);(3; 4); (4; 5) } g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) } h ={ (1; 1); (2; 2); (3; 3) }: Est claro que f, g y h son relacionesde A en B, pero slo f es una funcin (todos los elementos delconjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es funcinya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1).Tampoco h es una funcin ya que Dom(h) = {1; 2; 3} A (falta el 4).Ejemplo 4 Sea X = {4, 1, 0, 4, 9}, Y = {4,3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} yque la regla de correspondencia es » asignar a cada elemento de Xel resultado de extraer su raz cuadrada». Vamos a determinar siesta regla constituye funcin de X en Y. Veamos: A simple vista seaprecia que los nmeros 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a losnmeros 4 y 1 no les corresponden elementos en Y. Como existenelementos de X que no se corresponden con elementos de Y, estarelacin no es funcinde X en Y.Dominio y rango de una funcin Como yavimos, el dominio de una funcin es el conjunto de valores para loscuales la funcin est definida; es decir, son todos los valores quepuede tomar la variable independiente (la x). Por ejemplo la funcinf(x) = 3×2 5x est definida para todo nmero real (x puede sercualquier nmero real). As el dominio de esta funcin es el conjuntode todos los nmeros reales. 73. En cambio, la funcin tiene comodominio todos los valores de x para los cuales 1< x < 2,porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de 2, ensu definicin determina en qu intervalo est comprendida. Si eldominio no se especfica, debe entenderse que el dominio incluye atodos los nmeros reales para los cuales la funcin tiene sentido. Enel caso de la funcin , el dominio de esta funcin son todos losnmeros reales mayores o iguales a 3, ya que x + 3 debe ser mayor oigual que cero para que exista la raz cuadrada. Como resumen, paradeterminar el dominio de una funcin, debemos considerar losiguiente: Si la funcin tiene radicales de ndice par, el dominioest conformado por todos los nmeros reales para los cuales lacantidad subradical sea mayor o igual a cero. Si la funcin es unpolinomio; una funcin de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn(donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo),el dominio est conformado por el conjunto de todos los nmerosreales. Si la funcin es racional; esto es, si es el cociente de dospolinomios, el dominio est conformado por todos los nmeros realespara los cuales el denominador sea diferente de cero. El rango(recorrido o mbito) es el conjunto formado por todas las imgenes;es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puedetomar la variable dependient

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