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  • 1. UNIVERSIDAD POLITCNICA ESTATAL DEL CARCHIFACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral AgropecuarioModalidad PRESENCIALMdulo ALGEBRA ALUMNA:Josselinne Natalia Bolaos Murillo PERODO ACADMICO Septiembre 2013 Febrero 2014Tulcn, Febrero 2014

2. UPEC- Mision Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos cientficos y tecnolgicos; comprometida con la investigacin y la solucin de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integracin fronteriza Escuela Mision La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la produccin, transformacin, investigacin y dinamizacin del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad UPEC Vision Ser una Universidad Politcnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional UPEC Vision Liderar a nivel regional el proceso de formacin y lograr la excelencia acadmica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un slido apoyo basado en el profesionalismo y actualizacin de los docentes, en la investigacin, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los ltimos adelantos tecnolgicos, pedaggicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotacin racional de los recursos naturales, produccin limpia, principios de equidad, participacin, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberana alimentaria. Descripcion del modulo El mdulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolucin de problemticas del entorno a travs del conocimiento matemtico, haciendo nfasis en estudio de casos, datos estadsticos, anlisis de datos, las matemticas relacionadas a los finanzas, la economa, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y as fortalecer el aprendizaje acadmico pedaggico de los educandos. 3. LOGROS DE APRENDIZAJE NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVO1.TERICO BSICO RECORDAR MLP2.TERICO AVANZADO ENTENDER3.PRCTICO BSICO APLICAR4.PRCTICO AVANZADO ANALIZAR5.DIMENSIN(Acciones sistmicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS) Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenieras(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRpara alcanzar el logro)El estudiante es capaz de: Identificar los trminos bsicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lgico matemtico. Diferenciar los conceptos bsicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lgico matemtico.Demostrar la utilidad de las matemticas para el desarrollo del razonamiento lgico matemtico. Plantear alternativas mediante la aplicacin de la matemtica que permitan dar solucin a los problemas planteados Argumentar el planteamiento que dar solucin a los problemas planteados.TERICO PRCTICO BSICO EVALUARConstruir expresiones algebraicas que contribuyan a la solucin de problemas del entorno.6.TERICO PRCTICO AVANZADO CREARFACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.CONCEPTUAL.-Siel estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos.PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos.CONCEPTUAL.-Siel estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA ms grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CMO HACER, mtodos de investigacin, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, tcnicas y mtodos. 4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIN GENERAL, as como la sensibilizacin y el conocimiento del propio conocimiento. 4. Conjunto de Nmeros Reales Introduccin Un conjunto es una coleccin de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de nmeros pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Las palabras conjunto y elemento son semejantes a lnea y punto en geometra plana. No puede pedirse definirlos en trminos ms primitivos, es slo con la prctica que es posible entender su significado. La situacin es tambin parecida en la forma en la que el nio aprende su primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, un nio infiere el significado de unas cuantas palabras muy simples y termina usndolas para construir un vocabulario funcional. Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la misma forma, es posible aprender matemticas prcticas sin involucrarse con trminos bsico no definidos. Los nmeros reales son los nmeros que se puede escribir con anotacin decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansin decimal infinita. El conjunto de los nmeros reales contiene todos los nmeros enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los nmeros irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de nmeros irracionales son: 2 = 1.4142135623730951 . . . = 3.141592653589793 . . .e = 2.718281828459045 . . .Es muy til representar a los nmeros reales como puntos en la recta real, como mostrado aqu.Observe que los nmeros ms mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estar a la derecha del punto que corresponde a a. Conjunto de los nmeros realesEl conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los nmeros naturalesEl conjunto de los nmeros naturales, que se denota por N o tambin por Z corrientemente se presenta as: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carcter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numricos y lleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales. Conjunto de los nmeros enterosEl conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta as: 5. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los nmeros enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N, como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = 2.Puede notarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionalesEl conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente maneraLa introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacinax = b, con a, b Z, a 0. sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Propiedades de los Nmeros RealesTodos los nmeros que usamos en nuestra vida diaria son nmeros reales. Conocer sus propiedades te ayudar a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemtica pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc. Sean, entonces se verifican las siguientes propiedades:Propiedad de la cerradura La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o ms nmeros reales, y el resultado ser siempre un nmero real. Por ejemplo: 6. Importante:La propiedad de la cerradura tambin aplica para la substraccin pero NO para la divisin, no se puede dividir entre cero.Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa para la adicin y la multiplicacin dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado ser siempre el mismo. Por ejemplo:Importante:La propiedad conmutativa NO aplica para la substraccin o la divisin, pues el resultado se altera.Propiedad asociativa La propiedad asociativa para la adicin y la multiplicacin nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para despus sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el clculo de una expresin. Por ejemplo:Importante:La propiedad asociativa NO aplica para la substraccin o la divisin, pues el resultado se altera. 7. Propiedad distributiva La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adicin y multiplicacin en una expresin, con el fin de facilitar las operaciones aritmticas.Propiedad de identidad (elemento neutro) La propiedad de identidad para la adicin dice que existe un nmero (llamado elemento neutro de la adicin) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: 25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adicin es el nmero CERO. La propiedad de identidad para la multiplicacin dice que existe un nmero (llamado elemento neutro de la multiplicacin) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicacin: 25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicacin es el nmero UNO. Propiedad del inverso La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un nmero que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO. 28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el nmeroLa propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un nmero que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicacin sea igual a UNO., el inverso multiplicativo para esta multiplicacin esOperaciones con Nmeros Reales SumaPara sumar dos nmeros con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo comn antes de la suma. La suma de dos nmeros positivos ser un nmero positivo, y la suma de dos nmeros negativos ser un nmero negativo. Ejemplo. -5 + (-9) 8. Solucin: Como ambos nmeros que se suman son negativos, la suma ser negativa. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos nmeros y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos nmeros con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del nmero con el valor absoluto ms grande. La suma de un nmero positivo y un nmero negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta ser el mismo signo que el nmero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los nmeros que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto ms pequeo del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 3 = 5. El nmero -8 tiene un valor absoluto mayor que el nmero 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 RestarTodo problema de sustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 (+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 = 5 + (-8) = -3 MultiplicacinPara multiplicar dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo Cuando multiplicamos ms de dos nmeros, el producto ser negativo cuando exista un nmero impar de nmeros negativos. El producto ser positivo cuando exista un nmero par de nmeros negativos. Propiedad del cero en la multiplicacin Para cualquier nmero a, DivisinPara dividir dos nmeros con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. 9. Cuando el denominador de una fraccin es un numero negativo, por lo comn reescribimos la fraccin con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente. 10. Exponentes y Radicales La potenciacin o exponenciacin es una multiplicacin de varios factores iguales, al igual que la multiplicacin es una suma de varios sumandos iguales. En la nomenclatura de la potenciacin se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por s misma: Una de las definiciones de la potenciacin, por recurcion, es la siguiente: x1 = x Si en la segunda expresin se toma a=1, se tiene que x = xx0. Al dividir los dos trminos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1. As que cualquier nmero (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no est definido. Sin embargo, tambin se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vaci o simplemente por analoga con el resto de nmeros. Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo. Propiedades de la potenciacin Las propiedades de la potenciacion son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicacin de los primeros exponentes. Multiplicacin de potencias de igual base La multiplicacin de dos o ms potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. Divisin de potencias de igual base La divisin de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Propiedad distributiva La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. En general:ab = ba Si y slo si a=b. En particular: (a + b)m = am + bm (a b)m = am bm Se cumple en los siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b son iguales a 0 y m0. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciacin, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo nmero / la misma cifra o equivalentes. En particular: ab = ba Si y slo si a=b. 11. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. a0 = 1 si se cumple que Potencia de exponente 1 Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a. a1 = a Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente 106 = 1000000 104 = 10000 Grfico grfico de Y = X2El grfico de una potencia par tiene la forma de una parbola. Su extremo est en el punto (0, 0), a menos que el grfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones.Radicacin Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: La radicacin de la empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretara de Produccin, Los hechos muestran que la radicacin en suelo australiano no fue una buena idea para la familia Gonzlez, Tenemos que luchar contra la radicacin de esos hbitos nocivos en nuestra comunidad. En el campo de la matemtica, se conoce como radicacin a la operacin que consiste en obtener la raz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicacin es el proceso que, conociendo el ndice y el radicando, permite hallar la raz. sta ser la cifra que, una vez elevada al ndice, dar como resultado el radicando. 12. Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman un radical. La raz es el nmero que, multiplicado la cantidad de veces que indica el ndice, da como resultado el radicando. Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raz cbica de 8. Tendremos el radicando (8) y el ndice o exponente (3, ya que es una raz cbica). A travs de la radicacin, llegamos a la raz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado alcubo (2 x 2 x 2) es igual a 8. Como puede advertirse, la radicacin es una operacin que resulta inversa a la potenciacin: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x 2 (2elevado al cubo) llegamos a la raz cbica de 8. 13. Ecuaciones Ecuaciones Lineales En matemticas y lgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuacin es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seales, anlisis estructural, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacin lineal as como en la aproximacin de problemas no lineales de anlisis numrico. a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuacin el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin, aunque el resultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin se debe: Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182 14. . Ecuaciones Fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin se debe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.)Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12Ecuaciones Literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo: 15. Ecuaciones Cuadrticas Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinmicas de grado uno.Ahora estudiaremos ecuacionespolinmicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadrticas. Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son nmeros reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10a = 9, b = 6, c = 103x2 - 9xa = 3, b = -9, c = 0 16. -6x 2 + 10a = -6, b = 0, c = 10Hay tres formas de hallar las races (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadrticas: 1. Factorizacin Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Frmula CuadrticaFactorizacin Simple: La factorizacin simple consiste en convertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorizacin simple de la ecuacin x2 + 2x 8 = 0(x) (xa=1)=0b=2c=-8[x x = x2]( x + ) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x 2) = 04 y 24 + -2 = 24 -2 = -8 x+4=0x2=0x+4=0 x=04 x = -4x2=0 x=0+2 x=2Estas son las dos soluciones.Completando el Cuadrado: En este mtodo, la ecuacin tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuacin 4x2 + 12x 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 17. 4x2 + 12x 8 = 0 4 4 4 4x2 + 3x 2 = 0 Ahora, a= 1.Ejemplo: x2 + 2x 8 = 0 x2 + 2x = 8[Ya est en su forma donde a = 1.] [ Pasar a c al lado opuesto.]x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]x2 + 2x + 1=8+1x2 + 2x + 1 = 9 () () =9Hay que factorizar. Nota: Siempre ser un cuadrado perfecto.( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = x+1= 3 x = -1 3[Separar las dos soluciones.]x = -1 + 3 x=2x = -1 3 x = -4Frmula General: 18. Este mtodo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a la siguiente frmula:La frmula genera dos respuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos () antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la frmula. La frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las tcnicas de factorizacin. Resolver la ecuacin 2x2 + 3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2,b=3 yc = 5, as es que:Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el As es que las soluciones sonProgramacin Lineal Es un enfoque de solucin de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemtico con una funcin objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones. La funcin objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo de programacin lineal. Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo. Las variables son las entradas controlables en el problema. Para resolver un problema de programacin lineal es recomendable seguir ciertos 19. pasos que son: 1. Entender el problema a fondo. 2. Describir el objetivo. 3. Describir cada restriccin. 4. Definir las variables de decisin. 5. Escribir el objetivo en funcin de las variables de decisin. 6. Escribir las restricciones en funcin de las variables de decisin. 7. Agregar las restricciones de no negatividad. Trminos Claves Modelo Matemtico Representacin de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restriccin se describen con expresiones matemticas. Restricciones de no negatividad Conjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas. Solucin Factible Solucin que satisface simultneamente todas las restricciones. Regin Factible Conjunto de todas las soluciones factibles. Variable de holgura Variable agregada al lado izquierdo de una restriccin de "menos o igual que" para convertir la restriccin en una igualdad. El valor de esta variable comnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.Forma Estndar Programacin lineal en el que todas las restricciones estn escritas como igualdades. La solucin ptima de la forma estndar de un programa lineal es la misma que la solucin ptima de la formulacin original del programa lineal. Punto Extremo Desde el punto de vista grfico, los puntos extremos son los puntos de solucin factible que ocurren en los vrtices o "esquinas" de la regin factible. Con problemas de dos variables, los puntos extremos estn determinados por la interseccin de las lneas de restriccin. Variable de Excedente Variable restada del lado izquierdo de una restriccin de "mayor o igual que" para 20. convertir dicha restriccin en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algn nivel mnimo requerido. Camiones Maquina A Maquina B AcabadoPerinolas 2 3 5Costo Variables1 1 1 7 10Restriccion total 80 50 7040 50 702 20 Zmaxima Objetivo110Se deben producir 10 camiones y 20 perinolas a la semana para obtener una utilidad mxima de $110.A Carbohidra ProteinasB 2 4Costo Variables2 1 1,2Restriccin Total 16 200,8 Zminimo416 204 Objetivo8