portafolio algebra

Módulo Algebra Página 1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL

CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y

CIENCIAS AMBIENTALES

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo

“ALGEBRA”

PRIMER NIVEL

MIGUEL FUELTALA

PARALELO: “B”

Ing. Oscar René Lomas Reyes

Marzo 2013 – Agosto 2013


Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................3

OBJETIVOS ................................................................................................................................4

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ....................................................................................5

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................6

EXPONENTES Y RADICALES .......................................................................................................7

EXPRESIONES ALGEBRAICAS .....................................................................................................9

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? ......................................................................................................11

Partes de una ecuación ..........................................................................................................11

¡Exponente! ............................................................................................................................12

PRODUCTOS NOTABLES .........................................................................................................13

FACTORIZACIÓN .....................................................................................................................15

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO..................................................................................16

ECUACIONES LINEALES ...........................................................................................................16

SILABO ........................................................................................................................................18


INTRODUCCIÓN

El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las

propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para

generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos

análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro

de la misma operación; ecuación algebraica.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos

usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el

Teorema de Pitágoras.

El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros

símbolos son usados para representar números desconocidos.

Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5

a ambos lados del signo igual (=), así:

x - 5 = 2

x - 5 + 5 = 2 + 5

x + 0 = 7

x = 7 (la respuesta)

Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,

negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de

ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.


OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de

algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Elaborar el portafolio estudiantil

Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para

la evaluación.

Trabajar en forma grupal en la recolección de la información


CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y

así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o

números naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……

forman el conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como

y

, que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un

numero racional es aquél que puede escribirse como

donde p y q son

enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 =

. De hecho todo entero

es racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que

terminan se conocen como números irracionales. Los números y √ son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números

irracionales forman el conjunto de los números reales.

Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros

se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la

derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas


PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número

son iguales entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la

multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

( ) ( ) ( ) ( )

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que

para todo número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número

real denotado poa –a

( )

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número

da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y

después sumar todos los productos.

( ) ( )


EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a

multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la

derecha del valor base. Por ejemplo:

b es el valor base y -5 es el exponente

-2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

( )( )

( )

(

)

(

)

(

)

RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima

de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.

√

n = índice

x = radicando

y = raíz


√ =signo radical

Leyes radicales

√

√

√

√ √

√

√

√

√√

√

√

( √ )


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las

operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo

término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se

llaman Polinomios.

Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más

expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.


Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a

continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos

semejantes.

Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del

polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se

separan los productos parciales con sus propios signos.

División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos.


¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=",

por ejemplo:

x + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo

que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las

diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un

número que todavía no conocemos.

Normalmente es una letra como x o

y.

Un número solo se llama una

constante.

Un coeficiente es un número que

está multiplicando a una variable (4x

significa 4 por x, así que 4 es un

coeficiente)

Un operador es un símbolo (como

+, ×, etc) que representa una

operación (es decir, algo que

quieres hacer con los valores).


Un término es o bien un número o

variable solo, o números y variables

multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de

términos (los términos están

separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el

segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente

es 4?"

¡Exponente!

El exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces

usar el valor en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz


PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer

término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado

segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer

término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado

segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado

del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x

2 + 27x + 27


Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado

del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado

del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el

segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por

el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6


FACTORIZACIÓN

Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el

producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama

factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de

polinomios simples.

Factorización por factor común.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se

dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes

que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor

común.

( )

( )

Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: ( )( ) ; por lo tanto una diferencia de

cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.

( )( )

Factorización de un cuadrado perfecto

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado

como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al

primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del

signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:

( )( )

Factorización de una suma o diferencia de cubos

Se sabe que: ( )( ) ( )( )

Factorización de cubos perfectos de binomios.

( ) ( )


FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común,

pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar

cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización

total de la expresión.

( ) ( ) ( )( )

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA

( )( )

( )( )

ECUACIONES LINEALES

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra

solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia

(elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden

representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) Ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas

es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede

serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en

el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10


–35x = 182

b) Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las

expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

C . ECUACIONES LITERALES

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,

pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para

despejarla.


SILABO

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA

Formar profesionales humanistas,

emprendedores y competentes,

poseedores de conocimientos

científicos y tecnológicos;

comprometida con la investigación y la

solución de problemas del entorno

para contribuir con el desarrollo y la

integración fronteriza

La Escuela de Desarrollo Integral

Agropecuario contribuye al desarrollo

Provincial, Regional y Nacional,

entregando profesionales que

participan en la producción,

transformación, investigación y

dinamización del sector agropecuario

y agroindustrial, vinculados con la

comunidad, todo esto con criterios de

eficiencia y calidad

UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica

acreditada por su calidad y

posicionamiento regional

Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-

UNESCO

SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-

UNESCO

Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

mailto:[email protected]


[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48

PRE-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN: (En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN: (En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

LIBRO(S) BASE DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S) REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC

para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid

España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

mailto:[email protected]


Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición

Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO: (Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de

aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del

entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,

análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera

preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL

Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO: (Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado


para plantear y resolver problemas del entorno.

NIVELES DE LOGRO

PROCESO

COGNITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP

Identificar los términos básicos utilizados

durante el desarrollo del pensamiento lógico

matemático.

FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o

resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados

para el desarrollo de pensamiento lógico

matemático.

CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a

INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER

dentro de una ESTRUCTURA más grande que les

permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER,

métodos de investigación, y los criterios para el uso de

habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para

el desarrollo del razonamiento lógico

matemático.




4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de

la matemática que permitan dar solución a los

problemas planteados




5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a








6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO

CREAR

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas del

entorno.

1. FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o

resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a






3. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO

HACER, métodos de investigación, y los criterios para el

uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.- Si el estudiante llega a

adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN

GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento

del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar: (Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas

discretas.


IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS

LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y

técnicas

HORAS

CLASE

COGNITIVOS

¿Qué TIENE que saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE que

aplicar el conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENE actuar

axiológicamente?

T

P

Identificar los términos

básicos utilizados durante el

desarrollo del pensamiento

lógico matemático.

Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

fundamentales

Aplicaciones

Utilizar organizadores gráficos

para identificar las clases de

números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos

para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes

propiedades en potenciación y

radicación

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos

adquiridos y aplicarlos a la vida

del profesional Turístico

Demostrar comprensión sobre los tipos

de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica

sobre la importancia de la matemática

básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima

para que pueda actuar de manera

autónoma y eficiente

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

2 4


Diferenciar los conceptos

básicos utilizados para el

desarrollo de pensamiento


Expresiones algebraicas:

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con

Polinomios: adición, resta,

multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Aplicar operaciones mentales

Identificar los diferentes tipos

polinomios

Aplicar operaciones mentales en

la resolución de un sistema de

ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de

productos notables

Resolver ejercicios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los

ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los

demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral,

escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de

problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial

temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

11. Ejercicios de fijación.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución,

2 4


socializar la solución.

Demostrar la utilidad de las

matemáticas para el

desarrollo del razonamiento


Máximo común divisor de

polinomios.

Mínimo común múltiplos

de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Resolver ejercicios con

polinomios sencillos y complejos

Aplicar procesos de resolución

adecuados para resolver

problemas.

Resolver ejercicios aplicando en

forma conjunta los máximos y los

mínimos

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Utilizar una actitud crítica y reflexiva

sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del

conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo

del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución

de funciones.

RAZONAR

1. Determinar las premisas.

2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos

3 6

Plantear alternativas mediante

la aplicación de la matemática

que permitan dar solución a

los problemas planteados

Ecuaciones lineales,

resolución

Sistemas lineales y

clasificación.

Resolución de ecuaciones

lineales.

Aplicaciones

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su

clasificación

Elaborar modelos matemáticos en

la solución de problemas de la

carrera

Implementar procesos de

resolución adecuados en

problemas reales.

Trabajar con eficiencia y eficacia

respetando los criterios en la resolución

de problemas.

Demostrar interés en el trabajo

individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y

fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones

propuestas valorando las iniciativas de

cada participante.

EXPOSICION

PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el conocimiento.

4. Formulación de la hipótesis.

5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)

3 6

Argumentar el planteamiento

que dará solución a los

problemas planteados.

Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a

cuadráticas

Resolución de ecuaciones

Nombrar la definición de

ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas

las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre

Utilizar creatividad y capacidad de

análisis y síntesis respetando los

criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y

reflexivo cooperando en la obtención

de resultados

EXPOSICIÓN

PROBLEMICA

1. Determinar el

problema

2. Realizar el encuadre

del problema

3. Comunicar el

3 6


cuadráticas por factoreo.

Resolución por

completación de un

trinomio cuadrado.

expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con

polinomios incompletos.

conocimiento

(conferencia ,video )

4. Formulación de la

hipótesis ( interacción

de las partes)

Construir expresiones

algebraicas que contribuyan a

la solución de problemas del

entorno.

Fórmula general para

resolver ecuaciones

cuadráticas.

Aplicaciones de la

ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general para la

resolución de ecuaciones

cuadráticas

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los

procedimientos para

resolver problemas.

2. Encontrar la solución

( fuentes ,argumentos,

búsqueda

,contradicciones)

3 6


V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO



COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de

complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el

logro)

INDICADORES DE LOGRO

DE INGENIERIA

descripción

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1°

PARCIA

L

2°

PARCIA

L

3°

PARCIA

L

SUPLETORI

O

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del

pensamiento lógico matemático.

FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

10%

10%

10%

10%


Pruebas

Portafolio

Reactivos

Documento

50%

10%

100%

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los problemas

planteados

PROCESAL Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

100%

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia

para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas

del entorno.

FACTUAL.

CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

Interpretar información.

Modelar, simular sistemas

complejos.

Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

100%

ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable


Nivel ponderado de aspiración y

alcance

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable


VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS



COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS

AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES

RECURSOS

PRODUCTO

T P

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del


Consulte información en el

internet y textos

especializados los

conceptos de números

reales, presentar en

organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de

la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números

reales.

2 4

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


Consulta sobre la definición

de un monomio y

polinomio.

Grado de un polinomio y su

ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identifica los tipos de polinomios 2 4


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

Distinguir plenamente

entre expresiones

racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales

e irracionales

3 6

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los

problemas planteados

Dar solución a ecuaciones

de primer grado

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6


Argumentar el planteamiento que

dará solución a los problemas

planteados.

Identificar los tipos de

soluciones que pueden

presentarse en la solución

de expresiones

cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identificar los tipos de soluciones que pueden

presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3 6

Construir expresiones algebraicas

que contribuyan a la solución de

problemas del entorno.

3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3


VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda

edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:

Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición

Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:

Firma:

Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.

ENTREGADO: Marzo 2013

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado


EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: SUMAS Y RESTAS

EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

EJEMPLO 1: (Suma de fracciones con igual denominador)

3 Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma de fracciones numéricas de igual denominador.

Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2.

EJEMPLO 2: (Resta de fracciones con igual denominador)


Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores. Si el segundo numerador tiene más de un término, hay que ponerlo entre paréntesis para restarlo, ya que es signo menos afectará a todos los términos.

EJEMPLO 3: (Con denominadores distintos)

En este ejemplo el denominador común es el producto de los dos denominadores. Luego se procede como en la suma de fracciones numéricas: se divide al denominador común por el denominador de la primera fracción, y al resultado se lo multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción. Y luego se trabaja en el numerador para llegar a la mínima expresión. No siempre el denominador común es el producto de los dos denominadores. En realidad hay que buscar el mínimo común múltiplo entre ellos. Pero, en ejemplos como éste, el m.c.m es el produco de los denominadores. En los siguientes ejemplos se verá cómo calcular el m.c.m. en todos los otros casos. Para una explicación detallada de este ejemplo entrar en el siguiente enlace:

EJEMPLO 4: (Con denominadores factorizables)


Primero hay que factorizar los denominadores que se puedan. El denominador común va a ser el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones, como en la suma o resta de fracciones numéricas. El m.c.m. entre polinomios se calcula de la misma forma que el m.c.m entre números: es el producto de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevados a la mayor potencia con que aparecen.

EJEMPLO 5:

EJEMPLO 6:


REACTIVOS ALGEBRA

Miguel Fueltala

Primero: “B”

1.- Una persona hace las

partes de un viaje en tren, los

del resto en coche y los 26

Km. que quedan en bicicleta. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido?

Solución: x=13 kilómetros

2.- Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es:

a) 12

b) 14

c) 16

d) 18

e) 20

3.- Un almacén distribuye computadores de dos marcas (1 y 2). Durante el mes de diciembre uno de sus vendedores vendió 60 computadores. Por cada tres computadores de la marca 1 vendió dos de la marca 2. Si recibió una comisión de$10.000 por cada computador de la marca 1 y una comisión de $20.000 por cada computador de la marca 2, la comisión total que recibió en el mes de diciembre fue a). $60.000 b) $120.000 c) $840.000 d) $720.000 4.- Marisa tiene 5 años más que su hermana Esther y cuando Esther tenga los años que ahora tiene Marisa las edades de ambas sumaran 35 años ¿Qué edad tiene cada una ahora? Ahora

Marisa x+5 x+10

Esther x x+5

x+10+x+5=35 solución x=10

Matisa 15 años y Esther 10 años


5.- La racionalización del denominador es:

a) Fracción equivalente sin radical

b) Número igual sin radical

c) Número elevado al equivalente del radical.

REACTIVOS ECONOMIA

1.- Ud. está planeando hacer un viaje de 1.000 kilómetros al norte del país. Le da

completamente igual ir en automóvil que en autobús, con la excepción del costo. El billete de

autobús vale$260. Los costos que origina su automóvil en un año normal en el que recorra

10.000 kilómetros son los siguientes:

Seguro: 1.000

Intereses: 2.000

Gasolina y aceite: 1.200

Neumáticos: 200

Permiso y matriculación: 50

Mantenimientos: 1.100

TOTAL en $: 5.550

¿Debe ir en automóvil o en auto?

Respuesta: Hay costos hundidos (irrecuperables) que son el seguro, los intereses, el permiso y

matriculación. Los costos que sólo se incurren si se usa el auto son gasolina, aceite, neumáticos

y mantenimientos. Estos suman $2.500 por 10.000 kms. Si recorre 1.000 kms serán de 250. Por

lo tanto, si es racional, debe decidir ir en auto.

2.- Considere un país donde una firma está dispuesta a producir bufandas a través de la siguiente

curva de oferta: PX = 2X. Por otro lado la demanda de mercado estaría compuesta por: X = 90-

PX

a) Encuentre el equilibrio correspondiente.

Respuesta: Igualando oferta con demanda se tiene: Px/2= 90-Px

Px= 60 y X= 30


3.- Si la elasticidad precio de la demanda es 2 y actualmente se vende 100 unidades al precio de $ 20, ¿Cuántas unidades se venderá al precio de $ 21? Respalde su respuesta con los respectivos cálculos.

Solución: Sustituyendo los valores en la fórmula de la elasticidad precio de la demanda:

((x - 100) / (x + 100)) / ((21 - 20) / (21 + 20)) = -2 ((x - 100) / (x+100)) / (1 / 41) = -2

41(x - 100) / (x + 100) = -2 41x - 4100 = -2(x + 100) 41x - 4100 = -2x - 200 41x + 2x = -200 + 4100

43x = 3800 x = 3800/43

x = 88.37

Se vendería la cantidad de 88.37.

4.- Considera el ejemplo siguiente

M = 400

V = 12

P = 5

a) ¿Qué nivel de producto físico es compatible con estos datos si queremos que los datos no cambien?

b) Si la demanda de dinero es de $500.00 cuando se produce el producto de

pleno empleo y los precios son 5. ¿Cuál es la situación de desequilibrio (oferta < ó > demanda) en los mercados de bienes y servicios y de dinero?

¿Cuál es el nivel de precios compatible con el pleno empleo?

)

( )

960 es el nivel de producción de equilibrio

) ( )

( )

El producto de pleno empleo es de 1200 cuando los precios son $5 y la demanda de dinero es

de $500

La de creación de empleo

La de obtención del máximo beneficio para el accionista

La de producir la mayor cantidad de productos posible

La de producir los bienes y servicios necesarios para satisfacer las necesidades humanas.


EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES


Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2+bx+c=0, donde a, b y c son constantes reales

y a 0.Para resolverla existen diferentes métodos, los cuales revisaremos a través de

algunos ejemplos.

1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

i.- Por factorización:

Resolver la ecuación: x2 - 12x - 28 = 0

Factorizamos el trinomio recordando el producto de binomios con un término común, es

decir, buscando dos números cuyo producto sea –28 y cuya suma sea –12; estos números

son -14 y 2, y la factorización es:

(x - 14)(x + 2) = 0

Por lo tanto, las soluciones son X1 = 14 y X2 = -2

ii.- Utilizando la fórmula de resolución:

Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0,podemos utilizar la fórmula:

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

x2 – 10x +24 = 0

Solución: Primero identificamos los coeficientes a, b y c y luego los reemplazamos en la

fórmula:

a = 1; b = -10 y c = 24

iii.- Por completación de cuadrados

Ejemplo:

Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0

Solución: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) 2 , pero

nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, despejaremos los términos que contienen x y

sumaremos 9 a ambos lados de la igualdad para formar el cuadrado de binomio:


x2 – 6x + 8 = 0 /-8

x2 – 6x = -8 /+9

x2 - 6x + 9 = -8 + 9

(x – 3) 2 = 1

De la última igualdad se deduce que x –3 = 1 ó x – 3 = -1, por lo tanto X1 = 4 ó X2 = 2

2. PLANTEO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS

En el primer módulo vimos algunas resoluciones de problemas utilizando ecuaciones de

primer grado. Ahora veremos algunos problemas cuyos planteamientos conducen a

ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1:

Determinar un número entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente

al cuadrado del número aumentado en 5.

Solución:

Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 = x2 + 5

Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática:

3x2 – 4x – 4 = 0

Ahora utilizamos la fórmula, con a = 3 , b = -4 y c = -4

Luego, las soluciones de la ecuación son X1 = y X2 = 2. Pero el número que estamos

buscando debe ser entero, por lo tanto, la solución es x = 2.

Ejemplo 2:

Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente.

¿Cuánto mide la altura?

Solución: Sea x la base del triángulo y x + 2 su altura, entonces su área es:

=24 cm2

A partir de esta igualdad formamos la ecuación de segundo grado.

Ahora resolvemos esta ecuación por factorización.

(x + 8) (x - 6)=0


Finalmente, como x es la base del triángulo, su valor debe ser positivo, es decir, la solución

que nos sirve es x2 = 6 y comó la pregunta del problema es la altura del triángulo, entonces

la respuesta es

x + 2= 8cm

3. NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Hemos visto que las soluciones de la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 se pueden obtener

a través de la fórmula:

La cantidad subradical: = b2–4ac se llama discriminante, y nos permite determinar el tipo

de soluciones que tiene la ecuación cuadrática:

- Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un

número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales;

- Si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales.

- Si es positivo, las soluciones serían dos números reales y distintos.

Ejemplo:

¿Cuánto debe valer p para que las soluciones de la ecuación:

x2 – (p+3)x + 9 = 0 sean reales e iguales?

Solución: Como las soluciones deben ser reales e iguales el discriminante debe ser igual a

cero, entonces identificamos los coeficientes a, b y c y los reemplazamos en la fórmula de :

a = 1 ; b = -(p + 3) ; c = 9

(-(p + 3)) 2 – 4 .• 1 .• 9 = 0

p2 + 6p – 27 = 0


(p+9) (p-3)=0

P1 = -9 ó P2 = 3

4. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Sean x1 y x2 las soluciones de la ecuación: ax2+bx+c=0. Si

, entonces:

- Suma de las raíces:


Una ecuación cuadrática en una variable es de la forma:

La máxima cantidad de soluciones reales o diferentes valores reales que puede asumir la variable x en una ecuación cuadrática es dos como lo indica su grado. Hay distintos métodos que pueden ser utilizados para hallar sus soluciones, los mismos son aplicados de acuerdo a la composición que tenga la ecuación cuadrática que se esté trabajado. Discutiremos tres distintos métodos: Método de la raíz, Método de Completar el cuadrado y la Fórmula Cuadrática.

I. Método de la raíz

El método de la raíz se le puede aplicar a todas aquellas ecuaciones cuadráticas que tan sólo tengan un término con variable y sea el cuadrático, de haber varios términos cuadráticos tienen que ser semejantes. Si al simplificar la ecuación, quedan términos lineales entonces no es aplicable el método.

Ejemplo 1:

A cuáles de las siguientes ecuaciones cuadráticas le podemos aplicar el Método de la raíz.

1. 3X – 7X2 = 9

2. (X-1)2 + 6 = 9

3. (3X+1)2 - 6 = 5 + (X- 4)2

4. (3X+1)2 = 4 - 9(3X+1)2

Respuestas:

1. No, porque tiene término con variable lineal.

2. Sí, porque tiene un sólo término con variable cuadrático (elevado a la dos).

3. No, porque los términos cuadráticos no son semejantes.

4. Sí, porque los términos cuadráticos son semejantes.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática por el Método de la raíz

1. Rescribir la ecuación con el término cuadrático de un lado de la igualdad, del otro, las constantes.

2. Verificar cuál de los tres siguientes casos aplica:

Caso 1: Dos soluciones complejas reales:

(X-h)2 = k, k > 0

Caso 2: Una única solución real:


(X-h)2 = k, k = 0

Caso 3: Ninguna solución real:

(X-h)2 = k, k < 0

3. Verificar que el coeficiente numérico de la variable sea 1, de no serlo divida todos los términos de la ecuación entre tal coeficiente.*

4. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad y simplifique (recuerde añadir el signo + y - del lado de las constantes).

5. Divida su resultado en dos diferentes casos, uno usando la suma (+) y el otro usando la resta (-), si aplica, y resuelva cada ecuación hasta dejar la variable sola.

6. Verifique sus soluciones en la ecuación original y concluya su conjunto solución. ( opcional)

Veamos los siguientes ejemplos...

Verificación:


Conclusión: las dos distintas soluciones reales de la ecuación son -7 y -3.


Conjunto solución de la ecuación:

Verificación

El conjunto solución de la ecuación es único, x = -5. Verificación


El conjunto solución de la ecuación en los números complejos-reales es nulo, bajo el conjunto de los números complejos es x = -2i y x = 2i. Verificación

II. Método de Completar el Cuadrado

Para poder utilizar el Método de Completar el Cuadrado la ecuación cuadrática debe tener término lineal bx, b no puede ser cero, de lo contrario no lo podemos aplicar.

Ejemplo: Determine cuál de las siguientes ecuaciones puede ser trabajada por el Método de Completar el Cuadrado:

Este método tiene el objetivo de obtener una ecuación equivalente que contenga un trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización tiene dos paréntesis idénticos). La ecuación queda de la forma:

para luego resolver por el Método de la raíz.

Pasos para aplicar el Método de Completar el Cuadrado

1) Rescriba la ecuación con los términos con variables de un lado, simplificados y ordenados, del otro la constante.

2) Asegúrese que a sea 1, de no serlo divida todos los términos entre a y simplifique.


3) Determine b y con el calcule y sume tal resultado en ambos lados de la ecuación.

4) Factorice el trinomio como un Trinomio Cuadrado Perfecto de la forma:

5) Resuelva la ecuación por el método de la raíz

6) Verifique y concluya su conjunto solución.

Veamos los siguientes ejemplos:

Conjunto solución de la ecuación: {-1, 5} Verificación


Conjunto solución de la ecuación

es: . Verificación.

III. Fórmula Cuadrática

La Fórmula Cuadrática puede ser aplicada a toda ecuación cuadrática.


Este es el único método que no tiene restricciones en su aplicación, contrario a los métodos ya discutidos. Al igual que el método de factorización este requiere tener todo el polinomio de un lado, del otro

cero, para así poder determinar con

precision , los correspondientes valores de los coeficientes numérico en cada término del polinomio para luego sustituirlos en la estructura de la Fórmula Cuadrática:

Es importante apreciar que en la fórmula se sustituyen solo los coeficientes numéricos (no las variables). La variable es precisamente la desconocida que estamos buscando, que asumirá los valores obtenidos de la sustitución y simplificación en la fórmula cuadrática.

Pasos para resolver la ecuación usando la Fórmula Cuadrática

1) Rescriba la ecuación con todos los términos de un lado de la igualdad, simplificados y ordenados, del otro cero así:

2) Determine los valores de los coeficientes numéricos. Para facilitar

los cálculos en la sustitución en caso de estos ser fracciones o decimales puede rescribir la ecuación por una equivalente más simple.

3) Sustituir los valores de (sin la variable) en la Fórmula Cuadrática:

Y simplifique (recuerde separar en dos ecuaciones, si aplica, una usando la operación resta y otra la operación suma).


4) Verifique los valores obtenidos en la ecuación original y concluya su conjunto solución.

Paso 4: Conjunto solución de la

ecuación: Verificación.

Cantidad soluciones reales de una ecuación cuadrática:

Para determinar la cantidad de soluciones reales o raíces que ha de tener una ecuación cuadrática se utiliza los resultados que se obtienen de la evaluación del radicando


de la fórmula cuadrática, este se conoce como discriminante. Depende el valor del discriminante podemos saber si tendrá raíz cuadrada perfecta, raíces complejas imaginarias o una única solución real.

Conclusiones:

1. Si entonces la ecuación cuadrática tiene una única solución real.

2. Si entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.

3. Si entonces la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Veamos los siguientes ejemplos:


GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS

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