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  • 7/28/2019 Ponencia Reticular CYPECAD_reducida

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    DESCRIPCIN Y RAZN DE SER DEL MODELO DE CLCULO YPROCESO DE DISCRETIZACIN AUTOMTICA QUE PERMITE

    RESOLVER LAS ESTRUCTURAS CON FORJADOS RETICULARES,IMPLANTADO EN EL PROGRAMA CYPECAD.

    Vicente Castell HerreraCarlos Fernndez FernndezAngel Herrero CastaoFlorentino Regalado Tesoro1

    RESUMEN

    La presente ponencia pretende transmitir algunos de los conceptos bsicos que se hantenido presentes en la elaboracin del programa de clculo CYPECAD, con el objeto de quese tenga un mayor conocimiento del mismo.

    1. FUNDAMENTOS BSICOS DEL MODELO

    La sustitucin de una placa de forjado reticular por un emparrillado de barras, unamalla de elementos finitos u otro tipo de modelo no resulta nada fcil, ni tiene una solucinnica. Los ejemplos tericos que habitualmente se manejan para contrastar modelos tienenmuy poco que ver con las obras reales que construimos, aunque tengamos necesariamente queacudir a ellos y simplificar los problemas para poder analizarlos y obtener unos resultados que

    podamos creer, con algo de certeza, que pueden aproximarse los reales.La placa reticular de la figura adjunta refleja la autntica realidad de las placas

    reticulares de nuestros edificios; y debemos tenerla siempre presente cuando tengamos queproponer, evaluar e interpretar cualquier modelo terico que intente resolver el problema dearmar una placa reticular eficazmente, especialmente cuando se pretende realizar unaelaboracin de planos de construccin automticamente.

    La pregunta clave que subyace tras cualquier modelo o sistema de clculo, en nuestraopinin, siempre es la misma: Qu pretendemos conseguir con el mismo?

    La respuesta del ingeniero estructural ser sin duda la de construir una estructura de laforma ms sencilla y segura posible a un precio razonable, de forma tal que puedan

    justificarse los criterios de seguridad establecidos en los cdigos vigentes.

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    Fig. 1 - Forjado reticular muy habitual en un edificio de viviendas.

    El investigador puro probablemente tendr otra respuesta mucho ms cientficabuscando siempre el ms all del problema, pero nunca deber perder de vista la respuesta delingeniero estructural que asume la responsabilidad ltima de materializar los modelos puestosa su alcance.

    El anlisis lineal elstico es el clculo ms extendido y el que sistemticamente veni-mos aplicando con mayor generalidad, al ser, de momento, la herramienta ms documentadatcnica y legalmente y, por tanto, la de mayor rentabilidad y eficacia disponible; por lo cual,el modelo CYPECAD se encuentra encuadrado dentro de esta filosofa bsica.

    2. DESCRIPCIN GENERAL DEL MODELO ESPACIAL CYPECAD.

    2.1. Introduccin

    Aceptando, pues, para la placa, el emparrillado como discretizacin y modeloadecuado para el presente, nos encontramos con el hecho de que las placas no se encuentranaisladas, sino conectadas entre s verticalmente por los pilares.

    Todos sabemos que el emparrillado como modelo reproduce el comportamientomecnico de la placa frente a las cargas gravitatorias, pero no se encuentra preparado parareproducir el comportamiento del conjunto estructural del edificio frente a las cargashorizontales de origen elico y ssmico.

    Fig. 2 Modelo espacial para anlisis de edificios e hiptesis de deformabilidad nica por planta.

    Por consiguiente, el modelo estructural adecuado para analizar el edificio ser el de un

    entramado espacial cuyo entramado horizontal coincida en su discretizacin yparametrizacin con el emparrillado plano.

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    La nica condicin fsica que debe imponerse al modelo de entramado espacial, paraque reproduzca el comportamiento real que tienen los edificios, consiste en aceptar lacompatibilidad de movimiento en cada una de las plantas compactas que tengan los mismos;es decir, aqullas plantas que se encuentren unidas solidariamente por el forjado en unaextensin razonable.

    Dicho de otra manera ms simple, cada planta del edificio que fsicamente tengaentidad, experimentar una traslacin horizontal en x e y, y un giro alrededor de z, de carcterunitario para toda la planta.

    Lo anterior no significa una prdida de generalidad del anlisis espacial, sino laconstatacin del hecho fsico debido a que la enorme rigidez de las placas en su plano,materializa un comportamiento muy prximo al de slido rgido en cuanto a sutraslacionalidad horizontal.Para conseguirlo basta fijar un punto cualquiera de la placa y ligar los restantes puntos almismo de manera simple, teniendo presente el hecho fsico mencionado, tal y como quedareflejado en la Fig. 3, donde se muestran las relaciones que ligan los desplazamientos hori-zontales de los puntos de una placa entre s, supuesta como un slido rgido.

    Fig. 3 Para pequeos desplazamientos, loanterior puede simplificarse, puesto quesen 00 y cos 0 = 1, resultando

    xi = xo o (yi yo)yi = yo + o (xi xo)

    Por tanto, si discretizamos el forjado en un emparrillado formando parte de un entramadoespacial, con las caractersticas de compatibilidad de deformaciones horizontales por plantamencionado anteriormente, estamos en condiciones de reproducir el comportamientomecnico del edificio no slo frente a las acciones gravitatorias propias del emparrillado, sino

    tambin frente a las cargas horizontales del tipo que sean, dado que un entramado espacial seencuentra preparado para tenerlas presentes, evitndose as cualquier clase de simplificacinen simular las vinculaciones de la placa en sus apoyos, puesto que el propio modelo lascontempla al introducirse verticalmente en el mismo las barras que materializan los pilarescon sus correspondientes constantes elasto-mecnicas.

    En caso de considerar exclusivamente un emparrillado, las ecuaciones constitutivasque ligan los esfuerzos en los nudos con sus desplazamientos se expresan matricialmente por:

    P

    Pbarra

    K K

    K Kbarra

    d

    dbarra

    K K t

    1

    2

    11 12

    21 22

    1

    2

    12 21

    ST VW = ST VW ST VW=

    l q l q

    (1)

    Fig. 4 - Discretizacin parcial de un forjado

    reticular con su pilar corres-pondiente,formando parte de un entra-mado espacial.El nudo del pilar con la placa se materializacomo un nudo de dimensin finita.

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    Fig. 5 Barra de un emparrillado y de un entramado espacial. Esfuerzos y desplazamientosasociados.

    P

    M

    M

    P

    M

    M

    I

    L

    I

    L

    I

    L

    I

    LI E

    L

    I E

    LI

    L

    I

    L

    I

    L

    I

    LI

    L

    I

    L

    y

    x

    z

    y

    x

    z

    z z z z

    tx tx

    z z z z

    z z

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    3 2 3 2

    2 2

    3 2

    120

    6 120

    6

    02 1

    0 02 1

    0

    60

    4 60

    21

    120

    6 12S

    ||||||||

    T

    ||||||||

    V

    ||||||||

    W

    ||||||||

    =

    +

    +

    ( ) ( )

    ( )

    I

    L

    I

    LI E

    L

    I E

    LI

    L

    I

    L

    I

    L

    I

    L

    z z

    tx tx

    z z z z

    X

    x

    z

    x

    x

    z

    3 2

    2 2

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    06

    02 1

    0 02 1

    0

    60

    21

    60

    4

    +

    +

    R

    S

    |||||||

    T

    |||||||

    U

    V

    |||||||

    W

    |||||||

    S

    |||||||

    T

    |||||||

    ||||||||||||||

    ( ) ( )

    ( )

    (2)

    Fig. 6 Expresin matricial de la barra de un emparrillado con deformacin por cortante,donde,

    =+

    =

    = +HG J1

    1 2

    6 11

    22E I

    L K A G(3)

    Las ecuaciones constitutivas se han expuesto teniendo presentes las deformaciones porcortante de las barras del emparrillado y, por tanto, K expresa el coeficiente que, multiplicado

    por el rea real de la seccin permite obtener el rea reducida o equivalente de cortante aefectos de estimar las deformaciones que produce. (Para las secciones rectangulares K = 5 /6)

    2.2. Criterios considerados para establecer el emparrillado del forjado reticular

    Dado que tanto en las placas macizas como en las placas reticulares las armaduras sedisponen ortogonalmente, debemos saber que ello supone introducir una cierta ortotropa enel comportamiento de las mismas. Para reproducir esta circunstancia de la mejor manera

    posible es conveniente disponer las barras del emparrillado horizontal virtual siguiendo lasdirecciones de las armaduras formando una retcula ortogonal.

    Un mallado razonable puede ser el establecer una red de barras separadas entre s25 cm, si se trata de una losa maciza, o el que se obtiene de dividir por tres el entreeje

    adoptado, si se trata de un forjado reticular.

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    Fig. 8 - Discretizacin propuesta para los forjados reticulares dentro del entramado espacialde los edificios e introducida en el programa de clculo CYPECAD Espacial

    Pese a todo, siempre existir el riesgo latente de que se produzcan barras muydiferentes y muy singulares al crearse el mallado automtico del emparrillado, que puede darorigen a resultados extraos en puntos singulares debido a un mal condicionamiento de lamatriz de rigidez del conjunto.

    Se realiza el mallado de forma automtica con un programa de ordenador, aunque elloconlleve el riesgo mencionado anteriormente, y obligue a revisar los resultados de aquellospuntos de la estructura cuya complejidad geomtrica nos haga sospechar la posibilidad de quepuedan generarse problemas numricos por dicha discretizacin.

    Debern disponerse barras coincidiendo con todos los bordes de la placa, donde secierran los circuitos de tensiones tangenciales debidos a la torsin; y, en general, las vigas queexistan en la placas debern llevar sus correspondientes barras asociadas al emparrillado.

    Fig. 9- Situacin de las barras en borde en el emparrillado de las placas. (J. Manterola)

    En los forjados reticulares ordinarios, las barras de borde pueden, por sencillez,situarse en los ejes de los zunchos perimetrales, puesto que a efectos prcticos coinciden conel lugar donde resulta recomendable situarlas, coincidiendo con el cierre del circuito detorsin en las placas.

    Fig. 10 - Modelo emparrillado de discretizacin de una placa sobre pilar, considerando como nudo

    principal (A) de dimensin finita y nudos esclavos (B) unidos con rigidez infinita al principal.

    Vigas de borde

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    El modelo propuesto de discretizacin siempre garantiza que existan barras queacometan a los apoyos de forma directa, salvo casos rarsimos de pilares que tengandimensiones por debajo de los 25 cm.

    El fallo de la discretizacin del emparrillado plano propuesta tiene que ver con lapresencia de vigas de canto y la hiptesis de deformabilidad nica por planta, debido a la

    rigidez transversal de la planta, considerada como infinita en su plano.Basta observar la situacin real de la placa con vigas de canto en la Fig. 11 y elesquema idealizado que se calcula en el modelo, para ver que la precisin es buena cuando lasvigas se encuentran embebidas en el espesor de forjado y se pierde en las proximidades de lasvigas de canto. En las proximidades de las vigas de canto el modelo analizado proporciona enlas barras B1 y B2 momentos de flexin y, por tanto, tracciones y compresiones, cuando enrealidad, y presumiblemente, se encontrarn totalmente comprimidas o totalmentetraccionadas, dado que constructivamente se hayan situadas por encima del eje principal deinercia de la viga y por proximidad a la misma, sometidas totalmente a su influencia.

    Fig. 11 Esquemas reales y esquema idealizado del emparrillado para su clculo

    El modelo emparrillado no tiene en cuenta el efecto membrana de la capa decompresin solidarizando todos los nervios en su parte superior.

    Suponer las plantas como diafragmas rgidos en su plano imposibilita la obtencin deposibles esfuerzos axiles de traccin y compresin que, con carcter singular, pudieranaparecer en el forjado; por ejemplo, cuando acodala muros y pantallas sometidos a empujes detierra en los stanos, o transmiten empujes laterales a los ncleos de rigidez en los edificios degran altura.

    Aunque no se conocen patologas debidas a la hiptesis de considerar los forjadoscomo diafragmas infinitamente rgidos en su plano, no por ello debe perderse de vista laimperfeccin del modelo y realizar una reflexin sobre el mismo, especialmente en losedificios de gran altura, para ver si dicha hiptesis no supone e implica el olvido de un efectoindeseado en el comportamiento transversal del forjado que pudiera dar origen a algn tipo dedesarreglo que desbarate y d al traste con la hiptesis mencionada de rigidez infinita en su

    plano. La Fig. 12 explica perfectamente lo dicho.

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    Re

    Re

    Re

    (

    / /

    specto al eje OX E I Ea b

    specto al eje OY E I Eb a

    specto al eje OZ G It G k a b

    siendok el coeficientede Timoshenko Godier

    que vale cuando b a

    X

    Y

    Z

    =

    =

    =

    3

    3

    3

    12

    12

    1 3

    (4)

    Fig. 12 - La hiptesis de diafragma rgido imposibilita la obtencin de los esfuerzos decompresin y traccin en la placa, que deben ser analizados basndose en la hiptesissimplistas de vigas de gran canto en su plano

    2.3 Asignacin de las caractersticas elastomecnicas a las barras del entramado espacial quematerializa las estructura del edificio

    En principio, parece razonable asignar a las barras del entramado espacial las rigidecesde flexin (E I) y torsin (G I t) de aquellas zonas de la estructura real que se vean

    reemplazadas por las mismas en el modelo terico resultante de su discretizacin.

    Fig. 13 Rigideces de los pilares

    Sin embargo, dada la problemtica que plantea la torsin en el conjunto de lasestructuras, sin que afecte esencialmente al equilibrio de las mismas, todos los autoresrecomiendan reducir considerablemente la rigidez a torsin de las piezas aisladas. A nosotrosnos parece razonable multiplicar la rigidez a torsin de las barras simples por 0,20.

    En las placas el asunto resulta bastante ms complejo, especialmente si es una placareticular en vez de una placa maciza.

    A efectos prcticos la propuesta de J. Manterola suele ser la comnmente aceptada porla mayora de los autores pese a tener un carcter aproximado.

    Fig. 14 Discretizacin bsica de una placa maciza para calcular sus rigideces (J. Manterola)

    Inercia deb H

    Flexin: E 3

    12(5)

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    Inercia de Torsin: G b H HG J1

    2

    1

    3

    3(6)

    En verdad, el valor de la rigidez a flexin ms preciso tendra que ser:

    E b H

    3

    212 1 e j (7)que, como puede verse, depende del mdulo de Poisson. Sin embargo, el mdulo de

    Poisson es habitualmente ignorado en las rigideces de flexin y slo se le suele tener presente atravs del mdulo de rigidez transversal G en las matrices de rigidez, dado que como sabemos:

    GE

    =

    +2 1 b (8)

    Sin embargo, nada cuesta tenerlo tambin presente a travs de la expresin (7) mejorandolos resultados.

    Pero la sutileza anterior del mdulo de Poisson, que en las placas macizas podra teneruna razn de ser, resulta irrelevante cuando nos planteamos asignar las rigideces a las barrasque sustituyen al forjado reticular.

    Si se opta por aumentar las rigideces de las barras que discretizan el baco frente a lasbarras de la zona aligerada, como aparentemente parece razonable hacer, los resultadostraducidos a armaduras de flexin negativa resultan poco constructivas y anormalmenteelevadas con relacin a las de flexin positiva, lo cual es peligroso como respuesta estructuralfrente al comportamiento real de los forjados reticulares a largo plazo, puesto que stostienden a descolgarse aumentando las flexiones positivas.

    Resulta ms razonable suponer todas las barras de la misma naturaleza, uniformizando

    las rigideces de las mismas ya que se obtienen esfuerzos mucho ms homogneos ycoherentes. Dicha uniformidad puede conseguirse suponiendo que el forjado reticular es unaplaca maciza, o bien suponiendo que todo l es una zona aligerada y, a travs de dichassuposiciones, asignar las rigideces a las barras del emparrillado sustitutivas del mismo.

    El primer caso puede reproducir mejor el comportamiento mecnico de la estructurafrente a las cargas gravitatorias y el segundo puede hacerlo mejor frente a cargas horizontales.

    Puesto que lo anterior supone operar con dos matrices de rigidez generales y duplicarlos procesos de clculo, parece ms adecuado y operativo calcular slo una vez como si elforjado fuese una placa maciza, reduciendo sus rigideces por un factor, dado que losresultados tanto numricos como de armaduras finales son los mejores.

    Tras analizar un conjunto suficiente de estructuras, hemos llegado a la conclusin de que un

    factor de reduccin sobre el 50 % lleva a resultados muy adecuados bajo todos los puntos de vista.Lo anterior tiene el inconveniente de que los desplazamientos verticales, las flechas delos vanos, resultan algo inferiores a los reales y habr que multiplicarlos por un factor que seala rigidez terica idealizada, dividida por la rigidez real asignada a las barras.

    f real f I

    Ib g b g= modelo barra real

    barra del modelo(9)

    2.5. Asignacin de las cargas al modelo terico de entramado espacial.

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    Las cargas habituales en los forjados de viviendas son de tres tipos: Puntuales, linealesy superficiales.

    Con la discretizacin tan tupida que recomendamos para los reticulares y las losasmacizas, las cargas pueden ser asignadas directamente a los nudos sin tener que calcular lasreacciones de empotramiento perfecto de las barras y convertirlas despus en las acciones del

    sistema.Tal y como se explica en la Fig. 15, la asignacin de cargas a los nudos se realiza deforma directa y por proximidad con un error despreciable y sin introducir efectos numricos

    parsitos.

    Fig. 15 Asignacin de cargas recomendada para un modelo de emparrillado denso

    Las fuerzas horizontales de viento y sismo de cada una de las hiptesis consideradas,referidas al centro de inercia de cada una de las plantas, tendrn una resultante y un momentotorsor, que a su vez puede transportarse fcilmente a los nudos de encuentro entre pilares y

    placas, teniendo presente la hiptesis de diafragma rgido en su plano (deformabilidadhorizontal unitaria por planta).

    Fig. 16 Esquema simplificado de asignacin de las cargas de viento a los nudos de una planta,

    empujando al edificio segn la direccin OY , si los clculos se realizasen manualmente.

    2.6. Interpretacin de los resultados en el entramado espacial.

    En primer lugar nos encontramos con los momentos flectores de una barra delemparrillado que es continua a travs de los nudos y, sin embargo el flector a la izquierda delnudo M1 es diferente del de la derecha M2. (Ver Fig. 17).

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    Fig. 17 Momentos flectores resultantes del modelo de emparrillado plano

    Ello es debido a que el equilibrio en el nudo se produce entre los momentos flectoresmencionados y los momentos torsores de la barra perpendicular a la que se est analizando.

    Si el emparrillado virtual reflejase vigas autnticas, la discontinuidad en los flectores(M1 M2) que presenta el modelo en los nudos es real y existe tal cual, puesto que los

    escalones que se producen en la flexin de los puntos de las vigas en una direccin sondebidos a los torsores que tienen lugar en las vigas situadas en la direccin ortogonal a las

    primeras al cruzarse entre s.Sin embargo, si la modelizacin del emparrillado es virtual y las barras no existen

    como tales, tal y como sucede en los forjados losas que estamos tratando, las discontinuidadesen los momentos flectores no son reales y debe adoptarse como momento flector nico en elnudo que se analice, el valor semisuma de M1 y M2, es decir:

    MM M

    i =+1 2

    2(10)

    Los esfuerzos cortantes tambin deben ser evaluados con el criterio anterior. Por el contrario, los cambios de momentos que se presentan en el modelo sobre los

    pilares a izquierda y derecha de los mismos son reales y representan los momentos flectores

    que solicitan a los mismos. ARMADO DEL FORJADO. El armado de una placa de hormign sometida a

    momentos flectores y torsores, tericamente debera realizarse siguiendo las direcciones deflexin principales donde, desapareciendo los torsores, slo quedarn los momentos

    principales MI y MII exclusivamente.

    Es fcil de adivinar lo imposible y costoso que resulta tal pretensin, puesto que nosobligara constructivamente a ir cambiando las direcciones de armado para cada zona de la

    placa y para cada hiptesis de carga diferente que acte sobre la misma.La solucin generalmente aceptada bajo un prisma terico y prctico consiste en

    establecer las armaduras de la placa segn dos direcciones ortogonales, siguiendo casi

    siempre las direcciones establecidas en el emparrillado, que a su vez sigue las direcciones delos nervios que materializan el forjado reticular.Para conseguirlo resulta obligado obtener dos momentos de flexin M x* y M y* ,

    llamados tambin momentos de armado que actuando segn las dos direcciones establecidaspara las armaduras, cubran plenamente por el lado de la seguridad el campo de momentosobtenidos del emparrillado: Mx, My y Mxy.

    La solucin normalmente adoptada pertenece a R.H. Wood y G.S.T. Armer (1968), ascomo a A. K. Gupta (1977).

    Las mejoras introducidas posteriormente por Gupta (1986) para tener en cuenta lainteraccin de las armaduras inferiores y superiores de la placa complican considerablementeel mtodo y no las tendremos en cuenta; ya que no suelen ser de aplicacin directa a los casos

    que nos ocupan, porque que no resulta frecuente que se encuentren trabajando

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    simultneamente las armaduras de flexin positiva y negativa, salvo en aquellos raros casosdonde los torsores superen en valor a los momentos flectores.

    Veamos las conclusiones prcticas de los mencionados autores, que nos permitenobtener los momentos de armado M x* y M y* .

    Sean Mx, My y Mxy los momentos que nos proporciona el clculo en un punto

    cualquiera, segn las direcciones establecidas en el emparrillado. Los momentos en otras dosdirecciones cualesquiera (u, v), vendran dados por:

    M M M sen M sen

    M M sen M M sen

    M M M sen M sen

    u x y xy

    v x y xy

    uv x y xy

    = +

    = +

    = +

    cos cos

    cos cos

    cos cos

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    d i e j(11)

    Fig. 18

    Si suponemos conocidos M x* y M y* como momentos que cubran el campo de esfuerzosobtenidos, es posible expresar tambin en funcin de los mismos los momentos anteriores:

    M M M sen

    M M sen M

    M M M sen

    u x y

    v x y

    uv x y

    = +

    = +

    =

    * *

    * *

    * *

    cos

    cos

    cos

    2 2

    2 2

    e j(12)

    Bajo estas circunstancias, lo que debe suceder es que los momentos (19) deben seriguales o mayores a los momentos obtenidos por las expresiones (18).

    Estableciendo dicha condicin se obtienen los siguientes resultados para armar la placa:Armaduras inferiores:Considerando en principio que Mx y My son momentos de flexin positiva,

    traccionando la cara inferior de la losa, las armaduras se calculan con:

    M M M

    M M M

    x x xy

    y y xy

    *

    *

    = +

    = +(13)

    Si fuesen de signo contrario Mx y My, y resultasen tambin de signo contrario en (13)

    M x* y M y* , se hace cero el valor negativo y se opera con el valor positivo en dicha direccin.

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    M M

    M

    M MM

    M

    x y

    x

    y yxy

    x

    * *

    *

    *

    < >

    =

    = +

    0 0

    02

    M M

    M

    M MM

    M

    x y

    y

    x xxy

    y

    * *

    *

    *

    >

    =

    =

    0 0

    0

    2

    M M

    M

    M MM

    M

    x y

    x

    y yxy

    x

    * *

    *

    *

    >