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  • Laboratorio de MatemticasRelease 2010/2011

    Pablo Angulo Ardoy Patricio Cifuentes MuizRafael Hernndez Garca Bernardo Lpez Melero

    Daniel Ortega Rodrigo

    September 27, 2011

  • ndice general

    1. Laboratorio de Matemticas con Sage 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Crditos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Vdeos didcticos para este material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5. Cdigo fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6. Licencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    2. Bloque I: Introduccin 52.1. Tipos de datos en Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Control del flujo del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5. Un poco de programacin funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3. Bloque II: Eficiencia 413.1. Conjuntos y diccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3. Tiempo de ejecucin y eficiencia de algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5. Eficiencia en clculo cientfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4. Bloque III: lgebra 774.1. Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2. Grupos y Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.4. lgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.6. Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5. Bloque IV: Combinatoria 1055.1. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    I

  • 5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3. Contar y enumerar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.6. Experimentos con numeros aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    6. Bloque V: Clculo simblico 1456.1. Clculo simblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3. Clculo diferencial en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.5. Clculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.7. Curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

    7. Bloque VI: Miscelnea 2097.1. Qu es TeX? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.2. Probabilidad en Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267.4. Regresin y ajuste de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.6. Criptografa RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2467.8. Malabares y teoria de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.9. Inflar el PageRank controlando los links que salen de tu pgina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2887.10. Autmatas celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

    ndice 299

    II

  • CAPTULO 1

    Laboratorio de Matemticas con Sage

    1.1 Introduccin

    Ya empezado el curso 07/08, en el departamento surgi la idea de incorporar a los, por entonces nacientes, estudiosde Grado de Matemticas, un asignatura dedicada a cualificar a nuestros estudiantes con una nueva habilidad: usar elordenador para resolver, o al menos ilustrar, los problemas.

    La asignatura de laboratorio de matemticas pretende ensear a usar el ordenador como herramienta para aprender ypara experimentar en matemticas. Para ello usamos el programa libre Sage, que permite acceder a una vasta coleccinde libreras matemticas usando el lenguaje python, una eleccin popular para aprender a programar. La asignatura seimparte a lo largo de todo un ao, e intenta, an tmidamente, coordinarse con las otras asignaturas del curso para usarcuando sea posible ejemplos extrados de aquellas.

    En la Universidad Autnoma de Madrid, el laboratorio de matemticas se imparte a dos grupos de alumnos muydistintos: alumnos de primero del grado en matemticas, que en su mayora no saben programar, y alumnos de segundodel doble grado en matemticas e informtica, que aprendieron a programar en C en primer curso, y que seguirnaprendiendo mucho ms sobre programacin. Estas notas corresponden al segundo grupo de alumnos, y por ellocontienen temas avanzados relacionados con la programacin que no son en absoluto imprescindibles para el objetivode la asignatura.

    1.2 Crditos

    Pablo Angulo Ardoy

    Patricio Cifuentes Muiz

    Rafael Hernndez Garca

    Bernardo Lpez Melero

    Daniel Ortega Rodrigo

    Dedicado a los alumnos de doble grado que cursaron laboratorio en el curso 2010/2011.

    1

    http://www.sagemath.orghttp://python.org

  • Laboratorio de Matemticas, Release 2010/2011

    1.3 Agradecimientos

    Hristo Inouzhe prepar varios vdeos didcticos sobre el material de estas notas (puedes encontrar los links msabajo). La Universidad Autnoma de Madrid financi un proyecto de innovacin docente que nos permiti regalardvds live con Sage a nuestras alumnas. Luis Guijarro y Mara Calle probaron la parte de clculo II en las clasesde esta asignatura. Pablo Fernndez Gallardo nos prest material y comentarios para las secciones de combinatoriay probabilidad. La Wikipedia (en ingls) nos ahorr muchas horas de bsqueda bibliogrfica (y nos prest algunasimgenes).

    Y la comunidad de Sage resolvi nuestras dudas y resolvi muy pero que muy rpido algunos problemas que encon-tramos durante el curso.

    1.4 Vdeos didcticos para este material

    Optimizacin con cython: el conjunto de Mandelbrot (bloque 2, Eficiencia en clculo cientfico), Pablo Angulo:parte 1, parte 2

    Mtodo de montecarlo vs fuerza bruta (bloque 4, Experimentos con numeros aleatorios), Hristo Inouzhe.

    Coloracion y edicion de grafos con SAGE (bloque 4 Grafos), Hristo Inouzhe.

    Puntos crticos por el metodo de lagrange (bloque 5 Clculo vectorial), Hristo Inouzhe.

    Haz de conicas con SAGE (bloque 5 Curvas planas), Hristo Inouzhe.

    Ajuste de Modelos utilizando SAGE (bloque 6, Regresin y ajuste de modelos), Hristo Inouzhe.

    1.4.1 Otros vdeos didcticos de Hristo Inouzhe

    Invertir una matriz por Gauss-Jordan

    Simulacin de los modos de vibracion del CO2

    1.5 Cdigo fuente

    Este documento ha sido generado a partir de archivos rst (ReStructuredText), que a su vez fueron generados a partirde archivos sws (hojas de trabajo de Sage). Los mismos archivos rst dieron lugar a documentacin en formatos html ypdf (via latex).

    Tanto los archivos rst como los archivos sws se distribuyen con la misma licencia que este documento. Puedes encontrartodos esos documentos en la web oficial de la asignatura (a da de hoy, est en el sitio web de Pablo Angulo en la UAM).

    1.6 Licencia

    Este