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COLEGIO LUIS PATRON ROSANO CICLO 4 NOCTURNO LIC. CARLOS GARCIA SEA

CICLO 4 NOCTURNO

OBSERVACION POSIBLEMETE TENGA ALGUNOS ERRORES DE TRANSCRIPCION LOS POSIBLES ERRORES ME LOS ENVIAN AL CORREO [email protected]

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COLEGIO LUIS PATRON ROSANO CICLO 4 NOCTURNO LIC. CARLOS GARCIA SEA

NIVEL 4UNIDAD 0: INTRODUCCIN UNIDAD 1: NUMEROS REALES 0. Introduccin 1. Nmeros naturales y propiedades 2. Nmeros enteros y propiedades 3. Nmeros racionales y propiedades 4. Nmeros irracionales 5. El conjunto de los nmeros reales operaciones y propiedades 5.1La recta numrica o real 5.2Relacion de orden 5.3Operaciones con los nmeros reales 5.3.1(+,-,x,) y propiedades 5.3.2Potenciacion radicacin logaritmacin UNIDAD 2: LGEBRA Seccin 1 : Introduccin al lgebra1. 2. 3. 4. 5. 6.

Expresiones Algebraicas Grados Relativo y Absoluto Polinomios Completos Polinomios Ordenados Polinomios Homogneos Ejemplos

Seccin 2 : Operaciones con monomios

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1. 2. 3. 4. 5. 6.

Trminos Semejantes Suma y Resta de Monomios Multiplicacin de Monomios Divisin de Monomios Potenciacin de Monomios Radicacin de Monomios

Seccin 3 : operaciones con polinomios1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Trminos Semejantes Suma y Resta de Polinomios Multiplicacin de Polinomios Potenciacin de Polinomios Productos Notables Divisin Cocientes Notables

Seccin 4 : factorizacin1. Factor Comn Monomio 2. Factor Comn Polinomio 3. Factorizacin por Agrupacin de Trminos

UNIDAD 3: FUNCION Y ECUACIONES LINEALES 1. Funcin 2. Producto cartesiano 3. Correspondencia entre conjuntos 4. Clases de funciones 5. Ejemplos 6. Ecuaciones 7. Tipo de ecuaciones 8. Resolucin de ecuaciones Lineal Cuadrtica Bicuadrtica UNIDAD 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES3

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1. Sistema de ecuaciones 2. Sistemas de ecuaciones lineales Mtodo de sustitucin Mtodo fe igualacin Mtodo de reduccin Representacin grfica UNIDAD 5: NUMEROS COMPLEJOS 1. 2. 3. 4. 5. Introduccin Historia Propiedades El plano complejo Soluciones complejas

BIBLIOGRAFIA

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UNIDAD 0 : INTRODUCCIN

S los clculos no estuvieran sujetos a dudas y contradicciones, la matemtica sera, al final de una simplicidad inspida, tibia, apagada, sin inters alguno. No habra raciocinio, ni sofismas, ni artificio; la teora ms interesante desaparecera entre las nebulosidades de las nociones intiles. Presentndose, sin embargo, an en las frmulas ms perfectas y rgidas, las dudas, incertidumbre y contradicciones, el matemtico toma del carcaj de su inteligencia, sus armas y se apresta a combatir. Donde el ignorante ve incertidumbre y contradicciones, el gemetra demuestra que existe firmeza y armona. 1 Observacin:De la segunda unidad en adelante no se plantean ejercicios en l modulo, queda a opcin del profesor escogerlos y aplicarlos a sus alumnos. Separadamente. C..G.S.

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Tomado del texto: El hombre que calculaba Pg. 26

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UNIDAD 1: NUMEROS REALES0. INTRODUCCIN Antes de iniciar el estudio de los nmeros reales, se hace una revisin de los conjuntos numricos dados en niveles anteriores, enumerar sus principales propiedades y recordar cuales operaciones estn definidas en ellos y cuales no estn definidas. 1.NUMEROS NATURALES Y PROPIEDADES El conjunto de los nmeros naturales se representa por la letra N y sus elementos son: N = 0,1,2,3,4,5,6,7... PROPIEDADES 1. N es un conjunto infinito 2. Entre dos nmeros naturales siempre existe un numero finito de nmeros naturales. Por ejemplo: Entre 12 y 13 existe cero nmeros naturales. Entre 4 y7 existen dos nmeros naturales Entre 10 y 39 existen 28 nmeros naturales 3. N tiene al cero como primer elemento. No tiene ultimo elemento. 4. Todo numero natural tiene sucesor. 6 es el sucesor de 5 89 es el sucesor de 88 5. Todo numero natural excepto el cero tiene antecesor. 8 es el antecesor de 9 78 es el antecesor de 79 6. Un numero natural y su sucesor se llaman consecutivos. 34 y 35 son consecutivos 786 y 787 son consecutivos 7. En la recta numrica a cada numero natural le corresponde un punto y solo uno, Sobre la recta. Los nmeros naturales no completan la recta.

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8. N es un conjunto ordenado por la relacin 9. Operaciones en N. Las operaciones de adicin, multiplicacin y potenciacin siempre son posibles en N. La sustraccin, divisin y radicacin no siempre son posibles.

ACTIVIDAD 1 1. Por que los nmeros naturales es un conjunto ordenado? 2. Escribe el consecutivo de los siguientes nmeros 34 78 3 - 60 100 0 - 100003 100000060 3. Escribe el antecesor de los nmeros si tienen 4 5 0 100 999 100023 1 4. Coloca en la raya la relacin >, < o = 56___45 0___2 23_____74 5____0 1001______547 101_____1001 7845_____456

123____124

5. Explique por que 5>2 y trate de generalizar observa la recta numrica 6. En la ltima ronda del campeonato alemn de ftbol el equipo del Bayer Munich obtuvo tres puntos ms que el Hamburgo. El PSV Doven obtuvo el doble de puntos que el Bonn que igual al Hamburgo en puntos. Si el Bayer Munich cuenta con trece puntos: a. Cuntos puntos obtuvo cada equipo? b. Ordeno los equipos segn el puntaje de menor a mayor

2. LOS NUMEROS ENTEROS Y PROPIEDADES El conjunto de los nmeros enteros se representa con la letra Z. Z = ...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... PROPIEDADES.

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1. Z es un conjunto infinito 2. Entre dos nmeros enteros siempre existe un numero finito de nmeros enteros. Entre 7 y 1 existen siete nmeros enteros. Entre 2 y 2 existen tres nmeros enteros. 3. Z no tiene ni primer ni ltimo elemento. 4. En la recta numrica los nmeros enteros positivos estn a la derecha y los enteros negativos a la izquierda. El entero cero va en el centro de la recta. A cada numero entero le corresponde uno y solo un punto de la recta. Los nmeros enteros no completan la recta numrica.

N es subconjunto de Z ( N Z) Todo numero entero tiene sucesor Todo numero entero tiene antecesor Un numero entero y su sucesor se llaman consecutivos -3 y 4 son consecutivos 9. Los nmeros enteros es un conjunto ordenado por la relacin 10. Operaciones en Z. Las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y la potenciacin de base entera y exponte natural, siempre son posibles en Z. Mientras que la divisin, potenciacin de exponente negativo y la radicacin no siempre son posibles en Z. 5. 6. 7. 8.

ACTIVIDAD 2 1. Analiza las propiedades de N y los Z que conclusiones puedes sacar? 2. Cuntos nmeros naturales estn comprendidos entre: a) 23 y 31 b) 765 y 876 c) 3 y 5 3. Cuntos nmeros enteros estn comprendidos entre: a) -8 y 4 b) -6 y 5 c) 2 y 3 d) -5 y 0 4. Coloca < , = > segn corresponda en : -3 ____ 7 4_____ -5 -2____ -56 -564_____ -453 -123 x 6____ 53 -(-7 )___ 7 64___26

-3 + 6 89 +76______ 34 67 + 65 -5 +8 +(-45)-876_______ 7x (-5) + 300

-3 4 78 +675x (-4) +654___-543

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3. LOS NUMEROS RACIONALES Y PROPIEDADES. El conjunto de los nmeros racionales se representan por Q. Los nmeros racionales se Crearon para poder resolver los casos no posibles de divisin entre nmeros enteros Z. Q = { a / b tal que a, b Z y b 0 }PROPIEDADES

1. Q es un conjunto infinito. 2. Q es un conjunto denso, es decir entre dos nmeros racionales existen infinitos nmeros racionales 3. Q no tiene primero ni ltimo elemento. 4. N C Z C Q 5. Ningn nmero racional tiene sucesor ni antecesor 6. Q es un conjunto ordenado por la relacin 7. En Q siempre son posibles las operaciones de adicin, la sustraccin, la multiplicacin, la divisin (con divisor distinto de cero) y la potenciacin de base racional y exponente entero (excepto 0 ). En Q no son siempre posibles la potenciacin de base racional y exponente racional y la radicacin. 8. Todo nmero racional se puede transformar en una expresin decimal peridica. 9. El conjunto de los nmeros racionales es el conjunto de las expresiones decimales 4. LOS NUMEROS IRRACIONALES El conjunto de los nmeros irracionales se representa por la letra I. Los nmeros irracionales son los nmeros de infinitas cifras decimales no peridicas. Ejemplos: 2 , 3 , , - El conjunto de nmeros irracionales no completa la recta. ACTIVIDAD 3

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CUESTIONARIO DE SELECCIN MLTIPLE 1. Si a, b Z, a > -3 y b < 5, entonces: A. (a b) > 2 B. (a b) < 2 C. (a b) < -8 D. (a b) > 8 2. Si a, b y c son nmeros enteros, entonces slo una de las siguientes afirmaciones es verdadera: A. Si a < 0 y b < 0, entonces a . b < 0 B. Si a < b, entonces (b a) < 0. C. Si 0 < a y b < 0, entonces a > b. D. Si a < b, entonces a c > b c 3. Si a/b Q tal que 0 < a/b < 1, entonces slo una de las siguientes afirmaciones es cierta. A. (a/b)2 < (a/b)3 B. (a/b)2 > (a/b) C. (a/b)2 > 1 D. (a/b)2 > (a/b)3 4. Dada la expresin decimal peridica 7,517, uno de los siguientes nmeros racionales est representada por ella: A. 7517 B. 3584 C. 512 D. 3721 1000 990 990 495 5. Una pelota de caucho se deja caer desde una altura de 9 metros. Si cada vez rebota un tercio de la altura desde la cual ha cado esa vez, entonces la altura que alcanza despus del quinto rebote es. A. 1/3 m B. 1/9 m C. 1/27m D. 1/81 m 5. EL CONJUNTO PROPIEDADES. NUMEROS REALES. Un nmero real es un nmero que puede representarse mediante una expresin decimal de infinitas cifras. Notacin: Si Q: conjunto de nmeros racionales I: conjunto de nmeros irracionales R: conjunto de nmeros reales Entonces: R= Q U I El conjunto R de los reales lo forman los nmeros racionales y los nmeros irracionales. Como Q R, I R, entonces existen nmeros reales positivos y nmeros reales negativos. R+: conjunto de nmeros reales positivos R-: conjunto de nmeros reales negativos. R = R+ U R- U {0} 5.1 LA RECTA NUMRICA O RECTA REAL. la representacin geomtrica de los nmeros reales es de gran importancia en el estudio de las matemticas. Analizamos que al representar el conjunto de los nmeros racionales sobre 10 DE LOS NUMEROS REALES, OPERACIONES Y

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la recta numrica aparecen ciertos agujeros, a los cuales no corresponde ningn nmero racional. A estos agujeros o puntos, les corresponde un nmero irracional. Entre dos nmeros reales existen infinitos nmeros reales (recuerde que Q R, es decir, R es un conjunto denso pero sin agujeros (recuerde que los agujeros han sido cubiertos por los irracionales) , por tanto decimos que el conjunto R es denso y continuo. El conjunto R de los nmeros reales completa la recta. Observa la ubicacin de los nmeros. - ... | | | | | | | | | | | | | | | | | | |::: -4 -3 -2 -1 -0.5 0 1 3/2 2 5/2 3 4 5 A todo nmero real corresponde un punto sobre la recta y a todo punto sobre la recta corresponde un nmero real. 5.2 RELACION DE ORDEN EN LOS REALES Las relaciones de orden menor que y mayor que en los nmeros reales se definen de la misma forma que en el conjunto de los nmeros racionales. Si r es un nmero real, slo se puede presentar una de las siguientes condiciones: r > 0 (r es positivo) -r >0 (r es negativo) r = 0 (r es cero) si q y p son nmeros reales y se cumple que q < p, al representar estos reales en la recta, q est a la izquierda de p. Si q y p estn expresados como decimales positivos, para saber cul de los dos es el menor, se comparan sus cifras decimales y se busca el primer digito en que las representaciones decimales difieren. El nmero cuya representacin decimal tiene el menor digito en este lugar es el menor. EJEMPLO 1: Establecer la relacin - menor que entre los nmeros reales 0,364218392 y 0,364318092. Solucin. Al comparar los dgitos uno a uno se observa que: 0,364218392 < 0,364318092 porque 3 > 2. Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros reales positivos: a. 0,6311812 b. 0,6412012 c. 0,6312113 d. 0,6312714 e. 0,6299879 f. 0,6311913 g. 0,6311739 h. 0,6321812 i. 0,6392124 j. 0,6412313

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Si los dos decimales son negativos se busca el dgito en que las representaciones difieren. El nmero cuya representacin tiene el mayor dgito en este lugar, es el menor. EJEMPLO 2 Establecer la relacin de orden entre los nmeros 0, 43169 y 0,43153. Solucin: Se comparan los dgitos uno a uno y se observa que 0,43169 < -0,43153 porque 6 > 5. Ordena los siguientes nmeros reales negativos de menor a mayor: -7,214318 -7,234318 -7,214492 -7,211935 -7,234212 -7, 214217 -7,224226 -7,211936 -7,212028 -7,234320

ACTIVIDAD 4 1. Indica cules de las siguientes relaciones son falsas y cules son ciertas: a) N Z b)Z I c) R Q = Q d) Q U N U Z = Q 2. Di qu relaciones son ciertas: a) 3 I b 4 Z c) 1/5 R d) 4 N

3. Representa sobre una recta los siguientes nmeros reales: a) 2/3 b) 3/5 c) 6 d) 4 e) 2 f) g) 5/6 h) 1 i) 9 j)- 5 4. Ordena de menor a mayor cada uno de los nmeros del ejercicio tres 5. De los siguientes pares de nmeros reales di cul es el mayor: a) 3 y 3 b) 1 y 10 c) 1 y 0 d) 2/3 y e) 3/5 y f) i) 3,05 y 3,5 j) 2/3 y 1 k) 8 y 1/10 l) 3/4 y 0 6.Un nmero elevado al cuadrado es igual a 8. Cul es el nmero? 7. El rea de un cuadrado es igual a 128m2, cuntos metros mide cada lado? 8. 4 es un nmero irracional?. Justifica tu respuesta.

5.3 OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALES

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Estudiar las operaciones en el computo de los nmeros reales es simplemente extender lo ya aprendido sobre adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin en los nmeros enteros y racionales. Como los nmeros reales no se pueden escribir exactos, ya que son expresiones decimales infinitas, debemos truncar o aproximar la expresin decimal. Se llama truncar una expresin decimal al proceso de tomar un nmero determinado de sus cifras decimales y descartar las otras. Para aproximar una cantidad a cierta cifra decimal, se busca la cifra que le sigue. Si esta es mayor o igual que cinco, se le suma uno a la cifra de aproximacin. En caso que la cifra siguiente fuese menor que cinco, se descarta esta cifra y todas las que siguen. Ejemplo 1: Si N = 4,26872476 truncar hasta las milsimas. Solucin: N = 4268 Ejemplo 2 : aproximar el nmero N = 5,384638 hasta las milsimas . Solucin: como se quiere aproximar hasta las milsimas, se observan las cifras decimales de tercero y cuarto orden. Como 6 > 5, entonces se aproximan las milsimas a la siguiente unidad y queda 4,385 Ejemplo 3 : aproximar el nmero 5,3824 hasta las centsimas . Solucin: 5,38. Porque las centsimas del dgito es 8 y las milsimas el dgito es menor que 5. ACTIVIDAD 5 1. Aproxima hasta las dcimas a) 64,12138 b) 99,0382 c) 17,921021 d) 0,04919 e) 0,03826 f) 39,128

1.2 Los nmeros anteriores aproxmalos hasta las centsimas. 1.3 Los nmeros anteriores aproxmalos hasta las milsimas 2. Truncar en la segunda cifra decimal los siguientes nmeros reales: a. 64,29413 d. 0,034912 g. 349,191193 j. 13,001712 b. 62,6934318 e. 64,921831 h. 11119,64213 k. 0,039128 c. 0,0078 f. 431,42126 i. 4,912138 l. 0,042139 m. 13,491826 n. 1,42139 o. 0,394218

5.3.1 OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALES

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Adicin +:RxR R (a, b) a+b (8, 3) 8 + 3 = 11 (1/2, 5 ) + 5 = 11/2 Multiplicacin X:RxR R (a, b ) a x b = (a ) (b) = ab (5, 4 ) 5 x 4 = 20 (- 3 , 2 ) (- 3) (2) = - 6

Sustraccin -:RxR R (a, b) a+(-b)=ab (5, 2) 5 + (- 2 ) = 5 2 = 3 (-3, 4) (-3 ) + (- 4 ) = - 3 4 = - 7 Divisin :Rx R R (a, b) a * b = a x 1/b = a / b (9, 3) 9 * 3 = 9 x 1/3 = 9/3 = 3 (- 2 , 4 ) - 2 * 4 = (- 2 ) (1/4) = -

En las definiciones anteriores podemos observar que: La sustraccin es la operacin inversa a la adicin, pues sencillamente es adicionar un nmero positivo con un nmero negativo. a b = a + (- b ) la divisin es la operacin inversa a la multiplicacin, porque hay que multiplicar el dividendo por el recproco del divisor. a b = a x 1/b recordemos que con los nmeros reales existe inverso aditivo e inverso multiplicativo llamado tambin recproco. Veamos lo que es el recproco de un nmero real. Ejemplo. Efectuemos 2/3 x 3/2 Solucin 2/3 x 3/2 = 2 x 3 = 6 = 1 3x2 6 como el producto es 1, 3/2 es el recproco de 2/3 2/3 es el recproco de 3/2. Si a 0, b 0 y a/b x b/a = 1, entonces b/a es el recproco de a/b y viceversa

Propiedades Adicin: + : R x R R; (a, b) a+b Clausurativa Si a, b, R, entonces a+ b = c, c R

Propiedades Multiplicacin: x : R x R; (a,b) axb Clausurativa Si a, b R, entonces a . b = c, c R

Conmutativa Conmutativa Si a, b, cR entonces, (a+ b)+ c = a + (b + c) Si a, b R, entonces a . b = b . a Asociativa Asociativa Si a, b, c R entonces, (a + b)+ c = a+ (b+c) Si a, b, c R, entonces (a . b) . c = a . (b. c)

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Modulativa Modulativa Si a R, existe 0 R tal que a + 0= 0+a = a Si a R, existe 1 R, tal que a x 1 =1x a =a Invertiva Si a R, a 0, existe a R, tal que a+ (- a ) = (- a ) + a = 0 Invertiva Si a R, a 0, existe un nico 1/a R, tal que a x 1/a = 1/a x a = 1

Distributiva: si a, b, c R, entonces, a x (b + c) = (a . b) + / a . c) Propiedad que relaciona la adicin, multiplicacin y la igualdad Si a, b R y a = b, entonces, a + c = b + c, c R. Si a, b R y a = b, entonces a . c = b . c, c R Propiedad que relaciona la adicin, la multiplicacin y el orden. Si a, b R y a < b, entonces a . c < b . c, c R y c > 0 4 < 8, entonces, 4 x 3 < 8 x 3 Con esas propiedades podemos obtener muchas ms propiedades que nos permiten construir otra rama importante de la matemtica que es el lgebra. Veamos algunos ejemplos de aplicacin. a) Si a, b R, entonces, a ( b) = ( - a ) (b) = - (ab) b) Si a, b, c R, entonces, a (b c ) = ab ac

ACTIVIDAD 6 1. Di la propiedad que justifica cada una de las siguientes igualdades. a) 7 + 5 + 9 = (7 + 5) + 9 g) 11 + (y + 7) = (y + 7) + 11 b) 8 + 0 = 8 h) b + (-b) = ( - b) + b = 0 c) 17 + 41 = 41 + 17 i) (x + s) + (t + u) = x + [s + (t + u)] d) (6 + 2) + 4 = 6 + (2 + 4) j) 0,5 + 0,9 + 0,15 = 0,5+ (0,9 + 0,15) e) x + 0 = 0 + x = x k) 1/5 + 0 = 0 + 1/5 f) (w + x) + (y + z) =[(w + x ) ]+ z+y l. 50 + 18 = 18 + 50 2. Explica la propiedad que justifica cada una de las siguientes igualdades. a. 3 x 9 = 9 x 3 b. 5 x 9 x 10 = - 5 x (9 x 10) f. 5 x 4 = 20 g. 8 x 1/8 = 1

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c. m . 1/m = 1 d. y . 1 = 1 . y = y e. t (u + s) = tu + ts 5.3.2

h. 3 x (2 + 4) = (3 x 2) + (3 x 4) i. 13 x 1= 13 j. mnw = (mn) w = m (nw)

POTENCIACION, RADICACIN Y LOGARITMACION

POTENCIACION DE LOS NUMEROS REALES Estudiamos ya que para cualquier nmero a se tiene que a + a = 2 y que a x a = a2 (lase a al cuadrado) y como a + a = 3, se infiere que a x a x a = a 3 (lase a, al cubo) y as sucesivamente; generalizando: a = a1 a . a = a2 a . a . a = a3 a . a .a . .... = an, para todo n Z+ y a R Donde a es base, n el exponente y a la potencia n de a. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN 1.MULTIPLICACIN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Ejemplo 1 Efectuemos la operacin: a4 . a3, con a R Solucin a4 = a . a . a. a a3 = a . a . a 4 luego, a . a3 = a . a . a . a . a. a. a = a.a.a.a.a.a.a = a7 Observemos queque a7 resulta de dejar como base a y adicionar los exponentes (4 + 3 = 7) Ejemplo 2 Efectuemos la operacin: 42 x 44 Solucin 42 = 4 x 4 43 = 4 x 4 x 4 x 4 2 por lo tanto, 4 x 44 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46 Observemos que 46 se puede obtener directamente dejando la base (4) igual y adicionando los exponentes (2 + 4 = 6). EN GENERAL SE CONCLUYE QUE: 16

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Para todo a R, con a 0 y m, n Z+, se cumple que am . an = am + n 2. DIVISIN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE analicemos por medio de los siguientes ejemplos lo que sucede cuando dividimos potencias de bases iguales. Ejemplo 1 Realicemos el ejercicio 35 33 Solucin 35 = 3 x 3x 3 x 3 x 3 33 = 3 x 3 x 3 5 3 33 = 3 x 3x 3 x 3 x 3 3x3x3 =3x3 = 32 2 observemos que 3 resulta de dejar como base el 3 y el exponente resulta de restar exponentes (5 3 = 2) Ejemplo 2 Efectuemos la operacin x4 x6, con x R y x 0 Solucin x4 = x . x . x . x x6 = x . x . x . x . x . x Luego x4 x6 = x . x . x . x x.x.x. x.x.x = 1 x.x = 1 x2 EN GENERAL SE CONCLUYE QUE: Para todo a R, a 0 y m, n Z , se tiene: am = am-n , si m > n an am =1 si , m=n an m 1 a = m n , m 0 , entonces x1 = y1, x2 = -y1 son races de (1); si y1 = 0 , tambin x1 = 0 es raz de (1); si y1 < 0 , x2 = y1 no da lugar a ninguna solucin real de x.

Por ejemplo, la ecuacin bicuadrada: x4 - x2 12 = 0

se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuacin de segundo grado: y2 - y - 12 = 0

Cuyas soluciones son

y1 = 4, y2 = -3

Para y1 = 4: x2 = 4

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Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuacin bicuadrada. Para y2 = -3: x2 = -3

Por tanto, las nicas races de la ecuacin x4 - x2 - 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2.

UNIDAD 4. SISTEMA DE ECUACIONES1.Sistema de ecuaciones Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave. Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o ms incgnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solucin del sistema a una solucin comn a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solucin. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solucin, se dice que son equivalentes. Los sistemas de ecuaciones sin solucin se llaman incompatibles y los que tienen solucin, compatibles. Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa as

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La solucin de este sistema es x = 3, y = -2 porque es solucin de ambas ecuaciones. Es, por tanto, un sistema compatible. El sistema

es incompatible, pues no tiene solucin. Los sistemas de ecuaciones lineales (es decir, ecuaciones del tipo ax + by = c, ax + by + cz = d,) son especialmente interesantes por las mltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.

2.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuacin con varias incgnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d,, es decir, si las incgnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1). Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solucin nica (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado). Existen varios mtodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el mtodo de sustitucin, el mtodo de igualacin y el mtodo de reduccin. A continuacin se aplican en la resolucin de sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas. 2.1 El mtodo de sustitucin consiste en despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresin en la otra, la cual se transformar en una ecuacin con una incgnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incgnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra. Para resolver el sistema

por el mtodo de sustitucin conviene despejar la y de la segunda ecuacin: y = 10 - 4x

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Ahora se sustituye su valor en la primera: 2x - 5(10 - 4x) = 16 Se resuelve la ecuacin resultante, pues slo tiene una incgnita: 2x 50 + 20x = 16 22x = 66 x = 66/22 = 3 Ahora el valor de x se sustituye en la expresin de y obtenida antes: y = 10 - 4x = 10 - 43 = 10 - 12 = -2 Se ha obtenido as la solucin x = 3, y = -2. 2.2 El mtodo de igualacin consiste en despejar la misma incgnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo as una ecuacin con una incgnita. Una vez resuelta se obtiene fcilmente el valor de la otra incgnita. Para resolver por igualacin el sistema anterior:

se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:

Ahora se resuelve esta ecuacin: 2(16 + 5y) = 10 y 32 + 10y = 10 y 11y = -22 y = -2 Por ltimo, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:

Se ha obtenido la solucin x = 3, y = -2. 2.3 El mtodo de reduccin consiste en procurar que una de las incgnitas tenga el mismo

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coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incgnita, dando lugar a una ecuacin con slo la otra incgnita. Se resuelve dicha ecuacin y el valor de la incgnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incgnita. Para resolver por reduccin el mismo sistema:

se multiplican los dos miembros de la primera ecuacin por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 4x - 10y = 32 4x + y = 10 Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuacin siguiente: -11y = 22 Se resuelve: y = -2 Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales: 2x - 5(-2) = 16 2x + 10 = 16 2x = 6 x=3 La solucin es x = 3, y = -2. Representacin grfica Una ecuacin lineal con dos incgnitas, ax + by = c, se representa mediante una recta. La representacin de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas consiste en un par de rectas. Si stas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solucin del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son los puntos de la recta.

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Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

se representa del siguiente modo:

El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solucin del sistema: x = 2, y = 1. Una ecuacin lineal con tres incgnitas, ax + by + cz = d, se representa mediante un plano. La representacin de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas consiste en tres planos cuya posicin relativa determina que el sistema sea compatible o incompatible. Si los tres planos se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado y si se cortan en una recta, el sistema es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones.

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UNIDAD 5 :NUMEROS COMPLEJOS1.INTRODUCCIN Nmero complejo, expresin de la forma a + bi, en donde a y b son nmeros reales e i es . Estos nmeros se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemticas. En fsica e ingeniera los nmeros complejos se utilizan para describir circuitos elctricos y ondas electromagnticas. El nmero i aparece explcitamente en la ecuacin de onda de Schrdinger que es fundamental en la teora cuntica del tomo. El anlisis complejo, que combina los nmeros complejos y los conceptos del clculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teora de nmeros o el diseo de alas de avin. 2. HISTORIA

Los nmeros complejos aparecieron al buscar soluciones para ecuaciones como x2 = -1. No existe ningn nmero real x cuyo cuadrado sea -1, por lo que los matemticos de la antigedad concluyeron que no tena solucin. Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filsofo y

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matemtico italiano Gerolamo Cardano y sus contemporneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluan las races cuadradas de nmeros negativos. Por ejemplo, Cardano sugiri que el nmero real 40 se puede expresar como

El matemtico suizo Leonhard Euler introdujo el moderno smbolo i para en 1777 y formul la expresin

que relaciona cuatro de los nmeros ms importantes en matemticas. El matemtico alemn Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostr su famoso teorema fundamental del lgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raz compleja. En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemtico francs Augustin L. Cauchy generaliz el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja. 3.PROPIEDADES En un nmero complejo a + bi, a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria. El nmero complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3. La adicin de nmeros complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado. Por ejemplo, para sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuacin las partes imaginarias 4 y -2, dando el nmero complejo 3 + 2i. La regla general para la adicin es (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i La multiplicacin de nmeros complejos se basa en que i i = -1, y en asumir que esta operacin es distributiva respecto de la adicin. Esto genera la siguiente regla para la multiplicacin: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

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Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que (1 + 4i)(2 - 2i) = 10 + 6i Si z = a + bi es un nmero complejo cualquiera, el complejo conjugado de z es

y el valor absoluto o mdulo de z es

As, el conjugado de 1 + 4i es 1 - 4i y su mdulo es

Una relacin fundamental entre el valor absoluto y el complejo conjugado es que

4.

EL PLANO COMPLEJO

De la misma manera que los nmeros reales se pueden representar como puntos de una lnea, los nmeros complejos se pueden representar como puntos de un plano. El nmero complejo a + bi es aquel punto del plano con coordenada x igual a la parte real a, y coordenada y igual a la parte imaginaria b. Los complejos 1 + 4i y 2 - 2i aparecen en la figura 1 y corresponden a los puntos (1,4) y (2,-2) del plano. En 1806, el matemtico francs Jean-Robert Argand represent geomtricamente los nmeros complejos como puntos del plano, por lo que la figura 1 es conocida como diagrama de Argand. Si un nmero complejo se considera como un vector que une el origen y el punto correspondiente, la adicin de nmeros complejos es igual a la suma corriente de vectores. La figura 1 muestra el nmero complejo 3 + 2i obtenido al sumar los vectores 1 + 4i y 2 - 2i. Dado que los puntos del plano se pueden definir en funcin de sus coordenadas polares r y (vase Sistema de coordenadas), todo nmero complejo z se puede escribir de la forma z = r (cos + i sen )

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donde r es el mdulo de z o distancia del punto al origen y es el argumento de z o ngulo entre z y el eje de las x. Si z = r (cos + i sen ) y w = s (cos + i sen ) son dos nmeros complejos en forma polar, entonces el producto (en forma polar) viene dado por zw = rs (cos( + ) + isen( + )) Este clculo tiene una sencilla interpretacin geomtrica que se muestra en la figura 2. 5. SOLUCIONES COMPLEJAS

Existen muchas ecuaciones polinmicas (vase Teora de ecuaciones) que no tienen soluciones reales, como x2 + 1 = 0 Sin embargo, si se permite que x sea compleja, la ecuacin tiene como soluciones x = i, donde i y -i son las races del polinomio x2 + 1. La ecuacin x2 - 2x + 2 = 0 tiene como soluciones x = 1 i. El gran logro de Gauss fue demostrar que todo polinomio no trivial (es decir, que tiene al menos una raz distinta de cero) con coeficientes complejos tiene al menos una raz compleja. De aqu se deduce que todo polinomio complejo de grado n tiene exactamente n races, no necesariamente distintas. Por tanto, todo polinomio complejo de grado n se puede escribir como producto de n factores lineales complejos.

BIBLIOGRAFIA Enciclopedia Encarta Microsoft Matemtica Constructiva N 9

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Matemtica con tecnologa aplicada N 9 lgebra de Baldor.

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