matemáticas discretas tc1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-051.pdf · teoría de...

of 80 /80
Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/29 Matemáticas Discretas TC1003 Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM

Author: others

Post on 03-Jun-2020

5 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/29

    Matemáticas DiscretasTC1003

    Teoría de Conjuntos: Definiciones BásicasDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

    ITESM

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/29

    Introducción

    En esta lectura veremos la teoría elemental deconjuntos. Esto incluye cómo se definen y cuálesson las operaciones básicas. Un aspecto queintentamos enfatizar es cómo elaborar la teoría deconjuntos haciendo uso de la lógica matemática.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/29

    Definición de Conjunto

    DefiniciónUn conjunto es una colección o familia de objetos.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/29

    Definición de Conjunto

    DefiniciónUn conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único:

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/29

    Definición de Conjunto

    DefiniciónUn conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único:servirán para definir un conjunto.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/29

    Definición de Conjunto

    DefiniciónUn conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único:servirán para definir un conjunto. Para ningunaotra cosa más.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 4/29

    Formas de Construir o Definir Conjuntos

    Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 4/29

    Formas de Construir o Definir Conjuntos

    Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:■ Definición de un conjunto por extensión.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 4/29

    Formas de Construir o Definir Conjuntos

    Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:■ Definición de un conjunto por extensión.■ Definición de un conjunto por intención.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 5/29

    Definición por Extensión

    DefiniciónConstruir o definir un conjunto por extensiónconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 5/29

    Definición por Extensión

    DefiniciónConstruir o definir un conjunto por extensiónconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.Ejemplo

    {Rosana, Sakura, María del Carmen, VitoCorleone, Pedro }

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

    Definición por Intención

    DefiniciónConstruir o definir un conjunto por intenciónconsiste en declarar cuáles elementos de un ciertoconjunto son seleccionados.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

    Definición por Intención

    DefiniciónConstruir o definir un conjunto por intenciónconsiste en declarar cuáles elementos de un ciertoconjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabopor una propiedad o predicado P(x).

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

    Definición por Intención

    DefiniciónConstruir o definir un conjunto por intenciónconsiste en declarar cuáles elementos de un ciertoconjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabopor una propiedad o predicado P(x).

    {x ∈ D|P(x)}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

    Definición por Intención

    DefiniciónConstruir o definir un conjunto por intenciónconsiste en declarar cuáles elementos de un ciertoconjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabopor una propiedad o predicado P(x).

    {x ∈ D|P(x)}

    Ejemplo

    {x ∈ R | − 2 < x}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

    Definición por Intención

    DefiniciónConstruir o definir un conjunto por intenciónconsiste en declarar cuáles elementos de un ciertoconjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabopor una propiedad o predicado P(x).

    {x ∈ D|P(x)}

    Ejemplo

    {x ∈ R | − 2 < x}

    “Todos aquellos números reales que son mayoresque -2.”

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 7/29

    Conceptos

    Veamos los conceptos básicos sobre teoría deconjuntos.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/29

    Pertenencia a un Conjunto

    DefiniciónUn objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/29

    Pertenencia a un Conjunto

    DefiniciónUn objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si■ cuando el conjunto A está definido por extensión

    cuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/29

    Pertenencia a un Conjunto

    DefiniciónUn objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si■ cuando el conjunto A está definido por extensión

    cuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A

    ■ cuando el conjunto A está definido por intencióncuando el elemento x es tomado del universo deldiscurso y cumple la propiedad establecida paraA

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

    A = { Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

    1. Jonas

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

    A = { Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

    1. Jonas : Jonas < A2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

    A = { Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

    1. Jonas : Jonas < A2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro :Pedro ∈ A6. Pablo Morales

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

    {x ∈ Z| − 2 < x < 5}

    1. 3

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

    {x ∈ Z| − 2 < x < 5}

    1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 52. 6

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

    {x ∈ Z| − 2 < x < 5}

    1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 52. 6 : 6 < A pues −2 < 6 ≮ 53. -3

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

    {x ∈ Z| − 2 < x < 5}

    1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 52. 6 : 6 < A pues −2 < 6 ≮ 53. -3 :−3 < A pues −2 ≮ −3 < 54. 1.5

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

    {x ∈ Z| − 2 < x < 5}

    1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 52. 6 : 6 < A pues −2 < 6 ≮ 53. -3 :−3 < A pues −2 ≮ −3 < 54. 1.5 : 1.5 < A pues 1.5 no es entero.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 11/29

    Definición de Subconjunto

    DefiniciónDiremos que un conjunto A es un subconjunto deel conjunto B y lo simbolizaremos

    A ⊆ B

    si todo elemento de A es también elemento de B.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 11/29

    Definición de Subconjunto

    DefiniciónDiremos que un conjunto A es un subconjunto deel conjunto B y lo simbolizaremos

    A ⊆ B

    si todo elemento de A es también elemento de B.Observe que de la definición se tiene la siguienteequivalencia:

    A ⊆ B ≡ ∀x, x ∈ A→ x ∈ B

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 11/29

    Definición de Subconjunto

    DefiniciónDiremos que un conjunto A es un subconjunto deel conjunto B y lo simbolizaremos

    A ⊆ B

    si todo elemento de A es también elemento de B.Observe que de la definición se tiene la siguienteequivalencia:

    A ⊆ B ≡ ∀x, x ∈ A→ x ∈ B

    Y negando lo anterior:

    A * B ≡ ∃x, x ∈ A ∧ x < B

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

    EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

    EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios

    Se tiene:1. N ⊆ Z

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

    EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios

    Se tiene:1. N ⊆ Z2. Z ⊆ Q

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

    EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios

    Se tiene:1. N ⊆ Z2. Z ⊆ Q3. Q ⊆ R

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

    EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios

    Se tiene:1. N ⊆ Z2. Z ⊆ Q3. Q ⊆ R4. Z * N

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

    EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios

    Se tiene:1. N ⊆ Z2. Z ⊆ Q3. Q ⊆ R4. Z * N5. Q * Z

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

    EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios

    Se tiene:1. N ⊆ Z2. Z ⊆ Q3. Q ⊆ R4. Z * N5. Q * Z6. R * Q

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 13/29

    Definición de Subconjunto Propio

    DefiniciónDiremos que un conjunto A es un subconjuntopropio de el conjunto B y lo simbolizaremos

    A ⊂ B

    si todo elemento de A es también elemento de B yademás existe un elemento de b que no eselemento de A.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 13/29

    Definición de Subconjunto Propio

    DefiniciónDiremos que un conjunto A es un subconjuntopropio de el conjunto B y lo simbolizaremos

    A ⊂ B

    si todo elemento de A es también elemento de B yademás existe un elemento de b que no eselemento de A.

    A ⊂ B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B * A)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/29

    EjemploEn referencia a los conjuntos N,Z,Q,R:

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/29

    EjemploEn referencia a los conjuntos N,Z,Q,R:1. N ⊂ Z

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/29

    EjemploEn referencia a los conjuntos N,Z,Q,R:1. N ⊂ Z2. Z ⊂ Q

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/29

    EjemploEn referencia a los conjuntos N,Z,Q,R:1. N ⊂ Z2. Z ⊂ Q3. Q ⊂ R

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 15/29

    EjemploSi

    A = {c, d, f , i}

    B = {a, f }

    C = {c, i}

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:(a) B ⊆ B :(b) B ⊂ B(c) C ⊆ B(d) C ⊆ A

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 15/29

    EjemploSi

    A = {c, d, f , i}

    B = {a, f }

    C = {c, i}

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:(a) B ⊆ B :(b) B ⊂ B(c) C ⊆ B(d) C ⊆ A(a) cierto pues todo elemento de B es elemento de B. (b) Falso,

    pues ⊂ no tolera la igualdad. (c) Falso, pues existe un elemento en

    C, a saber i, que no es elemento de B. (d) Cierto, pues todo

    elemento de C, tanto c como i, son elementos de A.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 16/29

    Cuidado con la Notación

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:1. c ⊂ {c}

    2. {c} ⊆ {a, b, {c}}

    3. {c} ∈ {a, b, {c}}

    4. {c} ∈ {{c}}

    5. {c} ⊆ {{c}}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 16/29

    Cuidado con la Notación

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:1. c ⊂ {c}

    2. {c} ⊆ {a, b, {c}}

    3. {c} ∈ {a, b, {c}}

    4. {c} ∈ {{c}}

    5. {c} ⊆ {{c}}

    1. Falsa: Note que X ⊂ y se usa para cuando x es conjunto y Y es

    conjunto. 2. Falsa: Para revisar si se tiene ⊆ se deben tomar los

    elementos de {c}, el único es c y ver si son elementos de {a, b, {c}},

    pero no es elemento: el conjunto formado con c sí es elemento pero

    c no. 3. Cierta: {c} es un elemento de {a, b, {c}}, es el último

    elemento. 4. Cierta: {c} efectivamente es elemento de {{c}} (es el

    único elemento!) 5. Falsa: el elemento c no es elemento de {{c}}, el

    que sí es elemento es {c}.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 17/29

    Igualdad entre conjuntos

    DefiniciónDos conjuntos A y B se dicen iguales si poseen losmismos elementos. Es decir, todos los elementosde A son elementos de B y todos los elementos deB son también elementos de A. En términosformales:

    A = B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 18/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesciertas para los conjuntos:a) D = {a, b, e, f }b) A = {a, a, f , g, e, g}c) C = { f , g, a, e}d) B = { f , b, a, e}Entre:1. D = C

    2. C = A

    3. D = B

    4. D = A

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 18/29

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesciertas para los conjuntos:a) D = {a, b, e, f }b) A = {a, a, f , g, e, g}c) C = { f , g, a, e}d) B = { f , b, a, e}Entre:1. D = C

    2. C = A

    3. D = B

    4. D = A

    1. es falsa, pues D * C debido a que b ∈ D y b < C. 2. es cierta,

    pues todo elemento de A (tanto a, como f , como g, y como e) están

    en C y recíprocamente. 3. es cierta, por el mismo tipo de razón que

    2. 4. es falsa, pues b ∈ D y b < A.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 19/29

    El conjunto Vacío

    DefiniciónEl conjunto que no tiene ningún elemento sellamará el conjunto vacío.Y se simbolizará por:

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

    Ojo con la notación

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas:1. ∅ ∈ {∅}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

    Ojo con la notación

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas:1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

    Ojo con la notación

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas:1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de

    cualquiera3. ∅ ⊂ {∅}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

    Ojo con la notación

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas:1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de

    cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

    Ojo con la notación

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas:1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de

    cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅ Falso5. 0 = ∅

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

    Ojo con la notación

    EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas:1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de

    cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅ Falso5. 0 = ∅ Falso

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 21/29

    Operaciones entre conjuntos

    Veamos ahora las operaciones básicas entreconjuntos: Unión, intersección, complemento,diferencia, conjunto potencia y productocartesiano.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 22/29

    Operaciones entre conjuntos: Unión

    DefiniciónSean A y B dos conjuntos. La unión de A con B esel conjunto de aquellos elementos que están en Ao que están en B. Este conjunto se simbolizará por

    A ∪ B

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 22/29

    Operaciones entre conjuntos: Unión

    DefiniciónSean A y B dos conjuntos. La unión de A con B esel conjunto de aquellos elementos que están en Ao que están en B. Este conjunto se simbolizará por

    A ∪ B

    Asíx ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 23/29

    Operaciones entre conjuntos: Intersección

    DefiniciónSean A y B dos conjuntos. La intersección de Acon B es el conjunto de aquellos elementos queestán en A y que están en B. Este conjunto sesimbolizará por

    A ∩ B

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 23/29

    Operaciones entre conjuntos: Intersección

    DefiniciónSean A y B dos conjuntos. La intersección de Acon B es el conjunto de aquellos elementos queestán en A y que están en B. Este conjunto sesimbolizará por

    A ∩ B

    Asíx ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 24/29

    Operaciones entre conjuntos: Diferencia

    DefiniciónSean A y B dos conjuntos. La diferencia de A con Bes el conjunto de aquellos elementos que están enA y que no están en B. (el orden diferencia decon importa). Este conjunto se simbolizará por

    A − B

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 24/29

    Operaciones entre conjuntos: Diferencia

    DefiniciónSean A y B dos conjuntos. La diferencia de A con Bes el conjunto de aquellos elementos que están enA y que no están en B. (el orden diferencia decon importa). Este conjunto se simbolizará por

    A − B

    Asíx ∈ A − B ≡ (x ∈ A) ∧ (x < B)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 25/29

    Operaciones entre conjuntos: Complemento

    DefiniciónSea A un subconjunto de un conjunto universal U.El complemento de A son todos aquelloselementos de U que no están en A. Este conjuntose simbolizará por

    Ac

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 25/29

    Operaciones entre conjuntos: Complemento

    DefiniciónSea A un subconjunto de un conjunto universal U.El complemento de A son todos aquelloselementos de U que no están en A. Este conjuntose simbolizará por

    Ac

    Asíx ∈ Ac ≡ (x ∈ U) ∧ (x < A)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

    EjemploSi

    U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

    A = {2,5,6,7}

    B = {1,2,4,6}

    C = {4,5,6,8}

    Calculea) Bc

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

    EjemploSi

    U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

    A = {2,5,6,7}

    B = {1,2,4,6}

    C = {4,5,6,8}

    Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

    EjemploSi

    U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

    A = {2,5,6,7}

    B = {1,2,4,6}

    C = {4,5,6,8}

    Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,6,8}-{5,7}={4,6,8}c) A ∩C

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

    EjemploSi

    U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

    A = {2,5,6,7}

    B = {1,2,4,6}

    C = {4,5,6,8}

    Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,6,8}-{5,7}={4,6,8}c) A ∩C ={5,6}d) B − (A ∪C)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

    EjemploSi

    U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

    A = {2,5,6,7}

    B = {1,2,4,6}

    C = {4,5,6,8}

    Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,6,8}-{5,7}={4,6,8}c) A ∩C ={5,6}d) B − (A ∪C) ={ 1,2,4,6}-{ 2,4,5,6,7,8}={1}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/29

    Conjunto Potencia

    DefiniciónEl conjunto potencia de una conjunto A es elconjunto que contiene todos los posiblessubconjuntos de A.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/29

    Conjunto Potencia

    DefiniciónEl conjunto potencia de una conjunto A es elconjunto que contiene todos los posiblessubconjuntos de A. Notación o simbología:

    P(A)

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/29

    Conjunto Potencia

    DefiniciónEl conjunto potencia de una conjunto A es elconjunto que contiene todos los posiblessubconjuntos de A. Notación o simbología:

    P(A)

    EjemploDeterminar P({4,15}).

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/29

    Conjunto Potencia

    DefiniciónEl conjunto potencia de una conjunto A es elconjunto que contiene todos los posiblessubconjuntos de A. Notación o simbología:

    P(A)

    EjemploDeterminar P({4,15}).Se tiene:

    P({4,15}) = {{}, {4}, {15}, {4,15}}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 28/29

    El Producto Cartesiano

    DefiniciónSean A y B dos conjuntos (posiblemente igualespero no vacíos). El producto cartesiano de A con B(el orden de con importa). Es elconjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)donde a ∈ A y b ∈ B.

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 28/29

    El Producto Cartesiano

    DefiniciónSean A y B dos conjuntos (posiblemente igualespero no vacíos). El producto cartesiano de A con B(el orden de con importa). Es elconjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)donde a ∈ A y b ∈ B. Notación:

    A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 29/29

    EjemploSi A = {1,4,14} y B = {1,3}. Calcular:

    A × B

  • IntroduccíonConjuntoConstruccíon- por extensíon- por intencíonConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅Operaciones-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

    - P(A)- A × B

    Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 29/29

    EjemploSi A = {1,4,14} y B = {1,3}. Calcular:

    A × B

    Solución:Son todas las parejas de un rojo y un azul:

    A × B = {(1,1), (1,3), (4,1), (4,3), (14,1), (14,3)}

    IntroducciónDefinición de ConjuntoDefinición de ConjuntoDefinición de ConjuntoDefinición de Conjunto

    Formas de Construir o Definir ConjuntosFormas de Construir o Definir ConjuntosFormas de Construir o Definir Conjuntos

    Definición por ExtensiónDefinición por Extensión

    Definición por IntenciónDefinición por IntenciónDefinición por IntenciónDefinición por IntenciónDefinición por Intención

    ConceptosPertenencia a un ConjuntoPertenencia a un ConjuntoPertenencia a un Conjunto

    Definición de SubconjuntoDefinición de SubconjuntoDefinición de Subconjunto

    Definición de Subconjunto PropioDefinición de Subconjunto Propio

    Cuidado con la NotaciónCuidado con la Notación

    Igualdad entre conjuntos

    El conjunto VacíoOjo con la notaciónOjo con la notaciónOjo con la notaciónOjo con la notaciónOjo con la notaciónOjo con la notación

    Operaciones entre conjuntosOperaciones entre conjuntos: UniónOperaciones entre conjuntos: Unión

    Operaciones entre conjuntos: IntersecciónOperaciones entre conjuntos: Intersección

    Operaciones entre conjuntos: DiferenciaOperaciones entre conjuntos: Diferencia

    Operaciones entre conjuntos: ComplementoOperaciones entre conjuntos: Complemento

    Conjunto PotenciaConjunto PotenciaConjunto PotenciaConjunto Potencia

    El Producto CartesianoEl Producto Cartesiano