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Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 1/30 Matemáticas Discretas TC1003 Grafos: Recorridos y Circuitos Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM

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  • Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 1/30

    Matemáticas DiscretasTC1003

    Grafos: Recorridos y CircuitosDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

    ITESM

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 2/30

    Recorridos y Circuitos: definiciones

    Consideremos un grafo G(V,E) cualquiera.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 2/30

    Recorridos y Circuitos: definiciones

    Consideremos un grafo G(V,E) cualquiera.■ Un camino (WALK) de u a w es una sucesión

    finita y alternada de vértices adyacentes y ladosque los conectan de G. Así, éste tiene la forma:

    u = uo e1 u1 e2 u2 · · · en un = w

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 2/30

    Recorridos y Circuitos: definiciones

    Consideremos un grafo G(V,E) cualquiera.■ Un camino (WALK) de u a w es una sucesión

    finita y alternada de vértices adyacentes y ladosque los conectan de G. Así, éste tiene la forma:

    u = uo e1 u1 e2 u2 · · · en un = w

    ■ Un camino trivial de u a u consta de sólo elvértice u.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 2/30

    Recorridos y Circuitos: definiciones

    Consideremos un grafo G(V,E) cualquiera.■ Un camino (WALK) de u a w es una sucesión

    finita y alternada de vértices adyacentes y ladosque los conectan de G. Así, éste tiene la forma:

    u = uo e1 u1 e2 u2 · · · en un = w

    ■ Un camino trivial de u a u consta de sólo elvértice u.

    ■ Un recorrido (PATH) de u a w es un camino de ua w que no contiene lados repetidos.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 2/30

    Recorridos y Circuitos: definiciones

    Consideremos un grafo G(V,E) cualquiera.■ Un camino (WALK) de u a w es una sucesión

    finita y alternada de vértices adyacentes y ladosque los conectan de G. Así, éste tiene la forma:

    u = uo e1 u1 e2 u2 · · · en un = w

    ■ Un camino trivial de u a u consta de sólo elvértice u.

    ■ Un recorrido (PATH) de u a w es un camino de ua w que no contiene lados repetidos.

    ■ Un recorrido simple (SIMPLE PATH) de u a w esun camino de u a w que no contiene vérticesrepetidos.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 3/30

    ■ Un camino cerrado (CLOSED WALK) de u a wes un camino que inicia y termina en el mismovértice.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 3/30

    ■ Un camino cerrado (CLOSED WALK) de u a wes un camino que inicia y termina en el mismovértice.

    ■ Un circuito (CIRCUIT) es un camino cerrado queno contiene lados repetidos.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 3/30

    ■ Un camino cerrado (CLOSED WALK) de u a wes un camino que inicia y termina en el mismovértice.

    ■ Un circuito (CIRCUIT) es un camino cerrado queno contiene lados repetidos.

    ■ Un circuito simple (SIMPLE CIRCUIT) es uncircuito que no contiene vértices repetidosexcepto los extremos.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 4/30

    Tabla de Restrticciones

    Lados Vértices Extremos

    Repetidos? Repetidos? Iguales?

    Camino Permitido Permitido Permitido

    Recorrido No Permitido Permitido

    Recorrido Simple No No No

    Camino Cerrado Permitido Permitido Si

    Circuito No Permitido Si

    Circuito Simple No Primero y último Si

    Solamente Si

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 5/30

    Notación De Caminos

    Cuando no exista duda omitiremos o vértices o ladosde un camino.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 6/30

    Ejemplo 1

    Clasifique los caminos dados:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4e6

    e1e2

    e3

    e4

    e7

    e9

    e5

    e8

    e10

    ■ v0 e1 v1 e2 v2

    ■ v2 e2 v1 e2 v2 e7 v4

    ■ v2 e2 v3 e5 v4 e6 v4

    ■ v2 e4 v3 e5 v4 e6 v4

    ■ v2 e4 v3 e5 v4 e8 v5

    ■ v1 e10 v5 e8 v4 e6 v4 e7 v2 e2 v1

    ■ v0 e1 v1 e10 v5 e9 v2e2 v1

    ■ v2

    ■ v2 v3 v4 v5 v2 v4 v3 v2

    ■ e5 e8 e10 e3

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 7/30

    Ejemplo 2

    Clasifique los caminos dados:v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2 e3

    e5

    e7

    e4

    e6

    e9

    ■ v1 e2 v2 e3 v3 e4 v4 e5 v2 e2 v1 e1 v10

    ■ v2 v3 v4 v5 v2

    ■ v4 v2 v3 v4 v5 v2 v4

    ■ v2 v1 v5 v2 v3 v4 v2

    ■ v0 v5 v2 v3 v4 v2 v1

    ■ v5 v4 v2 v1

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 8/30

    Ejemplo 3

    Considere el siguiente grafo:

    v1 v2 v3 v4

    e1

    e2

    e3

    e4

    e5

    ■ Cuántos recorridosexisten desde v1 hastav4?

    ■ Cuántos recorridossimples existen desde v1hasta v4?

    ■ Cuántos caminos existendesde v1 hasta v4?

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 9/30

    Ejemplo 4

    Considere el siguiente grafo:

    v1 v2 v3

    e1

    e2

    e3

    e4

    e5

    ■ Cuántos recorridosexisten desde v1 hastav3?

    ■ Cuántos recorridossimples existen desde v1hasta v3?

    ■ Cuántos caminos existendesde v1 hasta v3?

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 10/30

    CONEXIDAD: Definición

    Sea G un grafo.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 10/30

    CONEXIDAD: Definición

    Sea G un grafo.■ Dos vértices u y w de G se dicen conectados si y

    sólo si existe un camino de u a w.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 10/30

    CONEXIDAD: Definición

    Sea G un grafo.■ Dos vértices u y w de G se dicen conectados si y

    sólo si existe un camino de u a w.■ G se dice conexo si y sólo si para cualquier par

    de vértices de G están conectados.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 11/30

    Ejemplo de Grafo Conexo

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2 e3

    e5

    e7

    e4

    e6

    e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 12/30

    Ejemplo de Grafo NO Conexo

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2

    e7

    e4e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 13/30

    Ejemplo de Grafo NO Conexo

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10e7

    e4

    e6

    e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 14/30

    Componentes Conexas

    Sea G un grafo.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 14/30

    Componentes Conexas

    Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 14/30

    Componentes Conexas

    Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si■ H es un subgrafo de G,

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 14/30

    Componentes Conexas

    Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si■ H es un subgrafo de G,■ H es conexo, y

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 14/30

    Componentes Conexas

    Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si■ H es un subgrafo de G,■ H es conexo, y■ Ningún otro subgrafo de G que sea conexo

    contiene a H.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 14/30

    Componentes Conexas

    Sea G un grafo. Un grafo H de G se dice unacomponente conexa del grafo G si■ H es un subgrafo de G,■ H es conexo, y■ Ningún otro subgrafo de G que sea conexo

    contiene a H.Digamos que una componente conexa de unagrafo es un subgrafo conexo de G que es lo másgrande posible.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 15/30

    Grafo con Una Componente Conexa

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2 e3

    e5

    e7

    e4

    e6

    e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 16/30

    Grafo con Dos Componentes Conexas

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2

    e7

    e4e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 17/30

    Grafo con Tres Componentes Conexas

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e4e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 18/30

    Circuito de Euler

    Sea G un grafo.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 18/30

    Circuito de Euler

    Sea G un grafo. Un circuito de G se llama Circuitode Euler si contiene todos los lados y todos losvértices del grafo.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 18/30

    Circuito de Euler

    Sea G un grafo. Un circuito de G se llama Circuitode Euler si contiene todos los lados y todos losvértices del grafo.

    Resultado importante:

    Un grafo contiene un circuito de Euler si ysólo si el grafo es conexo y todo vértice tienegrado par.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 19/30

    Ejemplo

    Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2 e3

    e5

    e7

    e4

    e6

    e9

    e11

    e12

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 20/30

    Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2 e3

    e5

    e7

    e4

    e6

    e9

    e11

    e12 Acumulado: ²Iniciamos con un circuitocualquiera:

    e11e12e6e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 21/30

    Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2

    e7

    e5

    e3

    e4

    e6

    e9

    e11

    e12

    Acumulado: e11e12e6e9Si no abarca todos los la-dos, sobre los verdes gene-ramos otro circuito con unpunto en comun con el cir-cuito que se tiene.

    e5e3e4

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 22/30

    Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2

    e7

    e5

    e3

    e4

    e6

    e9

    e11

    e12

    Acumulado: e11e12e6e9Nuevo: e5e3e4Se combinan los circuitospara hacer uno mayor. Re-cuerde que los vértices re-petidos no importan. El vér-tice en común sirve en elenlace.

    e11e12e4e3e5e6e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 23/30

    Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2

    e7

    e5

    e3

    e4

    e6

    e9

    e11

    e12

    Acumulado:e11e12e4e3e5e6e9

    Como hay lados sin abar-car (verdes) se busca otrocirtuito (verdes) con unpunto en común con elllevado:

    e1e8e7e2

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 24/30

    Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2

    e7

    e5

    e3

    e4

    e6

    e9

    e11

    e12

    Acumulado:e11e12e4e3e5e6e9

    Nuevo: e1e8e7e2Se combinan los circuitospara hacer uno mayor.Recuerde que los vérticesrepetidos no importan. Elvértice en común sirve enel enlace. Como hay ladossin abarcar (verdes) sebusca otro cirtuito (verdes)con un punto en comúncon el llevado:

    e11e12e4e3e5e6e8e1e2e7e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 25/30

    Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2

    e7

    e5

    e3

    e4

    e6

    e9

    e11

    e12

    Acumulado:e11e12e4e3e5e6e8e1e2e7e9

    Si hay lados sin abarcar sebusca otro circuito (en losverdes) con un vértice encomún con lo acumulado.

    e10

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 26/30

    Encuentre un Circuito de Euler para el grafo:

    v1 v3

    v0 v2

    v5 v4

    e10

    e1

    e8

    e2

    e7

    e5

    e3

    e4

    e6

    e9

    e11

    e12

    Circuito de Euler:

    e11e12e4e3e5e6e8e10e1e2e7e9

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 27/30

    Nodos Puente: Definición

    En un grafo G un nodo se dice puente si cuandose remueve del grafo junto con los lados queinciden en él, el grafo resultante aumenta sunúmero de componentes conexas.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 27/30

    Nodos Puente: Definición

    En un grafo G un nodo se dice puente si cuandose remueve del grafo junto con los lados queinciden en él, el grafo resultante aumenta sunúmero de componentes conexas. En el caso deque el grafo original fuera conexo, esto quieredecir que el grafo se vuelve no conexo.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 28/30

    Determine los vértices puente del grafo:

    v1 v2 v3 v4

    e1

    e2

    e3

    e4

    e5

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 28/30

    Determine los vértices puente del grafo:

    v1 v2 v3 v4

    e1

    e2

    e3

    e4

    e5

    Respuesta: v2 y v3.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 29/30

    Determine los vértices puente del grafo:

    v0 v1 v2

    v7 v3

    v8 v4

    v6 v5

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 29/30

    Determine los vértices puente del grafo:

    v0 v1 v2

    v7 v3

    v8 v4

    v6 v5

    Respuesta: v1, v3, v4 y v7.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 30/30

    Circuitos de Hamilton Definición

    Dado un grafo G, un circuito de hamilton es uncircuito simple que incluye todos los vértices del grafo.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 30/30

    Circuitos de Hamilton Definición

    Dado un grafo G, un circuito de hamilton es uncircuito simple que incluye todos los vértices del grafo.Es decir, es un camino cerrado que pasa por todoslos vértices una vez, excepto el primero y el últimoque deben ser iguales.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 30/30

    Circuitos de Hamilton Definición

    Dado un grafo G, un circuito de hamilton es uncircuito simple que incluye todos los vértices del grafo.Es decir, es un camino cerrado que pasa por todoslos vértices una vez, excepto el primero y el últimoque deben ser iguales.

    Aunque el grafo debe ser conexo y todo vérticedebe tener al menos grado dos,

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 30/30

    Circuitos de Hamilton Definición

    Dado un grafo G, un circuito de hamilton es uncircuito simple que incluye todos los vértices del grafo.Es decir, es un camino cerrado que pasa por todoslos vértices una vez, excepto el primero y el últimoque deben ser iguales.

    Aunque el grafo debe ser conexo y todo vérticedebe tener al menos grado dos, No existe uncriterio definitivo para determinar si un grafo poseeo no un circuito de Hamilton.

  • Recorridos yCircuitosTablaNotaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4ConexidadEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7ComponentesEjemplo 8Ejemplo 9Ejemplo 10Circuito EulerEjemplo 11Nodos puenteEjemplo 12Ejemplo 13Hamilton

    Grafos: Recorridos y Circuitos Matemáticas Discretas - p. 30/30

    Circuitos de Hamilton Definición

    Dado un grafo G, un circuito de hamilton es uncircuito simple que incluye todos los vértices del grafo.Es decir, es un camino cerrado que pasa por todoslos vértices una vez, excepto el primero y el últimoque deben ser iguales.

    Aunque el grafo debe ser conexo y todo vérticedebe tener al menos grado dos, No existe uncriterio definitivo para determinar si un grafo poseeo no un circuito de Hamilton.

    Un criterio que a veces ayuda es “si tiene vérticespuente entonces el grafo no tiene un circuito deHamilton”. La recíproca no es cierta.

    Recorridos y Circuitos: definicionesRecorridos y Circuitos: definicionesRecorridos y Circuitos: definicionesRecorridos y Circuitos: definicionesRecorridos y Circuitos: definiciones

    Tabla de RestrticcionesNotación De CaminosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4CONEXIDAD: DefiniciónCONEXIDAD: DefiniciónCONEXIDAD: Definición

    Ejemplo de Grafo ConexoEjemplo de Grafo redNO ConexoEjemplo de Grafo redNO ConexoComponentes ConexasComponentes ConexasComponentes ConexasComponentes ConexasComponentes ConexasComponentes Conexas

    Grafo con redUna Componente ConexaGrafo con redDos Componentes ConexasGrafo con redTres Componentes ConexasCircuito de EulerCircuito de EulerCircuito de Euler

    EjemploNodos Puente: DefiniciónNodos Puente: Definición

    Circuitos de Hamilton DefiniciónCircuitos de Hamilton DefiniciónCircuitos de Hamilton DefiniciónCircuitos de Hamilton DefiniciónCircuitos de Hamilton Definición