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Árboles: Definiciones y Resultados Básicos Matemáticas Discretas - p. 1/14 Matemáticas Discretas TC1003 Árboles: Definiciones y Resultados Básicos Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM

Author: trinhtram

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  • rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 1/14

    Matemticas DiscretasTC1003

    rboles: Definiciones y Resultados BsicosDepartamento de Matemticas / Centro de Sistema Inteligentes

    ITESM

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 2/14

    rboles: Definicin

    Un grafo G se dice que es un rbol si es un grafoconexo y no existe ningn circuito en l.

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 2/14

    rboles: Definicin

    Un grafo G se dice que es un rbol si es un grafoconexo y no existe ningn circuito en l.

    Un rbol trivial es un grafo que consiste de un solovrtice.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 2/14

    rboles: Definicin

    Un grafo G se dice que es un rbol si es un grafoconexo y no existe ningn circuito en l.

    Un rbol trivial es un grafo que consiste de un solovrtice.

    Un grafo sin circuitos se dice bosque.

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 3/14

    Ejemplos de grafos que son rboles

    G1 G2 G3

    G4

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    Ejemplos de grafos que no son rboles

    G1 G2 G3

    G4

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 5/14

    Uso de rboles: rbol de Decisin

    Se desean eligir los puestos de Director y Auxiliar de Director entreLuca, Mara, Toms y Juan. Se tiene que ni Luca ni Mara serneligidas para director. Tambin se sabe que habiendo elegido aToms como director Luca no debera ser auxiliar suyo. Construirel rbol de decisin.Solucion

    Inicio

    Juan

    Toms

    Toms

    Luca

    Mara

    Juan

    Mara

    Elegir Director Elegir Auxiliar Seleccin

    Mara

    Luca

    Luca

    Director: Juan, Auxiliar: Toms

    Director: Juan, Auxiliar: Mara

    Director: Juan, Auxiliar: Mara

    Director: Toms, Auxiliar: Juan

    Director: Toms, Auxiliar: Mara

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 6/14

    Vrtices Internos y Vrtices Terminales

    Sea T un rbol:

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 6/14

    Vrtices Internos y Vrtices Terminales

    Sea T un rbol: Si T tiene slo uno o dos vrtices, a cada uno de

    ellos se les llamar vrtices terminales.

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 6/14

    Vrtices Internos y Vrtices Terminales

    Sea T un rbol: Si T tiene slo uno o dos vrtices, a cada uno de

    ellos se les llamar vrtices terminales.

    Si T tiene tres vrtices o ms entonces

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 6/14

    Vrtices Internos y Vrtices Terminales

    Sea T un rbol: Si T tiene slo uno o dos vrtices, a cada uno de

    ellos se les llamar vrtices terminales.

    Si T tiene tres vrtices o ms entonces

    a cada vrtice de grado 1 se le llamar vrticehoja o vrtice terminal.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 6/14

    Vrtices Internos y Vrtices Terminales

    Sea T un rbol: Si T tiene slo uno o dos vrtices, a cada uno de

    ellos se les llamar vrtices terminales.

    Si T tiene tres vrtices o ms entonces

    a cada vrtice de grado 1 se le llamar vrticehoja o vrtice terminal.

    a cada vrtice de grado mayor o igual que 2 sele llamar vrtice rama o vertice interno.

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 7/14

    rboles: Resultados Principales

    Sea G un grafo conexo:

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 7/14

    rboles: Resultados Principales

    Sea G un grafo conexo:

    G es un rbol si y slo si entre cualquier dosvrtices de G existe solamente un camino quelos une.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 7/14

    rboles: Resultados Principales

    Sea G un grafo conexo:

    G es un rbol si y slo si entre cualquier dosvrtices de G existe solamente un camino quelos une.

    Si teniendo G n vrtices: G es un rbol si y slosi G tiene exactamente n 1 lados.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 7/14

    rboles: Resultados Principales

    Sea G un grafo conexo:

    G es un rbol si y slo si entre cualquier dosvrtices de G existe solamente un camino quelos une.

    Si teniendo G n vrtices: G es un rbol si y slosi G tiene exactamente n 1 lados.

    G es un rbol si y slo si cualquier vrtice degrado mayor o igual que dos es un vrticepuente.

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14

    rbol Enraizado: Definicin

    Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.

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    rbol Enraizado: Definicin

    Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.

    El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14

    rbol Enraizado: Definicin

    Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.

    El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.

    La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14

    rbol Enraizado: Definicin

    Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.

    El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.

    La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.

    Los hijos de un nodo son los vrtices adyacentesal nodo y que estn en un nivel mayor que elnodo.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14

    rbol Enraizado: Definicin

    Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.

    El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.

    La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.

    Los hijos de un nodo son los vrtices adyacentesal nodo y que estn en un nivel mayor que elnodo.

    Si v es un hijo de w, w se dice padre de v.

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14

    rbol Enraizado: Definicin

    Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.

    El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.

    La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.

    Los hijos de un nodo son los vrtices adyacentesal nodo y que estn en un nivel mayor que elnodo.

    Si v es un hijo de w, w se dice padre de v.

    Si v y w son hijos de un mismo padre se llamanhermanos.

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14

    rbol Enraizado: Definicin

    Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.

    El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.

    La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.

    Los hijos de un nodo son los vrtices adyacentesal nodo y que estn en un nivel mayor que elnodo.

    Si v es un hijo de w, w se dice padre de v.

    Si v y w son hijos de un mismo padre se llamanhermanos.

    Si v est en el camino de la raz a w se dice quev es un ancestro de w o que w es undescendiente de v.

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 9/14

    Ejemplo de rbol enraizado

    Considere el rbol con raz v0

    v0

    v1 v2 v3

    v4 v5 v6

    v7 v8 v9 v10

    a. Nivel de v5: b. Nivel de v0:c. Altura del rbol: d. Hijos de v3:e. Padre de v2: f. Hermanos de v8:g. Descendientes de v3: h. Ancestros de v5:

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 9/14

    Ejemplo de rbol enraizado

    Considere el rbol con raz v0

    v0

    v1 v2 v3

    v4 v5 v6

    v7 v8 v9 v10

    a. Nivel de v5: 2 b. Nivel de v0: 0c. Altura del rbol: 3 d. Hijos de v3: v5 y v6e. Padre de v2: v0 f. Hermanos de v8: v7 y v9g. Descendientes de v3: v5, v6 y v10 h. Ancestros de v5: v0 y v3

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14

    rbol Binario: Definicin

    Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos.

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    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14

    rbol Binario: Definicin

    Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos. Cada hijo se designa se designa por el

    calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14

    rbol Binario: Definicin

    Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos. Cada hijo se designa se designa por el

    calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.

    El rbol binario se dice rbol binario completo sitodo padre tiene exactamente dos hijos.

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14

    rbol Binario: Definicin

    Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos. Cada hijo se designa se designa por el

    calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.

    El rbol binario se dice rbol binario completo sitodo padre tiene exactamente dos hijos.

    Para cada padre v el subrbol izquierdo es elsubgrafo de G que es el rbol enraizado con razel hijo izquierdo de v;

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14

    rbol Binario: Definicin

    Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos. Cada hijo se designa se designa por el

    calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.

    El rbol binario se dice rbol binario completo sitodo padre tiene exactamente dos hijos.

    Para cada padre v el subrbol izquierdo es elsubgrafo de G que es el rbol enraizado con razel hijo izquierdo de v; el subrbol derecho es elsubgrafo de G que es el rbol enraizado con razel hijo derecho de v;

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 11/14

    rboles Binarios: Resultados principales

    Si T es un rbol binario que tiene n nodosterminales y que tiene altura h entonces

    n 2h

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 11/14

    rboles Binarios: Resultados principales

    Si T es un rbol binario que tiene n nodosterminales y que tiene altura h entonces

    n 2h

    Sea T un rbol binario completo con k vrticesinternos. Entonces T tiene un total de 2 k + 1vrtices k + 1 de los cuales son terminales.

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 12/14

    Ejemplos de conteo en rboles binarios

    Pregunta:

    Un rbol binario T tiene 44 nodos terminalesentonces tiene una altura mayor o igual que. . .

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 12/14

    Ejemplos de conteo en rboles binarios

    Pregunta:

    Un rbol binario T tiene 44 nodos terminalesentonces tiene una altura mayor o igual que. . .

    SolucionPor el resultado principal para rboles binarios, sih es la altura:

    40 = no. nodos terminales 2h

    Entoces tomando logaritmo en base 2 obtenemos:

    5.321 h

    Como h debe ser entero, entonces la altura delrbol es mayor o igual que 6.

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 13/14

    Pregunta:

    Un rbol binario completo T tiene 79 vrticestotales, entonces el nmero de vrticesinternos es:

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 13/14

    Pregunta:

    Un rbol binario completo T tiene 79 vrticestotales, entonces el nmero de vrticesinternos es:

    SolucionPor el resultado principal en rboles binarioscompletos: Si k es el nmero total de vrticesinternos en un rbol binario completo, entoces elnmero total de vrtices es 2 k + 1, por tanto:

    2 k + 1 = 79

    Despejando k, tenemos que k = 39.

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    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 14/14

    Pregunta:

    Un rbol binario completo T tiene 83 vrticestotales, entonces el nmero de vrticesterminales es:

  • ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4

    Arbol binarioResultados 2Ejemplos

    rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 14/14

    Pregunta:

    Un rbol binario completo T tiene 83 vrticestotales, entonces el nmero de vrticesterminales es:

    SolucionPor el resultado principal en rboles binarioscompletos: Si k es el nmero total de vrticesinternos en un rbol binario completo, entoces elnmero total de vrtices es 2 k + 1, por tanto:

    2 k + 1 = 83

    Despejando k, tenemos que k = 41, es decir elnmero total de vrtices internos es 41. Por tanto,el total de vrtices terminales es:

    n k = 83 41 = 42

    rboles: Definicinrboles: Definicinrboles: Definicin

    Ejemplos de grafos que son rbolesEjemplos de grafos que no son rbolesUso de rboles: rbol de DecisinVrtices Internos y Vrtices TerminalesVrtices Internos y Vrtices TerminalesVrtices Internos y Vrtices TerminalesVrtices Internos y Vrtices TerminalesVrtices Internos y Vrtices Terminales

    rboles: Resultados Principalesrboles: Resultados Principalesrboles: Resultados Principalesrboles: Resultados Principales

    rbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicin

    Ejemplo de rbol enraizadoEjemplo de rbol enraizado

    rbol Binario: Definicinrbol Binario: Definicinrbol Binario: Definicinrbol Binario: Definicinrbol Binario: Definicin

    rboles Binarios: Resultados principalesrboles Binarios: Resultados principales

    Ejemplos de conteo en rboles binariosEjemplos de conteo en rboles binarios