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rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 1/14
Matemticas DiscretasTC1003
rboles: Definiciones y Resultados BsicosDepartamento de Matemticas / Centro de Sistema Inteligentes
ITESM
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 2/14
rboles: Definicin
Un grafo G se dice que es un rbol si es un grafoconexo y no existe ningn circuito en l.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 2/14
rboles: Definicin
Un grafo G se dice que es un rbol si es un grafoconexo y no existe ningn circuito en l.
Un rbol trivial es un grafo que consiste de un solovrtice.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 2/14
rboles: Definicin
Un grafo G se dice que es un rbol si es un grafoconexo y no existe ningn circuito en l.
Un rbol trivial es un grafo que consiste de un solovrtice.
Un grafo sin circuitos se dice bosque.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 3/14
Ejemplos de grafos que son rboles
G1 G2 G3
G4
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
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Ejemplos de grafos que no son rboles
G1 G2 G3
G4
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 5/14
Uso de rboles: rbol de Decisin
Se desean eligir los puestos de Director y Auxiliar de Director entreLuca, Mara, Toms y Juan. Se tiene que ni Luca ni Mara serneligidas para director. Tambin se sabe que habiendo elegido aToms como director Luca no debera ser auxiliar suyo. Construirel rbol de decisin.Solucion
Inicio
Juan
Toms
Toms
Luca
Mara
Juan
Mara
Elegir Director Elegir Auxiliar Seleccin
Mara
Luca
Luca
Director: Juan, Auxiliar: Toms
Director: Juan, Auxiliar: Mara
Director: Juan, Auxiliar: Mara
Director: Toms, Auxiliar: Juan
Director: Toms, Auxiliar: Mara
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 6/14
Vrtices Internos y Vrtices Terminales
Sea T un rbol:
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 6/14
Vrtices Internos y Vrtices Terminales
Sea T un rbol: Si T tiene slo uno o dos vrtices, a cada uno de
ellos se les llamar vrtices terminales.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
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Vrtices Internos y Vrtices Terminales
Sea T un rbol: Si T tiene slo uno o dos vrtices, a cada uno de
ellos se les llamar vrtices terminales.
Si T tiene tres vrtices o ms entonces
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
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Vrtices Internos y Vrtices Terminales
Sea T un rbol: Si T tiene slo uno o dos vrtices, a cada uno de
ellos se les llamar vrtices terminales.
Si T tiene tres vrtices o ms entonces
a cada vrtice de grado 1 se le llamar vrticehoja o vrtice terminal.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
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Vrtices Internos y Vrtices Terminales
Sea T un rbol: Si T tiene slo uno o dos vrtices, a cada uno de
ellos se les llamar vrtices terminales.
Si T tiene tres vrtices o ms entonces
a cada vrtice de grado 1 se le llamar vrticehoja o vrtice terminal.
a cada vrtice de grado mayor o igual que 2 sele llamar vrtice rama o vertice interno.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
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rboles: Resultados Principales
Sea G un grafo conexo:
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
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rboles: Resultados Principales
Sea G un grafo conexo:
G es un rbol si y slo si entre cualquier dosvrtices de G existe solamente un camino quelos une.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
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rboles: Resultados Principales
Sea G un grafo conexo:
G es un rbol si y slo si entre cualquier dosvrtices de G existe solamente un camino quelos une.
Si teniendo G n vrtices: G es un rbol si y slosi G tiene exactamente n 1 lados.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 7/14
rboles: Resultados Principales
Sea G un grafo conexo:
G es un rbol si y slo si entre cualquier dosvrtices de G existe solamente un camino quelos une.
Si teniendo G n vrtices: G es un rbol si y slosi G tiene exactamente n 1 lados.
G es un rbol si y slo si cualquier vrtice degrado mayor o igual que dos es un vrticepuente.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14
rbol Enraizado: Definicin
Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14
rbol Enraizado: Definicin
Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.
El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14
rbol Enraizado: Definicin
Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.
El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.
La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14
rbol Enraizado: Definicin
Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.
El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.
La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.
Los hijos de un nodo son los vrtices adyacentesal nodo y que estn en un nivel mayor que elnodo.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
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rbol Enraizado: Definicin
Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.
El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.
La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.
Los hijos de un nodo son los vrtices adyacentesal nodo y que estn en un nivel mayor que elnodo.
Si v es un hijo de w, w se dice padre de v.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14
rbol Enraizado: Definicin
Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.
El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.
La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.
Los hijos de un nodo son los vrtices adyacentesal nodo y que estn en un nivel mayor que elnodo.
Si v es un hijo de w, w se dice padre de v.
Si v y w son hijos de un mismo padre se llamanhermanos.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 8/14
rbol Enraizado: Definicin
Un rbol enraizado es un rbol donde existe unvrtice distinguido o especial llamado raz.
El nivel de un vrtice v es la longitud del caminodel nodo raz a vrtice v.
La altura del rbol enraizado es el mayor nivelque tienen los nodos.
Los hijos de un nodo son los vrtices adyacentesal nodo y que estn en un nivel mayor que elnodo.
Si v es un hijo de w, w se dice padre de v.
Si v y w son hijos de un mismo padre se llamanhermanos.
Si v est en el camino de la raz a w se dice quev es un ancestro de w o que w es undescendiente de v.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 9/14
Ejemplo de rbol enraizado
Considere el rbol con raz v0
v0
v1 v2 v3
v4 v5 v6
v7 v8 v9 v10
a. Nivel de v5: b. Nivel de v0:c. Altura del rbol: d. Hijos de v3:e. Padre de v2: f. Hermanos de v8:g. Descendientes de v3: h. Ancestros de v5:
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 9/14
Ejemplo de rbol enraizado
Considere el rbol con raz v0
v0
v1 v2 v3
v4 v5 v6
v7 v8 v9 v10
a. Nivel de v5: 2 b. Nivel de v0: 0c. Altura del rbol: 3 d. Hijos de v3: v5 y v6e. Padre de v2: v0 f. Hermanos de v8: v7 y v9g. Descendientes de v3: v5, v6 y v10 h. Ancestros de v5: v0 y v3
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14
rbol Binario: Definicin
Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14
rbol Binario: Definicin
Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos. Cada hijo se designa se designa por el
calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14
rbol Binario: Definicin
Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos. Cada hijo se designa se designa por el
calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.
El rbol binario se dice rbol binario completo sitodo padre tiene exactamente dos hijos.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14
rbol Binario: Definicin
Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos. Cada hijo se designa se designa por el
calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.
El rbol binario se dice rbol binario completo sitodo padre tiene exactamente dos hijos.
Para cada padre v el subrbol izquierdo es elsubgrafo de G que es el rbol enraizado con razel hijo izquierdo de v;
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 10/14
rbol Binario: Definicin
Un rbol binario es un rbol enraizado donde cadanodo tiene a lo ms dos hijos. Cada hijo se designa se designa por el
calificativo hijo derecho o hijo izquierdo.
El rbol binario se dice rbol binario completo sitodo padre tiene exactamente dos hijos.
Para cada padre v el subrbol izquierdo es elsubgrafo de G que es el rbol enraizado con razel hijo izquierdo de v; el subrbol derecho es elsubgrafo de G que es el rbol enraizado con razel hijo derecho de v;
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 11/14
rboles Binarios: Resultados principales
Si T es un rbol binario que tiene n nodosterminales y que tiene altura h entonces
n 2h
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 11/14
rboles Binarios: Resultados principales
Si T es un rbol binario que tiene n nodosterminales y que tiene altura h entonces
n 2h
Sea T un rbol binario completo con k vrticesinternos. Entonces T tiene un total de 2 k + 1vrtices k + 1 de los cuales son terminales.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 12/14
Ejemplos de conteo en rboles binarios
Pregunta:
Un rbol binario T tiene 44 nodos terminalesentonces tiene una altura mayor o igual que. . .
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 12/14
Ejemplos de conteo en rboles binarios
Pregunta:
Un rbol binario T tiene 44 nodos terminalesentonces tiene una altura mayor o igual que. . .
SolucionPor el resultado principal para rboles binarios, sih es la altura:
40 = no. nodos terminales 2h
Entoces tomando logaritmo en base 2 obtenemos:
5.321 h
Como h debe ser entero, entonces la altura delrbol es mayor o igual que 6.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 13/14
Pregunta:
Un rbol binario completo T tiene 79 vrticestotales, entonces el nmero de vrticesinternos es:
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 13/14
Pregunta:
Un rbol binario completo T tiene 79 vrticestotales, entonces el nmero de vrticesinternos es:
SolucionPor el resultado principal en rboles binarioscompletos: Si k es el nmero total de vrticesinternos en un rbol binario completo, entoces elnmero total de vrtices es 2 k + 1, por tanto:
2 k + 1 = 79
Despejando k, tenemos que k = 39.
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 14/14
Pregunta:
Un rbol binario completo T tiene 83 vrticestotales, entonces el nmero de vrticesterminales es:
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ArbolEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3VerticesResultados 1Arbol enraizadoEjemplo 4
Arbol binarioResultados 2Ejemplos
rboles: Definiciones y Resultados Bsicos Matemticas Discretas - p. 14/14
Pregunta:
Un rbol binario completo T tiene 83 vrticestotales, entonces el nmero de vrticesterminales es:
SolucionPor el resultado principal en rboles binarioscompletos: Si k es el nmero total de vrticesinternos en un rbol binario completo, entoces elnmero total de vrtices es 2 k + 1, por tanto:
2 k + 1 = 83
Despejando k, tenemos que k = 41, es decir elnmero total de vrtices internos es 41. Por tanto,el total de vrtices terminales es:
n k = 83 41 = 42
rboles: Definicinrboles: Definicinrboles: Definicin
Ejemplos de grafos que son rbolesEjemplos de grafos que no son rbolesUso de rboles: rbol de DecisinVrtices Internos y Vrtices TerminalesVrtices Internos y Vrtices TerminalesVrtices Internos y Vrtices TerminalesVrtices Internos y Vrtices TerminalesVrtices Internos y Vrtices Terminales
rboles: Resultados Principalesrboles: Resultados Principalesrboles: Resultados Principalesrboles: Resultados Principales
rbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicinrbol Enraizado: Definicin
Ejemplo de rbol enraizadoEjemplo de rbol enraizado
rbol Binario: Definicinrbol Binario: Definicinrbol Binario: Definicinrbol Binario: Definicinrbol Binario: Definicin
rboles Binarios: Resultados principalesrboles Binarios: Resultados principales
Ejemplos de conteo en rboles binariosEjemplos de conteo en rboles binarios