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Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 1/35 Matemáticas Discretas TC1003 Teoría de Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM

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  • Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 1/35

    Matemticas DiscretasTC1003

    Teora de Conjuntos: Propiedades de las OperacionesDepartamento de Matemticas / Centro de Sistema Inteligentes

    ITESM

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 2/35

    El Argumento del Elemento

    Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que

    X Y

    recordemos que X Y x, x X x Y. Unaestrategia sera:

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 2/35

    El Argumento del Elemento

    Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que

    X Y

    recordemos que X Y x, x X x Y. Unaestrategia sera: Para manejar el para todo se usa el mtodo de

    generalizacin: suponga un elemento arbitrariox,

    para probar que muestre que x X x Yseguiremos la estratega del mtodo de pruebadirecto: supondremos que x X para x arbitrario, mostraremos que x Y.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 3/35

    EjemploPruebe que Z Q.DemostracionSea z un elemento cualquiera de Z. As

    z =z1

    Por lo tanto, z puede ser visto como la divisinentre dos enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, zes un racional. Por tanto z est en Q. Por elargumento del elemento arbitrario Z Q.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 4/35

    Versiones Operativas de las Operaciones

    Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universalU , y suponga que x y y con dos elementos de U : x X Y (x X) (x Y) x X Y (x X) (x Y) x X Y (x X) (x < Y) x Xc x < X (x, y) X Y (x X) (y Y) x P(X) x X

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 5/35

    Indique en orden los conjuntos que completan lasafirmaciones: Decir que un elemento x pertenece a B (A C)

    significa que x pertenece a B y que x pertenecea (a).

    Decir que un elemento x pertence a (B C) Asignifica que x pertenece a A o que x pertenecea (b).

    Decir que un elemento x pertenece a C (B A)significa que x pertenece a (c) pero que x nopertenece a (d).

    Dentro de la opciones:1. C B 2. B C3. A C 4. B A5. C 6. C A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 6/35

    Prueba de Igualdad entre Conjuntos

    Sean X y Y conjuntos dados. Para probar queX = Y: pruebe que X Y, pruebe que Y X.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 7/35

    Leyes Conmutativas

    Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: A B = B A A B = B A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 8/35

    Leyes Asociativas

    Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 9/35

    Leyes Distributivas

    Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 10/35

    Leyes de Identidad

    Sean A un conjunto cualquiera, entonces: A = A A U = A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 11/35

    Leyes de Complemento (Negacin)

    Sean A un conjunto cualquiera, entonces: A Ac = U A Ac =

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 12/35

    Leyes de Idempotencia

    Sean A un conjunto cualquiera, entonces: A A = A A A = A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 13/35

    Leyes de Dominacin

    Sean A un conjunto cualquiera, entonces: A U = U A =

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 14/35

    Leyes de De Morgan

    Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: (A B)c = Ac Bc

    (A B)c = Ac Bc

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 15/35

    Leyes de Absorcin

    Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: A (A B) = A A (A B) = A

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 16/35

    Complemento Base

    U c =

    c = U

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 17/35

    Ley de Diferencia

    Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: (A B) = A Bc

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 18/35

    Indique en orden la opcin que contiene la leycuyo uso se lleva a cabo en:a)(

    ((D E)c)c)c= (D E)c :Doble Complemento

    b) (B C) (B C)c = :Ley Complementoc) Ec (D B) = (Ec D) B :Asociativad) Ec Ec = Ec :Idempotenciae) B (B (C D)) = B :Absorcindentro de la lista:1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorcin

  • Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 19/35

    EjemploIndique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    A (A E) = A (A E)c por Ley de Diferencia

    = A (Ac Ec) por De Morgan

    = (A Ac) (A Ec) por Ley Distributiva

    = (A Ec) por Ley de Complemento

    = (A Ec) por Ley Conmutativa

    = A Ec por Ley de Identidad

    = A E por Ley de Diferencia

  • Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 20/35

    EjemploIndique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    (D Ac) (D A) = D (Ac A) por Ley Distributiva

    = D (A Ac) por Ley Conmutativa

    = D U por Ley de Complemento

    = D por Ley de Identidad

  • Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 21/35

    EjemploIndique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    (C Bc)c (Cc Bc) = (Cc (Bc)c) (Cc Bc) por= (Cc B) (Cc Bc) por= Cc (B Bc) por= Cc U por= Cc por

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 22/35

    EjemploIndique en orden la simplificacin de cadaconjunto:a) B b) B Bc) B d) B Bc

    e) B Bc

    dentro de la lista:1. B2. U3.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 23/35

    EjemploIndique cules opciones contiene expresin quese simplifica a E:1. (E Cc) (Ec Cc)

    2. (Dc E) E3. (Ec D)c (Ec Dc) (E D)

    4. (E ((Ec D)c)) (E D)

    5. E (Dc C E)

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 24/35

    TeoremaPara cualquier conjuntos E y D se cumple: SiE D entonces E D D.DemostracionSean E y D cualquier conjuntos. Segn , loque se debe demostrar es que todo elemento x de

    es tambin elemento de . Sea x unelemento cualquiera de E D. Existen slo doscasos para x:i) x Eii) x D

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    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 25/35

    Para el primer caso, debido a que si x Eentonces x D. Para el segundo caso, como x Dnuevamente x D. Por consiguiente, en cualquiercaso cualquiera que sea x, si entoncesx D. Por tanto,ambos conjuntos son iguales. cqd

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    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 26/35

    TeoremaPara cualquier conjuntos B, C y A se cumple:B (C A) = (B C) ADemostracionSean B, C y A cualquier conjuntos. Segn ,lo que se debe demostrar es que:i) B (C A) (B C) Aii)

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 27/35

    Para el primer caso, si x es cualquier elemento deB (C A) entonces x B y . Por la Leydistributiva en Lgica x cumple x B C y x A, ypor consiguiente . Con esto se prueba queB (C A) (B C) A.Para el segundo caso, si x es cualquier elementode entonces x B C y . Por lapropiedad asociativa de la lgica x cumple x B yx A C, y por consiguiente . Con esto seprueba que (B C) A B (C A). La pruebade las contenciones mutuas prueba que ambosconjuntos son iguales. cqd

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 28/35

    EjemploSean A y B conjuntos cualquiera.Si A B, entonces Bc Ac.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 29/35

    EjemploSean A y B conjuntos cualquiera.Si A B, entonces A Bc = .

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 30/35

    EjemploSean A y B conjuntos cualquiera.Si A Bc, entonces A B = .

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 31/35

    EjemploSean A, B y C conjuntos cualquiera.Si A B, entonces A C B C.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 32/35

    EjemploSean A, B y C conjuntos cualquiera.Si A B y B C = , entonces A C = .

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 33/35

    EjemploSean A, B y C conjuntos cualquiera.Si A B, entonces A C B C.

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 34/35

    EjemploSean A, B y C conjuntos cualquiera.Si B C y A C = , entonces A C = .

  • Argumento delElementoEjemplo 1OperativaPrueba deigualdadConmutatividadAsociatividadDistributividadLeyes IdentidadLeyesComplementoLeyesIdempotenciaLeyesDominacionDe MorganAbsorcionComplementoBaseLey Diferencia

    Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemticas Discretas - p. 35/35

    EjemploSean A, B y C conjuntos cualquiera.Si A B y A C, entonces A B C.

    El Argumento del ElementoEl Argumento del ElementoEl Argumento del ElementoEl Argumento del ElementoEl Argumento del Elemento

    Versiones Operativas de las OperacionesVersiones Operativas de las OperacionesVersiones Operativas de las OperacionesVersiones Operativas de las OperacionesVersiones Operativas de las OperacionesVersiones Operativas de las OperacionesVersiones Operativas de las Operaciones

    Prueba de Igualdad entre ConjuntosPrueba de Igualdad entre ConjuntosPrueba de Igualdad entre Conjuntos

    Leyes ConmutativasLeyes ConmutativasLeyes Conmutativas

    Leyes AsociativasLeyes AsociativasLeyes Asociativas

    Leyes DistributivasLeyes DistributivasLeyes Distributivas

    Leyes de IdentidadLeyes de IdentidadLeyes de Identidad

    Leyes de Complemento (Negacin)Leyes de Complemento (Negacin)Leyes de Complemento (Negacin)

    Leyes de IdempotenciaLeyes de IdempotenciaLeyes de Idempotencia

    Leyes de DominacinLeyes de DominacinLeyes de Dominacin

    Leyes de De MorganLeyes de De MorganLeyes de De Morgan

    Leyes de AbsorcinLeyes de AbsorcinLeyes de Absorcin

    Complemento BaseComplemento BaseComplemento Base

    Ley de DiferenciaLey de Diferencia