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Módulo I: Argumentos Válidos Matemáticas Discretas - p. 1/50 Matemáticas Discretas TC1003 Módulo I: Argumentos Válidos Departamento de Matemáticas ITESM

Author: truongcong

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  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 1/50

    Matemticas DiscretasTC1003

    Mdulo I: Argumentos VlidosDepartamento de Matemticas

    ITESM

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 2/50

    Introduccin

    En matemticas y en lgica un argumento no esuna disputa. Ms bien, es una secuenciaestructurada de afirmaciones que terminan en unaconclusin. En esta seccin veremos cmodeterminar si un argumento es vlido; es decir,cundo la conclusin se deduce de los hechosque la preceden.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 3/50

    Argumento

    DefinicionUn argumento es una secuencia de afirmaciones.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 3/50

    Argumento

    DefinicionUn argumento es una secuencia de afirmaciones.Todas las afirmaciones excepto la ltima sellamarn premisas, o suposiciones o hiptesis.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 3/50

    Argumento

    DefinicionUn argumento es una secuencia de afirmaciones.Todas las afirmaciones excepto la ltima sellamarn premisas, o suposiciones o hiptesis. Ladeclaracin final se llamar conclusin.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 4/50

    Ejemplo

    Lo siguiente representa a un argumento:1. Si Juan estudia adecuadamente, entonces Juan

    pasa el curso de Discretas.2. Juan est estudiando adecuadamente.3. Juan pasar el curso de Discretas.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 5/50

    Argumentos Vlidos e Invlidos

    DefinicionDiremos que un argumento es argumento vlido si

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 5/50

    Argumentos Vlidos e Invlidos

    DefinicionDiremos que un argumento es argumento vlido sipara cualquier valor de las variablesproposicionales involucradas en las frmulas quehacen verdaderas las premisas,

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 5/50

    Argumentos Vlidos e Invlidos

    DefinicionDiremos que un argumento es argumento vlido sipara cualquier valor de las variablesproposicionales involucradas en las frmulas quehacen verdaderas las premisas, tambin laconclusin es verdadera.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusin

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusin3. Sealar de la tabla slo aquellos renglones que

    hacen que todas las premisas sean verdaderas.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusin3. Sealar de la tabla slo aquellos renglones que

    hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarn renglones crticos

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusin3. Sealar de la tabla slo aquellos renglones que

    hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarn renglones crticos

    4. Verificar que para los renglones crticos, laconclusin es verdadera.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusin3. Sealar de la tabla slo aquellos renglones que

    hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarn renglones crticos

    4. Verificar que para los renglones crticos, laconclusin es verdadera. En tal caso se tieneun Argumento vlido

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusin3. Sealar de la tabla slo aquellos renglones que

    hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarn renglones crticos

    4. Verificar que para los renglones crticos, laconclusin es verdadera. En tal caso se tieneun Argumento vlido

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusin3. Sealar de la tabla slo aquellos renglones que

    hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarn renglones crticos

    4. Verificar que para los renglones crticos, laconclusin es verdadera. En tal caso se tieneun Argumento vlido

    5. Detectar si existe un rengln crtico conconclusin falsa.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 6/50

    De la propia definicin de argumento vlido sepuede deducir una metodologa para verificar lavalidez de un argumento:1. Identificar las premisas y la conclusin2. Construir una tabla de verdad que incluya las

    premisas y la conclusin3. Sealar de la tabla slo aquellos renglones que

    hacen que todas las premisas sean verdaderas.Estos se llamarn renglones crticos

    4. Verificar que para los renglones crticos, laconclusin es verdadera. En tal caso se tieneun Argumento vlido

    5. Detectar si existe un rengln crtico conconclusin falsa. En cuyo caso se dirArgumento invlido

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 7/50

    Ejemplos de validez

    Veamos ahora cmo se aplica el mtodo descritopara probar la validez o invalidez de un argumento.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 8/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es vlido:1. p q2. q p3. p q

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 8/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es vlido:1. p q2. q p3. p qSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q p q q p p q

    F F T T F

    F T T F T

    T F F T T

    T T T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 9/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q q p p q

    F F T T F

    F T T F T

    T F F T T

    T T T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 9/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q q p p q

    F F T T F

    F T T F T

    T F F T T

    T T T T TDe donde observamos que de los dos renglonescrticos (rengln que corresponde a unacombinacin de las variables proposicionales quehacen verdaderas todas las hiptesis) uno de ellostiene la conclusin falsa:

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 9/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q q p p q

    F F T T F

    F T T F T

    T F F T T

    T T T T TDe donde observamos que de los dos renglonescrticos (rengln que corresponde a unacombinacin de las variables proposicionales quehacen verdaderas todas las hiptesis) uno de ellostiene la conclusin falsa: concluimos que elargumento es invlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 10/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es vlido.1. p q, 2. p r, 3. p q r

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 10/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es vlido.1. p q, 2. p r, 3. p q rSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q r p q p r q r p q r

    F F F T T F T

    F F T T T F T

    F T F T T F T

    T F F F F F F

    F T T T T T T

    T F T F T F F

    T T F T F F F

    T T T T T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 11/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q r p q p r q r p q r

    F F F T T F T

    F F T T T F T

    F T F T T F T

    T F F F F F F

    F T T T T T T

    T F T F T F F

    T T F T F F F

    T T T T T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 11/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q r p q p r q r p q r

    F F F T T F T

    F F T T T F T

    F T F T T F T

    T F F F F F F

    F T T T T T T

    T F T F T F F

    T T F T F F F

    T T T T T T TDe donde observamos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 12/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es vlido.1. p q r, 2. p q, 3. q p, 4. r

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 12/50

    Ejemplo

    Determine si el siguiente argumento es vlido.1. p q r, 2. p q, 3. q p, 4. rSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q r q p q p q r p q q p

    F F F T F T F T

    F F T T F T F T

    F T F F F T T F

    T F F T T F T T

    F T T F F T T F

    T F T T T F T T

    T T F F F T T T

    T T T F F T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 13/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q r q p q p q r p q q p

    F F F T F T F T

    F F T T F T F T

    F T F F F T T F

    T F F T T F T T

    F T T F F T T F

    T F T T T F T T

    T T F F F T T T

    T T T F F T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 13/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q r q p q p q r p q q p

    F F F T F T F T

    F F T T F T F T

    F T F F F T T F

    T F F T T F T T

    F T T F F T T F

    T F T T T F T T

    T T F F F T T T

    T T T F F T T TDe donde observamos que el argumento esinvlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 14/50

    Deduccin Natural

    El mtodo de verificacin de la validez de unargumento recien visto aunque correcto es unopoco humano y que no se puede llevar a cabocuando el total de hiptesis a usar no estdelimitado. El mtodo de deduccin naturalconsiste en construir un argumento para unconjunto de premisas y una conclusin. Estemtodo se basa en el uso de reglas de inferenciaque permiten ir obteniendo frmulas verdaderas apartir de la suposicin de que sean verdaderas unnmero reducido de frmulas. Una regla deinferencia es a su vez un argumento y su validezser probada utilizando el mtodo recien visto.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 15/50

    Reglas Inferencia

    Verifiquemos la validez de las reglas de inferenciaque utilizaremos en el mtodo de deduccinnatural. Modus Pones Modus Tollens Silogismo Disjuntivo Adicin Disjuntiva Simplificacin Conjuntiva Silogismo Hipottico Adicin Conjuntiva Regla de Contradiccin

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 16/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferencia modusponens:1. p q2. p3. q

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 16/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferencia modusponens:1. p q2. p3. qSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q p q p q

    F F T F F

    F T T F T

    T F F T F

    T T T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 17/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q p q

    F F T F F

    F T T F T

    T F F T F

    T T T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 17/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q p q

    F F T F F

    F T T F T

    T F F T F

    T T T T TDe donde concluimos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 18/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferencia modustollens:1. p q2. q3. p

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 18/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferencia modustollens:1. p q2. q3. pSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q p q q p

    F F T T T

    F T T F T

    T F F T F

    T T T F F

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 19/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q q p

    F F T T T

    F T T F F

    T F F T T

    T T T F F

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 19/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q q p

    F F T T T

    F T T F F

    T F F T T

    T T T F FDe donde concluimos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 20/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciasilogismo disjuntivo:1. p q2. p3. q

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 20/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciasilogismo disjuntivo:1. p q2. p3. qSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q p q p q

    F F F T F

    F T T T T

    T F T F F

    T T T F T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 21/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q p q

    F F F T F

    F T T T T

    T F T F F

    T T T F T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 21/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q p q

    F F F T F

    F T T T T

    T F T F F

    T T T F TDe donde concluimos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 22/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciaadicin disjuntiva:1. p2. p q

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 22/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciaadicin disjuntiva:1. p2. p qSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q p q

    F F F

    F T T

    T F T

    T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 23/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q

    F F F

    F T T

    T F T

    T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 23/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q

    F F F

    F T T

    T F T

    T T TDe donde concluimos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 24/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciasimplificacin conjuntiva:1. p q2. p

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 24/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciasimplificacin conjuntiva:1. p q2. pSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q p q

    F F F

    F T F

    T F F

    T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 25/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q

    F F F

    F T F

    T F F

    T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 25/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q

    F F F

    F T F

    T F F

    T T TDe donde concluimos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 26/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciasilogismo hipottico:

    1. p q, 2. q r, 3. p r

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 26/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciasilogismo hipottico:

    1. p q, 2. q r, 3. p rSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q r p q q r p r

    F F F T T T

    F F T T T T

    F T F T F T

    F T T T T T

    T F F F T F

    T F T F T T

    T T F T F F

    T T T T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 27/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q r r q q r p r

    F F F T T T

    F F T T T T

    F T F T F T

    F T T T T T

    T F F F T F

    T F T F T T

    T T F T F F

    T T T T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 27/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q r r q q r p r

    F F F T T T

    F F T T T T

    F T F T F T

    F T T T T T

    T F F F T F

    T F T F T T

    T T F T F F

    T T T T T TDe donde observamos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 28/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciaadicin conjuntiva:1. p2. q3. p q

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 28/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferenciaadicin conjuntiva:1. p2. q3. p qSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p q p q

    F F F

    F T F

    T F F

    T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 29/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q

    F F F

    F T F

    T F F

    T T T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 29/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p q p q

    F F F

    F T F

    T F F

    T T TDe donde concluimos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 30/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferencia de laregla de contradiccin:1. p F2. p

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 30/50

    Ejemplo

    Verifique la validez de la regla de inferencia de laregla de contradiccin:1. p F2. pSolucionRealizando la tabla de verdad obtenemos:

    p F p p F

    F F T F

    T F F T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 31/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p F p p F

    F F T F

    T F F T

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 31/50

    De la cual los renglones crticos son:

    p F p p F

    F F T F

    T F F TDe donde concluimos que el argumento es vlido.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 32/50

    Conceptos

    Una demostracin para una proposicin es unargumento vlido construido para ella. La palabrademostrar una proposicin consiste en construirun argumento vlido para ella. Una proposicin sedice teorema, si es posible demostrarla. Unaproposicin se dice lema, si es un teorema yposteriormente se planea usarla como una reglade inferencia. Una proposicin se dice corolario aun teorema si es posible construir unademostracin corta donde el teorema se use comouna regla de inferencia. Una proposicin se diceconjetura cuando no ha sido posible construir unademostracin para ella pero en sustituciones se haevaluado en verdadero.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 33/50

    Ejemplos de deduccin natural

    Veamos ahora unos ejemplos del uso dededuccin natural. En lo siguiente demostrarconsiste en construir un argumento vlido. Esdecir, ir colocando hiptesis o creando FBFs enuna lista que ser el argumento. Asimismo, sedeber justificar porqu cada FBB en elargumento es verdadera. El argumento partir delsupuesto que las hiptesis son verdaderas ydeber llegar a la conclusin deseada.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: r

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12. p q . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12. p q . . . . . Hiptesis 23.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12. p q . . . . . Hiptesis 23. q . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12. p q . . . . . Hiptesis 23. q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12. p q . . . . . Hiptesis 23. q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4. q r . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12. p q . . . . . Hiptesis 23. q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4. q r . . . . Hiptesis 3.5.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12. p q . . . . . Hiptesis 23. q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4. q r . . . . Hiptesis 3.5. r . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 34/50

    Ejemplo:Demuestre que la conclusin se deduce de lashiptesis:

    H1: pH2: p qH3: q rC: rSolucion

    FBF Justificacin1. p . . . . . . . . . . . Hiptesis 12. p q . . . . . Hiptesis 23. q . . . . . . . . . . Modus ponens con 2. y 1.4. q r . . . . Hiptesis 3.5. r . . . . . . . . . . Modus ponens con 4. y 5.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6. r s . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6. r s . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    7.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6. r s . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    7. r . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6. r s . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    7. r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.

    8.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6. r s . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    7. r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.

    8. p r . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6. r s . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    7. r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.

    8. p r . . . . . . . . . . . Hiptesis 1.

    9.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6. r s . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    7. r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.

    8. p r . . . . . . . . . . . Hiptesis 1.

    9. p . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 35/50

    Ejemplo: Demuestre que la conclusin se deducede las hiptesis:H1: p r H2: r s H3: t sH4: t u H5: u C: p

    Solucion

    1. u . . . . . . . . . . . . . . Hiptesis 5

    2. t u . . . . . . . . . . . Hiptesis 4

    3. t . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 2. y 1.

    4. t s . . . . . . . . . . . Hiptesis 3.

    5. s . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 4. y 3.

    6. r s . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    7. r . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 6. y 5.

    8. p r . . . . . . . . . . . Hiptesis 1.

    9. p . . . . . . . . . . . . . . Modus tollens con 8. y 7.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q r

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5. r p . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5. r p . . Equiv. implicacin en 4.6.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5. r p . . Equiv. implicacin en 4.6. r q . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5. r p . . Equiv. implicacin en 4.6. r q . . . . Silog. hipottico con 5. y 2..7.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5. r p . . Equiv. implicacin en 4.6. r q . . . . Silog. hipottico con 5. y 2..7. (r) q . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5. r p . . Equiv. implicacin en 4.6. r q . . . . Silog. hipottico con 5. y 2..7. (r) q . . Equiv. implicacin en 6.8.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5. r p . . Equiv. implicacin en 4.6. r q . . . . Silog. hipottico con 5. y 2..7. (r) q . . Equiv. implicacin en 6.8. q r . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 36/50

    Ejemplo (Lema 1):Demuestre que la conclusin sededuce de las hiptesis:

    H1: p qH2: p rC: q rSolucion

    1. p q . . . . . . Hiptesis 1.2. p q . . . . Equiv. implicacin en 1.3. p r . . . . . Hiptesis 2.4. r p . . . . . Conmutatividad en 3.5. r p . . Equiv. implicacin en 4.6. r q . . . . Silog. hipottico con 5. y 2..7. (r) q . . Equiv. implicacin en 6.8. q r . . . . . . . Doble negacin y conmutatividad en 7.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7. (p r) p . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7. (p r) p . . . . Lema 1 con 5. y 6.

    8.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7. (p r) p . . . . Lema 1 con 5. y 6.

    8. (p p) r . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7. (p r) p . . . . Lema 1 con 5. y 6.

    8. (p p) r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.

    9.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7. (p r) p . . . . Lema 1 con 5. y 6.

    8. (p p) r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.

    9. p r . . . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7. (p r) p . . . . Lema 1 con 5. y 6.

    8. (p p) r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.

    9. p r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 8.

    10.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7. (p r) p . . . . Lema 1 con 5. y 6.

    8. (p p) r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.

    9. p r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 8.

    10. p r . . . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 37/50

    Ejemplo (Lema 2)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1 : p q rH2 : p qC : p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. p q . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. p q . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. q p . . . . . . . . . Prop. conmutativa en 5.

    7. (p r) p . . . . Lema 1 con 5. y 6.

    8. (p p) r . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 7.

    9. p r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 8.

    10. p r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 9.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. (p r) r . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. (p r) r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.

    7.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. (p r) r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.

    7. p (r r) . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. (p r) r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.

    7. p (r r) . . . . . Prop. asociativa en 6.

    8.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. (p r) r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.

    7. p (r r) . . . . . Prop. asociativa en 6.

    8. p r . . . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. (p r) r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.

    7. p (r r) . . . . . Prop. asociativa en 6.

    8. p r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 7.

    9.

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. (p r) r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.

    7. p (r r) . . . . . Prop. asociativa en 6.

    8. p r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 7.

    9. p r . . . . . . . . . . .

  • Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 38/50

    Ejemplo (Lema 3)

    Demuestre que la

    conclusin se deduce

    de las hiptesis:

    H1: p q rH2: q rC: p r

    Solucion

    1. p q r . . . . . . . Hiptesis 1.

    2. p (q r) . . . . . Equiv. implicacin en 1.

    3. q (p r) . . . . . Prop. asociativas y conmutativas en 2.

    4. q r . . . . . . . . . . . Hiptesis 2.

    5. q r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 4.

    6. (p r) r . . . . . Lema 1 con 3. y 5.

    7. p (r r) . . . . . Prop. asociativa en 6.

    8. p r . . . . . . . . . . . Ley idempotencia en 7.

    9. p r . . . . . . . . . . . Equiv. implicacin en 8.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 39/50

    Comentarios

    Qu ocurre cuando despus de un argumento noobtenemos algo correcto? Hay dos alternativasimportantes: Cuando el argumento es valido: en ste a su vez

    tenemos dos alternativas importantes: Cuando se parti de alguna hiptesis falsa. Cuando durante la demostracin se aadieron

    involuntariamente hiptesis adicionales. Cuando el argumento es invalido: este caso ocurre

    cuando alguna regla de inferencia ha sido malinterpretada o se ha usado una proposicionalcomo regla de inferencia cuando es unacontingencia. En este caso se dice que elargumento es una falacia.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 40/50

    Introduccin

    En esta lectura veremos algunos ejemplosinteresantes que se presentaron en la realizacinde la tarea.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 41/50

    El problema de los mentirosos y los honestos

    Supongamos que ests en el pueblo donde laspersonas son siempre mentirosas o siemprehonestas. Digamos que te encuentras a dospersonas; llammosles A y B. Slo A habla y dice:ambos somos mentirosos. Indique la opcin quedeclara cmo son A y B.

    A A es honesto es pero B mentiroso

    B A es mentiroso pero B es honesto

    C A y B son honestos

    D A y B son mentirosos

    E No es posible concluir

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 42/50

    La metodologa que seguiremos para resolver elproblema ser la revisin exhaustiva de los casosposibles. Para cada uno de ellos elaboraremos unargumento lgico y veremos si nos lleva a unacontradiccin lgica. Aquellos casos queconduzcan a una contradiccin se descartarn.Los casos posibles son Caso I: A es honesto y B son honesto Caso II: A es honesto y B es mentiroso Caso III: A es mentiroso y B es honesto Caso IV: A es mentiroso y B es mentirosoEn el desarrollo de los casos, si x es honestoentoces lo que dice x se toma como cierto. Si x esmentiroso, lo contrario de lo que dice x es cierto.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . . Lo que dice A

    4.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . . Lo que dice A

    4. p . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . . Lo que dice A

    4. p . . . . . . . . . . . . . . Simplificacin conjuntiva en 3.

    5.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . . Lo que dice A

    4. p . . . . . . . . . . . . . . Simplificacin conjuntiva en 3.

    5. p p . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . . Lo que dice A

    4. p . . . . . . . . . . . . . . Simplificacin conjuntiva en 3.

    5. p p . . . . . . . . . . . Adicin conjuntiva con 1. y 4.

    6.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . . Lo que dice A

    4. p . . . . . . . . . . . . . . Simplificacin conjuntiva en 3.

    5. p p . . . . . . . . . . . Adicin conjuntiva con 1. y 4.

    6. F . . . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . . Lo que dice A

    4. p . . . . . . . . . . . . . . Simplificacin conjuntiva en 3.

    5. p p . . . . . . . . . . . Adicin conjuntiva con 1. y 4.

    6. F . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de inversas en 5.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 43/50

    Caso ITomemos p: A es honesto y q: B es honesto. As loque dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2. q . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    3. p q . . . . . . . . . Lo que dice A

    4. p . . . . . . . . . . . . . . Simplificacin conjuntiva en 3.

    5. p p . . . . . . . . . . . Adicin conjuntiva con 1. y 4.

    6. F . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de inversas en 5.

    Por tanto, el caso I no puede ocurrir.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 44/50

    Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Aslo que dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 44/50

    Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Aslo que dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . .

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 44/50

    Caso IITomemos p: A es honesto y q: B es mentiroso. Aslo que dice A es p q. Siendo A honesto lo quedice se toma como cierto. As el razonamientoqueda:

    1. p . . . . . . . . . . . . . . . . Condicin del caso I

    2.

  • IntroduccionArgumentoArgumento ValidoEjemplos ValidezDeduccion NaturalReglas deInferenciaConceptosEjemplos deducionComentariosIntroduccionEjemplo 1Ejemplo 2Sumario

    Mdulo I: Argumentos Vlidos Matemticas Discretas - p. 44/50

    Caso IITomemos p