matem´aticas discretas -...

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Matem´ aticas Discretas Examen No 1: L´ ogica y Conjuntos Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti Grupo: Matr´ ıcula: Nombre: Tipo:1 1. Indique las posiciones donde va verdadero: p q (p q) ∧¬q T F 1 F T 2 F F 3 T T 4 Respuesta: 2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF: a) ¬ (r ∧¬s) (r s) b) ((s ∧¬r) r) (r s) con su simplificaci´ on en la lista: 1) r s 2) s 3) ¬r 4) ¬s 5) r s Respuesta: 3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados. ¬ (¬ ((s q) t) ∨¬q) ≡ ¬¬ ((s q) t) ∧¬¬q por ((s q) t) q por (s q) (t q) (s q) q t ((s q) q) t por (q (q s)) t por q t por 1) Ley de identidad 2) Ley de dominaci´ on 3) Ley de idempotencia 4) Ley conmutativa 5) Ley de la doble negaci´ on 6) Ley de inversas 7) Ley asociativa 8) Ley distributiva 9) Ley de De Morgan 10) Ley de absorci´ on Respuesta: 4. Relativos a un tri´ angulo ABC se tienen las siguientes afir- maciones: q: ABC es is´ osceles. r: ABC es equil´ atero. p: ABC es equiangular. Asocie las afirmaciones: a) A fin de que ABC sea equiangular basta que ABC sea equil´ atero. b) ABC no is´ osceles, implica que ABC no es equiangu- lar. c) ABC no equil´ atero es necesario para que ABC no sea is´ osceles. d) ABC equil´ atero es suficiente para que ABC sea is´ osce- les. e) Si ABC es equiangular, ABC es is´ osceles. con su FBF: 1) r p 2) ¬q →¬r 3) p q 4) ¬q →¬p 5) ¬r ←→¬p 6) r q Respuesta: 5. Si: s: El equipo C gana su ´ ultimo partido. q: El equipo A gana su ´ ultimo partido. p: El equipo B pierde por m´ as de dos goles su ´ ultimo partido. r: El equipo C queda en primer lugar. Asocie cada expresi´ on de la lista: a) Si el equipo B no pierde por m´ as de dos goles su ´ ulti- mo partido, entonces el equipo C no queda en primer lugar. b) Si el equipo B pierde por m´ as de dos goles su ´ ultimo partido, el equipo A no gana su ´ ultimo partido, y el equipo C gana su ´ ultimo partido, entonces el equipo C queda en primer lugar.

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  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:1

    1. Indique las posiciones donde va verdadero:

    p q (p ∨ q) ∧ ¬q

    T F 1

    F T 2

    F F 3

    T T 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) ¬ (r ∧ ¬s) ∧ (r ∨ s)

    b) ((s ∧ ¬r) ∨ r) ∨ (r ∧ s)

    con su simplificación en la lista:

    1) r ∧ s

    2) s

    3) ¬r

    4) ¬s

    5) r ∨ s

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    ¬ (¬ ((s ∨ q) ∧ t) ∨ ¬q) ≡ ¬¬ ((s ∨ q) ∧ t) ∧ ¬¬q por

    ≡ ((s ∨ q) ∧ t) ∧ q por

    ≡ (s ∨ q) ∧ (t ∧ q)

    ≡ (s ∨ q) ∧ q ∧ t

    ≡ ((s ∨ q) ∧ q) ∧ t por

    ≡ (q ∧ (q ∨ s)) ∧ t por

    ≡ q ∧ t por

    1) Ley de identidad

    2) Ley de dominación

    3) Ley de idempotencia

    4) Ley conmutativa

    5) Ley de la doble negación

    6) Ley de inversas

    7) Ley asociativa

    8) Ley distributiva

    9) Ley de De Morgan

    10) Ley de absorción

    Respuesta:

    4. Relativos a un triángulo ABC se tienen las siguientes afir-

    maciones:

    q: ABC es isósceles.

    r: ABC es equilátero.

    p: ABC es equiangular.

    Asocie las afirmaciones:

    a) A fin de que ABC sea equiangular basta que ABC

    sea equilátero.

    b) ABC no isósceles, implica que ABC no es equiangu-

    lar.

    c) ABC no equilátero es necesario para que ABC no sea

    isósceles.

    d) ABC equilátero es suficiente para que ABC sea isósce-

    les.

    e) Si ABC es equiangular, ABC es isósceles.

    con su FBF:

    1) r → p

    2) ¬q → ¬r

    3) p→ q

    4) ¬q → ¬p

    5) ¬r ←→ ¬p

    6) r → q

    Respuesta:

    5. Si:

    s: El equipo C gana su último partido.

    q: El equipo A gana su último partido.

    p: El equipo B pierde por más de dos goles su último

    partido.

    r: El equipo C queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo B no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo C no queda en primer

    lugar.

    b) Si el equipo B pierde por más de dos goles su último

    partido, el equipo A no gana su último partido, y el

    equipo C gana su último partido, entonces el equipo

    C queda en primer lugar.

  • 2

    c) Si el equipo A gana su último partido, entonces el

    equipo C no queda en primer lugar.

    d) Si el equipo A gana su último partido o el equipo C

    no gana su último partido, entonces el equipo C no

    queda en primer lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) q → ¬r

    2) ¬p→ ¬r

    3) p ∧ ¬q → ¬r

    4) (q ∨ ¬s)→ ¬r

    5) (p ∧ ¬q ∧ s)→ r

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Este número es irracional o racional. Este número no

    es racional. Por tanto, este número es irracional.

    b) Si este número es mayor que dos, su cuadrado es ma-

    yor que cuatro. El cuadrado de este número no es

    mayor que cuatro. Por tanto, este número no es ma-

    yor que dos.

    c) Si Laura resuelve correctamente el problema, Laura

    obtendrá como respuesta 2. Laura resolvió correcta-

    mente el problema. Por tanto, Laura obtuvo como

    respuesta 2.

    d) Si voy al cine, entonces yo no terminaré mi tarea.

    Si yo no termino mi tarea, entonces yo no haré un

    buen examen. Por tanto, si voy al cine entonces yo

    no haré un buen examen.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) falsa(s):

    1) ∀ t,Azul(t)→ Triangulo(t)

    2) ∃ t,Circulo(t) ∧ Rojo(t)

    3) ∃ t,Cuadrado(t) ∧DerechaDe(g, t)

    4) ∃ t,Triangulo(t) ∨ Blanco(t)

    5) ∀ t,Rojo(t)→ Cuadrado(t) ∨ Circulo(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∀z ∈ D,¬S(z) ∧ R(z)

    b) ∀z ∈ D,R(z)→ S(z)

    c) ∃z ∈ D, S(z)→ ¬R(z)

    d) ∀z ∈ D,¬S(z)→ R(z)

    Dentro de la lista:

    1) ∀z ∈ D, S(z)→ R(z)

    2) ∃z ∈ D,¬S(z) ∧ R(z)

    3) ∃z ∈ D,¬S(z) ∧ ¬R(z)

    4) ∀z ∈ D, S(z) ∧R(z)

    5) ∃z ∈ D,R(z)→ S(z)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 1 3

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x∀ y,MismaForma(x, y)→ MismoColor(x, y)

    2) ∀x∀ y,MismaColumna(x, y)→ MismaForma(x, y)

    3) ∀x∀ y,MismoRenglon(x, y)→ MismoColor(x, y)

    4) ∃x∀ y,MismoColor(x, y)→ MismaForma(x, y)

    5) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧MismoColor(x, y)

    Respuesta:

    10. De acuerdo al diagrama

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) B − C

    b) A ∪ C

    c) Ac

    d) C − (A ∩B)

    e) B ∩ C

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 8}

    2) { 1,4,7,8}

    3) { 3,4}

    4) { 6,7,8}

    5) { 2,3,5,6,7,8}

    6) { 5,7}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) (E ∪Bc)c ∪ (Ec ∩Bc)

    b) (((E ∪B) ∩ E)c ∪Bc)c

    con su simplificación en la lista:

    1) Bc

    2) E ∪B

    3) Ec

    4) B

    5) E ∩B

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expre-

    sión.Indique en orden las leyes que justifican los pasos in-

    dicados.

    (A ∩ ((Ac ∪B)c)) ∪ (A ∩B) = (A ∩ (Acc ∩Bc)) ∪ (A ∩B)

    = (A ∩ (A ∩Bc)) ∪ (A ∩B)

    = ((A ∩ A) ∩Bc) ∪ (A ∩B)

    = (A ∩Bc) ∪ (A ∩B)

    = A ∩ (Bc ∪B)

    = A ∩U

    = A

    1) Ley distributiva

    2) Ley conmutativa

    3) Ley del doble complemento

    4) Ley de De Morgan

    5) Ley de complemento

    6) Ley de absorción

    7) Ley de dominación

    8) Ley asociativa

    9) Ley de idempotencia

    10) Ley de identidad

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:2

    1. Indique las posiciones donde va falso:

    p q (p ∨ q) ∧ ¬p

    T T 1

    F F 2

    F T 3

    T F 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) ¬ (r ∧ ¬s) ∧ (r ∨ s)

    b) (r ∨ s) ∧ ¬ (¬r ∧ s)

    con su simplificación en la lista:

    1) r ∧ s

    2) ¬s

    3) r

    4) r ∨ s

    5) s

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    (p ∨ r) ∧ ¬ (¬p ∧ r) ≡ (p ∨ r) ∧ (¬¬p ∨ ¬r) por

    ≡ (p ∨ r) ∧ (p ∨ ¬r) por

    ≡ p ∨ (r ∧ ¬r) por

    ≡ p ∨ F por

    ≡ p por

    1) Ley de idempotencia

    2) Ley de la doble negación

    3) Ley de absorción

    4) Ley asociativa

    5) Ley de dominación

    6) Ley de identidad

    7) Ley distributiva

    8) Ley de inversas

    9) Ley de De Morgan

    10) Ley conmutativa

    Respuesta:

    4. Relativos a un triángulo ABC se tienen las siguientes afir-

    maciones:

    r: ABC es isósceles.

    q: ABC es equilátero.

    p: ABC es equiangular.

    Asocie las afirmaciones:

    a) ABC no isósceles, implica que ABC no es equiangu-

    lar.

    b) ABC es equiangular cuando ABC es equilátero.

    c) ABC necesita ser equilátero para que sea equiangu-

    lar.

    d) ABC es equilátero cuando y sólo cuando ABC es

    equiangular.

    e) Si ABC no es isósceles, tampoco es equilátero.

    con su FBF:

    1) ¬r → ¬q

    2) ¬q ←→ ¬p

    3) ¬r → ¬p

    4) q ←→ p

    5) q → p

    6) p→ q

    Respuesta:

    5. Si:

    s: El equipo C gana su último partido.

    q: El equipo B gana su último partido.

    r: El equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido.

    p: El equipo C queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo A no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo C no queda en primer

    lugar.

    b) Si el equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido, el equipo B no gana su último partido, y el

    equipo C gana su último partido, entonces el equipo

    C queda en primer lugar.

    c) Si el equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido y el equipo B gana su último partido, enton-

    ces el equipo C no queda en primer lugar.

  • 2

    d) Si el equipo B gana su último partido, entonces el

    equipo C no queda en primer lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) (r ∧ ¬q ∧ s)→ p

    2) ¬r → ¬p

    3) r ∧ ¬q → ¬p

    4) ¬s→ ¬p

    5) q → ¬p

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Si este número es mayor que dos, su cuadrado es ma-

    yor que cuatro. El cuadrado de este número no es

    mayor que cuatro. Por tanto, este número no es ma-

    yor que dos.

    b) Si Luis resuelve correctamente el problema, Luis ob-

    tendrá como respuesta 2. Luis resolvió correctamente

    el problema. Por tanto, Luis obtuvo como respuesta

    2.

    c) Si este programa está correcto, producirá los resulta-

    dos esperados con los datos del profesor. Este progra-

    ma no produce los resultados esperados con los datos

    del profesor. Por tanto, este programa es incorrecto.

    d) Si al menos uno de estos dos números es divisible por

    6, su producto será divisible por 6. El producto de es-

    tos números no es divisible por 6. Por tanto, ninguno

    de estos dos números es divisible por 6.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) cierta(s):

    1) ∃ t,Triangulo(t) ∨ Blanco(t)

    2) ∀ t,Circulo(t)→ Gris(t)

    3) ∀ t,Triangulo(t)→ Azul(t)

    4) ∃ t,Blanco(t) ∨DerechaDe(t, k)

    5) ∃ t,Circulo(t) ∧ Rojo(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∀y ∈ D, S(y)→ P(y)

    b) ∃y ∈ D,P(y)→ S(y)

    c) ∀y ∈ D,¬P(y)→ S(y)

    d) ∀y ∈ D,P(y) ∧ ¬S(y)

    Dentro de la lista:

    1) ∃y ∈ D,¬P(y) ∧ ¬S(y)

    2) ∃y ∈ D,¬P(y) ∧ S(y)

    3) ∀y ∈ D,P(y) ∧ ¬S(y)

    4) ∃y ∈ D,P(y)→ S(y)

    5) ∀y ∈ D, S(y)→ P(y)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 2 3

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x,Cuadrado(x) → (∃ y,Triangulo(y) ∧

    MismoColor(x, y))

    2) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧ MismaForma(x, y) ∧

    ¬MismoColor(x, y)

    3) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧MismoColor(x, y)

    4) ∀x,Estrella(x)→ (∃ y,Triangulo(y)∧MismoColor(x, y))

    5) ∃x∀ y,MismoColor(x, y)→ MismaForma(x, y)

    Respuesta:

    10. De acuerdo al diagrama

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) C − (A ∪B)

    b) B ∩ C

    c) B − C

    d) Cc

    e) B ∪ C

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 1,2,3,4}

    2) { 5,7}

    3) { 3,4,5,6,7,8}

    4) { 3,4}

    5) { 8}

    6) { 3,5,6,7,8}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) (D ∪ Cc)c

    ∪ (Dc ∩ Cc)

    b) (D ∪ C) ∩ (Dc ∩ C)c

    con su simplificación en la lista:

    1) Cc

    2) D ∪ C

    3) D

    4) Dc

    5) C

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expre-

    sión.Indique en orden las leyes que justifican los pasos in-

    dicados.

    (C ∩ ((Cc ∪ E)c

    )) ∪ (C ∩ E) = (C ∩ (Ccc ∩ Ec)) ∪ (C ∩ E)

    = (C ∩ (C ∩ Ec)) ∪ (C ∩ E)

    = ((C ∩ C) ∩Ec) ∪ (C ∩ E)

    = (C ∩Ec) ∪ (C ∩ E)

    = C ∩ (Ec ∪ E)

    = C ∩U

    = C

    1) Ley de dominación

    2) Ley de identidad

    3) Ley de De Morgan

    4) Ley del doble complemento

    5) Ley de absorción

    6) Ley conmutativa

    7) Ley asociativa

    8) Ley distributiva

    9) Ley de complemento

    10) Ley de idempotencia

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:3

    1. Indique las posiciones donde va verdadero:

    p q (p ∨ q) ∧ ¬p

    T F 1

    F T 2

    F F 3

    T T 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) ¬ (¬ ((r ∨ s) ∧ r) ∨ ¬s)

    b) ((s ∧ ¬r) ∨ r) ∨ (r ∧ s)

    con su simplificación en la lista:

    1) r ∧ s

    2) s

    3) r ∨ s

    4) r

    5) ¬r

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    (r ∧ (¬ (¬r ∨ q))) ∨ (r ∧ q) ≡ (r ∧ ¬¬r ∧ ¬q) ∨ (r ∧ q) por

    ≡ (r ∧ (r ∧ ¬q)) ∨ (r ∧ q) por

    ≡ ((r ∧ r) ∧ ¬q) ∨ (r ∧ q)

    ≡ (r ∧ ¬q) ∨ (r ∧ q) por

    ≡ r ∧ (¬q ∨ q)

    ≡ r ∧T por

    ≡ r por

    1) Ley de idempotencia

    2) Ley de la doble negación

    3) Ley de identidad

    4) Ley de absorción

    5) Ley distributiva

    6) Ley de dominación

    7) Ley conmutativa

    8) Ley de inversas

    9) Ley asociativa

    10) Ley de De Morgan

    Respuesta:

    4. Relativos a un triángulo ABC se tienen las siguientes afir-

    maciones:

    r: ABC es isósceles.

    p: ABC es equilátero.

    q: ABC es equiangular.

    Asocie las afirmaciones:

    a) A fin de que ABC no sea equiangular basta que ABC

    no sea isósceles.

    b) ABC es equilátero si y sólo si ABC es equiangular.

    c) Si ABC no es isósceles, entonces ABC no es equiláte-

    ro.

    d) ABC es equiangular cuando ABC es equilátero.

    e) ABC equiangular, implica que ABC es equilátero.

    con su FBF:

    1) p←→ q

    2) q → p

    3) ¬p←→ ¬q

    4) ¬r → ¬q

    5) ¬r → ¬p

    6) p→ q

    Respuesta:

    5. Si:

    p: El equipo C gana su último partido.

    q: El equipo B gana su último partido.

    s: El equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido.

    r: El equipo C queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido y el equipo B gana su último partido, enton-

    ces el equipo C no queda en primer lugar.

    b) Si el equipo A no pierde por más de dos goles su

    último partido o el equipo B gana su último partido,

    entonces el equipo C no queda en primer lugar.

    c) Si el equipo A no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo C no queda en primer

    lugar.

  • 2

    d) Si el equipo B gana su último partido o el equipo C

    no gana su último partido, entonces el equipo C no

    queda en primer lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) ¬s→ ¬r

    2) ¬p→ ¬r

    3) (q ∨ ¬p)→ ¬r

    4) (¬s ∨ q)→ ¬r

    5) s ∧ ¬q → ¬r

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Victor sabe Java. Victor sabe C++. Por tanto, Victor

    sabe Java y C++.

    b) Si este programa está correcto, producirá los resulta-

    dos esperados con los datos del profesor. Este progra-

    ma no produce los resultados esperados con los datos

    del profesor. Por tanto, este programa es incorrecto.

    c) Si al menos uno de estos dos números es divisible por

    6, su producto será divisible por 6. El producto de es-

    tos números no es divisible por 6. Por tanto, ninguno

    de estos dos números es divisible por 6.

    d) Si este número es mayor que dos, su cuadrado es ma-

    yor que cuatro. El cuadrado de este número no es

    mayor que cuatro. Por tanto, este número no es ma-

    yor que dos.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) cierta(s):

    1) ∀ t,Cuadrado(t)→ Rojo(t)

    2) ∃ t,Blanco(t) ∨DerechaDe(t, k)

    3) ∃ t,Cuadrado(t) ∧DerechaDe(g, t)

    4) ∀ t,Azul(t)→ Triangulo(t)

    5) ∀ t,Rojo(t)→ Cuadrado(t) ∨ Circulo(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∀x ∈ D,P(x)→ R(x)

    b) ∀x ∈ D,¬R(x) ∧ P(x)

    c) ∃x ∈ D,R(x)→ ¬P(x)

    d) ∀x ∈ D,¬R(x)→ P(x)

    Dentro de la lista:

    1) ∀x ∈ D,R(x) ∧ P(x)

    2) ∃x ∈ D,¬R(x) ∧ ¬P(x)

    3) ∀x ∈ D,R(x)→ P(x)

    4) ∃x ∈ D,P(x)→ R(x)

    5) ∃x ∈ D,¬R(x) ∧ P(x)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧MismoColor(x, y)

    2) ∀x∀ y,MismaColumna(x, y)→ MismoColor(x, y)

    3) ∀x∀ y,MismoRenglon(x, y)→ MismaForma(x, y)

    4) ∀x∀ y,MismaColumna(x, y)→ MismaForma(x, y)

    5) ∀x∀ y,MismaForma(x, y)→ MismoColor(x, y)

    Respuesta:

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 3 3

    10. De acuerdo al diagrama

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) C ∪ (A ∩B)

    b) Cc

    c) A− (B ∩ C)

    d) A ∩B

    e) C − (A ∪B)

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 3,5,6,7,8}

    2) { 1,2,3,4}

    3) { 8}

    4) { 3,5}

    5) { 2,3,4,5,6,7}

    6) { 2,3,6}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) (((D ∪ E) ∩D)c

    ∪ Ec)c

    b) (D ∪ Ec)c ∪ (Dc ∩ Ec)

    con su simplificación en la lista:

    1) D ∪ E

    2) D ∩ E

    3) Dc

    4) E

    5) D

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expresión. In-

    dique en orden las leyes que justifican cada paso.

    (B ∩ Ac) ∪ (B ∩ A) = B ∩ (Ac ∪ A) por

    = B ∩ (A ∪ Ac) por

    = B ∩U por

    = B por

    1) Ley de identidad

    2) Ley conmutativa

    3) Ley del doble complemento

    4) Ley de dominación

    5) Ley de De Morgan

    6) Ley de idempotencia

    7) Ley distributiva

    8) Ley de complemento

    9) Ley asociativa

    10) Ley de absorción

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:4

    1. Indique las posiciones donde va verdadero:

    p q (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)

    F T 1

    F F 2

    T F 3

    T T 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) ¬ (¬ ((p ∨ s) ∧ p) ∨ ¬s)

    b) (p ∨ s) ∧ ¬ (¬p ∧ s)

    con su simplificación en la lista:

    1) ¬s

    2) ¬p

    3) p ∨ s

    4) p

    5) p ∧ s

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    ¬ (q ∨ ¬t) ∨ (¬q ∧ ¬t) ≡ (¬q ∧ ¬¬t) ∨ (¬q ∧ ¬t) por

    ≡ (¬q ∧ t) ∨ (¬q ∧ ¬t) por

    ≡ ¬q ∧ (t ∨ ¬t) por

    ≡ ¬q ∧ T por

    ≡ ¬q por

    1) Ley de absorción

    2) Ley de idempotencia

    3) Ley distributiva

    4) Ley asociativa

    5) Ley de dominación

    6) Ley de la doble negación

    7) Ley conmutativa

    8) Ley de inversas

    9) Ley de identidad

    10) Ley de De Morgan

    Respuesta:

    4. Relativos a un cuadrilátero ABCD se tienen las siguientes

    afirmaciones:

    p: ABCD tiene al menos dos lados opuestos paralelos.

    q: ABCD tiene sus lados opuestos iguales.

    r: ABCD tiene sus ángulos opuestos iguales.

    Asocie las afirmaciones:

    a) A fin de que ABCD tenga sus ángulos opuestos igua-

    les basta que ABCD tenga sus lados opuestos iguales.

    b) Si ABCD no tiene al menos dos lados opuestos para-

    lelos, tampoco tiene sus lados opuestos iguales.

    c) Si ABCD tiene sus lados opuestos iguales, también

    tiene al menos dos lados opuestos paralelos.

    d) ABCD con sus ángulos opuestos iguales es suficiente

    para que ABCD tenga sus lados opuestos iguales.

    e) A fin de que ABCD tenga al menos dos lados opuestos

    paralelos basta que ABCD tenga sus ángulos opues-

    tos iguales.

    con su FBF:

    1) ¬q ←→ ¬r

    2) ¬p→ ¬q

    3) r → q

    4) r → p

    5) q → r

    6) q → p

    Respuesta:

    5. Si:

    p: El equipo B gana su último partido.

    r: El equipo A gana su último partido.

    q: El equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido.

    s: El equipo B queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo A gana su último partido, entonces el

    equipo B no queda en primer lugar.

    b) Si el equipo C no pierde por más de dos goles su

    último partido o el equipo A gana su último partido,

    entonces el equipo B no queda en primer lugar.

  • 2

    c) Si el equipo C pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido y el equipo A gana su último partido,

    entonces el equipo B no queda en primer lugar.

    d) Si el equipo C no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo B no queda en primer

    lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) r → ¬s

    2) q ∧ ¬r → ¬s

    3) (q ∧ ¬r ∧ p)→ s

    4) ¬q → ¬s

    5) (¬q ∨ r)→ ¬s

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Si al menos uno de estos dos números es divisible por

    6, su producto será divisible por 6. El producto de es-

    tos números no es divisible por 6. Por tanto, ninguno

    de estos dos números es divisible por 6.

    b) Si voy al cine, entonces yo no terminaré mi tarea.

    Si yo no termino mi tarea, entonces yo no haré un

    buen examen. Por tanto, si voy al cine entonces yo

    no haré un buen examen.

    c) Este número es irracional o racional. Este número no

    es irracional. Por tanto, este número es racional.

    d) Si Luis sabe C++, entonces Luis sabe C. Luis sabe

    C++. Por tanto, Luis sabe C.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) falsa(s):

    1) ∃ t,Cuadrado(t) ∧Gris(t)

    2) ∀ t,Gris(t)→ Circulo(t)

    3) ∃ t,Cuadrado(t) ∧ArribaDe(f, t)

    4) ∀ t,Circulo(t)→ Gris(t)

    5) ∀ t,Triangulo(t)→ Azul(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∃x ∈ D,R(x) ∧ ¬S(x)

    b) ∀x ∈ D,R(x)→ ¬S(x)

    c) ∃x ∈ D, S(x)→ R(x)

    d) ∃x ∈ D,¬R(x)→ S(x)

    Dentro de la lista:

    1) ∃x ∈ D,R(x) ∧ S(x)

    2) ∀x ∈ D,¬R(x) ∧ S(x)

    3) ∀x ∈ D,R(x)→ S(x)

    4) ∃x ∈ D, S(x)→ R(x)

    5) ∀x ∈ D,¬R(x) ∧ ¬S(x)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 4 3

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x,Circulo(x)→ (∃ y,Triangulo(y)∧MismoColor(x, y))

    2) ∀x,Estrella(x)→ (∃ y,Circulo(y)∧MismoColor(x, y))

    3) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧ MismaForma(x, y) ∧

    ¬MismoColor(x, y)

    4) ∃x∀ y,MismaForma(x, y)→ MismoColor(x, y)

    5) ∃x∀ y,MismoColor(x, y)→ MismaForma(x, y)

    Respuesta:

    10. De acuerdo al diagrama

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) A ∩B

    b) C −B

    c) B ∪ (A ∩C)

    d) A− (B ∩ C)

    e) B − (A ∪ C)

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 3,4,5,7,6}

    2) { 3,5}

    3) { 2,3,6}

    4) { 6,8}

    5) { 1,2,6,8}

    6) { 4}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) ((E ∩Cc) ∪ C) ∪ (C ∩ E)

    b) (((C ∪ E) ∩C)c ∪ Ec)c

    con su simplificación en la lista:

    1) C ∩ E

    2) Cc

    3) C

    4) C ∪ E

    5) Ec

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expre-

    sión.Indique en orden las leyes que justifican los pasos in-

    dicados.

    (A ∪Dc)c ∪ (Ac ∩Dc) = (Ac ∩ (Dc)c) ∪ (Ac ∩Dc) por

    = (Ac ∩D) ∪ (Ac ∩Dc) por

    = Ac ∩ (D ∪Dc) por

    = Ac ∩U por

    = Ac por

    1) Ley del doble complemento

    2) Ley de identidad

    3) Ley de absorción

    4) Ley de idempotencia

    5) Ley conmutativa

    6) Ley de De Morgan

    7) Ley de complemento

    8) Ley asociativa

    9) Ley de dominación

    10) Ley distributiva

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:5

    1. Indique las posiciones donde va falso:

    p q (p ∧ q) ∨ ¬q

    F F 1

    T T 2

    T F 3

    F T 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) ¬ (¬ ((r ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)

    b) ((q ∧ ¬r) ∨ r) ∨ (r ∧ q)

    con su simplificación en la lista:

    1) r ∨ q

    2) q

    3) r ∧ q

    4) ¬q

    5) ¬r

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    (q ∨ p) ∧ ¬ (¬q ∧ p) ≡ (q ∨ p) ∧ (¬¬q ∨ ¬p) por

    ≡ (q ∨ p) ∧ (q ∨ ¬p) por

    ≡ q ∨ (p ∧ ¬p) por

    ≡ q ∨ F por

    ≡ q por

    1) Ley de dominación

    2) Ley asociativa

    3) Ley de identidad

    4) Ley conmutativa

    5) Ley de idempotencia

    6) Ley de inversas

    7) Ley de absorción

    8) Ley de la doble negación

    9) Ley distributiva

    10) Ley de De Morgan

    Respuesta:

    4. Relativos a un triángulo ABC se tienen las siguientes afir-

    maciones:

    p: ABC es isósceles.

    r: ABC es equilátero.

    q: ABC es equiangular.

    Asocie las afirmaciones:

    a) ABC necesita no ser equiangular para que no sea

    isósceles.

    b) ABC no es equilátero cuando y sólo cuando ABC no

    es equiangular.

    c) ABC no isósceles, implica que ABC no es equilátero.

    d) ABC equilátero es suficiente para que ABC sea isósce-

    les.

    e) ABC es equilátero cuando y sólo cuando ABC es

    equiangular.

    con su FBF:

    1) r ←→ q

    2) ¬p→ ¬r

    3) r → p

    4) ¬p→ ¬q

    5) ¬r ←→ ¬q

    6) r → q

    Respuesta:

    5. Si:

    s: El equipo C gana su último partido.

    q: El equipo B gana su último partido.

    p: El equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido.

    r: El equipo C queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo B gana su último partido, entonces el

    equipo C no queda en primer lugar.

    b) Si el equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido y el equipo B gana su último partido, enton-

    ces el equipo C no queda en primer lugar.

    c) Si el equipo A no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo C no queda en primer

    lugar.

  • 2

    d) Si el equipo B gana su último partido o el equipo C

    no gana su último partido, entonces el equipo C no

    queda en primer lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) q → ¬r

    2) (q ∨ ¬s)→ ¬r

    3) ¬p→ ¬r

    4) p ∧ ¬q → ¬r

    5) (¬p ∨ q)→ ¬r

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Si este número es mayor que dos, su cuadrado es ma-

    yor que cuatro. El cuadrado de este número no es

    mayor que cuatro. Por tanto, este número no es ma-

    yor que dos.

    b) Este número es irracional o racional. Este número no

    es irracional. Por tanto, este número es racional.

    c) Si voy al cine, entonces yo no terminaré mi tarea.

    Si yo no termino mi tarea, entonces yo no haré un

    buen examen. Por tanto, si voy al cine entonces yo

    no haré un buen examen.

    d) Si al menos uno de estos dos números es divisible por

    6, su producto será divisible por 6. El producto de es-

    tos números no es divisible por 6. Por tanto, ninguno

    de estos dos números es divisible por 6.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) falsa(s):

    1) ∃ t,Cuadrado(t) ∧ArribaDe(f, t)

    2) ∀ t,Rojo(t)→ Cuadrado(t) ∨ Circulo(t)

    3) ∀ t,Gris(t)→ Circulo(t)

    4) ∃ t,Triangulo(t) ∨ Blanco(t)

    5) ∀ t,Cuadrado(t)→ Rojo(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∃t ∈ D,¬R(t)→ Q(t)

    b) ∀t ∈ D,R(t)→ ¬Q(t)

    c) ∃t ∈ D,Q(t)→ R(t)

    d) ∀t ∈ D,R(t)→ Q(t)

    Dentro de la lista:

    1) ∃t ∈ D,R(t) ∧Q(t)

    2) ∀t ∈ D,¬R(t) ∧ ¬Q(t)

    3) ∀t ∈ D,Q(t)→ R(t)

    4) ∃t ∈ D,R(t) ∧ ¬Q(t)

    5) ∀t ∈ D,¬R(t) ∧Q(t)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x,Triangulo(x)→ (∃ y,Circulo(y)∧MismoColor(x, y))

    2) ∀x∀ y,MismaForma(x, y)→ MismoColor(x, y)

    3) ∃x∀ y,MismaForma(x, y)→ MismoColor(x, y)

    4) ∀x,Triangulo(x) → (∃ y,Cuadrado(y) ∧

    MismoColor(x, y))

    5) ∀x,Cuadrado(x)→ (∃ y,Circulo(y)∧MismoColor(x, y))

    Respuesta:

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 5 3

    10. De acuerdo al diagrama

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) B ∩ C

    b) C ∪ (A ∩B)

    c) A ∪ C

    d) C − (A ∪B)

    e) B −A

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 1,2,6,8}

    2) { 3,5,6,7,8}

    3) { 5,7}

    4) { 8}

    5) { 2,3,5,6,7,8}

    6) { 4,7}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) (B ∪Dc)c

    ∪ (Bc ∩Dc)

    b) (((B ∪D) ∩B)c

    ∪Dc)c

    con su simplificación en la lista:

    1) D

    2) Bc

    3) B ∩D

    4) B ∪D

    5) Dc

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expre-

    sión.Indique en orden las leyes que justifican los pasos in-

    dicados.

    (D ∪ Ac)c

    ∪ (Dc ∩ Ac) = (Dc ∩ (Ac)c

    ) ∪ (Dc ∩Ac) por

    = (Dc ∩A) ∪ (Dc ∩Ac) por

    = Dc ∩ (A ∪Ac) por

    = Dc ∩U por

    = Dc por

    1) Ley de dominación

    2) Ley asociativa

    3) Ley de absorción

    4) Ley de identidad

    5) Ley de De Morgan

    6) Ley de idempotencia

    7) Ley conmutativa

    8) Ley distributiva

    9) Ley de complemento

    10) Ley del doble complemento

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:6

    1. Indique las posiciones donde va falso:

    p q (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)

    F F 1

    T F 2

    T T 3

    F T 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) ¬ (q ∧ ¬r) ∧ (q ∨ r)

    b) ((q ∧ ¬r) ∨ ¬ (q ∨ r)) ∧ (q ∨ ¬r)

    con su simplificación en la lista:

    1) ¬r

    2) ¬q

    3) r

    4) q ∧ r

    5) q

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    ¬ (¬ ((t ∨ p) ∧ q) ∨ ¬p) ≡ ¬¬ ((t ∨ p) ∧ q) ∧ ¬¬p por

    ≡ ((t ∨ p) ∧ q) ∧ p

    ≡ (t ∨ p) ∧ (q ∧ p) por

    ≡ (t ∨ p) ∧ p ∧ q por

    ≡ ((t ∨ p) ∧ p) ∧ q por

    ≡ (p ∧ (p ∨ t)) ∧ q

    ≡ p ∧ q por

    1) Ley distributiva

    2) Ley asociativa

    3) Ley conmutativa

    4) Ley de dominación

    5) Ley de identidad

    6) Ley de inversas

    7) Ley de idempotencia

    8) Ley de la doble negación

    9) Ley de absorción

    10) Ley de De Morgan

    Respuesta:

    4. Relativos a un cuadrilátero ABCD se tienen las siguientes

    afirmaciones:

    q: ABCD tiene al menos dos lados opuestos paralelos.

    p: ABCD tiene sus lados opuestos iguales.

    r: ABCD tiene sus ángulos opuestos iguales.

    Asocie las afirmaciones:

    a) ABCD no tiene sus lados opuestos iguales cuando

    y sólo cuando ABCD no tiene sus ángulos opuestos

    iguales.

    b) ABCD con sus lados opuestos iguales es suficiente

    para que ABCD tenga sus ángulos opuestos iguales.

    c) ABCD no tiene sus ángulos opuestos iguales si ABCD

    no tiene al menos dos lados opuestos paralelos.

    d) Que ABCD tenga sus ángulos opuestos iguales, im-

    plica que ABCD tiene al menos dos lados opuestos

    paralelos.

    e) ABCD tiene al menos dos lados opuestos paralelos

    cuando ABCD tiene sus lados opuestos iguales.

    con su FBF:

    1) ¬q → ¬r

    2) ¬p←→ ¬r

    3) r → q

    4) p→ r

    5) p→ q

    6) p←→ r

    Respuesta:

    5. Si:

    p: El equipo B gana su último partido.

    q: El equipo A gana su último partido.

    s: El equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido.

    r: El equipo B queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo A gana su último partido o el equipo B

    no gana su último partido, entonces el equipo B no

    queda en primer lugar.

  • 2

    b) Si el equipo C no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo B no queda en primer

    lugar.

    c) Si el equipo C pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido y el equipo A gana su último partido,

    entonces el equipo B no queda en primer lugar.

    d) Si el equipo B no gana su último partido, entonces el

    equipo B no queda en primer lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) ¬s→ ¬r

    2) q → ¬r

    3) s ∧ ¬q → ¬r

    4) (q ∨ ¬p)→ ¬r

    5) ¬p→ ¬r

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Si Alberto sabe C++, entonces Alberto sabe C. Al-

    berto sabe C++. Por tanto, Alberto sabe C.

    b) Si Luis resuelve correctamente el problema, Luis ob-

    tendrá como respuesta 2. Luis resolvió correctamente

    el problema. Por tanto, Luis obtuvo como respuesta

    2.

    c) Si al menos uno de estos dos números es divisible por

    6, su producto será divisible por 6. El producto de es-

    tos números no es divisible por 6. Por tanto, ninguno

    de estos dos números es divisible por 6.

    d) Si voy al cine, entonces yo no terminaré mi tarea.

    Si yo no termino mi tarea, entonces yo no haré un

    buen examen. Por tanto, si voy al cine entonces yo

    no haré un buen examen.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) cierta(s):

    1) ∃ t,Blanco(t) ∨DerechaDe(t, k)

    2) ∃ t,Cuadrado(t) ∧DerechaDe(g, t)

    3) ∀ t,Azul(t)→ Triangulo(t)

    4) ∀ t,Gris(t)→ Circulo(t)

    5) ∀ t,Cuadrado(t)→ Rojo(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∀x ∈ D,R(x) ∧ ¬S(x)

    b) ∃x ∈ D,¬R(x) ∧ S(x)

    c) ∃x ∈ D, S(x)→ R(x)

    d) ∀x ∈ D,¬R(x)→ S(x)

    Dentro de la lista:

    1) ∀x ∈ D,R(x) ∧ S(x)

    2) ∃x ∈ D,R(x)→ S(x)

    3) ∃x ∈ D,¬R(x) ∧ ¬S(x)

    4) ∀x ∈ D, S(x)→ R(x)

    5) ∀x ∈ D,¬R(x) ∧ S(x)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x,Circulo(x)→ (∃ y,Cuadrado(y)∧MismoColor(x, y))

    2) ∀x∀ y,MismoColor(x, y)→ MismaForma(x, y)

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 6 3

    3) ∀x∀ y,MismaColumna(x, y)→ MismoColor(x, y)

    4) ∀x∀ y,MismaForma(x, y)→ MismoColor(x, y)

    5) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧ MismaForma(x, y) ∧

    ¬MismoColor(x, y)

    Respuesta:

    10. De acuerdo al diagrama

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) A ∩ C

    b) B − C

    c) Bc

    d) A− (B ∪ C)

    e) C − (A ∩B)

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 1,2,6,8}

    2) { 6,7,8}

    3) { 2,3,5,6,7}

    4) { 2}

    5) { 5,6}

    6) { 3,4}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) (C ∪B) ∩ (Cc ∩B)c

    b) (C ∪Bc)c ∪ (Cc ∩Bc)

    con su simplificación en la lista:

    1) C ∩B

    2) B

    3) Cc

    4) C

    5) C ∪B

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expresión. In-

    dique en orden las leyes que justifican cada paso.

    (C ∩Dc) ∪ (C ∩D) = C ∩ (Dc ∪D) por

    = C ∩ (D ∪Dc) por

    = C ∩U por

    = C por

    1) Ley conmutativa

    2) Ley de idempotencia

    3) Ley de De Morgan

    4) Ley de dominación

    5) Ley de absorción

    6) Ley distributiva

    7) Ley de identidad

    8) Ley asociativa

    9) Ley de complemento

    10) Ley del doble complemento

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:7

    1. Indique las posiciones donde va falso:

    p q (p ∧ q) ∨ ¬p

    T F 1

    F F 2

    T T 3

    F T 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) ¬ (q ∧ ¬r) ∧ (q ∨ r)

    b) (q ∨ r) ∧ ¬ (¬q ∧ r)

    con su simplificación en la lista:

    1) q ∧ r

    2) q

    3) r

    4) ¬r

    5) q ∨ r

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    (s ∨ p) ∧ ¬ (¬s ∧ p) ≡ (s ∨ p) ∧ (¬¬s ∨ ¬p) por

    ≡ (s ∨ p) ∧ (s ∨ ¬p) por

    ≡ s ∨ (p ∧ ¬p) por

    ≡ s ∨ F por

    ≡ s por

    1) Ley conmutativa

    2) Ley asociativa

    3) Ley de idempotencia

    4) Ley de absorción

    5) Ley de De Morgan

    6) Ley de inversas

    7) Ley de identidad

    8) Ley de la doble negación

    9) Ley de dominación

    10) Ley distributiva

    Respuesta:

    4. Relativos a un cuadrilátero ABCD se tienen las siguientes

    afirmaciones:

    r: ABCD tiene al menos dos lados opuestos paralelos.

    q: ABCD tiene sus lados opuestos iguales.

    p: ABCD tiene sus ángulos opuestos iguales.

    Asocie las afirmaciones:

    a) ABCD tiene sus lados opuestos iguales si y sólo si

    ABCD tiene sus ángulos opuestos iguales.

    b) Si ABCD tiene sus ángulos opuestos iguales, también

    tiene sus lados opuestos iguales.

    c) Si ABCD tiene sus lados opuestos iguales, ABCD tie-

    ne al menos dos lados opuestos paralelos.

    d) Si ABCD no tiene al menos dos lados opuestos para-

    lelos, ABCD no tiene sus ángulos opuestos iguales.

    e) Para que ABCD no tenga sus lados opuestos igua-

    les es necesario y suficiente que ABCD no tenga sus

    ángulos opuestos iguales.

    con su FBF:

    1) ¬r → ¬p

    2) p→ q

    3) ¬q ←→ ¬p

    4) q → r

    5) q ←→ p

    6) p→ r

    Respuesta:

    5. Si:

    p: El equipo A gana su último partido.

    q: El equipo B gana su último partido.

    s: El equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido.

    r: El equipo A queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido, el equipo B no gana su último partido, y el

    equipo A gana su último partido, entonces el equipo

    A queda en primer lugar.

    b) Si el equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido y el equipo B gana su último partido, enton-

    ces el equipo A no queda en primer lugar.

  • 2

    c) Si el equipo C no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo A no queda en primer

    lugar.

    d) Si el equipo A no gana su último partido, entonces el

    equipo A no queda en primer lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) ¬p→ ¬r

    2) s ∧ ¬q → ¬r

    3) (s ∧ ¬q ∧ p)→ r

    4) ¬s→ ¬r

    5) (q ∨ ¬p)→ ¬r

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Si al menos uno de estos dos números es divisible por

    6, su producto será divisible por 6. El producto de es-

    tos números no es divisible por 6. Por tanto, ninguno

    de estos dos números es divisible por 6.

    b) Si este número es mayor que dos, su cuadrado es ma-

    yor que cuatro. El cuadrado de este número no es

    mayor que cuatro. Por tanto, este número no es ma-

    yor que dos.

    c) Este número es irracional o racional. Este número no

    es irracional. Por tanto, este número es racional.

    d) Luis sabe Java y C++. Por tanto, Luis sabe Java.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) cierta(s):

    1) ∃ t,Cuadrado(t) ∧Gris(t)

    2) ∀ t,Gris(t)→ Circulo(t)

    3) ∀ t,Azul(t)→ Triangulo(t)

    4) ∃ t,Triangulo(t) ∨ Blanco(t)

    5) ∃ t,Circulo(t) ∧ Rojo(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∀t ∈ D,P(t)→ R(t)

    b) ∀t ∈ D,R(t) ∧ ¬P(t)

    c) ∃t ∈ D,¬R(t) ∧ P(t)

    d) ∀t ∈ D,¬R(t)→ P(t)

    Dentro de la lista:

    1) ∃t ∈ D,¬R(t) ∧ ¬P(t)

    2) ∀t ∈ D,R(t) ∧ ¬P(t)

    3) ∃t ∈ D,¬R(t) ∧ P(t)

    4) ∃t ∈ D,R(t)→ P(t)

    5) ∀t ∈ D,P(t)→ R(t)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x,Triangulo(x)→ (∃ y,Circulo(y)∧MismoColor(x, y))

    2) ∃x∀ y,MismoColor(x, y)→ MismaForma(x, y)

    3) ∀x∀ y,MismoRenglon(x, y)→ MismaForma(x, y)

    4) ∀x∀ y,MismoColor(x, y)→ MismaForma(x, y)

    5) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧MismoColor(x, y)

    Respuesta:

    10. De acuerdo al diagrama

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 7 3

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) A− C

    b) A ∩B

    c) Cc

    d) A ∪B

    e) C − (A ∪B)

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 3,5}

    2) { 1,2,3,4}

    3) { 2,3}

    4) { 2,3,4,5,6,7}

    5) { 8}

    6) { 3,4,5,7,6}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) (((A ∪D) ∩ A)c

    ∪Dc)c

    b) (A ∪D) ∩ (Ac ∩D)c

    con su simplificación en la lista:

    1) A ∩D

    2) Ac

    3) A ∪D

    4) D

    5) A

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expre-

    sión.Indique en orden las leyes que justifican los pasos in-

    dicados.

    (A ∩ ((Ac ∪B)c

    )) ∪ (A ∩B) = (A ∩ (Acc ∩Bc)) ∪ (A ∩B)

    = (A ∩ (A ∩Bc)) ∪ (A ∩B)

    = ((A ∩ A) ∩Bc) ∪ (A ∩B)

    = (A ∩Bc) ∪ (A ∩B)

    = A ∩ (Bc ∪B)

    = A ∩U

    = A

    1) Ley asociativa

    2) Ley de identidad

    3) Ley conmutativa

    4) Ley de idempotencia

    5) Ley de complemento

    6) Ley de dominación

    7) Ley distributiva

    8) Ley del doble complemento

    9) Ley de absorción

    10) Ley de De Morgan

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:8

    1. Indique las posiciones donde va falso:

    p q (p ∨ q) ∧ ¬p

    F F 1

    T F 2

    F T 3

    T T 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) (q ∨ r) ∧ ¬ (¬q ∧ r)

    b) ((q ∧ ¬r) ∨ ¬ (q ∨ r)) ∧ (q ∨ ¬r)

    con su simplificación en la lista:

    1) q ∨ r

    2) ¬q

    3) ¬r

    4) q ∧ r

    5) q

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    ¬ (p ∨ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬s) ≡ (¬p ∧ ¬¬s) ∨ (¬p ∧ ¬s) por

    ≡ (¬p ∧ s) ∨ (¬p ∧ ¬s) por

    ≡ ¬p ∧ (s ∨ ¬s) por

    ≡ ¬p ∧ T por

    ≡ ¬p por

    1) Ley de identidad

    2) Ley distributiva

    3) Ley de absorción

    4) Ley conmutativa

    5) Ley asociativa

    6) Ley de dominación

    7) Ley de idempotencia

    8) Ley de De Morgan

    9) Ley de la doble negación

    10) Ley de inversas

    Respuesta:

    4. Relativos a un triángulo ABC se tienen las siguientes afir-

    maciones:

    q: ABC es isósceles.

    p: ABC es equilátero.

    r: ABC es equiangular.

    Asocie las afirmaciones:

    a) ABC es equilátero cuando y sólo cuando ABC es

    equiangular.

    b) Que ABC sea isósceles se requiere para que ABC sea

    equiangular.

    c) ABC equilátero, implica que ABC es equiangular.

    d) Para que ABC no sea equilátero es necesario y sufi-

    ciente que ABC no sea equiangular.

    e) ABC necesita ser isósceles para que sea equilátero.

    con su FBF:

    1) r → q

    2) ¬p←→ ¬r

    3) p←→ r

    4) ¬q → ¬r

    5) p→ r

    6) p→ q

    Respuesta:

    5. Si:

    r: El equipo C gana su último partido.

    q: El equipo B gana su último partido.

    p: El equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido.

    s: El equipo C queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo A pierde por más de dos goles su último

    partido, el equipo B no gana su último partido, y el

    equipo C gana su último partido, entonces el equipo

    C queda en primer lugar.

    b) Si el equipo B gana su último partido o el equipo C

    no gana su último partido, entonces el equipo C no

    queda en primer lugar.

    c) Si el equipo A no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo C no queda en primer

    lugar.

  • 2

    d) Si el equipo A no pierde por más de dos goles su

    último partido o el equipo B gana su último partido,

    entonces el equipo C no queda en primer lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) (q ∨ ¬r)→ ¬s

    2) p ∧ ¬q → ¬s

    3) (¬p ∨ q)→ ¬s

    4) ¬p→ ¬s

    5) (p ∧ ¬q ∧ r)→ s

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Si al menos uno de estos dos números es divisible por

    6, su producto será divisible por 6. El producto de es-

    tos números no es divisible por 6. Por tanto, ninguno

    de estos dos números es divisible por 6.

    b) Si voy al cine, entonces yo no terminaré mi tarea.

    Si yo no termino mi tarea, entonces yo no haré un

    buen examen. Por tanto, si voy al cine entonces yo

    no haré un buen examen.

    c) Si este programa está correcto, producirá los resulta-

    dos esperados con los datos del profesor. Este progra-

    ma no produce los resultados esperados con los datos

    del profesor. Por tanto, este programa es incorrecto.

    d) Este número es irracional o racional. Este número no

    es irracional. Por tanto, este número es racional.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) cierta(s):

    1) ∀ t,Rojo(t)→ Cuadrado(t) ∨ Circulo(t)

    2) ∀ t,Azul(t)→ Triangulo(t)

    3) ∀ t,Cuadrado(t)→ Rojo(t)

    4) ∀ t,Circulo(t)→ Gris(t)

    5) ∀ t,Triangulo(t)→ Azul(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∀t ∈ D,¬S(t)→ R(t)

    b) ∃t ∈ D, S(t) ∧ ¬R(t)

    c) ∃t ∈ D, S(t)→ ¬R(t)

    d) ∃t ∈ D, S(t)→ R(t)

    Dentro de la lista:

    1) ∀t ∈ D, S(t)→ R(t)

    2) ∃t ∈ D,¬S(t) ∧ ¬R(t)

    3) ∃t ∈ D,¬S(t) ∧ R(t)

    4) ∀t ∈ D, S(t) ∧ R(t)

    5) ∀t ∈ D, S(t) ∧ ¬R(t)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x,Triangulo(x)→ (∃ y,Circulo(y)∧MismoColor(x, y))

    2) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧ MismaForma(x, y) ∧

    ¬MismoColor(x, y)

    3) ∀x,Estrella(x)→ (∃ y,Circulo(y)∧MismoColor(x, y))

    4) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧MismoColor(x, y)

    5) ∀x∀ y,MismaColumna(x, y)→ MismaForma(x, y)

    Respuesta:

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 8 3

    10. De acuerdo al diagrama

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) A ∪ (B ∩C)

    b) Cc

    c) A−B

    d) C − (A ∩B)

    e) A ∪ C

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 2,3,5,6,7,8}

    2) { 1,2,3,4}

    3) { 2,6}

    4) { 5,7}

    5) { 2,3,5,6,7}

    6) { 6,7,8}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) (E ∪ A) ∩ (Ec ∩ A)c

    b) (E ∪ Ac)c

    ∪ (Ec ∩ Ac)

    con su simplificación en la lista:

    1) E

    2) E ∩ A

    3) A

    4) Ac

    5) Ec

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expre-

    sión.Indique en orden las leyes que justifican los pasos in-

    dicados.

    (A ∪Dc)c

    ∪ (Ac ∩Dc) = (Ac ∩ (Dc)c

    ) ∪ (Ac ∩Dc) por

    = (Ac ∩D) ∪ (Ac ∩Dc) por

    = Ac ∩ (D ∪Dc) por

    = Ac ∩U por

    = Ac por

    1) Ley de absorción

    2) Ley de dominación

    3) Ley distributiva

    4) Ley de complemento

    5) Ley asociativa

    6) Ley de De Morgan

    7) Ley de identidad

    8) Ley del doble complemento

    9) Ley de idempotencia

    10) Ley conmutativa

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:9

    1. Indique las posiciones donde va falso:

    p q (p ∨ q) ∧ ¬p

    T F 1

    T T 2

    F T 3

    F F 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) ¬ (¬ ((s ∨ r) ∧ s) ∨ ¬r)

    b) ((r ∧ ¬s) ∨ s) ∨ (s ∧ r)

    con su simplificación en la lista:

    1) s ∧ r

    2) ¬s

    3) s

    4) s ∨ r

    5) r

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican cada paso.

    (r ∧ ¬p) ∨ (r ∧ p) ≡ r ∧ (¬p ∨ p) por

    ≡ r ∧ (p ∨ ¬p) por

    ≡ r ∧ T por

    ≡ r por

    1) Ley de idempotencia

    2) Ley de inversas

    3) Ley conmutativa

    4) Ley de la doble negación

    5) Ley de dominación

    6) Ley distributiva

    7) Ley asociativa

    8) Ley de identidad

    9) Ley de De Morgan

    10) Ley de absorción

    Respuesta:

    4. Relativos a un triángulo ABC se tienen las siguientes afir-

    maciones:

    p: ABC es isósceles.

    r: ABC es equilátero.

    q: ABC es equiangular.

    Asocie las afirmaciones:

    a) Si ABC no es isósceles, ABC no es equiangular.

    b) Si ABC es equiangular, también es equilátero.

    c) ABC es equilátero cuando y sólo cuando ABC es

    equiangular.

    d) A fin de que ABC sea isósceles basta que ABC sea

    equilátero.

    e) Para que ABC no sea equilátero es necesario y sufi-

    ciente que ABC no sea equiangular.

    con su FBF:

    1) ¬p→ ¬q

    2) ¬r ←→ ¬q

    3) r ←→ q

    4) ¬p→ ¬r

    5) q → r

    6) r → p

    Respuesta:

    5. Si:

    s: El equipo A gana su último partido.

    r: El equipo B gana su último partido.

    q: El equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido.

    p: El equipo A queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo C no pierde por más de dos goles su

    último partido o el equipo B gana su último partido,

    entonces el equipo A no queda en primer lugar.

    b) Si el equipo A no gana su último partido, entonces el

    equipo A no queda en primer lugar.

    c) Si el equipo C no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo A no queda en primer

    lugar.

    d) Si el equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido, el equipo B no gana su último partido, y el

    equipo A gana su último partido, entonces el equipo

    A queda en primer lugar.

  • 2

    Con su expresión de la lista:

    1) ¬q → ¬p

    2) (¬q ∨ r)→ ¬p

    3) r → ¬p

    4) (q ∧ ¬r ∧ s)→ p

    5) ¬s→ ¬p

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Si este número es mayor que dos, su cuadrado es ma-

    yor que cuatro. El cuadrado de este número no es

    mayor que cuatro. Por tanto, este número no es ma-

    yor que dos.

    b) Laura sabe PHP o Laura sabe C++. Laura no sabe

    C++. Por tanto, Laura sabe PHP.

    c) Si Alberto resuelve correctamente el problema, Al-

    berto obtendrá como respuesta 2. Alberto resolvió co-

    rrectamente el problema. Por tanto, Alberto obtuvo

    como respuesta 2.

    d) Este número es irracional o racional. Este número no

    es racional. Por tanto, este número es irracional.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) cierta(s):

    1) ∀ t,Circulo(t)→ Gris(t)

    2) ∃ t,Cuadrado(t) ∧DerechaDe(g, t)

    3) ∀ t,Gris(t)→ Circulo(t)

    4) ∀ t,Rojo(t)→ Cuadrado(t) ∨ Circulo(t)

    5) ∀ t,Azul(t)→ Triangulo(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∀y ∈ D, S(y) ∧ ¬R(y)

    b) ∀y ∈ D,¬S(y)→ R(y)

    c) ∃y ∈ D,¬S(y) ∧ R(y)

    d) ∃y ∈ D, S(y)→ ¬R(y)

    Dentro de la lista:

    1) ∀y ∈ D, S(y) ∧ R(y)

    2) ∃y ∈ D,¬S(y) ∧ ¬R(y)

    3) ∃y ∈ D, S(y)→ R(y)

    4) ∃y ∈ D, S(y) ∧ ¬R(y)

    5) ∀y ∈ D,R(y)→ S(y)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

    1) ∀x∀ y,MismaColumna(x, y)→ MismoColor(x, y)

    2) ∀x∀ y,MismoRenglon(x, y)→ MismaForma(x, y)

    3) ∀x∀ y,MismoColor(x, y)→ MismaForma(x, y)

    4) ∀x,Triangulo(x)→ (∃ y,Estrella(y)∧MismoColor(x, y))

    5) ∀x,Estrella(x)→ (∃ y,Triangulo(y)∧MismoColor(x, y))

    Respuesta:

    10. De acuerdo al diagrama

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 9 3

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) C ∪ (A ∩B)

    b) A ∩B

    c) A− (B ∩ C)

    d) Bc

    e) C −B

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 6,8}

    2) { 4}

    3) { 3,5,6,7,8}

    4) { 1,2,6,8}

    5) { 3,5}

    6) { 2,3,6}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) ((E ∩ Cc) ∪ (E ∪C)c

    ) ∩ (E ∪ Cc)

    b) ((C ∩ Ec) ∪ E) ∪ (E ∩ C)

    con su simplificación en la lista:

    1) E ∩ C

    2) C

    3) Cc

    4) E ∪ C

    5) Ec

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expresión. In-

    dique en orden las leyes que justifican cada paso.

    (C ∩Dc) ∪ (C ∩D) = C ∩ (Dc ∪D) por

    = C ∩ (D ∪Dc) por

    = C ∩U por

    = C por

    1) Ley conmutativa

    2) Ley del doble complemento

    3) Ley de De Morgan

    4) Ley de absorción

    5) Ley de dominación

    6) Ley de identidad

    7) Ley de complemento

    8) Ley distributiva

    9) Ley asociativa

    10) Ley de idempotencia

    Respuesta:

  • 4

  • Matemáticas Discretas

    Examen No 1: Lógica y Conjuntos

    Curso Apoyo CENEVAL, Enero-Mayo 2010, Maestro Eduardo Uresti

    Grupo: Matŕıcula: Nombre: Tipo:10

    1. Indique las posiciones donde va verdadero:

    p q (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)

    T T 1

    T F 2

    F F 3

    F T 4

    Respuesta:

    2. Indique en orden las opciones que relacionan las FBF:

    a) (q ∨ s) ∧ ¬ (¬q ∧ s)

    b) ¬ (q ∧ ¬s) ∧ (q ∨ s)

    con su simplificación en la lista:

    1) q

    2) q ∧ s

    3) s

    4) ¬s

    5) ¬q

    Respuesta:

    3. En el siguiente argumento se simplifica una FBF. Indique

    en orden las leyes que justifican los pasos indicados.

    ¬ (¬ ((t ∨ r) ∧ q) ∨ ¬r) ≡ ¬¬ ((t ∨ r) ∧ q) ∧ ¬¬r por

    ≡ ((t ∨ r) ∧ q) ∧ r por

    ≡ (t ∨ r) ∧ (q ∧ r)

    ≡ (t ∨ r) ∧ r ∧ q

    ≡ ((t ∨ r) ∧ r) ∧ q por

    ≡ (r ∧ (r ∨ t)) ∧ q por

    ≡ r ∧ q por

    1) Ley de De Morgan

    2) Ley conmutativa

    3) Ley de dominación

    4) Ley de identidad

    5) Ley asociativa

    6) Ley de idempotencia

    7) Ley distributiva

    8) Ley de la doble negación

    9) Ley de absorción

    10) Ley de inversas

    Respuesta:

    4. Relativos a un cuadrilátero ABCD se tienen las siguientes

    afirmaciones:

    q: ABCD tiene al menos dos lados opuestos paralelos.

    r: ABCD tiene sus lados opuestos iguales.

    p: ABCD tiene sus ángulos opuestos iguales.

    Asocie las afirmaciones:

    a) Que ABCD tenga sus ángulos opuestos iguales se re-

    quiere para que ABCD tenga sus lados opuestos igua-

    les.

    b) Que ABCD tenga sus ángulos opuestos iguales, im-

    plica que ABCD tiene al menos dos lados opuestos

    paralelos.

    c) ABCD no tiene sus lados opuestos iguales si y sólo si

    ABCD no tiene sus ángulos opuestos iguales.

    d) A fin de que ABCD no tenga sus lados opuestos igua-

    les basta que ABCD no tenga al menos dos lados

    opuestos paralelos.

    e) ABCD necesita tener sus lados opuestos iguales para

    que se tenga sus ángulos opuestos iguales.

    con su FBF:

    1) ¬q → ¬p

    2) ¬q → ¬r

    3) p→ q

    4) p→ r

    5) r → p

    6) ¬r ←→ ¬p

    Respuesta:

    5. Si:

    p: El equipo A gana su último partido.

    q: El equipo B gana su último partido.

    r: El equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido.

    s: El equipo A queda en primer lugar.

    Asocie cada expresión de la lista:

    a) Si el equipo C no pierde por más de dos goles su

    último partido o el equipo B gana su último partido,

    entonces el equipo A no queda en primer lugar.

  • 2

    b) Si el equipo C pierde por más de dos goles su último

    partido, el equipo B no gana su último partido, y el

    equipo A gana su último partido, entonces el equipo

    A queda en primer lugar.

    c) Si el equipo C no pierde por más de dos goles su últi-

    mo partido, entonces el equipo A no queda en primer

    lugar.

    d) Si el equipo A no gana su último partido, entonces el

    equipo A no queda en primer lugar.

    Con su expresión de la lista:

    1) (r ∧ ¬q ∧ p)→ s

    2) ¬r → ¬s

    3) q → ¬s

    4) (¬r ∨ q)→ ¬s

    5) ¬p→ ¬s

    Respuesta:

    6. Para cada argumento, indique cuál es la regla de inferencia

    que garantiza su validez:

    a) Si este programa está correcto, producirá los resulta-

    dos esperados con los datos del profesor. Este progra-

    ma no produce los resultados esperados con los datos

    del profesor. Por tanto, este programa es incorrecto.

    b) Si voy al cine, entonces yo no terminaré mi tarea.

    Si yo no termino mi tarea, entonces yo no haré un

    buen examen. Por tanto, si voy al cine entonces yo

    no haré un buen examen.

    c) Si al menos uno de estos dos números es divisible por

    6, su producto será divisible por 6. El producto de es-

    tos números no es divisible por 6. Por tanto, ninguno

    de estos dos números es divisible por 6.

    d) Si Alejandro resuelve correctamente el problema, Ale-

    jandro obtendrá como respuesta 2. Alejandro resol-

    vió correctamente el problema. Por tanto, Alejandro

    obtuvo como respuesta 2.

    De acuerdo a la lista:

    1) Modus ponens

    2) Modus tollens

    3) Adición disjuntiva

    4) Simplificación conjuntiva

    5) Adición conjuntiva

    6) Silogismo disjuntivo

    7) Silogismo hipotético

    Respuesta:

    7. De acuerdo a diagrama:

    a

    c

    g

    b

    d

    f

    i

    k

    e

    h

    j

    Indique cuál(es) afirmación(es) es(son) falsa(s):

    1) ∀ t,Rojo(t)→ Cuadrado(t) ∨ Circulo(t)

    2) ∃ t,Circulo(t) ∧ Rojo(t)

    3) ∃ t,Cuadrado(t) ∧ArribaDe(f, t)

    4) ∀ t,Gris(t)→ Circulo(t)

    5) ∀ t,Azul(t)→ Triangulo(t)

    Respuesta:

    8. Indique en orden la opción que contiene la negación de

    cada expresión:

    a) ∀z ∈ D,¬P(z)→ S(z)

    b) ∃z ∈ D,P(z)→ ¬S(z)

    c) ∃z ∈ D,P(z)→ S(z)

    d) ∃z ∈ D,P(z) ∧ ¬S(z)

    Dentro de la lista:

    1) ∃z ∈ D,¬P(z) ∧ ¬S(z)

    2) ∃z ∈ D, S(z)→ P(z)

    3) ∀z ∈ D,P(z) ∧ S(z)

    4) ∀z ∈ D,P(z)→ S(z)

    5) ∀z ∈ D,P(z) ∧ ¬S(z)

    Respuesta:

    9. De acuerdo a diagrama:

    Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

  • TC1003, Examen No 1: Lógica y Conjuntos, Tipo: 10 3

    1) ∀x∀ y,MismaColumna(x, y)→ MismoColor(x, y)

    2) ∀x,Circulo(x)→ (∃ y,Triangulo(y)∧MismoColor(x, y))

    3) ∀x∃ y, (x 6= y) ∧ MismaForma(x, y) ∧

    ¬MismoColor(x, y)

    4) ∀x,Estrella(x)→ (∃ y,Circulo(y)∧MismoColor(x, y))

    5) ∀x,Estrella(x)→ (∃ y,Triangulo(y)∧MismoColor(x, y))

    Respuesta:

    10. De acuerdo al diagrama

    A B

    C

    U1

    2 3 4

    56 7

    8

    Relacione cada FBF de la lista :

    a) C −A

    b) B ∪ (A ∩C)

    c) A ∪B

    d) B ∩ C

    e) C − (A ∪B)

    Con la lista de zonas involucradas :

    1) { 5,7}

    2) { 7,8}

    3) { 8}

    4) { 3,4,5,7,6}

    5) { 2,3,4,5,6,7}

    6) { 3,4,7}

    Respuesta:

    11. Indique en orden las opciones que relacionan:

    a) (D ∪ C) ∩ (Dc ∩ C)c

    b) (((D ∪ C) ∩D)c

    ∪ Cc)c

    con su simplificación en la lista:

    1) Cc

    2) D ∪ C

    3) D

    4) D ∩ C

    5) Dc

    Respuesta:

    12. En el siguiente argumento se simplifica una expre-

    sión.Indique en orden las leyes que justifican los pasos in-

    dicados.

    (E ∪Dc)c ∪ (Ec ∩Dc) = (Ec ∩ (Dc)c) ∪ (Ec ∩Dc) por

    = (Ec ∩D) ∪ (Ec ∩Dc) por

    = Ec ∩ (D ∪Dc) por

    = Ec ∩U por

    = Ec por

    1) Ley asociativa

    2) Ley de idempotencia

    3) Ley de complemento

    4) Ley conmutativa

    5) Ley de dominación

    6) Ley del doble complemento

    7) Ley distributiva

    8) Ley de absorción

    9) Ley de De Morgan

    10) Ley de identidad

    Respuesta: