matemáticas avanzadas para ingeniería: transformada...

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  • MatematicasAvanzadas

    paraIngeniera:

    TransformadaZ

    Departamentode

    Matematicas

    X (z)

    Z {an u(n)}

    Linealidad

    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Matematicas Avanzadas para Ingeniera:Transformada Z

    Departamento de Matematicas

    MA3002

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    X (z)

    Z {an u(n)}

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    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Transformada zEn lo siguiente, para representar sucesiones utilizaremos lanotacion x(n) en lugar de {xn}; x(i) representara el valor deltermino i-esimo de la sucesion. Para nostros, las sucesionesrepresentaran senales ideales cuyo valor exacto en el tiempot = n es conocido. Una senal o sucesion se dice causal si todoslos valores anteriores al instante 0 son cero; es decir, six(n) = 0 para n < 0. Para una sucesion x(n) definiremos latransformada Z unilateral de x(n) como la serie

    Z {x(n)} =n=0

    x(n)zn = x(0)+x(1) z1+x(2) z2+x(3) z3+

    Para simplificar la notacion, representaremos a las sucesionespor letras minusculas, como x(n), y a su transformada Z larepresentaremos simplemente como la letra mayusculacorrespondiente aplicada a la variable compleja z . As

    Z {x(n)} = X (z), Z {y(n)} = Y (z), Z {h(n)} = H(z), etc

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    X (z)

    Z {an u(n)}

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    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Ejemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:

    (n) : (0) = 1, (1) = 0, (2) = 0, (3) = 0, . . .

    determine su transformada z .

    1

    1 0 1 2 3 4 5

    (n)

    (n 3)

    SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1). Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, (n m), es:

    (n m) zm, |z | > 0

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    X (z)

    Z {an u(n)}

    Linealidad

    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Ejemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:

    (n) : (0) = 1, (1) = 0, (2) = 0, (3) = 0, . . .

    determine su transformada z .

    1

    1 0 1 2 3 4 5

    (n)

    (n 3)

    SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1).

    Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, (n m), es:

    (n m) zm, |z | > 0

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    X (z)

    Z {an u(n)}

    Linealidad

    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Ejemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:

    (n) : (0) = 1, (1) = 0, (2) = 0, (3) = 0, . . .

    determine su transformada z .

    1

    1 0 1 2 3 4 5

    (n)

    (n 3)

    SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1). Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, (n m), es:

    (n m) zm, |z | > 0

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    X (z)

    Z {an u(n)}

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    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Ejemplo 2Determine la transformada Z de una sucesion cuyos unicosvalores diferentes de cero son:

    x(0) = 1.1, x(2) = 1.0, x(4) = 0.5

    1

    1

    1 0 1 2 3 4 5 6 7

    x(n)

    SolucionLos instantes donde no es cero da las potencias negativas queaparecen en X (z) mientras que los valores son los coeficientes:

    X (z) = 1.1 1.0 z2 + 0.5 z4 = 1.1 z4 1.0 z2 + 0.5

    z4

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    Z {an u(n)}

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    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Ejemplo 2Determine la transformada Z de una sucesion cuyos unicosvalores diferentes de cero son:

    x(0) = 1.1, x(2) = 1.0, x(4) = 0.5

    1

    1

    1 0 1 2 3 4 5 6 7

    x(n)

    SolucionLos instantes donde no es cero da las potencias negativas queaparecen en X (z) mientras que los valores son los coeficientes:

    X (z) = 1.1 1.0 z2 + 0.5 z4 = 1.1 z4 1.0 z2 + 0.5

    z4

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    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Ejemplo 3Determine la transformada Z de una sucesion geometrica de laforma an u(n)

    0 < a < 11

    1 0 1 2 3 4 5 6 7

    a > 1

    SolucionDirectamente de la definicion:

    X (z) =n=0

    an zn =n=0

    (az

    )n=

    z

    z a, para |z | > |a|

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    Atraso

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    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    Ejemplo 3Determine la transformada Z de una sucesion geometrica de laforma an u(n)

    0 < a < 11

    1 0 1 2 3 4 5 6 7

    a > 1

    SolucionDirectamente de la definicion:

    X (z) =n=0

    an zn =n=0

    (az

    )n=

    z

    z a, para |z | > |a|

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    Linealidad

    Atraso

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    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

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    Ejemplo 3 (resumen)

    an u(n) zz a

    , |z | > |a|

    Region de convergencia

    Region de divergencia

    a, polo

    0, cero

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    Z {an u(n)}

    Linealidad

    Atraso

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    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    LinealidadLa transformada Z cumple la propiedad de linealidad: Si x(n) yy(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n enellas):

    Z {a x(n) + b y(n)} = a Z {x(n)}+ b Z {y(n)}

    Ejemplo 4Tomando la transformada de la sucesion geometrica paraa = e i tenemos:

    Z{en i u(n)

    }= Z

    {(e i)n

    u(n)}

    =z

    z e i, |z | > 1

    Como sen( n) = 12 i ei n 12 i e

    i n as:

    Z {sen( n) u(n)} =12 i z

    z ei

    12 i z

    z e+i=

    z sen()

    z2 2 z cos() + 1

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    Z {an u(n)}

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    Atraso

    Adelanto

    Convolucion

    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

    Referencias

    LinealidadLa transformada Z cumple la propiedad de linealidad: Si x(n) yy(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n enellas):

    Z {a x(n) + b y(n)} = a Z {x(n)}+ b Z {y(n)}

    Ejemplo 4Tomando la transformada de la sucesion geometrica paraa = e i tenemos:

    Z{en i u(n)

    }= Z

    {(e i)n

    u(n)}

    =z

    z e i, |z | > 1

    Como sen( n) = 12 i ei n 12 i e

    i n as:

    Z {sen( n) u(n)} =12 i z

    z ei

    12 i z

    z e+i=

    z sen()

    z2 2 z cos() + 1

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    Atraso

    Adelanto

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    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

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    Ejemplo 5Determine la transformada Z de la senal geometrica truncada:

    x(n) =

    {an para 0 n no0 para no + 1 n

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    Z {n x(n)}

    Z {an x(n)}

    Z{n

    m=0 x(n)}

    Valores dex(n)

    Semiperiodica

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    Ejemplo 5Determine la transformada Z de la senal geometrica truncada:

    x(n) =

    {an para 0 n no0 para no + 1 n

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