Aplicaciones Financieras de Excel con Matemáticas Financieras

Aplicaciones Financieras de Excel con Matemticas Financieras1.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Introduccin Capitalizacin y descuento Inters Simple Tipos deplazos de los intereses Descuentos Valor del dinero en el tiempoFlujos variables Las anualidades Las perpetuidades El inters Tasasde inters y descuento equivalente La Inflacin y la Tasa de IntersPrstamo Sistema Financiero Amortizacin Bibliografa

1. Introduccin No sabemos a ciencia cierta cuando aparecieron,pero de lo que si estamos seguros es que la Matemtica Financiera esuna derivacin de las matemticas aplicadas que estudia el valor deldinero en el tiempo y que a travs de una serie de modelosmatemticos llamados criterios permiten tomar las decisiones msadecuadas en los proyectos de inversin. El lector debe establecer yanalizar el concepto de Matemtica Financiera, as como susprincipios y elementos bsicos. Del mismo modo, debe relacionar elestudio de las matemticas financieras con la prctica empresarial.Para la solucin de los ejemplos, casos y ejercicios aplicamos enforma combinada las frmulas y las funciones financieras de Excel osimplemente la funcin, siguiendo un proceso bsico:1. Identificaciny ordenamiento de los datos,

2. Aplicacin de la frmula o frmulas y, 3. Empleo de lasfunciones financieras de Excel. Cuando operamos con porcentajes, lohacemos en su expresin decimal (0.20), por ejemplo 20% = 0.20(20/100), que es la forma correcta de trabajar con las frmulas. Losresultados de las operaciones lo expresamos generalmente con cincoo cuatro decimales, en el caso de los factores o ndices. Las

respuestas finales de los ejercicios vienen con dos decimales.En ambos casos los resultados son redondeados por exceso o pordefecto. Las funciones financieras ms utilizadas en la obra son:PER (tasa;pago;va;vf;tipo); PAGO (tasa;nper;va;vf;tipo); TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar); VA (tasa;nper;pago;vf;tipo); VF(tasa;nper;pago;va;tipo) y la opcin Buscar Objetivo del menherramientas, entre otras. 2. Capitalizacin y descuentoConsideramos dos tipos de inters: el inters simple y el interscompuesto. 3. Inters Simple Una operacin financiera es a interssimple cuando el inters es calculado sobre el capital (o principal)original y para el perodo completo de la transaccin. En otraspalabras, no hay capitalizacin de intereses. Nomenclatura bsica:Smbolo Significando VA Capital, principal, Valor Actual expresadoen unidades monetarias VF Capital ms el inters, monto, Valor Futuroexpresado en unidades monetarias j Tasa nominal o la tasa de intersanual t Nmero de aos, tiempo, m Nmero de capitalizaciones por ao nNmero de perodos de composicin i Tasa peridica TEA Tasa EfectivaAnual VAN Valor Actual Neto TIR Tasa Interna de Retorno C Anualidado cuota uniforme VA Valor presente de una anualidad VF Valor futurode una anualidad ia Tasa de inters anticipada iv Tasa de intersvencida UM Unidad Monetaria

3.1. Conceptos bsicos Los empresarios que obtienen dineroprestado tienen que pagar un inters (I) al propietario o a laentidad financiera por usar su dinero. La cantidad prestada es elcapital o principal (VA o P), la suma de ambos (capital ms inters)recibe el nombre de monto (VF); el perodo de tiempo acordado parala devolucin del prstamo es el plazo (n). El inters cobrado esproporcional tanto al capital como al perodo del prstamo, estexpresado por medio de una tasa de inters (i). Para la teoraeconmica, el inters es el precio del dinero. Cuando slo paganintereses sobre el principal, es decir, sobre la totalidad deldinero prestado, se denomina inters simple. Frmula del interssimple: El inters es el producto de los tres factores, capital(VA), tiempo (n) y tasa (i), as tenemos:

Que viene a ser la frmula o ecuacin para calcular el interssimple. EJERCICIO 1 (Calculando el inters simple) Una Caja Rural,paga el 6% sobre los depsitos a plazos. Determinar el pago anualpor inters sobre un depsito de UM 18,000. Solucin: VA = 18,000; n =1; i = 0.06; I = ? [1] I = 18,000*1*0.06 = UM 1,080 Respuesta: LaCaja Rural paga anualmente sobre este depsito la suma de UM 1,080.EJERCICIO 2 (Prstamo a MYPES) Un Banco obtiene fondos al costo de12% y presta a los microempresarios al 58.6% anual, ganndose as el46.6% bruto. Si los ingresos anuales que obtuvo de esta formafueron de UM 500,000, cunto dinero prest? Solucin I = 500,000; n =1; i = 0.466; VA = ? [1] 500,000 = VA*1*0.466 despejamos VA:

Respuesta: El Banco prest UM 1072,961.37 EJERCICIO 3 (Calculandoel plazo de una inversin) Una entidad financiera invirti UM 250,000al 17.6% en hipotecas locales y gan UM 22,000. Determinar el tiempoque estuvo invertido el dinero. Solucin VA = 250,000; I = 22,000; i= 0.176; n = ? Despejamos n de la frmula [1] I = VA*n*i

Respuesta: El dinero estuvo invertido durante medio ao.EJERCICIO 4 (Calculando la tasa i de inters) Si una empresahipotecaria tiene invertido UM 320,000 durante 3 aos a interssimple y obtiene en total UM 146,250 de ingresos, cul es la tasa deinters?. Solucin I = 146,250; VA = 320,000; n = 3.5; i = ?Despejamos i de la frmula [1] I = VA*n*i:

Respuesta: La empresa hipotecaria obtuvo el 13% sobre suinversin. 3.2. Monto El monto es la suma obtenida aadiendo elinters al capital, esto es: MONTO = CAPITAL + INTERES Reemplazandoen [1] por sus respectivos smbolos, obtenemos la frmula generalpara el monto:

Frmula para el monto (VF) a inters simple de un capital VA, quedevenga inters a la tasa i durante n aos.

De donde:

4. Tipos de plazos de los intereses Generalmente conocemos dostipos de plazos: a) Inters Comercial o Bancario. Presupone que unao tiene 360 das y cada mes 30 das. b) Inters Exacto. Tiene su baseen el calendario natural: un ao 365 o 366 das, y el mes entre 28,29, 30 o 31 das. El uso del ao de 360 das simplifica los clculos,pero aumenta el inters cobrado por el acreedor, es de uso normalpor las entidades financieras. La mayora de ejercicios en lapresente obra consideran el ao comercial; cuando utilicemos elcalendario natural indicaremos operar con el inters exacto.EJERCICIO 5 (Inters Simple Comercial) Jorge deposita UM 2,300, enuna libreta de ahorros al 9% anual, cunto tendr despus de 9 meses?.1 Expresamos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual: Solucin:VA = 2,300; i = 0.0075; n = 9; VF = ? 2 Aplicamos la frmula [2] yExcel: [2] VF = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = UM 2,455.25

Respuesta: El valor futuro es UM 2,455.25 EJERCICIO 6 (IntersSimple Exacto) Un pequeo empresario, con utilidades por UM 5,000los deposita en una libreta de ahorros en un banco al 9.7% anual.Calcular cuanto tendr al final de 8 meses.

1 Expresamos el plazo en aos: (8 meses por 30 das = 240 das)240/365 = 0.6575 aos Solucin: VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF= ? 2 Aplicamos la frmula (2) y Excel: [2] VF = 5,000 *[1 +(0.097*0.6575)] = UM 5,318.89

Respuesta: El pequeo empresario tendr al final de los 8 meses UM5,318.89 5. Descuentos Es una operacin de crdito llevada a caboprincipalmente en instituciones bancarias y consiste en que estasadquieren letras de cambio, pagars, facturas, etc. de cuyo valornominal descuentan una suma equivalente a los intereses quedevengara el documento entre la fecha recibida y la fecha devencimiento. Anticipan el valor actual del documento. La formulapara el clculo del descuento es: Donde: D = descuento VF o VN =valor del pagar o documento (monto), valor nominal d = tasa dedescuento n = nmero de perodos hasta el vencimiento del pagar Otrasfrmulas del descuento: Despejando de la frmula [6] tenemos: [7] VN= VA + D [8] VA = VN – D [9] D = VN – VA Sustituimos el valor de VFen la formula [6]: D =[VA + D]n*d

D =VA*b*d + D*n*d y pasando el segundo termino tenemos D D*n*d =VA*n*d

EJERCICIO 7 (Pagar) Tenemos un pagar por UM 185,000, girado el15/09/03 y con vencimiento al 15/11/03, con una tasa de descuentode 50% anual. Determinar el descuento y el valor actual deldocumento. Solucin: VN = 185,000; n = 2 meses; d = (0.50/12) =0.0417; D = ?; VA = ?

Respuesta: El descuento es de UM 15,416.64 y el valor actual deldocumento es de UM 169,583.33. EJERCICIO 8 (Descuento de pagar) Unaempresa descuenta un pagar y recibe UM 20,000. Si la tasa dedescuento es del 66% anual y el vencimiento es en tres meses despusdel descuento. Cul era el valor nominal del documento en la fechade vencimiento?. Solucin: VA = 20,000; d = (0.66/12) = 0.055; n =3; VF = ?

[7] VF = 20,000 + 3,300 = UM 23,300 Respuesta: El valor nominal(VF) del documento en la fecha de vencimiento es UM 23,300.EJERCICIO 9 (Descuento de letra) Una empresa descuenta una letrapor la cual recibe UM 2,520. Si la tasa de descuento es de 66% y elvalor nominal de UM 2,950. Cunto tiempo faltaba para el vencimientode la obligacin?. Solucin: VN = 2,950; VA = 2,520; d = (0.66/12) =0.055; D = ? [9] D = 2,950 – 2,520 = UM 430.00 Despejando n de lafrmula (6) D = VN *n*i obtenemos:

Respuesta: Faltaba para el vencimiento 2 meses y 20 das. 6.Valor del dinero en el tiempo El tiempo (plazo) es fundamental a lahora de establecer el valor de un capital. Una unidad monetaria hoyvale ms que una unidad monetaria a ser recibida en el futuro. UnaUM disponible hoy puede invertirse ganando una tasa de inters conun rendimiento mayor a una UM en el futuro. Las matemticas delvalor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM atravs del tiempo. Esto, depende de la tasa de rentabilidad o tasade inters que pueda lograrse en la inversin. El valor del dinero enel tiempo tiene aplicaciones en muchas reas de las finanzas elpresupuesto, la valoracin de bonos y la valoracin accionaria. Porejemplo, un bono paga intereses peridicamente hasta que el valornominal del mismo es reembolsado. Los conceptos de valor del dineroen el tiempo estn agrupados en dos reas: el valor futuro y valoractual. El valor futuro (VF Capitalizacin) describe el proceso decrecimiento de una inversin a futuro a una tasa de inters y en unperodo dado. El valor actual (VA – Actualizacin) describe elproceso de un flujo de dinero futuro que a una tasa de descuento yen un perodo representa UM de hoy. 6.1. Valor futuro de un flujonico El valor futuro de un flujo nico representa la cantidadfutura, de una inversin efectuada hoy y que crecer si invertimos auna tasa de inters especfica. Por ejemplo, si el da de hoydepositamos UM 100 en una libreta de ahorros que paga una tasa deinters de 9% compuesto anualmente, esta inversin crecer a UM 109 enun ao. Esto puede mostrarse como sigue: Ao 1: UM 100(1 + 0.09) = UM109 Al final de dos aos, la inversin inicial habr crecido a UM118.81. Como vemos la inversin gan UM 9.81 de inters durante elsegundo ao y slo gan UM 9 de inters durante el primer ao. As, en elsegundo ao, gan no slo inters la inversin inicial de UM 100 sinotambin los UM 9 al final del primer ao. Esto sucede porque es unatasa de inters compuesta. 6.2. El Inters compuesto El interscompuesto es una frmula exponencial y en todas las frmulasderivadas de ella debemos operar nicamente con la tasa

efectiva. La tasa peridica tiene la caracterstica de ser a lavez efectiva y nominal, sta tasa es la que debemos utilizar en lasfrmulas del inters compuesto. Con el inters compuesto, pagamos oganamos no solo sobre el capital inicial sino tambin sobre elinters acumulado, en contraste con el inters simple que slo paga ogana intereses sobre el capital inicial. Una operacin financiera esa inters compuesto cuando el plazo completo de la operacin (porejemplo un ao) est dividido en perodos regulares (por ejemplo unmes) y el inters devengado al final de cada uno de ellos esagregado al capital existente al inicio. As, el inters ganado encada perodo percibir intereses en los periodos sucesivos hasta elfinal del plazo completo. Su aplicacin produce intereses sobreintereses, conocido como: la capitalizacin del valor del dinero enel tiempo. La tasa de inters en el ejemplo anterior es 9% compuestoanualmente. Esto significa que el inters paga anualmente. Astenemos que en nuestra libreta de ahorros al final del primer aotendremos UM 109 (el principal ms los intereses), en el segundo aoeste saldo aumenta en 9%. Arrojando al final del segundo ao unsaldo de UM 118.81 que puede computarse como sigue:

Como vemos, un modelo matemtico va manifestndose con muchanitidez. El Valor Futuro de una inversin inicial a una tasa deinters dada compuesta anualmente en un perodo futuro es calculadomediante la siguiente expresin: Que no es otra cosa, que la frmulageneral del inters compuesto para el perodo n de composicin. En lasmatemticas financieras es fundamental el empleo de la frmulageneral del inters compuesto para la evaluacin y anlisis de losflujos de dinero.

Las ecuaciones derivadas de la frmula [11] (para inversin yrecuperacin en un slo pago) son:

El tipo de inters (i) y el plazo (n) deben referirse a la mismaunidad de tiempo (si el tipo de inters es anual, el plazo debe seranual, si el tipo de inters es mensual, el plazo ir en meses,etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Alutilizar una tasa de inters mensual, el resultado de n estarexpresado en meses. EJERCICIO 10 (Calculando el VF) Calcular el VFal final de 5 aos de una inversin de UM 20,000 con un costo deoportunidad del capital de 20% anual. Solucin: VA = 20,000; n = 5;i = 0.20; VF = ?

Respuesta: El VF al final de los 5 aos es UM 49,766.40 EJERCICIO11 (Calculando el VF a partir del VA) Yo tengo un excedente deutilidades de UM 1,000 y los guardo en un banco a plazo fijo, queanualmente me paga 8%; cunto tendr dentro de 3 aos? Solucin: VA =1,000; n = 3; i = 0.08; VF = ? Indistintamente aplicamos la frmulay la funcin financiera VF:

Respuesta:

El monto al final de los 3 aos es UM 1,259.71 EJERCICIO 12(Calculando el VA a partir del VF) Inversamente, alguien nos ofreceUM 5,000 dentro de 3 aos, siempre y cuando le entreguemos el da dehoy una cantidad al 10% anual. Cunto es el monto a entregar hoy?Solucin: VF = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = ? Aplicamos la frmulay/o la funcin financiera VA:

Respuesta: El monto a entregar el da de hoy es UM 3,757.57EJERCICIO 13 (Calculando el tipo de inters i) Determinar la tasa deinters aplicada a un capital de UM 25,000 que ha generado en tresaos intereses totales por UM 6,500. Solucin: (VF = 25,000 + 6,500)i = ?; VA = 25,000; n = 3; I = 6,500; VF = 31,500 Aplicando lafrmula [13] o la funcin TASA, tenemos:

Respuesta: La tasa de inters aplicada es de 8% anual. EJERCICIO14 (Calculando el tiempo o plazo n) Calcular el tiempo que haestado invertido un capital de UM 35,000, si el monto producido fueUM 56,455 con un inters de 9 %. Solucin VA = 35,000; VF = 56,455; i= 0.09; n = ?

Aplicando la frmula [14] o la funcin NPER, tenemos:

Respuesta: El tiempo en que ha estado invertido el capital fuede 5 aos, 6 meses y 17 das. 6.3. Valor actual de un flujo nico Elvalor actual, es el valor de las unidades monetarias de hoy. Elproceso de calcular los valores actuales a una tasa especfica deInters es conocido como descuento. La tasa de inters con el quedeterminamos los valores actuales es la tasa de descuento, cuandoel dinero proviene de fuentes externas y costo de oportunidadcuando la inversin proviene de recursos propios. Por ejemplo: Elvalor actual de UM 100 a ser recibido dentro de un ao es UM 91.74,si la tasa de descuento es 9% compuesto anualmente tenemos: Clculosa valor futuro: Un ao 91.74(1 + 0.09) = 100

La ecuacin de valor futuro la utilizamos para describir larelacin entre el valor actual y el valor futuro. As, el valoractual de UM 100 a ser recibido dentro de dos aos es UM 84.17 a latasa de descuento de 9%. Dos aos 84.17(1 + 0.09)2 = UM 100 84.17 =100/(1 + 0.09)2 Como vemos el modelo matemtico derivado de lafrmula del inters compuesto utilizada es el del valor actual.Ecuacin que nos permite calcular el valor actual de un flujo decaja futuro dado la tasa de descuento en un perodo determinado detiempo. EJERCICIO 15 (Calculando el VA)

Determinar el valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de 3aos a partir de hoy si la tasa de inters es 9%. Solucin: VF = 100;n = 3; i = 0.09; VA = ? Aplicando al flujo la frmula 12 o la funcinfinanciera VA, tenemos:

Respuesta: El VA al final de los 3 aos es UM 77.22 7. Flujosvariables 7.1. Valor actual de un flujo variable El valor actual deun flujo variable es igual a la suma de los valores actuales decada uno de estos flujos. Para comprender esto, suponga unainversin en que las promesas de pago de UM 100 dentro de un ao y UM200 dentro de dos aos es hoy; si un inversionista tiene que decidirentre estas dos opciones, al inversionista le resultaraindiferente, elegir entre las dos opciones, asumiendo que lasinversiones son de igual riesgo, es decir, la tasa de descuento esla misma. Esto es porque los flujos futuros que el inversionistarecibira hoy carecen de riesgo y tienen el mismo valor bajocualquier alternativa. Sin embargo, s la inversin tuviera una tasade descuento de 12%, el valor actual de la inversin puedeencontrarse como sigue: Valor actual de la inversin

VA = 89.29 + 79.72 = UM 169.01 La siguiente ecuacin puedeemplearse para calcular el valor actual de un flujo futuro decaja:

Dnde: VA = Valor actual del flujo de caja FCt = Flujo de caja(ingresos menos egresos) de t = 0 a n

i = Tasa de descuento, t = El perodo que va de cero a n n = Elltimo perodo del flujo de caja EJERCICIO 16 (Calculando el VA de unflujo variable de caja) Calcule el valor actual del siguiente flujode caja considerando una tasa de descuento de 15%:

Solucin: (Aplicamos sucesivamente la frmula (12) (17):

Aplicando la funcin VNA tenemos:

Respuesta: El valor actual del flujo de caja es UM 1,938.92 8.Las anualidades Una anualidad es un flujo de caja en el que losflujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos dedinero son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a unintervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad son lospagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidades utilizado como una generalizacin sobre el tema, no siempre sonperodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son: 1.Pagos mensuales por renta 2. Cobro quincenal o semanal por sueldo3. Abonos quincenales o mensuales por pago de un prstamo. 4. Pagosanuales de primas de plizas de seguro de vida, etc. Flujo de unaanualidad

No es una Anualidad

El flujo no es una anualidad porque al 4to ao se interrumpenpara reiniciarse al 5to.

Cuando el flujo de caja es de una anualidad, el proceso declculo del valor actual y del valor futuro de un flujo de dinero sesimplifica enormemente. Las anualidades son: Vencidas. Lasanualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en lascuales los pagos son hechos a su vencimiento, es decir, al final decada periodo. Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, eltrabajo es primero, luego el pago. Anticipadas. Las anualidadesanticipadas o prepagables se efectan al principio de cada periodo.Las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar unperodo el VA o VF las pospagables multiplicndolas por (1 + i). Esdecir, utilizamos las mismas frmulas del VA o VF de las anualidadespospagables, multiplicando el resultado por (1 + i). 8.1. Valoractual de una anualidad El valor actual de una anualidad es igual ala suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Estopuede calcularse a travs de la siguiente ecuacin: , con esta frmulaobtenemos:

Donde: VA = Valor actual de la anualidad C = Pago de unaanualidad i = Inters o tasa de descuento En las frmulas deanualidades de VA y VF, la tasa de inters no puede ser despejada,por lo cual debe obtenerse por ensayo y error. Por esta razn en elpresente libro, para obtener la tasa de inters

utilizamos la funcin TASA cuando operamos con flujos uniformes yla funcin TIR cuando operamos con flujos variables. Cuando estamosfrente a un perfil de flujos iguales para cada perodo, es posiblehacer una formulacin que nos de el Valor Actual de los flujos deuna sola vez obviando el clculo del descuento flujo por flujo. Deesta forma de clculo son las Anualidades. Ejemplo:

Si usamos el mtodo de descuento flujo por flujo y lo descontamosal 15% por perodo tendramos los valores indicados en el cuadro ydespus lo comparamos con el mtodo abreviado a travs de la frmula yla funcin VA:

Aplicando la frmula [18] o la funcin VA:

Como podemos observar, con los tres mtodos obtenemos resultadosiguales. EJERCICIO 17 (Calculando el VA de una anualidadpospagable) Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cincoaos vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%, cul es el VAde la anualidad? Solucin: C = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ?Aplicando la frmula (18) o la funcin VA, tenemos:

Respuesta: El VA de los cinco pagos iguales es UM 1,758.62.EJERCICIO 18 (La mejor eleccin) Usted gana la lotera. Cuando va acobrar, los ejecutivos de la lotera le proponen lo siguiente:cobrar hoy UM 500,000 UM 3,000 mensuales durante los prximos 25aos. Qu elige Ud.? Solucin: VA = 500,000; i = ? En este caso,primero determinamos la tasa de inters, que nos permita descontarlas cuotas mensuales y compararlo con los UM 500,000 querecibiramos el da de hoy. El dinero hoy vale ms que en el futuro.Asumamos una inflacin del 6% anual proyectada para los prximos 25aos. (i = 0.06/12 = 0.005) i = 0.005; C = 3,000; n = (5*12) = 300;i = 0.005; VA = ? Aplicamos la frmula [18] o la funcin VA:

Respuesta: El VA de las 300 cuotas mensuales de UM 3,000descontadas a la tasa de inflacin del 6% anual es UM 465,620.59inferior a los UM 500,000 que cobraramos hoy, en consecuencia,nuestra decisin ser cobrar la loteras hoy. EJERCICIO 19 (Calculandoel VA de una anualidad prepagable) El dueo de una MYPE contrae unadeuda para saldarla en cinco pagos iguales de UM 26,913 al iniciode cada ao, con una tasa de inters de 45.60% anual. Calcular elvalor actual de esta obligacin. Solucin: C = 26,913; n = 5; i =0.456 ; VA = ?

Aplicando el concepto de las anualidades prepagables en lafrmula (18) y la funcin VA multiplicamos el resultado de la frmulapor (1 + i) y la funcin a operamos con tipo = 1:

Respuesta: El valor actual prepagable de sta operacin es UM72,800, considera el pago anticipado de cada cuota anual. EJERCICIO20 (Calculando el incremento anual) En 1978 el franqueo de un sobrea Europa era de UM 10. En el 2003 colocar por correo la misma cartacuesta UM 70. Que incremento anual en el franqueo de una cartaexperiment durante este tiempo? Solucin (n = 2003 – 1978) C = 10;VA = 70; n = (2003 – 1978) = 25; i = ? Aplicando la funcin TASAobtenemos:

Respuesta: El incremento anual es 13.71% EJERCICIO 21(Calculando la tasa de inters de una anualidad) Una inversin de UM120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de UM45,000 durante 5 aos. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto.Solucin: VA = 120,000; C = 45,000; n = 5; i = ?

Respuesta: La tasa anual de rendimiento del proyecto es 25.41%8.2. Valor Futuro de una anualidad Al tratar el clculo de lasanualidades, determinbamos el valor de los flujos en valor actual odel momento cero. Tambin es posible emplear esta misma formulacin yplantear por ejemplo, cunto tendr ahorrado en un momento futuro sidepositara una

determinada cantidad igual perodo a perodo, dada una cierta tasade inters por perodo. Es decir, lo que estamos haciendo esconstituir un fondo. Anteriormente calculamos el valor actual deuna serie de pagos futuros. Lo que ahora buscamos, como montofuturo, es una expresin que responda al siguiente perfilfinanciero:

Partimos depositando una suma ahora y hacemos lo mismo con igualmonto hasta el perodo n-1 y con la misma tasa de inters por cadaperodo. La frmula del valor futuro de la anualidad y las derivadasde ella son:

El valor, depende slo de las variables tasa de inters i, igualpara cada perodo y el valor correspondiente al nmero de periodos n,para flujos realizados a comienzo de cada uno de ellos. Lasanualidades tienen la caracterstica que siendo un pago constante enel caso de amortizar una deuda los intereses pagados en losprimeros periodos son mayores, destinndose el excedente al pago deamortizacin de capital, el cual aumenta gradualmente, el intersposterior deber calcularse sobre un menor monto de capital por ladisminucin o amortizacin de ste. EJERCICIO 22 (Calculando el VF yel plazo de un ahorro) Un microempresario deposita UM 2,500 ahoraen una cuenta de ahorros que reconoce una tasa de inters del 1.8%mensual y considera retirar UM 390 mensuales, empezando dentro de10 meses. Calcular por cunto tiempo podr realizar retiroscompletos? Solucin: VA = 2,500; i = 0.018; C = 390; n = 10; VF = ?;n = ? 1 Calculamos el VF de los UM 2,500 a 10 meses: [11] VF =2,500(1 + 0.018)10 = UM 2,988.2559

2 Calculamos el tiempo durante el cual podr hacer retiros por UM390 cada uno:

Respuesta: A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por7 meses. 9. Las perpetuidades Por definicin significa duracin sinfin. Duracin muy larga o incesante. A partir del valor actual (VA)de una anualidad C, que representa una serie de pagos, depsitos oflujo peridico uniforme para cada uno de estos periodos yefectuando algunas modificaciones podramos derivar lasperpetuidades. La caracterstica de una perpetuidad es que el nmerode periodos es grande, de forma que el valor de los ltimos flujosal descontarlos es insignificante. El valor de la anualidad demuchos trminos, llamada perpetuidad, es calculada con la siguientefrmula:

Las perpetuidades permiten clculos rpidos para determinar elvalor de instrumentos de renta fija (VAP) de muchos periodos. Eneste caso, C es el rendimiento peridico e i la tasa de intersrelevante para cada perodo. Ejemplos de perpetuidades son tambinlas inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada latasa de inters aproximamos el valor de la inversin (C). Por logeneral, la tasa de inters es casi siempre anual y el canon dearriendo es mensual, por lo cual deber establecerse la tasa deinters equivalente (Ver definicin y frmula en el numeral 10, deeste captulo) para este perodo de tiempo. Otras aplicacionesimportantes son las pensiones o rentas vitalicias. EJERCICIO 23(Perpetuidad) Para que mis 2 hijos estudien becados en unauniversidad de prestigio, dentro de 10 aos, es requisitofundamental -entre otros- depositar el da de hoy una suma de dineroen una institucin financiera que paga mensualmente por ahorros deeste tipo el 1.5% y que permite a la institucin disponer de UM2,500 mensuales a perpetuidad. Cunto debo depositar el da de hoy?.Solucin:

C = 2,500; i = 0.005; VAP = ?

Respuesta: Debo depositar el da de hoy UM 166,6667. Mensualmenteel dinero gana UM 2,500 de inters. Este inters constituye la beca.10. El inters El inters (I) es el monto pagado por la institucinfinanciera para captar recursos, igualmente es el monto cobrado porprestarlos (colocar). El inters es la diferencia entre la cantidadacumulada menos el valor inicial; sea que tratemos con crditos ocon inversiones. El inters es un precio, el cual expresa el valorde un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta pagada porel uso de recursos prestados, por perodo determinado. Frmulasutilizadas para el clculo del inters I:

[16] I = VF – VA 10.1. La tasa de inters ( i ) La tasa de interses el precio del tiempo, mientras que la tasa de rentabilidad es elprecio del tiempo cuando existe riesgo. La tasa de rentabilidad esel precio del tiempo ms una prima por riesgo (precio del riesgo).Calculamos la tasa de inters dividiendo el inters I recibido opagado por perodo, por el monto inicial, VA; de modo que la tasa deinters ser:

El resultado obtenido con las frmulas [13A] y [13B], representala tasa de todo el perodo de composicin. De aplicacin cuandoevaluamos prstamos e inversiones a inters simple (pago flat) y paracasos de inversiones a inters compuesto aplicamos la frmula [13],cuando tratamos con un solo pago. No es aplicable para el caso delas anualidades o flujos variables, en estos casos son de muchautilidad las funciones financieras TASA (flujos uniformes) y TIR(flujos variables) de Excel. 10.2. Componentes de la tasa deinters

La tasa de inters corriente (ic), es la tasa del mercado,aplicado por los bancos y las entidades financieras; la tasaefectivamente pagada por cualquier prstamo. Tiene tres componenteso causas: 1. El efecto de la inflacin ):( medida del aumento delnivel general de precios, valorada a travs de la canasta familiar;notamos su efecto en la prdida del poder adquisitivo de la moneda.A mayor inflacin, mayor tasa de inters. 2. El efecto del riesgo,inherente al negocio o inversin. A mayor riesgo, mayor tasa deinters. Elemento de riesgo (ip). 3. La tasa real i propio delnegocio, lo que el inversionista desea ganar, libre de riesgos einflacin. Rendimiento base. Generalmente los bonos del tesoro deEE.UU. son tomados como parmetro para la tasa libre de riesgo. Tasade inters real (i). 11. Tasas de inters y descuento equivalente Enel mundo real, las tasas de inters son en ms de un perodo por ao.Por convencin, las tasas de inters son en base anual. La tasa deinters expresada anualmente y con composicin en ms de una vez porao es la tasa nominal, es una tasa de inters simple; ignora elvalor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cualcapitaliza el inters. Tasa peridica: Tasa de inters cobrada opagada en cada perodo, por ejemplo, semanal, mensual o anual; tienela caracterstica de ser nominal y efectiva a la vez. Tasa efectivaanual (TEA): La tasa que realmente paga o cobra por una operacinfinanciera, incluye todos los costos asociados al prstamo oinversin. Si el inters capitaliza en forma trimestral, semestral,mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que lacompuesta en forma anual. Inters anticipado (ia): Es el intersliquidado al inicio del perodo, cuando recibimos o entregamosdinero. Inters vencido (iv): Liquidado al final del perodo, cuandorecibimos o entregamos dinero. Frmulas de las Tasas de intersnominal, efectivo y equivalente:

11.1. Tasas equivalentes Dos tasas con diferentes periodos decapitalizacin sern equivalentes, si al cabo de un ao producen elmismo inters compuesto. Comn en operaciones bancarias y tambin enel caso de bonos del tipo cupn cero, el uso de la tasa de descuento(d) en vez de (o junto con) la tasa de inters, como referencia delrendimiento de la operacin. Usar la tasa de descuento o la tasa deinters es puramente convencional y siempre podemos expresar una entrminos de la otra. Esto lo explicamos con las tasas equivalentespagadas al vencimiento (iv) o por anticipado (ia). Pactan muchasnegociaciones en trminos de inters anticipado y es deseable conocercul es el equivalente en tasas de inters vencido. Un ejemplocorriente, lo constituyen los prstamos bancarios y los certificadosde depsito a trmino. Cuando indican un pago de inters anticipado(ia), en realidad ello significa que -en el caso de un prstamo-recibe un monto menor al solicitado.

Estas dos frmulas slo son de aplicacin a tasas peridicas.EJERCICIO 24 (Tasa nominal y tasa efectiva anual) Tenemos unatarjeta de crdito cuya tasa de inters es 2.5% mensual. Determinarla tasa anual que realmente me cuesta. Solucin: i = 0.025; n = 12;j = ?; TEA = ?

Por demostracin calculamos la tasa peridica a partir de la tasanominal y TEA:

Aplicando las funciones financieras de Excel:

Respuesta: El costo nominal de la tarjeta de crdito es 30% y elcosto real o Tasa Efectiva Anual (TEA) es 34.49%. Caso tpico detasas equivalentes, 30% de tasa nominal es equivalente a 34.49% detasa efectiva anual. EJERCICIO 25 (Tasa anticipada y tasa vencida)Una institucin financiera paga por uno de sus productos el 18%anual y liquida trimestralmente por anticipado. Determine a cuntoequivale el inters trimestral vencido. j = 0.18 Solucin:

11.1. Tasas de inters en el Per Las Circulares del Banco Centralde Reserva del Per (BCRP) N 00691-EF/90 y N 007-91-EF/90 del 11 demarzo de 1991, establecieron que a partir del 1 de abril de 1991 laSuperintendencia de Banca y Seguros (SBS) deba calcular y publicardiariamente la Tasa Activa en Moneda Nacional (TAMN) y la TasaActiva en Moneda Extranjera (TAMEX), as como los interesesaplicables a las diferentes operaciones fijadas en funcin a la TAMNy TAMEX, respectivamente. De acuerdo con dichas Circulares, la TAMNdebe ser publicada en trminos efectivos mensuales y la TAMEX entrminos efectivos anuales. La SBS tambin debe publicar las Tasas deInters Legal, las cuales son fijadas por el BCRP segn el CdigoCivil (artculos 1244 y 1245) y utilizan cuando las partes no hanacordado una tasa de

inters con antelacin. En dicha oportunidad, establecieron laTasa de Inters Legal en moneda extranjera equivalente a la TAMEX yla de moneda nacional equivalente a la TAMN, TAMN + 1 y TAMN + 2,dependiendo del plazo del contrato. Adicionalmente, dichasCirculares fijan la Tasa Efectiva de Inters Moratorio en 15% de laTAMN y 20% de la TAMEX, respectivamente. El inters moratorio escobrado slo cuando las partes hayan pactado y nicamente sobre elmonto correspondiente al capital impago cuyo pago est vencido. Lastasas de inters utilizadas por las entidades financieras para losahorros llamadas operaciones pasivas son la TIPMN (Tasa de interspasiva promedio en moneda nacional) y la TIPMEX (Tasa de interspasiva promedio en moneda extranjera). Tasa de inters convencionalcompensatorio, cuando constituye la contraprestacin por el uso deldinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias estrepresentada por la tasa activa para las colocaciones y la tasapasiva para las captaciones que cobran o pagan las institucionesfinancieras. Tasa de inters moratorio, cuando tiene por finalidadindemnizar la mora en el pago. No cumplimiento de una deuda en elplazo estipulado. Se cobra cuando ha sido acordada. Aplicable alsaldo de la deuda correspondiente al capital. Cuando la devolucindel prstamo se hace en cuotas, el cobro del inters moratorioprocede nicamente sobre el saldo de capital de las cuotas vencidasy no pagadas. Tasa de inters legal, La tasa de inters legal enmoneda nacional y extranjera, es fijada, segn el Cdigo Civil por elBCRP, cuando deba pagarse la tasa de inters compensatorio y/omoratoria no acordada; en este caso, el prestatario abonar elinters legal publicado diariamente por el BCRP en trminosefectivos. 12. La Inflacin y la Tasa de Inters Como vimos al tratarlos componentes de la tasa de inters, la Inflacin es un alzasostenida en el nivel de precios, que hace disminuir el poderadquisitivo del dinero. De esta forma en un futuro con la mismacantidad de dinero compramos menos cantidades de bienes y serviciosque en la actualidad. EJERCICIO 26 (Precios en inflacin) Hoy untelevisor cuesta UM 300 y est calculado que dentro de un ao costarUM 400, en este caso decimos que el precio ha subido un 33%.

Si la cantidad disponible de dinero es UM 6,000, en el momentoactual en que cada unidad vale UM 300, podemos comprar 20 unidades,pero en el momento futuro slo es posible adquirir 15 unidades conUM 6,000, es decir, se ha perdido capacidad de compra o poderadquisitivo. El inters ganado en un perodo de tiempo, loexpresbamos como una determinada tasa de inters i que aplicbamossobre el capital inicial. Por lo tanto, en ausencia de inflacin,esta tasa de inters es real, por cuanto explica el crecimientohabido en la capacidad de consumo. Frente a la presencia de unproceso inflacionario, debemos tener una tasa de inters mayor, quecompense el efecto inflacionario y adems recoja el inters realesperado, ser por tanto una tasa nominal, que incluye inflacin eintereses: j = Tasa Real + efecto inflacionario sobre capital eintereses Veamos la determinacin de la tasa de inters nominal apartir de un ejemplo, primero sin la presencia de inflacin y despuscon una inflacin esperada de 15%: EJERCICIO 27 (Tasa real deinters) Un determinado bien actualmente vale UM 800. El costo deoportunidad por el uso del capital o rendimiento exigido es 15% porel perodo de un ao; el capital disponible es UM 80,000. Situacinsin Inflacin: VA = 80,000; n = 1; i = 0.15; VF = ? [11] VF =80,000*1.15 = UM 92,000

(11) VF = 80,000(1 + 0.15) = 92,000 COMPRA: 92,000/800 = 115unidades En estas condiciones, sin inflacin, el capital inicial deUM 80,000, con un precio por cada unidad de UM 800, permite comprar100 unidades. Al ganar un 15% de intereses en el perodo, aumenta sucapacidad de compra a 115 unidades ( 92,000/ 800 = 115 unidades).):Veamos a continuacin la situacin con inflacin (

VA = 80,000; n = 1; F = 25%;

El crecimiento nominal del capital durante el perodo es de:115,000 – 80,000 = 35,000 Crecimiento relativo del capital: 35,000/ 80,000 = 0.4375 43.75%. Esto significa que una tasa nominal de un43.75% permite mantener el poder adquisitivo del capital y ganarintereses, tambin cubiertos del efecto inflacionario, que aumentenla capacidad real de consumo en un 10%, o bien ganarse realmente un10%. Si actualmente compramos 100 unidades del bien, con esta tasanominal de un 43.75%, podremos comprar al trmino del perodo 115unidades. As, la tasa de Inters Nominal debe recoger o sumar elinters del perodo de 15% ms la tasa de inflacin del perodo de 25% yms la tasa de Inflacin sobre el Inters 25% por 15%: Inters Nominal= 0.15 + 0.25 + (0.15 * 0.25) = 0.4375 j =Tasa Real + Inflacin +Tasa Real x Inflac 13. Prstamo Por definicin, prstamo es elcontrato en el que una de las partes (prestamista) entrega activosfsicos, financieros o dinero en efectivo y la otra (prestatario)quien se compromete a devolverlos en una fecha o fechasdeterminadas y a pagar intereses sobre el valor del prstamo. Elprstamo es la nica alternativa que existe en el mundo de lasinversiones y de la que todas las dems derivan. Las alternativas mscomunes de inversin, generalmente lo constituyen los distintostipos de depsito que hacemos en los bancos: cuentas de ahorro,cuentas corrientes y plazo fijos. El banco reconoce un inters pornuestros depsitos (por el hecho de prestarle nuestro dinero), quelos emplear para prestrselo a otras personas, empresas o gobierno.El banco intermedia, entonces, entre quienes tienen ahorros y losque necesitan fondos. El riesgo es la solvencia del banco paradevolvernos el dinero prestado. 14. Sistema Financiero Formado porel conjunto de instituciones financieras, relacionados entre sidirecta o indirectamente, cuya funcin principal es la

intermediacin, es decir, el proceso mediante el cual captanfondos del pblico con diferentes tipos de depsitos (productospasivos) para colocarlos a travs de operaciones financieras(productos activos) segn las necesidades del mercado. Conforman elSistema Financiero Peruano 18 Bancos (16 bancos privados), 6Financieras, 12 Cajas Rurales de Ahorro y Crdito, 6 Almaceneras, 13Cajas Municipales de Ahorro y Crdito, 7 Empresas de ArrendamientoFinanciero, 13 EDPYMES, 4 Administradoras de Fondos de Pensiones(AFP), 17 Empresas de Seguros, 2 Cajas (Caja de Beneficios ySeguridad Social del pescador y Caja de Pensin Militar Policial) y2 Derramas (Derrama de Retirados del Sector Educacin y DerramaMagisterial). 14.1. Productos activos 1) El prstamo pagar.- Es unaoperacin a corto plazo (mximo un ao), cuyas amortizacionesmensuales o trimestrales tambin pueden ser pagadas al vencimiento.Por lo general, son operaciones a 90 das prorrogables a un ao conintereses mensuales cobrados por anticipado. Generalmente utilizadopara financiar la compra de mercancas dentro del ciclo econmico dela empresa (comprarvender-cobrar). 2) El prstamo a inters.- Es unaoperacin de corto a largo plazo, que puede ir desde uno hasta cincoaos. Las cuotas son por lo general mensuales, pero tambin puedenser negociadas y los intereses son cobrados al vencimiento. Estetipo de crdito es utilizado generalmente para adquirir bienesinmuebles, o activos que por el volumen de efectivo querepresentan, no es posible amortizarlo con el flujo de caja de laempresa en el corto plazo. 3) El leasing.- Operacin mediante lacual, la institucin financiera, adquiere bienes muebles o inmueblesde acuerdo a las especificaciones del arrendatario, quien lo recibepara su uso y preservacin por perodos determinados, a cambio de lacontraprestacin dineraria (canon) que incluye amortizacin decapital, intereses, comisiones y recargos emergentes de la operacinfinanciera. El contrato permite al arrendatario la adquisicin delbien al final del perodo de arriendo, mediante el pago de un valorde rescate que corresponde al valor residual del bien. 4) Eldescuento.- Generalmente, el comercio de bienes y servicios no esde contado. Cuando la empresa vende a crdito a sus clientes, recibeletras de cambio por los productos entregadas. Cuando las empresascarecen de liquidez para adquirir nuevos inventarios o pagar a susproveedores acuden a las instituciones financieras (generalmentebancos) y ofrecen en cesin sus letras de cambio antes delvencimiento, recibiendo efectivo equivalente al valor nominal delos documentos menos la comisin que la institucin financiera

recibe por adelantarle el pago. Esta comisin es conocida comodescuento. Segn van ocurriendo los vencimientos de los documentosde crdito, la institucin financiera enva el cobro para que losdeudores paguen la deuda que originalmente le perteneca a laempresa. 5) La carta de crdito.- Instrumento mediante el cual, elbanco emisor se compromete a pagar por cuenta del cliente(ordenante) una determinada suma de dinero a un tercero(beneficiario), cumplidos los requisitos solicitados en dichoinstrumento. Producto de uso generalizado en las operaciones deimportacin y exportacin. 14.2. Los productos pasivos Estosproductos pueden ser clasificados en tres grandes grupos: 1) Losdepsitos.- Son el mayor volumen pues provienen de la gran masa depequeos y medianos ahorristas. Estos fondos son por lo general losms econmicos, dependiendo de la mezcla de fondos. 2) Los fondosinterbancarios.- Fondos que las instituciones financieras nocolocan a sus clientes en forma de crditos. Estos no pueden quedarociosos y son destinados a inversiones o a prstamos a otros bancoscuyos depsitos no son suficientes para satisfacer la demanda decrdito de sus clientes. 3) Captacin por entrega de valores.- Enalgunos casos, los bancos emiten valores comerciales para captarfondos del pblico. Pueden estar garantizados por la cartera decrditos hipotecarios o por la de tarjetas de crdito. En cualquiercaso, la tasa de inters ser casi directamente proporcional alriesgo promedio total de la cartera que garantiza la emisin. 14.3.Documentos y operaciones financieras de uso frecuente 1) Letradevuelta.- Es la letra que el banco devuelve al cliente por nohaberse efectivizado la cobranza en su vencimiento. Si la letra fuedescontada previamente, el banco cargar en cuenta del cedente, elmonto nominal del documento ms los gastos originados por el impago,como son: gastos de devolucin (comisin de devolucin y correo) ygastos de protesto (comisin de protesto y costo del protesto).Intereses: Aplicable cuando el banco cobra con posterioridad a lafecha de vencimiento de la letra devuelta por impagada. Calculadasobre la suma del nominal de la letra no pagada ms todos los gastosoriginados por el impago, por el perodo transcurrido entrevencimiento y cargo. EJERCICIO 28 (Letra devuelta) Una letra por UM8,000, es devuelta por falta de pago, cargndose en la cuenta delcedente los siguientes gastos: comisin de devolucin 1.5%, comisinde protesto

2.5% y correo UM 4.00. Calcule el monto adeudado en la cuentacorriente del cliente.

2) Letra de renovacin.- Es aquella letra emitida para recuperaruna anterior devuelta por falta de pago incluido los gastosoriginados por su devolucin. Debemos establecer el valor nominal deesta nueva letra de tal forma que los gastos ocasionados por sufalta de pago los abone quien los origin (el librador). Giramos laletra como aquella emitida y descontada en condiciones normales,con la diferencia de que ahora el efectivo que deseamos recuperares conocido: el valor nominal no pagado, los gastos de devolucin,los gastos del giro y descuento de la nueva letra; siendodesconocido el valor nominal que debemos determinar. EJERCICIO 29(Letra de renovacin) Para recuperar la letra devuelta por falta depago del ejemplo 28, acordamos con el deudor, emitir una nueva convencimiento a 30 das, en las siguientes condiciones tipo dedescuento 18%, comisin 3% y otros gastos UM 20.00. Calcular elvalor que deber tener la nueva letra. Solucin: VA = 8,324; n =30/360; i = 0.18; Coms. = 0.03; Otros GG = 20; VN = ? 1 Calculamoslos adeudos en cta. cte.: Adeudos en Cta. Cte. =8,324[1+0.18*(30/360)] = UM 8,449 2 Finalmente determinamos elvalor nominal de la nueva letra:

14.4. Cmo obtiene el banco la tasa activa y de qu depende latasa pasiva? Respondemos la interrogante definiendo qu es Spread omargen financiero (tiene su base en el riesgo crediticio): UnSpread de tasas de inters es la diferencia entre la tasa pasiva(tasa que pagan los bancos por depsitos a los ahorristas) y la tasaactiva (que cobran los bancos por crditos o prstamos otorgados).Para comprender con mayor facilidad explicamos cmo el banco obtienela tasa activa, lo nico que haremos es restar la tasa pasiva yobtendremos el Spread.

Para obtener la tasa activa el banco toma en cuenta la tasapasiva, los gastos operativos propios del banco, su ganancia, elencaje promedio del sistema que tienen que depositar en el BCR porcada dlar ahorrado en los bancos, ms el componente inflacionario yriesgo. Es as cmo los bancos obtienen su tasa activa, si lequitamos la tasa pasiva el Spread lo componen, los gastos de losbancos, el encaje, las ganancias por realizar esta intermediacin,ms los componentes inflacionario y riesgo. 15. Amortizacin Entrminos generales, amortizacin es cualquier modalidad de pago oextincin de una deuda. Aqu haremos referencia a la ms comn de estasmodalidades. La extincin de una deuda mediante un conjunto de pagosde igual valor en intervalos regulares de tiempo. En otraspalabras, este mtodo de extinguir una deuda tiene la mismanaturaleza financiera que las anualidades. Los problemas deamortizacin de deudas representan la aplicacin prctica del conceptode anualidad. 15.1. Tabla de amortizacin La tabla de amortizacin esun despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta laextincin de la deuda. Una vez que conocemos todos los datos delproblema de amortizacin (saldo de la deuda, valor del pago regular,tasa de inters y nmero de periodos), construimos la tabla con elsaldo inicial de la deuda, desglosamos el pago regular en interesesy pago del principal, deducimos este ltimo del saldo de la deuda enel perodo anterior, repitindose esta mecnica hasta el ltimo perodode pago. Si los clculos son correctos, veremos que al principio elpago corresponde en mayor medida a intereses, mientras que al finalel grueso del pago regular es aplicable a la disminucin delprincipal. En el ltimo perodo, el principal de la deuda deber sercero. Estructura general de una tabla de amortizacin:

EJERCICIO 30 (Calculando la cuota uniforme) La mejora de unproceso productivo requiere una inversin de UM 56,000 dentro de dosaos. Qu ahorros anuales debe hacerse para recuperar este gasto ensiete aos, con el primer abono al final del ao en curso, sicontempla una tasa de inters del 12% anual? Solucin: VF2 = 56,000;n = 2; i = 0.12; VA = ?; 1 Calculamos el VA de la inversin dentrode 2 aos, aplicando indistintamente la frmula (12) o la funcinVA:

2 Luego determinamos la cuota peridica ahorrada a partir de hoy,aplicando la frmula (19) o la funcin pago: VA = 44,642.86; n = 7; i= 0.12; C = ?

Respuesta: Los ahorros anuales que deben hacerse son UM 9,782.07EJERCICIO 31 (Prstamo de Fondo de Asociacin de Trabajadores) Unsector de trabajadores que cotiza para su Asociacin tiene un fondode prstamos de emergencia para los asociados cuyo reglamentoestablece que los crditos sern al 9% anual y hasta 36 cuotas. Lacantidad de los prstamos depende de la cuota. a) Si el prstamo esde UM 3,000 cules sern las cuotas? b) Si sus cuotas son UM 120 culsera el valor del prstamo? Solucin (a) VA = 3,000; n = 36; i =(0.09/12) = 0.0075; C = ? Para el clculo de la cuota aplicamosindistintamente la frmula (19) o la funcin PAGO:

Solucin (b) C = 120; n = 36; i = 0.0075 (0.09/12); VA =?

Para el clculo de la cuota aplicamos indistintamente la frmula(18) o la funcin VA:

Respuesta: (a) Las cuotas sern UM 95.40 y (b) Valor del prstamoUM 3,773.62 15.2. Sistema de Amortizacin Francs Caracterizado porcuotas de pago constante a lo largo de la vida del prstamo. Tambinasume que el tipo de inters es nico durante toda la operacin. Elobjetivo es analizar no slo el valor de las cuotas, sino sucomposicin, que vara de un perodo a otro. Cada cuota est compuestapor una parte de capital y otra de inters. En este sistema, elvalor total de la cuota permanece constante y el inters disminuye amedida que decrece el principal. Son tiles las funcionesfinancieras de Excel para el clculo. El inters aplicado es alrebatir, vale decir sobre los saldos existentes de la deuda en unperodo. Muy utilizado por los bancos y tiendas que venden alcrdito. EJERCICIO 32 (Calculando la cuota mensual de un prstamo)Lilian toma un prstamo bancario por UM 3,000 para su liquidacin en6 cuotas mensuales con una tasa de inters del 4.5% mensual.Calcular el valor de cada cuota y elabora la tabla de amortizacin.Solucin: VA = 3,000; n = 6; i = 0.045; C = ? 1 Calculamos la cuotaa pagar mensualmente:

2 Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION FRANCES del prstamo:

SALDO INICIAL = SALDO FINAL INTERES = SALDO INICIAL POR TASA DEINTERES PAGO = FORMULA [19] O BUSCAR OBJETIVO AMORTIZ. = PAGO -INTERES SALDO FINAL = SALDO INICIAL – AMORTIZACION Respuesta: Lacuota mensual a pagar por el prstamo es UM 581.64, contiene laamortizacin del principal y el inters mensual. 15.3. Sistema deAmortizacin Alemn Cada cuota est compuesta por una parte de capitaly otra de inters. En este sistema, el valor total de la cuotadisminuye con el tiempo, el componente de capital es constante, elinters decrece. No es posible utilizar las funciones financieras deExcel para su clculo. Con este mtodo son de mucha utilidad lastablas de amortizacin. EJERCICIO 33 (Prstamo con amortizacinconstante) Una persona toma un prstamo de UM 4,000 para suliquidacin en 24 amortizaciones mensuales iguales, con una tasa deinters del 3.85% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elaboreel cronograma de pagos. Solucin: VA = 4,000; i = 0.0385; n = 24; C= ?

Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION ALEMAN DE LA DEUDA:

INTERES = SALDO FINAL POR TASA DE INTERES AMORTIZ. = PRESTAMO /N DE CUOTAS PAGO = INTERES + AMORTIZACION SALDO FINAL = SALDOINICIAL – AMORTIZACION Ejercicios Desarrollados Inters Compuesto,Anualidades, Tasas de inters, Tasas Equivalentes EJERCICIO 34(Fondo de ahorro) Durante los 5 aos de mayores ingresos de suactividad empresarial el dueo de una MYPE, ahorra mensualmente UM500, colocando el dinero al 8.4% anual en un Banco que capitalizalos intereses mensualmente. El ltimo abono lo efecta el 1 de enerode 1999. A partir de este momento decide no tocar los ahorros hastael 1 de enero del 2003. Determinar cunto es lo ahorrado del 1 deenero de 1994 al 1 de enero de 1999 y cunto es lo que tiene del 1de enero de 1999 al 1 de enero del 2003. Solucin: Del 1/1/1994 al1/1/1999 el caso es de anualidades y del 1/1/1999 al 1/1/2003 es uncaso de inters compuesto. 1) Anualidad: Del 1/1/1994 al 1/1/1999,hay 5 aos: C = 500; i = (0.084/12) = 0.007; n = (5*12) = 60; VF =?

2) Inters compuesto:

Del 1/1/1999 al 1/1/2003 hay 4 aos. El valor futuro de la cuotaperidica es el valor actual para el clculo del valor futuro al1/1/2003: VA = 37,124.02; n = (4*12) = 48; i = 0.007; VF = ? [11]VF = 37,124.02 (1 + 0.007)48 = UM 51,888.32

Respuesta: Lo ahorrado del 1/1/1994 al 1/1/1999 es UM 37,124.02.Lo acumulado del 1/1/1999 al 1/1/2003 es UM 51,888.32 EJERCICIO 35(Evaluando el valor actual de un aditamento) Un fabricante compraun aditamento para un equipo que reduce la produccin defectuosa enun 8.5% lo que representa un ahorro de UM 6,000 anuales. Se celebraun contrato para vender toda la produccin por seis aosconsecutivos. Luego de este tiempo el aditamento mejorar laproduccin defectuosa slo en un 4.5% durante otros cinco aos. Alcabo de ste tiempo el aditamento ser totalmente inservible. Derequerirse un retorno sobre la inversin del 25% anual, cunto estaradispuesto a pagar ahora por el aditamento? Solucin C = 6,000; n =6; i = 0.25; VA = ? 1 Actualizamos los beneficios de los seisprimeros aos:

2 Calculamos el VA de los beneficios para los prximos 5 aos:Determinamos el monto de la anualidad, aplicando una regla de tressimple:

Con este valor actualizamos la anualidad: C = 3,176.47; i =0.25; n = 5; VA = ?

3 Finalmente, sumamos los valores actuales obtenidos: VAT =17,708.54 + 8,542.42 = UM 26,250.96 Respuesta: El precio a pagarsehoy por el aditamento con una esperanza de rentabilidad de 25%anual es UM 26,250.96 EJERCICIO 36 (Calculando la tasa vencida)Determinar la tasa vencida de una tasa de inters anticipada de 12%semestral a: Solucin: ia = 0.12; iv = ?

Respuesta: La tasa vencida es 13.64% semestral. EJERCICIO 37(Calculando la tasa vencida) Tenemos una tasa de inters anual de24% liquidada trimestralmente por anticipado. Cul es el interstrimestral vencido?.

Para utilizar stas conversiones, trabajar con la tasacorrespondiente a un perodo de aplicacin. Por ejemplo, una tasa deinters de 12% anticipada y/o vencida para un semestre. Respuesta:La tasa vencida es 6.38% trimestral. EJERCICIO 38 (Calculando elVF) Calcular el valor final de un capital de UM 50,000 invertido al11 % anual, con capitalizacin compuesta durante 8 aos. Solucin: VA= 50,000; i = 0.11; n = 8; VF = ?

Calculamos el VF aplicando la frmula (11) o la funcin financieraVF:11.

VF = 50,000(1 + 0.11)8 = UM 115,226.89

Respuesta: El valor final o futuro es UM 115,226.89. EJERCICIO39 (Calculando n, VF e I) Un pequeo empresario deposita UM 1,500con una tasa del 5% trimestral y capitalizacin trimestral el 30 deMarzo de 1999. Calcular cunto tendr acumulado al 30 de Marzo del2006. Considerar el inters exacto y comercial. Solucin: Con intersexacto VA = 1,500; i = 0.05; n = ?; VF = ?; I = ? 1 Calculamos elplazo (n) con la funcin DIAS.LAB (Un ao = 365 das y 4trimestres):

DIAS.LAB/4 = 20.03 n = 20.03 2 Calculamos el VF utilizando lafrmula y la funcin respectiva de Excel:

Respuesta: El monto acumulado despus de 20 trimestres es UM3,985.78 Solucin: Con inters comercial VA = 1,500; i = 0.05; n = ?;VF = ?; I = = ? 1 Calculamos n aplicando la funcin DIAS.LAB:(Un ao= 360 das y 4 trimestres)

DIAS.LAB / *4 = 20.31 n = 20.31

Respuesta: El monto acumulado despus de 20.31 trimestres es UM4,040.60 Nuevamente, constatamos que el inters comercial es mayorque el inters exacto. EJERCICIO 40 (Calculando el VF) Cul ser elmonto despus de 12 aos si ahorramos: UM 800 hoy, UM 1,700 en tresaos y UM 500 en 5 aos, con el 11% anual. Solucin VA1,3 y 5 = 800,1,700 y 500; n = 12; i = 0.11; VF12 = ? Aplicando sucesivamente lafrmula [11] y la funcin VF:

Respuesta: El monto ahorrado despus de 12 aos es UM 8,185.50EJERCICIO 41 (Calculando el VF) Un lder sindical que negocia unpliego de reclamos, est interesado en saber cunto valdr dentro de 3aos el pasaje, considerando que el aumento en el transporte es 1.4%mensual y el pasaje cuesta hoy UM 1. Solucin: VA = 1; i = 0.014; n= (12*3) = 36; VF = ?11.

VF = 1(1 + 0.014)36 = UM 1.65

Respuesta: Dentro de tres aos el pasaje costar UM 1.65 EJERCICIO42 (Calculando el monto acumulado) Jorge ahorra mensualmente UM 160al 1.8% mensual durante 180 meses. Calcular el monto acumulado alfinal de este perodo. Solucin C = 160; i = 0.018; n = 180; VF =?

Respuesta: El monto acumulado es UM 211,630.87 EJERCICIO 43(Calculando el plazo) Durante cunto tiempo estuvo invertido uncapital de UM 4,800 para que al 12% anual de inters produjera unmonto de UM 8,700. Solucin: VA = 4,800; i = 0.12; VF = 8,700; n =?

0.2476*12 = 2.9712 meses 0.9712*30 = 29.1360 das Comprobandotenemos: (11) VF = 4,800*1.125.2476 = UM 8,700 Respuesta: El tiempoen que ha estado invertido el capital fue de 5 aos y 2 meses con 29das. EJERCICIO 44 (Calculando el monto final de un capital) Qumonto podramos acumular en 12 aos invirtiendo ahora UM 600 en unfondo de capitalizacin que paga el 11% los 6 primeros aos y el 13%los ltimos 6 aos. Solucin: VA = 600; i6 = 0.11 e i6 = 0.13; n = 12;VF = ?

[11] VF = 600*(1 + 0.11)6*[1 + 0.13)6 = UM 2,336.47

Como apreciamos en la aplicacin de la frmula los factores decapitalizacin de cada tramo no los sumamos sino los multiplicamos.Esto es as cuando la tasa es variable durante el perodo de lainversin y/o obligacin. Respuesta: El monto acumulado en 12 aos esUM 2,236.47 EJERCICIO 45 (Calcular el monto a pagar por una deudacon atraso) Un empresario toma un prstamo de UM 18,000 a 12 meses,con una tasa mensual de 3.8% pagadero al vencimiento. El contratoestipula que en caso de mora, el deudor debe pagar el 4% mensualsobre el saldo vencido. Calcular el monto a pagar si cancela ladeuda a los doce meses y 25 das? Solucin: VA = 18,000; n1 = 12; n2= (25/12) = 0.83; i = 0.038; imora = 0.04; VF = ? 1 Con la frmula(11) o la funcin VF calculamos el monto a pagar a los doce meses msla mora por 25 das de atraso: (11) VF = 18,000(1 + 0.038)12 = UM28,160.53 (11) VF = 28,160.53(1 + 0.038)0.83 = UM 29,049.46 otambin en un slo paso: (11) VF = 18,000*1.03812*1.0380.83 = UM29,045.88

Respuesta: La mora es aplicada al saldo no pagado a suvencimiento, en nuestro caso es UM 28,160.53. El monto que paga alfinal incluido la mora es UM 29,096.09. EJERCICIO 46 (Calculando eltiempo) Si depositamos hoy UM 6,000, UM 15,000 dentro de cuatro aosy UM 23,000 dentro de seis aos a partir del 4to. Ao. En qu tiempotendremos una suma de UM 98,000 si la tasa de inters anual es de14.5%. Solucin:

1 Capitalizamos los montos abonados hoy (6,000) y a 4 aos(15,000) para sumarlos al abono de UM 23,000 dentro de 10 aos,aplicando la frmula (11) VF = VA(1 + i)n o la funcin VF:

2 Calculamos el tiempo necesario para que los abonos sean UM98,000:

0.4952*12 = 5.9424 meses 0.9424*30 = 28.2720 das Tiempo total:11 aos, 6 meses y 28 das Respuesta: El tiempo en el que los tresabonos efectuados en diferentes momentos, se convertirn en UM98,000 es 11 aos, 6 meses y 28 das. EJERCICIO 47 (Ahorro oinversin) Hace un ao y medio una PYME invirti UM 20,000 en un nuevoproceso de produccin y ha obtenido hasta la fecha beneficios por UM3,200. Determinar a que tasa de inters mensual debera habercolocado este dinero en una entidad financiera para obtener losmismos beneficios. Solucin: VA = 20,000; n = (12*6) = 18; I =3,200; VF = ?; i = ? [16] 3,200 = VF – 20,000 VF = 20,000 + 3,200 =UM 23,200

Respuesta: La tasa necesaria es 0.83% mensual. EJERCICIO 48(Sumas equivalentes) Si UM 5,000 son equivalentes a UM 8,800 conuna tasa de inters simple anual en tres aos; haciendo la mismainversin con una tasa de inters compuesto del 32% anual en cuntotiempo dar la equivalencia econmica? Solucin: VA = 5,000; VF =8,800; n = 5; i = ?

Respuesta: La equivalencia econmica se dar en 2 aos con 13 das.EJERCICIO 49 (Calculando el valor de venta de una mquina) Unamquina que cuesta hoy UM 60,000 puede producir ingresos por UM3,500 anuales. Determinar su valor de venta dentro de 5 aos al 21%anual de inters, que justifique la inversin. Solucin: VA = 60,000;C = 3,500; n = 5; i = 0.21; VF1 y 2 = ?

Calculamos el VF del VA de la mquina y de los ingresosuniformes: [11] VF = 60,000(1+0.21)5 = UM 155,624.5476

Al VF (155,624.5476) del VA de la mquina le restamos el VF(26,562.3743) de los ingresos y obtenemos el valor al que debevenderse la mquina dentro de cinco aos: 155,624.5476 – 26,562.3743= 129,062.17 Tambin solucionamos este caso en forma rpida aplicandoen un solo paso la funcin VF, conforme ilustramos acontinuacin:

Respuesta: El valor de venta dentro de cinco aos es UM129,062.17. EJERCICIO 50 (Evaluacin de alternativas) Los directivosde una empresa distribuidora de productos de primera necesidaddesean comprar una camioneta que cuesta UM 22,000, estn encondiciones de pagar UM 5,000 al contado y el saldo en 18 cuotasmensuales. Una financiera acepta 18 cuotas de UM 1,321 y otraofrece financiar al 4.5% mensual. a) Qu inters mensual cobra laprimera financiera? b) Cules seran las cuotas en la segundafinanciera? c) Cul financiacin debemos aceptar? Solucin: (a)Primera financiera VA = (22,000-5,000) = 17,000; n = 18; C = 1,321;i = ?

Solucin: (b) Segunda Financiera VA = 17,000; n = 18; i = 0.045;C = ?

Respuestas: a) El costo efectivo anual es 56.45% b) El costoefectivo anual es 69.59% c) Luego conviene la primera financierapor menor cuota y menor costo del dinero. EJERCICIO 51 (Cuota deahorro mensual para compra de un carro) Un empresario desea comprarun automvil para su uso personal que cuesta hoy UM 20,000. Para talfin abre una cuenta de ahorros que reconoce una tasa de inters del1.25% mensual y empieza a hacer depsitos desde hoy. El carro seincrementa en 15% anual cunto deber depositar mensualmente paraadquirirlo en 5 aos?. Solucin: 1 Calculamos el valor del automvildentro de 5 aos: VA = 20,000; i = (0.0125*12) = 0.15; n = 5; VF = ?[11] VF = 20,000(1 + 0.15]5 = UM 40,227.1437

2 Finalmente, calculamos la cuota mensual: VF = 40,227.14; i =0.0125; n = (5*12) = 60; C = ?

Respuesta: Para comprar el automvil dentro de 5 aos al precio deUM 40,227.14; el empresario debe ahorrar mensualmente UM 461.65.EJERCICIO 52 (Compra de un computador)

Jorge desea comprar un nuevo computador, para lo cual cuenta conUM 500, los cuales entregar como cuota inicial, tomando un prstamopara el resto. El modelo que ha elegido tiene un valor de UM 2,900,pero el esquema de financiacin exige que tome un seguro que es1.70% del valor inicial del equipo, el cual puede pagarse en cuotasmensuales y debe tomarse en el momento de comprarlo. A cuantoascendera el valor de las cuotas mensuales para pagar el prstamo en24 meses con una tasa de inters del 3.8% mensual? Costo del equipoUM 2,900.00 (-) Cuota inicial 500.00 Saldo por financiar UM2,400.00 (+) Seguro por financiar (2,900*1.70%) 49.30 Total porfinanciar UM 2,449.30 VA = 2,449.30; n = 24; i = 0.038; C= ? Conestos datos calculamos el valor de cada una de las cuotas del totalpor financiar, aplicando indistintamente la frmula o la funcin PAGOde Excel:

Respuesta: El valor de cada una de las cuotas mensuales es UM157.37 EJERCICIO 53 (Calculando la cuota mensual por la compra deun auto) Csar compra a plazos un automvil por UM 15,000 para supago en 18 cuotas iguales, a una tasa de inters de 3.5% mensual.Calcular el valor de la mensualidad. Solucin: VA = 15,000; n = 24;i = 0.035; C = ?

Respuesta: El valor a pagar cada mes es UM 1,137.25. Apliqueusted la funcin PAGO. EJERCICIO 54 (Ganaron la Tinka) Un diariolocal informa que: 50 personas comparten el premio mayor de latinka. Cuenta la historia de 50 trabajadores que compraroncorporativamente un boleto de lotera y ganaron el premio mayor deUM 5000,000, al cual era necesario descontar el 12% de impuesto alas ganancias ocasionales. Uno de los

afortunados trabajadores coloca sus ganancias a plazo fijo porseis meses al 25% anual con capitalizacin semestral. Al cabo deeste tiempo tiene planeado iniciar su propia empresa y requiereadicionalmente UM 30,000, que los debe cubrir va un crdito al 3.5%mensual y a 36 meses. Determinar el monto para cada uno, el valordel ahorro a plazo fijo y el monto de las cuotas mensuales.Solucin: (1) Premio global UM 5000,000 (-) 12% Impuesto a lasapuestas 600,000 Saldo para distribucin entre 50 ganadores UM4,400,000 Premio para cada uno (4400,000/50) UM 88,000.00 Solucin:(2) VA = 88,000; n = 1; i = (0.25/2) = 0.125; VF = ? [11] VF =88,000[1 + (1*0.125)] = UM 99,000

Solucin: (3) VA = 30,000; n = 36; i = 0.035; C = ?

Respuesta: 1) Monto para cada uno de los ganadores UM 88,000.002) Valor del ahorro a plazo fijo UM 99,000.00 3) Cuotas mensualesdel crdito UM 1,479.52 EJERCICIO 55 (Compra a crdito de unminicomponente) Sonia compra un minicomponente al precio de UM 800,a pagar en 5 cuotas al 5% mensual. Calcular la composicin de cadacuota y elaborar la tabla de amortizacin. Solucin: VA = 800; n = 5;i = 0.05; C = ? 1 Calculamos la cuota mensual:

2 Finalmente elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION SISTEMAFRANCES:

Respuesta: La cuota mensual es UM 184.78. EJERCICIO 56 (Comprade mquinas textiles) Un pequeo empresario textil adquiere dosmquinas remalladoras y una cortadora por UM 15,000 para su pago en12 cuotas mensuales uniformes. El primer pago se har un mes despusde efectuada la compra. El empresario considera que a los 5 mesespuede pagar, adems de la mensualidad, una cantidad de UM 3,290 ypara saldar su deuda, le gustara seguir pagando la mismamensualidad hasta el final. Este pago adicional, har que disminuyael nmero de mensualidades. Calcular en qu fecha calendario terminarde liquidarse la deuda, la compra se llev a cabo el pasado 1 deEnero del 2003 y la tasa de inters es 4.5% mensual. Solucin: VA =15,000; n = 12; i = 0.045; C = ? 1 Calculamos el valor de cada unade las doce cuotas:

2 Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DE SISTEMA FRANCES:

Al pagar los UM 3,290 adicionales a la cuota del quinto mes, nosqueda un saldo de UM 6,403, como las cuotas mensuales deben ser deUM 1,644.99, calculamos los meses que faltan hasta que la deudaquede saldada: VA = 6,403; i = 0.045; C = 1,645; n = ?

0.37*30 = 11 das Respuesta: El pago de la deuda disminuye encasi tres meses, por el abono adicional en el quinto mes, laobligacin es liquidada el 12/10/2003, siendo la ltima cuota de UM609. La ltima cuota contiene el saldo final (599) y los interesesde 11 das. EJERCICIO 57 (Doble prstamo) Un prstamo de UM 3,000 aser pagado en 36 cuotas mensuales iguales con una tasa de inters de3.8% mensual, transcurrido 8 meses existe otro prstamo de UM 2,000con la misma tasa de inters, el banco acreedor unifica y refinanciael primer y segundo prstamo para ser liquidado en 26 pagosmensuales iguales, realizando el primero 3 meses despus de recibirel segundo prstamo. A cunto ascendern estas cuotas? Solucin: VA0 =3,000; VA8 = 2,000; n = 36; n = 26; i = 0.038; C = ?

1 Calculamos cada una de las 36 cuotas con la frmula (19) o lafuncin PAGO:

2 En el octavo mes recibimos un prstamo adicional de UM 2,000que unificado con el saldo pendiente es amortizado mensualmentetres meses despus de recibido. Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACIONDE LA DEUDA.

Al momento 8, despus de amortizar el principal, el saldo delprstamo es 2,683.70 – 52.31 = UM 2,631.39 sin embargo, con el nuevoprstamo ms los intereses de los perodos de carencia o gracia elsaldo es de 2,631.39 + 2,000 + 175.99 + 182.68 = 4,990.07 con elque calculamos el valor de la nueva cuota, aplicandoindistintamente la frmula [19], la funcin PAGO o la herramientabuscar objetivo de Excel: VA = 4,990.07; i = 0.038; n = 26

Respuesta: El valor de cada una de las 26 cuotas es UM 305.45EJERCICIO 58 (Calculando las cuotas variables de un prstamo)Tenemos un prstamo de UM 2,500 con una Caja Rural que cobra el 4.5%de inters mensual, para ser pagado en 8 abonos iguales. Luego deamortizarse 3 cuotas negocian con la Caja el pago del saldorestante en dos cuotas, la primera un mes despus y la segunda alfinal del plazo pactado inicialmente. Calcular el valor de estasdos cuotas.

Solucin: VA = 2,500; i = 0.045; n = 8; C = ? 1 Calculamos elvalor de cada una de las 8 cuotas, con la funcin PAGO:

2 Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DEL PRESTAMO, abonado latercera cuota el saldo del prstamo es UM 1,663.92. Para el clculode la cuota aplicamos Buscar Objetivo de Excel:

Obtenemos el valor de la amortizacin 4 dividiendo el saldopendiente entre 2:

A este valor adicionar los intereses correspondientes, incluidolos intereses de los perodos de carencia cuando corresponda.

Respuesta: El valor de la cuota 4, es UM 906.84 El valor de lacuota 8, es UM 992.13 EJERCICIO 59 (Prstamo sistema de amortizacinfrancs y alemn) Una persona toma un prstamo por UM 15,000 areintegrar en 12 cuotas con un inters del 3.5% mensual. Aplicar lossistemas de amortizacin francs y alemn. Solucin: Sistema Francs VA= 15,000; n = 12; i = 0.035; C = ? 1 Calculamos el valor de cadauna de las cuotas:

2 Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DEL PRESTAMO, SistemaFrancs:

Solucin: Sistema Alemn VA = 15,000; n = 12; i = 0.035; AMORT. =? 2 Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION DE LA DEUDA, Sistema deAmortizacin Alemn:

Por falta de espacio hemos ocultado varias filas en cada cuadro.Comentario: En el sistema de amortizacin francs los pagos sonconstantes y la amortizacin creciente; en el sistema de amortizacinalemn los pagos son decrecientes y la amortizacin es constante.EJERCICIO 60 (Prstamo con tasa de inters flotante) Un empresarioadquiere un prstamo de la Banca Fondista por UM 5000,000 areintegrar en 5 cuotas anuales, con una tasa de inters flotante queal momento del otorgamiento es de 5.50% anual. Pagadas las 3primeras cuotas, la tasa de inters crece a 7.5% anual, que semantiene constante hasta el final.

Solucin: VA = 5000,000; n = 5; i1…3 = 0.055 y i4…5 = 0.075;i = 0.075; AMORT. = ? 1 Calculamos la amortizacin mensual:

2 Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION DE LA DEUDA, Sistema deAmortizacin Alemn:

Comentario: Como observamos, el incremento de la tasa de intersproduce un quiebre de la tendencia descendente de las cuotas. Elquiebre tiene su origen en la cuanta de los intereses. EJERCICIO 61(Calculando la tasa efectiva) Las EDPYMES y Cajas Rurales yMunicipales de ahorro y crdito cobran un promedio anual de 52% porprstamos en moneda nacional. Calcular la tasa efectiva. Solucin: j= 0.52; m = 12; i = ?

Respuesta: La tasa efectiva anual que cobran estas institucioneses 66.37%. EJERCICIO 62 (Calculando la tasa nominal) Una ONG (comomuchas), canaliza recursos financieros de fuentes cooperantesextranjeras para ayuda social. Coloca los recursos que le envannicamente a

mujeres con casa y negocio propios al 3.8% mensual en promedio yhasta un mximo de UM 5,000; adems, obligatoriamente losprestamistas deben ahorrar mensualmente el 15% del valor de lacuota que no es devuelto a la liquidacin del prstamo, por cuantolos directivos de la ONG dicen que estos ahorros son para cubrirsolidariamente el no pago de los morosos. Determinar el costo realde estos crditos, asumiendo un monto de UM 2,000 a ser pagado en 12cuotas iguales al 3.8% mensual. Solucin: VA = 2,000; i = 0.038; n =12; j = ?; TEA = ?; VF = ? 1 Calculamos la tasa nominal y la TEAdel prstamo:

2 Calculamos el valor de cada una de las cuotas y el ahorro:

AHORRO MENSUAL OBLIGATORIO= 210.64 * 15% = UM 31.59 mensual 2Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DEL PRESTAMO:

3 Para determinar el costo efectivo del crdito elaboramos elflujo de efectivo y aplicamos la funcin TIR:

4 Calculamos la tasa nominal y la TEA, a partir de la tasa deinters mensual de 6.28%:

Respuesta: Considerando el ahorro y el valor del dinero en eltiempo, el costo efectivo del crdito que da la ONG es de 108.40%anual, que es lo que pagan sus clientes por su ayuda social.EJERCICIO 63 (Evaluando el costo efectivo de un prstamo) Un pequeoempresario obtiene un crdito de una EDPYME por UM 25,000, a unatasa de inters de 52% anual con capitalizacin mensual, con unaretencin mensual del 1.5% para un fondo de riesgo. Cul ser la tasaefectiva anual y el monto a pagar transcurrido un ao? Solucin: 1Como la retencin es mensual, convertimos esta tasa peridica a tasanominal: 0.015*12 = 0.18, luego sumamos este resultado a la tasanominal: j = 52% + 18% = 70% capitalizable mensualmente: VA =25,000; j = 0.70; m = 12; i = ? 2 Calculamos la tasa peridica yefectiva anual:

3 Finalmente encontramos el monto, transcurrido un ao: i =(0.9746/12) = 0.0812 [11] VF = 25,000 (1 + 0.0812)12= UM63,798.79

Respuesta: La tasa efectiva anual (TEA) es 97.46% y el monto quepaga efectivamente transcurrido un ao es UM 63,798.79 por unprstamo de UM 25,000. EJERCICIO 64 (Compra con TARJETA de Crdito)Una persona con una TARJETA DE CREDITO de una cadena de SUPERMERCADOS, adquiere una refrigeradora el 30/12/03 cuyo preciocontado es UM 861.54, para ser pagada en 12 cuotas uniformes de UM96 mensuales cada una, debiendo agregar a esta cuota portes yseguros por UM 5.99 mensual. El abono de las cuotas es a partir del5/03/04 (dos meses libres). Gastos adicionales UM 17.43 que hacenun total de UM 878.77. Determinar el costo efectivo y elabore latabla de amortizacin de la deuda. Solucin: VA = 878.77; n = 14; C =96; i = ?; TEA = ? 1 Con la funcin TASA calculamos la tasa delperodo ( i ):

2 Con la frmula [25] calculamos la tasa nominal: 3 Con la frmula[28] o la funcin INT.EFECTIVO calculamos la tasa efectiva anual(TEA) de la deuda:

4 Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION DE LA DEUDA:

5 Para la determinacin del costo efectivo de la deuda elaboramosel respectivo flujo de caja:

La cuota mensual que efectivamente paga el cliente es UM 101.99Respuesta: El costo efectivo de la deuda incluido los UM 5.99 deportes y seguro es de 90.22% al ao y 5.50% mensual. EJERCICIO 65(Valor actual de los ingresos anuales) Una compaa frutera plantnaranjas cuya primera produccin estima en 5 aos. Los ingresosanuales por la venta de la produccin estn calculados en UM

500,000 durante 20 aos. Determinar el valor actual considerandouna tasa de descuento de 10% anual. Solucin: C = 500,000; i = 0.10;n = 20; VA = ? 1 Calculamos el valor actual de los 20 ingresos:

2 Finalmente calculamos el valor actual del total 5 aos antes deiniciarse la cosecha: VF = 4256,781.86; i = 0.10; n = 5; VA = ?

Respuesta: El valor actual de los 20 ingresos al da de hoy es UM2643,126.62 EJERCICIO 66 (Cuando una inversin se duplica)Determinar la conveniencia o no de un negocio de compra y venta derelojes, que garantiza duplicar el capital invertido cada 12 meses,o depositar en una libreta de ahorros que paga el 5% anual.Solucin: VA = 1; VF = 2; n = 12; i = ? 1 Calculamos la tasa deinters de la operacin financiera, cuando el capital se duplica:

2 Calculamos el valor futuro de los ahorros a la tasa del 5%anual: VA = 1; i = 0.05; n = 12; VF = ?

Respuesta: Es ms conveniente la inversin en el negocio de losrelojes. EJERCICIO 67 (Calculando el valor de contado de unterreno) Calcular el valor de contado de una propiedad vendida enlas siguientes condiciones: UM 20,000 de contado; UM 1,000 pormensualidades vencidas durante 2 aos y 6 meses y un ltimo pago deUM 2,500 un mes despus de pagada la ltima mensualidad. Para elclculo, utilizar el 9% con capitalizacin mensual. Solucin: (i=0.09/12), (n = 2*12+6) VA1 = 20,000; C1…30 = 1,000; VF31 =2,500; i = 0.0075; n = 30; VA = ? 1 Calculamos el VA de la serie depagos de UM 1,000 durante 30 meses:

2 Calculamos el VA de los UM 2,500 pagados un mes despus de laltima cuota:

Respuesta:

Luego el valor de contado del terreno es: 26,775 + 1,983 +20.000 = 48,758 EJERCICIO 68 (La mejor oferta) Una persona recibetres ofertas para la compra de su propiedad: (a) UM 400,000 decontado; (b) UM 190,000 de contado y UM 50,000 semestrales, durante2 aos (c) UM 20,000 por trimestre anticipado durante 3 aos y unpago de UM 250,000, al finalizar el cuarto ao. Qu oferta debeescoger si la tasa de inters es del 8% anual? Oferta : UM 400,000Solucin:(b) i = (0.08/2 semestres) = 0.04; n = (2.5*2) = 5semestres; VA = ?

Oferta b : 222,591 + 190,000 = UM 412,591 Solucin (c): n = (3*4trimestres) = 12; i = (0.08/4 trimestres) = 0.02 1 Actualizamos lospagos trimestrales de UM 20,000:

2 Calculamos el VA del ltimo pago anual de UM 250,000:

Oferta c : 215,737 + 183,757 = UM 399,494 Respuesta: La oferta(b) es la ms conveniente, arroja un mayor valor actual. EJERCICIO69 (Generando fondos para sustitucin de equipos)

Qu suma debe depositarse anualmente, en un fondo que abona el 6%para proveer la sustitucin de los equipos de una compaa cuyo costoes de UM 200,000 y con una vida til de 5 aos, si el valor desalvamento se estima en el 10% del costo? Solucin: Valor desalvamento : 200,000 x 10% = 20,000 Fondo para sustitucin deequipo: 200,000 – 20,000 = 180,000 Finalmente, calculamos el valorde cada depsito anual: VF = 180,000; i = 0.06; n = 5; c = ?

Respuesta: El monto necesario a depositar anualmente durante 5aos es UM 31,931.35. Aplique la funcin PAGO para obtener el mismoresultado. EJERCICIO 70 (Sobregiros bancarios) Por lo general casitodos los empresarios recurren al banco para cubrir urgencias decaja va los sobregiros (ver glosario); los plazos de stos dependende las polticas de cada institucin financiera, pero es comnencontrar en nuestro medio plazos de 48 horas, 3 das como mximo.Estos plazos casi nunca los cumple el empresario, normalmente lossobregiros son pagados a los 15 30 das. La tasa promedio para esteproducto financiero es 49% anual ms una comisin flat de 4% y gastosde portes de UM 5 por cada sobregiro. Determinar el descuento, elvalor lquido, el costo efectivo de un sobregiro de 2 das por UM10,000, los costos cuando este es pagado con retraso a los 15 y 30das y la tasa efectiva anual. Solucin: VN = 10,000; i = 0.49/360 =0.0014; n = 2; D2 = ?; VA = ? 1 Aplicando la frmula (10) calculamosel descuento del sobregiro para 2 das:

2 Aplicando la frmula [8] VA = VN – D, calculamos el VA delsobregiro: VN = 10,000; D2 = 27.30; iFlat = 0.04; PORTES = 5; VA =? (8) VA2 = 10,000 – (27.30 + 5) = 9,967.70 – (10,000*0.04) = UM9,567.70 3 Con la frmula (4A) calculamos la tasa real de estaoperacin:

Hasta esta parte estamos operando con el descuento bancario ainters simple. El VA obtenido es el valor lquido o el monto querealmente recibe el empresario. Pero debe abonar los UM 10,000 alos 2 das, en caso contrario pagar el inters convencional de 49%anual, 18% anual de inters moratorio sobre el saldo deudor (UM10,000) y UM 5.00 de portes. A partir de este momento operamos conel inters compuesto. Sumamos a la tasa de inters los interesesmoratorios: VA = 10,000; n = 15 y 30; i = (0.49/360 + 0.18/360) =0.0019; VF =? 4 Calculamos el monto a pagar a los 15 y 30 dasincluyendo los portes: (11) VF = 10,000*(1 + 0.0019)15 + 5 =10,293.82 (11) VF = 10,000*(1 + 0.0019)30 + 5 = 10,590.99 Luegoaplicando la frmula (13) y la funcin TASA, calculamos el costomensual del sobregiro: VA = 9,567.70; n = 15 y 30; VF = 10,293.82 y10,590.99; i = ?

5 Finalmente, calculamos la tasa nominal y la TEA del sobregiro:(25) j = 0.00339*30* = 1.2204 (28) TEA = (1 + 0.00339)360 – 1 =2.3816 Respuesta: 1) El descuento para los 2 das es: UM 27.30 2)Los costos cuando el sobregiro es pagado con retraso son: Para 15das = 7.34% Para 30 das = 10.17% 3) La tasa nominal es : j =122.04% La tasa efectiva anual es : TEA = 238.16% EJERCICIO 71(Evaluando la compra a crdito en un supermercado)

Un ama de casa compra a crdito el 8/10/2004 en un SUPERMERCADO,los siguientes productos: Una lustradora marcada al contado a UM310.00 Una aspiradora marcada al contado a UM 276.00 Una aspiradoramarcada al contado a UM 115.00 UM 701.00 La seora con la proformaen la mano pide a la cajera que le fraccione el pago en 12 cuotasiguales con pago diferido, la cajera ingresa los datos a la mquinay esta arroja 12 cuotas mensuales de UM 82.90 cada una convencimiento la primera el da 5/2/2005. Determine la tasa de intersperidica y la TEA que cobra el SUPERMERCADO. Solucin: VA = 701; C =82.90; n = 12; i = ?; TEA = ? 1 Aplicando la funcin TASA calculamosla tasa peridica de la anualidad:

Tasa mensual = 5.84%

Respuesta: El SUPERMERCADO cobra mensualmente por sus ventas alcrdito 5.84%, que arroja una tasa nominal de 70.13% y una TasaEfectiva Anual de 97.69%. Esta tasa no considera portes, seguros eImpuesto a las Transacciones Financieras (ITF). Bibliografa 1.Ayres Franh, Jr. (1971). Serie de Compendio Schaum, Teora yProblemas de Matemticas Financieras. Libros McGraw-Hill – Mxico 2.Aching Guzmn Csar. (2004). Matemticas Financieras para Toma deDecisiones Empresariales. Prociencia y Cultura S.A. – Per 3.Biblioteca de Consulta Microsoft, Encarta 2003. 1993-2002 MicrosoftCorporation. 4. Blank T. Leland y Tarquin J. Anthony. (1999).Ingeniera Econmica – IV Edicin. Editora Emma Ariza H. – Colombia 5.Dodge Mark, Stinson Craig. (1999). Running Microsoft Excel 2000,Gua Completa. McGraw Hill – Mxico

6. Glosario. (2005). Disponible en http://www.worldbank.org -Glosario 7. Lyman C. Peck. (1970). Matemticas para Directivos deEmpresa y Economistas. Ediciones Pirmide S.A. – Madrid 8. MizrahiSullivan. (1985). Clculo con Aplicaciones a la Administracin,Economa y Biologa. UTEHA – Mxico 9. Moore J.H. (1972). Manual deMatemticas Financieras. UTEHA – Mxico 10. Pareja Velez, Ignacio.(2005). Decisiones de Inversin. Disponible enhttp://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/libro_on_line/contenido.html 11. Parkin Michael. (1995). Macroeconoma. Addison -Wesley Iberoamericana S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A. 12. ParkinMichael. (1995). Microeconoma. Addison – Wesley Iberoamericana S.A.Wilmington, Delaware, E.U.A. 13. Sabino Carlos, (2005). Diccionariode Economa y Finanzas. Disponible enhttp://www.eumed.net/cursecon/dic/ 14. Springer, Herlihy y Beggs.(1972). Matemticas Bsicas, Serie de Matemticas para la Direccin deNegocios. UTEHA – Mxico 15. Van Horne, James C. (1995).Administracin Financiera. Dcima Edicin. Editorial Prentice Hall,Mxico Por: CESAR ACHING GUZMAN cesar_aching[arroba]hotmail.comcesaraching[arroba]yahoo.es achingster[arroba]gmail.com Pginapersonal: http://es.geocities.com/cesaraching/

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