Portafolio de algebra lomas – [PDF Document]

  • 1. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES__________________________________________ 7Introduccin______________________________________________________________________7 Conjunto de los nmerosreales______________________________________________________ 7Conjunto de los nmerosnaturales___________________________________________________ 7Conjunto de los nmeros enteros____________________________________________________ 8 Conjunto delos nmeros racionales__________________________________________________ 8 Conjunto delos nmerosreales______________________________________________________ 8 ELCONJUNTO DE LOS NMEROS REALES________________________________________ 9 LOS NMEROS REALES Y LARECTA REAL ________________________________________ 10 PROPIEDADESDE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________________ 13Propiedad conmutativa.________________________________________________________ 13Propiedad Anticonmutativa________________________________________________________14Ejemplos___________________________________________________________________________15 Propiedad distributiva._________________________________________________________ 15Divisores del cero________________________________________________________________ 16Elementos distinguidos________________________________________________________ 17Elemento neutro_________________________________________________________________17 Elemento involutivo______________________________________________________________ 18Elemento absorbente_____________________________________________________________ 18Operacin inversa________________________________________________________________ 18POTENCIACION Y RADICACION________________________________________________ 19 POTENCIACION____________________________________________________________ 19Propiedades de la potenciacin_____________________________________________________ 20 Potenciadepotencia___________________________________________________________________20 Multiplicacin de potencias de igual base__________________________________________________ 20 Divisin depotencias de igual base_______________________________________________________ 20Propiedaddistributiva__________________________________________________________________20 Propiedadconmutativa_________________________________________________________________21 Potencia de exponente0________________________________________________________________21 Potencia de exponente1________________________________________________________________21 Potencia de base 10___________________________________________________________________21 RADICACIN______________________________________________________________22

2. Razcuadrada____________________________________________________________________22 OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIN YDIVISIN.______ 24SUMA:__________________________________________________________________________24 RESTA:_________________________________________________________________________27 MULTIPLICACIN:________________________________________________________________ 29DIVISION:_______________________________________________________________________35 Divisin entrefracciones________________________________________________________________35 Divisin de polinomios entre monomios.___________________________________________________ 36 Divisinentre polinomios.______________________________________________________________ 37PRODUCTOS NOTABLES_____________________________________________________ 38 Otroscasos de productos notables (oespeciales):______________________________________ 40 Cubo de unasuma________________________________________________________________43 Cubo de una diferencia____________________________________________________________ 43MAXIMO COMUN DIVISOR DEPOLINOMIOS_____________________________________ 44 Aplicaciones delm.c.m. ___________________________________________________________48 1. Reducir fracciones a comn denominador._______________________________________________ 48 2. Resolverproblemas de la vida prctica.__________________________________________________ 49 Aplicacionesdel m.c.d.____________________________________________________________ 49 1.Simplificar una fraccin hasta su irreducible.______________________________________________ 49 2. Resolverproblemas de la vida prctica.__________________________________________________ 50 RESOLUCIN DEECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACIN __________________ 51Descripcin:_____________________________________________________________________51 Ecuaciones de primer grado__________________________________________________ 53 Ecuacionesliterales de primer grado___________________________________________ 53 ECUACIONES DESEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) _____________________________ 56Ecuaciones de segundo grado y una incgnita_________________________________________ 56 Solucin de ecuacionescuadrticas__________________________________________________ 56Solucin por completacin de cuadrados_____________________________________________ 58 Solucin por lafrmula general_____________________________________________________ 61PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES________________________ 62 Inversoaditivo___________________________________________________________________62 Propiedad del doble negativo______________________________________________________ 62 3.Operaciones con los nmeros Reales______________________________________________________ 63 1. Sumarnmeros reales_____________________________________________________________ 63Restar nmeros reales_______________________________________________________________ 64Multiplicar nmerosreales____________________________________________________________64 Propiedades de los nmeros reales._________________________________________________ 65 APLICACIONESDE ECUACIONES LINEALES _______________________________________ 65Ecuaciones lineales de primer grado_________________________________________________ 68 a) ecuacioneslineales propiamentetales___________________________________________________ 68 b)ecuacionesfraccionarias______________________________________________________________69 c) ecuaciones literales__________________________________________________________________69 Sistemas de ecuacioneslineales________________________________________________ 70 Sistemacompatible indeterminado________________________________________________ 70 Sistema linealde dos ecuaciones con dosincgnitas___________________________________ 70 CLASIFICAMOS LOSSIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ________________ 71Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales_________________ 74 Mtodo de reduccin_____________________________________________________________ 74Ejemplo____________________________________________________________________________75 Ejemplo____________________________________________________________________________76 Mtodo desustitucin__________________________________________________________77 Ejemplo____________________________________________________________________________77 Mtodo de Gauss______________________________________________________________ 78Ejemplo____________________________________________________________________________78 EXPRESIONES ALGEBRAICAS___________________________________________ 80 10 Ejemplos deTrminos Semejantes: __________________________________________ 81CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONESALGEBRAICA________________________________ 81 MONOMIO._____________________________________________________________________81 BINOMIO_______________________________________________________________________81TRINOMIO.______________________________________________________________________81POLINOMIO._____________________________________________________________________82 GRADO DE UN MONOMIOS__________________________________________________ 82 GRADO DE UNPOLINOMIO___________________________________________________ 82ORDENAR UN POLINOMIO___________________________________________________ 82 NOMENCLATURAALGEBRAICA________________________________________________ 85 4.DESCOMPOSICINFACTORIAL______________________________________________________ 87Mtodos para la factorizacin depolinomios__________________________________________ 87 Binomios____________________________________________________________________________87Trinomios____________________________________________________________________________87Polinomios___________________________________________________________________________87 Factorizar un monomio_________________________________________________________________87 Factorizar un polinomio________________________________________________________________ 87Factor comn.___________________________________________________________________88 Factor comn de unpolinomio______________________________________________________ 88Factor comn por agrupacin de trminos____________________________________________ 89 Trinomio cuadradoperfecto________________________________________________________ 89Raz cuadrada de unmonomio______________________________________________________ 89Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto_______________________ 90 Regla para Factorizar un TrinomioCuadrado Perfecto____________________________ 90 Trinomios de laforma x2 + px +q_________________________________________________________ 91 Reglaprctica para factorizar el trinomio________________________________________ 91 Trinomios de la formamx2 + px + q con (m1)______________________________________________ 92 CUADROSINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M ________________________________________93 Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) entre polinomios_________________________ 93Ejercicios______________________________________________________________________95 OPERACIONES CON FRACCIONES______________________________________________ 98 SUMA ALGEBRAICADE FRACCIONES ___________________________________________ 98MULTIPLICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS________________________________ 102 DIVISIN DE FRACCIONESALGEBRAICAS _______________________________________ 103 ECUACIONESCUADRATICAS _________________________________________________ 104Factorizacin:___________________________________________________________________105 Raz cuadrada:_______________________________________________________________________105 Completando el cuadrado:________________________________________________________ 106 Frmulacuadrtica:_____________________________________________________________ 106Clasificacin____________________________________________________________________107 Completa_____________________________________________________________________107 CompletaGeneral__________________________________________________________________108 5. CompletaParticular________________________________________________________________108Incompleta____________________________________________________________________108 Incompleta Binomial_______________________________________________________________ 108Incompleta Pura___________________________________________________________________108 Frmula general para resolver ecuaciones cuadrticas____________________ 108 PROPIEDADES DE LOS NMEROSENTEROS_____________________________________ 110 Propiedades de lasuma de nmerosenteros_______________________________________________ 110Multiplicacin de nmeros enteros______________________________________________________ 111 Regla delossignos____________________________________________________________________111 Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros_______________________________________ 111 Propiedades de ladivisin de nmerosenteros_____________________________________________ 112 Potenciade nmeros enteros ____________________________________________ 113Propiedades:______________________________________________________________________113 Potencias de exponente entero negativo__________________________________________ 113 RESOLUCION PORCOMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ______________ 115 Solucinde ecuaciones cuadrticas por completacin del cuadrado_____________118 Resolver ecuaciones cuadrticas en forma estndar____________________________ 119 APLICACIONES DE LAS FUNCIONESCUADRTICAS _______________________________ 120 ANEXOS: NOTAS DECLASE __________________________________________________ 123EVALUACIONES___________________________________________________________ 137___________________________________________________ Error! Marcadorno definido. Bibliografia______________________________________________________________ 1396. EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES Introduccin El ente bsico de laparte de la matemtica conocida como anlisis lo constituye elllamado sistema de los nmeros reales. Nmeros tales como 1, 3, , ,e, y sus correspondientes negativos, son usados en medicionescuantitativas. Existen dos mtodos principales para estudiar elsistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistemams primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enterospositivos 1, 2, 3, 4, … , y a partir de l, por medio de unasecuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistemade los nmeros reales1. En el segundo mtodo se hace una descripcinformal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), pormedio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de lascuales pueden deducirse muchas otras propiedades. En esta primeraparte se har una presentacin intuitiva del conjunto R de los nmerosreales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` delos nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones delmismo, atendiendo ms a la necesidad de resolver ciertas ecuacionesen las cuales los conjuntos que se van definiendo resultaninsuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico delmismo. Conjunto de los nmeros reales El conjunto de los nmerosreales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entreellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto delos nmeros naturales El conjunto de los nmeros naturales, que sedenota por N o tambin por Z corrientemente se presenta as: 7. N ={1, 2, 3, 4, 5,…}. La notacin de conjunto que incluye los puntossuspensivos es de carcter informal. Este conjunto permitefundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemasnumricos y lleva principalmente a la consideracin de los nmerosreales. Conjunto de los nmeros enteros El conjunto de los nmerosenteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta as: Z ={…, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,…}. En el conjunto de los nmerosenteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N,como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x= 2. Puede notarse que N Z. Conjunto de los nmeros racionales Elconjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se definede la siguiente manera { } La introduccin de los nmeros racionalesresponde al problema de resolver la ecuacin ax = b, con a, b Z, a0. sta slo tiene solucin en Z, en el caso particular en que a seaun divisor de b. Conjunto de los nmeros reales Se define como. = Enel conjunto de los nmeros reales estn definidas dos operaciones:adicin (+) y multiplicacin (), las cuales verifican las siguientespropiedades AC (llamadas tambin axiomas de campo). (Peano, 1889) 8.EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES Al conjunto de los nmeros realesse llega por sucesivas ampliaciones del campo numrico a partir delos nmeros naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza ymejora respecto de la anterior. Con los nmeros naturales (N) sepuede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a- b) si a b s y slo s el puntoque representa al nmero a se halla a la derecha del que representaa b. 11. Si a = b, los puntos se superponen. La relacin de ordenqueda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede alpunto b si el nmero real a es menor que el nmero real b (a 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Seaplic Caso I de Factorizacin) > 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 b^2) =2a^2(a+b)(a-b) (Se aplic Caso I y IV de Factorizacin) 2) Se buscanlos factores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de4a y 2a^2 son 2a Factor comn de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b) por lotanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es laSolucin. NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas parala Descomposicin de Factores o Factorizacin, segn el Caso que lecorresponda. 45.___________________________________________________________ Ejemplob) Hallar el m.c.d. de x^2 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1) Sefactorizan las expresiones dadas: > x^2 -4 = (x -2)(x +2) Seaplic el Caso IV de Factorizacin > x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Seaplic el Caso III de Factorizacin. > x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x+2)(x +2) Se aplic el Caso III de Factorizacin. Se buscan losfactores comunes de las expresiones encontradas: Factor comn de las3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x-6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solucin.___________________________________________________________Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4abFactorizando las expresiones dadas: > 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Seaplic el Caso I de Factorizacin. > 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Seaplic el Caso I de Factorizacin. Buscando los factores comunes delas expresiones encontradas: Factor comn de 2a(a +b) y 4a(a -b) es= 2a por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x-2) > 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambasexpresiones se aplic el Caso I) Buscando los factores comunes delas expresiones encontradas: 46. Factor comn de 3x^2y(2x -2) y3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y < Solucin._________________________________________________________ 3) Hallarel m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 Faxctorizando lasexpresiones dadas: > 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) > 4a^3b^2-8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplic el Caso I)Factor comn de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2 Por lo tantoel m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 < Solucin.__________________________________________________________ 4)Hallar el m.c.d. de ab +b y a^2 +a Factorizando las expresionesdadas: > ab +b = b(a +1) > a^2 +a = a(a +1) (Para ambasexpresiones se aplic el Caso I) Factor comn de b(a +1) y a(a +1) es= (a +1) Por lo tanto el m.c.d. de ab +b y a^2 +a es = a +1 x^2 -x = x(x -1) > x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambasexpresiones se aplic el Caso I) Factor comn de x(x -1) y x^2(x -1)es = x(x -1) Por lo tanto el m.c.d. de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x-1) < Solucin.___________________________________________________________ 47. 6)Hallar el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 Factorizandolas expresiones dadas: > 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) =(3)(5)(x)(x)(2a -x) > 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) =(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplic el Caso I Factor comn de(3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x Por lo tanto elm.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x < Solucin.___________________________________________________________ 7)Hallar el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4Factorizando las expresiones dadas: > 18a^2x^3y^4 =6a^2xy^4(3x^2) > 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplicel Caso I para ambas expresiones. Factor comn para 6a^2xy^4(3x^2) y6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4 Por lo tanto el m.c.d. de 18a^2x^3y^4, 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es = 6a^2xy^4 < Solucin.___________________________________________________________ 8)Hallar el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 Factorizando lasexpresiones dadas: > 5a^2 -15a = 5a(a -3) > a^3 -3a^2 = a^2(a-3) Se aplic el Caso I, para ambas expresiones. Factor comn de 5a(a-3) y a^2(a -3) es = a(a-3) Por lo tanto el m.c.d. de 5a^2 -15a ,a^3 -3a^2 es = a(a -3) < Solucin. Aplicaciones del m.c.m. 1.Reducir fracciones a comn denominador. Ejemplo: Reducir a comndenominador las siguientes fracciones: 48. Factor izamos losdenominadores: 12 = 22 x 3 9 = 32 18 = 2 x 32 Escogemos losfactores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.El m.c.m (12, 9, 18) = 22 32 = 4 9 = 36. Ya tenemos el nuevodenominador. 2. Resolver problemas de la vida prctica. Ejemplo:Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observoque el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. Encambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. Habr algnmomento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Sies as, cada cuntos segundos coincidirn los dos? Solucin: Buscamosuna cantidad de segundos que sea mltiplo de 8 y de 12 y que a lavez sea el ms cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8,12). Factorizamos 8 y 12: 8 = 23 12 = 22 x 3 Escogemos los factoresprimos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, ycalculamos el mnimo comn mltiplo. m.c.m. (8, 12) = 23 3 = 8 3 = 24.Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se vern almismo tiempo cada 24 segundos. Aplicaciones del m.c.d. 1.Simplificar una fraccin hasta su irreducible. Ejemplo: Simplificahasta su equivalente irreducible la siguiente fraccin: Hallamos elM.C.D. (360, 336). Para ello factorizamos el numerador y eldenominador. 360 = 23 x 32 x 5 336 = 24 x 3 x 7 Elegimos losfactores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:M.C.D. (360, 336) = 23 3 = 8 3 = 24. Dividimos el numerador y eldenominador entre 24 360 = 360 : 24 = 15 336 336 : 24 14 49. yobtenemos la fraccin equivalente irreducible: 2. Resolver problemasde la vida prctica. Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de unacocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm delargo por 180 cm de ancho. De qu tamao tengo que comprar lasbaldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y seanlo ms grande posible? Cuntas baldosas tengo que comprar? Solucin:la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor comn de 270y 180, y el ms grande posible. Por lo tanto, estamos buscando elmximo comn divisor de 270 y 180. Factorizamos 270 y 180: 270 = 2 x33 x 5 180 = 22 x 33 x 5 Elegimos los factores primos comuneselevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (270,180) = 2 325 = 2 9 5 = 90. Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de ladopodremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahoravamos a calcular cuntas necesitamos: 270 : 90 = 3. Tres baldosas delargo. 180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho. Respuesta: Necesitamos6 baldosas. 50. RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS POR FACTORIZACIN Descripcin: La funcin cuadrtica es una funcin de los reales enlos reales cuya regla de correspondencia est dada por f(x) = ax 2 +bx + c (a0) y cuyo dominio incluye todos los nmeros reales. Pararesolver ecuaciones cuadrticas utilizamos principalmente el mtodode factorizacin. Ejemplos: 1) Resuelva x 32x 1 9 . Solucin: Loprimero es lograr que la ecuacin se iguale a cero. Para esto,primero multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos elnueve. Despus factorizaremos la ecuacin resultante para obtener lasolucin final. Es conveniente verificar la solucin final en laecuacin original. x 32x 1 9 2x 2 x 6x 3 9 2x 2 5x 3 9 0 2x 2 5x 120 2x 3x 4 0 2x 3 0 2x 3 x 3/2 51. x 4 0 x 4 2) Halle las solucionesde x 3 8x 2 16x 0. Solucin: Como la ecuacin ya est igualada a cerosolamente hay que factorizar e igualar sus factores a cero yresolver en trminos de x . xx 2 8x 16 0 xx 4x 4 0 x 0 x 4 0 x 4 52.Ecuaciones de primer grado Una ecuacin de primer grado es unaigualdad de dos expresiones en las que aparece una incgnita cuyovalor est relacionado a travs de operaciones aritmticas. Sedenominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incgnitaes uno. Para resolver una ecuacin de primer grado se debentraspasar los trminos de un lado a otro de la ecuacin, de maneraque todos los trminos que tengan la incgnita queden a un lado y losdems al otro, teniendo la precaucin de mantener la igualdad de laexpresin. Por eso, cada vez que trasponemos un trmino se aplica elopuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguienteejemplo: Resolver la ecuacin: (x + 3)2 (x - 1)2 = 3x (x 4) a)Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresin x2 + 6x+ 9 (x2 2x + 1) = 3x x + 4 x2 + 6x + 9 x2 + 2x 1 = 3x x + 4 b)Trasponemos los trminos: x2 + 6x x2 + 2x 3x + x = 4 9 + 1; c)Reducimos trminos semejantes: 6x = -4 ; d) Dividimos por 6: x =-4/6 e) Simplificamos por 2: x = -2/3 Ecuaciones literales deprimer grado Una ecuacin de primer grado literal es aquella quecontiene expresiones literales adems de la incgnita. Por convencin,se identifica como incgnitas a las ltimas letras del alfabeto ycomo literales a las primeras letras del alfabeto (estos literalesse suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literalesse efecta el mismo procedimiento aplicado en la ecuacin del ejemploanterior. La variante es 53. que cuando tengamos todas lasincgnitas a un lado de la ecuacin, factorizaremos por ella parapoder despejarla. Desarrollemos un ejemplo: ax b(x 1) = 3(x + a)Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimostrminos semejantes y trasponemos trminos: a) Resolvemos lasoperaciones ax bx + b = 3x + 3a b) Reducimos trminos semejantes ytrasponemos trminos: ax bx 3x = 3a b c) Factorizamos al ladoizquierdo por la incgnita: x(a b 3) = 3a b d) Para despejar x ycalcular su valor, debemos dividir por (a b 3): (Por qu se divide?Porque el factor de la incgnita es diferente de 1) Ejemplos deplanteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Encuentra dos nmeros consecutivoscuya diferencia de cuadrados sea igual a 9. Sean x y x + 1 losnmeros. Entonces, segn el enunciado dado: (x + 1)2 x2 = 9;desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 x2 = 92x + 1 = 9 x = 4; Por lo tanto los nmeros son 4 y 5. Ejemplo 2:Sergio tiene un ao ms que el doble de la edad de Humberto, y susedades suman 97. Qu edad tiene el menor? Si x es la edad deHumberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que lasuma de las edades es 97, obtenemos la ecuacin: 54. x + 2x + 1 = 973x = 96 x = 32 Reemplazando este valor de x, se concluye que laedad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65. Respuesta: la edad delmenor es 32. Ejemplo: 1.-Resolucin de la ecuacin 2x - 3 = 2 1 paso:Se suma a los dos miembros 3. 2x -3 + 3 = 2 + 3 2x = 5 2 pas. Sedivide los dos miembros por 2. 2x /2 = 5/2 2.- Resolucin de laecuacin 3x -2 = x + 5 1 paso: Restamos x a los dos miembros. 3x -2-x = x - x + 5; 2x - 2 = 5 2 pas. Sumamos 2 a los dos miembros. 2x- 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7 3 pas. Dividimos por 2, el coeficiente dela x 2x/2 = 7/2 SOLUCIN: x = 7 / 2 3.- Resolucin de la ecuacin 5x -4 + x = 7 - 3x + 5 1 paso: Se simplifica los dos miembros. 6x - 4 =12 - 3x 2 paso: Sumamos 3x a los dos miembros. 55. 6x + 3x - 4 = 12- 3x + 3x; 9x -4 = 12 3 paso. Sumamos 4 a los dos miembros. 9x - 4+ 4 = 12 + 4; 9x = 16 4 paso: Dividimos por 9 SOLUCIN: x = 16 / 9ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRTICAS) Ecuaciones de segundogrado y una incgnita Sabemos que una ecuacin es una relacinmatemtica entre nmeros y letras. Normalmente se trabaja conecuaciones en las que slo hay una letra, llamada incgnita, quesuele ser la x. Resolver la ecuacin consiste en encontrar un valor(o varios) que, al sustituirlo por la incgnita, haga que sea ciertala igualdad. Ese valor es la solucin de la ecuacin. Ejemplo:Resolver la ecuacin x 1 = 0 El nmero que hace que esa ecuacin seacierta es el 1, ya que 1 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solucin de laecuacin. Si en la ecuacin la incgnita est elevada al cuadrado,decimos que es una ecuacin de segundo grado (llamadas tambinecuaciones cuadrticas), que se caracterizan porque pueden tener dossoluciones (aunque tambin una sola, e incluso ninguna). Cualquierecuacin de segundo grado o cuadrtica se puede expresar de lasiguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parmetrosque habr que sustituir por los nmeros reales que corresponda encada caso particular. Solucin de ecuaciones cuadrticas Hemos vistoque una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c =0, donde a, b, y c son nmeros reales. 56. Pero este tipo de ecuacinpuede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 9x2 + 6x + 10 = 0a = 9, b = 6, c = 10 3x2 9x + 0 = 0 a = 3, b = 9, c = 0 (el cero,la c, no se escribe, no est) 6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c =10 (el cero equis, la b, no se escribe) Para resolver la ecuacincuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formasmostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes mtodos:Solucin por factorizacin En toda ecuacin cuadrtica uno de susmiembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero;entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse,tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido elproducto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para lavariable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto esigual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x 1) = 9 Lo primero es igualar laecuacin a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios: Ahora,pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar acero: Ahora podemos factorizar esta ecuacin: (2x 3)(x + 4) = 0Ahora podemos igualar a cero cada trmino del producto para resolverlas incgnitas: 57. Si 2x 3 = 0 2x = 3 Si x + 4 = 0 x = 4 Esta mismaecuacin pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x 1) = 92x2 + 5x 12 = 0 2x2 + 5x = 12 2x2 12 = 5x 2) Halle las solucionesde La ecuacin ya est igualada a cero y solo hay que factorizar eigualar sus factores a cero y luego resolver en trminos de x:Ahora, si x = 0 o si x 4 = 0 x = 4 Solucin por completacin decuadrados Se llama mtodo de la completacin de cuadrados porque sepuede completar un cuadrado geomtricamente, y porque en la ecuacincuadrtica se pueden realizar operaciones algebraicas que latransforman en una ecuacin del tipo: (ax + b)2 = n en la cual elprimer miembro de la ecuacin (ax + b)2 , es el cuadrado de la sumade un binomio. Partiendo de una ecuacin del tipo 58. x2 + bx + c =0 por ejemplo, la ecuacin x2 + 8x = 48, que tambin puede escribirsex2 + 8x 48 = 0 Al primer miembro de la ecuacin (x2 + 8x) le faltaun trmino para completar el cuadrado de la suma de un binomio deltipo (ax + b)2 Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lomismo que ax2 + 2axb + b2 En nuestro ejemplo x2 + 8x = 48, el 8representa al doble del segundo nmero del binomio, por lo tanto,ese nmero debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que esigual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 +2ab + b2 ) el tercer trmino corresponde al cuadrado del segundotrmino (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuacin por 16,as tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 x2 + 8x + 16 = 64 la cual,factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 Quees igual a (x + 4)2 = 64 Extraemos raz cuadrada de ambos miembros ytenemos Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 4 x = 4 59. Se dice que"se complet un cuadrado" porque para el primer miembro de laecuacin se logr obtener la expresin (x + 4)2 , que es el cuadradoperfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con laecuacin x2 + 6x 16 = 0 Hacemos x2 + 6x = 16 Luego, a partir de laexpresin x2 + 6x (primer miembro de la ecuacin) debemos obtener unaexpresin de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).Para encontrar el trmino que falta hacemos (Para encontrar dichotrmino en cualquier ecuacin siempre debemos dividir por 2 el valorreal del segundo trmino y el resultado elevarlo al cuadrado).Ahora, para obtener la expresin completa se suma 9 a ambos miembrosde la ecuacin: x2 + 6x = 16 x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 (x + 3)2 = 25 La expresinx2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en estecaso (x + 3)2 , y as la ecuacin se resuelve con facilidad:Extraemos raz cuadrada y queda x + 3 = 5 y x + 3 = 5 (pues 52 = 5 ytambin (5)2 = 5 Entonces 60. x = 5 3 x = 2 Y x = 5 3 x = 8 Laecuacin 1 da x = 2 y la ecuacin 2 da x = 8. Solucin por la frmulageneral Existe una frmula que permite resolver cualquier ecuacin desegundo grado, que es la siguiente: La frmula genera dosrespuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos ()antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita,entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valoresen la frmula. La frmula general para resolver una ecuacin desegundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundogrado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tieneque ver con las tcnicas de factorizacin. Resolver la ecuacin 2x2 +3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = 5, as es que:Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el Ases que las soluciones son 61. PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOSNMEROS REALES Para tener xito en algebra, debe entender como sumar,restar, multiplicar y dividir nmeros Reales. Dos nmeros, en larecta numrica, que estn a la misma distancia del cero pero endirecciones opuestas se denominan: Inversos aditivos, opuestos osimtricos uno del otro. Por ejemplo. 3 es el inverso aditivo de -3,y -3 es el inverso aditivo de 3 El numero 0 (cero) es su propioinverso aditivo. La suma de un nmero y su inverso aditivo es 0(cero). Inverso aditivo Para cualquier nmero real de a, su inversoaditivo es a. Considere el nmero -4. Su inverso aditivo es -(-4).Como sabemos que este nmero debe ser positivo, esto implica que-(-4) = 4. ste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.Propiedad del doble negativo Para cualquier nmero real a, -(-a) = aPor la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absolutoEl valor de cualquier nmero distinto del cero siempre ser un nueropositivo, y el valor absoluto de 0 es 0. Para determinar el valorabsoluto de un nmero real, use la definicin siguiente. La definicinde valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier nmerono negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier nmeronegativo es el inverso aditivo (opuesto9 del nmero. 62. El valorabsoluto de un nmero puede determinarse por medio de la definicin.Por ejemplo. Operaciones con los nmeros Reales 1. Sumar nmerosreales Para sumar dos nmeros con el mismo signo (ambos positivos oambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismosigno comn antes de la suma. La suma de dos nmeros positivos ser unnmero positivo, y la suma de dos nmeros negativos ser un nmeronegativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solucin: Como ambos nmeros que sesuman son negativos, la suma ser negativa. Para determinar la suma,sume los valores absolutos de estos nmeros y coloque un signonegativo antes del valor. Para sumar dos nmeros con signosdiferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valorabsoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene elsigno del nmero con el valor absoluto ms grande. La suma de unnmero positivo y un nmero negativo puede ser positiva, negativa ocero, el signo de la respuesta ser el mismo signo que el numero conmayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los nmeros que sesuman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto ms pequeodel valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. 63.Ahora determinamos la diferencia, 8 3 = 5. El nmero -8 tiene unvalor absoluto mayor que el nmero 3, por lo que la suma esnegativa. 3 + (-8) = -5 Restar nmeros reales Todo problema desustraccin puede expresarse como un problema de suma por medio dela regla siguiente. a b = a + (-b) Para restar b de a, sume elopuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5(+8). Para restar 5 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 8 =5 + (-8) = -3 Multiplicar nmeros reales Para multiplicar dos nmeroscon signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multipliquesus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicardos nmeros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.Ejemplo Cuando multiplicamos ms de dos nmeros, el producto sernegativo cuando exista un nmero impar de nmeros negativos. Elproducto ser positivo cuando exista un nmero par de nmerosnegativos. Propiedad del cero en la multiplicacin Para cualquiernmero a, Dividir nmeros reales Para dividir dos nmeros con signosiguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valoresabsolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos nmeros consignos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida susvalores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando eldenominador de una fraccin es un numero negativo, por lo comnreescribimos la fraccin con un denominador positivo. Para hacerlo,usamos el hecho siguiente. 64. Propiedades de los nmeros reales.Propiedades de los nmeros reales. APLICACIONES DE ECUACIONESLINEALES Pasos para la solucin de problemas: 1. Leer el problemahasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.2. Identificar la informacin disponible y qu es lo que se pregunta.3. Representar la incgnita con un smbolo algebraico, como x. 4.Expresar las dems cantidades en trminos de x. 5. Traducir elenunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los mtodosadecuados. 7. Analizar la respuesta algebraica para ver si esposible. 8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje comn.Ejemplos El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240alumnos, practica deporte. Cuntos estudiantes practican deporte?65. Solucin: Como , entonces para calcular el 20% de 240, basta conmultiplicar 240 por 0,2, es decir: 240 0,2 = 48. Ejemplo Entonces48 alumnos (de los 240) practican deporte. En un curso con 200alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron.Si en el curso el 30% son mujeres, qu porcentaje de alumnosaprobaron el examen? Solucin: Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33 Cantidad devarones: 0,7.200 = 140 (se podra haber hecho 200 60 = 140) Cantidadde varones que aprobaron: 0,65.140 = 91 Total de alumnos queaprobaron: 33 + 91 = 124 Si x representa al porcentaje de alumnosque aprobaron, entonces Ejemplos La ta Berta al morir dejo 160millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el dobleque a Laurita, pero juanita tiene 5 veces ms que Laura a cunto letoco cada uno? Solucin Laurita=x Pedro=2x (dos veces ms que Laura)66. juanita=5x (cinco veces ms que Laurita) x+2x+5x=160 8x=160x=160/8 x=20 con el valor descubierto de x ahora sabemos queLaurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100millones.. Ejemplos Los miembros de una fundacin desean invertir$18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9y 6%, respectivamente. Cunto debern invertir a cada tasa si elingreso debe ser equivalente al que producira al 8% de la inversintotal? Solucin: Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto($18,000 P) ser la cantidad a invertir al 6%. Establecemos:(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = IngresoTotal Sustituimos los valores (9%) P + (6%)($18,000 P) =(8%)*($18,000) Resolvemos para P: .09P + .06 (18,000 P) =.08*(18,000) .09P + 1,080 .06P = 1,440 .09P .06P = 1,440 1,080 .15P= 360 P = (360) / (.15) P = 2,400 Los miembros de la fundacin debeninvertir $2,400 al 9% y $18,000 $2,400 = $15,600 al 6%. 67.Ecuaciones lineales de primer grado Sabemos que una ecuacin linealo de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restasde variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que nose escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representarcomo rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar trestipos de ecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamentetales En este tipo de ecuacin el denominador de todas lasexpresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fraccin,aunque el resultado s puede serlo). Para proceder a la resolucin sedebe: Eliminar parntesis. Dejar todos los trminos que contengan a"x" en un miembro y los nmeros en el otro. Luego despejar "x"reduciendo trminos semejantes. Ejemplo: 4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x +16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 18268. b) ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuacin lineal eldenominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas esdiferente de 1 (es una fraccin). Para proceder a la resolucin sedebe: Llevar a ecuacin lineal (eliminar la fraccin) multiplicandola ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m.)Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 c) ecuaciones literales Pueden serlineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipolineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factorizapor "x" para despejarla. Ejemplo: 69. Sistemas de ecuacioneslineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas tienela siguiente la forma: Donde cada una de las ecuaciones correspondea la ecuacin de una recta. Determinar la solucin del sistema, eshallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar elpunto donde se intersectan ambas rectas. Grficamente, la situacines la siguiente Sistema compatible indeterminado Sistema lineal dedos ecuaciones con dos incgnitas 70. Se puede ver: Con lo quepodemos decir que la primera ecuacin multiplicada por tres da lasegunda ecuacin, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes,sino dos formas de expresar la misma ecuacin. Tomando una de lasecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos: CLASIFICAMOS LOSSIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) 2 x + y = 6 2 x - y =2 a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cadaecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: 71. x = 1, y =4; x = 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y=0; x = 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que ser lasolucin:x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema ser compatibledeterminado. Vemos la representacin ms abajo .x + y = 3 2 x + 2 y =6 b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cadaecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacin son: x = 0, y = 3; x= 3, y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacin son: x = 1, y = 2;x = 2, y = 1 Las rectas coinciden, toda la recta es solucin delsistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema sercompatible indeterminado. Vemos la representacin ms abajo b) x + y= 3 x + y = - 1 c) Dibujamos las rectas que representan lassoluciones de cada ecuacin: Dos soluciones de la primera ecuacinson: x = 0,y = 3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuacinson: x = 0, y =-1; x = -2, y = 1 72. Las rectas son paralelas, notienen ningn punto en comn, luego el sistema no tiene solucin. Portanto, el sistema ser incompatible. Vemos la representacinsiguiente: 73. Graficas Mtodos de resolucin de sistemas deecuaciones lineales Mtodo de reduccin Consiste en multiplicarecuaciones por nmeros y sumarlas para reducir el nmero de incgnitashasta llegar a ecuaciones con solo una incgnita. 74. Multiplicaruna ecuacin por un nmero consiste en multiplicar ambos miembros dela ecuacin por dicho nmero. Sumar dos ecuaciones consiste enobtener una nueva ecuacin cuyo miembro derecho (izquierdo) es lasuma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones quese suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuacin por 3 y lasegunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambasecuaciones nos da la ecuacin Que es una ecuacin con una solaincgnita y cuya solucin es La eleccin de los factores 3 y -5 se hahecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambasecuaciones. Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistemade ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuacin con unasola incgnita y cuya solucin es . Mtodo de igualacin 75. El mtodode igualacin consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dosecuaciones: Donde , , y representan simplemente los miembros deestas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dosigualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incgnita delsistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuacinNo contendra dicha incgnita. Este proceso de eliminacin deincgnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuacincon solo una incgnita, digamos . Una vez que se obtiene la solucinde esta ecuacin se sustituye por su solucin en otras ecuacionesdonde aparezca para reducir el nmero de incgnitas en dichasecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a esteotro 76. El segundo sistema lo he obtenido pasando los trminos endel miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una delas ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduceque Que es una ecuacin con una sola incgnita cuya solucin es .Sustituyendo por 1 en la primera ecuacin del sistema de partida setiene que Que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucines . Mtodo de sustitucin Supongamos que un sistema de ecuaciones sepuede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segundaecuacin y sustituirla en la primera, para obtener la ecuacin: Loque se busca es que esta ecuacin dependa de menos incgnitas que lasde partida. Aqu y son expresiones algebraicas de las incgnitas delsistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuacin se puedereescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuacin delsistema se deduce que 77. Sustituyendo por en Se tiene que Que esuna ecuacin con solo una incgnita y cuya solucin es . Sustituyendopor uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partidaobtenemos una ecuacin de una sola incgnita Cuya solucin es . Mtodode Gauss Gauss es uno de los matemticos ms importantes de todos lostiempos. Fue un GENIO! El mtodo de Gauss consiste en transformar elsistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matrizampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con susfilas la transformamos en una matriz triangular superior ( oinferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente alinicial y que es muy fcil de resolver. Es esencialmente el mtodo dereduccin. En el mtodo de Gauss se opera con ecuaciones, como sehace en el mtodo de reduccin, pero uno se ahorra el escribir lasincgnitas porque al ir los coeficientes de una misma incgnitasiempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es laincgnita a la que multiplican. Ejemplo La matriz ampliada delsistema de ecuaciones: 78. Es: Si a la tercera y segunda fila lerestamos la primera, obtenemos: Lo que acabamos de hacer esequivalente a restar a la tercera y segunda ecuacin la primera. Siahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ),obtenemos la siguiente matriz triangular superior: Que es la matrizampliada del sistema de ecuaciones: Que es equivalente al inicial.Solucionamos la tercera ocupacin para obtener : En la primera ysegunda ecuacin, sustituimos por la solucin de la tercera ecuacin (), para obtener: 79. La segunda ecuacin es ahora una ecuacin conuna sola incgnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, enla primera ecuacin, por 1 ( ). Esto nos da una ecuacin en : Que alresolverla termina de darnos la solucin del sistema de ecuacionesinicial: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIN ALGEBRAICA. Es larepresentacin de un smbolo algebraico o de una o ms operacionesalgebraicas. TRMINO. Es una expresin algebraica que consta de unsolo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo +o -. Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, elcoeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UNTRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales.GRADO DE UN TRMINO CON RELACIN A UNA LETRA. Es el exponente dedicha letra. CLASES DE TRMINOS. El trmino entero es el que no tienedenominador literal, el trmino fraccionario es el que tienedenominador literal. El trmino racional es el que no tiene radical,e irracional el que tiene radical. TRMINOS HOMOGNEOS. Son los quetienen el mismo grado absoluto. TRMINOS HETEROGNEOS. Son los dedistinto grado absoluto. TRMINOS SEMEJANTES. Dos trminos sonsemejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuandotienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 80. 10Ejemplos de Trminos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya queambos trminos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un trminosemejante a -3y2 x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x) 3. 5xyrb es un trmino semejante con xyrb 4. 4bx2 no es semejantea 4b2 x ya que el literal bx2 no es igual al b2 x. 5. 5hk essemejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 essemejante a 9j3 k3 porque (jk)3 = j3 k3 7. 5ty es semejante a 3ty8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky510.378ab3 c2 no es semejante

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