Lógica de Primer Orden: Lógica dePredicados

Departamento de Matemáticas

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.1/21

Predicados

Definición

Un predicado es una oración que contiene unnúmero definido de variables y que se vuelve enuna proposición cuando las variables sonsustituidas por valores.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.2/21

Predicados

Definición

Un predicado es una oración que contiene unnúmero definido de variables y que se vuelve enuna proposición cuando las variables sonsustituidas por valores. El dominio de un predicadoes el conjunto de todos los valores que pueden sersustituidos en las variables.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.2/21

Cuantificador Universal

Definición

Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.3/21

Cuantificador Universal

Definición

Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unasentencia universal es una declaración de la forma:

∀x ∈ D,Q(x) (1)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.3/21

Cuantificador Universal

Definición

Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unasentencia universal es una declaración de la forma:

∀x ∈ D,Q(x) (1)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.3/21

Cuantificador Universal

Definición

Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unasentencia universal es una declaración de la forma:

∀x ∈ D,Q(x) (1)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x)es falsa al menos para un elemento x del dominio.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.3/21

Cuantificador Universal

Definición

Sea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unasentencia universal es una declaración de la forma:

∀x ∈ D,Q(x) (1)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x)es falsa al menos para un elemento x del dominio.El elemento x para el cual Q(x) es falsa se llamacontraejemplo a la afirmación universal.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.3/21

Cuantificador existencial

Definición

Sea Q(x) un predicado con cominio D.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.4/21

Cuantificador existencial

Definición

Sea Q(x) un predicado con cominio D. Unadeclaración existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x) (2)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.4/21

Cuantificador existencial

Definición

Sea Q(x) un predicado con cominio D. Unadeclaración existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x) (2)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.4/21

Cuantificador existencial

Definición

Sea Q(x) un predicado con cominio D. Unadeclaración existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x) (2)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera. A este valor lo referiremos aunejemplo para la afirmación.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.4/21

Cuantificador existencial

Definición

Sea Q(x) un predicado con cominio D. Unadeclaración existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x) (2)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera. A este valor lo referiremos aunejemplo para la afirmación. La afirmación seráfalsa si para todo x en el dominio Q(x) es falsa.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.4/21

El símbolo ∀ se llama cuantificador universal.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.5/21

El símbolo ∀ se llama cuantificador universal.

El símbolo exists se llama cuantificador existencial.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.5/21

Ejemplo

Suponga que se hace referencia a las figuras queaparecen en la gráfica:

a

b c

d

g

e

f

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.6/21

Ejemplo

Suponga que se hace referencia a las figuras queaparecen en la gráfica:

a

b c

d

g

e

f

Podríamos definir

nuestro discurso a lasfiguras a,b,c,d,e,f,g.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.6/21

Ejemplo

Suponga que se hace referencia a las figuras queaparecen en la gráfica:

a

b c

d

g

e

f

Podríamos definir

nuestro discurso a lasfiguras a,b,c,d,e,f,g. Ydefinir los predicados:

Azul(t) = t es de color azul.Rojo(t) = t es de color rojo.

Triangulo(t) = t es un triángulo .Cuadrado(t) = t es un cuadrado.

Circulo(t) = t es un círculo.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.6/21

Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

1. ∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

2. ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

3. ∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

4. ∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

5. ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.7/21

Con los predicados y la figura generamos la tabla:Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo

a T F T F F

b T F T F F

c F T F F T

d F T F T F

e F T F T F

f F T F T F

g F T F F T

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.8/21

Para la afirmación:

∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo ∨ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.9/21

Para la afirmación:

∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo ∨ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

La afirmación es falsa

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.9/21

Para la afirmación:

∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo ∨ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

La afirmación es falsa : a y b son contraejemplos.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.9/21

Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.10/21

Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

La afirmación es cierta

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.10/21

Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

La afirmación es cierta : d, e y f son ejemplos.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.10/21

Para la afirmación:

∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.11/21

Para la afirmación:

∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

La afirmación es falsa

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.11/21

Para la afirmación:

∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Rojo

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

La afirmación es falsa : a, b, c y g son contraejemplos.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.11/21

Para la afirmación:

∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Triangulo ∨ Rojo

a T F T F F T

b T F T F F T

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.12/21

Para la afirmación:

∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Triangulo ∨ Rojo

a T F T F F T

b T F T F F T

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

La afirmación es cierta.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.12/21

Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Azul

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F F

e F T F T F F

f F T F T F F

g F T F F T F

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.13/21

Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)

Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado ∧ Azul

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F F

e F T F T F F

f F T F T F F

g F T F F T F

La afirmación es falsa.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.13/21

Ejemplo

Considere los siguientes datos:

Nombre Carrera Edad Hobby

Juan ITEC 21 Leer

María IMA 20 Música

Tomás IIS 23 Futbol

Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer

Soledad LCC 24 Futbol

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.14/21

Ejemplo

Considere los siguientes datos:

Nombre Carrera Edad Hobby

Juan ITEC 21 Leer

María IMA 20 Música

Tomás IIS 23 Futbol

Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer

Soledad LCC 24 Futbol

Nuestro dominio consiste de las personas

Juan, María, Tomás, Lalo, Luis, y Soledad.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.14/21

Ejemplo

Considere los siguientes datos:

Nombre Carrera Edad Hobby

Juan ITEC 21 Leer

María IMA 20 Música

Tomás IIS 23 Futbol

Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer

Soledad LCC 24 Futbol

Nuestro dominio consiste de las personas

Juan, María, Tomás, Lalo, Luis, y Soledad.Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

1. ∃x, x es menor de 19 años.

2. ∃x, x tiene como hobby el correr.

3. ∀x, x tiene como hobby leer o x eshombre.

4. ∀x, si x tiene como hobby la músicaentonces x es mujer.

5. ∃x, x tiene como carrera Letras.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.14/21

De acuerdo a las preguntas, en este ejemplo conviene defi-

nir los predicados:M19(t) = t tiene menos de 19 años.

Co(t) = t tiene como hobby correr.Leer(t) = t tiene como hobby leer.Mus(t) = t tiene como hobby la música.

H(t) = t es un hombre.M(t) = t es un mujer.

Letras(t) = t tiene como carrera Letras.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.15/21

De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla:M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.16/21

De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla:M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F

La afirmación ∃x, x es menor de 19 años es falsa.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.16/21

De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla:M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F

La afirmación ∃x, x tiene como carrera Letras es falsa.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.16/21

De acuerdo a los predicados, tendríamos la siguiente tabla:M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F

La afirmación ∃x, x tiene como hobyy correr es falsa.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.16/21

Para la afirmación:

∀x, x tiene como hobby leer o x es hombre

M19 C Leer Mus H M Letras Leer ∨ H

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F F

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F F

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.17/21

Para la afirmación:

∀x, x tiene como hobby leer o x es hombre

M19 C Leer Mus H M Letras Leer ∨ H

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F F

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F F

Deducimos que es falsa

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.17/21

Para la afirmación:

∀x, x tiene como hobby leer o x es hombre

M19 C Leer Mus H M Letras Leer ∨ H

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F F

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F F

Deducimos que es falsa : María y Soledad son los contrae-

jemplos.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.17/21

Para la afirmación:

∀x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer.

M19 C Leer Mus H M Letras Mus → M

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F T

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F T

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.18/21

Para la afirmación:

∀x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer.

M19 C Leer Mus H M Letras Mus → M

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F T

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F T

Deducimos que es verdadera.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.18/21

Para la afirmación:

∀x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer.

M19 C Leer Mus H M Letras Mus → M

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F T

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F T

Deducimos que es verdadera.

No te que la clave es que F → X es T.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.18/21

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienen afirmacionesverdaderas:1. P (−2)

2. P (−6)

3. P (12)

4. P (2)

5. P (−4)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.19/21

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienen afirmacionesverdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.

2. P (−6)

3. P (12)

4. P (2)

5. P (−4)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.19/21

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienen afirmacionesverdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.

2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (12)

4. P (2)

5. P (−4)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.19/21

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienen afirmacionesverdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.

2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (12) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2)

5. P (−4)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.19/21

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienen afirmacionesverdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.

2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (12) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 ≤ 10.

5. P (−4)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.19/21

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienen afirmacionesverdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.

2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (12) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 ≤ 10.

5. P (−4) Falsa: (−4)2 = 16 6≤ 10.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.19/21

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2)2. P (−2, 1)3. P (−3, 1)

4. P (12, 1)

5. P (1,−3)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.20/21

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1)3. P (−3, 1)

4. P (12, 1)

5. P (1,−3)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.20/21

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1)

4. P (12, 1)

5. P (1,−3)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.20/21

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa.

4. P (12, 1)

5. P (1,−3)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.20/21

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa.

4. P (12, 1) : (1/2 < 1) → (1/4 < 1): cierta.

5. P (1,−3)

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.20/21

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado: Si x < y, entoncesx2 < y2. Con dominio para x y para y todo elconjunto de los números reales. Identifique cuálesopciones contienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa.

4. P (12, 1) : (1/2 < 1) → (1/4 < 1): cierta.

5. P (1,−3) : (1 < −3) → (1 < 9): cierta.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.20/21

Ejemplo

Para la afirmación:

∀ político x, x es un buen conversador

Indique cuáles expresiones la describen:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.21/21

Ejemplo

Para la afirmación:

∀ político x, x es un buen conversador

Indique cuáles expresiones la describen:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores.2. Todo político es un buen conversador.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.21/21

Ejemplo

Para la afirmación:

∀ político x, x es un buen conversador

Indique cuáles expresiones la describen:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores.2. Todo político es un buen conversador.3. Cada político es un buen conversador.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.21/21

Ejemplo

Para la afirmación:

∀ político x, x es un buen conversador

Indique cuáles expresiones la describen:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores.2. Todo político es un buen conversador.3. Cada político es un buen conversador.4. Algunos buenos conversadores son políticos.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.21/21

Ejemplo

Para la afirmación:

∀ político x, x es un buen conversador

Indique cuáles expresiones la describen:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores.2. Todo político es un buen conversador.3. Cada político es un buen conversador.4. Algunos buenos conversadores son políticos.5. Cualquier político es un buen conversador.

Lógica de Primer Orden: Lógica de Predicados– p.21/21

{small {Predicados}}{small {Cuantificador Universal}}{small {Cuantificador existencial}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}{small {~$$}}