Optica – Tema 1 – Optica Geometrica – 2010-11

Fundamentos de ptica

Apuntes de ptica Curso 2010/11

TEMA 1 PTICA GEOMTRICA

Prof. Dr. E. Gmez GonzlezDepartamento de Fsica Aplicada IIIE.S.Ingenieros – Universidad de Sevilla E.G.G. DFA III-ESI 2010/11E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA UNIVERSIDAD DESEVILLA

2 Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1 pticaGeomtrica) CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA

1

Tema 1: ptica Geomtrica Leyes bsicas de la ptica Geomtrica:refraccin y reflexin Sistemas pticos Aproximacin paraxial Dioptrioesfrico Lentes y sistemas Aberraciones Diafragmas y pupilas El ojohumano Espejos Dispersin y prismas La cmara fotogrfica Instrumentospticos: telescopios, microscopios y otros Fibras pticas

Estos Fundamentos de ptica han sido especficamente adaptadoscomo Apuntes para el Curso de ptica que imparte el autor en laasignatura Campos Electromagnticos de Ingeniera de Telecomunicacinde la E.S.Ingenieros de la Universidad de Sevilla. Se recomienda suutilizacin combinada con los dems materiales y referencias de laasignatura.Propiedad Intelectual Estos Apuntes, as como el materialcontenido en ellos, estn protegidos por las normas vigentes dePropiedad Intelectual y nicamente pueden destinarse al estudiopersonal. Para citar la informacin contenida en los mismos debeindicarse: Gmez Gonzlez, E.: Fundamentos de ptica, Universidad deSevilla 2009. as como los datos especficos de cada obra detalladosen las Referencias indicadas entre corchetes []. [99] Gmez Gonzlez,E.: Ecuaciones de evolucin de singularidades asociadas a losfrentes de onda. Relaciones de dualidad en ptica Geomtrica, TesisDoctoral, Universidad de Sevilla 1996.Portada: Lente de Fresnel enFaro Martimo. Museo de la Tcnica, Viena, s.XIX.

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(TEMA 1 ptica Geomtrica)

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E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Sistemas pticos: Elementos eje + plano meridional rayo: altura +ngulo[1]

[1]

PROCESADOEspacio de Entrada (Espacio OBJETO) Espacio de Salida(Espacio IMAGEN)

Qu nos interesa? Determinar la POSICIN y CARACTERSTICAS de laimagen: tipo: real / virtual orientacin: directa / invertida tamao:aumentada / reducida ptica de primer orden sistemas ideales +aberraciones + efectos de difraccin (segn ) ptica de rdenessuperiores sistemas reales

[1]

Criterio de signos: recomendamos seguir la Society ofPhotooptical & Instrumentation Engineering (SPIE):Unasuperficie tiene radio de curvatura positivo si su centro decurvatura se encuentra a la derecha del vrtice (definido como lainterseccin de la superficie con el eje ptico). Por supuesto, laconcavidad o convexidad de una superficie depende de «desde dnde semire». En ptica, en general, se consideran las superficies «vistasdesde el exterior», es decir, «desde donde incide la luz» (que,recordemos, incide de izquierda a derecha, segn el eje ptico).Existen otros criterios (americano, europeo) usados en algunosejemplos para demostrar la validez y equivalencia de lasecuaciones. 2 Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA

ptica Gaussiana: aplicacin del espacio objeto en espacio imagenpuntos / lneas / planos conjugados ecuaciones gaussianas / deNewton aproximacin paraxial: ecuaciones lineales vlida en entornodel eje ptico condicin de estigmatismo: cada punto objeto da lugara un nico punto imagen todos los rayos son paraxiales3 E.G.G. DFAIII-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

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Leyes bsicas de la OG 1. Propagacin rectilnea de los rayos enmedios homogneos 2. Principio de superposicin de los rayos 3. Leyde la reflexin 4. Ley de la refraccin

[1]

Reflexin: incidente = reflejado tipos:

Especular y Difusa reflectancia () de la interfase:Flas. deFresnel En incidencia normal:[4]

n n1 = 2 n 2 + n1

2

Refraccin: ley de Snell n1 sen1 = n2 sen22 Ing. Telecom. CAMPOSELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1 ptica Geomtrica) 4

[7] E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Refraccin: superficie planaSi la interfase es medio menos densomedio ms denso (n1n2, existe un valor del ngulo de incidencia (1)tal que el rayo refractado no pasa al segundo medio: el ngulo lmitengulo crtico (critical angle, C). Si 1 > C el rayo experimentareflexin total y vuelve al primer medio:

2 = 90 1

2 =90

n = C = arcsen 2 n1 [8]

Pero tambin

[7] 2 Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1 pticaGeomtrica) 5 E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

[8] [4]

Reflexin total (total internal reflection, TIR)[1]

[1]

Aplicaciones: transmisin de imagen transmisin de luz:iluminacin, comunicaciones pticas redireccin de trayectorias:instrumentos pticos Dispositivos: prismas, fibras pticas

[7] 2 Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1 pticaGeomtrica) 6 E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

[7]

Profundidad aparente[7]

APosicin aparente y < y real (y) y y

B

n1 s e n i = n 2 s e n t A B = y ta n i n1 c o s i n cos t = 2 yy’ n y’= y 2 n1[8] 2 Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA(TEMA 1 ptica Geomtrica) 7 E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DESEVILLA

Dioptrio EsfricoDioptrio: Superficie que separa dos medios dedistinto ndice de refraccin. Si es esfrica dioptrioesfricoElementos: Radio (R) = radio de curvatura de la superficieesfrica Curvatura de la superficie: K=1/R Eje = eje ptico delsistema Vrtice o Polo (V) = interseccin del eje con el dioptrioPotencia de una superficie ptica: Distancia focal efectiva: fe FocoObjeto = F, distancia focal objeto f = FV Foco Imagen = F,distancia focal imagen f = VF[14]

= ( n n ‘) C =

n n’ R

fe =

1

Situaciones de inters:

– rayos incidentes paralelos al eje lo cortan en un punto (F) -rayos emitidos desde un punto particular (F) salen paralelos aleje[14]

definimos F y F como focos objeto e imagen situados a f y f

f = ecuacin:

nR n’ n

f ‘=

n’ R n’ n

f’ f =1 s’ s aumento: Suponemos que se verifica la condicin deestigmatismo (cada punto objeto da lugar a un nico punto imagen)todos los rayos son paraxiales2 Ing. Telecom. CAMPOSELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1 ptica Geomtrica)

AL =8

y’ y’ n s’ = y y n’ s E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DESEVILLA

Ej. 1: Un pisapapeles de vidrio (n = 1.5) est hecho de un bloquecilndrico cuya cara superior es una superficie esfrica convexa de 2cm de radio. Si la altura total del bloque es 4 cm, determinar laposicin y tamao de la imagen de una lmina situada en la caraplana.[14] [14]

Objeto a la izquierda s < 0 R 0 LENTE CONVERGENTE

f < 0 LENTE DIVERGENTE

[8]

[8] E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

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Lentes delgadas: ecuacionesA partir de la ec. del dioptrio, larelacin entre las posiciones del objeto y la imagen es:donde s =distancia del punto objeto P a V s = distancia del punto imagen P aV R1, R2 = radios de curvatura de las superficies

s[9]

s

1 1 1 1 = (n 1) R R s’ s 2 1Ec. del constructor de lentes

Como se cumple que

para el foco imagen, si s = f s =

1 1 1 = (n 1) R R f’ 2 1

para el foco objeto: lo mismo, con signos cambiados f = – f. Sies convergente f > 0 divergente f < 0 Y, por tanto:

1 1 1 = s’ s f ‘

Ec. de la lente delgada

y el aumento lateral, AL, (o magnificacin, m) est dado por AL == y s Se define como potencia (o convergencia) de la lente al valor1/f Si la distancia focal se mide en metros, entonces la potenciase mide en dioptras (D) asociacin de varias lentes de focales fi:2Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA

y’

s’

1 1 = f ‘ i fi13 E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DESEVILLA

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Lentes delgadas: ejemplosEj. 1: Consideremos una lenteplano-convexa de ndice n = 1.6 y radio de curvatura 20 cm. i) Cules su distancia focal? ii) Determinar la posicin y aumento de unobjeto situado a 25 cm de la lente. i) Cara plana: r = 1 1 1 1 1 =(n 1) = (1.6 1) f ‘ = 33.3 cm R R f’ 20 2 1

Lentes gruesas 1 1 (n 1) d 1 = (n 1) + f’ R1 R2 n R1 R2 d =grosor (en el eje)

(sale f > 0, como corresponde a una lente convergente)ii)

1 1 1 = s ‘ = 100.3 cm s’ s f ‘(virtual, como corresponde aobjeto detrs del foco) Aumento y ‘ s ‘ 100.3AL = y = s = 25 =4

AL > 1 imagen mayor que el objeto Ej. 2: Calcular ladistancia focal de una lente de ndice n = 1.5 si sus caras son dossuperficies convexas de radios de curvatura 0. m y 0.3 mrespectivamente. Ej. 3: Un objeto tiene un tamao de 3 m. Cul ser eltamao de la imagen dada por una lente convergente de 3 dioptras siel objeto est situado a 40 cm de la lente?2 Ing. Telecom. CAMPOSELECTROMAGNTICOS PTICA

Ejemplo de sistema real: faros bi-Xenon fuente extensa reflectorelipsoidal lente gruesa diafragma parcial (trampilla)14 E.G.G. DFAIII-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

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Aberraciones: Diferencias entre el comportamiento real de lossistemas y el modelo ideal. Afectannegativamente a la calidad de laimagen. Se clasifican en:- las 5 aberraciones geomtricas o deSeidel: A. Esfrica, Coma, Astigmatismo, Curvatura de Campo yDistorsin – efecto de vieteado Custica – aberracin cromtica

i) A. EsfricaLos rayos incidentes paralelos al eje cerca de losbordes convergen ms cerca de la lente que los incidentes cercanosal eje (rayos paraxiales) el FOCO no es puntual (!!) y hay A.E.Longitudinal (a lo largo del eje) y A.E.Transversal. La superficieenvolvente de los rayos se denomina custica. Si se forma porrefraccin, tambin se denomina diacustica y si se forma porreflexin, catacustica. Foco ms cercano Foco paraxialLuzincidente

Superficie reflectante

[99]

Aberracin Esfrica Longitudinal (AEL) y Transversal (AET) Laslentes con la A.E corregida se denominan asfricas.

Formacin de una custica por reflexin en una superficieesfrica.

ii) ComaLos rayos incidentes oblicuos convergen en distintospuntos del plano focal. Puede ser positiva o negativa. Msimportante en la periferia de la imagen. Objetivos (lentes) con laA.E. y el coma corregido se denominan aplanticos.2 Ing. Telecom.CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1 ptica Geomtrica) 15 E.G.G.DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

iii) AstigmatismoDiferencias en las imgenes formadas en losplanos meridional y sagital debidas a la prdida de la simetrarotacional. Provoca que en la imagen de un objeto plano las lneashorizontales aparezcan enfocadas y las verticales no (o viceversa).Objetivos (lentes) corregidos: anagtismticos

iv) Curvatura de Campo: La imagen deun objeto plano extenso seforma sobre una superficie curvada (cuya curvatura es el recprocodel radio de la lente) denominada superficie de Petzval. Tpica delos microscopios

v) Distorsin: Diferencias geomtricas entre laimagen y el objetodebidas a diferencias en la magnificacin entre el centro y la zonaperifrica de la lente. Puede ser de tipo cojn (positiva) o de tipobarril (negativa).

Porcentaje de Distorsin (D) D = (DR – DP / DP) x 100DR =Distancia Real (Actual) DP = Distancia Predicha (Predicted)

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A. Cromtica: Diferencia en el punto (plano)focal segn lalongitud de onda incidente debido a que las longitudes de ondacortas (azules) se refractan ms que las largas (rojas) hay dosfocos lmite: rojo y azul, con fA< fR y f (1/60)fref siendo fref= f(550 nm) Produce la formacin de una imagen doble roja-azul.Correccin: uso de Dobletes Acromticos (achromats) = Pareja delentes de materiales distintos positiva (ndice bajo, vidrio crown)+ negativa (ndice alto, vidrio flint) cuyas aberraciones secompensan y tal que la combinacin tiene la distancia focaldeseada.[20]

Vieteado: es la aparicin de ngulos oscuros enla periferia de laimagen (y oscurecimiento general) debido a que las diferenciasentre los conos de luz transmitidos por los distintos elementos delsistema producen una reduccin de la pupila de salida (PS), ya queel brillo (B) de la imagen formada es B ~ PS2. Algunas causas son:usar filtros de dimetro menor del adecuado, parasoles de objetivosde gran distancia focal y objetivos gran angular.

[20]

Correccin de la aberracin cromtica mediante el uso de dobletesacromticos.

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Diafragmas y Pupilas Diafragma de apertura (aperture stop):Apertura fsica limitante. Ej: diafragma de iris Pupila de entrada(PE, entrance pupil, EP) Imagen del diafragma en espacio objeto Siel sistema ptico tiene dimetro efectivo D, se aproxima PE ~ DPupila de salida (PS, exit pupil, XP) Imagen del diafragma enespacio imagenCrculo ocular (crculo de Ramsden): Pupila de salidade un instrumento visual (lente ocular, eyepiece) diseado paraobservacin directa por el ojo humano. Para un sistema ptico dedimetro efectivo D y aumento m:

[2]

[19]

Cono de entrada en el sistema: definido por los rayos – marginal(marginal ray): desde el punto del objeto en el eje hasta el bordede la PE y – principal (chief ray): desde el punto del objeto msalejado del eje hasta el centro de la PE

PE D D PS m PE m= PS

[2] 2 Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1 pticaGeomtrica) 18 E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

El ojo humano y el proceso de visin

Ojo relajado o no acomodado:

[8]

Ojo acomodado:

[9]

Ojo normal: lmites de enfoque – punto remoto: en el infinito -punto prximo: a ~25 cm[8]

[9]

[9] (TEMA 1 ptica Geomtrica) 19 E.G.G. DFA III-ESI2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

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Ojo humano: modelosEl comportamiento ptico del ojo humano sepuede analizar mediante dos modelos esquemticos: en ambos se asumeque el foco imagen (F) est sobre la retina de manera que un objetoen el infinito forma su imagen en la retina ( ojo relajado noacomodado) modelo de Listing: se considera el ojo (completo)equivalente a un dioptrio esfrico de radio 5.6 mm que separa mediosde ndice de refraccin 1 y 1.33. modelo simplificado: es el modeloms usado. Considera el ojo (completo) equivalente a una nica lenteconvergente de distancia focal 17 mm (y, por tanto, 58.8 D)[8][8]

[8]

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Ojo humano: acomodacin Con el ojo relajado no acomodado, laimagen de un punto (objeto) en el infinito (rayos incidentesparalelos al eje ptico) se forma en la retina. Si el objeto seacerca, se vera borroso, pero el radio de curvatura del cristalinovara (capacidad de acomodacin), aumentando su convergencia para quela imagen se siga formando en la retina y, por tanto, vindose ntida(enfocada). el punto objeto que, con el ojo no acomodado(relajado), forma su imagen en la retina se denomina punto remoto(y es el punto conjugado de un punto de la retina). Si el puntoremoto est en el infinito, se dice que el ojo es emtrope (ojonormal): la visin puede abarcar objetos a cualquier distancia, conel suficiente poder de acomodacin. En el modelo simplificado,

f o’ = 17 mm

1 1 = = 58.8 dioptras f o’ 0.017

el punto ms cercano al ojo para el que an se forma visin ntidase denomina punto prximo (o punto cercano, near point). Para un ojonormal suele estar a unos 25 cm y as la potencia para que la imagense siga formando en la retina (potencia del ojo acomodado) es

1 1 1 = s’ s f ‘

1 1 1 = 0.017 0.25 f ‘

1 = 62.8 dioptras f’

por lo que el poder de acomodacin del ojo es 62.8-58.8 = 4dioptrasAl caracterizar la potencia de aumento (magnifying power,MP) de un instrumento ptico suele asumirse la formacin de la 250 mmimagen (observacin) correspondiente a un objeto en el punto prximoy se expresa MP siendo f la distancia focal del instrumento (enmm). f Ejemplo: Se fabrica una lupa con una lente de f = 25 mm. Cules su aumento? a cuntas dioptras corresponde? Sol.: 250 mm 250 mmMP = = 10 MP = 10 x Es una lupa de 10 aumentos, y D = 1/f = 40dioptras. 25 mm f2 Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA(TEMA 1 ptica Geomtrica) 21 E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDADDE SEVILLA

Ojo humano: condiciones de visin Cuando el ojo no es emtrope portener algn defecto refractivo, se denomina amtrope. Dos tiposespecialmente importantes de ametropa son: Miopa vista corta: Elpunto remoto no est en el infinito y la imagen de objetos lejanosse forma delante de la retina (se ven borrosos). Se ven bien losobjetos cercanos. Como se trata de un exceso de convergencia, paracorregirla se usa una lente divergente cuyo foco imagen F est en elpunto remoto. As, un rayo procedente del infinito es visto por elojo como procedente de ese punto remoto. Hipermetropa: Hay unafalta de convergencia y la imagen se forma detrs de la retina. Seven bien los objetos lejanos. La correccin se realiza con una lenteconvergente que adelanta el foco. La reduccin de la capacidad deacomodacin (prdida de elasticidad de los tejidos por la edad) sedenomina presbicia (vista cansada):

Sensibilidad espectralPresenta un mximo en la longitud de ondatomada como referencia [9] (dominante solar).2 Ing. Telecom. CAMPOSELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1 ptica Geomtrica) 22 E.G.G. DFAIII-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Ojo humano: ejemplosEj. 1: En el modelo de Listing del ojohumano, i) calcular las distancias focales. ii) a qu distancia delvrtice del dioptrio se encontrara la retina? i) Como

f ‘=

n’ R n’ n

f ‘ = 2.26 cm

y

f =

nR n’ n

f = 1.7 cm

ii) la retina debe estar en el foco imagen, es decir, a 2.26 cmdel vrtice del dioptrio. Ej. 2: Cul ser el poder de acomodacin deun ojo para formar la imagen en la retina de un objeto situado a 40cm de l? Ej. 3: Un miope no ve con claridad los objetos situados adistancia superior a 75 cm. Calcular la potencia de la lente que lepermita ver con nitidez objetos lejanos. Como el punto remoto est a0.75 m, la potencia del ojo en estado relajado es

1 1 1 1 1 1 1 = = = 60.01 D s’ s f ‘ 0.017 0.75 f ‘ f’y lapotencia necesaria para ver un objeto lejano (s = ) es

1 1 1 1 1 1 1 = = = 58.8 D s’ s f ‘ 0.017 f ‘ f’

el ojo tiene un exceso de potencia de 60.01 – 58.8 = 1.3 D porlo que se necesita una lente divergente de -1.3 D.

Ej.4: Un individuo padece presbicia y no puede ver con nitidezobjetos situados a una distancia inferior a 0.8 m. Calcular lapotencia de la lente que le permitira ver objetos situados a 25 cmdel ojo. Sol.: Lente convergente de 2.7 dioptras.

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Espejos: Elementos pticos reflectantesTipos:1. Segn suestructurai) Convencionales: soporte rgido + sustrato reflectante +vidrio protector ii) Espejos de primera cara (front / first surfacemirrors, FSM): sin vidrio protector – evitan reflexin doble /mltiple: sistemas para comunicaciones pticas – difcil manipulacin,mantenimiento y limpieza [17] – alto coste

2. Segn su geometra i) Planos ii) Curvos

Retrovisor interior de automvil: 1 espejo plano

Periscopio:2 espejos planos paralelos

B = haz brillante D = haz dbilRecordemos que el coeficiente dereflexin depende del ngulo de incidencia.

D[9]

B

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Espejos curvos

Rayos auxiliares: (1), (2), (3)(mismos que en las lentes)

[1]

[1]

Ej.: Los retrovisores curvos de automvil son espejos convexos yaque unca pueden formar la imagen invertida (!). No obstante, comola imagen es reducida, se incluye una leyenda indicativa de queeste tamao pequeo no implica distancia reducida al objetovisualizado.[7] E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DESEVILLA

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Espejos curvos: elementos y ecuaciones. Siendo R = radio decurvatura, f = distancia focal,zi = distancias objeto/imagen, yi =tamaos del objeto/imagen, se tiene: R f = 2 1 1 1 + = z1 z2 f

m=

y2 z = 2 y1 z1

[1]

Aberracin esfrica y custica[1]

[1] [17] 2 Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNTICOS PTICA (TEMA 1ptica Geomtrica) 26 E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DESEVILLA

Como n=n(), con nrojo < nvioleta el ngulo de refraccin refr =refr()

Dispersin: prismas y sus aplicacionesAnlisis de materiales: paradeterminar el n de un material: medimos min

760 nm

[7]

[2]

[17]

390 nm

550 nm

Sistemas de balance de blancos en las cmaras digitales: un CCDlineal mide el peso relativo de cada componente espectral de lailuminacin.

min = 2 arcsen n sen

2

Caracterizacin ptica de un material:i) n = ndice de refraccindel medio (a 587 nm) ii) Medidas de la Dispersin: – Refractividad =n 1 – Dispersin principal = nF nC – Nmero de Abbe: V iii) Mapa devidrios: nd frente a V glass line: lugar geomtrico de los v. pticosordinarios, de dixido de silicio.

n=

sen ( min ) 2 sen ( 2 )

Anlisis espectral y colorimetra: midiendo los ngulos de salidade la luz (espectro de emisin), se pueden conocer propiedadesfsicas y qumicas y composicin de la muestra emisora. Sistemas deenfoque y de correccin de trayectorias de rayos en instrumentos,sistemas de comunicaciones y sistemas de reduccin de vibraciones encmaras: se usan prismas delgados (de ngulo variable)

V=

n 1 nF nC

vidrios pticos: V: 25 65 bajos V alta dispersin vidrios msusados: – tipo crown: baja dispersin – tipo flint: altadispersinsiendo las usadas: F = azul (H, 486.1 nm) C = rojo (H,656.3 nm) d = amarillo-verde (He, 587. 6 nm)

– (n-1)

iv) Cdigo de 6 dgitos expresado como: abcdef donde: nd = 1.abc yV = de.f(TEMA 1 ptica Geomtrica)

[2] E.G.G. DFA III-ESI 2010/11UNIVERSIDAD DE SEVILLA

La seguridad ambiental (sin Pb As): prefijo N, S E, segnfabricante 27

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Sistemas de Lentes (objetivos): parmetros principales1. Nmero deDiafragma (f-number, f/#) o apertura relativa:relaciona ladistancia focal (f) con el dimetro efectivo (D)En la mayora de lossistemas, su longitud L

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