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© Julio Anguiano Cristóbal Física y Química de 1º: MOVIMIENTOS Página 1 de 18 Movimientos Movimiento Rectilíneo Movimiento en dos dimensiones Movimiento Circular Posición y desplazamiento Posición y desplazamiento Movimiento circular uniforme Velocidad media y rapidez me- dia Velocidad media. Velocidad instan- tánea Movimiento circular no uniforme Velocidad instantánea. Ejercicios resueltos de veloci- dad. Aceleración media. Aceleración ins- tantánea Problemas resueltos de movimien- to circular Aceleración media. Aceleración instantánea. Componentes intrínsecas de la ace- leración Movimiento relativo a velocida- des bajas Ejercicios resueltos de acelera- ción Movimiento con aceleración cons- tante. Movimiento parabólico Movimiento con aceleración constante Movimiento de caída libre. Ejercicios resueltos de caída li- bre Magnitudes vectoriales y escala- res. Suma de vectores. Producto escalar Problemas propuestos de Movimientos y Problemas resueltos Movimiento a lo largo de una línea recta El mundo, y todo lo que hay en él se mueve. Aunque algunas cosas nos parecen estaciona- rias, como una carretera, se mueve con la rotación de la Tierra, la Tierra da vueltas alrededor del sol, el sol gira alrededor del centro de la Vía Láctea, y la galaxia tiene un movimiento relativo res- pecto de otras galaxias. Las propiedades generales del movimiento las vamos a restringir en tres cosas: 1) el movi- miento se va a realizar a lo largo de una línea recta, que puede ser vertical, horizontal o inclina- da; 2) No vamos a especificar la causa del movimiento; 3) El objeto en movimiento es una partícu- la (que no tiene estructura interna, como un electrón) o un objeto que se mueve como una partí- cula (cada porción se mueve en la misma dirección y a la misma velocidad). Posición y desplazamiento .- Localizar un objeto significa encontrar su posición relativa a algún punto de referencia, el origen de un eje (OX). Por ejemplo, una partícula está localizada en x = 5 m, que significa que está en la posición a 5 m en la dirección positiva desde el origen. Un cambio desde una posición x 1 a otra posición x 2 se llama desplazamiento 2 1 x x x = El desplazamiento es un ejemplo de magnitud vectorial ya que posee magnitud y dirección. Si se desplaza desde la posición x 1 = 2 m hasta la posición x 2 = 5 m, el desplazamiento es 2 1 x x x 5m 2m 3m = = = . Si se desplaza desde la posición x 1 = 2 m hasta la posición x 2 = -5 m, el desplazamiento es 2 1 x x x 5m 2m 7m = =− =− . Velocidad media y rapidez media .- Una forma de representar el movimiento es dibujar la posición x en función del tiempo. En el eje de ordenadas se representa la posición x y en el eje de abscisas el tiempo correspondiente. Por ejemplo, una partícula se mueve, sobre una línea recta, durante 10 s con una veloci- dad de 10 m/s, durante los 10 s siguientes con una velocidad de 2 m·s -1 y en los 10 s últimos con una velocidad de -3 m·s -1 Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Posición (m) 0 20 40 60 80 100 104 108 112 116 120 114 108 102 96 90

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Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 1 de 18 Movimientos Movimiento RectilneoMovimiento en dos dimensionesMovimiento Circular Posicin y desplazamientoPosicin y desplazamientoMovimiento circular uniforme Velocidadmediayrapidezme-dia Velocidadmedia.Velocidadinstan-tnea Movimiento circular no uniforme Velocidad instantnea.Ejerciciosresueltosdeveloci-dad. Aceleracinmedia.Aceleracinins-tantnea Problemasresueltosdemovimien-to circular Aceleracinmedia.Aceleracin instantnea.Componentesintrnsecasdelaace-leracin Movimientorelativoavelocida-des bajas Ejerciciosresueltosdeacelera-cin Movimientoconaceleracincons-tante. Movimiento parablico Movimientoconaceleracin constante Movimiento de cada libre.Ejerciciosresueltosdecadali-bre Magnitudes vectoriales y escala-res. Suma de vectores. Producto escalar Problemas propuestos de Movimientos y Problemas resueltos Movimiento a lo largo de una lnea recta El mundo, y todo lo que hay en l se mueve. Aunque algunas cosas nos parecen estaciona-rias, como una carretera, se mueve con la rotacin de la Tierra, la Tierra da vueltas alrededor del sol, el sol gira alrededor del centro de la Va Lctea, y la galaxia tiene un movimiento relativo res-pecto de otras galaxias. Las propiedades generales del movimiento las vamos a restringir en tres cosas: 1) el movi-miento se va a realizar a lo largo de una lnea recta, que puede ser vertical, horizontal o inclina-da; 2) No vamos a especificar la causa del movimiento; 3) El objeto en movimiento es una partcu-la (que no tiene estructura interna, como un electrn) o un objeto que se mueve como una part-cula (cada porcin se mueve en la misma direccin y a la misma velocidad).Posicin y desplazamiento.- Localizar un objeto significa encontrar su posicin relativa a algn punto de referencia, el origen de un eje (OX). Por ejemplo, una partcula est localizada en x = 5 m, que significa que est en la posicin a 5 m en la direccin positiva desde el origen.Un cambio desde una posicin x1 a otra posicin x2 se llama desplazamiento2 1x x x = El desplazamiento es un ejemplo de magnitud vectorial ya que posee magnitud y direccin. Si se desplaza desde la posicin x1 = 2 m hasta la posicinx2 = 5 m, el desplazamiento es 2 1x x x 5m 2m 3m = = = . Si se desplaza desde la posicin x1 = 2 m hasta la posicinx2 = -5 m, el desplazamiento es 2 1x x x 5m 2m 7m = = = . Velocidad media y rapidez media.-Una forma de representar el movimiento es dibujar la posicin x en funcin del tiempo. En el eje de ordenadas se representa la posicin x y en el eje de abscisas el tiempo correspondiente.Por ejemplo, una partcula se mueve, sobre una lnea recta, durante 10 s con una veloci-dad de 10 m/s, durante los 10 s siguientes con una velocidad de 2 ms-1 y en los 10 s ltimos con una velocidad de -3 ms-1 Tiempo (s)024681012141618202224262830 Posicin (m)0204060801001041081121161201141081029690 Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 2 de 18 Posicin- Tiempo0204060801001201400 5 10 15 20 25 30 35Tiempo (s)Posicin (m) En los diez primeros segundos del recorrido la partcula se desplaza desde la posicin x = 0 m hasta x = 100 m, en los diez segundos siguientes desde la posicin x = 100 m hasta la posicin x = 120 m y en los diez ltimos segundos desde la posicin x = 120 m hasta la posicin x = 90 m. Luego al cabo de los treinta segundos 2 1x x x 90m 0m 90m = = = .Paradeterminarlavelocidadpromediodurantetodoelrecorridosepuedehacerdedos formas: calculando la velocidad media vm y la rapidez media sm. La velocidad media, en cada tramo del recorrido, y la velocidad media total es la siguiente: 1 011 02 1 3 02 m2 1 3 03 233 2x x x 100m 0m mv 10t t t 10s 0s sx x x x x 120m 100m m x 90m 0m mv 2 v v 3t t t 20s 10s s t t t 30s 0s sx x x 90m 120m mv 3t t t 30s 20s s = = = = = = = = = = = = = ` = = = = ) Y, la rapidez media mdistancia total 100m 20m 30m 150m ms s 5t 30s 0s 30s s+ += = = = = Larapidezmediaylavelocidadmediasondiferentes,enlarapidezconsideramosladis-tancia total recorrida por la partcula, y en la velocidad media el desplazamiento, tambin difieren en que en la rapidez media no se incluye direccin. Algunas veces coinciden, aunque tengan signo distinto, pero cuando la partcula retrocede sobre su camino, los resultados pueden ser muy dife-rentes. Velocidad instantnea y rapidez o celeridad.- Hemosaprendidoadeterminarlavelocidaddeunapartculaenunintervalodetiempo, pero lo que ms nos interesa es saber la velocidad de la partcula en un instante determinado. Es decir, su velocidad instantnea o velocidad. La velocidad en cualquier instante se obtiene de la velocidad promedio reduciendo el inter-valodetiempot hastaaproximarloacero.Cuandot disminuye,lavelocidadpromediose aproxima al valor lmite que es la velocidad en aquel instante mt 0 t 0x dxv lim v limt dt = = = Para deteminar la velocidad instantnea a partir de la ecuacin que relaciona la posicin y el tiempo utilizamos el operador derivada de la funcin x(t) respecto de la variable t. Sea la fun-cin x = mtn, siendo m un nmero constante y n el exponente entero de la variable t: { }()( )n n n 1dx d dx m t v x m t m n tdt dt dt= = = = = Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 3 de 18 Por ejemplo, si la ecuacin posicin-tiempo es x = 2t2, entonces la velocidad instantnea es igual a v = 4t: { } ( )2 2 2 1dx dx 2 t v 2 t 2 2 t 4tdt dt= = = = =Ejercicios resueltos de velocidad: 1) Determina la velocidad media y la velocidad instantnea de una partcula que se mueve me-diantelasiguiente ecuacin de movimiento x = 5t.Obtenemos quela velocidad media es cons-tante y, por tanto, coincide con la velocidad instantnea, y lo hacemos de dos formas ( )( )m1 1ms2 1mms 2 1t 0 t 0msx 5 tx 5tv 5t tx 5t x 5 t txv lim v lim 5x x x 5 ttdx dx 5t v 5t 5dt dt = = = = = = + ` ` = = = = = ) ) = = = = ` ) 2) Determina la velocidad media y la velocidad instantnea de una partcula que se mueve me-diante la ecuacin de movimiento x = 5t2. Ahora, obtenemos que la velocidad media no es cons-tante ya que depende del tiempo, por lo que la velocidad instantnea ser distinta en cada tiempo, y lo hacemos de dos formas. ( )( )( )22 222 1 1 11m 12 21 12m 1t 0 2 1 12 2 msx 5 t t 5 t 2t t t10t t 5 t xv 10t 5 tt t x 5t x 5tv lim v 10tx x x 10t t 5 tdx dx 5t v 5t 10tdt dt = + = + + + = = = + = = ` ` = = = = + ) ) = = = = ` ) 3) Determina la velocidad instantnea, en el instante t1=1 s, de una partcula que se mueve me-diante la ecuacin de movimiento x = 1 + 4t2.( )( )( )22 222 1 1 11m 12 21 1212 1 1t 02 2 msx 1 4 t t 1 4 t 2t t t8t t 4 t xv 8t 4 tt tx 1 4t x 1 4txv lim 8tx x x 8t t 4 ttdx dx 1 4t v 1 4t 8tdt dt = + + = + + + + = = = + = + = + ` ` = = = = + ) ) = + = = + = ` ) En el lenguaje del clculo, la velocidad instantnea es la rapidez con la que la posicin x de una partcula est cambiando con el tiempo en un instante dado. La velocidad de una part-cula en un instante es la pendiente de su curva de posicin en el punto representado en aquel instante. La rapidez es la magnitud de la velocidad. Los velocmetros de los coches miden la rapi-dez, no la velocidad, porque no nos dicen nada sobre la direccin del movimiento.Aceleracin media y aceleracin instantnea.- Cuandocambialavelocidadde unapartcula,decimosquela partculaexperimentauna aceleracin.La aceleracin media en un intervalo de tiempo es 2 1m2 1v v va at t t = = = La aceleracin instantnea o aceleracin mt 0dva lim adt = =Laaceleracindeunapartculaenuninstanteeslarapidezalacualsuvelocidadest cambiando en aquel instante. La aceleracin de una partcula en cualquier punto es la pendien-te de la curva de v(t) en aquel punto.Ejercicios resueltos de aceleracin: Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 4 de 18 1) La posicin de una partcula, en funcin del tiempo, se ha determinado que cumple la siguien-te ecuacin: x = 10 + 20t 2t2. Calcula la velocidad media y la velocidad instantnea, en fun-cin del tiempo, y la aceleracin. Dibuja las grficas posicin-tiempo, velocidad-tiempo y acelera-cin-tiempo ( ) ( )( )( )22 22 1 1 1 1 12 21 1 122 1 121 1m 1t 0 t 0x 10 20 t t 2 t t 10 20t 20 t 2 t 2t t tx 10 20t 2t x 10 20t 2tx x x 20 t 4t t 2 t20 4t 2 t 20 t 4t t 2 t x x xv lim v 20 4t 2 t v limt t t t t = + + + = + + + + = + = + ` = = ) = = = = = = = ` )( )2 212 1m m1 1 m ms st 020 4tv 20 4 t tv 4 tv 20 4t v 20 4t a 4 a lim a 4t tv 4 t = + = = = = = = = ` ` ) = ) ( )( )2 22 2m ms sdx dx 10 20t 2t v 10 20t 2t 20 4t v 20 4tdt dtdv dv 20 4t a 20 4t 4 a 4dt dt = + = = + = = ` ) = = = = = ` ) x = 10 + 20t 2t2 t01234567891011 x1028425258605852422810-12 v201612840-4-8-12-16-20-24 a-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4 -30-20-100102030405060700 2 4 6 8 10 12t (s)x v a 2) Si la posicin de una partcula viene dada por la ecuacin: x = 7t 2t2, calcula la velocidad instantnea y la aceleracin. Dibuja las grficas posicin-tiempo, velocidad-tiempo y aceleracin-tiempo t (s)00,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,62,83 x (m)01,322,483,484,3255,525,886,086,1265,725,284,683,923 v (m/s)76,25,44,63,832,21,40,6-0,2-1-1,8-2,6-3,4-4,2-5 a (m/s2)-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4 Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 5 de 18 -6-4-2024680 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5t (s)x (m); v (m/s); a (m/s2)x (m) v (m/s) a (m/s2) Ecuaciones del movimiento con aceleracin constante:Hasta ahora a partir de una ecuacin determinada posicin-tiempo, x-t, hemos obtenido la velocidad media, la velocidad instantnea, la aceleracin media y la aceleracin instantnea. Ahoravamosadesarrollarelprocesoinverso.Partimosdeltipodemovimientoenquela aceleracin permanece constante, en ellos la distincin entre aceleracin media y aceleracin ins-tantnea pierde su significado. Si v0 es la velocidad inicial, en el tiempo t = 0, y v la velocidad en cualquier tiempo: 2 1 0m 02 1v v v v va a v v att t t t 0 = = = = = + Si la aceleracin es constante, la velocidad instantnea0v v at = + Si representamos la velocidad en el eje de ordenadas, v, y el tiempo en el eje de abscisas, t, el resultado es una lnea recta. Siendo la aceleracin, a, la pendiente de la recta y la velocidad ini-cial, v0, el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. La velocidad media, vm, en cualquier intervalo de tiempo t, es la media de la velocidad ini-cial, v0, y la velocidad final del intervalo, v. Por lo que el desplazamiento x = x x0 = v0t + at2

( ) ( ) ( )00 0m0 0 0 0 20 m 0v v atx x x x xvt t 0 tv v v v at 2 v at1x x x v t t t t v t at2 2 2 2= + = = = + + + + = = = = == = + La posicin en cada instante20 01x x v t at2= + +Hemos obtenido que en la ecuacin posicin-tiempo, el trmino independiente x0 represen-ta la posicin inicial para t=0, el trmino que multiplica a la variable t es la velocidad inicial v0, y el trmino que multiplica a la variable t2 es la mitad de la aceleracin instantnea o media. Entodoslosproblemas,conaceleracinconstante,estnimplicadascincomagnitudes desplazamiento, (x-x0), tiempo, t, velocidades instantnea e inicial, v y v0, y aceleracin, a.Usualmente, una de ellas no se conoce en un problema. Hay dos ecuaciones que contienen cuatro de dichas magnitudes, pero no las mismas cuatro. Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 6 de 18 En la ecuacin v = v0 + at no est presente el desplazamiento (x-x0).En la ecuacin x = x0 + v0t + at2 no est presente la velocidad v.Estasecuacionespuedencombinarsedetresformasparaobtenertresecuacionesadicionales: eliminando t, eliminando a, eliminando v0. ( )( )22 20 0 0002 00 020 02 20v v v v v v 1elimina-t:x v aa 2 a 2av v atv v 1 1elimina-a:x v t t v v t12 t 2 x x x v t at21 1elimina-v :x v at t at vt at2 2 | | | | = + = ||\ . \ .= + | | = + = + ` | = = +\ . ) = + =

Silaaceleracinesconstante laecuacinposicin-tiempoes cuadrtica Si la ecuacin posicin-tiempo es cuadrtica la aceleracin es constante 0mv va a cte.t= = =20 01x x v t at2= + +0v v at = +20 0 0dx d 1v x v t at v atdt dt 2| |= = + + = + |\ . 20 01x x v t at2= + + ( )0dv da v at adt dt= = + =Movimiento de cada libre:Cuando lanzamos un objeto hacia arriba o hacia abajo y podemos eliminar los efectos del aire sobre su vuelo, se encuentra que el objeto acelera hacia abajo con un valor determinado que se llama aceleracin de cada libre g. La aceleracin g es independiente de las caractersticas del objeto,comolamasa,ladensidadolaforma.Elvalordegvaraconlalatitudyconlaaltura, siendo mayor en los polos y en la superficie de la Tierra. En el nivel del mar en latitudes medias es de 9,8 m/s2. Por todo lo anterior las ecuaciones del movimiento cuando la aceleracin es constante son vlidasparalacadalibre.Parahacermsfcileslas ecuacionesconsideramosquela direccin del movimiento es vertical a lo largo del eje y con la direccin positiva hacia arriba. Por tanto la aceleracin de cada libre es negativa, es decir, hacia abajo sobre el eje y. Luego en las ecuaciones a = - g. ( )0 02 20 0 02 20v v at v gt1 1y y y v t at v t gt2 2v v 2 a y 2 g y 2 g y = + = = = + = = = = Ejercicios resueltos de cada libre: 1) Se lanza un objeto, verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 12 m/s. Calcula: a) el tiempo que tarda en llegar al punto ms alto; b) la altura mxima que alcanza; c) el tiempo que tardar en alcanzar el punto situado a 5 m por encima. Dato: g = 9,8 m/s2. Respuesta: El objeto se mueve en una lnea recta vertical y consideramos que lo hacen sobre el eje OY, siendo el origen O el suelo. Para resolver el problema hay que saber que en el punto ms alto la velocidad es cero. Tiempo en alcanzar la altura mxima: 2m0 0 sms0 12 v v at v vt 1,2 sv 0 a 9,8 = + = = = ` = ) Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 7 de 18 La altura mxima alcanzada:( )( ) 22m2 2 2 2s 0 0ms0 12v v v v 2a yy 7,3 m2av 02 9,8 = = = = ` = ) Tiempo en alcanzar el punto de posicin 5 m: 221 2 m0 0s22msy 5 mt 0,53 s 5 12t 4,9t 1y v t at v 12t 1,9 s 24,9t 12t 5 0a g 9,8 = = = = + = ` ` ` = ) + = )= = ) Al calcular el tiempo que tarda en alcanzar el punto situado a 5 m, obtenemos dos valores, 0,53 s y 1,9 s, que son los tiempos que tarda en pasar por la altura de 5 m cuando sube y cuando baja. 2) Se lanza un objeto desde el suelo, verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 14,7 m/s. Calcula: a) el tiempo que tarda en caer al mismo punto que parti; b) la velocidad con la que llega al suelo; c) el tiempo que tarda en alcanzar el punto ms alto y la altura mxima que alcan-za; d) la distancia total recorrida. Respuesta: El objeto se mueve en una lnea recta vertical y consideramos que lo hacen sobre el eje OY, siendo el origen O el suelo.Tiempo total de vuelo:2202 2 m0 0 0 totalsm0 stotal10 v t gt2y 01 1y v t at v 14,7 v t gt t 3 s2 2a g 9,82vtg= = = + = = = ` ` ) = = )= Velocidad al caer al suelo: { }2m0s0 m m0 total 0 0ss0totalv 14,72vv v at a g 9,8 v v g v 14,7g2vtg = = + = = = = = ` = ) Altura mxima que alcanza y tiempo que tarda: ( )( ){ }22m2 2 2 2s 0 0ms00 subir0 14,7v v v v 2a yy 11,0 m2av 02 9,8v 0 0 vv v at t 1,5 sa g g = = = = ` = ) = = + = = `= ) La distancia total recorrida es la recorrida en subir y en bajar, en total 22 m. 3)Unvehculollevaunavelocidadconstantede36km/hyfrenaconunaaceleracindea=-5 m/s2. Calcula: a) la distancia que recorre hasta que se para y el tiempo que tarda en parar; b) lo mismo que en el apartado anterior pero considera que la velocidad inicial es el doble. Respuesta: La distancia hasta que se para: ( )( ) 222m2s 2 2 0 km m0 0h smmssv 010vv v 2a x v 36 10 x 10 m2a2 5a 5 = = = = = = = ` = ) Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 8 de 18 El tiempo hasta que se para: 22m0 s km m0 0 pararh s msmsv 010vv v at v 36 10 t 2 sa 5a 5 = = + = = = = = ` = ) Si la velocidad inicial es el doble, 72 km/h, calcula la distancia hasta que se para y el tiempo:( )( ) 22222m2s 2 2 2 0 km m0 0h smmssm0 s km m0 0 pararh s msmsv 02 10vv v 2a x v 72 20 x 2 10 m 40 m2a2 5a 5v 020vv v at v 72 20 t 4 sa 5a 5 = = = = = = = = ` = ) = = + = = = = = ` = ) Magnitudes vectoriales y escalares.-Una partcula confinada a moverse en una lnea recta lo hace solamente en dos direccio-nes. Podemos decir que una direccin es positiva y que la opuesta es negativa. Pero una partcula movindoseentresdimensionesconunsignomsomenosnosabemosladireccindelmovi-miento.Por loquenecesitamosunaflechaque nosapunte enladireccindelmovimiento.Esta flecha es un vector. Un vector tiene magnitud y direccin y sigue ciertas reglas de combinacin. Una cantidad vectorial es una cantidad que puede representarse por un vector; es decir, tiene una cuanta que tiene asociada con ella una magnitud y direccin. Algunas cantidades fsicas que se representan por vectores son el desplazamiento, velocidad, aceleracin fuerza y campo magntico. No todas las cantidades fsicas tienen direccin. Como la temperatura, la presin, la ener-ga, la masa y el tiempo. Tales cantidades se llaman escalares y se rigen por las reglas del lgebra. Suma de vectores:s a b = +GG G Los vectores unitarios: Son vectores que tienen de magnitud 1 y sus direcciones son perpendi-culares.Estndirigidoshacialasdireccionespositivasdelosejesx,y,z.Sedenominani, j,kGG G. Constituyen el sistema de coordenadas de la mano derecha. ( ) ( )( ) ( )x y x x y yx y22x yx yr r i r j a b i a b ja a i a jr a bb b i b jr r r = + = + + + = + = + ` = + = + )G G G GG G GGGG GG G GG

Ejemplo: Si caminamos 3 km hacia el oeste y despus 4 km hacia el noreste formando un ngulo de 60 con la horizontal. Determina el desplazamiento resultante. Respuesta:ConsideraquenosmovemosenunsistemadereferenciaOXY,entonceselprimer desplazamiento estar representado por un vector de mdulo 3 km y direccin sobre el eje OX. El segundo vector desplazamiento tendr un mdulo de 4 km y sus componentes sern: sobre el eje OX (4cos 60) y sobre el eje OY (4sen 60) ( ) ( )( ) ( )2 2r 3 4cos 60 i 4sen60 ja 3i kmb 4cos 60 i 4sen60 jr 3 4cos 60 4sen60 3,61km = + + = ` = + = + + = )G GG GGG G GG Producto escalar:( ) ( )x yx y x y x x y yx ya b a b cosa a i a ja b a i a j b i b j a b a bb b i b ji j i j cos 1 1 0 02 = = + = + + = + ` `= + = = = ) )G GG GG GGG G G G GGG G GG G G G Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 9 de 18 Movimiento en dos dimensiones Posicin y desplazamiento:Una manera general para localizar una partcula o un objeto tipo-partcula es con el vec-tor de posicinrG, que es un vector que va desde el punto de referencia al objeto. El vector de posicin de una partcula situada en un punto P del sistema cartesiano OXY, se expresa por x yr r i r j = +G GG, siendo rx y ry las componentes del vector respecto al centro O.Elvectordeposicinserelacionaconlatrayectoria,s,queasuvezdependedeltiempo mediante:( ) | | r r s t =G G.Silapartcula semueve, su vectorde posicincambia, perosiempre vadirigido desde el origen O hasta el nuevo punto P que tiene de componentes sobre los ejes rx y ry : x yr ' r ' i r ' j = +G GG El vector desplazamiento es el vector resultante de la diferencia entre los vectores de po-sicin en dos instantes determinados x x y yr r '- r (r ' - r )i (r ' - r ) j = = +G GG G G Ejemplo: La posicin de una partcula en un instante inicial es (-3;2) m y en un instante posterior est en el punto(9;2) m.Escribelosvectoresde posicininicialesyfinales.Determina elvector desplazamiento f i i2fr r - r (9 3)i (2 2) j 12i m r 3i 2j mr 9i 2j m r 12 12 m= = + + = = + ` = + = = ) G G G G GG G G GG GG G Velocidad media:Lavelocidadmediadeunapartculaeslarelacinentreelvectordesplazamientoyeltiempo transcurrido en dicho desplazamiento.Si la trayectoria de la partcula es recta o si describe una trayectoria curvilnea. La velocidad me-dia es un vector que tiene la misma direccin y sentido que el vector desplazamiento: 2 1m2 1r r rvt t t = = G G GG Velocidad instantnea:La velocidad del punto material en un instante dado es igual a la primera derivada del vector de posicindelpuntoconrelacinal tiempo. Para hallar las derivadas rpidamente usamos la siguiente regla: ( )( )n n 1nxnn n 1ydx dv m t m ntx m tdt dtdy dy p tv p t p ntdt dt = = = = ` `= )= = = ) Ejemplo: Si la ecuacin es x = 5t2, entonces la velocidad instantnea es v = (dx/dt) = 10t Como el vector de posicin se relaciona con la trayectoria, que a su vez depende del tiem-po, la velocidad instantnea tambin se expresa como el producto del mdulo de la velocidad por el vector unitario que nos indica la direccin y sentido de la velocidad: () | |{tdr dr dsr r s t v u vdt ds dt= = = =G GG G G G G yxm x yt 0 t 0drr dr drv lim v lim i j v i v jt dt dt dt = = = = + = +G GG G G GG G Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 10 de 18 El mdulo de la velocidad es t 0 t 0r s dsv lim limt t dt = = = GG Ejercicio resuelto de velocidad en dos dimensiones: Una partcula se mueve en el plano OXY, siendo su posicin en cada instante de la trayectoria la que viene determinada por las coordena-das(x,y)enmetros,expresadasporlasexpresionessiguientes:x=-0,31t2+7,2t+28;y= 0,22t2 9,1t + 30. Calcula: a) la magnitud y direccin del vector de posicin a los 15 s respecto del eje positivo +OX; b) la magnitud y direccin de velocidad instantnea a los 15 s. Respuesta: a) a los 15 s( ) ( )( ) ( )2 2x y2 2yxr r i r j 0,31t 7,2t 28 i 0,22t 9,1t 30 j mr 66 57 87 mr 66i 57 j mrarctan 41r= + = + + + += + == = = G G G GGGG GG b) Para calcular la magnitud de la velocidad instantnea en el tiempo t = 15 s ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2yxx y2 2msyxd 0,31t 7,2t 28 d 0,22t 9,1t 30 drdr dr mv i j i jdt dt dt dt dt smv v i v j 0,62t 7,2 i 0, 44t 9,1 jsmv 2,1 2,5 3,3sv 2,1i 2,5 jvarctan 130v + + += = + = += + = + + = + == = = GG G G GGG G G GGGG GG Aceleracin media:La aceleracin es una magnitud que nos mide la rapidez de cambio de la velocidad. La ace-leracin media, que posee un punto material, cuando ste cambia la velocidad instantnea en un intervalo de tiempo como la divisin entre el incremento del vector velocidad y el tiempo transcu-rrido en dicho incremento 2 1m2 1v v vat t t = = G G GG Aceleracin instantnea:Se llama aceleracin del punto material a una magnitud vectorial que caracteriza el cam-bio con el tiempo del mdulo y de la direccin de la velocidad del punto material. La aceleracin del puntomaterial en uninstantedado es igualala primeraderivada delavelocidado ala se-gunda derivada del vector de posicin del punto material con relacin al tiempo. yx zmt 0 t 0dvv dv dv dva lim a lim i j kt dt dt dt dt = = = = + +G GG G GG G La aceleracin instantnea, en un movimiento curvilneo, siempre va dirigida hacia la concavidad de la trayectoria. Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 11 de 18 Ejemplo: Calcula el vector aceleracin a los 15 s, su mdulo y direccin, del ejemplo anterior en el que las ecuaciones del movimiento son: x = -0,31t2 + 7,2t + 28; y = 0,22t2 9,1t + 30. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2x yyxyx2x yr r i r j 0,31t 7,2t 28 i 0,22t 9,1t 30 j mdrdr dr mv i j 0,62t 7,2 i 0, 44t 9,1 jdt dt dt sdv d 0,62t 7,2 d 0, 44t 9,1 dv dv ma i j i j 0,62i 0, 44jdt dt dt dt dtsma a i a j 0,62i 0, 44j= + = + + + += = + = + + + = = + = + = += + = +G G G GGGG G G GGGG G G G G GGG G G GG( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x y22yxma a a 0,62 0, 44sasarctan 145a= + = + = =G Componentes intrnsecas de la aceleracin.-Como en un movimiento curvilneo la aceleracin instantnea siempre est dirigida hacia la concavidad de la curva, se puede descomponer en dos componentes, llamadas componentes in-trnsecasdelaaceleracin.Estascomponentessonlatangentealatrayectoriaylanormalala trayectoria que est dirigida hacia el centro de la curvatura. | |2tt t t n t nn t td v d v dv d du va v u u v u u a adt dt dt dt dt Rd va a a a udt= = = + = + = += = G G G GG G G G G G G G GGG G G G G Significado fsico de las componentes intrnsecas de la aceleracin: La aceleracin tangencial td vadt=GG nos mide los cambios en magnitud del mdulo de la velocidad o celeridad. La acelera-cin normal 2nvaR=G nos mide los cambios en la direccin de la velocidad. Demostracin: Consideremos una seccin de la trayectoria curvilnea. En cada instante el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y el vector aceleracin est dirigido hacia la conca-vidaddelatrayectoria.Laaceleracinmidelarapidezdeloscambiosdevelocidad,esdecir,los cambios de la celeridad o de la direccin de la velocidad o de los dos.La rapidez de cambio en el mdulo de la velocidad (la celeridad) se denomina aceleracin tangencial. La rapidez de cambio en la direccin del vector velocidad se denomina aceleracin cen-trpeta o normal. Demostracindequeelvectorresultantedeladerivadadelvectorunitariotangenteres-pecto del tiempo es perpendicular al propio vector unitario tangente: ( )t t t tt t t t t t t tdu du du duu u 1 d u u 0 u u 2 u 0 udt dt dt dt| | = = + = = |\ .G G G GG G G G G G G G t tn n n nsdv du du d Ru u u udt dt dt dt R| | |\ .= = = =G G GG G G G Movimiento curvilneo con aceleracin constante:En los movimientos curvilneos con aceleracin la velocidad y la posicin en cualquier ins-tante viene dada por las siguientes ecuaciones: 20 0 01v v at ; r r v t at2= + = + +G G G G G G G Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 12 de 18 | |00 20 0dr dvv adt dtdv a dt dr v dt v at dtv v at 1r r v t at2 = = = = = + ` ` = + = + + ) )G GG GG G G G G GG G GG G G G Por lo que el movimiento est siempre en un plano y la trayectoria es una parbola { }{ }0 020 0v v at v en plano de vy a1r v t at r en plano de vy a2= += + G G G G G GG G G G G G Ejemplos de movimientos curvilneos: Si consideramos una cada vertical, un lanzamiento hacia arriba formando un ngulo con la horizontal, etc., son todos movimientos con aceleracin constante, que es la de la gravedad. Si el origen delsistema dereferencia,O, est en elsuelo, el eje de ordenadas OY espositivohacia arribayelorigendetiempost0=0,laaceleracindelmovimientotendrdevaloray=-g=-9,8 m/s2. El movimiento se desarrolla sobre el plano OXY y la ecuacin de la trayectoria es una par-bola( ) ( ) ( ) ( ) {| |0 0x 0y0 0 0 0x 0y 0x 0y0x 0x 0x yy 0y 000v v i v jdvav v cos i v sen j v v i v j gt j v i v gt j dtv v ata g jv v v cosv v i v jv v gt v sen gtdrvdtdr v dt v at dtr r = + = = + = + = + ` ` = + )= )= = = += = == = + =G GGGGG G G G G G GG GG G GGGG GGGGG G G GG Gx 0x x 0x 0x 0x 0x y2 2y 0y 0y 0y 020r r v t r v t r v t cosr r i r j1 1r r v t gt r v t sen gt2 2 1v t at2 = + = + = + = + ` = + = + + + )G GGG G Ecuacin de la parbola: 2 0x0y20x 0y 0y2 20x 0x 0x0y 0xx v tvx 1 x 1 gr r 0 y v g x x1v 2 v v 2v y v t gt2= | | | |= = = = `||\ . \ . = ) Movimiento parablico: Sea un tiro parablico de velocidad inicial 100 m/s formando un ngulo de 30 con la horizontal. El tiempo de vuelo es el tiempo que tarda en caer al suelo (ry = 0), que es el mismo tiempo que tarda en llegar al punto ms alejado, o alcance. La altura mxima se alcanza cuando la componente de la velocidad vertical es cero (vy = 0), que coincide con un tiempo que es la mitad del tiempo de vuelo. vi (m/s)ngulo (grados)Tiempo vuelo (s)Alcance (m)Altura mxima (m) 1003010,20883,70127,55 t (s)rx (m)ry (m)vx (m/s)vy (m/s) 00086,6050,00 1,0288,3745,9286,6040,00 2,04176,7481,6386,6030,00 3,06265,11107,1486,6020,00 4,08353,48122,4586,6010,00 5,10441,85127,5586,600,00 6,12530,22122,4586,60-10,00 7,14618,59107,1486,60-20,00 8,16706,9681,6386,60-30,00 9,18795,3345,9286,60-40,00 10,20883,700,0086,60-50,00 Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 13 de 18 Tiro parablico0204060801001201400 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000x (m)y (m) Movimiento circular:Para describir el movimiento circular lo podemos hacer de dos formas: Considerandoquelapartculavarecorriendounadistanciaalolargodelarcodela circunferencia Considerandoquelapartculavadescribiendounnguloquebarre,queencadavuelta completa es de 360 2 radianes. La relacin entre el arco y el ngulo viene dada porque el arco descrito es el resultado de multiplicar el ngulo (en radianes) por el radio de la circunferencia. {2 R 2 RLongitud de la circunferencia: arco ngulo R = =

La velocidad en el movimiento circular:( )( ) ( )arco ngulo Rd arco dsvdt dtd ngulo R d ngulov R Rdt dt= = == = = Movimientocircularuniforme:Siunobjetodescribeunmovimientocircularuniforme,laveloci-dad angular es constante, ya que el tiempo que tarda en dar una vuelta es siempre el mismo. Este tiempo se llama perodo, T, y se mide en segundos. El inverso del perodo es el nmero de vueltas que da en un segundo, y se llama frecuencia, f, su unidad es el Hertz Hz (hercios): ( )0d ngulo 2cte. 2 fdt t t T2 2 Rv R RT T = = = = = = = = = Aunqueelobjetollevavelocidadangularconstante,aldescribirlatrayectoriacircularva cambiando continuamente la direccin de la velocidad, por lo que posee una aceleracin asociada al cambio de direccin de la velocidad y no al mdulo de la velocidad. La aceleracin asociada al cambio en el mdulo de la velocidad se le llama aceleracin centrpeta o aceleracin normal. ( )tt t t n22ndv d dv dua vu u v a adt dt dt dtva RR= = = + = += = G GG G G G G Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 14 de 18 La aceleracin tangencial t tdva udt=G G nos mide los cambios en magnitud del mdulo de la velocidad o celeridad. La aceleracin normal 2cvaR=nos mide los cambios en la direccin de la velocidad.Relacin entre arco recorrido y ngulo descrito: R R tts R t v t = = = = Movimiento circular no uniforme:La velocidad angular ahora no es constante y, por tanto, la partcula posee aceleracin an-gular. Consideraremos solamente el caso de aceleracin angular constante. ( ) ( ) ( )( )ttt t t n2nd arco d ngulo R d ngulov Rarco ngulo R dt dt dtv Rd R dv da R Rdv dv dv dudt dt dta u u v a adt dt dt dta R= = = = = | |= = = = | = = = + = + \ .= G GG G G G G Si la aceleracin angular es constante: 020t1t t2 = + = + Demostracin: 000 0 0 2m 0 02 2020 20ttt 1t t t t t t2 2 221t t 1t t 22 = ` = + )+ + + | | | | = = = = + = + || \ . \ . = ` ` = + ) = + ) Relacin entre arco recorrido y ngulo descrito: ( ) ( )000 t202020 tR R R ttv v a t1R R t R t12t t2 1s v t a t2 = + = + = + = + = + = + Problemas resueltos de movimiento circular: 1) Un objeto viaja describiendo una circunferencia horizontal de radio 90 m. El objeto incrementa su velocidad uniformemente con una aceleracin de 2,1 m/s2. Si parti del reposo, determina el tiempo necesario para que alcance la aceleracin de 2,4 m/s2 y la velocidad en ese instante. Respuesta: El objeto describe una circunferencia y aumenta su velocidad constantemente, luego posee una aceleracin tangencial, por aumentar su velocidad lineal, y una aceleracin normal, por cambiar su direccin. ( )2m0 tts2 2 2 22t n2 2nndvv v a t 2,1ta 2,1dta a a2,1tvv a 0,049taR 90 mR = + = = = = + ` `= = = = ) ) Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 15 de 18 ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 2 m ms smsa 2, 4 2,1 0,049tt 4,87 sv 10,2 = = + = ` = ) 2) Un satlite describe un movimiento circular alrededor de la Tierra a una altitud de 200 km so-brelasuperficie.A esaaltitudlaaceleracindecadalibre esde9,2m/s2.Calculalavelocidad orbital del satlite y el tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra. Respuesta: AlserunmovimientocircularuniformealrededordelaTierralaaceleracinnormal es la misma que la aceleracin de la gravedad ( )( )( )( )22 2nT6 3 m mTss6 3Tmsv vg aR R hv g R h 9,2 6,37 10 m 200 10 m 77702 6,37 10 m 200 10 m2 R ht 5313 s 1, 48 hv 7770= = =+= + = + = + + = = = = Movimiento relativo a velocidades bajas.- Siempre que analicemos el movimiento de una partcula loharemosconrespectoaunSistemadeReferencia.Lavelocidaddeunapartcula,comovere-mos, depende del sistema de referencia que utilicemos. P r r ORO Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y OXYZ, cuyos centros O y O se encuentran a una distancia ROO. Una partcula situada en un punto P tendr de coordenadas (x,y,z) para el primer sistema OXYZ y (x,y,z) para el segundo OXYZ. Los vectores de posicin y las velocidades ins-tantneas de la partcula en un sistema y en otro estn relacionados por: O O' O O'O' Orelativar R r ' r ' r Rv' v Va ' a a = + = = = G GG G G GGG GG G G relativaxyzSi a 0 a ' ax' x V ty ' y V tTransformaciones Galileanas (sistemas inerciales)z ' z V tt ' t= == = = =G G G Silavelocidadrelativa de un sistemarespectodeotro es constanteocerolasaceleraciones son iguales. ( )O' OO' OO' OO O' O' O 2O' Ov' Vv(velocidades altas) Si v' c;V cv' V1r r ' Rcv v' V (velocidades bajas)+=+= + = + GG GGG G Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 16 de 18 Problemas de Movimiento rectilneo 1) Una bola se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 50 m/s. Dos segun-dos ms tarde se lanza otra con la misma velocidad. Dnde y cuando se encuentran? Cul es su velocidad cuando se encuentran?. [122,7 m; 6,10 s; -9,78 m/s y +9,82 m/s] 2) Un cuerpo se est moviendo a lo largo de una lnea recta de acuerdo a la ley x = 16t - 6t2, don-de x se mide en metros y t en segundos. a) Encuentra la posicin del cuerpo en el tiempo t= 1s. b) En qu tiempo pasa el origen?. c) calcula la velocidad promedio en el intervalo de tiempo de 0 a 2 s. d) Encuentra la expresin general para la velocidad promedio en el intervalo t0