Fisica y Quimica – Fisica y Quimica BUP

Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 1de 18 Movimientos Movimiento RectilneoMovimiento en dosdimensionesMovimiento Circular Posicin y desplazamientoPosicin ydesplazamientoMovimiento circular uniformeVelocidadmediayrapidezme-dia Velocidadmedia.Velocidadinstan-tneaMovimiento circular no uniforme Velocidadinstantnea.Ejerciciosresueltosdeveloci-dad.Aceleracinmedia.Aceleracinins-tantneaProblemasresueltosdemovimien-to circular Aceleracinmedia.Aceleracininstantnea.Componentesintrnsecasdelaace-leracinMovimientorelativoavelocida-des bajasEjerciciosresueltosdeacelera-cin Movimientoconaceleracincons-tante.Movimiento parablico Movimientoconaceleracin constante Movimientode cada libre.Ejerciciosresueltosdecadali-bre Magnitudesvectoriales y escala-res. Suma de vectores. Producto escalarProblemas propuestos de Movimientos y Problemas resueltosMovimiento a lo largo de una lnea recta El mundo, y todo lo que hayen l se mueve. Aunque algunas cosas nos parecen estaciona-rias,como una carretera, se mueve con la rotacin de la Tierra, la Tierrada vueltas alrededor del sol, el sol gira alrededor del centro dela Va Lctea, y la galaxia tiene un movimiento relativo res-pecto deotras galaxias. Las propiedades generales del movimiento las vamosa restringir en tres cosas: 1) el movi-miento se va a realizar a lolargo de una lnea recta, que puede ser vertical, horizontal oinclina-da; 2) No vamos a especificar la causa del movimiento; 3)El objeto en movimiento es una partcu-la (que no tiene estructurainterna, como un electrn) o un objeto que se mueve como unapart-cula (cada porcin se mueve en la misma direccin y a la mismavelocidad).Posicin y desplazamiento.- Localizar un objeto significaencontrar su posicin relativa a algn punto de referencia, el origende un eje (OX). Por ejemplo, una partcula est localizada en x = 5m, que significa que est en la posicin a 5 m en la direccinpositiva desde el origen.Un cambio desde una posicin x1 a otraposicin x2 se llama desplazamiento2 1x x x = El desplazamiento esun ejemplo de magnitud vectorial ya que posee magnitud y direccin.Si se desplaza desde la posicin x1 = 2 m hasta la posicinx2 = 5 m,el desplazamiento es 2 1x x x 5m 2m 3m = = = . Si se desplaza desdela posicin x1 = 2 m hasta la posicinx2 = -5 m, el desplazamiento es2 1x x x 5m 2m 7m = = = . Velocidad media y rapidez media.-Unaforma de representar el movimiento es dibujar la posicin x enfuncin del tiempo. En el eje de ordenadas se representa la posicinx y en el eje de abscisas el tiempo correspondiente.Por ejemplo,una partcula se mueve, sobre una lnea recta, durante 10 s con unaveloci-dad de 10 m/s, durante los 10 s siguientes con una velocidadde 2 ms-1 y en los 10 s ltimos con una velocidad de -3 ms-1 Tiempo(s)024681012141618202224262830 Posicin(m)0204060801001041081121161201141081029690 Julio Anguiano CristbalFsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 2 de 18 Posicin-Tiempo0204060801001201400 5 10 15 20 25 30 35Tiempo (s)Posicin (m)En los diez primeros segundos del recorrido la partcula se desplazadesde la posicin x = 0 m hasta x = 100 m, en los diez segundossiguientes desde la posicin x = 100 m hasta la posicin x = 120 m yen los diez ltimos segundos desde la posicin x = 120 m hasta laposicin x = 90 m. Luego al cabo de los treinta segundos 2 1x x x90m 0m 90m = = =.Paradeterminarlavelocidadpromediodurantetodoelrecorridosepuedehacerdedosformas: calculando la velocidad media vm y la rapidez media sm. Lavelocidad media, en cada tramo del recorrido, y la velocidad mediatotal es la siguiente: 1 011 02 1 3 02 m2 1 3 03 233 2x x x 100m 0mmv 10t t t 10s 0s sx x x x x 120m 100m m x 90m 0m mv 2 v v 3t t t20s 10s s t t t 30s 0s sx x x 90m 120m mv 3t t t 30s 20s s = = = == = = = = = = = = ` = = = = ) Y, la rapidez media mdistancia total100m 20m 30m 150m ms s 5t 30s 0s 30s s+ += = = = =Larapidezmediaylavelocidadmediasondiferentes,enlarapidezconsideramosladis-tanciatotal recorrida por la partcula, y en la velocidad media eldesplazamiento, tambin difieren en que en la rapidez media no seincluye direccin. Algunas veces coinciden, aunque tengan signodistinto, pero cuando la partcula retrocede sobre su camino, losresultados pueden ser muy dife-rentes. Velocidad instantnea yrapidez o celeridad.-Hemosaprendidoadeterminarlavelocidaddeunapartculaenunintervalodetiempo,pero lo que ms nos interesa es saber la velocidad de la partcula enun instante determinado. Es decir, su velocidad instantnea ovelocidad. La velocidad en cualquier instante se obtiene de lavelocidad promedio reduciendo el inter-valodetiempothastaaproximarloacero.Cuandot disminuye,lavelocidadpromedioseaproxima al valor lmite que es la velocidad en aquel instante mt 0t 0x dxv lim v limt dt = = = Para deteminar la velocidad instantneaa partir de la ecuacin que relaciona la posicin y el tiempoutilizamos el operador derivada de la funcin x(t) respecto de lavariable t. Sea la fun-cin x = mtn, siendo m un nmero constante y nel exponente entero de la variable t: { }()( )n n n 1dx d dx m t vx m t m n tdt dt dt= = = = = Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumicade 1: MOVIMIENTOS Pgina 3 de 18 Por ejemplo, si la ecuacinposicin-tiempo es x = 2t2, entonces la velocidad instantnea esigual a v = 4t: { } ( )2 2 2 1dx dx 2 t v 2 t 2 2 t 4tdt dt= = = ==Ejercicios resueltos de velocidad: 1) Determina la velocidad mediay la velocidad instantnea de una partcula que se mueveme-diantelasiguiente ecuacin de movimiento x = 5t.Obtenemos quelavelocidad media es cons-tante y, por tanto, coincide con lavelocidad instantnea, y lo hacemos de dos formas ( )( )m1 1ms2 1mms2 1t 0 t 0msx 5 tx 5tv 5t tx 5t x 5 t txv lim v lim 5x x x 5 ttdxdx 5t v 5t 5dt dt = = = = = = + ` ` = = = = = ) ) = = = = ` ) 2)Determina la velocidad media y la velocidad instantnea de unapartcula que se mueve me-diante la ecuacin de movimiento x = 5t2.Ahora, obtenemos que la velocidad media no es cons-tante ya quedepende del tiempo, por lo que la velocidad instantnea ser distintaen cada tiempo, y lo hacemos de dos formas. ( )( )( )22 222 1 1 11m12 21 12m 1t 0 2 1 12 2 msx 5 t t 5 t 2t t t10t t 5 t xv 10t 5 tt tx 5t x 5tv lim v 10tx x x 10t t 5 tdx dx 5t v 5t 10tdt dt = + = + ++ = = = + = = ` ` = = = = + ) ) = = = = ` ) 3) Determina lavelocidad instantnea, en el instante t1=1 s, de una partcula que semueve me-diante la ecuacin de movimiento x = 1 + 4t2.( )( )( )22222 1 1 11m 12 21 1212 1 1t 02 2 msx 1 4 t t 1 4 t 2t t t8t t 4 txv 8t 4 tt tx 1 4t x 1 4txv lim 8tx x x 8t t 4 ttdx dx 1 4t v 1 4t8tdt dt = + + = + + + + = = = + = + = + ` ` = = = = + ) ) = + = = += ` ) En el lenguaje del clculo, la velocidad instantnea es larapidez con la que la posicin x de una partcula est cambiando conel tiempo en un instante dado. La velocidad de una part-cula en uninstante es la pendiente de su curva de posicin en el puntorepresentado en aquel instante. La rapidez es la magnitud de lavelocidad. Los velocmetros de los coches miden la rapi-dez, no lavelocidad, porque no nos dicen nada sobre la direccin delmovimiento.Aceleracin media y aceleracin instantnea.-Cuandocambialavelocidadde unapartcula,decimosquelapartculaexperimentauna aceleracin.La aceleracin media en unintervalo de tiempo es 2 1m2 1v v va at t t = = = La aceleracininstantnea o aceleracin mt 0dva lim adt ==Laaceleracindeunapartculaenuninstanteeslarapidezalacualsuvelocidadestcambiando en aquel instante. La aceleracin de una partcula encualquier punto es la pendien-te de la curva de v(t) en aquelpunto.Ejercicios resueltos de aceleracin: Julio Anguiano CristbalFsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 4 de 18 1) La posicin de unapartcula, en funcin del tiempo, se ha determinado que cumple lasiguien-te ecuacin: x = 10 + 20t 2t2. Calcula la velocidad media yla velocidad instantnea, en fun-cin del tiempo, y la aceleracin.Dibuja las grficas posicin-tiempo, velocidad-tiempo yacelera-cin-tiempo ( ) ( )( )( )22 22 1 1 1 1 12 21 1 122 1 121 1m1t 0 t 0x 10 20 t t 2 t t 10 20t 20 t 2 t 2t t tx 10 20t 2t x 1020t 2tx x x 20 t 4t t 2 t20 4t 2 t 20 t 4t t 2 t x x xv lim v 20 4t2 t v limt t t t t = + + + = + + + + = + = + ` = = ) = = = = = = =` )( )2 212 1m m1 1 m ms st 020 4tv 20 4 t tv 4 tv 20 4t v 20 4t a4 a lim a 4t tv 4 t = + = = = = = = = ` ` ) = ) ( )( )2 22 2m mssdx dx 10 20t 2t v 10 20t 2t 20 4t v 20 4tdt dtdv dv 20 4t a 20 4t4 a 4dt dt = + = = + = = ` ) = = = = = ` ) x = 10 + 20t 2t2t01234567891011 x1028425258605852422810-12v201612840-4-8-12-16-20-24 a-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-30-20-100102030405060700 2 4 6 8 10 12t (s)x v a 2) Si la posicinde una partcula viene dada por la ecuacin: x = 7t 2t2, calcula lavelocidad instantnea y la aceleracin. Dibuja las grficasposicin-tiempo, velocidad-tiempo y aceleracin-tiempo t(s)00,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,62,83 x(m)01,322,483,484,3255,525,886,086,1265,725,284,683,923 v(m/s)76,25,44,63,832,21,40,6-0,2-1-1,8-2,6-3,4-4,2-5 a(m/s2)-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4-4 Julio Anguiano CristbalFsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 5 de 18 -6-4-2024680 0,5 11,5 2 2,5 3 3,5t (s)x (m); v (m/s); a (m/s2)x (m) v (m/s) a (m/s2)Ecuaciones del movimiento con aceleracin constante:Hasta ahora apartir de una ecuacin determinada posicin-tiempo, x-t, hemosobtenido la velocidad media, la velocidad instantnea, la aceleracinmedia y la aceleracin instantnea.Ahoravamosadesarrollarelprocesoinverso.Partimosdeltipodemovimientoenquelaaceleracin permanece constante, en ellos la distincin entreaceleracin media y aceleracin ins-tantnea pierde su significado. Siv0 es la velocidad inicial, en el tiempo t = 0, y v la velocidad encualquier tiempo: 2 1 0m 02 1v v v v va a v v att t t t 0 = = = = =+ Si la aceleracin es constante, la velocidad instantnea0v v at = +Si representamos la velocidad en el eje de ordenadas, v, y eltiempo en el eje de abscisas, t, el resultado es una lnea recta.Siendo la aceleracin, a, la pendiente de la recta y la velocidadini-cial, v0, el punto de corte de la recta con el eje deordenadas. La velocidad media, vm, en cualquier intervalo de tiempot, es la media de la velocidad ini-cial, v0, y la velocidad finaldel intervalo, v. Por lo que el desplazamiento x = x x0 = v0t +at2

( ) ( ) ( )00 0m0 0 0 0 20 m 0v v atx x x x xvt t 0 tv v v v at2 v at1x x x v t t t t v t at2 2 2 2= + = = = + + + + = = = = == =+ La posicin en cada instante20 01x x v t at2= + +Hemos obtenidoque en la ecuacin posicin-tiempo, el trmino independiente x0represen-ta la posicin inicial para t=0, el trmino que multiplica ala variable t es la velocidad inicial v0, y el trmino quemultiplica a la variable t2 es la mitad de la aceleracin instantneao media.Entodoslosproblemas,conaceleracinconstante,estnimplicadascincomagnitudesdesplazamiento, (x-x0), tiempo, t, velocidades instantnea einicial, v y v0, y aceleracin, a.Usualmente, una de ellas no seconoce en un problema. Hay dos ecuaciones que contienen cuatro dedichas magnitudes, pero no las mismas cuatro. Julio AnguianoCristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 6 de 18 En laecuacin v = v0 + at no est presente el desplazamiento (x-x0).En laecuacin x = x0 + v0t + at2 no est presente la velocidadv.Estasecuacionespuedencombinarsedetresformasparaobtenertresecuacionesadicionales:eliminando t, eliminando a, eliminando v0. ( )( )22 20 0 0002 00020 02 20v v v v v v 1elimina-t:x v aa 2 a 2av v atv v 11elimina-a:x v t t v v t12 t 2 x x x v t at21 1elimina-v 😡 v at tat vt at2 2 | | | | = + = ||\ . \ .= + | | = + = + ` | = = +\ . ) =+ =

Silaaceleracinesconstante laecuacinposicin-tiempoes cuadrtica Sila ecuacin posicin-tiempo es cuadrtica la aceleracin es constante0mv va a cte.t= = =20 01x x v t at2= + +0v v at = +20 0 0dx d 1v xv t at v atdt dt 2| |= = + + = + |\ . 20 01x x v t at2= + + ( )0dvda v at adt dt= = + =Movimiento de cada libre:Cuando lanzamos unobjeto hacia arriba o hacia abajo y podemos eliminar los efectosdel aire sobre su vuelo, se encuentra que el objeto acelera haciaabajo con un valor determinado que se llama aceleracin de cadalibre g. La aceleracin g es independiente de las caractersticas delobjeto,comolamasa,ladensidadolaforma.Elvalordegvaraconlalatitudyconlaaltura,siendo mayor en los polos y en la superficie de la Tierra. En elnivel del mar en latitudes medias es de 9,8 m/s2. Por todo loanterior las ecuaciones del movimiento cuando la aceleracin esconstante son vlidasparalacadalibre.Parahacermsfcileslasecuacionesconsideramosquela direccin del movimiento es vertical alo largo del eje y con la direccin positiva hacia arriba. Por tantola aceleracin de cada libre es negativa, es decir, hacia abajosobre el eje y. Luego en las ecuaciones a = – g. ( )0 02 20 0 0220v v at v gt1 1y y y v t at v t gt2 2v v 2 a y 2 g y 2 g y = + = == + = = = = Ejercicios resueltos de cada libre: 1) Se lanza unobjeto, verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 12m/s. Calcula: a) el tiempo que tarda en llegar al punto ms alto; b)la altura mxima que alcanza; c) el tiempo que tardar en alcanzar elpunto situado a 5 m por encima. Dato: g = 9,8 m/s2. Respuesta: Elobjeto se mueve en una lnea recta vertical y consideramos que lohacen sobre el eje OY, siendo el origen O el suelo. Para resolverel problema hay que saber que en el punto ms alto la velocidad escero. Tiempo en alcanzar la altura mxima: 2m0 0 sms0 12 v v at v vt1,2 sv 0 a 9,8 = + = = = ` = ) Julio Anguiano Cristbal Fsica yQumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 7 de 18 La altura mxima alcanzada:()( ) 22m2 2 2 2s 0 0ms0 12v v v v 2a yy 7,3 m2av 02 9,8 = = = = ` =) Tiempo en alcanzar el punto de posicin 5 m: 221 2 m0 0s22msy 5 mt0,53 s 5 12t 4,9t 1y v t at v 12t 1,9 s 24,9t 12t 5 0a g 9,8 = = == + = ` ` ` = ) + = )= = ) Al calcular el tiempo que tarda enalcanzar el punto situado a 5 m, obtenemos dos valores, 0,53 s y1,9 s, que son los tiempos que tarda en pasar por la altura de 5 mcuando sube y cuando baja. 2) Se lanza un objeto desde el suelo,verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 14,7 m/s.Calcula: a) el tiempo que tarda en caer al mismo punto que parti;b) la velocidad con la que llega al suelo; c) el tiempo que tardaen alcanzar el punto ms alto y la altura mxima que alcan-za; d) ladistancia total recorrida. Respuesta: El objeto se mueve en unalnea recta vertical y consideramos que lo hacen sobre el eje OY,siendo el origen O el suelo.Tiempo total de vuelo:2202 2 m0 0 0totalsm0 stotal10 v t gt2y 01 1y v t at v 14,7 v t gt t 3 s2 2a g9,82vtg= = = + = = = ` ` ) = = )= Velocidad al caer al suelo: {}2m0s0 m m0 total 0 0ss0totalv 14,72vv v at a g 9,8 v v g v14,7g2vtg = = + = = = = = ` = ) Altura mxima que alcanza y tiempoque tarda: ( )( ){ }22m2 2 2 2s 0 0ms00 subir0 14,7v v v v 2a yy11,0 m2av 02 9,8v 0 0 vv v at t 1,5 sa g g = = = = ` = ) = = + = =`= ) La distancia total recorrida es la recorrida en subir y enbajar, en total 22 m.3)Unvehculollevaunavelocidadconstantede36km/hyfrenaconunaaceleracindea=-5m/s2. Calcula: a) la distancia que recorre hasta que se para y eltiempo que tarda en parar; b) lo mismo que en el apartado anteriorpero considera que la velocidad inicial es el doble. Respuesta: Ladistancia hasta que se para: ( )( ) 222m2s 2 2 0 km m0 0h smmssv010vv v 2a x v 36 10 x 10 m2a2 5a 5 = = = = = = = ` = ) JulioAnguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 8 de 18 Eltiempo hasta que se para: 22m0 s km m0 0 pararh s msmsv 010vv v atv 36 10 t 2 sa 5a 5 = = + = = = = = ` = ) Si la velocidad iniciales el doble, 72 km/h, calcula la distancia hasta que se para y eltiempo:( )( ) 22222m2s 2 2 2 0 km m0 0h smmssm0 s km m0 0 pararh smsmsv 02 10vv v 2a x v 72 20 x 2 10 m 40 m2a2 5a 5v 020vv v at v 7220 t 4 sa 5a 5 = = = = = = = = ` = ) = = + = = = = = ` = )Magnitudes vectoriales y escalares.-Una partcula confinada amoverse en una lnea recta lo hace solamente en dos direccio-nes.Podemos decir que una direccin es positiva y que la opuesta esnegativa. Pero una partculamovindoseentresdimensionesconunsignomsomenosnosabemosladireccindelmovi-miento.Porloquenecesitamosunaflechaque nosapunteenladireccindelmovimiento.Esta flecha es un vector. Un vector tienemagnitud y direccin y sigue ciertas reglas de combinacin. Unacantidad vectorial es una cantidad que puede representarse por unvector; es decir, tiene una cuanta que tiene asociada con ella unamagnitud y direccin. Algunas cantidades fsicas que se representanpor vectores son el desplazamiento, velocidad, aceleracin fuerza ycampo magntico. No todas las cantidades fsicas tienen direccin.Como la temperatura, la presin, la ener-ga, la masa y el tiempo.Tales cantidades se llaman escalares y se rigen por las reglas dellgebra. Suma de vectores:s a b = +GG G Los vectores unitarios: Sonvectores que tienen de magnitud 1 y sus direcciones sonperpendi-culares.Estndirigidoshacialasdireccionespositivasdelosejesx,y,z.Sedenominani,j,kGG G. Constituyen el sistema de coordenadas de la mano derecha.( ) ( )( ) ( )x y x x y yx y22x yx yr r i r j a b i a b ja a i a jra bb b i b jr r r = + = + + + = + = + ` = + = + )G G G GG G GGGG GGG GG

Ejemplo: Si caminamos 3 km hacia el oeste y despus 4 km hacia elnoreste formando un ngulo de 60 con la horizontal. Determina eldesplazamiento resultante.Respuesta:ConsideraquenosmovemosenunsistemadereferenciaOXY,entonceselprimerdesplazamiento estar representado por un vector de mdulo 3 km ydireccin sobre el eje OX. El segundo vector desplazamiento tendr unmdulo de 4 km y sus componentes sern: sobre el eje OX (4cos 60) ysobre el eje OY (4sen 60) ( ) ( )( ) ( )2 2r 3 4cos 60 i 4sen60 ja3i kmb 4cos 60 i 4sen60 jr 3 4cos 60 4sen60 3,61km = + + = ` = + =+ + = )G GG GGG G GG Producto escalar:( ) ( )x yx y x y x x y yx yab a b cosa a i a ja b a i a j b i b j a b a bb b i b ji j i j cos 11 0 02 = = + = + + = + ` `= + = = = ) )G GG GG GGG G G G GGG G GG GG G Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina9 de 18 Movimiento en dos dimensiones Posicin y desplazamiento:Unamanera general para localizar una partcula o un objetotipo-partcula es con el vec-tor de posicinrG, que es un vector queva desde el punto de referencia al objeto. El vector de posicin deuna partcula situada en un punto P del sistema cartesiano OXY, seexpresa por x yr r i r j = +G GG, siendo rx y ry las componentesdel vector respecto al centroO.Elvectordeposicinserelacionaconlatrayectoria,s,queasuvezdependedeltiempomediante:( ) | | r r s t =G G.Silapartcula semueve, su vectordeposicincambia, perosiempre vadirigido desde el origen O hasta elnuevo punto P que tiene de componentes sobre los ejes rx y ry : xyr ‘ r ‘ i r ‘ j = +G GG El vector desplazamiento es el vectorresultante de la diferencia entre los vectores de po-sicin en dosinstantes determinados x x y yr r ‘- r (r ‘ – r )i (r ‘ – r ) j = =+G GG G G Ejemplo: La posicin de una partcula en un instanteinicial es (-3;2) m y en un instante posterior est en el punto(9;2)m.Escribelosvectoresde posicininicialesyfinales.Determina elvectordesplazamiento f i i2fr r – r (9 3)i (2 2) j 12i m r 3i 2j mr 9i 2jm r 12 12 m= = + + = = + ` = + = = ) G G G G GG G G GG GG GVelocidadmedia:Lavelocidadmediadeunapartculaeslarelacinentreelvectordesplazamientoyeltiempotranscurrido en dicho desplazamiento.Si la trayectoria de lapartcula es recta o si describe una trayectoria curvilnea. Lavelocidad me-dia es un vector que tiene la misma direccin y sentidoque el vector desplazamiento: 2 1m2 1r r rvt t t = = G G GGVelocidad instantnea:La velocidad del punto material en un instantedado es igual a la primera derivada del vector deposicindelpuntoconrelacinal tiempo. Para hallar las derivadasrpidamente usamos la siguiente regla: ( )( )n n 1nxnn n 1ydx dv m tm ntx m tdt dtdy dy p tv p t p ntdt dt = = = = ` `= )= = = )Ejemplo: Si la ecuacin es x = 5t2, entonces la velocidad instantneaes v = (dx/dt) = 10t Como el vector de posicin se relaciona con latrayectoria, que a su vez depende del tiem-po, la velocidadinstantnea tambin se expresa como el producto del mdulo de lavelocidad por el vector unitario que nos indica la direccin ysentido de la velocidad: () | |{tdr dr dsr r s t v u vdt ds dt= = ==G GG G G G G yxm x yt 0 t 0drr dr drv lim v lim i j v i v jt dt dtdt = = = = + = +G GG G G GG G Julio Anguiano Cristbal Fsica yQumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 10 de 18 El mdulo de la velocidad est 0 t 0r s dsv lim limt t dt = = = GG Ejercicio resuelto develocidad en dos dimensiones: Una partcula se mueve en el planoOXY, siendo su posicin en cada instante de la trayectoria la queviene determinada por lascoordena-das(x,y)enmetros,expresadasporlasexpresionessiguientes:x=-0,31t2+7,2t+28;y=0,22t2 9,1t + 30. Calcula: a) la magnitud y direccin del vector deposicin a los 15 s respecto del eje positivo +OX; b) la magnitud ydireccin de velocidad instantnea a los 15 s. Respuesta: a) a los 15s( ) ( )( ) ( )2 2x y2 2yxr r i r j 0,31t 7,2t 28 i 0,22t 9,1t 30 jmr 66 57 87 mr 66i 57 j mrarctan 41r= + = + + + += + == = = G G GGGGG GG b) Para calcular la magnitud de la velocidad instantnea enel tiempo t = 15 s ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2yxx y2 2msyxd 0,31t 7,2t28 d 0,22t 9,1t 30 drdr dr mv i j i jdt dt dt dt dt smv v i v j0,62t 7,2 i 0, 44t 9,1 jsmv 2,1 2,5 3,3sv 2,1i 2,5 jvarctan 130v ++ += = + = += + = + + = + == = = GG G G GGG G G GGGG GG Aceleracinmedia:La aceleracin es una magnitud que nos mide la rapidez decambio de la velocidad. La ace-leracin media, que posee un puntomaterial, cuando ste cambia la velocidad instantnea en un intervalode tiempo como la divisin entre el incremento del vector velocidady el tiempo transcu-rrido en dicho incremento 2 1m2 1v v vat t t == G G GG Aceleracin instantnea:Se llama aceleracin del puntomaterial a una magnitud vectorial que caracteriza el cam-bio con eltiempo del mdulo y de la direccin de la velocidad del puntomaterial. La aceleracin del puntomaterial en uninstantedado esigualala primeraderivada delavelocidado ala se-gunda derivada delvector de posicin del punto material con relacin al tiempo. yx zmt0 t 0dvv dv dv dva lim a lim i j kt dt dt dt dt = = = = + +G GG GGG G La aceleracin instantnea, en un movimiento curvilneo, siempreva dirigida hacia la concavidad de la trayectoria. Julio AnguianoCristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 11 de 18 Ejemplo:Calcula el vector aceleracin a los 15 s, su mdulo y direccin, delejemplo anterior en el que las ecuaciones del movimiento son: x =-0,31t2 + 7,2t + 28; y = 0,22t2 9,1t + 30. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22x yyxyx2x yr r i r j 0,31t 7,2t 28 i 0,22t 9,1t 30 j mdrdr dr mv ij 0,62t 7,2 i 0, 44t 9,1 jdt dt dt sdv d 0,62t 7,2 d 0, 44t 9,1 dvdv ma i j i j 0,62i 0, 44jdt dt dt dt dtsma a i a j 0,62i 0, 44j= += + + + += = + = + + + = = + = + = += + = +G G G GGGG G G GGGG G GG G GGG G G GG( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x y22yxma a a 0,62 0,44sasarctan 145a= + = + = =G Componentes intrnsecas de laaceleracin.-Como en un movimiento curvilneo la aceleracininstantnea siempre est dirigida hacia la concavidad de la curva, sepuede descomponer en dos componentes, llamadas componentesin-trnsecasdelaaceleracin.Estascomponentessonlatangentealatrayectoriaylanormalalatrayectoria que est dirigida hacia el centro de la curvatura. ||2tt t t n t nn t td v d v dv d du va v u u v u u a adt dt dt dt dtRd va a a a udt= = = + = + = += = G G G GG G G G G G G G GGG G G GG Significado fsico de las componentes intrnsecas de la aceleracin:La aceleracin tangencial td vadt=GG nos mide los cambios enmagnitud del mdulo de la velocidad o celeridad. La acelera-cinnormal 2nvaR=G nos mide los cambios en la direccin de la velocidad.Demostracin: Consideremos una seccin de la trayectoria curvilnea.En cada instante el vector velocidad es siempre tangente a latrayectoria y el vector aceleracin est dirigido hacia laconca-vidaddelatrayectoria.Laaceleracinmidelarapidezdeloscambiosdevelocidad,esdecir,loscambios de la celeridad o de la direccin de la velocidad o de losdos.La rapidez de cambio en el mdulo de la velocidad (la celeridad)se denomina aceleracin tangencial. La rapidez de cambio en ladireccin del vector velocidad se denomina aceleracin cen-trpeta onormal.Demostracindequeelvectorresultantedeladerivadadelvectorunitariotangenteres-pectodel tiempo es perpendicular al propio vector unitario tangente: ()t t t tt t t t t t t tdu du du duu u 1 d u u 0 u u 2 u 0 udt dt dtdt| | = = + = = |\ .G G G GG G G G G G G G t tn n n nsdv du du d Ruu u udt dt dt dt R| | |\ .= = = =G G GG G G G Movimiento curvilneocon aceleracin constante:En los movimientos curvilneos conaceleracin la velocidad y la posicin en cualquier ins-tante vienedada por las siguientes ecuaciones: 20 0 01v v at ; r r v t at2= += + +G G G G G G G Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1:MOVIMIENTOS Pgina 12 de 18 | |00 20 0dr dvv adt dtdv a dt dr v dt vat dtv v at 1r r v t at2 = = = = = + ` ` = + = + + ) )G GG GG G G GG GG G GG G G G Por lo que el movimiento est siempre en un plano yla trayectoria es una parbola { }{ }0 020 0v v at v en plano de vya1r v t at r en plano de vy a2= += + G G G G G GG G G G G GEjemplos de movimientos curvilneos: Si consideramos una cadavertical, un lanzamiento hacia arriba formando un ngulo con lahorizontal, etc., son todos movimientos con aceleracin constante,que es la de la gravedad. Si el origen delsistema dereferencia,O,est en elsuelo, el eje de ordenadas OY espositivohaciaarribayelorigendetiempost0=0,laaceleracindelmovimientotendrdevaloray=-g=-9,8m/s2. El movimiento se desarrolla sobre el plano OXY y la ecuacinde la trayectoria es una par-bola( ) ( ) ( ) ( ) {| |0 0x 0y0 0 00x 0y 0x 0y0x 0x 0x yy 0y 000v v i v jdvav v cos i v sen j v v i vj gt j v i v gt j dtv v ata g jv v v cosv v i v jv v gt v sengtdrvdtdr v dt v at dtr r = + = = + = + = + ` ` = + )= )= = = += === = + =G GGGGG G G G G G GG GG G GGGG GGGGG G G GG Gx 0x x 0x 0x0x 0x y2 2y 0y 0y 0y 020r r v t r v t r v t cosr r i r j1 1r r v tgt r v t sen gt2 2 1v t at2 = + = + = + = + ` = + = + + + )G GGG GEcuacin de la parbola: 2 0x0y20x 0y 0y2 20x 0x 0x0y 0xx v tvx 1 x 1gr r 0 y v g x x1v 2 v v 2v y v t gt2= | | | |= = = = `||\ . \ . =) Movimiento parablico: Sea un tiro parablico de velocidad inicial100 m/s formando un ngulo de 30 con la horizontal. El tiempo devuelo es el tiempo que tarda en caer al suelo (ry = 0), que es elmismo tiempo que tarda en llegar al punto ms alejado, o alcance. Laaltura mxima se alcanza cuando la componente de la velocidadvertical es cero (vy = 0), que coincide con un tiempo que es lamitad del tiempo de vuelo. vi (m/s)ngulo (grados)Tiempo vuelo(s)Alcance (m)Altura mxima (m) 1003010,20883,70127,55 t (s)rx (m)ry(m)vx (m/s)vy (m/s) 00086,6050,00 1,0288,3745,9286,6040,002,04176,7481,6386,6030,00 3,06265,11107,1486,6020,004,08353,48122,4586,6010,00 5,10441,85127,5586,600,006,12530,22122,4586,60-10,00 7,14618,59107,1486,60-20,008,16706,9681,6386,60-30,00 9,18795,3345,9286,60-40,0010,20883,700,0086,60-50,00 Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumicade 1: MOVIMIENTOS Pgina 13 de 18 Tiro parablico0204060801001201400100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000x (m)y (m) Movimientocircular:Para describir el movimiento circular lo podemos hacer dedos formas:ConsiderandoquelapartculavarecorriendounadistanciaalolargodelarcodelacircunferenciaConsiderandoquelapartculavadescribiendounnguloquebarre,queencadavueltacompleta es de 360 2 radianes. La relacin entre el arco y el nguloviene dada porque el arco descrito es el resultado de multiplicarel ngulo (en radianes) por el radio de la circunferencia. {2 R 2RLongitud de la circunferencia: arco ngulo R = =

La velocidad en el movimiento circular:( )( ) ( )arco ngulo Rdarco dsvdt dtd ngulo R d ngulov R Rdt dt= = == = =Movimientocircularuniforme:Siunobjetodescribeunmovimientocircularuniforme,laveloci-dadangular es constante, ya que el tiempo que tarda en dar una vueltaes siempre el mismo. Este tiempo se llama perodo, T, y se mide ensegundos. El inverso del perodo es el nmero de vueltas que da en unsegundo, y se llama frecuencia, f, su unidad es el Hertz Hz(hercios): ( )0d ngulo 2cte. 2 fdt t t T2 2 Rv R RT T = = = = = = == =Aunqueelobjetollevavelocidadangularconstante,aldescribirlatrayectoriacircularvacambiando continuamente la direccin de la velocidad, por lo queposee una aceleracin asociada al cambio de direccin de la velocidady no al mdulo de la velocidad. La aceleracin asociada al cambio enel mdulo de la velocidad se le llama aceleracin centrpeta oaceleracin normal. ( )tt t t n22ndv d dv dua vu u v a adt dt dtdtva RR= = = + = += = G GG G G G G Julio Anguiano Cristbal Fsica yQumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 14 de 18 La aceleracin tangencial ttdva udt=G G nos mide los cambios en magnitud del mdulo de lavelocidad o celeridad. La aceleracin normal 2cvaR=nos mide loscambios en la direccin de la velocidad.Relacin entre arco recorridoy ngulo descrito: R R tts R t v t = = = = Movimiento circular nouniforme:La velocidad angular ahora no es constante y, por tanto,la partcula posee aceleracin an-gular. Consideraremos solamente elcaso de aceleracin angular constante. ( ) ( ) ( )( )ttt t t n2ndarco d ngulo R d ngulov Rarco ngulo R dt dt dtv Rd R dv da R Rdv dvdv dudt dt dta u u v a adt dt dt dta R= = = = = | |= = = = | = = =+ = + \ .= G GG G G G G Si la aceleracin angular es constante:020t1t t2 = + = + Demostracin: 000 0 0 2m 0 02 2020 20ttt 1t t t tt t2 2 221t t 1t t 22 = ` = + )+ + + | | | | = = = = + = + || \ . \. = ` ` = + ) = + ) Relacin entre arco recorrido y ngulo descrito:( ) ( )000 t202020 tR R R ttv v a t1R R t R t12t t2 1s v t a t2 = += + = + = + = + = + Problemas resueltos de movimiento circular: 1)Un objeto viaja describiendo una circunferencia horizontal de radio90 m. El objeto incrementa su velocidad uniformemente con unaaceleracin de 2,1 m/s2. Si parti del reposo, determina el tiemponecesario para que alcance la aceleracin de 2,4 m/s2 y la velocidaden ese instante. Respuesta: El objeto describe una circunferencia yaumenta su velocidad constantemente, luego posee una aceleracintangencial, por aumentar su velocidad lineal, y una aceleracinnormal, por cambiar su direccin. ( )2m0 tts2 2 2 22t n2 2nndvv v at 2,1ta 2,1dta a a2,1tvv a 0,049taR 90 mR = + = = = = + ` `= = = =) ) Julio Anguiano Cristbal Fsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina15 de 18 ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 2 m ms smsa 2, 4 2,1 0,049tt 4,87 sv10,2 = = + = ` = ) 2) Un satlite describe un movimiento circularalrededor de la Tierra a una altitud de 200 km so-brelasuperficie.Aesaaltitudlaaceleracindecadalibre esde9,2m/s2.Calculalavelocidadorbital del satlite y el tiempo que tarda en dar una vuelta a laTierra. Respuesta:AlserunmovimientocircularuniformealrededordelaTierralaaceleracinnormales la misma que la aceleracin de la gravedad ( )( )( )( )22 2nT6 3m mTss6 3Tmsv vg aR R hv g R h 9,2 6,37 10 m 200 10 m 77702 6,37 10m 200 10 m2 R ht 5313 s 1, 48 hv 7770= = =+= + = + = + + = = = =Movimiento relativo a velocidades bajas.- Siempre que analicemos elmovimiento de una partculaloharemosconrespectoaunSistemadeReferencia.Lavelocidaddeunapartcula,comovere-mos,depende del sistema de referencia que utilicemos. P r r ORO Seanlos dos Sistemas de Referencia OXYZ y OXYZ, cuyos centros O y O seencuentran a una distancia ROO. Una partcula situada en un punto Ptendr de coordenadas (x,y,z) para el primer sistema OXYZ y (x,y,z)para el segundo OXYZ. Los vectores de posicin y las velocidadesins-tantneas de la partcula en un sistema y en otro estnrelacionados por: O O’ O O’O’ Orelativar R r ‘ r ‘ r Rv’ v Va ‘ a a= + = = = G GG G G GGG GG G G relativaxyzSi a 0 a ‘ ax’ x V ty ‘ yV tTransformaciones Galileanas (sistemas inerciales)z ‘ z V tt ‘ t=== = = =G G G Silavelocidadrelativa de un sistemarespectodeotro esconstanteocerolasaceleraciones son iguales. ( )O’ OO’ OO’ OO O’ O’O 2O’ Ov’ Vv(velocidades altas) Si v’ c;V cv’ V1r r ‘ Rcv v’ V(velocidades bajas)+=+= + = + GG GGG G Julio Anguiano CristbalFsica y Qumica de 1: MOVIMIENTOS Pgina 16 de 18 Problemas deMovimiento rectilneo 1) Una bola se lanza verticalmente haciaarriba con una velocidad inicial de 50 m/s. Dos segun-dos ms tardese lanza otra con la misma velocidad. Dnde y cuando se encuentran?Cul es su velocidad cuando se encuentran?. [122,7 m; 6,10 s; -9,78m/s y +9,82 m/s] 2) Un cuerpo se est moviendo a lo largo de unalnea recta de acuerdo a la ley x = 16t – 6t2, don-de x se mide enmetros y t en segundos. a) Encuentra la posicin del cuerpo en eltiempo t= 1s. b) En qu tiempo pasa el origen?. c) calcula lavelocidad promedio en el intervalo de tiempo de 0 a 2 s. d)Encuentra la expresin general para la velocidad promedio en elintervalo t0