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  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 1

    NDICE DE DINMICA Dinmica de la partcula Sistemas de referencia. Vector de posicin. Vector desplazamiento

    Velocidad media. Velocidad instantnea

    Aceleracin media. Aceleracin instantnea

    Componentes intrnsecas de la aceleracin

    Movimiento circular: uniforme y no uniforme

    Ecuaciones del movimiento curvilneo con aceleracin constante

    Movimiento relativo a velocidades bajas

    Leyes de Newton de la dinmica de una partcula

    Caractersticas dinmicas de los sistemas inerciales y no inerciales

    Aplicaciones de las leyes de Newton al movimiento curvilneo. Fuerza de friccin

    Dinmica de los sistemas de puntos materiales o de partculas Sistema de partculas. Centro de masas

    Movimiento de un sistema de partculas. Fuerzas externas e internas

    Cinemtica y dinmica del movimiento

    Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema

    Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema

    Principio de conservacin del momento lineal

    Momento angular o momento cintico de un sistema de partculas

    Momento angular para un sistema de partculas

    Relacin del momento angular con las fuerzas externas

    Teorema del momento cintico

    Principio de conservacin del momento angular

    Energa cintica de un sistema de partculas

    Colisiones. Tipos de colisiones. Impacto central y oblicuo

    Colisin plstica o totalmente inelstica

    Problemas de dinmica de una partcula

    Problemas de dinmica de un sistema de partculas

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 2

    Revisin de la dinmica de la partcula.- Sistemas de referencia: El llamado sistema de referencia est formado por el cuerpo de re-ferencia, las coordenadas y los relojes sincronizados entre s y ligados con l.

    Concepto de reposo: Si las coordenadas de todos los puntos del cuerpo en el sistema de re-ferencia elegido permanecen constantes, entonces el cuerpo est en reposo respecto de este sistema de referencia.

    Concepto de Movimiento: Si las coordenadas de algunos puntos del cuerpo se modifican en el tiempo, el cuerpo est en movimiento respecto del sistema de referencia dado.

    Relatividad del movimiento: Tanto el reposo como el movimiento son conceptos relativos, es decir, dependen del sistema de referencia.

    Definir cinemticamente un movimiento o formular una ley de movimiento de un cuerpo es definir en cualquier tiempo, la posicin de este cuerpo respecto del Sistema de Re-ferencia dado.

    Z

    !s t ut r r !r C C

    X Y

    Vector de posicin: El vector de posicin de una partcula situada en un punto P del sis-tema cartesiano OXYZ, siendo rx, ry y rz las componentes del vector respecto al centro O, se expresa por x y zr r i r j r k! " "

    ! ! !! . El vector de posicin se relaciona con la trayectoria s que a

    su vez depende del tiempo mediante: # $% &r r s t!! ! . Si la partcula se mueve, su vector de po-sicin cambia, pero siempre va dirigido desde el origen O hasta el nuevo punto P que tiene de componentes sobre los ejes rx, ry y rz: x y zr ' r ' i r ' j r ' k! " "

    ! ! !!

    Vector desplazamiento: Es el vector resultante de la diferencia entre los vectores de posi-cin en dos instantes determinados x x y y z zr r '- r (r ' - r )i (r ' - r ) j (r ' - r )k' ! ! " "

    ! ! !! ! !

    Velocidad media: La velocidad media de una partcula es la relacin entre el vector despla-zamiento y el tiempo transcurrido en dicho desplazamiento. Si la trayectoria de la partcula es recta o si describe una trayectoria curvilnea. La velocidad media es un vector que tiene la misma direccin y sentido que el vector desplazamiento:

    2 1m

    2 1

    r r rvt t t

    ' (! !' (

    ! ! !!

    Velocidad instantnea: La velocidad del punto material en un instante dado es igual a la primera derivada del vector de posicin del punto con relacin al tiempo.

    yx zmt 0 t 0

    drr dr dr drv lim v lim i j kt dt dt dt dt' ) ' )

    '! ! ! ! " "

    '

    ! ! ! ! !! !

    Como el vector de posicin se relaciona con la trayectoria, que a su vez depende del tiempo, la velocidad instantnea tambin se expresa como el producto del mdulo de la ve-locidad por el vector unitario que nos indica la direccin y sentido de la velocidad:

    # $% & tdr dr dsr r s t v u vdt ds dt

    ! * ! ! !! !! ! !! !

    El mdulo de la velocidad es t 0 t 0

    r s dsv lim limt t dt' ) ' )

    ' '! ! !

    ' '

    !!

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 3

    Aceleracin media: La aceleracin es una magnitud que nos mide la rapidez de cambio de la velocidad. La aceleracin media, que posee un punto material, cuando ste cambia la ve-locidad instantnea en un intervalo de tiempo como la divisin entre el incremento del vec-tor velocidad y el tiempo transcurrido en dicho incremento

    2 1m

    2 1

    v v vat t t

    ' (! !' (

    ! ! !!

    Aceleracin instantnea: Se llama aceleracin del punto material a una magnitud vectorial que caracteriza el cambio con el tiempo del mdulo y de la direccin de la velocidad del pun-to material. La aceleracin del punto material en un instante dado es igual a la primera de-rivada de la velocidad o a la segunda derivada del vector de posicin del punto material con relacin al tiempo.

    yx zmt 0 t 0

    dvv dv dv dva lim a lim i j kt dt dt dt dt' ) ' )

    '! ! ! ! " "

    '

    ! ! ! ! !! !

    La aceleracin instantnea, en un movimiento curvilneo, siempre va dirigida hacia la concavidad de la trayectoria.

    Componentes intrnsecas de la aceleracin: Como en un movimiento curvilneo la acele-racin instantnea siempre est dirigida hacia la concavidad de la curva, se puede descom-poner en dos componentes, llamadas componentes intrnsecas de la aceleracin. Estas componentes son la tangente a la trayectoria y la normal a la trayectoria que est dirigida hacia el centro de la curvatura.

    % &2

    tt t t n t n

    n t t

    d v d vdv d du va v u u v u u a adt dt dt dt dt R

    d va a a a u

    dt

    ! ! ! " ! " ! "

    ! ( ! (

    ! !!!! ! ! ! ! ! !! !

    !! ! ! ! !

    Significado fsico de las componentes intrnsecas de la aceleracin:

    La aceleracin tangencial td v

    adt

    !!!

    nos mide los cambios en magnitud del mdulo de

    la velocidad o celeridad.

    La aceleracin normal 2

    nvaR

    !!

    nos mide los cambios en la direccin de la velocidad.

    Demostracin: Consideremos una seccin de la trayectoria curvilnea. En cada instante el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y el vector aceleracin est dirigido hacia la concavidad de la trayectoria.

    1) La aceleracin mide la rapidez de los cambios de velocidad, es decir, los cambios de la celeridad o de la direccin de la velocidad o de los dos.

    2) La rapidez de cambio en el mdulo de la velocidad (la celeridad) se denomina acelera-cin tangencial.

    3) La rapidez de cambio en la direccin del vector velocidad se denomina aceleracin centrpeta o normal.

    Demostracin de que el vector resultante de la derivada del vector unitario tangente respecto del tiempo es perpendicular al propio vector unitario tangente:

    # $ t t t tt t t t t t t t

    t tn n n n

    du du du duu u 1 d u u 0 u u 2u 0 udt dt dt dt

    sd vdu du d Ru u u udt dt dt dt R

    + ! * + ! * " ! ! *

    , -. /0 1 2! ! ! !

    3! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !

    !! ! ! ! ! !

    Movimiento circular: Para describir el movimiento circular lo podemos hacer de dos for-mas: a) considerar que la partcula va recorriendo una distancia a lo largo de la circunferen-

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 4

    cia y b) considerar que la partcula va describiendo un ngulo que barre, en cada vuelta completa, un crculo de 360 2 radianes.

    ds Rdv R v Rdt dt

    0! ! ! 4 + * ! 4 5

    !! ! !

    v

    R

    Movimiento circular uniforme: La velocidad angular es constante. El tiempo en dar una vuelta es siempre el mismo, se llama perodo (T) y se mide en segundos. El nmero de vuel-tas que da en un segundo de tiempo se llama frecuencia (f) y se mide en Hz (hercios):

    # $# $# $

    2 1

    2 1

    2 1 2 1

    2 2t t t T

    t t

    0 ( 0'0 64 ! ! ! ! 67

    ' (

    0 ( 0 ! 4 (

    En el movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante y por tanto el mdulo de la velocidad. Sin embargo, el vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, cambia continuamente de direccin, luego la partcula posee aceleracin normal. Luego en un movimiento circular uniforme toda la aceleracin es centrpeta o normal.

    Movimiento circular no uniforme: La velocidad angular no es constante y, por tanto, la partcula posee aceleracin angular. Consideraremos solamente el caso de aceleracin angu-lar constante.

    Vectorialmente: El vector de posicin va desde el origen al punto de la circunferencia. La velocidad lineal es un vector tangente a la circunferencia y de origen el punto de la circunfe-rencia. La velocidad angular tiene de origen el centro de la circunferencia, es perpendicular a la circunferencia y el sentido el que nos marque el sentido de avance del sacacorchos en el giro de la partcula. La trayectoria es una circunferencia. La aceleracin:

    # $ t ndv d d dRa R R R v a adt dt dt dt4

    ! ! 4 5 ! 5 " 4 5 ! 8 5 " 4 5 ! "!! !! ! !! ! !! ! ! ! !

    t

    n2

    n

    a R

    a v ( R)

    Si v a R

    ! 8 5

    ! 4 5 ! 4 5 4 5

    4 3 * ! (4

    !! !!! ! ! ! !

    !!! !

    Si la aceleracin angular es constante:

    2

    d dt (t - t )1d dt dt (t t )dt (t t ) (t t )2

    4 ! 8 * 4 ! 4 " 8

    0 ! 4 ! 4 " 8 ( * 0 ! 0 " 4 ( " 8 (

    " "

    " " " " " "

    Ecuaciones del movimiento curvilneo con aceleracin constante:

    % & 20

    dv a dt v v a(t t )1dr v dt v a(t t ) dt r r v (t t ) a(t t )2

    ! + * ! " (

    ! + ! " ( + * ! " ( " (

    " "

    " " " " "

    ! !! ! !

    ! ! ! ! !! ! !

    El movimiento est siempre en un plano y la trayectoria es una parbola

    20

    v v a(t t ) v en plano de v y a1r v (t t ) a(t t ) r en plano de v y a2

    ! " ( *

    ' ! ( " ( * '

    " " "

    " " "

    ! !! ! ! !

    ! ! ! !! !

    Ejemplo: Consideramos una cada vertical, un lanzamiento hacia arriba formando un ngu-lo, etc. Son todos movimientos que los podemos considerar con aceleracin constante, la de

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 5

    la gravedad. Si el origen O est en el suelo, el eje de ordenadas OY es positivo hacia arriba y el origen de tiempos t0=0. La aceleracin del movimiento tendr de valor ay=g=-9,8 ms-2. El movimiento se desarrolla sobre el plano OXY y la ecuacin de la trayectoria es una parbola

    2

    x xx y x yx y y y

    x y x x xm x y 2y s y y y

    v vv v v v i v jv v v v v g(t t )

    r r r r r v (t t )r r i r j 1a a g 9,8 j r r v (t t ) g(t t )

    2

    !9 9 :! " ! " *9 : ; " " " " "

    " " " " " "

    " " " "

    ! !! ! !! ! !! ! !

    ! !!!! ! !

    xx

    x y 22

    y yx x

    xx v t tv

    Si r r 0 1 x 1 xy v t gt y v g2 v 2 v

    9 ! * !==! ! * ;, - , -= ! ( * ! (. / . /=> 1 2 1 2

    ""

    " "

    " "" "

    Movimiento relativo a velocidades bajas.- Siempre que analicemos el movimiento de una partcula lo haremos con respecto a un Sistema de Referencia. La velocidad de una partcu-la, como veremos, depende del sistema de referencia que utilicemos.

    P r r O R O

    Sean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y OXYZ, cuyos centros O y O se en-cuentran a una distancia ROO. Una partcula situada en un punto P tendr de coordenadas (x,y,z) para el primer sistema OXYZ y (x,y,z) para el segundo OXYZ. Los vectores de posi-cin y las velocidades instantneas de la partcula en un sistema y en otro estn relaciona-dos por:

    O O'O O'

    O'O

    relativa

    r R r ' r ' r R

    v ' v Va ' a a

    9 ! " * ! (=

    ! ( *;= ! (>

    ! !! ! ! !!! !

    ! ! !

    relativa

    x

    y

    z

    Si a 0 a ' ax ' x V ty ' y V t

    Transformaciones Galileanas (sistemas inerciales)z ' z V tt ' t

    ! * !! ( +9

    = ! ( +=;

    ! ( +== !>

    ! ! !

    Si la velocidad relativa de un sistema respecto de otro es constante o cero las aceleraciones

    son iguales.

    # $O'O

    O'OO'O

    O O' O'O 2

    O'O

    v ' Vv (velocidades altas) Si v ' c; V cv ' V1r r ' R

    cv v ' V (velocidades bajas)

    "9 != 5= "! " * ;== ! ">

    # #!! !

    !! !

    Leyes de la dinmica de una partcula de Newton: Las leyes de Newton en su forma con-vencional (1642-1727) en Principia (1687):

    1) Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilneo uniforme a menos que sobre l acte una fuerza.

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 6

    2) Todo cuerpo sobre el que acta una fuerza o varias se mueve de tal forma que la va-riacin de su momento lineal o cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual

    a la fuerza neta: N

    i netai 1

    dP d(mv)F F madtdt

    !

    ! ! ! [email protected]! !! ! !

    3) Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas entre s, estas fuerzas son de intensidades iguales y sentidos opuestos. Si sobre el cuerpo 1 (F12) ejerce una fuerza el 2 esta ha de ser igual a la fuerza que sobre el 2 (F21) ejerce el 1: 12 21F F! (

    ! !

    Anlisis de las leyes de la dinmica: La primera ley nicamente contiene un significado preciso para una fuerza nula, es decir, que todo cuerpo en reposo o en movimiento rectilneo uniforme no est sometido a la accin de ninguna fuerza. Y se dice que es un cuerpo libre (o partcula libre). La primera ley, por s sola, nicamente puede darnos una nocin cualitativa acerca de la fuerza.

    La segunda ley, nos da una afirmacin explcita acerca de la fuerza, en la cual la fuerza se relaciona con la rapidez de cambio del momento lineal. Ahora bien, la definicin de fuerza slo expresa algo completo y preciso cuando se define la masa.

    La tercera ley es realmente un principio, ya que se trata de una declaracin relativa al mundo fsico real y contiene toda la fsica de que estn dotadas las leyes del movimiento de Newton. Con la tercera ley cuando consideramos dos cuerpos aislados 1 y 2 tenemos que:

    2112 21 1 1 2 2

    2 1

    amF F m a m am a

    ! ( * ! ( * ! (!! ! ! ! !

    Siempre nos ser posible establecer una masa unidad y determinar la masa de otro cuerpo comparando el cociente de aceleraciones cuando interacten los dos. La masa as determi-nada es la masa inerte, que es la masa que determina la aceleracin de un cuerpo sometido a una fuerza dada. Si la masa se determina pesando un cuerpo es la masa gravitatoria o pesante. El primero en comprobar la equivalencia entre las dos masas fue Galileo (cada de cuerpos), Newton, etc. La tercera ley no es un principio general de la Naturaleza, puesto que slo se aplica en el caso de que la fuerza ejercida por un objeto (punto) sobre otro objeto (punto) es-t dirigida a lo largo de la recta que une a ambos. Son stas las llamadas fuerzas centrales y a ellas se aplica la tercera ley, sean las fuerzas atractivas o repulsivas. Fuerzas centrales son las gravitatorias y las electrostticas, por lo cual las leyes de Newton podrn aplicar-se a los problemas en los que intervengan fuerzas de esta naturaleza. A veces, las fuerzas elsticas son centrales, ya que son manifestaciones macroscpicas de fuerzas electrostticas microscpicas. Toda fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos en interac-cin es no central esencialmente, y no se aplica la tercera ley en tales casos. As, por ejemplo, la fuerza que ejercen entre s las cargas elctricas en movimiento no obedece la ter-cera ley (fuerzas electromagnticas), puesto que dicha fuerza se propaga a la velocidad de la luz; incluso la fuerza gravitatoria que se ejercen entre s los cuerpos en movimiento depende de la velocidad, pero el efecto de sta es pequeo y difcil de detectar, siendo el nico efecto observable la precesin del perihelio de los planetas ms cercanos al Sol.

    Sistemas inerciales: Se llama sistema inercial a todo sistema de referencia en el que sean vlidas las leyes de la dinmica de Newton. Propiedades: Un cuerpo, aislado de acciones exteriores, est en reposo o en movimiento rectilneo unifor-

    me, respecto a cualquiera de estos sistemas.

    Para estos sistemas, el espacio es homogneo (igual naturaleza) e istropo y el tiempo es homogneo.

    Cuando las leyes de Newton sean vlidas en un sistema de referencia, lo sern tam-bin en todo sistema que se mueva uniformemente respecto del primero, o sea sin acelera-cin. El Sistema Solar, si despreciamos la debilsima accin gravitatoria estelar, puede ser considerado como un sistema aislado, y por consiguiente, es una referencia inercial. Por tanto, un triedro con origen en el centro del Sol (c.d.m. del sistema solar) y ejes en direccio-

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 7

    nes de tres estrellas fijas, es un sistema inercial con alto grado de exactitud, es el llamado sistema copernicano.

    Galileo comprob experimentalmente que las leyes de la mecnica son idnticas para dos observadores que se hallen en movimiento de traslacin rectilneo y uniforme. Es lo que se conoce como principio de relatividad de Galileo. Este principio se limita a las leyes de la mecnica si la velocidad de los cuerpos es muy inferior a la de las interacciones. La va-lidez de la Mecnica Clsica est acotada por dos extremos: 1) Cuando la velocidad de las partculas es muy grande y no se puede considerar como

    infinita la velocidad de propagacin de las interacciones (prxima a 3108 m/s).

    2) Cuando las dimensiones de las partculas involucradas en el fenmeno es del orden de 0,1 nm.

    Caractersticas dinmicas de los sistemas inerciales y no inerciales.- Un sistema se llama inercial si se comporta como una partcula libre, es decir, no est sujeto a interaccin, y por tanto o est en reposo o se mueve con velocidad constan-te y sin aceleracin, por lo que no ha de rotar. Dos sistemas se dice que son inerciales uno con respecto del otro si estn en reposo relativo o se mueven con velocidad constante uno con respecto del otro.

    Caractersticas de los sistemas inerciales: Sean los Sistemas OXYZ y O'X'Y'Z' que se encuentran a una distancia R los dos centros. Una partcula situada en el punto P ten-dr de coordenadas (x,y,z) para el primero y (x',y',z') para el segundo. Relacionados por:

    O'O

    O'O O'O

    O'O

    r R r '

    v V v ' Si V 0 a a ' F F 'a a a '

    9 ! "=

    ! " * ! * ! * !;= ! ">

    !! !! ! ! !! !! !

    ! ! !

    Para los Sistemas Inerciales tenemos que son iguales las leyes del movimiento, es decir, miden las mismas aceleraciones de la partcula situada en P y las mismas Fuerzas aplicadas en P. Esto es lo que se denomina el Principio Clsico de Relatividad. Caractersticas de los Sistemas No Inerciales: Si el Sistema O'X'Y'Z' es No Inercial, es decir que la velocidad relativa de ste sistema con respecto al OXYZ no es constante, y por tanto, el sistema O'X'Y'Z' con respecto al OXYZ posee aceleracin, tenemos:

    O'O

    O'O O'O inercial

    O'O

    r R r '

    v V v ' ma ' ma ma F ' F Fa a a '

    9 ! "=

    ! " * ! ( * ! ";= ! ">

    !! !! ! ! !! ! !! !

    ! ! !

    En el Sistema O'X'Y'Z' medimos una fuerza distinta que en el Sistema OXYZ, consi-derando que en el primero aparece una Fuerza Ficticia llamada de Inercia que es conse-cuencia de la aceleracin relativa del Sistema O'X'Y'Z' con respecto al OXYZ. Aplicaciones de las leyes de Newton del movimiento.- El movimiento de una partcula, bajo una fuerza constante, tiene la aceleracin tambin constante. Adems, analizando las ecuaciones siguientes, la velocidad siempre cambia en una direccin paralela a la fuerza aplicada, por lo que la trayectoria tiende hacia la direccin de la fuerza. Respecto al despla-zamiento, si la fuerza es constante, es una combinacin de dos vectores. Uno es la velocidad inicial y el otro la direccin de la fuerza aplicada. Si los dos vectores son paralelos el movi-miento es rectilneo y si no lo son estar en el plano determinado por los dos.

    2

    Fv v (t t )F mam 1 Fr r v (t t ) (t t )

    2 m

    9( ! (==! * ;

    = ( ! ( " (=>

    " "

    " " " "

    !! !!

    !!

    ! ! !

    Movimiento curvilneo.- Una partcula experimenta un movimiento curvilneo cuando la fuerza resultante forma un ngulo con la velocidad. Recordando que la aceleracin es siempre paralela a la fuerza. La aceleracin tendr una componente paralela a la velocidad,

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 8

    que cambia su magnitud, y otra componente perpendicular a la velocidad que nos expresa los cambios en la direccin del movimiento.

    Ft O

    F r

    Fn B A F

    Par de torsin (Torque).- Cuando una fuerza acta sobre un cuerpo, este no slo se mueve en la direccin de la fuerza sino que tambin lo hace alrededor de un punto. Considera la fuerza F actuando sobre una partcula A. Supongamos que el efecto de la fuerza es mover la partcula alrededor de O. La experiencia nos dice que el efecto de rotacin de F se incremen-ta con la distancia perpendicular o distancia de la palanca OB, desde el centro de rotacin O a la lnea de accin de la fuerza F. La magnitud fsica que lo define se llama par de torsin o momento del par

    M F OB F OA sen M r F! 5 ! 5 5 0 * ! 5! !!

    Fuerza de friccin.- !" Si el cuerpo no se mueve la fuerza de friccin esttica es igual a la F aplicada.

    !" La magnitud fuerza de friccin esttica fs tiene su valor mximo fs(mximo) = sN

    !" Si el cuerpo comienza a deslizarse sobre la superficie la magnitud de la fuerza de fric-cin rpidamente decrece a fk con el coeficiente de friccin cintica k.

    !" La direccin de fs y de fk es siempre paralela a la superficie y opuesta al movimiento deseado y N es perpendicular a la superficie.

    Dinmica de los sistemas de puntos materiales o de partculas: Cuando tiramos al aire un palo su movimiento es ms complicado que cuando tiramos un objeto ms sencillo. Esto se debe a que cada parte del palo se mueve describiendo una trayectoria diferente, por lo que no podemos representar la trayectoria del palo como si fuese una nica partcula, por lo que decimos que es un sistema de partculas.

    Si observa atentamente el movimiento del palo encontramos que hay un punto espe-cial de este que se mueve describiendo una trayectoria parablica, como si fuese una sola partcula. Este punto se llama centro de masas y est en la unin de los ejes del palo. Cada cuerpo tiene un centro de masas y se mueve como una partcula libre siguiendo una trayec-toria parablica.

    Sistema de partculas. Centro de Masas.- Un sistema de partculas es un conjunto de par-tculas sometidas a unas fuerzas interiores, entre ellas, y a unas ligaduras que constrien el movimiento del sistema. Un ejemplo de sistema con ligaduras es el slido rgido que se caracteriza porque las distancias entre las partculas son inalterables.

    Un Sistema de partculas puede interaccionar con otro y a esas interacciones se les llama fuerzas exteriores del Sistema. Si las fuerzas exteriores son cero el sistema se dice que est aislado.

    Consideremos un sistema de dos partculas m1 y m2 que respecto a un sistema de referencia inercial (OXYZ) tienen sus vectores de posicin de componentes respectivas (r1x; r1y; r1z) y (r2x; r2y; r2z). Se define el centro de masas del sistema de dos partculas como aquel punto cuyo vector de posicin, respecto del sistema inercial OXYZ exterior al sistema de partculas, viene dado por:

    1 1 2 2CM

    1 2

    m r m rRm m

    "!

    "

    ! !!

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 9

    r1

    RCM

    r2

    O

    Consideramos el sistema inercial OXYZ fuera del sistema de partculas y el sistema O'X'Y'Z' cuyo origen es el propio centro de masas (CM). La relacin entre los vectores de posicin de cada partcula respecto de O y de O' viene dada por la siguiente relacin:

    # $ # $1 CM 1 1 CM 1 2 CM 22 CM 2 CM 1 1 2 2

    1 21 1 2 2

    CM1 2

    r R r 'm R r ' m R r '

    r R r ' R m r ' m r ' 0m m

    m r m rRm m

    9= ! "

    " " "=! " * ! * " !; "= "= !

    ">

    !! ! ! !! !! !! ! ! !! !!

    Movimiento de un sistema de partculas. Fuerzas externas e internas.- El movimiento de un sistema de partculas es ms sencillo si lo estudiamos en fun-

    cin del centro de masas. Para ello, consideremos el ms simple, que es un sistema de dos partculas de masas distintas m1 y m2.

    Cinemtica del movimiento: La velocidad, la aceleracin y la posicin del centro de ma-sas en cualquier instante vienen dadas por

    # $

    # $ # $

    # $ # $ # $

    CM 1 1 2 2 1 1 2 2CM 1 2 CM 1 1 2 2

    1 2 1 2

    1 1 2 2CMCM

    1 2

    CMf CM i CM

    2CMf CM i CM i CM

    dR d m r m r m v m vV m m V m v m vm m m mdt dt

    m a m adVadt m m

    V V a t

    1R R V t a t2

    +

    9 " ", -! ! ! * " ! ". /= " "= 1 2;

    "= ! != ">9 ! " +=;

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    Dinmica del movimiento: Sobre cada partcula actan dos fuerzas la externa, suma de todas las fuerzas externas, y la interna, debida a la otra partcula. La fuerza total sobre cada partcula de masas distintas m1 y m2 es igual a

    # $

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    1 12 1

    2 21 2

    dF F pdtdF F pdt

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    La Fuerza total sobre el sistema se caracteriza porque la suma de las fuerzas internas es ce-ro 12 21F -F!! !

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    i 1 12 2 21 1 2 total ni 1

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    i 1 12 2 21 externai 1 i 1

    d d dF F F F F p p pdt dt dt dF p

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    La suma de las fuerzas externas es igual a la variacin del momento lineal del sistema con respecto del tiempo:

    # $ # $ # $ # $n

    externa total 1 2 1 1 2 2 CM CMi 1

    d d d dF p p p m v m v MV Madt dt dt dt

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  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 10

    Al aplicarle una fuerza externa al sistema, ste se mueve como si toda la masa estu-viera concentrada en el Centro de Masas.

    Anlisis de la 2 ley de Newton aplicada a un sistema de partculas: En la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actan sobre el sistema hay que te-

    ner mucho cuidado en no incluir las fuerzas internas que son las que ejerce una parte del sistema sobre otra parte.

    La masa total del sistema es la suma M=m1+m2. Consideramos que en el sistema no entra ni sale masa cuando se mueve, es decir, la masa es constante. El sistema es cerrado.

    La aceleracin del centro de masas del sistema no da informacin sobre la aceleracin de cualquier otra parte del sistema.

    Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema: El momento lineal de un sistema de dos partculas, de masas distintas m1 y m2, relativo al sistema inercial OXYZ (llamado de laboratorio) es la suma de los momentos lineales de cada una de las partculas.

    # $total 1 2 1 1 2 2 1 2 CM CMp p p m v m v m m V MV! " ! " ! " !! !! ! ! ! !

    El momento lineal de un sistema de partculas vemos que es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad del centro de masas.

    El momento lineal de un sistema de partculas es el mismo que el de una partcula ideal de masa igual a la masa total del sistema, de posicin la del centro de masas, y que se mueva de la misma forma que ste.

    Momento lineal del sistema referido al centro de masas del sistema: El momento lineal de un sistema de partculas, tomando como referencia el sistema Centro de Masas del propio sistema de partculas, es siempre cero.

    # $

    1 1 2 2

    1 1 2 2 1 1 2 2

    1 2

    m r ' m r ' 0d m r ' m r ' m v ' m v ' 0dtp ' p ' 0

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    Principio de conservacin del momento lineal: Si un sistema est aislado y cerrado, es decir, la suma de las fuerzas externas es cero y no pueden entrar ni salir partculas del sistema, entonces el momento lineal o la cantidad de movimiento del sistema permanece constante con respecto al tiempo.

    # $ # $ # $

    # $ # $

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    ext total 1 2 1 2i 1

    1 2 1 2i f

    d dF 0 p p p 0 p p ctedt dt

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    El principio de conservacin del momento lineal es una ley general, ms que las leyes de Newton, ya que es vlido en el mundo subatmico y para partculas a altas velocidades (teora general de la relatividad).

    Si el momento lineal total es constante, la velocidad del centro de masas tambin lo es y la aceleracin del centro de masas ser cero.

    Momento Angular o Momento Cintico de un sistema de partculas.- Momento angular referido a una partcula: Se define el momento angular de una partcu-la, de masa m, movindose con una velocidad v (y teniendo un momento lineal p=mv), res-pecto de un punto O en un sistema inercial OXYZ, L r p! 5

    ! ! !

    L

    r v m

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 11

    La unidad es 1 kgm2/s =1 Js. El mdulo del momento angular es LO=rpsen8. Si los vectores posicin y momento lineal estn en la misma direccin el momento angu-lar es cero.

    Como todas las cantidades lineales (velocidad, aceleracin), el momento lineal tiene su equivalente angular. La partcula se mueve, respecto a O, en la direccin de su momento lineal, el vector de posicin rota alrededor de O. Para tener momento angular, la partcula no debe rotar por s misma alrededor de O. Tambin se dice que el momento angular es el momento del momento lineal.

    En un movimiento lineal, la causa de la variacin del momento lineal con respecto del tiempo es una fuerza. En un movimiento angular o curvilneo la causa de la variacin del momento angular con respecto del tiempo est relacionada con el momento de la fuerza (par de torsin o torque) aplicada a la partcula.

    n n

    ext exti 1 i 1

    dL dr dpp r v p r F r F Mdt dt dt

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    ! ! ! ! ! !! ! ! ! !!

    La ecuacin anterior corresponde a la segunda ley de Newton en forma angular.

    Si el momento de la fuerza es cero, M=0, el momento angular es constante. Esta condicin se cumple totalmente si F=0, es decir, si la partcula es libre y se mueve con velo-cidad constante luego su trayectoria es una lnea recta. La condicin M=0 tambin se cum-ple si F es paralela a r, es decir, la direccin de F pasa a travs del punto O. Una fuerza cu-ya direccin siempre pasa por un punto fijo se llama fuerza central. Momento angular para un sistema de partculas: Para un sistema de dos partculas, de masas m1 y m2, el momento angular del sistema respecto del punto O, del sistema inercial OXYZ, ser la suma de los momentos angulares de cada partcula respecto del mismo pun-to. Lo que nos lleva, despus del desarrollo matemtico, al siguiente enunciado:

    El momento angular de un sistema de partculas es la suma del momento angular orbital, Lorbital, definido respecto del sistema inercial OXYZ (sistema-L), y del momento angu-lar interno, Linterno, definido respecto del sistema centro de masas (sistema-C) que se toma como origen.

    # $ # $# $ # $% &

    O 1 2 1 1 2 2

    O CM CM 1 1 2 2

    O orbital interno

    L L L r p r p

    L R MV r ' p ' r ' p '

    L L L

    9 ! " ! 5 " 5=

    A B! 5 " 5 " 5; C D=

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    Demostracin

    # $ # $# $ # $% & # $ # $% &

    # $ # $% &

    1 CM 1 1 CM 1

    2 CM 2 2 CM 2

    1 1 2 2 1 1 2 2

    O 1 1 2 2

    O CM 1 1 CM 1 CM 2 2 CM 2

    O CM 1 2 CM 1 1 2 2 1 1 2

    0 0

    r R r ' v V v '

    r R r ' v V v '

    m r ' m r ' m v ' m v '

    L r p r p

    L R r ' m V v ' R r ' m V v '

    L R m m V m v ' m v ' m r ' m r

    *

    *

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    ! 5 " 5

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    ! 5 " " " " "

    9=;=>

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    ! ! ! ! !! ! ! ! !! !! !! ! ! ! !! ! # $ # $ # $

    # $ # $ # $ # $ # $2 CM 1 1 2 2

    O CM 1 2 CM 1 1 2 2 CM CM 1 1 2 2

    ' V r ' p ' r ' p '

    L R m m V r ' p ' r ' p ' R MV r ' p ' r ' p '

    5 " 5 " 5

    ! 5 " " 5 " 5 ! 5 " 5 " 5

    ! ! ! ! !! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !

    Relacin del momento angular con las fuerzas externas: Consideremos un sistema com-puesto por dos masas (denominadas 1 y 2). Sobre la masa 1 se ejercen dos fuerzas, la ex-terna y la interna (debida a la masa 2), y sobre la masa 2 se ejercen tambin dos fuerzas, la externa y la interna (debida a la masa 1). De tal forma que la variacin del momento angular con respecto del tiempo de todo el sistema ser:

    # $ # $ # $ # $

    # $

    O 1 2 1 1 12 2 2 21

    O 1 1 2 2 1 12 2 21 1 1 2 2 1 2

    d dL L L r F F r F Fdt dtd L r F r F r F r F r F r F M Mdt

    A B A B! " ! 5 " " 5 "C D C D

    ! 5 " 5 " 5 " 5 ! 5 " 5 ! "

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  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 12

    Teorema del momento cintico: La suma de los momentos de las fuerzas externas ac-tuando sobre un sistema de partculas es igual a la velocidad de cambio con respecto del tiempo del momento angular del sistema.

    Esto tiene significado slo si los vectores momento (torque) resultantes de las fuerzas externas y momento angular estn referidos al mismo origen. En un sistema inercial se puede aplicar a cualquier punto. En un sistema acelerado (tal como una rueda girando) slo se aplica al centro de masas del sistema.

    Principio de conservacin del momento angular: Si el momento neto de las fuerzas ac-tuantes sobre un sistema de partculas es cero, el vector momento angular del sistema per-manece constante, aunque dentro del sistema haya cambios.

    # $1 2 O OdM M 0 L 0 L cte.dt" ! * ! * !! ! ! !

    El Principio de Conservacin del Momento Angular implica que si en un sistema ais-lado el momento angular de alguna parte del sistema cambia por interacciones internas, el resto del sistema debe experimentar un cambio igual de momento angular pero opuesto.

    El principio de conservacin del momento angular va ms all de las limitaciones de la mecnica Newtoniana. Es vlido para partculas cuyas velocidades se aproximan a la ve-locidad de la luz y tambin en el mundo de las partculas subatmicas. No se han encontra-do excepciones.

    Son ejemplos de conservacin del momento angular:

    !" Patinador girando: un patinador girando sobre s mismo que no est sometido a un momento o torque exterior su momento angular permanece constante alrededor del eje de rotacin, aunque vare su velocidad angular alejndose los brazos del cuerpo.

    !" Estabilizacin de un satlite: Antes de lanzar un satlite de comunicaciones al espacio desde la bodega de la lanzadera espacial se le hace girar alrededor de su eje central. Esto se debe a que de la misma forma que la direccin del movimiento de una partcu-la es ms difcil de cambiar por un impulso cuando el momento lineal de la partcula es grande que cuando es pequeo. De la misma forma la orientacin de un objeto gi-rando es ms difcil de cambiar por un torque externo cuando el objeto tiene un mo-mento angular grande que si es pequeo. La orientacin de un satlite que no est gi-rando puede ser alterada por pequeos momentos externos como presiones de radia-cin solares o pequeas restos de atmsfera.

    Energa cintica de un sistema de partculas.- Anlisis de la energa cintica de una partcula: Teorema trabajo-energa cintica: Si sobre una partcula, de masa m, realizamos una fuerza y la partcula experimenta un desplaza-miento se define el trabajo realizado por la fuerza sobre la partcula:

    f f f f2 2

    neto neta cinticaf ii i i i

    dp 1 1W F dr dr vdp mvdv mv mv Edt 2 2

    ! + ! ! ! ! ( ! 'E E E E!! ! ! !! ! !

    La energa cintica de un sistema de N partculas ser la suma de las energas cinti-cas de cada una de ellas.

    Sea un sistema de dos partculas, de masas m1 y m2, si consideramos sus velocida-des referidas a un sistema inercial OXYZ, la energa cintica del sistema ser iguala la suma de las energas cinticas de cada partcula: # $ # $2 2c 1 1 2 21 1E m v m v2 2! " .

    La energa cintica de cada partcula depende de la velocidad, y esta depende del sis-tema de referencia elegido, luego la energa cintica de un sistema de partculas depen-der del sistema de referencia usado.

    Por tanto, si consideramos las velocidades, de cada partcula, respecto del centro de masas del sistema, la energa cintica interna ser: # $ # $2 2c 1 1 2 21 1E ' m v ' m v '2 2! " .

    Siendo la relacin entre ellas:

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 13

    # $ # $

    # $ # $ # $ # $ # $

    # $ # $ # $ # $ # $

    2 22 2c 1 2 1 CM 1 2 CM 21 2

    2 2 2c 1 2 CM 1 1 2 2 CM 1 1 2 2

    2 2 2c CM 1 1 2 2 c traslacin c interna

    1 1 1 1E m v m v m V v ' m V v '2 2 2 21 1 1E m m V m v ' m v ' V m v ' m v '

    2 221 1 1E M V m v ' m v ' E E '2 2 2

    9 ! " ! " " "=== ! " " " " ";== ! " " ! "=>

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    La Energa Cintica de un sistema de partculas puede expresarse como la suma de la energa cintica orbital, asociada con el movimiento del centro de masas, y de la energa ci-ntica interna, relativa al centro de masas. Es importante entender claramente que la energa cintica interna es una propie-dad del cuerpo, independiente del observador y distinta de la energa cintica traslacional del sistema. Colisiones. Tipos de colisiones.- Cuando dos partculas se aproximan su interaccin mutua cambia su movimiento. Como en la colisin no intervienen fuerzas externas, entonces por aplicacin del Princi-pio de conservacin del momento lineal decimos que el momento lineal del sistema en conjunto permanecer constante. La interaccin provoca un cambio de momento lineal en las partculas y puede alte-rar o no la energa interna de ellas y disipar o no-energa mecnica. En una colisin las dos partculas no tienen que entrar en contacto fsicamente. As cuando un cometa se aproxima al Sistema Solar su trayectoria se curva debido a la interaccin o colisin. Otro ejemplo sera la colisin de un partcula alfa con un ncleo.

    Un impacto tiene lugar cuando dos cuerpos colisionan durante un intervalo muy pequeo de tiempo, provocando fuerzas relativamente grandes entre los dos cuerpos. En ge-neral hay dos tipos de impacto. El Impacto Central tiene lugar cuando la direccin de movimiento de los centros de masas de las dos partculas que colisionan est a lo largo de la lnea que pasa a travs de los centros de masas de las partculas. Esta lnea se llama lnea de impacto, perpendicular al plano de contacto. Cuando el movimiento de una o de las dos partculas forma un ngulo con la lnea de impacto se dice que le impacto es oblicuo. Procedimiento para analizar el impacto central: 1) Se conserva el momento lineal del

    sistema de partculas; 2) el coeficiente de restitucin # $# $

    Bf Af final

    Bi Ai inicial

    v ve

    v v(

    ! ((

    relaciona las velo-

    cidades relativas de las partculas a lo largo de la lnea de impacto, solamente antes y des-pus de la colisin.

    Procedimiento para analizar el impacto oblicuo: 1) Se conserva el momento lineal del sistema de partculas a lo largo de la lnea de impacto; 2) el coeficiente de restitucin

    # $# $

    xBf xAf final

    xBi xAi inicial

    v ve

    v v(

    ! ((

    relaciona las componentes de las velocidades relativas de las partcu-

    las a lo largo de la lnea de impacto, eje x, solamente antes y despus de la colisin; 3) el momento lineal de la partcula A se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la lnea de impacto, ya que no existe impulso sobre la partcula A en esa direccin; 4) el momento de la partcula B se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la lnea de impacto, ya que no acta impulso sobre la partcula B en esa direccin.

    Las colisiones o impactos son: 1) Elstico, sin prdida de energa mecnica ya que el impulso de deformacin es igual y opuesto al impulso de restitucin (e=1). 2) Inelstico, con prdida parcial de energa mecnica (e

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 14

    rante la colisin se puede calcular en base a la diferencia de la energa cintica de las part-culas. Cuando ocurre la colisin, la prdida de energa, Ec2-Ec1=-(U2-U1), se debe a que parte de la energa cintica de la partcula se transforma en energa trmica as como en crear sonido y en la deformacin localizada del material.

    Impacto Central

    Colisin Elstica siendo la lnea de impacto en el eje X y el plano de contacto el eje OY: Conservacin del momento lineal:

    # $ # $ # $ # $Ai Bi A Ai B Bi A Af B Bf Af Bfinicial inicial final finalp p m v m v m v m v p p" ! " ! " ! "! ! ! !! ! ! !

    Conservacin de la energa cintica:

    # $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bfinicial final

    1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2A B A B" ! "C D C D

    La conservacin del momento lineal y la conservacin de la energa cintica, implica que el coeficiente de restitucin sea igual a uno (e=1). Es decir, la relacin entre las veloci-dades relativas de las partculas, a lo largo de la lnea de impacto, exactamente antes y des-

    pus de la colisin es # $# $

    Bf Af final

    Bi Ai inicial

    v ve 1

    v v(

    ! ! ((

    .

    Demostracin:

    # $ # $# $# $

    # $ # $ # $ # $

    # $ # $ # $ # $# $ # $# $ # $

    A Ai B Bi A Af B Bf Bf BiA

    B Af AiA Af Ai B Bf Bi2 2 2 2

    A Ai B Bi A Af B Bf Bf Bi Bf BiA2 2 2 2

    B Af Ai Af AiA Af Ai B Bf Bi

    m v m v m v m v v vmm v vm v v m v v

    m v m v m v m v v v v vmm v v v vm v v m v v

    " ! " (9 : * ( !; < (( ( ! (> ?9 :" ! " " (= = * ( !; < " (A B A B( ( ! (= => C D C D ?

    ! ! ! !! ! ! !

    # $# $

    # $ # $# $ # $

    # $ # $# $

    Bf Bi Bf Bi Bf BiA

    B Af Ai Af Ai Af AiBf Af

    Bf Bi Af AiBi Ai

    Bf Af Bi Ai

    v v v v v vmm v v v v v v

    v vv v v v e 1v v

    v v v v

    ( " (9 :( ! != =( " (= = (= =" ! " * ! ( !; < (= =( ! ( (= == => ?

    Al resolver el sistema siguiente podemos calcular las velocidades de las partculas exactamente despus de la colisin:

    # $ # $# $

    # $ # $# $

    A Ai B Bi A Af B Bf

    Bf AfBf Af Bi Ai

    Bi Ai

    A B Ai B BiA Ai B Bi A Af B Bi Ai Af Af

    A B

    A Ai B A BiA Ai B Bi A Bf Bi Ai B Bf Bf

    A B

    m v m v m v m vv v1 v v v vv v

    m m v 2m vm v m v m v m v v v v

    m m2m v m m v

    m v m v m v v v m v vm m

    " ! "9 := = *(; "

    " (" ! " ( " * !

    "

    Impacto Oblcuo

    Plano de contacto

    lnea deimpacto

    Plano de contacto

    lnea deimpacto

    Impacto Central Impacto Oblcuo

    contacto

    lnea deimpacto

    A B A B

    A B

    v

    VB

    B

    mA

    =m B

    90

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 15

    Si el eje Y se establece dentro del plano de contacto y el eje X a lo largo de la lnea de impacto, las fuerzas impulsivas de deformacin y restitucin actan slo en la direccin del eje X. Descomponiendo los vectores velocidad o momento lineal en componentes a lo largo de los ejes X e Y es posible escribir cuatro ecuaciones escalares independientes para deter-minar las componentes de la velocidad antes y despus del impacto. Colisin Elstica siendo la lnea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY:

    Conservacin del momento lineal del sistema a lo largo de la lnea de impacto, eje X:

    A xAi B xBi A xAf B xBfm v m v m v m v" ! "

    Conservacin del momento lineal de la partcula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicu-lar a la lnea de impacto, mientras no acte un impulso sobre la partcula A en esa direc-cin: A yAi A yAfm v m v!

    Conservacin del momento lineal de la partcula B, a lo largo del eje Y, que es perpendi-cular a la lnea de impacto, mientras no acte un impulso sobre la partcula B en esa direc-cin: B yBi B yBfm v m v!

    Conservacin de la energa cintica:

    # $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2" ! "

    La conservacin del momento lineal del sistema a lo largo de la lnea de impacto y la conservacin de la energa cintica, implica que el coeficiente de restitucin sea la rela-cin de las componentes de las velocidades relativas de las partculas a lo largo de la lnea

    de impacto, que es el eje X: # $# $

    xBf xAf final

    xBi xAi inicial

    v ve 1

    v v(

    ! ! ((

    .

    Demostracin:

    # $ # $# $# $

    A xAi B xBi A xAf B xBf xBf xBiA

    B xAf xAiA xAf xAi B xBf xBi

    m v m v m v m v v vmm v vm v v m v v

    " ! " (9 : * ( !; < (( ( ! (> ?

    # $ # $ # $ # $

    # $ # $ # $ # $

    # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $

    # $ # $ # $ # $

    2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf

    2 2 2 2A Af Ai B Bf Bi

    2 2 2 22 2 2 2A xAf yAf xAi yAi B xBf yBf xBi yBi

    2 2 2 2A xAf xAi B xBf xBi

    m v m v m v m v

    m v v m v v

    m v v v v m v v v v

    m v v m v v

    9 :" ! "= =

    A B A B= =( ( ! (C D C D= = *; C D C D ?

    # $ # $# $ # $

    # $ # $# $ # $

    2 2xBf xBi xBf xBi xBf xBiA

    2 2B xAf xAi xAf xAixAf xAi

    v v v v v vmm v v v vv v

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    xBf xBi xBf xBi xBf xBiA

    B xAf xAi xAf xAi xAf xAi

    xBf xBi xBf xBi xBf xBi xBf xAf

    xAf xAi xAf xAi xAf xAi xBi xAi

    xBf xBi xAf xAi

    xBf xAf xBi xAi

    v v v v v vmm v v v v v vv v v v v v v ve 1v v v v v v v vv v v v

    v v v v

    ( " (9 :( ! != =( " (= =

    ( " (= = (! * ! ! (;

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 16

    # $ # $# $

    # $

    A xAi B xBi A xAf B xBf

    xBf xAfxBf xAf xBi xAi

    xBi xAi

    A B xAi B xBiA xAi B xBi A xAf B xBi xAi xAf xAf

    A B

    A xAi BA xAi B xBi A xBf xBi xAi B xBf xBf

    m v m v m v m vv v1 v v v vv v

    m m v 2m vm v m v m v m v v v v

    m m2m v m

    m v m v m v v v m v v

    " ! "9 := = *(; "

    " (" ! " ( " * !

    # $# $

    A xBi

    A B

    m vm m"

    Colisin Elstica y oblicua entre dos partculas de masa distinta estando una de ellas en reposo y si conocemos el ngulo de desviacin de la que hace de proyectil: 1 Forma.- Consideramos la lnea de impacto en el eje X y el plano de contacto el OY: Conservacin del momento lineal del sistema a lo largo de la lnea de impacto, eje X:

    A xAi A xAf B xBfm v m v m v! "

    Conservacin del momento lineal de la partcula A, a lo largo del eje Y, que es perpendicu-lar a la lnea de impacto, mientras no acte un impulso sobre la partcula A en esa direc-cin: yAi yAfv v!

    Conservacin del momento lineal de la partcula B, a lo largo del eje Y, que es perpendi-cular a la lnea de impacto, mientras no acte un impulso sobre la partcula B en esa direc-cin: B yBi B yBfm v m v 0! !

    Conservacin de la energa cintica: # $ # $ # $2 2 2A Ai A Af B Bf1 1 1m v m v m v2 2 2! "

    Considerando lo anterior

    # $ # $# $

    # $ # $

    A xAi A xAf B xBf

    xBf xAf xAi

    A B xAiA xAi A xAf B xAi xAf xAf

    A B

    A xAiA xAi A xBf xAi B xBf xBf

    A B

    m v m v m vv v v

    m m vm v m v m v v v

    m m2m vm v m v v m v vm m

    ! "9 : *; ?(

    ! " " * !"

    ! ( " * !"

    Conocemos el ngulo de desviacin del proyectil respecto de la direccin original y no la di-reccin original. Sea F el ngulo el ngulo de la direccin respecto de la lnea de impacto y G el ngulo de desviacin despus del impacto. Luego

    # $# $ # $

    # $

    # $# $

    # $ # $# $# $ # $ # $

    yAi

    yAixAi A B

    A B xAiyAf A B

    A BxAf

    A B

    A B2

    A B B A B

    vtan

    vv m mtan tan

    m m vv m mtan

    m mv

    m mtan tantan tan1 tan tan m m

    m m tan tan 2m tan m m tan 0

    9 :F != = "= = * F " G ! ! F; < ( (= =F " G != = "> ?

    "F " GF " G ! ! F

    ( F + G (

    " G F ( F ( ( G !

    2 Forma.- 1) Ecuacin de conservacin del momento lineal: Ai Af Bfp p p! "! ! ! . 2) Ecuacin de

    conservacin de la energa: # $ # $ # $2 2 2Ai Af BfA A B

    1 1 1p p p2m 2m 2m

    ! "! ! !

    Resolvemos el sistema de la siguiente forma:

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 17

    # $ # $ # $ # $

    # $ # $ # $ # $ # $ # $

    2 2 2 2Ai Af Bf Bf Ai Af Ai Af Ai Af

    2 2 2 2 2 2BAi Af Bf Bf Ai Af

    A A B A

    p p p p p p p p 2p pm1 1 1p p p p p p

    2m 2m 2m m

    ( +9 :! " * ! ! " (= = *; ? > >

    2 forma:

    # $ # $ # $

    # $ # $ # $ # $

    # $ # $ # $

    Ai Af BfA B 2 2 2

    Ai Af Bf2 2 2 2

    Ai Af Bf Af Bf Af BfAf Bf Af Bf2 2 2

    Ai Af Bf

    v v vSi m m

    v v v

    v v v v v 2v v2v v 0 v v

    v v v

    ! "9 :! * *; %

    J % > %$

    El mun y el taun son inestables, con tiempos de vida de 2,210-6 s y 3,010-13 s, respecti-vamente. Se desintegran por interaccin dbil, y la gran diferencia en sus tiempos de vida es una consecuencia de la diferencia de masa.

    e e

    e

    e e

    e

    $ $ $ $H I

    $ $% %H IH

    . :H > % J % J . :I > % J % J/ / / /0 < 0 H % J % JH > % J % J / // / 1 =1 =

    $ $

    $$

    2) Quarks: 2 2 2

    u e c e t e3 3 31 1 1

    d e d e d e3 3 3

    q q q q q qup charged top u c tdown strange bottom d s b q q q q q q

    ' ( ' ( ' (# % # % # %' ( ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( * + * + * +; ;* + * + * + * + * + * + * + * + * +# $ # $ # $, - , - , - , - , - , - , - , - , -

    Quarks (espn-) Energa Carga (Qe) Extraeza N barinico Up (u) Down (d)

    0,35 GeV 0,35 GeV

    + 2/3 - 1/3

    0 0

    + 1/3 + 1/3

    Strange (s) Charm (c)

    0,50 GeV 1,50 GeV

    - 1/3 + 2/3

    -1 0

    + 1/3 + 1/3

    Bottom (b) Top (t)

    4,50 GeV 92 GeV

    - 1/3 + 2/3

    0 0

    + 1/3 + 1/3

    Como los leptones, estos seis tipos distintos de quarks, o sabores, existen a pares. Cada par est formado de un quark con carga fraccionaria, respecto de la carga del electrn. Sin em-bargo, no puede medirse sobre los quarks libres y aislados porque hasta la fecha no han podido ser aislados. Adems de la carga elctrica los quarks poseen otro atributo llamado carga color, que juega el mismo papel que la carga elctrica en la interaccin electromagn-tica. Para explicar por qu se observan slo ciertas combinaciones de quarks, se considera que hay tres tipos de cargas color, que arbitrariamente se llaman rojo (r), verde (g) y azul (b), a las que aadimos las cargas anticolor. Los estados color corresponden a diferentes valo-res de dos de las cargas color llamados la carga color hipercarga y la carga color isospn.

    Cargas color Estados color

    Color Isospn (I)

    Color Hypercarga (Y)

    rojo (r) + 1/2 + 1/3 verde (g) - 1/2 + 1/3 azul (b) 0 - 2/3

    Los quarks estn unidos por la fuerza fuerte o fuerza color. Se considera que los quarks de diferentes colores se atraen formando combinaciones estables, es decir, sin color tales como !qr, qg" , qb"" " o !qr, qr" . Por esta razn una distribucin estable de quark son combina-ciones sin color de tres quarks o de un quark y un antiquark.

    De la misma forma que los tomos neutros estn formados de cargas positivas y ne-gativas, una combinacin de tres quarks con tres colores diferentes o de un quark con una carga color y un antiquark con la carga anticolor dan un sistema de color neutro o sin color (blanco). As, los hadrones son combinaciones de quarks sin color. Dos hadrones sin color,

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos. Trabajo y energa Pgina 12

    cuando estn separados, prcticamente no sienten fuerza color. De la misma forma que dos tomos neutros cuando estn separados no sienten apenas la fuerza elctrica. Pero si dos hadrones se encuentran prximos, los quarks coloreados, en cada uno, pueden sentir la fuerza color de los quarks en el otro. Esta fuerza se llama interaccin residual, que se po-ne de manifiesto en fenmenos nucleares y es el origen de la fuerza entre protones y neu-trones. Es decir, los ncleos existen por un efecto residual de la fuerza color.

    3) Bosones intermediarios: Los bosones intermediarios tienen espn-1 y son las partculas llamadas transportistas de las interacciones.

    En una interaccin fsica cambia el momento y la energa, que estn cuantiza-dos, es decir, que no pueden variar continuamente, sino que estn restringidos a tomar ciertos valores discretos. Por tanto, en una interaccin entre dos partculas no se produce un flujo continuo de momento y energa entre ellas a travs del campo, la interaccin tiene lugar a travs del intercambio de bosones. Es decir, cuando se produce una interaccin sta consiste en el intercambio de bosones. El sentido del paso del bosn no se puede discernir por el principio de incertidumbre.

    En la interaccin electromagntica, la partcula transportadora es el fotn, cuya masa es cero en reposo. En la interaccin dbil las partculas transportadoras de la inter-accin son W y Z. Las partculas W tienen de masa 80,6 GeV/c2 y la Z de 91,2 GeV/c2. Los bosones W y Z son muy inestables y se descubrieron en la interaccin protn-antiprotn. En la interaccin fuerte o fuerza color entre los quarks las partculas trans-portadoras son bosones llamados gluones, que se suponen sin masa y espn-1. Llevan carga color pero no carga elctrica. Hay ocho gluones, que corresponden a las combinaciones color posibles.

    Fuerza electromagntica: Si dos electrones se ejercen una fuerza, esta interaccin est descrita por una teora muy lograda llamada electrodinmica cuntica (QED). Esta teo-ra establece que cada electrn detecta la presencia del otro por intercambio de fotones (que no tienen masa y son bosones de espn-1) entre los dos, siendo el fotn el cuanto del campo electromagntico. Sin embargo, no podemos detectar estos fotones porque son emitidos por un electrn y absorbidos por el otro en un intervalo de tiempo muy corto, y por su corta existencia le llamamos fotones virtuales o partculas mensajeras.

    Como las partculas mensajeras de la interaccin electromagntica no tienen masa la interaccin se produce a muy largas distancias.

    Fuerza dbil: Una teora del campo de la fuerza dbil se desarroll anlogamente con la del campo electromagntico. Las partculas mensajeras que transmiten la fuerza d-bil, entre leptones, no son los fotones sino unas partculas con masa llamadas W y Z y que son bosones de espn-1. La teora ha revelado que la fuerza electromagntica y la fuerza d-bil son aspectos diferentes de una fuerza llamada electrodbil.

    Esta conclusin es una extensin lgica del trabajo de Maxwell, quien consider que la fuerza elctrica y la magntica son aspectos diferentes de una nica fuerza electromagn-tica. La teora electrodbil predijo las propiedades de las partculas mensajeras. Es decir, sus cargas y sus energas en reposo (las dos W, la positiva y la negativa, tienen 80,6 GeV y la Z tiene 91,2 GeV). Recordamos que el protn tiene una energa de 0,938 GeV. La teora fue confirmada en 1983 en el acelerador del CERN de Ginebra, por el descubrimiento de las partculas mensajeras W y Z.

    Al tener las partculas mensajeras de la interaccin dbil, una masa muy elevada, di-cha interaccin no llega muy lejos, y se dice que es de corto alcance.

    Se manifiesta sobre todo produciendo la transmutacin de partculas, en vez de ejer-ciendo un efecto de tiro o empuje directo. Fue postulada inicialmente para explicar la desin-tegracin : 1) ! " ! " en udd p uud e% $> % % J$ ; 2) ! " ! " ep uud n udd e% %> % % J . Un quark-d es sustituido por un quark-u lo que involucra cambio de sabores de quarks. Es decir, la fuerza dbil es capaz de cambiar el sabor de un quark, el d por el u, y los leptones, as los electrones se vuelven neutrinos y as sucesivamente.

    A energas altas se han producido en los aceleradores de partculas los bosones por interaccin electromagntica:

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos. Trabajo y energa Pgina 13

    Z

    Z

    p (uud) e p e

    e e

    % $ % $C

    % $ % $

    % > %

    % >H % H

    %

    %

    Hoy en da la interaccin electromagntica y la dbil se consideran unificadas, llamndose Electrodbil. Fuerza fuerte: La teora de la fuerza fuerte, es decir, la fuerza que acta entre quarks, tambin ha sido desarrollada. Las partculas mensajeras en este caso se llaman gluones y, como el fotn, no tienen masa, por lo que la interaccin fuerte entre quarks es de largo alcance. Sin embargo, la interaccin fuerte residual entre los estados quarks enlaza-dos (hadrones) es de corto alcance. La teora considera que cada sabor de quark puede presentarse en tres variedades que se llaman rojo (r), verde (g) y azul (b). As, existen tres quarks de sabor u, uno de cada color. La teora se llama cromodinmica cuntica (QCD) y una importante prediccin de la teora es que los quarks se pueden unir slo en combina-ciones de color neutras. Es decir que se unan tres quarks en r-g-b, o dos quarks en color-anticolor, como en r-r-.

    La tentativa de unificar las fuerzas fundamentales de la naturaleza se est desarro-llando actualmente en dos pasos. El primero, sera la unificacin de la fuerza fuerte y la electrodbil llamada teora de la gran unificacin. El segundo, sera aadir la fuerza gravi-tatoria con lo que tendramos la llamada teora de todo.

    Tipo de interaccin

    Fuentes Intensidad relativa

    Alcance Bosn transportista Sienten la interaccin

    Fuerte carga color

    1 10-15 m 8 bosones(gluones: 2 quarks) (1,810-36 hasta 3,210-25 kg)

    Los Hadrones: bariones (fermiones: n y p) y mesones (bosones). No los leptones

    Dbil carga dbil

    10-14 10-18 m 3 bosones (W+- y Z)(1,410-25 kg)

    Leptones y Quarks

    Electromagntica carga elctrica

    10-2 infinito El fotn(masa=0) Partculas cargadas y neu-tras con momento magnti-co intrnseco (n)

    Gravitatoria masa 10-38 infinito El gravitn (?) Todas las partculas (hasta el fotn)

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: PROBLEMAS de Campos. Trabajo y energa Pgina 14

    1) Calcula el Trabajo realizado sobre una partcula al desplazarla desde el punto (1,1) m hasta el (2,4) m por los campos de fuerzas: 2 2 2 2F x i y j; F y i x j# $ # $

    ! ! ! !! !. Siguiendo las trayec-

    torias: a) por la recta que pasa por los citados puntos; b) por la quebrada que pasa por los puntos (1,1), (2,1) y (2,4); c) por la quebrada que pasa por los puntos (1,1), (1,4) y (2,4); d) por la parbola de ecuacin y=x2. Posteriormente determina si el campo de fuerzas es con-servativo. [1: a) -56/3 J; b) igual a; c) igual a; d) igual a; Conservativo][2: a) 0 J; b) -11 J; c) 13 J; d) -1,3 J. No conservativo]

    2) Sea el campo de fuerzas que acta sobre una partcula: jxixy2F 2!!!

    $# . Calcula el Traba-jo realizado al desplazar la partcula desde el punto (0,0) m hasta el (2,4) m siguiendo las trayectorias siguientes: a) por la quebrada (0,0), (2,0) y (2,4); b) por la quebrada (0,0), (0,4) y (2,4); c) a lo largo de la recta que une los dos puntos (0,0) y (2,4). Posteriormente comprobar si el campo es conservativo. [a) -16 J ; b) 16 J; c) 16 J. No Conservativo]

    3) Un cuerpo se mueve a lo largo de la trayectoria [x=t+1; y=2t-2; z=t] y bajo la accin del campo: k2j)1t3(itF

    !!!!%%$# . Calcular: a) el trabajo realizado entre los instantes 2 s y 3 s; b)

    el desplazamiento de la partcula. [a) -12,5 J; b) 61/2 m]

    4) Un bloque de 5 kg desliza por una superficie horizontal lisa con una velocidad de 4 m/s y choca con un resorte de masa despreciable y constante elstica 800 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Calcular: a) cunto se comprime el resorte; b) desde qu altura de-bera caer el bloque sobre el resorte, colocado verticalmente, para producir la misma com-presin. (La fuerza del muelle es F=-kr). [a) 0,11/2 m ; b) 0,8 m].

    5) Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba con una velocidad de 10 m/s por un plano incli-nado que forma un ngulo de 30 con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es =0,4. Calcular: a) longitud que recorre hacia arriba el bloque, hasta detenerse; b) velocidad del bloque al volver al punto de lanzamiento. [a) 6,0 m; b) 4,3 m/s]

    6) Un proyectil de 0,01 kg con velocidad de 40 m/s en direccin horizontal, se incrusta en un bloque de 4 kg, suspendido de un punto fijo mediante una cuerda de 1 m de longitud. Calcular: a) la altura a la que asciende el bloque tras el impacto; b) velocidad mnima de la bala para que el bloque describiera una circunferencia vertical completa. [a) 0,51 mm; b) 2510 m/s].

    7) Un bloque de 10 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado de 30, con la horizontal, con una velocidad de 10 m/s. El bloque vuelve al punto de partida con una velocidad de 5 m/s. Calcula: a) la longitud que recorre hasta que sube, el trabajo de rozamiento y el coefi-ciente de rozamiento con el plano; b) deformacin mxima y final de un resorte de constante elstica 500 N/m, colocado en dicho punto de partida, al volver el bloque. [a) 6,25 m; -187,5 J y =0,346; b) 0,748 m y 0,092 m]

    8) Un bloque de 20 kg se encuentra sobre una superficie horizontal unido a uno de los ex-tremos de un resorte de constante elstica 100 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Se tira del bloque con una fuerza de 150 N en una direccin que forma un ngulo de 30 con la horizontal hasta desplazar el bloque una longitud de 0,5 m. Si el coeficiente de roza-miento es de 0,4 calcula: a) el trabajo de la fuerza de rozamiento; b) velocidad y aceleracin del bloque en ese instante. [a) -24,2 J; b) 1,7 m/s y 1,6 m/s2].

    9) Calcular el trabajo neto realizado al arrastrar un bloque de 80 kg, sobre un plano hori-zontal, aplicndole una fuerza de 400 N durante una distancia de 15 m si: a) la fuerza apli-cada es horizontal y no existe rozamiento entre el bloque y el plano; b) la fuerza aplicada forma un ngulo de 30 con la horizontal; c) la fuerza es horizontal y el coeficiente de roza-miento es 0,4; d) la fuerza forma un ngulo de 30 con la horizontal y el coeficiente de roza-miento es 0,4. [a) 6000 J; b) 5196 J; c) 1296 J; d) 1692 J]

    10) Un proyectil de 100 g lleva una velocidad de 210 m/s cuando choca y se incrusta en un bloque de madera de 2 kg que descansa en un plano horizontal. El bloque, con el proyectil incrustado, recorre 4 m antes de encontrarse con un resorte de constante elstica 200 N/m, al que comprime. Si consideramos el coeficiente de rozamiento 0,2 determina: a) velocidad del bloque inmediatamente despus de incrustarse en el proyectil; b) longitud que se com-

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: PROBLEMAS de Campos. Trabajo y energa Pgina 15

    prime el resorte; c) distancia a que queda del resorte el bloque cuando es expulsado por aqul. [a) 10 m/s; b) 0,92 m; c) 19,6 m]

    11) Un cuerpo se desliza sin rozamiento por una va en forma de rizo. Si la altura de la que parte es de 4 m y el rizo tiene 1 m de radio, calcula: a) las velocidades en el rizo pero a 1 m de altura y en la parte superior que est a dos metros de altura; b) analiza desde qu altura se debe dejar caer el cuerpo para que al pasar por el punto ms alto la fuerza centrpeta sea igual que el peso del cuerpo. [a) 7,7 y 6,3 m/s; b) 2,5 m]

    12) Un bloque de masa 2 kg se lanza con una velocidad de 6 ms-1 por una superficie hori-zontal rugosa de =0,2. Despus de recorrer una distancia de 4 m, choca con el extremo li-bre de un resorte, de masa despreciable y constante elstica 200 Nm-1, colocado horizon-talmente y fijo por el otro extremo. Calcule: a) la compresin mxima del resorte y el trabajo total realizado en dicha compresin; b) la altura desde la que debera dejarse caer el bloque sobre el extremo del resorte, colocado verticalmente, para que la compresin mxima fuera la misma que en el apartado a). Dato: g=10 ms-2. [a) 0,43 m y 18,3 J; b) 0,485 m]

    13) Un muelle se comprime 2 cm si se le aplica una fuerza de 270 N. Un bloque cuya masa es de 12 kg se deja caer desde lo alto de un plano inclinado, sin rozamiento, cuyo ngulo de inclinacin es de 30. El bloque en su cada por el plano inclinado choca con el muelle y lo comprime hasta 5,5 cm. Calcula: a) desde qu distancia ha cado?; b) cul es la velocidad del bloque justamente antes de chocar con el muelle?. Dato: g=9,8 ms-2. [a) 35 cm; b) 1,7 m/s]

    14) Un bloque de 2,0 kg se deja caer desde una altura de 40 cm sobre un muelle colocado verticalmente. La constante elstica del muelle es de 1960 Nm-1. Calcula la distancia mxima que se comprime el muelle. Dato: g=9,8 ms-2. [10 cm]

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 1

    NDICE DE CAMPOS GRAVITATORIO Y ELECTROSTTICO

    Interaccin gravitatoria. Ley de gravitacin universal

    Historia de las teoras acerca de los movimientos planetarios. Leyes de Kepler

    Ley de Newton de la gravitacin universal

    Bases de la Gravitacin Universal

    Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria

    Campo y potencial gravitatorios

    Energa potencial gravitatoria de una masa puntual

    Campo y potencial gravitatorios de una distribucin de masas puntuales

    Ley de Gauss para el campo gravitatorio

    Aplicaciones del teorema de Gauss

    Campo gravitatorio terrestre. Satlites

    Campo gravitatorio terrestre: variacin de g con la altura

    Energa potencial gravitatoria terrestre

    Satlites: velocidad orbital y velocidad de escape

    Energa mecnica de un satlite en rbita

    Velocidad de escape

    Trabajo sobre un satlite: para situarlo en una rbita de altura h y para sacarlo de la inter-accin gravitatoria terrestre

    Interaccin electrosttica. Ley de Coulomb

    Campo y Potencial electrostticos

    Lneas del campo y superficies equipotenciales

    Energa potencial electrosttica

    Ley de Gauss para el campo electrosttico

    Campo electrosttico en la materia: conductores y dielctricos

    Polarizacin

    Influencia del medio en la interaccin electrosttica; permitividad y constante dielctrica

    Condensadores

    Energa almacenada en un condensador cargado

    Asociacin de condensadores: serie y paralelo

    Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrosttico

    Problemas del campo gravitatorio

    Problemas del campo electrosttico

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 2

    Interaccin gravitatoria. Ley de gravitacin universal.- Historia de las teoras acerca de los movimientos planetarios: Modelo geocntrico: Considera la Tierra en el centro del Universo y las estrellas pegadas a una esfera celestial que rota alrededor de un eje que pasa a travs de los polos Norte y Sur de la Tierra y de los polos celestiales Norte y Sur. Sin embargo, el movimiento retrgrado del planeta Marte no se comprenda con este modelo y fue el problema durante 2000 aos. Hiparco (150 a.C.) propuso un sistema de crculos para explicar el movimiento retrgrado. Consideraba que un planeta rotando en forma de epiciclos (crculo que se supona descrito por un planeta alrededor de un centro que se mova en el deferente) alrededor de una curva deferente (crculo que se supona descrito alrededor de la Tierra por el centro del epiciclo de un planeta). Posteriormente, Ptolomeo (100 a.C.) introdujo refinamientos en el sistema epi-ciclos -deferente- que se utiliz hasta el siglo XVI.

    Modelo heliocntrico: Nicols Coprnico (1473-1543) desarroll un modelo ms sencillo para entender el Universo. Esto se debi a que con la obtencin de nuevos datos observados y aplicarlos al modelo geocntrico era necesario introducir modificaciones a las trayectorias de los planetas. Coprnico se plantea que las dificultades tenan su origen en la teora y propone el modelo heliocntrico que sirve para calcular las posiciones planetarias y que tie-ne como objetivo eliminar las dificultades del sistema de Ptolomeo. El sistema de Coprnico lo que hizo fue cambiar el sistema de referencia, tomando el Sol como centro, que al tener una gran masa respecto de los otros planetas, hace que el nuevo sistema sea prcticamente inercial y, por tanto, ms sencillo en su descripcin.

    En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) public las leyes del movimiento planetario. Kepler analiz las observaciones astronmicas de su maestro Tycho Brahe (1546-1601), que personalmente no pudo demostrar el sistema copernicano, y public en 1609 un estudio elaborado del sistema heliocntrico pero considerando rbitas elpticas. Las leyes de Kepler nos proporcionan una descripcin cinemtica del movimiento planetario, pero no nos infor-man por qu los planetas se mueven en aquel camino y no en otro. La tercera ley se public diez aos despus de las dos primeras.

    Leyes de Kepler: 1) Un planeta describe una rbita elptica alrededor del Sol, con el Sol en un foco de la

    elipse.

    2) La lnea que conecta un planeta al Sol barre reas iguales en tiempos iguales.

    3) Los cuadrados de los perodos de revolucin de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la elipse de sus rbitas.

    En 1623, Galileo (1564-1642), que tuvo relacin con Kepler, verific con ayuda de un telescopio que los satlites de Jpiter cumplan leyes anlogas a las de Kepler, respecto de ste planeta. Sus trabajos colaboraron a la aceptacin definitiva del Sistema Copernicano. Ley de Newton de la gravitacin universal.- Las leyes de Kepler proporcionan una descripcin de cmo se mueven los planetas, pero no explican por qu se mueven en aquel camino y no en otro. Usando las tres leyes de Kepler Newton fue capaz de encontrar una expresin que describe la fuerza a la que estn someti-dos los planetas en sus rbitas. En 1666 Isaac Newton (1642-1727) formul la ley de Gravi-tacin Universal que fue publicada en 1687 en su trabajo "Principios Matemticos de la Fi-losofa Natural".

    Enunciado de la ley de gravitacin universal: la interaccin gravitatoria, entre dos cuerpos, se expresa por una fuerza atractiva y central, directamente proporcional al produc-to de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia en-

    tre ellos: r r2 3Mm Mm rF G u G r u

    rr r! " ! " # !

    !! ! ! !!

    M ur F F m

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 3

    El vector de posicin tiene su origen en el centro de masas de una masa M y el extre-mo en el centro de masas de la otra masa m. La fuerza gravitatoria, tiene signo negativo, por ser atractiva y, por tanto, tiene sentido contrario al vector unitario que va de una masa a otra. Bases de la Gravitacin Universal: 1) Los planetas describen rbitas cerradas alrededor del Sol por lo que la fuerza es atrac-tiva, ya que si fuese repulsiva la rbita no sera cerrada. 2) Como el radio vector barre reas iguales en tiempos iguales, es decir, su velocidad areo-lar es constante se ha de cumplir que el momento angular del planeta, respecto del Sol es constante. Lo que supone que el momento de la fuerza sea cero, luego la fuerza ha de ser central.

    Demostracin: sea A el rea barrida por el radio vector, luego el que su derivada respecto del tiempo (velocidad areolar) sea constante supone que el momento angular respecto del Sol sea constante

    rdr

    A=(rdr)/2

    1dA r dr21 1 1dA drr r v L cte.

    dt dt2 2 2m

    ! $

    ! $ ! $ ! !

    ! ! !

    ! ! !! ! !

    Luego al cumplirse la segunda ley de Kepler se ha de cumplir que el momento angu-lar sea constante, lo que implica que la fuerza ha de ser central:

    ext

    ext

    dL r F MdtL cte. M 0 r F

    ! $ !

    ! # ! #

    ! ! !!

    ! ! !! "

    La fuerza ha de ser paralela al radio vector y es lo que se llama una fuerza central. Por tanto, la fuerza que ejerce el Sol sobre un planeta es una fuerza atractiva y central, es decir, que acta a lo largo de la lnea que une los dos cuerpos.

    Otro aspecto, muy importante, es determinar la relacin de la fuerza y del radio vector o distancia entre los dos cuerpos. Newton determin, realizando una serie de clculos ma-temticos basados el anlisis de las rbitas elpticas, que para que las rbitas elpticas de los planetas, obtenidas por Kepler, sean posibles, la fuerza ha de ser proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre el Sol y la Tierra.

    Si asumimos que la fuerza gravitatoria es una propiedad universal de toda la materia, podemos considerar que la fuerza est asociada con la cantidad de materia o masa gravi-tatoria, en cada cuerpo. Cavendish, en 1.798, determin la constante de proporcionalidad, que se conoce con el nombre de constante de gravitacin universal y que no depende del medio. 3) Para comprobar la 3 ley de Kepler, vamos a consideremos rbitas circulares, en las cua-les se ha de cumplir que la fuerza centrpeta de la Tierra es igual a la fuerza gravitatoria

    % &

    222 2 2 3

    222 2

    Mv Gr 4v Mm Mm G v G T r

    r r GMr 2v rT

    ' (!) ) *! # ! # !+ ,

    *) )!- .

    Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria:

    La masa inercial se obtiene de 12 21 212 11 1 2 2

    F F amm am a m a

    ' ! "# ! "+

    ! "-

    ! ! !!! !

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 4

    Si le damos a una masa un valor, se determinan las masas inerciales de las dems.

    La masa gravitatoria se obtiene de la fuerza peso peso rF mg u! " #! !

    y la aceleracin de la gra-

    vedad de la ley de gravitacin universal T2 2T

    M mg G 9,8R s

    ! /# , lo que nos indica que g0 es in-

    dependiente de la masa m del cuerpo que cae.

    Es un hecho muy probado que todos los cuerpos caen en la superficie de la Tierra con la misma aceleracin. Este hecho es indicativo de que las masas gravitatoria e inercial son iguales. Si la masa gravitatoria mg fuese distinta de la masa inercial mi la fuerza gravita-toria en la superficie de la Tierra (peso) sera igual

    % & % &T g gT

    peso i 2 2iT T

    M m mMF m g G g GmR R

    ! ! # !# #!

    Si la relacin entre las dos masas no fuera la misma para todos los cuerpos la aceleracin g0 ser diferente para cada cuerpo, lo que es contrario a la experiencia. Las dos masas, son in-distinguibles experimentalmente y, por tanto, la magnitud masa es para la masa inercial o la masa gravitatoria.

    La masa de la Tierra, se determina a partir de los datos experimentales conocidos: G, g0 y RT. El peso de un cuerpo, en la superficie de la Tierra, es la fuerza con que la Tierra lo atrae:

    2T T

    peso T2T

    g RM mF mg G MGR

    ! ! # ! ##!

    Campo y potencial gravitatorios.- Se llama Campo Gravitatorio a la situacin fsica por la cual al colocar una masa en dicho campo sta experimenta una interaccin o fuerza gravitatoria. Siendo el campo gravi-tatorio un campo vectorial de fuerzas.

    Campo gravitatorio creado por una masa M: Sea una masa M, en un punto del espacio, y colocamos otra masa, m, en diferentes posiciones del espacio alrededor de M. Debido a la interaccin gravitatoria entre las dos masas, la masa m experimenta una fuerza en cada po-sicin dada por la ley de gravitacin universal. Es decir, que la interaccin entre las masas, m y M, va a depender de sus posiciones relativas. Por lo que, en cada punto del espacio po-demos definir un vector intensidad del campo gravitatorio, creado por la masa M. En cada punto del campo vectorial gravitatorio, se define un vector llamado intensidad del campo gravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa que coloquemos en dicho punto, siendo la unidad Nkg-1=ms-2 :

    r2m 0F Mg lim G um r0

    ! ! "!! !

    g

    M ur g

    La intensidad del campo gravitatorio, producido por M, en un punto del espacio, es una magnitud vectorial, cuyo vector tiene su origen es ese punto del campo y la direccin y sen-tido hacia el centro de masas de la masa M.

    La intensidad del campo gravitatorio en un punto del campo gravitatorio depende del vector de posicin de dicho punto, por lo que el campo gravitatorio es conservativo. Por lo tanto, la circulacin del campo gravitatorio no depende de la trayectoria elegida sino de los puntos inicial y final y la circulacin a lo largo de una trayectoria cerrada ser cero. Decimos entonces que en cada punto del campo gravitatorio hay definido un potencial gra-vitatorio.

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 5

    Potencial gravitatorio: El potencial gravitatorio es la magnitud escalar asociada, en cada punto del campo vectorial gravitatorio conservativo, al vector intensidad del campo gravita-torio o campo gravitatorio g dr dU1 ! "

    ! !

    Demostramos que el campo gravitatorio es conservativo

    % &ff f

    r f i2i i i f i

    M M M MC g dr G u dr G G G U U Ur r rr

    C g dr 0

    2 34 52 3! 1 ! " 1 ! " " ! " " " " ! " " ! "67 89 :7 8; < = >; >m) se habla de la energa potencial de la menor m.

    Campo y potencial gravitatorios de una distribucin de masas puntuales: Si tenemos una distribucin de masas puntuales M1, M2, M3, ...Mn, para hallar el campo y el potencial gravitatorios, en un punto del espacio, aplicamos el Principio de Su-perposicin: El campo gravitatorio producido, por un conjunto discreto de masas, en un punto del campo, es la suma vectorial de los campos gravitatorios debidos a cada una de las masas, en ese punto. El potencial gravitatorio, en el mismo punto del campo, se obtiene por la suma escalar de los potenciales gravitatorios debidos a cada una de las masas

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 6

    1 2 i

    n n21 i

    1 2 i r r r2 2 21 2 ii 1 i 1

    n n21 i

    1 2 i1 2 ii 1 i 1

    MM Mg g g ... g G u G u ... G u

    r r r

    MM MU U U ... U G G .... Gr r r

    ! !

    ! !

    4 54 5 4 5! @ @ ! ! " @ " @ ! "9 :9 : 9 :9 : 9 :9 :

    = > = >= >

    4 54 5 4 5! @ @ ! ! " @ " @ ! "9 : 9 :9 := > = >= >

    A A

    A A

    ! ! ! ! ! ! !

    La fuerza gravitatoria obedece el principio de superposicin, que nos dice que la fuer-za total sobre una partcula, de masa m, situada en un punto es la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella por todas las dems partculas consideradas al mismo tiempo; la ener-ga potencial para un sistema de partculas ser la suma de las energas potenciales de ca-da par de partculas:

    % &

    % &

    n

    1 2 ii 1

    n

    p 1 2 ii 1

    F m g g ... m g mg

    E m U U ... m U mU

    !

    !

    ! @ @ ! !

    ! @ @ ! !

    A

    A

    ! ! ! ! !

    Ley de Gauss para el campo gravitatorio.- La ley del fsico Gauss (1777-1855) relaciona los campos en una superficie Gaussiana (superficie cerrada) y la masa que hay dentro de la superficie.

    Concepto de flujo del campo gravitatorio: el flujo (de fluir) del campo gravitatorio, a tra-vs de una superficie, se define como el producto escalar de la intensidad del campo gravita-torio por el vector superficie (es un vector cuya magnitud es igual al rea y cuya direccin es normal al plano del rea). Luego el flujo del campo depende de tres factores: del valor de la magnitud intensidad del campo, del valor del rea de la superficie y del ngulo entre los vec-tores respectivos (o de las orientaciones relativas).

    -

    +S

    dS

    dS

    g

    Expresiones del flujo a travs de una superficie plana, S, y a travs de una superficie irre-gular, que la dividimos en diferenciales de superficie dS:

    n

    1 1 i in

    i 1

    g S g S cos

    g dS ... lim g dS g dS0B

    !

    C ! 1 ! 1 1 D

    C ! 1 @ ! 1 ! 1A ??

    ! !! !

    ! ! !! ! !

    El flujo del campo gravitatorio, a travs de una superficie, nos mide la cantidad de l-neas del campo gravitatorio que pasan por esa superficie. El flujo total, a travs de una su-perficie Gausiana esfrica de radio R, en cuyo interior hay una masa total M ser:

    % &

    n

    i in

    i 1

    2r r2

    lim g dS g dS

    Mg S G u 4 R u 4 GMR

    0B!

    C ! 1 ! 1

    4 5C ! 1 ! " 1 * ! " *9 := >

    A ??! !! !

    !! ! !

    %

    Demostracin infinitesimal:

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 7

    % &

    E F E F

    r r2

    2 20 00 0

    Md g dS G u rd rsen d u GMsen d dr

    g dS GM sen d d GM cos 4 GM* * * *

    4 5C ! 1 ! " 1 D D G ! " D D G9 := >

    C ! 1 ! " D D G ! " " D G ! " *?? ? ?

    !! ! !

    !!

    y

    z

    x rsenD d

    D

    dr

    rrdD

    Enunciado de la ley de Gauss: El flujo del campo gravitatorio a travs de una superficie cerrada es igual a 4 GMC ! " * , siendo M la masa dentro de la superficie o una distribucin de masas cuya suma es Mtotal.

    En el caso de una superficie cerrada (superficie gaussiana), el flujo, a travs de ella, puede ser cero o negativo: a) Si el flujo es cero quiere decir que entran en la superficie cerrada, el mismo nmero de lneas del campo gravitatorio que salen, es decir, en su interior no hay fuentes del campo que son las masas. b) Si el flujo del campo gravitatorio es negativo quiere decir que salen, de la superficie cerrada, menos lneas del campo gravitatorio que entran. Es decir, en su interior hay fuentes del campo que son las masas.

    Aplicaciones del teorema de Gauss: Cuando hemos calculado el campo y el potencial gra-vitatorio en un punto determinado, hemos supuesto que las masas son puntuales o de ta-maos mucho ms pequeos que las distancias al punto. Ahora bien, si los tamaos de las masas no se pueden despreciar frente a las distancias, para calcular el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en un punto del campo, es ms sencillo utilizar el teorema de Gauss. Ejemplos: a) Halla el campo gravitatorio, de una masa M, en un punto exterior a ella y a una distancia r de su centro de masas.

    M

    ur r dS

    Esfera imaginaria de radio r

    R

    En primer lugar, consideramos una esfera imaginaria de radio r, tomando la distancia r desde el centro de masas de M hasta el punto exterior. El flujo a travs de la esfera imagina-ria vendr dado por el teorema de Gauss

    2r

    r2

    g S g 4 r u 4 GMGMg ur

    C ! 1 ! 1 * ! " *

    ! "

    !! ! !

    ! !

    El campo gravitatorio en el exterior de la masa M es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde su centro de masas.

    b) Halla el campo gravitatorio, de una masa M esfrica, de radio R, en un punto de su inter-ior y a una distancia r de su centro de masas.

  • Julio Anguiano Cristbal

    Fsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 8

    M

    R

    r

    Esfera imaginariade radio r

    g rR0

    linealr

    1/r

    Consideremos una esfera imaginaria de radio r. Siendo r la distancia desde el centro de ma-sas de M hasta el punto interior, y siendo m la masa que hay dentro de la esfera imaginaria. El flujo a travs de la esfera imaginaria vendr dado por el teorema de Gauss

    2r

    i r2

    g S g 4 r u 4 Gmmg G ur

    C ! 1 ! 1 * ! " *

    ! "

    !! ! !

    ! !

    Si la esfera es homognea su densidad permanece constante: 3

    3 3 34 43 3

    3

    3i 2 2 3

    M m rm MR r R

    rMm R Mrg G u G u G ur r rr r R

    H ! ! # !* *

    ! " ! " ! "! ! ! !

    El campo gravitatorio en el interior de la masa M es directamente proporcional a la distancia desde su centro de masas.

    Si se considera la Tierra homognea, de masa MT, y dejamos caer un cuerpo, de masa m, hacia su centro de la Tierra. La velocidad con la que llega ser calculada de la siguiente for-ma, si vi=0; ri=RT; rf=0

    c p

    ff f

    2T Ti r3 3i i T T i

    2 2 2T Tc f T T3 3

    T T

    Tf

    T

    W E E

    M r M1W mg dr mG u dr mG r2R R

    M m M m1 1 1W E mv 0 0 G R G R2 2 2R R

    M mv GR

    ! 6 ! "6

    2 3! 1 ! " 1 ! " 7 8

    7 8; ; = >

    El trabajo motor que hay que aplicar a un satlite situado en la superficie de la Tierra para sacarlo de la interaccin gravitatoria terrestre: En la superficie de la Tierra consideramos la velocidad inicial cero y hay que alcanzar la velocidad de escape

    % & % &

    % &

    motor c p(g) c p(g)f i

    2 2T Tmotor esc esc

    T Tf i

    T Tmotor Tf

    T Ti

    W E E E E

    M m M m1 1W mv G 0 G mvR R2 2

    M m M mW 0 0 G G g R mR R

    ! @ " @

    4 5 4 5! " " " !9 : 9 := > = >

    4 5! " " ! !9 := >

    El trabajo motor que hay que aplicar a un satlite situado en una rbita a una altura h para sacarlo de la interaccin gravitatoria terrestre: En una rbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la velocidad inicial es la velocidad orbital y para salir hay que alcanzar la velocidad de escape

    % & % &

    % & % &

    % & % & % & % &

    motor c p(g) c p(g)f i

    2 2 2 2T Tmotor esc orb esc orb

    T Tf i2

    2 T T Tmotor orbf

    T T Ti

    W E E E E

    M m M m1 1 1 1W mv G mv G mv mvR h R h2 2 2 2

    M m M m g R m1 1 1W 0 mv G GR h R h2 2 2 R h

    ! @ " @

    4 5 4 5! " " " ! "9 : 9 :@ @= > = >

    4 5! " " ! @ !9 :@ @ @= >

    Interaccin electrosttica. Ley de Coulomb.- El origen de la interaccin elctrica son las cargas elctricas. Los aspectos ms impor-tantes son:

    1) Existen dos tipos de interaccin, atractiva y repulsiva, debido a que existen dos tipos de cargas elctricas, positivas y negativas.

    2) La interaccin atractiva se produce entre las cargas de distinto tipo y la interaccin repulsiva entre las cargas del mismo tipo.

    3) Las cargas elctricas son de naturaleza escalar y aditivas. En cuanto a la cuantifica-cin de la carga elctrica, se ha observado en la naturaleza, que son mltiplos de la carga elemental que es la ca