Fisica y Quimica – Fisica COU.pdf

  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 1NDICE DE DINMICA Dinmica de la partcula Sistemas de referencia.Vector de posicin. Vector desplazamientoVelocidad media. Velocidad instantneaAceleracin media. Aceleracin instantneaComponentes intrnsecas de la aceleracinMovimiento circular: uniforme y no uniformeEcuaciones del movimiento curvilneo con aceleracin constanteMovimiento relativo a velocidades bajasLeyes de Newton de la dinmica de una partculaCaractersticas dinmicas de los sistemas inerciales y noinercialesAplicaciones de las leyes de Newton al movimiento curvilneo.Fuerza de friccinDinmica de los sistemas de puntos materiales o de partculasSistema de partculas. Centro de masasMovimiento de un sistema de partculas. Fuerzas externas einternasCinemtica y dinmica del movimientoMomento lineal o cantidad de movimiento del sistemaMomento lineal del sistema referido al centro de masas delsistemaPrincipio de conservacin del momento linealMomento angular o momento cintico de un sistema de partculasMomento angular para un sistema de partculasRelacin del momento angular con las fuerzas externasTeorema del momento cinticoPrincipio de conservacin del momento angularEnerga cintica de un sistema de partculasColisiones. Tipos de colisiones. Impacto central y oblicuoColisin plstica o totalmente inelsticaProblemas de dinmica de una partculaProblemas de dinmica de un sistema de partculas
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 2Revisin de la dinmica de la partcula.- Sistemas de referencia:El llamado sistema de referencia est formado por el cuerpo dere-ferencia, las coordenadas y los relojes sincronizados entre s yligados con l.Concepto de reposo: Si las coordenadas de todos los puntos delcuerpo en el sistema de re-ferencia elegido permanecen constantes,entonces el cuerpo est en reposo respecto de este sistema dereferencia.Concepto de Movimiento: Si las coordenadas de algunos puntos delcuerpo se modifican en el tiempo, el cuerpo est en movimientorespecto del sistema de referencia dado.Relatividad del movimiento: Tanto el reposo como el movimientoson conceptos relativos, es decir, dependen del sistema dereferencia.Definir cinemticamente un movimiento o formular una ley demovimiento de un cuerpo es definir en cualquier tiempo, la posicinde este cuerpo respecto del Sistema de Re-ferencia dado.Z!s t ut r r !r C CX YVector de posicin: El vector de posicin de una partcula situadaen un punto P del sis-tema cartesiano OXYZ, siendo rx, ry y rz lascomponentes del vector respecto al centro O, se expresa por x y zrr i r j r k! » «! ! !! . El vector de posicin se relaciona con la trayectoria sque asu vez depende del tiempo mediante: # $% &r r s t!! ! . Sila partcula se mueve, su vector de po-sicin cambia, pero siempre vadirigido desde el origen O hasta el nuevo punto P que tiene decomponentes sobre los ejes rx, ry y rz: x y zr ‘ r ‘ i r ‘ j r ‘ k!» «! ! !!Vector desplazamiento: Es el vector resultante de la diferenciaentre los vectores de posi-cin en dos instantes determinados x x yy z zr r ‘- r (r ‘ – r )i (r ‘ – r ) j (r ‘ – r )k’ ! ! » «! ! !! ! !Velocidad media: La velocidad media de una partcula es larelacin entre el vector despla-zamiento y el tiempo transcurrido endicho desplazamiento. Si la trayectoria de la partcula es recta osi describe una trayectoria curvilnea. La velocidad media es unvector que tiene la misma direccin y sentido que el vectordesplazamiento:2 1m2 1r r rvt t t’ (! !’ (! ! !!Velocidad instantnea: La velocidad del punto material en uninstante dado es igual a la primera derivada del vector de posicindel punto con relacin al tiempo.yx zmt 0 t 0drr dr dr drv lim v lim i j kt dt dt dt dt’ ) ‘ )’! ! ! ! » «‘! ! ! ! !! !Como el vector de posicin se relaciona con la trayectoria, que asu vez depende del tiempo, la velocidad instantnea tambin seexpresa como el producto del mdulo de la ve-locidad por el vectorunitario que nos indica la direccin y sentido de la velocidad:# $% & tdr dr dsr r s t v u vdt ds dt! * ! ! !! !! ! !! !El mdulo de la velocidad es t 0 t 0r s dsv lim limt t dt’ ) ‘ )’ ‘! ! !’ ‘!!
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 3Aceleracin media: La aceleracin es una magnitud que nos mide larapidez de cambio de la velocidad. La aceleracin media, que poseeun punto material, cuando ste cambia la ve-locidad instantnea en unintervalo de tiempo como la divisin entre el incremento del vec-torvelocidad y el tiempo transcurrido en dicho incremento2 1m2 1v v vat t t’ (! !’ (! ! !!Aceleracin instantnea: Se llama aceleracin del punto material auna magnitud vectorial que caracteriza el cambio con el tiempo delmdulo y de la direccin de la velocidad del pun-to material. Laaceleracin del punto material en un instante dado es igual a laprimera de-rivada de la velocidad o a la segunda derivada delvector de posicin del punto material con relacin al tiempo.yx zmt 0 t 0dvv dv dv dva lim a lim i j kt dt dt dt dt’ ) ‘ )’! ! ! ! » «‘! ! ! ! !! !La aceleracin instantnea, en un movimiento curvilneo, siempre vadirigida hacia la concavidad de la trayectoria.Componentes intrnsecas de la aceleracin: Como en un movimientocurvilneo la acele-racin instantnea siempre est dirigida hacia laconcavidad de la curva, se puede descom-poner en dos componentes,llamadas componentes intrnsecas de la aceleracin. Estas componentesson la tangente a la trayectoria y la normal a la trayectoria queest dirigida hacia el centro de la curvatura.% &2tt t t n t nn t td v d vdv d du va v u u v u u a adt dt dt dt dt Rd va a a a udt! ! ! » ! » ! «! ( ! (! !!!! ! ! ! ! ! !! !!! ! ! ! !Significado fsico de las componentes intrnsecas de laaceleracin:La aceleracin tangencial td vadt!!!nos mide los cambios en magnitud del mdulo dela velocidad o celeridad.La aceleracin normal 2nvaR!!nos mide los cambios en la direccin de la velocidad.Demostracin: Consideremos una seccin de la trayectoriacurvilnea. En cada instante el vector velocidad es siempre tangentea la trayectoria y el vector aceleracin est dirigido hacia laconcavidad de la trayectoria.1) La aceleracin mide la rapidez de los cambios de velocidad, esdecir, los cambios de la celeridad o de la direccin de la velocidado de los dos.2) La rapidez de cambio en el mdulo de la velocidad (laceleridad) se denomina acelera-cin tangencial.3) La rapidez de cambio en la direccin del vector velocidad sedenomina aceleracin centrpeta o normal.Demostracin de que el vector resultante de la derivada delvector unitario tangente respecto del tiempo es perpendicular alpropio vector unitario tangente:# $ t t t tt t t t t t t tt tn n n ndu du du duu u 1 d u u 0 u u 2u 0 udt dt dt dtsd vdu du d Ru u u udt dt dt dt R+ ! * + ! * » ! ! *, -. /0 1 2! ! ! !3! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !!! ! ! ! ! !Movimiento circular: Para describir el movimiento circular lopodemos hacer de dos for-mas: a) considerar que la partcula varecorriendo una distancia a lo largo de la circunferen-
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 4cia y b) considerar que la partcula va describiendo un ngulo quebarre, en cada vuelta completa, un crculo de 360 2 radianes.ds Rdv R v Rdt dt0! ! ! 4 + * ! 4 5!! ! !vRMovimiento circular uniforme: La velocidad angular es constante.El tiempo en dar una vuelta es siempre el mismo, se llama perodo(T) y se mide en segundos. El nmero de vuel-tas que da en unsegundo de tiempo se llama frecuencia (f) y se mide en Hz(hercios):# $# $# $2 12 12 1 2 12 2t t t Tt t0 ( 0’0 64 ! ! ! ! 67′ (0 ( 0 ! 4 (En el movimiento circular uniforme la velocidad angular esconstante y por tanto el mdulo de la velocidad. Sin embargo, elvector velocidad, que es tangente a la trayectoria, cambiacontinuamente de direccin, luego la partcula posee aceleracinnormal. Luego en un movimiento circular uniforme toda la aceleracines centrpeta o normal.Movimiento circular no uniforme: La velocidad angular no esconstante y, por tanto, la partcula posee aceleracin angular.Consideraremos solamente el caso de aceleracin angu-larconstante.Vectorialmente: El vector de posicin va desde el origen al puntode la circunferencia. La velocidad lineal es un vector tangente ala circunferencia y de origen el punto de la circunfe-rencia. Lavelocidad angular tiene de origen el centro de la circunferencia,es perpendicular a la circunferencia y el sentido el que nos marqueel sentido de avance del sacacorchos en el giro de la partcula. Latrayectoria es una circunferencia. La aceleracin:# $ t ndv d d dRa R R R v a adt dt dt dt4! ! 4 5 ! 5 » 4 5 ! 8 5 » 4 5 ! «!! !! ! !! ! !! ! ! ! !tn2na Ra v ( R)Si v a R! 8 5! 4 5 ! 4 5 4 54 3 * ! (4!! !!! ! ! ! !!!! !Si la aceleracin angular es constante:2d dt (t – t )1d dt dt (t t )dt (t t ) (t t )24 ! 8 * 4 ! 4 » 80 ! 4 ! 4 » 8 ( * 0 ! 0 » 4 ( » 8 (» «» » » » » «Ecuaciones del movimiento curvilneo con aceleracinconstante:% & 20dv a dt v v a(t t )1dr v dt v a(t t ) dt r r v (t t ) a(t t)2! + * ! » (! + ! » ( + * ! » ( » (» «» » » » «! !! ! !! ! ! ! !! ! !El movimiento est siempre en un plano y la trayectoria es unaparbola20v v a(t t ) v en plano de v y a1r v (t t ) a(t t ) r en plano dev y a2! » ( *’ ! ( » ( * ‘» » «» » «! !! ! ! !! ! ! !! !Ejemplo: Consideramos una cada vertical, un lanzamiento haciaarriba formando un ngu-lo, etc. Son todos movimientos que lospodemos considerar con aceleracin constante, la de
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 5la gravedad. Si el origen O est en el suelo, el eje de ordenadasOY es positivo hacia arriba y el origen de tiempos t0=0. Laaceleracin del movimiento tendr de valor ay=g=-9,8 ms-2. Elmovimiento se desarrolla sobre el plano OXY y la ecuacin de latrayectoria es una parbola2x xx y x yx y y yx y x x xm x y 2y s y y yv vv v v v i v jv v v v v g(t t )r r r r r v (t t )r r i r j 1a a g 9,8 j r r v (t t ) g(t t)2!9 9 :! » ! » *9 : ; » » » » «» » » » » «» » » «! !! ! !! ! !! ! !! !!!! ! !xxx y 22y yx xxx v t tvSi r r 0 1 x 1 xy v t gt y v g2 v 2 v9 ! * !==! ! * ;, – , -= ! ( * ! (. / . /=> 1 2 1 2″»» «» «» «Movimiento relativo a velocidades bajas.- Siempre que analicemosel movimiento de una partcula lo haremos con respecto a un Sistemade Referencia. La velocidad de una partcu-la, como veremos, dependedel sistema de referencia que utilicemos.P r r O R OSean los dos Sistemas de Referencia OXYZ y OXYZ, cuyos centros Oy O se en-cuentran a una distancia ROO. Una partcula situada en unpunto P tendr de coordenadas (x,y,z) para el primer sistema OXYZ y(x,y,z) para el segundo OXYZ. Los vectores de posi-cin y lasvelocidades instantneas de la partcula en un sistema y en otro estnrelaciona-dos por:O O’O O’O’Orelativar R r ‘ r ‘ r Rv ‘ v Va ‘ a a9 ! » * ! (=! ( *;= ! (>! !! ! ! !!! !! ! !relativaxyzSi a 0 a ‘ ax ‘ x V ty ‘ y V tTransformaciones Galileanas (sistemas inerciales)z ‘ z V tt ‘t! * !! ( +9= ! ( +=;! ( +== !>! ! !Si la velocidad relativa de un sistema respecto de otro esconstante o cero las aceleracionesson iguales.# $O’OO’OO’OO O’ O’O 2O’Ov ‘ Vv (velocidades altas) Si v ‘ c; V cv ‘ V1r r ‘ Rcv v ‘ V (velocidades bajas)»9 != 5= «! » * ;== ! «># #!! !!! !Leyes de la dinmica de una partcula de Newton: Las leyes deNewton en su forma con-vencional (1642-1727) en Principia(1687):1) Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilneouniforme a menos que sobre l acte una fuerza.
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 62) Todo cuerpo sobre el que acta una fuerza o varias se mueve detal forma que la va-riacin de su momento lineal o cantidad demovimiento por unidad de tiempo es iguala la fuerza neta: Ni netai 1dP d(mv)F F madtdt!! ! ! [email protected]! !! ! !3) Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas entre s, estas fuerzas sonde intensidades iguales y sentidos opuestos. Si sobre el cuerpo 1(F12) ejerce una fuerza el 2 esta ha de ser igual a la fuerza quesobre el 2 (F21) ejerce el 1: 12 21F F! (! !Anlisis de las leyes de la dinmica: La primera ley nicamentecontiene un significado preciso para una fuerza nula, es decir, quetodo cuerpo en reposo o en movimiento rectilneo uniforme no estsometido a la accin de ninguna fuerza. Y se dice que es un cuerpolibre (o partcula libre). La primera ley, por s sola, nicamentepuede darnos una nocin cualitativa acerca de la fuerza.La segunda ley, nos da una afirmacin explcita acerca de lafuerza, en la cual la fuerza se relaciona con la rapidez de cambiodel momento lineal. Ahora bien, la definicin de fuerza slo expresaalgo completo y preciso cuando se define la masa.La tercera ley es realmente un principio, ya que se trata de unadeclaracin relativa al mundo fsico real y contiene toda la fsica deque estn dotadas las leyes del movimiento de Newton. Con la terceraley cuando consideramos dos cuerpos aislados 1 y 2 tenemos que:2112 21 1 1 2 22 1amF F m a m am a! ( * ! ( * ! (!! ! ! ! !Siempre nos ser posible establecer una masa unidad y determinarla masa de otro cuerpo comparando el cociente de aceleracionescuando interacten los dos. La masa as determi-nada es la masainerte, que es la masa que determina la aceleracin de un cuerposometido a una fuerza dada. Si la masa se determina pesando uncuerpo es la masa gravitatoria o pesante. El primero en comprobarla equivalencia entre las dos masas fue Galileo (cada de cuerpos),Newton, etc. La tercera ley no es un principio general de laNaturaleza, puesto que slo se aplica en el caso de que la fuerzaejercida por un objeto (punto) sobre otro objeto (punto) es-tdirigida a lo largo de la recta que une a ambos. Son stas lasllamadas fuerzas centrales y a ellas se aplica la tercera ley, seanlas fuerzas atractivas o repulsivas. Fuerzas centrales son lasgravitatorias y las electrostticas, por lo cual las leyes de Newtonpodrn aplicar-se a los problemas en los que intervengan fuerzas deesta naturaleza. A veces, las fuerzas elsticas son centrales, yaque son manifestaciones macroscpicas de fuerzas electrostticasmicroscpicas. Toda fuerza que dependa de las velocidades de loscuerpos en interac-cin es no central esencialmente, y no se aplicala tercera ley en tales casos. As, por ejemplo, la fuerza queejercen entre s las cargas elctricas en movimiento no obedece later-cera ley (fuerzas electromagnticas), puesto que dicha fuerza sepropaga a la velocidad de la luz; incluso la fuerza gravitatoriaque se ejercen entre s los cuerpos en movimiento depende de lavelocidad, pero el efecto de sta es pequeo y difcil de detectar,siendo el nico efecto observable la precesin del perihelio de losplanetas ms cercanos al Sol.Sistemas inerciales: Se llama sistema inercial a todo sistema dereferencia en el que sean vlidas las leyes de la dinmica de Newton.Propiedades: Un cuerpo, aislado de acciones exteriores, est enreposo o en movimiento rectilneo unifor-me, respecto a cualquiera de estos sistemas.Para estos sistemas, el espacio es homogneo (igual naturaleza) eistropo y el tiempo es homogneo.Cuando las leyes de Newton sean vlidas en un sistema dereferencia, lo sern tam-bin en todo sistema que se muevauniformemente respecto del primero, o sea sin acelera-cin. ElSistema Solar, si despreciamos la debilsima accin gravitatoriaestelar, puede ser considerado como un sistema aislado, y porconsiguiente, es una referencia inercial. Por tanto, un triedro conorigen en el centro del Sol (c.d.m. del sistema solar) y ejes endireccio-
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 7nes de tres estrellas fijas, es un sistema inercial con altogrado de exactitud, es el llamado sistema copernicano.Galileo comprob experimentalmente que las leyes de la mecnicason idnticas para dos observadores que se hallen en movimiento detraslacin rectilneo y uniforme. Es lo que se conoce como principiode relatividad de Galileo. Este principio se limita a las leyes dela mecnica si la velocidad de los cuerpos es muy inferior a la delas interacciones. La va-lidez de la Mecnica Clsica est acotada pordos extremos: 1) Cuando la velocidad de las partculas es muy grandey no se puede considerar comoinfinita la velocidad de propagacin de las interacciones (prximaa 3108 m/s).2) Cuando las dimensiones de las partculas involucradas en elfenmeno es del orden de 0,1 nm.Caractersticas dinmicas de los sistemas inerciales y noinerciales.- Un sistema se llama inercial si se comporta como unapartcula libre, es decir, no est sujeto a interaccin, y por tanto oest en reposo o se mueve con velocidad constan-te y sin aceleracin,por lo que no ha de rotar. Dos sistemas se dice que son inercialesuno con respecto del otro si estn en reposo relativo o se muevencon velocidad constante uno con respecto del otro.Caractersticas de los sistemas inerciales: Sean los SistemasOXYZ y O’X’Y’Z’ que se encuentran a una distancia R los doscentros. Una partcula situada en el punto P ten-dr de coordenadas(x,y,z) para el primero y (x’,y’,z’) para el segundo. Relacionadospor:O’OO’O O’OO’Or R r ‘v V v ‘ Si V 0 a a ‘ F F ‘a a a ‘9 ! «=! » * ! * ! * !;= ! «>!! !! ! ! !! !! !! ! !Para los Sistemas Inerciales tenemos que son iguales las leyesdel movimiento, es decir, miden las mismas aceleraciones de lapartcula situada en P y las mismas Fuerzas aplicadas en P. Esto eslo que se denomina el Principio Clsico de Relatividad.Caractersticas de los Sistemas No Inerciales: Si el SistemaO’X’Y’Z’ es No Inercial, es decir que la velocidad relativa de stesistema con respecto al OXYZ no es constante, y por tanto, elsistema O’X’Y’Z’ con respecto al OXYZ posee aceleracin,tenemos:O’OO’O O’O inercialO’Or R r ‘v V v ‘ ma ‘ ma ma F ‘ F Fa a a ‘9 ! «=! » * ! ( * ! «;= ! «>!! !! ! ! !! ! !! !! ! !En el Sistema O’X’Y’Z’ medimos una fuerza distinta que en elSistema OXYZ, consi-derando que en el primero aparece una FuerzaFicticia llamada de Inercia que es conse-cuencia de la aceleracinrelativa del Sistema O’X’Y’Z’ con respecto al OXYZ. Aplicaciones delas leyes de Newton del movimiento.- El movimiento de una partcula,bajo una fuerza constante, tiene la aceleracin tambin constante.Adems, analizando las ecuaciones siguientes, la velocidad siemprecambia en una direccin paralela a la fuerza aplicada, por lo que latrayectoria tiende hacia la direccin de la fuerza. Respecto aldespla-zamiento, si la fuerza es constante, es una combinacin dedos vectores. Uno es la velocidad inicial y el otro la direccin dela fuerza aplicada. Si los dos vectores son paralelos elmovi-miento es rectilneo y si no lo son estar en el planodeterminado por los dos.2Fv v (t t )F mam 1 Fr r v (t t ) (t t )2 m9( ! (==! * ;= ( ! ( » (=>» «» » » «!! !!!!! ! !Movimiento curvilneo.- Una partcula experimenta un movimientocurvilneo cuando la fuerza resultante forma un ngulo con lavelocidad. Recordando que la aceleracin es siempre paralela a lafuerza. La aceleracin tendr una componente paralela a lavelocidad,
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 8que cambia su magnitud, y otra componente perpendicular a lavelocidad que nos expresa los cambios en la direccin delmovimiento.Ft OF rFn B A FPar de torsin (Torque).- Cuando una fuerza acta sobre un cuerpo,este no slo se mueve en la direccin de la fuerza sino que tambin lohace alrededor de un punto. Considera la fuerza F actuando sobreuna partcula A. Supongamos que el efecto de la fuerza es mover lapartcula alrededor de O. La experiencia nos dice que el efecto derotacin de F se incremen-ta con la distancia perpendicular odistancia de la palanca OB, desde el centro de rotacin O a la lneade accin de la fuerza F. La magnitud fsica que lo define se llamapar de torsin o momento del parM F OB F OA sen M r F! 5 ! 5 5 0 * ! 5! !!Fuerza de friccin.- !» Si el cuerpo no se mueve la fuerza defriccin esttica es igual a la F aplicada.!» La magnitud fuerza de friccin esttica fs tiene su valor mximofs(mximo) = sN!» Si el cuerpo comienza a deslizarse sobre la superficie lamagnitud de la fuerza de fric-cin rpidamente decrece a fk con elcoeficiente de friccin cintica k.!» La direccin de fs y de fk es siempre paralela a la superficiey opuesta al movimiento deseado y N es perpendicular a lasuperficie.Dinmica de los sistemas de puntos materiales o de partculas:Cuando tiramos al aire un palo su movimiento es ms complicado quecuando tiramos un objeto ms sencillo. Esto se debe a que cada partedel palo se mueve describiendo una trayectoria diferente, por loque no podemos representar la trayectoria del palo como si fueseuna nica partcula, por lo que decimos que es un sistema departculas.Si observa atentamente el movimiento del palo encontramos quehay un punto espe-cial de este que se mueve describiendo unatrayectoria parablica, como si fuese una sola partcula. Este puntose llama centro de masas y est en la unin de los ejes del palo.Cada cuerpo tiene un centro de masas y se mueve como una partculalibre siguiendo una trayec-toria parablica.Sistema de partculas. Centro de Masas.- Un sistema de partculases un conjunto de par-tculas sometidas a unas fuerzas interiores,entre ellas, y a unas ligaduras que constrien el movimiento delsistema. Un ejemplo de sistema con ligaduras es el slido rgido quese caracteriza porque las distancias entre las partculas soninalterables.Un Sistema de partculas puede interaccionar con otro y a esasinteracciones se les llama fuerzas exteriores del Sistema. Si lasfuerzas exteriores son cero el sistema se dice que est aislado.Consideremos un sistema de dos partculas m1 y m2 que respecto aun sistema de referencia inercial (OXYZ) tienen sus vectores deposicin de componentes respectivas (r1x; r1y; r1z) y (r2x; r2y;r2z). Se define el centro de masas del sistema de dos partculascomo aquel punto cuyo vector de posicin, respecto del sistemainercial OXYZ exterior al sistema de partculas, viene dado por:1 1 2 2CM1 2m r m rRm m»!»! !!
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 9r1RCMr2OConsideramos el sistema inercial OXYZ fuera del sistema departculas y el sistema O’X’Y’Z’ cuyo origen es el propio centro demasas (CM). La relacin entre los vectores de posicin de cadapartcula respecto de O y de O’ viene dada por la siguienterelacin:# $ # $1 CM 1 1 CM 1 2 CM 22 CM 2 CM 1 1 2 21 21 1 2 2CM1 2r R r ‘m R r ‘ m R r ‘r R r ‘ R m r ‘ m r ‘ 0m mm r m rRm m9= ! «» » «=! » * ! * » !; «= «= !»>!! ! ! !! !! !! ! ! !! !!Movimiento de un sistema de partculas. Fuerzas externas einternas.- El movimiento de un sistema de partculas es ms sencillosi lo estudiamos en fun-cin del centro de masas. Para ello, consideremos el ms simple,que es un sistema de dos partculas de masas distintas m1 y m2.Cinemtica del movimiento: La velocidad, la aceleracin y laposicin del centro de ma-sas en cualquier instante vienen dadaspor# $# $ # $# $ # $ # $CM 1 1 2 2 1 1 2 2CM 1 2 CM 1 1 2 21 2 1 21 1 2 2CMCM1 2CMf CM i CM2CMf CM i CM i CMdR d m r m r m v m vV m m V m v m vm m m mdt dtm a m adVadt m mV V a t1R R V t a t2+9 » «, -! ! ! * » ! «. /= » «= 1 2;»= ! != «>9 ! » +=;! » «=>! ! ! ! !! ! ! !! ! !!! ! !! ! ! !Dinmica del movimiento: Sobre cada partcula actan dos fuerzas laexterna, suma de todas las fuerzas externas, y la interna, debida ala otra partcula. La fuerza total sobre cada partcula de masasdistintas m1 y m2 es igual a# $# $1 12 12 21 2dF F pdtdF F pdt9 » !=;= » !>! ! !! ! !La Fuerza total sobre el sistema se caracteriza porque la sumade las fuerzas internas es ce-ro 12 21F -F!! !:# $ # $ # $# $ni 1 12 2 21 1 2 total ni 1externa totaln ni 1i 1 12 2 21 externai 1 i 1d d dF F F F F p p pdt dt dt dF pdtF F F F F F!!! !9= ! » » » ! » !== * !;=! » » » !==>@@@ @! ! ! ! ! ! ! !! !! ! ! ! ! !La suma de las fuerzas externas es igual a la variacin delmomento lineal del sistema con respecto del tiempo:# $ # $ # $ # $nexterna total 1 2 1 1 2 2 CM CMi 1d d d dF p p p m v m v MV Madt dt dt dt!! ! » ! » ! [email protected]! !! ! ! !! !
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 10Al aplicarle una fuerza externa al sistema, ste se mueve como sitoda la masa estu-viera concentrada en el Centro de Masas.Anlisis de la 2 ley de Newton aplicada a un sistema departculas: En la suma vectorial de todas las fuerzas externas queactan sobre el sistema hay que te-ner mucho cuidado en no incluir las fuerzas internas que son lasque ejerce una parte del sistema sobre otra parte.La masa total del sistema es la suma M=m1+m2. Consideramos queen el sistema no entra ni sale masa cuando se mueve, es decir, lamasa es constante. El sistema es cerrado.La aceleracin del centro de masas del sistema no da informacinsobre la aceleracin de cualquier otra parte del sistema.Momento lineal o cantidad de movimiento del sistema: El momentolineal de un sistema de dos partculas, de masas distintas m1 y m2,relativo al sistema inercial OXYZ (llamado de laboratorio) es lasuma de los momentos lineales de cada una de las partculas.# $total 1 2 1 1 2 2 1 2 CM CMp p p m v m v m m V MV! » ! » ! «!! !! ! ! ! !El momento lineal de un sistema de partculas vemos que es igualal producto de la masa total del sistema por la velocidad delcentro de masas.El momento lineal de un sistema de partculas es el mismo que elde una partcula ideal de masa igual a la masa total del sistema, deposicin la del centro de masas, y que se mueva de la misma formaque ste.Momento lineal del sistema referido al centro de masas delsistema: El momento lineal de un sistema de partculas, tomando comoreferencia el sistema Centro de Masas del propio sistema departculas, es siempre cero.# $1 1 2 21 1 2 2 1 1 2 21 2m r ‘ m r ‘ 0d m r ‘ m r ‘ m v ‘ m v ‘ 0dtp ‘ p ‘ 0″ !9== » ! » !;=» !=>! !! ! ! !! !Principio de conservacin del momento lineal: Si un sistema estaislado y cerrado, es decir, la suma de las fuerzas externas escero y no pueden entrar ni salir partculas del sistema, entonces elmomento lineal o la cantidad de movimiento del sistema permanececonstante con respecto al tiempo.# $ # $ # $# $ # $next total 1 2 1 2i 11 2 1 2i fd dF 0 p p p 0 p p ctedt dtp p p p!! * ! » ! * » ! *» ! «@! ! ! ! ! !! ! ! !El principio de conservacin del momento lineal es una leygeneral, ms que las leyes de Newton, ya que es vlido en el mundosubatmico y para partculas a altas velocidades (teora general de larelatividad).Si el momento lineal total es constante, la velocidad del centrode masas tambin lo es y la aceleracin del centro de masas sercero.Momento Angular o Momento Cintico de un sistema de partculas.-Momento angular referido a una partcula: Se define el momentoangular de una partcu-la, de masa m, movindose con una velocidad v(y teniendo un momento lineal p=mv), res-pecto de un punto O en unsistema inercial OXYZ, L r p! 5! ! !Lr v m
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 11La unidad es 1 kgm2/s =1 Js. El mdulo del momento angular esLO=rpsen8. Si los vectores posicin y momento lineal estn en lamisma direccin el momento angu-lar es cero.Como todas las cantidades lineales (velocidad, aceleracin), elmomento lineal tiene su equivalente angular. La partcula se mueve,respecto a O, en la direccin de su momento lineal, el vector deposicin rota alrededor de O. Para tener momento angular, lapartcula no debe rotar por s misma alrededor de O. Tambin se diceque el momento angular es el momento del momento lineal.En un movimiento lineal, la causa de la variacin del momentolineal con respecto del tiempo es una fuerza. En un movimientoangular o curvilneo la causa de la variacin del momento angular conrespecto del tiempo est relacionada con el momento de la fuerza(par de torsin o torque) aplicada a la partcula.n next exti 1 i 1dL dr dpp r v p r F r F Mdt dt dt! !, – , -. / . /! 5 » 5 ! 5 » 5 ! 5 !. / . /1 2 1 [email protected] @! ! ! ! ! !! ! ! ! !!La ecuacin anterior corresponde a la segunda ley de Newton enforma angular.Si el momento de la fuerza es cero, M=0, el momento angular esconstante. Esta condicin se cumple totalmente si F=0, es decir, sila partcula es libre y se mueve con velo-cidad constante luego sutrayectoria es una lnea recta. La condicin M=0 tambin se cum-ple siF es paralela a r, es decir, la direccin de F pasa a travs delpunto O. Una fuerza cu-ya direccin siempre pasa por un punto fijose llama fuerza central. Momento angular para un sistema departculas: Para un sistema de dos partculas, de masas m1 y m2, elmomento angular del sistema respecto del punto O, del sistemainercial OXYZ, ser la suma de los momentos angulares de cadapartcula respecto del mismo pun-to. Lo que nos lleva, despus deldesarrollo matemtico, al siguiente enunciado:El momento angular de un sistema de partculas es la suma delmomento angular orbital, Lorbital, definido respecto del sistemainercial OXYZ (sistema-L), y del momento angu-lar interno,Linterno, definido respecto del sistema centro de masas (sistema-C)que se toma como origen.# $ # $# $ # $% &O 1 2 1 1 2 2O CM CM 1 1 2 2O orbital internoL L L r p r pL R MV r ‘ p ‘ r ‘ p ‘L L L9 ! » ! 5 » 5=A B! 5 » 5 » 5; C D=! «>! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !! ! !Demostracin# $ # $# $ # $% & # $ # $% &# $ # $% &1 CM 1 1 CM 12 CM 2 2 CM 21 1 2 2 1 1 2 2O 1 1 2 2O CM 1 1 CM 1 CM 2 2 CM 2O CM 1 2 CM 1 1 2 2 1 1 20 0r R r ‘ v V v ‘r R r ‘ v V v ‘m r ‘ m r ‘ m v ‘ m v ‘L r p r pL R r ‘ m V v ‘ R r ‘ m V v ‘L R m m V m v ‘ m v ‘ m r ‘ m r**! * !! » ! «! » ! «» «! 5 » 5! » 5 » » » 5 «! 5 » » » » «9=;=>! !! ! ! !! !! ! ! !! ! ! !! ! ! ! !! ! ! ! !! !! !! ! ! ! !! ! # $ # $ # $# $ # $ # $ # $ # $2 CM 1 1 2 2O CM 1 2 CM 1 1 2 2 CM CM 1 1 2 2’ V r ‘ p ‘ r ‘ p ‘L R m m V r ‘ p ‘ r ‘ p ‘ R MV r ‘ p ‘ r ‘ p ‘5 » 5 » 5! 5 » » 5 » 5 ! 5 » 5 » 5! ! ! ! !! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !Relacin del momento angular con las fuerzas externas:Consideremos un sistema com-puesto por dos masas (denominadas 1 y2). Sobre la masa 1 se ejercen dos fuerzas, la ex-terna y lainterna (debida a la masa 2), y sobre la masa 2 se ejercen tambindos fuerzas, la externa y la interna (debida a la masa 1). De talforma que la variacin del momento angular con respecto del tiempode todo el sistema ser:# $ # $ # $ # $# $O 1 2 1 1 12 2 2 21O 1 1 2 2 1 12 2 21 1 1 2 2 1 2d dL L L r F F r F Fdt dtd L r F r F r F r F r F r F M MdtA B A B! » ! 5 » » 5 «C D C D! 5 » 5 » 5 » 5 ! 5 » 5 ! «! ! ! ! ! ! !! !! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! !
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 12Teorema del momento cintico: La suma de los momentos de lasfuerzas externas ac-tuando sobre un sistema de partculas es igual ala velocidad de cambio con respecto del tiempo del momento angulardel sistema.Esto tiene significado slo si los vectores momento (torque)resultantes de las fuerzas externas y momento angular estnreferidos al mismo origen. En un sistema inercial se puede aplicara cualquier punto. En un sistema acelerado (tal como una ruedagirando) slo se aplica al centro de masas del sistema.Principio de conservacin del momento angular: Si el momento netode las fuerzas ac-tuantes sobre un sistema de partculas es cero, elvector momento angular del sistema per-manece constante, aunquedentro del sistema haya cambios.# $1 2 O OdM M 0 L 0 L cte.dt» ! * ! * !! ! ! !El Principio de Conservacin del Momento Angular implica que sien un sistema ais-lado el momento angular de alguna parte delsistema cambia por interacciones internas, el resto del sistemadebe experimentar un cambio igual de momento angular peroopuesto.El principio de conservacin del momento angular va ms all de laslimitaciones de la mecnica Newtoniana. Es vlido para partculascuyas velocidades se aproximan a la ve-locidad de la luz y tambinen el mundo de las partculas subatmicas. No se han encontra-doexcepciones.Son ejemplos de conservacin del momento angular:!» Patinador girando: un patinador girando sobre s mismo que noest sometido a un momento o torque exterior su momento angularpermanece constante alrededor del eje de rotacin, aunque vare suvelocidad angular alejndose los brazos del cuerpo.!» Estabilizacin de un satlite: Antes de lanzar un satlite decomunicaciones al espacio desde la bodega de la lanzadera espacialse le hace girar alrededor de su eje central. Esto se debe a que dela misma forma que la direccin del movimiento de una partcu-la esms difcil de cambiar por un impulso cuando el momento lineal de lapartcula es grande que cuando es pequeo. De la misma forma laorientacin de un objeto gi-rando es ms difcil de cambiar por untorque externo cuando el objeto tiene un mo-mento angular grandeque si es pequeo. La orientacin de un satlite que no est gi-randopuede ser alterada por pequeos momentos externos como presiones deradia-cin solares o pequeas restos de atmsfera.Energa cintica de un sistema de partculas.- Anlisis de la energacintica de una partcula: Teorema trabajo-energa cintica: Si sobreuna partcula, de masa m, realizamos una fuerza y la partculaexperimenta un desplaza-miento se define el trabajo realizado porla fuerza sobre la partcula:f f f f2 2neto neta cinticaf ii i i idp 1 1W F dr dr vdp mvdv mv mv Edt 2 2! + ! ! ! ! ( ! ‘E E E E!! ! ! !! ! !La energa cintica de un sistema de N partculas ser la suma delas energas cinti-cas de cada una de ellas.Sea un sistema de dos partculas, de masas m1 y m2, siconsideramos sus velocida-des referidas a un sistema inercial OXYZ,la energa cintica del sistema ser iguala la suma de las energascinticas de cada partcula: # $ # $2 2c 1 1 2 21 1E m v m v2 2! «.La energa cintica de cada partcula depende de la velocidad, yesta depende del sis-tema de referencia elegido, luego la energacintica de un sistema de partculas depen-der del sistema dereferencia usado.Por tanto, si consideramos las velocidades, de cada partcula,respecto del centro de masas del sistema, la energa cintica internaser: # $ # $2 2c 1 1 2 21 1E ‘ m v ‘ m v ‘2 2! » .Siendo la relacin entre ellas:
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 13# $ # $# $ # $ # $ # $ # $# $ # $ # $ # $ # $2 22 2c 1 2 1 CM 1 2 CM 21 22 2 2c 1 2 CM 1 1 2 2 CM 1 1 2 22 2 2c CM 1 1 2 2 c traslacin c interna1 1 1 1E m v m v m V v ‘ m V v ‘2 2 2 21 1 1E m m V m v ‘ m v ‘V m v ‘ m v ‘2 221 1 1E M V m v ‘ m v ‘ E E ‘2 2 29 ! » ! » » «=== ! » » » » «;== ! » » ! «=>! !! !! !! ! ! !! !La Energa Cintica de un sistema de partculas puede expresarsecomo la suma de la energa cintica orbital, asociada con elmovimiento del centro de masas, y de la energa ci-ntica interna,relativa al centro de masas. Es importante entender claramente quela energa cintica interna es una propie-dad del cuerpo,independiente del observador y distinta de la energa cinticatraslacional del sistema. Colisiones. Tipos de colisiones.- Cuandodos partculas se aproximan su interaccin mutua cambia sumovimiento. Como en la colisin no intervienen fuerzas externas,entonces por aplicacin del Princi-pio de conservacin del momentolineal decimos que el momento lineal del sistema en conjuntopermanecer constante. La interaccin provoca un cambio de momentolineal en las partculas y puede alte-rar o no la energa interna deellas y disipar o no-energa mecnica. En una colisin las dospartculas no tienen que entrar en contacto fsicamente. As cuando uncometa se aproxima al Sistema Solar su trayectoria se curva debidoa la interaccin o colisin. Otro ejemplo sera la colisin de unpartcula alfa con un ncleo.Un impacto tiene lugar cuando dos cuerpos colisionan durante unintervalo muy pequeo de tiempo, provocando fuerzas relativamentegrandes entre los dos cuerpos. En ge-neral hay dos tipos deimpacto. El Impacto Central tiene lugar cuando la direccin demovimiento de los centros de masas de las dos partculas quecolisionan est a lo largo de la lnea que pasa a travs de loscentros de masas de las partculas. Esta lnea se llama lnea deimpacto, perpendicular al plano de contacto. Cuando el movimientode una o de las dos partculas forma un ngulo con la lnea de impactose dice que le impacto es oblicuo. Procedimiento para analizar elimpacto central: 1) Se conserva el momento lineal delsistema de partculas; 2) el coeficiente de restitucin # $# $Bf Af finalBi Ai inicialv vev v(! ((relaciona las velo-cidades relativas de las partculas a lo largo de la lnea deimpacto, solamente antes y des-pus de la colisin.Procedimiento para analizar el impacto oblicuo: 1) Se conservael momento lineal del sistema de partculas a lo largo de la lnea deimpacto; 2) el coeficiente de restitucin# $# $xBf xAf finalxBi xAi inicialv vev v(! ((relaciona las componentes de las velocidades relativas de laspartcu-las a lo largo de la lnea de impacto, eje x, solamente antes ydespus de la colisin; 3) el momento lineal de la partcula A seconserva a lo largo del eje y, perpendicular a la lnea de impacto,ya que no existe impulso sobre la partcula A en esa direccin; 4) elmomento de la partcula B se conserva a lo largo del eje y,perpendicular a la lnea de impacto, ya que no acta impulso sobre lapartcula B en esa direccin.Las colisiones o impactos son: 1) Elstico, sin prdida de energamecnica ya que el impulso de deformacin es igual y opuesto alimpulso de restitucin (e=1). 2) Inelstico, con prdida parcial deenerga mecnica (e
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 14rante la colisin se puede calcular en base a la diferencia de laenerga cintica de las part-culas. Cuando ocurre la colisin, laprdida de energa, Ec2-Ec1=-(U2-U1), se debe a que parte de laenerga cintica de la partcula se transforma en energa trmica ascomo en crear sonido y en la deformacin localizada delmaterial.Impacto CentralColisin Elstica siendo la lnea de impacto en el eje X y el planode contacto el eje OY: Conservacin del momento lineal:# $ # $ # $ # $Ai Bi A Ai B Bi A Af B Bf Af Bfinicial inicialfinal finalp p m v m v m v m v p p» ! » ! » ! «! ! ! !! ! ! !Conservacin de la energa cintica:# $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bfinicial final1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2A B A B» ! «C D C DLa conservacin del momento lineal y la conservacin de la energacintica, implica que el coeficiente de restitucin sea igual a uno(e=1). Es decir, la relacin entre las veloci-dades relativas de laspartculas, a lo largo de la lnea de impacto, exactamente antes ydes-pus de la colisin es # $# $Bf Af finalBi Ai inicialv ve 1v v(! ! ((.Demostracin:# $ # $# $# $# $ # $ # $ # $# $ # $ # $ # $# $ # $# $ # $A Ai B Bi A Af B Bf Bf BiAB Af AiA Af Ai B Bf Bi2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf Bf Bi Bf BiA2 2 2 2B Af Ai Af AiA Af Ai B Bf Bim v m v m v m v v vmm v vm v v m v vm v m v m v m v v v v vmm v v v vm v v m v v» ! » (9 : * ( !; < (( ( ! (> ?9 :» ! » » (= = * ( !; <» (A B A B( ( ! (= => C D C D ?! ! ! !! ! ! !# $# $# $ # $# $ # $# $ # $# $Bf Bi Bf Bi Bf BiAB Af Ai Af Ai Af AiBf AfBf Bi Af AiBi AiBf Af Bi Aiv v v v v vmm v v v v v vv vv v v v e 1v vv v v v( » (9 🙁 ! != =( » (= = (= =» ! » * ! ( !; < (= =( ! ( (= ===> ?Al resolver el sistema siguiente podemos calcular lasvelocidades de las partculas exactamente despus de la colisin:# $ # $# $# $ # $# $A Ai B Bi A Af B BfBf AfBf Af Bi AiBi AiA B Ai B BiA Ai B Bi A Af B Bi Ai Af AfA BA Ai B A BiA Ai B Bi A Bf Bi Ai B Bf BfA Bm v m v m v m vv v1 v v v vv vm m v 2m vm v m v m v m v v v vm m2m v m m vm v m v m v v v m v vm m» ! «9 := = *(; «» (» ! » ( » * !»Impacto OblcuoPlano de contactolnea deimpactoPlano de contactolnea deimpactoImpacto Central Impacto Oblcuocontactolnea deimpactoA B A BA BvVBBmA=m B90
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 15Si el eje Y se establece dentro del plano de contacto y el eje Xa lo largo de la lnea de impacto, las fuerzas impulsivas dedeformacin y restitucin actan slo en la direccin del eje X.Descomponiendo los vectores velocidad o momento lineal encomponentes a lo largo de los ejes X e Y es posible escribir cuatroecuaciones escalares independientes para deter-minar lascomponentes de la velocidad antes y despus del impacto. ColisinElstica siendo la lnea de impacto en el eje X y el plano decontacto el OY:Conservacin del momento lineal del sistema a lo largo de la lneade impacto, eje X:A xAi B xBi A xAf B xBfm v m v m v m v» ! «Conservacin del momento lineal de la partcula A, a lo largo deleje Y, que es perpendicu-lar a la lnea de impacto, mientras no acteun impulso sobre la partcula A en esa direc-cin: A yAi A yAfm v mv!Conservacin del momento lineal de la partcula B, a lo largo deleje Y, que es perpendi-cular a la lnea de impacto, mientras no acteun impulso sobre la partcula B en esa direc-cin: B yBi B yBfm v mv!Conservacin de la energa cintica:# $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf1 1 1 1m v m v m v m v22 2 2» ! «La conservacin del momento lineal del sistema a lo largo de lalnea de impacto y la conservacin de la energa cintica, implica queel coeficiente de restitucin sea la rela-cin de las componentes delas velocidades relativas de las partculas a lo largo de lalneade impacto, que es el eje X: # $# $xBf xAf finalxBi xAi inicialv ve 1v v(! ! ((.Demostracin:# $ # $# $# $A xAi B xBi A xAf B xBf xBf xBiAB xAf xAiA xAf xAi B xBf xBim v m v m v m v v vmm v vm v v m v v» ! » (9 : * ( !; < (( ( ! (> ?# $ # $ # $ # $# $ # $ # $ # $# $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $# $ # $ # $ # $2 2 2 2A Ai B Bi A Af B Bf2 2 2 2A Af Ai B Bf Bi2 2 2 22 2 2 2A xAf yAf xAi yAi B xBf yBf xBi yBi2 2 2 2A xAf xAi B xBf xBim v m v m v m vm v v m v vm v v v v m v v v vm v v m v v9 :» ! «= =A B A B= =( ( ! (C D C D= = *; C D C D ?# $ # $# $ # $# $ # $# $ # $2 2xBf xBi xBf xBi xBf xBiA2 2B xAf xAi xAf xAixAf xAiv v v v v vmm v v v vv v( » (* ( ! !» ((# $# $# $ # $# $ # $# $# $# $ # $# $ # $# $ # $# $xBf xBi xBf xBi xBf xBiAB xAf xAi xAf xAi xAf xAixBf xBi xBf xBi xBf xBi xBf xAfxAf xAi xAf xAi xAf xAi xBi xAixBf xBi xAf xAixBf xAf xBi xAiv v v v v vmm v v v v v vv v v v v v v ve 1v v v v v v v vv v vvv v v v( » (9 🙁 ! != =( » (= =( » (= = (! * ! ! (;
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 16# $ # $# $# $A xAi B xBi A xAf B xBfxBf xAfxBf xAf xBi xAixBi xAiA B xAi B xBiA xAi B xBi A xAf B xBi xAi xAf xAfA BA xAi BA xAi B xBi A xBf xBi xAi B xBf xBfm v m v m v m vv v1 v v v vv vm m v 2m vm v m v m v m v v v vm m2m v mm v m v m v v v m v v» ! «9 := = *(; «» (» ! » ( » * !# $# $A xBiA Bm vm m»Colisin Elstica y oblicua entre dos partculas de masa distintaestando una de ellas en reposo y si conocemos el ngulo de desviacinde la que hace de proyectil: 1 Forma.- Consideramos la lnea deimpacto en el eje X y el plano de contacto el OY: Conservacin delmomento lineal del sistema a lo largo de la lnea de impacto, ejeX:A xAi A xAf B xBfm v m v m v! «Conservacin del momento lineal de la partcula A, a lo largo deleje Y, que es perpendicu-lar a la lnea de impacto, mientras no acteun impulso sobre la partcula A en esa direc-cin: yAi yAfv v!Conservacin del momento lineal de la partcula B, a lo largo deleje Y, que es perpendi-cular a la lnea de impacto, mientras no acteun impulso sobre la partcula B en esa direc-cin: B yBi B yBfm v m v0! !Conservacin de la energa cintica: # $ # $ # $2 2 2A Ai A Af BBf1 1 1m v m v m v2 2 2! «Considerando lo anterior# $ # $# $# $ # $A xAi A xAf B xBfxBf xAf xAiA B xAiA xAi A xAf B xAi xAf xAfA BA xAiA xAi A xBf xAi B xBf xBfA Bm v m v m vv v vm m vm v m v m v v vm m2m vm v m v v m v vm m! «9 : *; ?(! » » * !»! ( » * !»Conocemos el ngulo de desviacin del proyectil respecto de ladireccin original y no la di-reccin original. Sea F el ngulo elngulo de la direccin respecto de la lnea de impacto y G el ngulo dedesviacin despus del impacto. Luego# $# $ # $# $# $# $# $ # $# $# $ # $ # $yAiyAixAi A BA B xAiyAf A BA BxAfA BA B2A B B A Bvtanvv m mtan tanm m vv m mtanm mvm mtan tantan tan1 tan tan m mm m tan tan 2m tan m m tan 09 :F != = «= = * F » G ! ! F; < ( (= =F » G != = «> ?»F » GF » G ! ! F( F + G (» G F ( F ( ( G !2 Forma.- 1) Ecuacin de conservacin del momento lineal: Ai AfBfp p p! «! ! ! . 2) Ecuacin deconservacin de la energa: # $ # $ # $2 2 2Ai Af BfA A B1 1 1p p p2m 2m 2m! «! ! !Resolvemos el sistema de la siguiente forma:
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Dinmica de los sistemas de puntos materiales Pgina 17# $ # $ # $ # $# $ # $ # $ # $ # $ # $2 2 2 2Ai Af Bf Bf Ai Af Ai Af Ai Af2 2 2 2 2 2BAi Af Bf Bf Ai AfA A B Ap p p p p p p p 2p pm1 1 1p p p p p p2m 2m 2m m( +9 :! » * ! ! » (= = *; ? > >2 forma:# $ # $ # $# $ # $ # $ # $# $ # $ # $Ai Af BfA B 2 2 2Ai Af Bf2 2 2 2Ai Af Bf Af Bf Af BfAf Bf Af Bf2 2 2Ai Af Bfv v vSi m mv v vv v v v v 2v v2v v 0 v vv v v! «9 :! * *; %J % > %$El mun y el taun son inestables, con tiempos de vida de 2,210-6s y 3,010-13 s, respecti-vamente. Se desintegran por interaccindbil, y la gran diferencia en sus tiempos de vida es unaconsecuencia de la diferencia de masa.e eee ee$ $ $ $H I$ $% %H IH. :H > % J % J . :I > % J % J/ / / /0 < 0 H % J % JH> % J % J / // / 1 =1 =$ $$$2) Quarks: 2 2 2u e c e t e3 3 31 1 1d e d e d e3 3 3q q q q q qup charged top u c tdown strange bottom d s b q q q qq q’ ( ‘ ( ‘ (# % # % # %’ ( ‘ ( ‘ ( ‘ ( ‘ ( ‘ ( * + * + * +; ;* +* + * + * + * + * + * + * + * +# $ # $ # $, – , – , – , – , – , – ,- , – , -Quarks (espn-) Energa Carga (Qe) Extraeza N barinico Up (u) Down(d)0,35 GeV 0,35 GeV+ 2/3 – 1/30 0+ 1/3 + 1/3Strange (s) Charm (c)0,50 GeV 1,50 GeV- 1/3 + 2/3-1 0+ 1/3 + 1/3Bottom (b) Top (t)4,50 GeV 92 GeV- 1/3 + 2/30 0+ 1/3 + 1/3Como los leptones, estos seis tipos distintos de quarks, osabores, existen a pares. Cada par est formado de un quark concarga fraccionaria, respecto de la carga del electrn. Sin em-bargo,no puede medirse sobre los quarks libres y aislados porque hasta lafecha no han podido ser aislados. Adems de la carga elctrica losquarks poseen otro atributo llamado carga color, que juega el mismopapel que la carga elctrica en la interaccin electromagn-tica. Paraexplicar por qu se observan slo ciertas combinaciones de quarks, seconsidera que hay tres tipos de cargas color, que arbitrariamentese llaman rojo (r), verde (g) y azul (b), a las que aadimos lascargas anticolor. Los estados color corresponden a diferentesvalo-res de dos de las cargas color llamados la carga colorhipercarga y la carga color isospn.Cargas color Estados colorColor Isospn (I)Color Hypercarga (Y)rojo (r) + 1/2 + 1/3 verde (g) – 1/2 + 1/3 azul (b) 0 – 2/3Los quarks estn unidos por la fuerza fuerte o fuerza color. Seconsidera que los quarks de diferentes colores se atraen formandocombinaciones estables, es decir, sin color tales como !qr, qg» ,qb»» » o !qr, qr» . Por esta razn una distribucin estable de quarkson combina-ciones sin color de tres quarks o de un quark y unantiquark.De la misma forma que los tomos neutros estn formados de cargaspositivas y ne-gativas, una combinacin de tres quarks con trescolores diferentes o de un quark con una carga color y un antiquarkcon la carga anticolor dan un sistema de color neutro o sin color(blanco). As, los hadrones son combinaciones de quarks sin color.Dos hadrones sin color,
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos. Trabajo y energa Pgina 12cuando estn separados, prcticamente no sienten fuerza color. Dela misma forma que dos tomos neutros cuando estn separados nosienten apenas la fuerza elctrica. Pero si dos hadrones seencuentran prximos, los quarks coloreados, en cada uno, puedensentir la fuerza color de los quarks en el otro. Esta fuerza sellama interaccin residual, que se po-ne de manifiesto en fenmenosnucleares y es el origen de la fuerza entre protones y neu-trones.Es decir, los ncleos existen por un efecto residual de la fuerzacolor.3) Bosones intermediarios: Los bosones intermediarios tienenespn-1 y son las partculas llamadas transportistas de lasinteracciones.En una interaccin fsica cambia el momento y la energa, que estncuantiza-dos, es decir, que no pueden variar continuamente, sinoque estn restringidos a tomar ciertos valores discretos. Por tanto,en una interaccin entre dos partculas no se produce un flujocontinuo de momento y energa entre ellas a travs del campo, lainteraccin tiene lugar a travs del intercambio de bosones. Esdecir, cuando se produce una interaccin sta consiste en elintercambio de bosones. El sentido del paso del bosn no se puedediscernir por el principio de incertidumbre.En la interaccin electromagntica, la partcula transportadora esel fotn, cuya masa es cero en reposo. En la interaccin dbil laspartculas transportadoras de la inter-accin son W y Z. Laspartculas W tienen de masa 80,6 GeV/c2 y la Z de 91,2 GeV/c2. Losbosones W y Z son muy inestables y se descubrieron en la interaccinprotn-antiprotn. En la interaccin fuerte o fuerza color entre losquarks las partculas trans-portadoras son bosones llamados gluones,que se suponen sin masa y espn-1. Llevan carga color pero no cargaelctrica. Hay ocho gluones, que corresponden a las combinacionescolor posibles.Fuerza electromagntica: Si dos electrones se ejercen una fuerza,esta interaccin est descrita por una teora muy lograda llamadaelectrodinmica cuntica (QED). Esta teo-ra establece que cadaelectrn detecta la presencia del otro por intercambio de fotones(que no tienen masa y son bosones de espn-1) entre los dos, siendoel fotn el cuanto del campo electromagntico. Sin embargo, nopodemos detectar estos fotones porque son emitidos por un electrn yabsorbidos por el otro en un intervalo de tiempo muy corto, y porsu corta existencia le llamamos fotones virtuales o partculasmensajeras.Como las partculas mensajeras de la interaccin electromagnticano tienen masa la interaccin se produce a muy largasdistancias.Fuerza dbil: Una teora del campo de la fuerza dbil se desarrollanlogamente con la del campo electromagntico. Las partculasmensajeras que transmiten la fuerza d-bil, entre leptones, no sonlos fotones sino unas partculas con masa llamadas W y Z y que sonbosones de espn-1. La teora ha revelado que la fuerzaelectromagntica y la fuerza d-bil son aspectos diferentes de unafuerza llamada electrodbil.Esta conclusin es una extensin lgica del trabajo de Maxwell,quien consider que la fuerza elctrica y la magntica son aspectosdiferentes de una nica fuerza electromagn-tica. La teoraelectrodbil predijo las propiedades de las partculas mensajeras. Esdecir, sus cargas y sus energas en reposo (las dos W, la positiva yla negativa, tienen 80,6 GeV y la Z tiene 91,2 GeV). Recordamos queel protn tiene una energa de 0,938 GeV. La teora fue confirmada en1983 en el acelerador del CERN de Ginebra, por el descubrimiento delas partculas mensajeras W y Z.Al tener las partculas mensajeras de la interaccin dbil, unamasa muy elevada, di-cha interaccin no llega muy lejos, y se diceque es de corto alcance.Se manifiesta sobre todo produciendo la transmutacin departculas, en vez de ejer-ciendo un efecto de tiro o empujedirecto. Fue postulada inicialmente para explicar la desin-tegracin: 1) ! » ! » en udd p uud e% $> % % J$ ; 2) ! » ! » ep uud n udde% %> % % J . Un quark-d es sustituido por un quark-u lo queinvolucra cambio de sabores de quarks. Es decir, la fuerza dbil escapaz de cambiar el sabor de un quark, el d por el u, y losleptones, as los electrones se vuelven neutrinos y assucesivamente.A energas altas se han producido en los aceleradores departculas los bosones por interaccin electromagntica:
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos. Trabajo y energa Pgina 13ZZp (uud) e p ee e% $ % $C% $ % $% > %% >H % H%%Hoy en da la interaccin electromagntica y la dbil se consideranunificadas, llamndose Electrodbil. Fuerza fuerte: La teora de lafuerza fuerte, es decir, la fuerza que acta entre quarks, tambin hasido desarrollada. Las partculas mensajeras en este caso se llamangluones y, como el fotn, no tienen masa, por lo que la interaccinfuerte entre quarks es de largo alcance. Sin embargo, la interaccinfuerte residual entre los estados quarks enlaza-dos (hadrones) esde corto alcance. La teora considera que cada sabor de quark puedepresentarse en tres variedades que se llaman rojo (r), verde (g) yazul (b). As, existen tres quarks de sabor u, uno de cada color. Lateora se llama cromodinmica cuntica (QCD) y una importanteprediccin de la teora es que los quarks se pueden unir slo encombina-ciones de color neutras. Es decir que se unan tres quarksen r-g-b, o dos quarks en color-anticolor, como en r-r-.La tentativa de unificar las fuerzas fundamentales de lanaturaleza se est desarro-llando actualmente en dos pasos. Elprimero, sera la unificacin de la fuerza fuerte y la electrodbilllamada teora de la gran unificacin. El segundo, sera aadir lafuerza gravi-tatoria con lo que tendramos la llamada teora detodo.Tipo de interaccinFuentes Intensidad relativaAlcance Bosn transportista Sienten la interaccinFuerte carga color1 10-15 m 8 bosones(gluones: 2 quarks) (1,810-36 hasta 3,210-25kg)Los Hadrones: bariones (fermiones: n y p) y mesones (bosones).No los leptonesDbil carga dbil10-14 10-18 m 3 bosones (W+- y Z)(1,410-25 kg)Leptones y QuarksElectromagntica carga elctrica10-2 infinito El fotn(masa=0) Partculas cargadas y neu-tras conmomento magnti-co intrnseco (n)Gravitatoria masa 10-38 infinito El gravitn (?) Todas laspartculas (hasta el fotn)
  • Julio Anguiano CristbalFsica: PROBLEMAS de Campos. Trabajo y energa Pgina 141) Calcula el Trabajo realizado sobre una partcula aldesplazarla desde el punto (1,1) m hasta el (2,4) m por los camposde fuerzas: 2 2 2 2F x i y j; F y i x j# $ # $! ! ! !! !. Siguiendo las trayec-torias: a) por la recta que pasa por los citados puntos; b) porla quebrada que pasa por los puntos (1,1), (2,1) y (2,4); c) por laquebrada que pasa por los puntos (1,1), (1,4) y (2,4); d) por laparbola de ecuacin y=x2. Posteriormente determina si el campo defuerzas es con-servativo. [1: a) -56/3 J; b) igual a; c) igual a;d) igual a; Conservativo][2: a) 0 J; b) -11 J; c) 13 J; d) -1,3 J.No conservativo]2) Sea el campo de fuerzas que acta sobre una partcula: jxixy2F2!!!$# . Calcula el Traba-jo realizado al desplazar la partculadesde el punto (0,0) m hasta el (2,4) m siguiendo las trayectoriassiguientes: a) por la quebrada (0,0), (2,0) y (2,4); b) por laquebrada (0,0), (0,4) y (2,4); c) a lo largo de la recta que unelos dos puntos (0,0) y (2,4). Posteriormente comprobar si el campoes conservativo. [a) -16 J ; b) 16 J; c) 16 J. No Conservativo]3) Un cuerpo se mueve a lo largo de la trayectoria [x=t+1;y=2t-2; z=t] y bajo la accin del campo: k2j)1t3(itF!!!!%%$# . Calcular: a) el trabajo realizado entre los instantes2 s y 3 s; b)el desplazamiento de la partcula. [a) -12,5 J; b) 61/2 m]4) Un bloque de 5 kg desliza por una superficie horizontal lisacon una velocidad de 4 m/s y choca con un resorte de masadespreciable y constante elstica 800 N/m, en equilibrio y con elotro extremo fijo. Calcular: a) cunto se comprime el resorte; b)desde qu altura de-bera caer el bloque sobre el resorte, colocadoverticalmente, para producir la misma com-presin. (La fuerza delmuelle es F=-kr). [a) 0,11/2 m ; b) 0,8 m].5) Un bloque de 2 kg se lanza hacia arriba con una velocidad de10 m/s por un plano incli-nado que forma un ngulo de 30 con lahorizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el planoes =0,4. Calcular: a) longitud que recorre hacia arriba el bloque,hasta detenerse; b) velocidad del bloque al volver al punto delanzamiento. [a) 6,0 m; b) 4,3 m/s]6) Un proyectil de 0,01 kg con velocidad de 40 m/s en direccinhorizontal, se incrusta en un bloque de 4 kg, suspendido de unpunto fijo mediante una cuerda de 1 m de longitud. Calcular: a) laaltura a la que asciende el bloque tras el impacto; b) velocidadmnima de la bala para que el bloque describiera una circunferenciavertical completa. [a) 0,51 mm; b) 2510 m/s].7) Un bloque de 10 kg se lanza hacia arriba por un planoinclinado de 30, con la horizontal, con una velocidad de 10 m/s. Elbloque vuelve al punto de partida con una velocidad de 5 m/s.Calcula: a) la longitud que recorre hasta que sube, el trabajo derozamiento y el coefi-ciente de rozamiento con el plano; b)deformacin mxima y final de un resorte de constante elstica 500N/m, colocado en dicho punto de partida, al volver el bloque. [a)6,25 m; -187,5 J y =0,346; b) 0,748 m y 0,092 m]8) Un bloque de 20 kg se encuentra sobre una superficiehorizontal unido a uno de los ex-tremos de un resorte de constanteelstica 100 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Se tiradel bloque con una fuerza de 150 N en una direccin que forma unngulo de 30 con la horizontal hasta desplazar el bloque unalongitud de 0,5 m. Si el coeficiente de roza-miento es de 0,4calcula: a) el trabajo de la fuerza de rozamiento; b) velocidad yaceleracin del bloque en ese instante. [a) -24,2 J; b) 1,7 m/s y1,6 m/s2].9) Calcular el trabajo neto realizado al arrastrar un bloque de80 kg, sobre un plano hori-zontal, aplicndole una fuerza de 400 Ndurante una distancia de 15 m si: a) la fuerza apli-cada eshorizontal y no existe rozamiento entre el bloque y el plano; b) lafuerza aplicada forma un ngulo de 30 con la horizontal; c) lafuerza es horizontal y el coeficiente de roza-miento es 0,4; d) lafuerza forma un ngulo de 30 con la horizontal y el coeficiente deroza-miento es 0,4. [a) 6000 J; b) 5196 J; c) 1296 J; d) 1692J]10) Un proyectil de 100 g lleva una velocidad de 210 m/s cuandochoca y se incrusta en un bloque de madera de 2 kg que descansa enun plano horizontal. El bloque, con el proyectil incrustado,recorre 4 m antes de encontrarse con un resorte de constanteelstica 200 N/m, al que comprime. Si consideramos el coeficiente derozamiento 0,2 determina: a) velocidad del bloque inmediatamentedespus de incrustarse en el proyectil; b) longitud que se com-
  • Julio Anguiano CristbalFsica: PROBLEMAS de Campos. Trabajo y energa Pgina 15prime el resorte; c) distancia a que queda del resorte el bloquecuando es expulsado por aqul. [a) 10 m/s; b) 0,92 m; c) 19,6 m]11) Un cuerpo se desliza sin rozamiento por una va en forma derizo. Si la altura de la que parte es de 4 m y el rizo tiene 1 m deradio, calcula: a) las velocidades en el rizo pero a 1 m de alturay en la parte superior que est a dos metros de altura; b) analizadesde qu altura se debe dejar caer el cuerpo para que al pasar porel punto ms alto la fuerza centrpeta sea igual que el peso delcuerpo. [a) 7,7 y 6,3 m/s; b) 2,5 m]12) Un bloque de masa 2 kg se lanza con una velocidad de 6 ms-1por una superficie hori-zontal rugosa de =0,2. Despus de recorreruna distancia de 4 m, choca con el extremo li-bre de un resorte, demasa despreciable y constante elstica 200 Nm-1, colocadohorizon-talmente y fijo por el otro extremo. Calcule: a) lacompresin mxima del resorte y el trabajo total realizado en dichacompresin; b) la altura desde la que debera dejarse caer el bloquesobre el extremo del resorte, colocado verticalmente, para que lacompresin mxima fuera la misma que en el apartado a). Dato: g=10ms-2. [a) 0,43 m y 18,3 J; b) 0,485 m]13) Un muelle se comprime 2 cm si se le aplica una fuerza de 270N. Un bloque cuya masa es de 12 kg se deja caer desde lo alto de unplano inclinado, sin rozamiento, cuyo ngulo de inclinacin es de 30.El bloque en su cada por el plano inclinado choca con el muelle ylo comprime hasta 5,5 cm. Calcula: a) desde qu distancia ha cado?;b) cul es la velocidad del bloque justamente antes de chocar con elmuelle?. Dato: g=9,8 ms-2. [a) 35 cm; b) 1,7 m/s]14) Un bloque de 2,0 kg se deja caer desde una altura de 40 cmsobre un muelle colocado verticalmente. La constante elstica delmuelle es de 1960 Nm-1. Calcula la distancia mxima que se comprimeel muelle. Dato: g=9,8 ms-2. [10 cm]
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 1NDICE DE CAMPOS GRAVITATORIO Y ELECTROSTTICOInteraccin gravitatoria. Ley de gravitacin universalHistoria de las teoras acerca de los movimientos planetarios.Leyes de KeplerLey de Newton de la gravitacin universalBases de la Gravitacin UniversalConceptos de masa inercial y de masa gravitatoriaCampo y potencial gravitatoriosEnerga potencial gravitatoria de una masa puntualCampo y potencial gravitatorios de una distribucin de masaspuntualesLey de Gauss para el campo gravitatorioAplicaciones del teorema de GaussCampo gravitatorio terrestre. SatlitesCampo gravitatorio terrestre: variacin de g con la alturaEnerga potencial gravitatoria terrestreSatlites: velocidad orbital y velocidad de escapeEnerga mecnica de un satlite en rbitaVelocidad de escapeTrabajo sobre un satlite: para situarlo en una rbita de altura hy para sacarlo de la inter-accin gravitatoria terrestreInteraccin electrosttica. Ley de CoulombCampo y Potencial electrostticosLneas del campo y superficies equipotencialesEnerga potencial electrostticaLey de Gauss para el campo electrostticoCampo electrosttico en la materia: conductores y dielctricosPolarizacinInfluencia del medio en la interaccin electrosttica;permitividad y constante dielctricaCondensadoresEnerga almacenada en un condensador cargadoAsociacin de condensadores: serie y paraleloEstudio comparativo de los campos gravitatorio yelectrostticoProblemas del campo gravitatorioProblemas del campo electrosttico
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 2Interaccin gravitatoria. Ley de gravitacin universal.- Historiade las teoras acerca de los movimientos planetarios: Modelogeocntrico: Considera la Tierra en el centro del Universo y lasestrellas pegadas a una esfera celestial que rota alrededor de uneje que pasa a travs de los polos Norte y Sur de la Tierra y de lospolos celestiales Norte y Sur. Sin embargo, el movimiento retrgradodel planeta Marte no se comprenda con este modelo y fue el problemadurante 2000 aos. Hiparco (150 a.C.) propuso un sistema de crculospara explicar el movimiento retrgrado. Consideraba que un planetarotando en forma de epiciclos (crculo que se supona descrito por unplaneta alrededor de un centro que se mova en el deferente)alrededor de una curva deferente (crculo que se supona descritoalrededor de la Tierra por el centro del epiciclo de un planeta).Posteriormente, Ptolomeo (100 a.C.) introdujo refinamientos en elsistema epi-ciclos -deferente- que se utiliz hasta el sigloXVI.Modelo heliocntrico: Nicols Coprnico (1473-1543) desarroll unmodelo ms sencillo para entender el Universo. Esto se debi a quecon la obtencin de nuevos datos observados y aplicarlos al modelogeocntrico era necesario introducir modificaciones a lastrayectorias de los planetas. Coprnico se plantea que lasdificultades tenan su origen en la teora y propone el modeloheliocntrico que sirve para calcular las posiciones planetarias yque tie-ne como objetivo eliminar las dificultades del sistema dePtolomeo. El sistema de Coprnico lo que hizo fue cambiar el sistemade referencia, tomando el Sol como centro, que al tener una granmasa respecto de los otros planetas, hace que el nuevo sistema seaprcticamente inercial y, por tanto, ms sencillo en sudescripcin.En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) public las leyes delmovimiento planetario. Kepler analiz las observaciones astronmicasde su maestro Tycho Brahe (1546-1601), que personalmente no pudodemostrar el sistema copernicano, y public en 1609 un estudioelaborado del sistema heliocntrico pero considerando rbitaselpticas. Las leyes de Kepler nos proporcionan una descripcincinemtica del movimiento planetario, pero no nos infor-man por qulos planetas se mueven en aquel camino y no en otro. La tercera leyse public diez aos despus de las dos primeras.Leyes de Kepler: 1) Un planeta describe una rbita elpticaalrededor del Sol, con el Sol en un foco de laelipse.2) La lnea que conecta un planeta al Sol barre reas iguales entiempos iguales.3) Los cuadrados de los perodos de revolucin de los planetas sonproporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la elipse desus rbitas.En 1623, Galileo (1564-1642), que tuvo relacin con Kepler,verific con ayuda de un telescopio que los satlites de Jpitercumplan leyes anlogas a las de Kepler, respecto de ste planeta. Sustrabajos colaboraron a la aceptacin definitiva del SistemaCopernicano. Ley de Newton de la gravitacin universal.- Las leyesde Kepler proporcionan una descripcin de cmo se mueven losplanetas, pero no explican por qu se mueven en aquel camino y no enotro. Usando las tres leyes de Kepler Newton fue capaz de encontraruna expresin que describe la fuerza a la que estn someti-dos losplanetas en sus rbitas. En 1666 Isaac Newton (1642-1727) formul laley de Gravi-tacin Universal que fue publicada en 1687 en sutrabajo «Principios Matemticos de la Fi-losofa Natural».Enunciado de la ley de gravitacin universal: la interaccingravitatoria, entre dos cuerpos, se expresa por una fuerzaatractiva y central, directamente proporcional al produc-to de lasmasas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia en-tre ellos: r r2 3Mm Mm rF G u G r urr r! » ! » # !!! ! ! !!M ur F F m
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 3El vector de posicin tiene su origen en el centro de masas deuna masa M y el extre-mo en el centro de masas de la otra masa m.La fuerza gravitatoria, tiene signo negativo, por ser atractiva y,por tanto, tiene sentido contrario al vector unitario que va de unamasa a otra. Bases de la Gravitacin Universal: 1) Los planetasdescriben rbitas cerradas alrededor del Sol por lo que la fuerza esatrac-tiva, ya que si fuese repulsiva la rbita no sera cerrada. 2)Como el radio vector barre reas iguales en tiempos iguales, esdecir, su velocidad areo-lar es constante se ha de cumplir que elmomento angular del planeta, respecto del Sol es constante. Lo quesupone que el momento de la fuerza sea cero, luego la fuerza ha deser central.Demostracin: sea A el rea barrida por el radio vector, luego elque su derivada respecto del tiempo (velocidad areolar) seaconstante supone que el momento angular respecto del Sol seaconstanterdrA=(rdr)/21dA r dr21 1 1dA drr r v L cte.dt dt2 2 2m! $! $ ! $ ! !! ! !! ! !! ! !Luego al cumplirse la segunda ley de Kepler se ha de cumplir queel momento angu-lar sea constante, lo que implica que la fuerza hade ser central:extextdL r F MdtL cte. M 0 r F! $ !! # ! #! ! !!! ! !! «La fuerza ha de ser paralela al radio vector y es lo que sellama una fuerza central. Por tanto, la fuerza que ejerce el Solsobre un planeta es una fuerza atractiva y central, es decir, queacta a lo largo de la lnea que une los dos cuerpos.Otro aspecto, muy importante, es determinar la relacin de lafuerza y del radio vector o distancia entre los dos cuerpos. Newtondetermin, realizando una serie de clculos ma-temticos basados elanlisis de las rbitas elpticas, que para que las rbitas elpticas delos planetas, obtenidas por Kepler, sean posibles, la fuerza ha deser proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre elSol y la Tierra.Si asumimos que la fuerza gravitatoria es una propiedaduniversal de toda la materia, podemos considerar que la fuerza estasociada con la cantidad de materia o masa gravi-tatoria, en cadacuerpo. Cavendish, en 1.798, determin la constante deproporcionalidad, que se conoce con el nombre de constante degravitacin universal y que no depende del medio. 3) Para comprobarla 3 ley de Kepler, vamos a consideremos rbitas circulares, en lascua-les se ha de cumplir que la fuerza centrpeta de la Tierra esigual a la fuerza gravitatoria% &222 2 2 3222 2Mv Gr 4v Mm Mm G v G T rr r GMr 2v rT’ (!) ) *! # ! # !+ ,*) )!- .Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria:La masa inercial se obtiene de 12 21 212 11 1 2 2F F amm am a m a’ ! «# ! «+! «-! ! !!! !
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 4Si le damos a una masa un valor, se determinan las masasinerciales de las dems.La masa gravitatoria se obtiene de la fuerza peso peso rF mg u!» #! !y la aceleracin de la gra-vedad de la ley de gravitacin universal T2 2TM mg G 9,8R s! /# , lo que nos indica que g0 es in-dependiente de la masa m del cuerpo que cae.Es un hecho muy probado que todos los cuerpos caen en lasuperficie de la Tierra con la misma aceleracin. Este hecho esindicativo de que las masas gravitatoria e inercial son iguales. Sila masa gravitatoria mg fuese distinta de la masa inercial mi lafuerza gravita-toria en la superficie de la Tierra (peso) seraigual% & % &T g gTpeso i 2 2iT TM m mMF m g G g GmR R! ! # !# #!Si la relacin entre las dos masas no fuera la misma para todoslos cuerpos la aceleracin g0 ser diferente para cada cuerpo, lo quees contrario a la experiencia. Las dos masas, son in-distinguiblesexperimentalmente y, por tanto, la magnitud masa es para la masainercial o la masa gravitatoria.La masa de la Tierra, se determina a partir de los datosexperimentales conocidos: G, g0 y RT. El peso de un cuerpo, en lasuperficie de la Tierra, es la fuerza con que la Tierra loatrae:2T Tpeso T2Tg RM mF mg G MGR! ! # ! ##!Campo y potencial gravitatorios.- Se llama Campo Gravitatorio ala situacin fsica por la cual al colocar una masa en dicho camposta experimenta una interaccin o fuerza gravitatoria. Siendo elcampo gravi-tatorio un campo vectorial de fuerzas.Campo gravitatorio creado por una masa M: Sea una masa M, en unpunto del espacio, y colocamos otra masa, m, en diferentesposiciones del espacio alrededor de M. Debido a la interaccingravitatoria entre las dos masas, la masa m experimenta una fuerzaen cada po-sicin dada por la ley de gravitacin universal. Es decir,que la interaccin entre las masas, m y M, va a depender de susposiciones relativas. Por lo que, en cada punto del espaciopo-demos definir un vector intensidad del campo gravitatorio,creado por la masa M. En cada punto del campo vectorialgravitatorio, se define un vector llamado intensidad del campogravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa quecoloquemos en dicho punto, siendo la unidad Nkg-1=ms-2 :r2m 0F Mg lim G um r0! ! «!! !gM ur gLa intensidad del campo gravitatorio, producido por M, en unpunto del espacio, es una magnitud vectorial, cuyo vector tiene suorigen es ese punto del campo y la direccin y sen-tido hacia elcentro de masas de la masa M.La intensidad del campo gravitatorio en un punto del campogravitatorio depende del vector de posicin de dicho punto, por loque el campo gravitatorio es conservativo. Por lo tanto, lacirculacin del campo gravitatorio no depende de la trayectoriaelegida sino de los puntos inicial y final y la circulacin a lolargo de una trayectoria cerrada ser cero. Decimos entonces que encada punto del campo gravitatorio hay definido un potencialgra-vitatorio.
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 5Potencial gravitatorio: El potencial gravitatorio es la magnitudescalar asociada, en cada punto del campo vectorial gravitatorioconservativo, al vector intensidad del campo gravita-torio o campogravitatorio g dr dU1 ! «! !Demostramos que el campo gravitatorio es conservativo% &ff fr f i2i i i f iM M M MC g dr G u dr G G G U U Ur r rrC g dr 02 34 52 3! 1 ! » 1 ! » » ! » » » » ! » » ! «67 89 :7 8; < =>; >m) se habla de la energa potencial de la menor m.Campo y potencial gravitatorios de una distribucin de masaspuntuales: Si tenemos una distribucin de masas puntuales M1, M2,M3, …Mn, para hallar el campo y el potencial gravitatorios, en unpunto del espacio, aplicamos el Principio de Su-perposicin: Elcampo gravitatorio producido, por un conjunto discreto de masas, enun punto del campo, es la suma vectorial de los camposgravitatorios debidos a cada una de las masas, en ese punto. Elpotencial gravitatorio, en el mismo punto del campo, se obtiene porla suma escalar de los potenciales gravitatorios debidos a cada unade las masas
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 61 2 in n21 i1 2 i r r r2 2 21 2 ii 1 i 1n n21 i1 2 i1 2 ii 1 i 1MM Mg g g … g G u G u … G ur r rMM MU U U … U G G …. Gr r r! !! !4 54 5 4 5! @ @ ! ! » @ » @ ! «9 :9 : 9 :9 : 9 :9 := > = >= >4 54 5 4 5! @ @ ! ! » @ » @ ! «9 : 9 :9 := > = >= >A AA A! ! ! ! ! ! !La fuerza gravitatoria obedece el principio de superposicin, quenos dice que la fuer-za total sobre una partcula, de masa m,situada en un punto es la suma de las fuerzas ejercidas sobre ellapor todas las dems partculas consideradas al mismo tiempo; laener-ga potencial para un sistema de partculas ser la suma de lasenergas potenciales de ca-da par de partculas:% &% &n1 2 ii 1np 1 2 ii 1F m g g … m g mgE m U U … m U mU!!! @ @ ! !! @ @ ! !AA! ! ! ! !Ley de Gauss para el campo gravitatorio.- La ley del fsico Gauss(1777-1855) relaciona los campos en una superficie Gaussiana(superficie cerrada) y la masa que hay dentro de la superficie.Concepto de flujo del campo gravitatorio: el flujo (de fluir)del campo gravitatorio, a tra-vs de una superficie, se define comoel producto escalar de la intensidad del campo gravita-torio por elvector superficie (es un vector cuya magnitud es igual al rea ycuya direccin es normal al plano del rea). Luego el flujo del campodepende de tres factores: del valor de la magnitud intensidad delcampo, del valor del rea de la superficie y del ngulo entre losvec-tores respectivos (o de las orientaciones relativas).-+SdSdSgExpresiones del flujo a travs de una superficie plana, S, y atravs de una superficie irre-gular, que la dividimos endiferenciales de superficie dS:n1 1 i ini 1g S g S cosg dS … lim g dS g dS0B!C ! 1 ! 1 1 DC ! 1 @ ! 1 ! 1A ??! !! !! ! !! ! !El flujo del campo gravitatorio, a travs de una superficie, nosmide la cantidad de l-neas del campo gravitatorio que pasan por esasuperficie. El flujo total, a travs de una su-perficie Gausianaesfrica de radio R, en cuyo interior hay una masa total M ser:% &ni ini 12r r2lim g dS g dSMg S G u 4 R u 4 GMR0B!C ! 1 ! 14 5C ! 1 ! » 1 * ! » *9 := >A ??! !! !!! ! !%Demostracin infinitesimal:
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 7% &E F E Fr r22 20 00 0Md g dS G u rd rsen d u GMsen d drg dS GM sen d d GM cos 4 GM* * * *4 5C ! 1 ! » 1 D D G ! » D D G9 := >C ! 1 ! » D D G ! » » D G ! » *?? ? ?!! ! !!!yzx rsenD dDdrrrdDEnunciado de la ley de Gauss: El flujo del campo gravitatorio atravs de una superficie cerrada es igual a 4 GMC ! » * , siendo Mla masa dentro de la superficie o una distribucin de masas cuyasuma es Mtotal.En el caso de una superficie cerrada (superficie gaussiana), elflujo, a travs de ella, puede ser cero o negativo: a) Si el flujoes cero quiere decir que entran en la superficie cerrada, el mismonmero de lneas del campo gravitatorio que salen, es decir, en suinterior no hay fuentes del campo que son las masas. b) Si el flujodel campo gravitatorio es negativo quiere decir que salen, de lasuperficie cerrada, menos lneas del campo gravitatorio que entran.Es decir, en su interior hay fuentes del campo que son lasmasas.Aplicaciones del teorema de Gauss: Cuando hemos calculado elcampo y el potencial gra-vitatorio en un punto determinado, hemossupuesto que las masas son puntuales o de ta-maos mucho ms pequeosque las distancias al punto. Ahora bien, si los tamaos de las masasno se pueden despreciar frente a las distancias, para calcular elcampo gravitatorio y el potencial gravitatorio en un punto delcampo, es ms sencillo utilizar el teorema de Gauss. Ejemplos: a)Halla el campo gravitatorio, de una masa M, en un punto exterior aella y a una distancia r de su centro de masas.Mur r dSEsfera imaginaria de radio rREn primer lugar, consideramos una esfera imaginaria de radio r,tomando la distancia r desde el centro de masas de M hasta el puntoexterior. El flujo a travs de la esfera imagina-ria vendr dado porel teorema de Gauss2rr2g S g 4 r u 4 GMGMg urC ! 1 ! 1 * ! » *! «!! ! !! !El campo gravitatorio en el exterior de la masa M esinversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde sucentro de masas.b) Halla el campo gravitatorio, de una masa M esfrica, de radioR, en un punto de su inter-ior y a una distancia r de su centro demasas.
  • Julio Anguiano CristbalFsica: Campos gravitatorio y electrosttico Pgina 8MRrEsfera imaginariade radio rg rR0linealr1/rConsideremos una esfera imaginaria de radio r. Siendo r ladistancia desde el centro de ma-sas de M hasta el punto interior, ysiendo m la masa que hay dentro de la esfera imaginaria. El flujo atravs de la esfera imaginaria vendr dado por el teorema deGauss2ri r2g S g 4 r u 4 Gmmg G urC ! 1 ! 1 * ! » *! «!! ! !! !Si la esfera es homognea su densidad permanece constante: 33 3 34 43 333i 2 2 3M m rm MR r RrMm R Mrg G u G u G ur r rr r RH ! ! # !* *! » ! » ! «! ! ! !El campo gravitatorio en el interior de la masa M esdirectamente proporcional a la distancia desde su centro demasas.Si se considera la Tierra homognea, de masa MT, y dejamos caerun cuerpo, de masa m, hacia su centro de la Tierra. La velocidadcon la que llega ser calculada de la siguiente for-ma, si vi=0;ri=RT; rf=0c pff f2T Ti r3 3i i T T i2 2 2T Tc f T T3 3T TTfTW E EM r M1W mg dr mG u dr mG r2R RM m M m1 1 1W E mv 0 0 G R G R2 2 2R RM mv GR! 6 ! «62 3! 1 ! » 1 ! » 7 87 8; ; = >El trabajo motor que hay que aplicar a un satlite situado en lasuperficie de la Tierra para sacarlo de la interaccin gravitatoriaterrestre: En la superficie de la Tierra consideramos la velocidadinicial cero y hay que alcanzar la velocidad de escape% & % &% &motor c p(g) c p(g)f i2 2T Tmotor esc escT Tf iT Tmotor TfT TiW E E E EM m M m1 1W mv G 0 G mvR R2 2M m M mW 0 0 G G g R mR R! @ » @4 5 4 5! » » » !9 : 9 := > = >4 5! » » ! !9 := >El trabajo motor que hay que aplicar a un satlite situado en unarbita a una altura h para sacarlo de la interaccin gravitatoriaterrestre: En una rbita, a una altura h sobre la superficie de laTierra, la velocidad inicial es la velocidad orbital y para salirhay que alcanzar la velocidad de escape% & % &% & % &% & % & % & % &motor c p(g) c p(g)f i2 2 2 2T Tmotor esc orb esc orbT Tf i22 T T Tmotor orbfT T TiW E E E EM m M m1 1 1 1W mv G mv G mv mvR h R h2 2 2 2M m M m g R m1 1 1W 0 mv G GR h R h2 2 2 R h! @ » @4 5 4 5! » » » ! «9 : 9 :@ @= > = >4 5! » » ! @ !9 :@ @ @= >Interaccin electrosttica. Ley de Coulomb.- El origen de lainteraccin elctrica son las cargas elctricas. Los aspectos msimpor-tantes son:1) Existen dos tipos de interaccin, atractiva y repulsiva,debido a que existen dos tipos de cargas elctricas, positivas ynegativas.2) La interaccin atractiva se produce entre las cargas dedistinto tipo y la interaccin repulsiva entre las cargas del mismotipo.3) Las cargas elctricas son de naturaleza escalar y aditivas. Encuanto a la cuantifica-cin de la carga elctrica, se ha observado enla naturaleza, que son mltiplos de la carga elemental que es laca
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