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ALGEBRA

1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relacin (A-B)2 = A2-2AB+B2?

2. Sabiendo que 2 =

ihg

fed

cba

. Hallar el valor de:

a)

hi2e

h-ei-fe)-2(d

h-bi-ce)-2(a

b)

fic

ehb

dga

c)

fci

e/2b/2h/2

3f-2d3c-2a3i-2g

3. Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius. Discutir segn los valores de m y resolverlo enel caso de compatible determinado:

x1 + mx2 = 0mx1 - x2 = m3x1 + x2 = 2

4. Sabiendo que

15

2-4- = D

13

36 = C

20

11 = B

10

12 = A

Resolver: AX + BY = C AX = YD

Soluciones:

2. a) -4; b) -2; c) 2

3. m=-1 S.C.D. x1=2, x2=1/2m=2 S.C.D. x1=4/5, x2=-2/5

4.

11

10 = Y

1-1

12 = X

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ALGEBRA

1. Es cierta la afirmacin (A+B).(A-B) = A2-B2 siendo A y B matrices cuadradas deorden n?

2. Si |A| = 2, siendo A una matriz de 3H3. Hallar a) |3A|; b) |A-1|; c) |(A-1.At)-1|

3. Dadas las matrices:

1-42-

44-4

211-5

= D

101

111-

011

= C 11-1

102 = B

1-0

1-2

20

= A

resuelve matricialmente AABAX - CAX = 2 D

4. Discutir segn los valores de m, cuando tiene solucin el siguiente sistema, cuntas tiene yhllalas todas:

mx - my = -1(m+1)x + y + z = 02x + 2z = 2

5. Dada la matriz

3-01

13-

3-12

= A

l

l

a) Triangula la matriz Ab) Segn halla el rango de Ac) Para qu valores no tiene inversa?. Halla A-1 si = 1.

Solucin:2.- a) 54; b) 1/2; c) 1

3.-

2-22-

2-84-

22-2

= X

4.- m=0 S.I.; m=-1 S.C.I.; m0 y m-1 S.C.D

5.- b) ="2 r(A) = 2; "2 r(A) = 3; c) ="2;

5/6-1/6-1/6

7/6-1/65/6

2/3-1/3-1/3

= A 1-

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ALGEBRA

1. Si F1, F2, F3 son las filas de una matriz A0M3H3 y |A|=5. Hallar a) |A-1|; b) |(at.A)-1|; c)|(F1-F2,2F3,F2)|

2. Si A.B = A.C, entonces se puede decir que B=C?. Raznalo si |A|=0 y si |A|0.

3. Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius. Clasificacin de sistemas.

Sea el sistema

0=y-2x

3=y+x Escrbelo en forma matricial y resulvelo por medio de

la matriz inversa.

4. Discutir el sistema y resolverlo en el caso de compatible indeterminado.

2=z+3y+3x

1= my+2x

1=z+1)y+(m+x

5. Eliminar los parmetros a y b.

x = 1 - a - by = 2 + a + bz = 3 + 2a - bt = a - b

Solucin:

1. a) 1/5; b) 1/25; c) -10

3.

0

3 =

y

x

1-2

11; x=1, y=2

4. m=1 6 r(A) = 2 = r(A*) S.C.I.m1 6 r(A) = 3 = r(A*) S.C.D.

m=1 6 x=, y=1-2, z=-1+3

5. 4-=3t+2z-y

7=3t-2z+x

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ALGEBRA

CUESTIONES

a) Demuestra que (AAB)-1 = B-1AA-1

b) En general para dos matrices cualesquiera, se cumple que: (A+B)2 = A2 + 2 AAB + B2 ?

c) Pon un ejemplo, si es posible, de sistemas de ecuaciones que cumplan las siguientes condiciones:a) Dos ecuaciones con tres incgnitas que sea incompatible.b) Dos ecuaciones con tres incgnitas que sea compatible indeterminado.c) Dos ecuaciones con tres incgnitas con solucin nica.d) Tres ecuaciones con dos incgnitas que sea compatible y determinado.

EJERCICIOS

1.- Discute el siguiente sistema segn los distintos valores del parmetro "a", y resulvelo en el casocompatible indeterminado:

1=z+2y+ax

0=z+ay+2x

1=z+2y+x

2.- Aplica el mtodo de Gauss para calcular el rango de la matriz:

27-60

1210

131-2

21-31

3.- Resuelve la ecuacin matricial: XAA - XAB = C, siendo:

102

33-6

030

= C ;

101

1-20

101-

= B ;

112

011

11-1

= A

Soluciones:

1. a=1 6 r(A) = 2 = r(A*) S.C.I. x=, y=1+, z=-1-3a=2 6 r(A) = 2 r(A*) = 3 S.I.a2 y a1 6 r(A) = 3 = r(A*) S.C.D.

2. r(A) = 3

3.

110

131

201-

= X

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ALGEBRA

1.- Enuncia las propiedades de los determinantes.

2.- a) Discutir el sistemab) Resolver por Gauss y Cramerc) Cmo sera la discusin si los trminos independientes fueran todos nulos?.

1=4z+ky

0=3z+y+x-

2-k=z+2y+x

3.- Haciendo uso del mtodo de Gauss, discutir el rango de la matriz B segn los valores delparmetro a:

a7-2-4

1-3-3-1

11-1a

2031

4.- Razona: a) Un sistema homogneo puede ser incompatible?; b) Un sistema homogneopuede ser compatible indeterminado?

5.- Dadas las matrices A y B encontrar una matriz simtrica P tal que B = P-1 A P

2-7-

37 = B

21-

13 = A

Soluciones:

2. a) k=3 6 r(A) = 2 r(A*) = 3 6 S.I. k3 6 r(A) = r(A*) = 3 6 S.C.D.

3. a = 1 6 r(A) = 2a 1 6 r(A) = 4

4. a) No; b) S

5.

11

12 = P

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ALGEBRA

1.- a) Teorema de Rouche b) Se sabe que det (A) = 4 y que A es una matriz de orden 4. Cunto vale det (2A)?.

Raznalo.

2.- Averiguar para qu valores de "t" la matriz A no tiene inversa.Calcular la matriz inversa de A para t = 2, si es posible.

3.- Hallar el rango de la matriz A para los distintos valores de t.

t1-3-2

1t1-2

01t0

= A

4.- Dado el sistema:a) Discutirlob) Resolverlo para a = 1

5.- Determinar el valor de a para que el sistema seacompatible y resolverlo por Gauss.

Soluciones:

1.- Det (2A) = 642.- a) t = 3

b)

2-11-

31-1

2-10

= A 1-

3.- a) t = 1 6 r(A) = 2 t 1 6 r(A) = 34.- a) a = 2 6 r(A) = 2 r(A*) = 3 6 S.I. a 2 6 r (A) = 3 = r(A*) 6 S.C.D.b) x = -2; y = 2; z = 5.- a) a = 3 b) x = 1; y = 1; z = 0

110

2t1

1-01

= A

1-=1)z+(a+y+2x

2-=3)z+(a+y+3x

3=2z+2y+ax

a=2z-y+2x

2-=z+y-x-

1=z-2y-3x

2=z+y+x

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ALGEBRA

1.- a) Regla de Cramer.b) Enunciado del teorema de Rouche-Frobenius.

2.- Hallar la matriz X sabiendo que A.X+B.X=C, siendo:

3-2-

2-1 = C

1-1-

12 = B

1-2

01 = A

3.- Discutir el siguiente sistema segn los valores de y resulvelo en el caso compatibleindeterminado.

3=z+y+2x

3)+(=z+y+3x

3-=z-y-2)x-(

aa

aa

4.- Discutir segn los valores de a el sistema homogneo:

0=z+2y+2x

0=z+ay+1)x-(a

0=z+2y+2)x+(a

Soluciones:

2.

11

1-0 = X

3. = 1 6 S.C.I. {x=1, y=1-, z=} = 0 6 S.C.I. {x=1-/3; y=1-/3; z=} 1 y 0 6 S.C.D.4. a = 0 6 S.C.I.

a = 2 6 S.C.I.a 0 y a 2 6 S.C.D.

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ALGEBRA

1.- Enuncia el teorema de Rouche-Frobenius.

2.- Hallar la matriz X si A.X+X=B, siendo

422

100

232

= B

102

11-0

011

= A

3.- Haciendo uso de las propiedades de los determinantes hallar A.

A =

x1-1-1-

1x1-1-

11x1-

1111

4.- Discutir segn los valores de a, el sistema:

1=az+y+x

1=z+ay+x

a=z+y+2x

5.- Resolver el sistema anterior cuando sea posible.

6.- Dado

1+m=my+x

0=y+mx, se pide m para que:

a) No tenga solucin.b) Tenga infinitas soluciones.c) Tenga solucin nica.d) Tenga solucin nica y x=3.

Soluciones:

2.

100

010

111

= X

3. A = (x+1)3

4. a=0 6 S.I.a=1 6 S.C.I.a0 y a1 6 S.C.D.5. a = 1 6 x=0; y=1-; z=a0 y a1 6 z=y=(-a+2)/2a; x=((a-1)(a+2))/2a6. a) m=1; b) m=-1; c) m"1; d) m=2/3

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ALGEBRA

1.- Define matriz inversa. Qu condicin se ha de dar para que una matriz tenga inversa?.Halla la inversa de A, si la tiene.

01

11 = A

2.- Hallar X e Y, sabiendo que:

23

10 = Y - 2X

10

1-3 = Y + X

3.- Define rango de una matriz y sistema de Cramer.Discutir segn los valores de y resolver en el caso compatible indeterminado.

-

+-

---

0

12

=zx

1=z+yx

=zy2x

l

l

4.- Enuncia las propiedades de los determinantes.Halla el rango de la matriz, e indica la existencia de inversa, segn los valores de m.

110

m-01

m2m

Soluciones:

1.

1-1

10 = A

2.

01-

1-2 = Y

11

01 = X

3. = 1 6 r(A)=2=r(A*) S.C.I.= 6 r(A)=2r(A*)=3 S.I. =1: x=k; y=1; z=k1 y 6 r(A)=3=r(A*) S.C.D.

4. m=1 6 r(A) = 2m=-2 6 r(A) = 2m1 y m-2 6 r(A) = 3

A-1 ] m1 y m-2 Y

2-m-1

m+mm1-

2m-2-mm

2)+1)(m-(m

1 = A 21-

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ALGEBRA

1.- Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n, se cumple la igualdad (A-B)2 = A2-2AB+B2?

2.- Halla el valor del determinante:

0112

1-210

2-133

1-212

3.- Discute y resuelve el sistema siguiente, en el caso compatible indeterminado. Escrbelo enforma matricial.

6= 3y-m)x+(3

3=1)z+(m+y-2x

0=2z+y+x

_

4.- Define matriz inversa y rango de una matriz.Resuelve el siguiente sistema en forma matricial, usando matriz inversa.

0=z+2y-3x

2=z+y+2x

1=z+y+x

5.- Teorema de Rouche-Frobenius.

Soluciones:

2. 8

3. m-9 y m0 6 r(A)=3=r(A*) S.C.D. m=0 6 r(A)=2=r(A*) S.C.I. {x=; y=-2; z=1-} m=-9 6 r(A)=2r(A*) S.I.

Forma matricial:

2

1

1-

=

z

y

x

.

03-m)+(3

1)+(m1-2

211

4. x=1; y=1; z=-1

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ALGEBRA

1.- Teorema de Rouch-Frobenius.Resolver el sistema:

0=z+2y-x

0=2z+y-2x-

0=z+y+x

2.- Hallar el rango de A en funcin de m. Hallar A-1 para m=0.

1-21-

1m2

12-m

3.- Calcular la matriz B-1.A2.B, siendo:

21

02 = B

2-0

12 = A

4.- Escribe un sistema, si es posible, de tres ecuaciones con dos incgnitas:a) Incompatibleb) Compatible indeterminadoc) Compatible determinado con solucin x=1 e y=1

Soluciones:

1. x = y = z = 0

2. m=1 m=-2 6 r(A) = 2; m1 y m-2 6 r(A) = 3

212

121

21

1-01-

= A 0=m 1-

3.

40

04 = B .A .B 21-

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ALGEBRA

1.- a) Cul es la condicin necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa?b) Puede una matriz de 2H3 tener inversa?

2.- Para qu valores de tiene inversa la matriz A?. Halla A-1 para =1.

10

012

1-0

= A

l

l

3.- Rango de una matriz. Si una matriz M 0 M3x3 su determinante |M| = 0. Qu se puedeafirmar del rango? y de la matriz inversa?. Justifcalo.

4.- Enuncia el teorema de Rouch-FrobeniusDiscutir y resolver en el caso compatible indeterminado el siguiente sistema.

0= 2y+x-

0=z-my+2x-

0=z+y-x

5.- Discutir segn los valores de m:

1=mz+y+x

1=z+my+x

1=z+y+mx

Soluciones:

2. 0 A-1; =1 Y

1/201/2-

1/201/2

1/4-1/21/4-

= A 1-

3. r(A)

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ALGEBRA

1.- Sea

5-02-

61-3

803

= A Comprueba que (A+I)2=0 siendo I la matriz identidad

Obtener la matriz inversa A-1.

2.- Comprobar que el determinante es nulo, sin desarrollarlo.

b+ac1

c+ab1

c+ba1

3.- Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius.Discute el sistema segn los valores de a y resulvelo en el caso compatible indeterminado.

0=az+y+x

0=2z-y-2x

0=z-y+x

4.- Discutir segn el valor del parmetro m, el sistema de ecuaciones lineales:

2=mz+ x

3=2z+my+2x

1=z+my+x

5.- Define rango de una matriz.

Soluciones:

1.

302

6-1-3-

8-05-

= A 1-

3. a=-1 Y S.C.I. {x=; y=0; z=}; a-1 Y S.C.D.

4. m=0 Y S.I. m=1 Y S.C.I. m0 y m1 Y S.C.D.

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ALGEBRA

1.- Producto de matrices. Propiedades.Se cumple siempre que A2-B2 = (A+B)(A-B)?, siendo A y B matrices cuadradas de orden n.

Raznalo.

2. Resolver A.X+B.Y = C; A.X = Y, siendo:

31-

1-5 = C

21

1-1 = B

10

02 = A

3.- Si A es una matriz de 3H3 con determinante, |A|=3. Hallar |3A|, |A2| y |A-1|

4.- Dada la matriz A, para qu valores de existen A-1?. Halla A-1 para =0.

121-

10

21

= A a

a

5.- Regla de Cramer.

6.- Discutir y resolver:

2=z+1)y-(a+2x

0= ay-x

2a=az+y+x

Soluciones:

1. No

2.

11-

02 = Y

11-

01 = X

3. |3A|=81; |A2|=9; |A-1|=1/3

4. "1; =0 Y

010

02-1

1-3-2

= A 1-

6. a = -1/3 Y S.C.I. {x=, y=-3, z=2-6} a = 1 Y S.C.I. {x=y=1-/2; z=} a-1/3 y a1 Y S.C.D. {x=0; y=0; z=2}

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ALGEBRA

1.- Aplicando las propiedades de los determinantes, comprueba que el siguiente determinantees nulo.

1+c1+b1+a

222

2-c2-b2-a

2.- Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius.Discutir y resolver cuando sea posible segn los valores de a:

0=az+y-3x

2=z+y+x

2=az+y+ax

3.- Hallar X e Y, soluciones del sistema matricial:

10

1-1- = Y - X

1-3

2-4 = Y + 2X

4.- Rango de una matriz. Calcular el rango de la matriz A y calcular su inversa.

423

111

201

= A

Soluciones:

2. a=1 6 S.C.I. {x=; y=1+; z=1-2} a=3 6 S.I. a1 y a3 S.C.D. {x=-2/(a-3), y=2, z=2/(a-3)}

3.

1-1

02 = Y

01

1-1 = X

4. r(A) = 2 Y A-1

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ALGEBRA

1.- Teorema de Rouch-Frobenius

2.- Para qu valor de tiene inversa la matriz A. Hallar A-1 con =1.

113

1-2

11

= A l

l

3.- Discutir y resolver en el caso compatible determinado.

a

a

aa

=z-3y+2x

0=z-y

=z+y+2x

4.- Enunciar cuatro propiedades de los determinantes.Demostrar:

z2yy+x

122

c2bb+a

=

2-z2-y2-x

111

2c2b2a

Soluciones:

2. 0 y 7

61

-31

-65

31

-31

32

210

21

-

= A 1-

3. =1 Y S.C.I. =-2 Y S.C.I. -2 y 1 Y S.C.D. x=/2, y=0, z=0

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ALGEBRA

1. Halla el valor del determinante:

1-031-

21-20

01-21

011-1

2. Rango de una matriz.Calcular el rango de la matriz A segn los valores de :

4-23

102

1-11

= A

a

a

a

3. Discutir y resolver en caso compatible indeterminado el sistema:

1=az+y+2x

1+a=az+4y+2x

1-= 2y+2)x-(a _

4. Resuelve la ecuacin matricial:

73

20 =

11

21

wz

yx

10

02

Soluciones:

1. 15

2. = 1 Y r(A) = 2 1 Y r(A) = 3

3. a = 0 Y S.C.I. {x=1/2; y=0; z=} a = 2 Y S.I. a 0 y a2 Y S.C.D.

4.

1-4

1-1

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ALGEBRA

1.- Encontrar b para que la matriz tenga rango 1.

4-64

b32

23-b

2.- Resolver la ecuacin A.X=B-C.X, siendo:

001

121

21-0

= C

200

045

1-30

= B

1-10

111

01-1

= A

3.- Haciendo uso de las propiedades de los determinantes, calcular el determinante:

1-1-1-1-

1-1-a1

1-a11

a111

4.- Discutir segn los valores de a, el sistema. Resolver para a=-1.

1-=2z+2y-ax

1=2z+2y+x-

2=1)z+(a+y+x

5.- Pon un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones con 2 incgnitas que:a) No tenga solucinb) Tenga infinitas solucionesc) Tenga solucin nica

Soluciones:

1. b=-2

2.

1-11

001

110

= X

3. -(a-1)3

4. a=3 6 S.I.a=-2 6 S.I.a3 y a-2 6 S.C.D.

a=-1 Y {x=3/2, y=1/2, z=3/4}

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ALGEBRA

TEORA

1.- Inversa de una matriz. Definicin y propiedades.

2.- Responde de forma razonada a las siguientes cuestiones:a) Todas las matrices cuadradas admiten inversa? Hay alguna matriz rectangular que tenga inversa?b) Es posible encontrar un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas que tenga solucin nica?

y de tres ecuaciones con dos incgnitas?c) De las siguientes igualdades:

a)

cc1

bb0

aa1

+

ac1

cb0

ba1

=

c+ac1

c+bb0

b+aa1

b)

cc1

bb0

aa1

2- =

cc1

bb0

aa1

c)

bc1

ab0

ca1

.

cc1

bb0

aa1

=

cbc1

bab0

aca1

di cules son ciertas y cules falsas.

PRCTICA

3.- Halla la matriz X tal que AX+B = X siendo

88

22 = B

2-1

1-2 = A

(Si te sirve de algo, recuerda que X = IX)

4.- Discute, segn los valores del parmetro , y resulvelo cuando sea compatible e indeterminado elsiguiente sistema:

0=z+y+3x

0=z-y+x-

0=1)z+(+y-x

a

a

a

Soluciones:

2. a) No, no; b) No, s; c) son certas a) y b)

3.

33

11 = X

4.-

S.C.D.3- y 1/2

S.C.I.1/2 =

S.C.I.3- =

aa

a

a

=1/2 {x=; y=-2; z=-2}=-3 {x=, y=-3/5, z=4/5}

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ALGEBRA

1.- Resuelve la ecuacin matricial AX + B = C siendo:

32

1-2

43

= C

13

01

3-1-

= B

102-

01-1

311

= A

2.- Discute el siguiente sistema:

k=3z+y+x

2=3z-ky+x

1=3z+y+kx

3.- Si 3 =

zyx

cba

111

halla:

0z-yz-x

cba

222

c)

zyz-x

2c2b2c-2a

110

c)

111

xyz

abc

b)

z/2y/2x/2

5+c5+b5+a

111

a)

4.- Si |A| = 2 y |2A| = 16, cul es el orden de A?

5.- Sabiendo que A, B 0 M4H4, |A| = 3 y |B| = 2 calcula:a) |A-1|; b) |Bt.A|; c) |(A.B-1)t|

6.- Define: matriz inversa, matriz simtrica, matriz traspuesta, matriz unidad, matriz triangular.Enuncia el teorema de Rouche-Frobenius.

Soluciones:

1.

21

10

01

= X

2. k=1 Y S.C.I. k=-1 Y S.I. k1 Y S.C.D.3. a) 3/2; b) -3; c) 6; d) 64. Orden 35. a) 1/3; b) 6; c) 3/2

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ALGEBRA

1.- a) Enuncia la regla de Cramer. Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius.

b) Dado el sistema de ecuaciones1=z+2y-2x

0=z+y-3x

b1) Aade, si es posible, una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea incompatible.b2) Aade, si es posible, una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea compatible

determinado.b3) Aade, si es posible, una ecuacin lineal de manera que el sistema resultante sea compatible

indeterminado.b4) Escribe, si es posible, un sistema de 3 ecuaciones lineales con dos incgnitas compatible

determinado.

2.- a) Resuelve la ecuacin matricial XA-B=2X, siendo:

1-1

11-

20

= B 30

13 = A

3.- Discutir y resolver segn los valores de a el sistema:

1=z+y+x

3=az+2y+3x

1=z+y+ax

4.- a) Calcula, segn los valores de a, el rango de la matriz:

aa11

1001

11aa

= A

b) Si A es una matriz 3x3 tal que rg(A) = 3 razona cul es el rango de A2, A3...An

5.- Si 2 =

ihg

fed

cba

Calcula razonadamente

de-3f

g-h-3i

2a2b-6c

y

e-iff+c

e-hee+b

d-gbd+a

Soluciones:

2.

2-1

21-

20

= X

3. a=1 Y S.C.I. x=1+, y=-2, z=a=2 Y S.I.a1 y a2 Y S.C.D. x=0, y=(a-3)/(a-2), z=1/(a-2)4. a) a="1 Y r(A)=2; a"1 Y r(A)=3b) r(A2) = r(A3) = ... = r(An) = 35. -12, 2