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  • 5/21/2018 Ejercicios de Amortizacion

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    DOMINGO GONZLEZ GARCA

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    EJERCICIOS DE REPASO DE PRSTAMOS.

    http:://www.matematicas-financieras.com

    1. Concepto de prstamo

    El prstamo es una operacin financiera de prestacin nica y contraprestacin mltiple. Enella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra (llamadaprestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los)vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capital prestado)en los vencimientos sealados en el contrato.

    La operacin de amortizacin consiste en distribuir con periodicidad la devolucin delprincipal (C0), junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida delprstamo. Los pagos peridicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad dereembolsar, extinguir o amortizar el capital inicial. Esto justifica el nombre de operacin deamortizacin y el de trminos amortizativos que suele asignarse a estos pagos.

    1.1. PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIN DE PRSTAMOS

    Segn la finalidad a la que se destinen los trminos amortizativos es posible admitir diversasinterpretaciones de amortizacin, es decir, diferentes formas de llevar a cabo la amortizacin(devolucin) del capital inicial: es lo que se denomina sistema amortizativo o sistema deamortizacin del prstamo.

    a) Prstamos amortizables mediante reembolso nico del principal al final de la operacin.

    Sin pago peridico de intereses: prstamo simple. Con pago peridico de intereses: sistema americano.

    b) Prstamos reembolsables mediante una serie de pagos peridicos que constituyan renta,esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas de amortizacin) convencimientos peridicos, que se pagan conjuntamente con los intereses, formando lostrminos amortizativos.

    Segn la cuanta de los trminos amortizativos, podemos distinguir los siguientes casos:

    Trminos amortizativos constantes. Trminos amortizativos variables:

    Cuota de amortizacin constante.Trminos amortizativos variables en progresin geomtrica.Trminos amortizativos variables en progresin aritmtica.

    Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra, seanfijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada perodo.

    Estudiando la evolucin de la deuda pendiente se observa que sta crece en el interior decada uno de los perodos en los que se divide la operacin, para disminuir al final de losmismos como consecuencia de la entrega del trmino amortizativo.

    Se producen, por tanto, dos movimientos de signo contrario en cada uno de los perodos:uno de crecimiento por efecto de los intereses generados y otro de disminucin por el pagodel trmino amortizativo. La suma de estos dos movimientos nos da la variacin total de ladeuda pendiente al final del perodo. Esta variacin supondr una disminucin de la deudacaso de ser el trmino amortizativo mayor que los intereses generados en el perodo ysupondr un incremento de la deuda en el supuesto contrario, es decir, la cuota de inters

    mayor que el trmino amortizativo. En el caso concreto de que la cuanta del trminoamortizativo coincida con la cuota de inters no habr variacin de la deuda.

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    El grfico de evolucin de la deuda pendiente de un prstamo y los pagos realizados durantetres perodos ser el siguiente:

    1.2. NOMENCLATURA PARA PRSTAMOS DE AMORTIZACINFRACCIONADA

    La terminologa utilizada ser la siguiente:

    C0: Importe del prstamo, cantidad financiada.n: Nmero de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene contrada la deuda.

    i: Tipo de inters efectivo convenido (coste de la financiacin).ak: Trmino amortizativo al final del perodo k, pago total realizado por el prestatario en cadavencimiento (mensual, trimestral, semestral, ...).

    ak= Ik+ Ak

    Ik: Cuota de inters del perodo k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por elperodo correspondiente.Ak: Cuota de amortizacin del perodo k, cantidad destinada a devolver deuda en cadavencimiento.Ck: Capital pendiente de amortizacin en el momento k. Tambin se llama capital vivo, saldode la operacin o reserva matemtica.mk: Capital total amortizado al final del perodo k.

    1.3. GENERALIDADES

    1. Los intereses de cada perodo se calculan sobre el capital vivo a principio del perodo.

    Ik= Ck-1x i

    2. El parmetro que amortiza directamente el capital es la cuota de amortizacin (A), eindirectamente el trmino amortizativo.3. El capital a amortizar siempre es la suma aritmtica de todas las cuotas de amortizacin.

    C0= A1+ A2+ + An

    4. El capital vivo (pendiente) es la suma aritmtica de las cuotas de amortizacin que

    queden por amortizar.

    Ck= Ak+1+ Ak+2+ + An

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    Aunque tambin se obtiene por la diferencia entre el importe del prstamo y el totalamortizado hasta ese momento.

    Ck= C0(A1+ A1+ + Ak) = C0mk

    Sin embargo, y a pesar de la sencillez de los sistemas anteriormente comentados, lo msfrecuente consiste en fraccionar la devolucin de la deuda destinando los trminosamortizativos simultneamente a pagar los intereses devengados en el perodo y cancelarparte de la deuda pendiente.

    En estos casos resulta til recoger en un cuadro el proceso de amortizacin del capital,reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales variables en losdiversos vencimientos de la operacin.

    La denominacin ser la de cuadro de amortizacin, y en l vamos a reflejar las cuantas delos trminos amortizativos (ak), las cuotas de intereses (Ik) y las cuotas de amortizacin (Ak)correspondientes a cada uno de los perodos, as como las cuantas del capital vivo (Ck) y del

    capital amortizado (mk) referidos a cada perodo de la operacin.

    El cuadro resultante es:

    PerodosTrmino

    amortizativointers

    Cuota deCuota de

    amortizacinTotal

    amortizadoCapital

    vivo

    0

    1

    2

    n

    a1

    a2

    I1= C0x i1

    I2= C1x i2

    A1= a1I1

    A2= a2I2

    m1= A1

    m2 = A1 + A2

    C0

    C1= C0

    A1

    C2= C0

    A1A2

    EJEMPLO 1

    Construir el cuadro de amortizacin del siguiente prstamo:

    Importe: 30.000 euros. Devolucin del principal en tres pagos anuales vencidos de igual cuanta. Tipo de inters anual del 10%.

    Grficamente, el esquema de pagos de la operacin es:

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    Cuadro de amortizacin:

    (5) (4) (1) (2) (3)

    AosTrmino

    amortizativoCuota deinters

    Cuota deamortizacin

    Totalamortizado

    Capitalvivo

    0

    1

    2

    3

    13.000,00

    12.000,00

    11.000,00

    3.000,00

    2.000,00

    1.000,00

    10.000,00

    10.000,00

    10.000,00

    10.000,00

    20.000,00

    30.000,00

    30.000,00

    20.000,00

    10.000,00

    Total 36.000,00 6.000,00 30.000,00

    Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro:

    (1) Se calcula la cuota de amortizacin a travs del fraccionamiento en pagos iguales delimporte del prstamo.(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacinpracticadas hasta la fecha.(3) La deuda pendiente se obtendr de restar al capital a principios de cada perodo la cuotade amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo (C0) se le resta eltotal amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de inters se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada perodo

    (3).(5) El trmino amortizativo de cada perodo ser la suma de las columnas (1) y (4)

    2. Reembolso nico sin pago peridico de intereses prstamosimpleSe trata de diferir la devolucin del capital y de los intereses devengados hasta el final de laoperacin, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

    Grficamente:

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    Para el prestatario esta operacin solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada(cobro) en el origen, por el importe del prstamo, y otro al final, de salida (pago), por elimporte del prstamo ms los intereses devengados y acumulados.

    La acumulacin de intereses se puede realizar tanto en rgimen de capitalizacin simplecomo en compuesta.

    EJEMPLO 2

    Se solicita el siguiente prstamo simple:

    Capital prestado: 100.000 euros. Duracin: 3 aos. Inters del 12% anual.

    Se pide:

    Determinar el capital a devolver.

    3. Reembolso nico con pago peridico de intereses prstamoamericanoSe trata de diferir la devolucin del capital y de los intereses devengados hasta el final de laoperacin, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

    Grficamente:

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    Para el prestatario esta operacin solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada(cobro) en el origen, por el importe del prstamo, y otro al final, de salida (pago), por elimporte del prstamo ms los intereses devengados y acumulados.

    La acumulacin de intereses se puede realizar tanto en rgimen de capitalizacin simplecomo en compuesta.

    EJEMPLO 2

    Se solicita el siguiente prstamo simple:

    Capital prestado: 100.000 euros. Duracin: 3 aos. Inters del 12% anual.

    Se pide:

    Determinar el capital a devolver.

    4. Amortizacin con trminos amortizativos constantes mtodofrancs

    Este sistema de amortizacin se caracteriza porque:

    Los trminos amortizativos permanecen constantes, y El tanto de valoracin permanece constante.

    ambos durante toda la vida del prstamo.

    De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidaddestinada a amortizacin muy pequea. Esta proporcin va cambiando a medida que eltiempo va transcurriendo.

    Grficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el prestatario el prstamo esel siguiente:

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    Donde C0representa el importe del prstamo, n el nmero de pagos en los que se amortizael prstamo, a el trmino amortizativo e i el tipo de inters de la operacin.

    4.1. PASOS A SEGUIR

    Se trata de ver los clculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortizacin delprstamo, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (trmino amortizativo) y sudescomposicin en cuota de amortizacin (Ak) y cuota de inters (Ik), as como otros datoscomo capitales vivos en cada momento (Ck) sobre los que calcular los intereses y el totalamortizado (mk).

    4.1.1. Clculo del trmino amortizativo (a)

    Los pagos constantes que se realizan durante la vida del prstamo incorporan, en parte elcoste del aplazamiento (cuota de inters), en parte la devolucin de una porcin de la deuda(cuota de amortizacin). Para eliminar los intereses bastara con actualizar los trminos

    amortizativos a la tasa de inters del prstamo, con lo cual slo quedaran las cuotas deprincipal, que sumadas coinciden con el importe del prstamo.

    Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del prstamo yla renta formada por los trminos amortizativos:

    de donde se despeja el trmino:

    4.1.2. Clculo de las cuotas de amortizacin: ley de recurrencia

    4.1.2.1. 1. posibilidad: a travs de la estructura del trmino amortizativo

    Una vez calculado el trmino amortizativo, se cumple lo siguiente:

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    Perodo 1: a = I1+ A1= C0x i + A1, de donde se despeja A1(ya que lo dems se conoce).Perodo 2: a = I2+ A2= C1x i + A2= (C0 A1) x i + A2, y despejamos A2.Perodo 3: a = I3+ A3= C2x i + A3= (C1A2) x i + A3, y despejamos A3.

    y as se continuara hasta calcular el resto de cuotas de amortizacin.

    4.1.2.2. 2. posibilidad: a travs de la ley de recurrencia que siguen las

    cuotas de amortizacin

    Al ser constante el trmino amortizativo las cuotas de amortizacin necesariamente tendrnque ir creciendo, mientras que las cuotas de intereses decrecern (porque se van calculandosobre capitales vivos cada vez menores). Y adems, lo hacen siguiendo una ley matemtica(ley de recurrencia).

    La ley de recurrencia es la relacin en la que se encuentran dos trminos consecutivos, eneste caso, las cuotas de amortizacin y para buscarla se relacionan por diferencias lostrminos amortizativos de dos perodos consecutivos cualesquiera, as:

    Perodo k: a = Ik+ Ak= Ck-1x i + AkPerodo k+1: a = Ik+1+ Ak+1= Ckx i + Ak+1

    ------------------------------------------

    a a = (Ck-1Ck) x i + AkAk+1

    siendo Ck-1Ck= Ak, queda:

    0 = Akx i + AkAk+1

    de donde se obtiene:

    Ak+1= Akx (1 + i)

    Al aplicar esta ley para cualesquiera dos perodos consecutivos, se observa que varansiguiendo una progresin geomtrica de razn 1 + i , por tanto, cualquier cuota se puedecalcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carctergenrico, se pondrn en funcin de la primera que es la ms fcil de obtener:

    Ak+1= A1x (1 + i)k

    Es por esto, el aumento de las cuotas de amortizacin con el transcurso del tiempo, por loque a este sistema se le conoce como mtodo progresivo.

    4.1.3. Clculo de la primera cuota de amortizacin (A1)

    Una vez calculada la primera cuota, todas las dems se podrn obtener aplicando la ley de

    recurrencia anterior. El clculo de la primera cuota de amortizacin se puede realizar de dosformas posibles:

    4.1.3.1. 1. posibilidad: a travs de la estructura del primer trmino

    amortizativo

    Perodo 1: a = I1+ A1= C0x i + A1---> A1= a C0x i

    4.1.3.2. 2. posibilidad: por la definicin de capital prestado

    En todo prstamo se cumple que la suma aritmtica de todas las cuotas de amortizacin esel importe del prstamo:

    A1+ A2+ A3+ + An= C0

    Adems en este sistema amortizativo todas las cuotas de amortizacin se pueden poner enfuncin de la primera de ellas, como se ha visto anteriormente:

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    A1+ A1(1 + i) + A1(1 + i)2+ + A1(1 + i)

    n-1= C0

    Simplificando la expresin, sacando factor comn en el primer miembro A1:

    A1x [1 + (1 + i) + (1 + i)2+ + (1 + i)n-1] = C0

    donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de ntrminos (el nmero de cuotas de amortizacin) al tanto del prstamo, por tanto:

    de donde:

    4.1.4. Clculo del total amortizado despus de k perodos (mk)

    Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puedehacer de dos formas posibles:

    Por diferencia, entre el importe del prstamo y lo que an se debe:

    mk= C0Ck

    Por sumas de cuotas de amortizacin practicadas hasta la fecha:

    mk= A1+ A2+ + Ak

    Adems todas las cuotas de amortizacin se pueden poner en funcin de la primera de ellas:

    mk= A1+ A1(1 + i) + A1(1 + i)2+ + A1(1 + i)

    k-1

    Simplificando la expresin:

    mk= A1x [1 + (1 + i) + (1 + i)2+ + (1 + i)k-1]

    donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de ktrminos al tanto del prstamo, por tanto:

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    4.1.5. Clculo del capital vivo a principio del perodo k+1 (Ck)

    4.1.5.1. 1. posibilidad: a travs de las cuotas de amortizacin

    Bien considerando las cuotas de amortizacin ya satisfechas (mtodo retrospectivo):

    Bien considerando las cuotas de amortizacin pendientes (mtodo prospectivo):

    4.1.5.2. 2. posibilidad: a travs de trminos amortizativos

    Al trabajar con los trminos amortizativos se debern hacer en trminos financieros (nobastar con sumar y restar aritmticamente, como en el caso anterior) puesto que lostrminos incorporan intereses y principal; habr que mover financieramente las cantidadescorrespondientes.

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    4.1.5.3. 1. posibilidad: mtodo retrospectivo, a travs de los trminos

    amortizativos pasados

    En k se debe cumplir:

    lo que se debe en k = [lo recibido lo pagado]k

    Por tanto en k:

    4.1.5.4. 2. posibilidad: mtodo prospectivo, a travs de los trminosamortizativos futuros

    En k se debe cumplir:

    lo que supondra la cancelacin total en k = [cantidades pendientes de pagar]k

    Por tanto en k:

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    4.1.6. Clculo de la cuota de inters del perodo k+1 (Ik+1)

    Los intereses de cualquier perodo se calcularn a partir de la deuda pendiente a principiosde ese perodo, al tanto efectivo vigente durante el mismo.

    Ik+1= Ckx i

    EJEMPLO 4

    Construir el cuadro de amortizacin del siguiente prstamo:

    Importe: 100.000 euros. Duracin: 3 aos. Tipo de inters: 10% anual.

    Trminos amortizativos anuales constantes.

    (1) (2) (3) (4) (5)

    AosTrmino

    amortizativoCuota deinters

    Cuota deamortizacin

    Totalamortizado

    Capitalvivo

    0

    1

    2

    3

    40.211,48

    40.211,48

    40.211,48

    10.000,00

    6.978,85

    3.655,59

    30.211,48

    33.232,63

    36.555,89

    30.211,48

    63.444,11

    100.000,00

    100.000,00

    69.788,52

    36.555,89

    Total 120.634,44 20.634,44 100.000,00

    Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro:

    (1) Se calcula el importe del pago total a realizar (trmino amortizativo) a travs de lafrmula anterior.

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    (2) La cuota de inters se calcula sobre el capital pendiente a principios del perodocorrespondiente (5) y se pagan al final del perodo anterior.(3) La cantidad destinada a amortizar ser la diferencia entre el total pagado en el perodo(1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacinpracticadas hasta la fecha.(5) La deuda pendiente se obtendr de restar al capital vivo a principios de cada perodo lacuota de amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo se le resta eltotal amortizado (4) ya acumulado.

    5. Mtodo de cuota de amortizacin constante mtodo lineal(Alemn)En este tipo de prstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los perodos lamisma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortizacin (Ak) se mantiene constante

    durante todo el prstamo.

    Considerando que el importe del prstamo es C0, con un tipo de inters constante i, yamortizable en n perodos, en este caso debe cumplirse que:

    A1= A2= A3= = An= A

    5.1. PASOS A SEGUIR

    En este caso, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas deamortizacin, fciles de calcular, a continuacin los intereses y, finalmente, los trminosamortizativos.

    5.1.1. Clculo de la cuota de amortizacin (A)Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del prstamo y que,adems, stas se mantienen constantes se debe cumplir:

    C0= A1+ A2+ A3+ + An= A x n

    de donde se obtiene:

    C0A = --------

    n

    5.1.2. Clculo del total amortizado despus de k perodos (mk)

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    Si se conoce lo que se amortiza en cada momento, el total amortizado hasta una fecha serla suma aritmtica de las cuotas ya practicadas.

    mk= A1+ A2+ + Ak= A x k

    5.1.3. Clculo del capital vivo a principios del perodo k+1 (Ck)

    Se realizar a travs de las cuotas de amortizacin (pasadas o futuras).

    5.1.3.1. 1. posibilidad: por el mtodo retrospectivo, el capital pendiente

    ser el importe del prstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de

    amortizacin ya practicadas

    Ck= C0mk= C0[A + A + + A] = C0A x k

    5.1.3.2. 2. posibilidad: por el mtodo prospectivo, el capital pendiente

    ser la suma aritmtica de las cuotas de amortizacin an pendientes de

    realizar

    Ck= Ak+1+ Ak+2+ + An= (n k) x A

    5.1.4. Clculo de cuota de inters del perodo k+1 (Ik+1)

    Los intereses de cualquier perodo se calcularn a partir de la deuda pendiente a principiosde ese perodo, al tanto efectivo vigente durante el mismo.

    Ik+1= Ckx i

    5.1.5. Clculo de los trminos amortizativos: ley de recurrencia (ak)

    Puesto que los trminos amortizativos son la suma de la cuota de inters (decrecientesporque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortizacin (en estecaso constantes), los trminos variarn como lo hacen las cuotas de inters y seguirn unaley matemtica.

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    5.1.5.1. 1. posibilidad: calcular el importe del trmino amortizativo a

    travs de su propia estructura, calculando la cuota de inters y aadiendo

    la cuota de amortizacin constante ya conocida

    Perodo 1: a1= I1+ A = C0x i + APerodo 2: a2= I2+ A = C1x i + A = (C0A) x i + A...

    5.1.5.2. 2. posibilidad: consistir en calcular el primer trmino y obtener

    todos a travs de la ley de recurrencia que stos siguen y que se obtiene al

    relacionar, por diferencias, dos trminos amortizativos consecutivos

    cualesquiera

    Perodo k: ak= Ik+ A = Ck-1x i + APerodo k+1: ak+1= Ik+1+ A = Ckx i + A-------------------------------------------------------

    akak+1= (Ck-1Ck) x i

    siendo: Ck-1Ck= A, queda:

    akak+1= A x i

    de donde se obtiene:

    ak+1= akA x i

    lo que indica que cualquier trmino amortizativo es el anterior menos una cuanta constante,es decir, los trminos varan en progresin aritmtica de razn (A x i), por lo que todos lostrminos se pueden calcular a partir del primero de ellos:

    ak+1= a1k x A x i

    EJEMPLO 5

    Construir el cuadro de amortizacin de un prstamo de 300.000 euros, al 10% de intersanual, amortizable en 3 aos, con cuotas de amortizacin anuales constantes.

    (5) (4) (1) (2) (3)

    AosTrmino

    amortizativoCuota deinters

    Cuota deamortizacin

    Totalamortizado

    Capitalvivo

    0

    1

    2

    3

    130.000,00

    120.000,00

    110.000,00

    30.000,00

    20.000,00

    10.000,00

    100.000,00

    100.000,00

    100.000,00

    100.000,00

    200.000,00

    300.000,00

    300.000,00

    200.000,00

    100.000,00

    Total 360.000,00 60.000,00 300.000,00

  • 5/21/2018 Ejercicios de Amortizacion

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    DOMINGO GONZLEZ GARCA

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    Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro:

    (1)Se calcula la cuota de amortizacin a travs del fraccionamiento del importe delprstamo en pagos iguales.

    300.000A = ----------- = 100.000

    3

    (2)Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacinpracticadas hasta la fecha.(3)La deuda pendiente se obtendr de restar al capital pendiente a principios de cadaperodo la cuota de amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo se leresta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de inters se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada perodo(3)y se pagan al final del mismo.

    (5)El trmino amortizativo de cada perodo ser la suma de las columnas (1)y (4).