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Ecuaciones Diferenciales Dr. Rogerio

Oscilador armónico simple

Péndulo simple

Movimiento senoidal,

2

( ) cos( )

cos( ) cos cos t sin sin

cos t sin

( ) cos( )

(t) sin( t )

a(t) cos( )

z t A t

A t t

a b t

z t A t

v A

A t

 

       

    

  

 

    

    

  

Cuando la fuerza de restitucion es lineal

Condiciones iniciales

2

( ) cos( )

cos( ) cos cos t sin sin

cos t sin

( ) cos( )

(t) sin( t )

a(t) cos( )

z t A t

A t t

a b t

z t A t

v A

A t

 

       

    

  

 

    

    

  

( ) cos( )

para 0 esta en A e implica 0

(t) sin( t ) 0 en 0

si 0

( ) cos( )

(0) A

correcto

z t A t

t v

como

v A t

solo

z t A t

ademas

z

 

   



   

     

 



Condiciones iniciales

2

( ) cos( )

(t) sin( t )

a(t) cos( )

z t A t

v A

A t

    

  

    

   0

para 0 esta en 0 y se golpea dandole 0

(0) cos( )

cos( )

si 2

que depende si (0) es positiva o negativa

con el sistema de referencia!!!!

suponga que es positiva la

t v

z A t

A

solo

v v

cuidado

  



   



 



0

velocidad hacia arriba

(0) sin( ) 0 solo si 2

( ) cos( / 2) Asin( t)

(t) A cos( t)

(0) 0 correcto

v A

z t A t

asi

v

v v

  

  

 

    

   

  

Ejemplo: Amortiguadores de un carro

Cuando una familia de 4 personas con una masa total de 200 kg se sube a su automóvil de 1 200 kg, los resortes se comprimen 3.0 cm ¿Cuál es la constante de los resortes suponiendo que actúan como un solo resorte?

¿Cuánto mas bajara el automóvil si se carga con 300 kg?

200 9.8 6.5 4 65000

3.0 2

F X k E

x E    



300 9.8 4.5 2 4.5

6.5 4

F X k E cm

x E     

Ejemplo: Amortiguadores de un carro

¿Cuál es la frecuencia de vibración del automóvil después De golpear un tope? Suponga que los amortiguadores del carro están en mal estado por lo que el carro realmente oscila hacia arriba y hacia abajo.

 

 

 

6.5 4 6.814 / s

1400

2

1.084 1/

1/ 0.92

k E rad

m notese

f

f s Hz

ademas

T f s



 

  



 

 

Ejemplo: cono de una bocina

El cono de una bocina está tocando un Do central del piano. La amplitud en el centro del cono es de 1.5E-4 m ¿Cuál es la velocidad máxima y la aceleración máxima?

Ejemplo: cono de una bocina C central del piano es de 262 Hz El cono se mueve como un oscilador armónico La amplitude máxima ocurre en t=0

4

4

2 2

cos( t)

t 0, 1.5 10

2 6.28 262 1650

1.5 10 cos(1650 t)

como

sin( t)

maximo ocurre en 0.25m/s

y la aceleracion es maxima cuando

410 /

es mas que 40g

o

x A

x X

como f X

x X

v A

el

a A m s

que



 

 









    



 

  

Ejemplo: cono de una bocina C central del piano es de 262 Hz ¿Cuál es la posición del cono en 1ms?

¿Es mucho o poco?

4

4

4 3 5

cos( t)

t 0, 1.5 10

2 6.28 262 1650

1.5 10 cos(1650 t)

t=1ms

1.5 10 cos(1650 10 ) 1.2 10

o

x A

x X

como f X

x X

en

x X X X m



 





  



    



  

1/ 0.0038 3.8

milisegundo esta a menos de 1/4 de su carrera total

T f s ms

al

  

Circuito LC

2

2

2

2

0

porque disminuye la corriente

0

ecuación diferencial análoga

al oscilador harmónico

0

cos( )

1

Q dI L

C dt pero

dQ I

dt

d Q Q L

dt C

d x m kx

dt solución

Q Q t

con

LC

 





 



 

 

 



2

2 que significara ?

d Q

dt

2

2

cambio de la corriente!!!

d Q dI

dtdt 

GRAFICAAAA????

Circuito LC

0 0 0

0

2

2

2 2

2 2

porque disminuye la corriente

1 0

1 0

ecuación diferencial análoga

al oscilador harmónico

0 0 co

Q t t

t

Q dI L

C dt pero

dQ I

dt

dQ Idt dQ Idt Q Idt

dI L Idt dt C

derivando

d I L I dt C

d x d x k m kx x

dt dt m



 

        

 

 

    

  



2

0

2

n

cos( )

1

k

m solución

I I t

con

LC



 





 



Circuito LC 2

2

2 2 2

2 2

0

2

1 0

ecuación diferencial análoga

al oscilador harmónico

0 0 con

cos( )

1

d I L I dt C

d x d x k k m kx x

dt dt m m solución

I I t

con

LC



 



 

     

 



I

I

I

I

Co rr

ie nt

e

Ca m

io de

co

rr ie

nt e

Resonancia

Resonancia Forma distinta de verla

Movimiento armónico amortiguado

Movimiento armónico amortiguado

Campos Direccionales y Curvas Solucion

Ecuaciones de Segundo grado

Lo que nos está proporcionando la ecuación diferencial es una serie de curvas con

Y las condiciones iniciales nos indican una sola curva de entre todas las posbibles

Así, las diferentes pendientes definen un conjunto de curvas que además son un indicativo de la curva única solución

Y proporcionan información extra: Equilibrio