Amortizacion y Fondos de Amortizacion Con Casos de Aplicacion

AMORTIZACINDEFINICION: La amortizacin es el proceso financieromediante el cual la deuda u obligacin y los intereses que generan,se extinguen progresivamente por medios de pagos peridicos oservicios parciales, que puedan iniciarse conjuntamente con lapercepcin del efectivo recibido (flujos anticipados), alvencimiento de cada periodo de pago (flujos vencidos), o despus decierto plazo pactado originalmente (flujos diferidos). De cadapago, cuota o servicio, una parte se aplica a cubrir el intersgenerado por la deuda y el resto a disminuir el saldo insoluto. Seinfiere que si el pago parcial efectuado es tan pequeo que no puedecubrir ni siquiera el inters generado por el saldo insoluto,entonces la diferencia no cubierta es capitalizada.A partir del dasiguiente al vencimiento de cada cuota, si esta no hubiese sidoamortizada completamente, la parte no amortizada de ella, entraraen mora generando diariamente un inters de mora, independiente delinters compensatorio que genera el saldo insoluto.1. TABLA DEREEMBOLSO DE PRSTAMOS O SERVICIO DE LA DEUDASe emite una tablareferencial de reembolso, conjuntamente con el desembolso inicialdel prstamo, cuando este se otorga en partes o con su desembolsototal, llamada as porque su elaboracin supone:a) El desembolso delcrdito en una nica armada.b) La invariabilidad de la tasa de intersdurante todo el plazo del crdito.c) La cancelacin de las cuotasexactamente el da de su vencimiento.

Elementos de la tabla de reembolsos: Mayormente se adoptan 2modelos de reembolsos.MODELO 1:N fechaCuota oservicioIntersAmortizacinSaldo insolutoDeuda extinguida

MODELO 2N o fechaCuota o servicioCuota intersCuota capitalDeudaresidual

Deuda extinguida

DESCRIPCION DEL CONTENIDO DE LOS MODELOS: N fecha: Indica elnmero de la cuotao servicio, de la fecha de vencimiento.

Cuota o servicio:Es la suma de la cuota de inters y de la cuotadel capital. El servicio puede incluir la cuota total o solo lacuota capital, de acuerdo como se haya pactado el prstamo.

Cuota inters:Es el importe devengado por la aplicacin de la tasaperidica del prstamo sobre la deuda residual.

Cuota capital: Es el importe calculado de acuerdo al sistema dereembolso pactado. Al vencimiento de cada cuota disminuye la deudaresidual.

Deuda residual: Es el saldo del prstamo original que se originaen cualquier momento o circunstancia. El momento o la deudaresidual es igual al importe recibido en el prstamo.

Deuda extinguida: Es el importe acumulado de las cuotascapitales vencidas. El vencimiento de todos los servicios ser igualal importe original del prstamo.2. SISTEMAS DE REPAGO DEPRESTAMOSPara reembolsar un prstamo, formalizado mediante uncontrato con una entidad financiera y regulado por las entidadescompetentes, pueden aplicarse diversos sistemas de repago,limitados o solamente por el principio de equivalencia financierapor medio de la cual la suma de las cuotas evaluadas a valorpresente con la tasa de inters o combinacin de tasas pactadasen elcual deben ser iguales al importe del crdito original. Losprincipales sistemas de repago de prstamos son:SISTEMA DEREPAGO

MODALIDAD

Cuotas constantes (Francs) Vencidas Vencidas en periodosvariables Anticipadas Diferidas

Amortizacin constante (Alemn)

Inters constante (Ingles)

Cuotas crecientes Aritmticamente Geomtricamente PeridicamenteSuma de dgitos

Reajuste de deudas

Combinados

DESCRIPCION: Cuota constante: Calculada con el FRC, se componede la cuota de inters y la cuota capital. La primera es generadapor la deuda residual y la segunda esta constituidapor ladiferencia de la cuota constante y la cuota de inters, ya que tienepor objeto disminuir el capital adeudado. A medida que se devengacada servicio, la cuota capital experimenta un incremento geomtricode razn (1+i) cuyo importe es igual al decremento que experimentala cuota inters. Amortizacin constante:Se calculada dividiendo elimporte del prstamo original entre el nmero de servicios. Estesistema origina en cada servicio una cuota inters decrecientearitmticamente.

Inters constante:Da a conocer que al vencimiento de cadaservicio se paga solo el inters devengado por la deuda residual yen el ltimo servicio, adems del inters se amortiza el capital.Cuotas crecientes: Se incrementa de acuerdo con una leypredeterminada: progresin aritmtica, progresin geometra, seriesescaladas, etc.

Reajuste de deudas: Se realiza sobre la base de un factor deindexacin.

Sistemas combinados: Agrupa algunos de los descritosanteriormente o incluso otros sistemas.

3. CUOTAS CONSTANTES VENCIDASEn el sistema de repago por mediode cuotas constates, conocido tambin como mtodo francs, las cuotasson calculadas con el FRC. 3.1 Clculo de la cuota constante cuandoel prstamo se desembolsa en partesLos crditos aprobados por lasentidades bancarias pueden desembolsarse total o parcialmente,efectuando los respectivos abonos en la cuenta corriente delprestatario. Los principales motivos que originan los desembolsosparciales son: Cuando la entidad financiadora, previo a losdesembolsos, exige el cumplimiento de condiciones adicionales alcliente, por ejemplo: aumento del capital social, capitalizacin delas utilidades, acuerdo de directorio de no repartir utilidadesdurante la vigencia del prstamo, inscripcin de la prenda industrialen los registros pblicos, etc.

En financiaciones de proyectos, cuando debe cumplirse uncalendario de inversiones previamente establecidos, conocido comoplan de inversin.

Falta de liquidez de la entidad financiadora,etc.Un desembolsoparcial origina una variedad de clculos alternativos deequivalencia financiera con el objeto de cumplir con la tasaefectiva vigente para las operaciones activas. 3.2 Clculo de lacuota constante cuando existen variaciones de tasaCuando un prstamoha sido desembolsado en una sola armada o en partes y que adems sedan variaciones de tasas antes del vencimiento de cada cuota, seutilizara el procedimiento descrito anteriormente.3.3 Pagos enfechas anteriores al vencimiento de la cuota fijaCuando un clienteefecta un pago anticipndose a la fecha de vencimiento de la cuotaestablecida en la tabla de reembolso, los procedimientos deequivalencia financiera a adoptar pueden efectuarse:A. Calculandolos intereses del principal por vencer hasta la fecha del pago dela cuota y en esa fecha adicionar la cuota capital por vencerestablecida en la tabla de reembolso.

PagoVcto.R

B. Descontando la cuota desde la fecha de vencimiento original ala fecha de pago, sin alterar la fecha de vencimiento de todaoperacin.

PagoVcto.R

3.4 Pagos cuyos importes son mayores a la cuota fijaCuando uncliente paga un importe mayor al de su cuota, la diferencia de noexistir mora, deber aplicarse a disminuir el importe del principalpor vencer, con lo cual los intereses a rebatir de la siguientecuota experimentaran una disminucin. 3.5 Clculo de la cuota capitalen cualquier cuota constante

La amortizacin o cuota capital es la parte de la cuota constanteque se aplica a disminuir el importe de la deuda contrada.

La cuota capital puede ser calculada en funcin de:

a) El prstamob) El importe de la primera cuotac) La cuotaconstante

3.5.1 Cuota capital en funcin del prstamo

La formula () puede ser expresada en funcin del prstamoreemplazando R por su equivalente P..

3.5.2 Cuota capital en funcin de la primera cuota capital

De la formula (), para k=1 obtenemos:

(a)

Reemplazando (a) en ()

3.5.3Cuota capital en funcin de la cuota constante

En la siguiente ecuacin,donde k es siempre un entero positivoque hace referencia al periodo en el que se est calculando la cuotainters, la cuota capital y la deuda residual.

Cuota capital 1

Cuota capital 2

= R – pero

Cuota capital 1

Cuota capital 2

Analizando (a) y (b) podr notarse que si k=1 o k=2 entonces secumple:

()

Utilizando el mtodo inductivo puede demostrarse que la formulase cumple para todo k entero positivo.3.6 Clculo de la cuota intersen cualquier cuota constante

La cuota de inters de una constante puede calcularse en funcinde:

a) La renta o cuota constante.b) El importe del prstamo

3.6.1 Cuota inters en funcin de la cuota constante

R =

(

3.7 Clculo de la deuda extinguida en cualquier cuota

La deuda extinguida de una deuda que genera intereses y sereembolsa en cuotas uniformes corresponde a la sumatoria de lasamortizaciones o cuotas capitales vencidas, independientemente quehayan sido canceladas o no. La deuda extinguida no pagada ni generadiariamente el inters compensatorio pactado ms los interesesmoratorios de ley.

En cualquier momento, un prstamo que se reembolsa en cuotas esigual a la sumatoriade la deuda extinguida ms la deuda residual osaldo insoluto:

PRESTAMO=DEUDA EXTINGUIDA + DEUDA RESIDUAL

La duda extinguida en cualquier cuota, puede hallarse en funcinde:a) El prstamo Pb) La primera cuota capital c) La renta R

3.7.1 Deuda extinguida en funcin de PReemplazando en () R por suequivalente

3.7.1 Deuda extinguida en funcin de

Reemplazando las amortizaciones de cada cuota por susequivalentes en funcin de

Como el trmino entre corchetes es el FCS, tenemos:

()

3.7.2 Deuda extinguida en funcin de R

Reemplazando en ()por su equivalente R

()

3.8 Calculo de la deuda residual en cualquier fecha

En cualquier fecha la deuda residual o saldo insoluto de unprstamo que se reembolsa con cuotas constantes est constituida porla sumatoria de las cuotas capitales por devengar, excluyendo laque haya vencido en la fecha de la evaluacin (este importe no esinsoluto sino vencido).

3.8.1Deuda residual en funcin de R

La deuda residual donde K representa el nmero de cuotasdevengadas hasta la fecha de evaluacin de un prstamo que seamortiza en n cuotas constantes se calcula descontando el importede las cuotas por devengar:

Como el trmino entre corchetes es el tenemos:

3.8.2 Deuda residual en funcin de P

La deuda residual en funcin de P se puede obtener relacionando(*) y ()

(*)(

Si en ( reemplazamos R por su equivalente desarrollado en (*)tenemos:

Cuya expresin matemtica es:

3.9 Calculo para hallar n

Cuando se dispone de una determinada renta y se conoce elimporte del financiamiento requerido y su respectivo costo, puedecalcularse el nmero de cuotas constantes necesarias para reembolsarcompletamente el crdito. Si al aplicar la formula (*) se obtieneque n es un numero entero, n indicara el nmero de cuotas uniformespara reembolsar un prstamo. En caso contrario, es decir cuando n noes entero, para la obtencin del nmero de cuotas y el momento en elque se cancela la ltima cuota se utilizan diversas formulasmatemticas.

La obtencin de un n no entero implica los siguientesproblemas:

Conocer el importe de la ltima renta correspondiente al momenton. Si se decide cancelar el prstamo en el momento h o en el momentoh1, conocer el importe de la cuota en ese momento.

En el primer caso la cuota ser mayor a las anteriores y en elsegundo caso ser menor a las anteriores.

3.10 Importe de la ltima renta cuando n es no entero

El valor obtenido con la formula (*), puede resultar un nmero noentero.

En forma general, el diagrama de flujo de caja de una anualidadcon h-1 rentas uniformes iguales a R y una renta de menor importer,a pagar en el momento n, es el siguiente:

rRRRR

01h-1hn

Donde:n = nmero no entero de periodos de renta calculado con laformula (*)h = mnimo entero mayor que nh-1 = mximo entero menor quenr = renta que se debera pagar en el momento nh-1 < n < hr< R

Clculo de la renta r en el momento nEl importe de la ltima rentaen el momento n se calcula con la ecuacin que se obtiene acontinuacin:

Importe de la ultima renta r en el momento h

Si se desea cancelar el prstamo en el momento h, (con un nmeroentero de rentas redondeando n por exceso al entero superior),debemos llevar r del momento n hacia el momento h.

r0hnh-1RR1nh-1RR1h0

n es nmero no entero

Denotando r a la renta en el momento h, tenemos:

Pero r = entonces:

Importe de la ultima renta R en el momento h-1Si se deseacancelar el prstamo, en el momento h-1, con un nmero entero derentas redondeando n por defecto al entero inferior, debemos traerr del momento n hacia el momento h-1 y sumarle el pago R.

R

R

rR

10hnh-1

Traemos r del momento n al momento h-1 y le sumamos el pago Rpara obtener la renta ubicada en el momento h-1, que denotaremosR:

Pero r = Entonces: R=

3.11 Clculo para hallar la tasa de inters

Cuando un prstamo u operacin similar es otorgado para serreembolsado con un determinado nmero de cuotas constantes en unhorizonte temporal previamente establecido, pero sin indicarexpresamente la tasa de inters cargada.

EJERCICIOS DE APLICACIONEjercicio 01Elabore la tabla referencialde reembolso de un prstamo de S/. 10,000 desembolsado el 8 demarzo, el mismo que debe ser cancelado con 6 cuotas constates cada90 das aplicando una TET del 5%.Solucin: R=?P= S/. 10,000N= 6 trim.i = 0.05Entonces:

TABLA REFERENCIAL DEREEMBOLSOFechaDasnCuotaIntersAmortizacinSaldo InsolutoDeudaextinguida

Mar. 080100000.00

Jun. 069011970.175001470.178529.831470.17

Set. 049021970.17426.491543.686986.153013.85

Dic. 039031970.17349.311620.865365.294634.71

Mar. 039041970.17268.261701.913663.386336.62

Jun. 019051970.17183.1717871876.388123.62

Ago. 309061970.1793.821876.40.0010000.0

54011821.021821.0510000.0

Ejercicio 02Se solicita un prstamo de S/. 10 000 paraamortizarlo con 4 cuotas constantes de S/. 2 885.91 cada fin detrimestre. El banco Continental cobra una TET del 6%. Alvencimiento de la primera cuota la empresa abona S/. 3 500. Calculeel importe de las 3 cuotas restantes.Solucin:La tabla de reembolsooriginal es la siguiente:n

CuotasIntersAmort.Saldo

012342 885.91 2 855.91 2 855.91 2855.91600.00462.85317.46163.352 285.912 423.072 568.452 722.5610000.007 714.095 291.022 722.560.00

11 543.661 543.6610 000.00

El pago de la 1ra cuota se aplica del siguiente modo:Pago CuotaSaldo

3 500.002 885.91614.09

Saldo al final de la primera cuota7 714.09Aplicacin delsaldo(614.09)Principal al inicio de la segunda cuota7 100.00

El importe de las cuotas restantes se calcula sobre el saldoinsoluto:

R = = 2 656.18

Ejercicio 03Calcule la primera cuota capital de un prstamo a serreembolsado en 8 cuotas constantes uniformes trimestrales vencidasa una TET del 6% es de S/. 1 010.36. Calcule la cuota capital de lastima cuota.Solucin:

=?=1 010.36i= 0.06k= 7

Ejercicio 04Calcule la quinta cuota capital de un prstamo de S/.10 000 contratado a una TET del 6% amortizable en 8 cuotastrimestrales constantes vencidas.Solucin:

1 275.56 =?P=10 000i=0.06k=5n=8 trim.

Ejercicio 05Un proyecto de inversin demanda un financiamientobancario de S/. 10 000 que ser amortizado en 8 cuotas trimestralesuniformes vencidas a una TET del 6%. Cul ser el importe de la stimacuota capital?

1 433.21Solucin:

R=P. R=10 000.R=10 000 x 0.1610359426R= 1 610.36 =?P=10 000n=8trim.i=0.06k=7

Ejercicio 06Calcule la sexta cuota capital de un prstamo que sereembolsara con ocho cuotas constantes trimestrales vencidas de S/.1 610.36 y a una TET del 6%.

Solucin:

1 352.09 =?k=6n=8 trim.R=1 610.36i=0.06

Ejercicio 07Calcule la quinta cuota capital de un prstamo que sereembolsa con 8 cuotas constantes de S/. 1 610.36 cada fin detrimestre. La TET es del 6%.

1 275.56Solucin:

=?R=1 610.36n=8 trim.i=0.06k=5

Ejercicio 08Calcule la cuota constante de un prstamo que sereembolsara con ocho cuotas al final de cada trimestre con una TETdel 6%, cuya sexta cuota capital es de S/. 1,352.09.

Solucin:

0.7920936632RR = 1 610.36R=?n=8 trim.i=0.06 =1 352.09k= 6

Ejercicio 09Calcule la cuota inters de la quinta cuota de unprstamo de S/. 10 000 contratado a una TET del 6% amortizable en 8cuotas trimestrales constantes vencidas.

Solucin:

=?P=10 000i=0.06k=5n=8 trim.

Ejercicio 10Calcule el importe de la cuota inters de la stimacuota de un prstamo reembolsable en ocho cuotas constantestrimestrales vencidas de S/. 1 610.36 a una TET del 6%.

Solucin:

=?n= 8 trim.i= 0.06k= 7

Ejercicio 11Una empresa requiere un capital de $ 10 000 paraampliar su planta de procesos qumicos. El estudio de factibilidadindica que el proyecto puede generar excedentes trimestrales de $ 1500 aplicables a reembolsar el prstamo. Si el financiamiento tieneun costo efectivo trimestral del 5%. En cunto tiempo podramortizarse?

Solucin:

n = – n = – n = 8.31038622n =?P = 10 000R = 1 500i = 0.05

Ejercicio 12Calcule la deuda residual al vencimiento de lanovena cuota, de un prstamo de S/. 8 000 amortizable en 12 cuotasconstantes mensuales vencidas de S/. 803.70 con una TEM del3%.Solucin:

=?k = 9P= 8 000n=12R= 803.70i= 0.03

Ejercicio 13Calcule la deuda extinguida al final de la terceracuota en un prstamo de S/. 10 000 contratado a una TET del 6%amortizable en 8 cuotas trimestrales uniformesvencidas.Solucin:

3 216.58 =?P= 10 000i= 0.06n=8 trim.k=3

Ejercicio 14Calcular la cuota fija y prepare la tablareferencial de reembolso para un prstamo de S/. 10 000 desembolsoel 16 de agosto, reembolsable en cuatro cuotas uniformes convencimiento cada trimestre calendario (el 16 de cada trimestre), auna TET del 5%.Solucin:a) Calculo de los periodos de tiempos decada cuota.

Detalle

FechaDasAcum.n

Desembolso1 vencimiento 2 vencimiento3 vencimiento4vencimientoAgosto 16Noviembre 16Febrero 16Mayo 16Agosto16092928992

09218427336501234

b) Descuento de las cuotas de importe S/.100

FAS = + + + FAS = 3.539323029

c) Obtencin del FRC

FRC = 1/ FAS FRC = 1/3.539323029FRC = 0.2825399072

d) Calculo de la cuota fija para perodos de tiempo variables

R = P. FRCR = 10 000 x 0.2825399072R = 2 825.40

Tabla de reembolso

FechaDasnCuotasIntersAmort.

Saldo

Agosto 16Noviembre 16Febrero 16Mayo 16Agosto 16092928992

012342 825.402 825.402 825.402825.40511.39393.05259.69137.46

2 314.012 432.342 565.712 687.94

10 000.007 685.995 253.652 687.940.00

36511 301,601 301,6010 000.00

El inters de cada cuota corresponde al nmero de das de cadaperiodo de renta.Por ejemplo: La primera cuota vence a los 92 das,entonces su inters es:

I = 10 000 () = 511.39

FONDO DE AMORTIZACIN

DEFINICION:

El fondo de amortizacin es la suma de dinero que se vaacumulando con el fin de obtener un determinado monto.El fondo deamortizacin generalmente se forma invirtiendo cantidades iguales alfinal de periodos iguales; esto significa que el valor del fondo,al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidadordinaria.

Los fondos de amortizacin se establecen con el fin de pagar unadeuda que vence en una fecha futura, para la compra de equipo nuevoque sustituya al equipo depreciado u obsoleto, para los fondos dejubilacin, etc.

Los pagos peridicos hechos a un fondo de amortizacin tienen comoobjetivo la acumulacin con el fin de liquidar una deuda futura.

EJERCICIOS DE APLICACION

Ejercicio 01

La vida til de un cierto equipo industrial que acaba de seradquirido por una compaa es de 5 aos. Con el fin de reemplazarlo alfinal de este tiempo, la compaa establece un fondo de amortizacinefectuando depsitos anuales en una cuenta bancaria que paga el 9.6%anual. Si se estima que el equipo costar 42,740 dlares, halle elvalor del depsito.

Solucin:

Se trata de hallar el pago peridico de una anualidad ordinariacuyo monto ser 42,740 dlares al final de 5 aos y cuya tasa deinters es del 9.6%.

(42740)(0.096)

1.0965 – 1

A =

A = 7056.68 dlares

El fondo de amortizacin se forma invirtiendo 7,056.68 dlares alfinal de cada ao, durante 5 aos.

Una tabla de capitalizacin, llamada tambin tabla de fondo deamortizacin, muestra la forma en que se acumula el dinero, periodotras periodo, en un fondo de amortizacin.

Tabla de capitalizacin:

AoCantidad en el fondo al inicio del ao

Inters ganadoDeposito hecho al final del aoMonto al final delao

1007056.687056.68

27056.68677.447056.6814790.81

314790.811419.927056.6823267.41

423267.412233.677056.6832557.77

532557.773125.557056.6842740.00

TOTALES$ 7456.58$ 35283.40

El inters ganado al final del ao se obtiene utilizando la frmuladel inters simple, usando como capital la cantidad al inicio delao.

I = (7,056.68) (0.096) (1) = 677.44

El monto al final del ao, que es exactamente igual a la cantidaden el fondo al inicio del ao, se obtiene sumando la cantidad alinicio del ao ms el inters ganado ms el depsito hecho al final delao:

7,056.68 + 677.44 + 7,056.68 = 14,790.81

Los depsitos hechos al final del ao no ganan intereses.

La suma de la columna ‘inters ganado» ms la suma de la columna»depsito hecho al final del ao» es igual al monto o valor futuro dela anualidad:

7,456.58 + 35,283.40 = 42,739.98

Nota: La diferencia de 2 centavos se debe al redondeo de lascantidades.

Ejercicio 02

El seor Alberto desea tener $ 12,000.00 para darlos de enganchepara una casa. Si puede ahorrar $1,300.00 cada mes en un banco quele paga una tasa de inters del 2.24% mensual, cunto tiempo setardar en acumular los $ 12,000.00? constryase la tabla decapitalizacin.

Solucin:

(1.0224)n 1

0.0224

12000 = 1300

0.2067922308 = (1.0224)n 1

(1.0224)n=1.2067922308

log 1.2067692308

log 0.0224

n =

n = 8.484106 meses

Por lo tanto el seor Alberto tendr que hacer 8 depsitosmensuales de $ 1,300.00 ms un noveno depsito por una cantidad menora $1,300.00.

MesCantidad en el fondo al inicio del mes

Inters ganadoDeposito hecho al final del mesMonto al final delmes

10013001300

2130029.1213002629.12

32629.1258.8913003988.81

43988.8189.3313005377.34

55377.34120.4513006797.80

66797.80152.2713008250.07

78250.07184.8013009734.87

89734.87218.06130011252.93

911252.93252.0749512000

Por lo tanto el noveno depsito ser por $ 495.00

CONCLUSIONES

Por medio del trabajo se puede evaluar claramente la amortizaciny el fondo de amortizacin, con los ejercicios de aplicacin quecomplementan para un mejor entendimiento sobre los temas.

La amortizacin, significa saldar gradualmente una deuda pormedio de una serie de pagos que generalmente son iguales y que serealizan tambin a intervalos iguales, ya que se debe pagar unacantidad al valor actual.

El fondo de amortizacin es la inversa de la amortizacin, ya queuna cantidad o deuda que se debe pagar en el futuro, para lo cualse acumulan los pagos peridicos con el objetivo de tener en esafecha futura cantidad necesaria.

Tanto la amortizacin y los fondos de amortizacin de deudas, seutilizan con el fin de pagar una obligacin.

BIBLIOGRAFIA

Navarro Eliseo; M. Nave Juan, Fundamentos de la matemticafinanciera, Editorial Antoni Bosch (2001).

Palacios Hugo, fundamentos dela matemtica financiera, FondoEditorial (Pontificia Universidad Catlica del Per)-2006.

Villalobos Jos, Matemticas Financieras (segunda edicin),Editorial Pearson Educacin (2001).

Extradode:http://189.203.26.193/Biblioteca/Matematicas_Financieras/Pdf/Unidad_13.pdf

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