Algebra Lx – [PDF Document]

Embed Size (px) 344 x 292429 x 357514 x 422599 x 487

TRANSCRIPT

LGEBRA

LGEBRA MANUAL DE PREPARACIN PRE-UNIVERSITARIA

IDEA, DISEO Y REALIZACIN Departamento de Creacin Editorial deLexus Editores

LEXUS EDITORES S.A. Av. Del Ejrcito 305 Miraflores, Lima-Perwww.lexuseditores.com Primera edicin, febrero 2008 Hecho el DepsitoLegal en la Biblioteca Nacional del Per: 2008-01600 ISBN:978-9972-209-44-4

EDICIN 2008

PRESENTACINSi usted, estimado lector, considera que la matemticaes una de las materias de mayor complejidad en los planes deestudio escolar, pre-universitario y superior, o desea profundizary repasar temas y ejercicios que le permitirn el dominio progresivoy la maestra avanzada en el tema, ha abierto el libro apropiado.Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodolgicostendientes a mejorar la articulacin terica y prctica entre el nivelsecundario y la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manualeducativo que sirva como herramienta de auto-evaluacin para losalumnos que se encuentran en etapa pre-universitaria. De estamanera, ellos mismos sern capaces de juzgar sus capacidades convista a iniciar sus estudios superiores. Se ha tenido el especialcuidado de seleccionar un grupo altamente calificado para laredaccin de esta obra, conformado por estudiantes universitarios ydocentes especializados, a fin de lograr un manual de preparacinpre-universitaria en lgebra en la que se destaca el desarrollo decomplejos ejercicios, usando mtodos apropiados, fciles y amigables.Este manual conduce al lector de una manera didctica a lo largo dela asignatura, pasando de lo ms sencillo a lo ms complejo, connumerosos ejercicios resueltos y propuestos, brindndole de estamanera una base muy slida para que destaque durante su paso por lasaulas universitarias, al ostentar adecuado conocimiento y dominiode la materia. Un DVD, producido con la ms alta tecnologa digital einfogrfica, acompaa esta obra, para demostrar al estudiante que lodificultoso puede verse siempre en trminos entendibles y amenos. Esprcticamente como tener un profesor en casa a tiempo completo.

Los Editores

SUMARIOPag.

Conceptos Fundamentales

13 13 14 14 15 15 15 15 15 16 17 17 17 18 18 25 26 26 26 31 3135 39 39 39 40 47 50 50 50 50 51 56

Expresin algebraica / Clasificacin de las expresionesalgebraicas Teora de exponentes

Trmino algebraico Potenciacin Leyes que rigen a los exponentesMultiplicacin de potencias de bases iguales

Divisin de potencias de bases iguales / Exponente cero Exponentenegativo / Potencia de un producto / Potencia de un cocientePotencia negativa de un cociente / Potencia de potencia / Raz deuna potencia

Raz de un producto Leyes de los signos en las operacionesalgebraicas Multiplicacin / Divisin Potenciacin / RadicacinEjercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Ecuaciones exponencialesSolucin de una ecuacin exponencial Ejercicios Resueltos Valornumrico de las expresiones algebraicas Ejercicios ResueltosEjercicios Propuestos

Grado de las Expresiones Algebraicas Grado Grado de un monomio /Grado de un polinomio Ejercicios Resueltos EjerciciosPropuestos

Notacin Polinmica Polinomio Valor numrico de un polinomio Cambiode variable en un polinomio Ejercicios Resueltos EjerciciosPropuestos

Polinomios Especiales Polinomio ordenado / polinomio completoPolinomio homogneo Polinomios idntico / Polinomio idnticamentenulos Polinomio entero en x Ejercicios Propuestos

59 59 59 60 60 60 68 70

Ejercicios Resueltos

Expresiones Algebraicas

Suma y resta 70 Supresin de signos de coleccin / Introduccin designos de coleccin 70 Ejercicios Resueltos 70 Ejercicios Propuestos72 Multipicacin de expresiones algebraicas 74 Propiedades de lamultiplicacin 74 Ejercicios Resueltos 74 Casos que se presentan enla multiplicacin 76 Productos notables 76 Ejercicios Resueltos 77Valor numrico de una expresin algebraica 82 Ejercicios Resueltos 83Ejercicios Propuestos 88 Divisin algebraica / Definicin 90Propiedades de la divisin / Casos de la divisin 90 Mtodo normal 90Mtodo de coeficientes separados / Mtodo de Horner 91 EjerciciosResueltos 92 Regla de Ruffini 99 Ejercicios Resueltos 100Ejercicios Propuestos 102 Teorema del resto o de Descartes 105Regla prctica para hallar el resto 105 Ejercicios Resueltos 106Ejercicios Propuestos 112

Divisibilidad Algebraica

115 115

Principios de la divisibilidad algebraica EjerciciosPropuestos

Ejercicios Resueltos 116 123

Cocientes Notables Forma general de los coeficientesnotables

126

Definicin 126 126 126 127 127 Estudio del primer caso / Estudiodel segundo caso Estudio del tercer caso / Estudio del cuartocaso

Desarrollo del cociente notable 127 Reglas prcticas paraescribir el desarrollo de cualquier cociente notable Determinacinde un trmino cualquiera de un cociente notable 128 EjerciciosResueltos 129 Ejercicios Propuestos 133

Factorizacin

136

Definicin / Mtodo para factorizar 136 Factor comn / Factor comnmonomio / Factor comn polinomio 136 Factor comn por agrupacin 136Ejercicios Resueltos 137 139 Mtodo de identidades

Diferencia de cuadrados 139 Trinomio cuadrado perfecto 139 Sumao diferencia de cubos 139 Ejercicios Resueltos Mtodo del aspa Aspasimple Aspa doble Ejercicios Resueltos Ejercicios Resueltos Aspadoble especial Ejercicios Resueltos 139 142 142 143 145 146 147 149143

Mtodo de divisores binomios 149 Finalidad / Divisor binomioCeros de un polinomio Fundamento terico 149 149 Determinacin de losposibles ceros de un polinomio 149 Formas de factorizacin 149Ejercicios Resueltos 150 Mtodo de artificios de clculo 152 Reduccina diferencia de cuadrados 152 Ejercicios Resueltos 152

Mtodos de sumas y restas 153 Cambio variable EjerciciosResueltos Factorizacin recproca Polinomio recproco Procedimientopara factorizar un polinomio reciproco Ejercicicios ResueltosFactorizacin simtrica y alternada Polinomio simtrico Representacinde expresiones simtricas Propiedad fundamental de un polinomiosimtrico Polinomio alterno Propiedades fundamentales de unpolinomio alterno Propiedades de los polinomios simtricos yalternos Factorizacin de un polinomio simtrico y alternos Otrosartificios Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos 155 155 157157 157 157 159 159 159 160 160 160 160 160 163 163 164 169 169 169169 171 173 173 173 173 174 174 175 175 176 176 180 183

Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo Mximo comn divisor Mnimocomn mltiplo Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Fracciones Algebraicas Principales conceptos / Definicin Signosde una fraccin Cambios de signo en una fraccin Simplificacin defracciones Ejercicios Resueltos Operaciones con fraccionesalgebraicas Suma y resta Multiplicacin y divisin EjerciciosResueltos Ejercicios Propuestos

Introduccin el Binomio de Newton

Factorial de un nmero 183 Propiedades de los factoriales 183Ejercicios Resueltos 183

Variaciones / Permutaciones / Combinaciones Propiedades de lascombinaciones Ejercicios Resueltos Desarrollo del binomio de Newton/ Mtodo de induccin Frmula del trmino general Ejercicios ResueltosTrmino central Ejercicios Resueltos Tringulo de Pascal o deTartaglia Ejercicios Propuestos Desarrollo del binomio de Newtoncon exponente negativo y/o fraccionario Propiedades del desarrollodel binomio Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

185 186 187 190 191 191 194 194 196 197 200 200 200 204 206 206206 206 207 207 208 209 212 212 212 219 219 224

Radicacin

Principales conceptos / Definicin Elementos de una raz / Signode las races Raz de un monomio Raz cuadrada de un polinomio / Reglaprctica Raz cuadrada por el mtodo de coeficientes indeterminadosRaz cbica de polinomios / Regla prctica general EjerciciosResueltos Races dobles / Concepto Transformacin de radicales doblesen radicales simples o sencillos Ejercicios Resueltos Descomposicinde radicales mltiples en simples Ejercicios Resueltos EjerciciosPropuestos

Operaciones con Races

227227 227 227 227 228 228 228 234 234 235

Principales conceptos Valor Aritmtico de un radical / Valoralgebraico de un radical Radicales homogneos / Homogenizacin deradicales Radicales semejantes / Teorema fundamental de losradicales Suma de radicales / Multiplicacin de radicales Potenciade radicales / Raz de radicales Ejercicios Resueltos RacionalizacinFraccin irracional / Factor racionalizante Casos

Primer caso / Ejercicios Resueltos Segundo caso / EjerciciosResueltos Tercer caso / Ejercicios Resueltos Cuarto Caso /Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

235 235 237 238 240

Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas 243Principalesconceptos 243 Formas singulares o determinadas 243 Formasindeterminadas 243 243 Verdadero valor / Clculo del verdaderovalor

Forma 0/0 243 Ejercicios Resueltos 244 Forma / / EjerciciosResueltos 247 Forma – / Ejercicios Resueltos 249 Forma 0 . /Ejercicios Resueltos 251 Ejercicios Propuestos 252

Cantidades Imaginarias y Nmeros Complejos

255

Principales conceptos 255 Cantidades imaginarias / Definicin 255Unidad imaginaria, Potencias de la unidad imaginaria 255Transformacin de la potencia im donde m es entero y positivoEjercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Nmeros complejos,Definicin Clase de nmeros complejos / Complejo real / Complejo puroComplejo nulo / Complejos iguales Complejos conjugados / Complejosopuestos 255 256 261 264 264

264 264 264 264 265 265 265 266 266 267 269 269 274

Representacin grfica de un complejo Representacin cartesiana /Representacin polar o trigonomtrica Operaciones con complejos /Suma de complejos Multiplicacin de complejos / Propiedades Divisinde complejos Potencia de un complejo / Propiedades Raz de uncomplejo Ejercicios Resueltos Races cbicas de la unidad Propiedades/ Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Ecuaciones 277Principales conceptos / Igualdad / Ecuacionesequivalentes Clases de Igualdades / Igualdad absoluta / Igualdadrelativa o ecuacin Clasificacin de las ecuaciones Principiosfundamentales que permiten transformar las escuaciones Ecuacionesde primer grado con una incgnita / Discucin de la solucinEjercicios Resueltos Problemas Resueltos Ejercicios PropuestosSistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones lineales / Sistemasequivalentes Solucin del sistema Clasificacin de los sistemas deecuaciones Principios fundamentales para la trasformacin de sistemade ecuaciones Mtodos de eliminacin y resolucin / Mtodo desustitucin Mtodo de igualacin / Mtodo de reduccin EjerciciosResueltos Problemas Resueltos Ejercicios Propuestos 277 277 277 277278 278 282 287 290 290 290 290 290 290 291 292 298 304

Determinantes 307Definicin Signos de un elemento Determinante deun segundo orden Valor determinante de segundo orden Determinantede tercer orden Regla de Sarrus Forma prctica de la regla de SarrusMenor complementario de un determinante Desarrollo de undeterminante por menores complementarios Propiedades de losdeterminantes Ejercicios Resueltos Mtodo de los determinantes parahallar la solucin de un sistema de ecuaciones Regla de CramerDiscusin de la solucin de los sistemas lineales / EjerciciosResueltos Ejercicios Propuestos 307 307 307 308 308 308 309 309 310310 312 310 310 317 322

Ecuaciones de Segundo Grado 326Resolucin de una ecuacin desegundo grado con una incgnita 326 Deduccin de la frmula general326

Discucin de las races de la ecuacin de segundo grado Propiedadesde las races de una ecuacin de segundo grado Forma de una ecuacinde segundo grado conociendo races . Ejercicios Resueltos EjerciciosPropuestos Ecuaciones reductibles a cuadrticas / Ecuacionesbicuadradas Propiedades de las races de una ecuacin bicuadradaFormacin de una ecuacin bicuadrada Ejercicios Resueltos Ecuacionesrecprocas Ejercicios Resueltos Ecuaciones binomias y trinomiasEjercicios Resueltos Ecuaciones que se resuelven medianteartificios / Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Sistema deecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos Sistemasdiversos / Ejercicios Resueltos Ecuaciones exponenciales EjerciciosResueltos Ejercicios Propuestos

327 327 327 327 335 339 339 339 339 340 340 343 343 345 350 352356 358 359 360

Desigualdad e Inecuaciones

363363 363 364 365 365 366 366 366 367 367 367 367 370 372373

Desigualdades, definiciones importantes Propiedades de lasdesigualdades Ejercicios sobre desigualdades Clases dedesigualdades Inecuaciones de primer grado con una incgnita Solucina una inecuacin Intervalo abierto / Intervalo cerrado Valorabsoluto / Ejercicios Resueltos Inecuaciones / Sistema deinecuaciones Sistema de inecuaciones con una incgnita Sistemas deinecuaciones con dos o ms incgnitas Ejercicios ResueltosInecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos Inecuacionesirracionales / Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Progresiones 375Progresin aritmtica (P.A.) o progresin pordiferencia / Propiedades 375 Medios aritmticos o diferenciales /Definicin 375

Interpolacin de medios aritmticos Ejercicios Resueltos Progresingeomtrica (P.G.) o progresiones por cociente Representacin de unaprogresin geomtrica / Propiedades Medios geomtricos oproporcionales / Definicin Interpolar medios geomtricos entre dosnmeros dados . . Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

376 376 379 379 380 380 380 385

Logaritmos 388Principales conceptos / Definicin EjerciciosResueltos Sistema de logaritmos Propiedades generales de loslogaritmos Cologaritmo / Antilogaritmo Cambio de un sistema delogaritmos a otro Ejercicios Resueltos Logaritmos como progresiones/ Definicin Base del sistema de logaritmos definido por una P.G.una P.A. Sistema de logaritmos neperianos Sistema de logaritmosdecimales / Vulgares o de Briggs Propiedades del sistema logaritmosClculo de la mantisa Transformar un logaritmo totalmente negativoen otro parcialmente negativo y viceversa Clculo logaritmico / Sumade logaritmos / Resta de logaritmos Producto de logaritmos /Multiplicacin y divisin de logaritmos entre si Conversin delogaritmos decimales a logaritmos neperianos Conversin delogaritmos neperianos a logaritmos decimales Ejercicios ResueltosEjercicios Propuestos 388 388 389 390 390 390 391 396 396 397 398398 398 398 399 399 400 400 400 401

Inters Compuesto

404 404 405

Principales conceptos / Deduccin de la frmula Anualidades,Definicin

Caso en que el tiempo es mltiplo del perodo de capitalizacinAnualidad de capitalizacin (Ac) / Deduccin de la frmula

405 405

Anualidad de amortizacin (Aa) / Deduccin de la frmula 406Ejercicios Resueltos 406 Ejercicios Propuestos 413

L G E B R A

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

El lgebra es la parte de la matemtica que estudia a la cantidaden su forma ms general obteniendo generalizaciones sobre elcomportamiento operacional de los nmeros. Estudia de esta manera,funciones numricas; para lo cual se emplea nmeros, letras y signosde operacin. Como el estudio de una funcin conduce finalmente alplanteamiento de una ecuacin o igualdad, se dice tambin que ellgebra es la ciencia que estudia las ecuaciones. Utiliza conceptosy leyes propias. Estos son analizados a continuacin:

Es necesario aclarar que todas las expresiones que tienen nmerosy letras son expresiones algebraicas; a excepcin de las ltimastres, que reciben el nombre de funciones trascendentes y que sonutilizadas muy a menudo en el clculo superior. Para una mayorilustracin, indicaremos la definicin de las siguientes funcionestrascendentes: Funcin exponencial.- Representada por una basenumrica y un exponente literal, como por ejemplo: 7x (base = 7,exponente = x). Funcin logartmica.- Representada por el smbolo log.y que se toma en una cierta base a un determinado nmero. Ejemplo:logb N y se lee logaritmo en base b del nmero N. Funcintrigonomtrica.- Representada por las funciones seno, coseno,tangente y sus complementos aplicados sobre un nmero real. Ejemplo:sen x, que se lee: seno de x.

EXPRESIN ALGEBRAICAEs el conjunto de nmeros y letras unidosentre s por los signos de operacin de la suma, la resta, lamultiplicacin, la divisin, la potenciacin y la radicacin.(*)Ejemplos: Son expresiones algebraicas las siguientes: i) x

CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS2 2 2

ii) 4x iii) 4x + 5y + 7z_________

Segn el tipo de nmero o variable de sus exponentes, radicales odenominadores las expresiones algebraicas pueden clasificarseen:

iv) ________________ 3×5 + 7 x2 – 5xy4 3x2y – 3xy7 No sonexpresiones algebraicas: i) 5x Expresiones Algebraicas

ii) loga x iii) sen x (*)Las letras son empleadas tanto pararepresentar valores conocidos o datos (en este caso; por convencin,se usa las primeras letras del alfabeto) como valores desconocidos(se usa las ltimas letras del alfabeto).

{

Racionales Irracionales

{

Enteras Fraccionarias

a) Expresin algebraica racional Es aquella que se caracterizaporque tiene exponentes enteros o no tiene letras en su cantidadsubradical (es decir, al interior de la raz).

– 13 –

Ejemplos: i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 ii) 4x -7 + 2y -3 + 11z -7 1 x4 +1 x8 + 1 x4 iii) 3 5 3 x2 4z2 2z3 iv) + + 2 3yz 7xy 9y4NOTA:

Ejemplos:

i) 5×1/2 + 7y1/3 + 8z1/5 ii) 4x -1/3 + 8y -1/5 + 7z -1/8________ __ iii) 4×2 + 5y2 + 8 z 2 7 8 iv) __ + __ + __ x y z ___v) 4×20 + 5y8 +7×14 + 9 xyz Resumen de las caractersticas de lasexpresiones algebraicas.

Se entiende por cantidad subradical a la parte de una raz que seencuentra en el interior del radical. De este modo:n

__ A , se lee raz n de A

Donde n = ndice, A = cantidad subradical

a.1) Expresin algebraica racional entera Es aquella que secaracteriza porque tiene exponentes enteros positivos o no tieneletras en su denominador.Ejemplos:

i) 2×2 + 5y7 + 12y15 1 + 1 + 1 z4 ii) 3x 5y 4 iii) 4×2 y3 z4 -8w4 t5 a.2) Expresin algebraica racional fraccionaria Es aquellaque se caracteriza porque tiene exponentes negativos o tiene letrasen su denominador.Ejemplos:

Expresiones Algebraica

TRMINO ALGEBRAICO

i) 4x -3 + 7y -9 + 12z -4 1 + 2 + 7 ii) 3x 5y 4z2 4×2 + 3y3 +7z4 iii) 4×5 + 5yz iv) 4×4 + 5y3 + 8z5 + 9t-2 b) Expresinalgebraica irracional Es aquella que se caracteriza porque tieneexponentes fraccionarios o tiene letras en su cantidadsubradical.

{ {Racionales Exponente entero Subradical sin letrasIrracionales Exponente fraccin Subradical con letras

Enteras Exponente entero positivo Denominador sin letras

Fraccionarias Exponente entero negativo Denominador conletras

Es aquella expresin algebraica cuyas partes no estn separadas nipor el signo ms ni por el signo menos. En otras palabras, un trminoalgebraico es un monomio.Ejemplos:

i) 4×2 ii) +5y3z4 iii) -3x4y5z8

– 14 –

L G E B R A

Partes de un Trmino Algebraico coeficiente

LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTESMultiplicacin de Potencias deBases Iguales. Se escribe la base comn y como exponente se escribela suma de ellos. am. an = am+nEjemplos:

(-7) x4

exponente parte literal

i) x5 . x7 = x5+7

= x12

TEORIA DE EXPONENTESLa Teora de Exponentes tiene por objetoestudiar todas las clases de exponentes que existen y lasrelaciones que se dan entre ellos. La operacin que permite lapresencia del exponente es la potenciacin, la cual se defineas:

ii) x8. x6. x-3. x-8. x12 = x8+6-3-8+12 = x15 iii) 2m+3. 2m+4.24-2m = 2m+3+m+4+4-2m = 211 = 2 048 Divisin de Potencias de BasesIguales. Se escribe la base comn y como exponente se escribe ladiferencia de dichos exponentes. am = am-n anEjemplos:

POTENCIACINEs la operacin que consiste en repetir un nmerollamado base tantas veces como factor, como lo indique otro llamadoexponente; al resultado de esta operacin se le denomina potencia, yse representa as: Potencia = (base)exponenteEjemplos:

x8 = x8-3 i) x3 x12 = x12-(-3) = x12+3 = x15 ii) x-3 2m+3 =2m+3-(m-3) = 2m+3-m+3 = 26 = 64 iii) 2m-3 5x+2 . 5x+3 5x+2+x+352x+5 iv) = = 52x+1 52x+1 52x+1 = 52x+5- (2x+1) = 54 = 625Exponente Cero. Toda cantidad diferente de cero, con exponentecero, es igual a la unidad. As: a0 = 1, donde: a 0 Ejemplos: i) 57= 51 = 5 ii) 40 9 2 0

i) 27 = 144424443 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 7 factores 2ii) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125

142435 factores 5

iii) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096 1442443 6 factores 4 Engeneral: an = a .a.a.a. .a 1442443 n factores a NOTA: Recuerdeseque para efectos del estudio algebraico, la base es literal y elexponente es numrico: x5, y4, z8, etc.

= 42

1

= 42 = 160

iii) 24

0

+ 57

+ 87

0

= 2 + 5 + 8 = 15

– 15 –

Exponente Negativo

Potencia Negativa de un Cociente.

Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponentenegativo, es igual a una fraccin cuyo numerador es 1 y cuyodenominador es igual a la misma expresin pero con el signo delexponente cambiado a positivo. As: 1 , donde: a 0 a-n = anEjemplos: 1 i) x-3 = x3 1 = 0,5 iii) 2-1 = 2 Potencia de unProducto. Es igual a elevar cada factor a dicha potencia. (a.b)n =an. bn Ejemplos: i) (a . b)5 = a5.b5 ___ 2 ii) (3x ) = 3×2 iii)x4y4 = (xy)4 3x . 2x (3 . 2)x 6x iv) = = 6x 6x 6x Potencia de unCociente. Se eleva tanto el numerador como el denominador a dichapotencia. a = a2b4 ii) b4 a-3 = b5 iv) -5 b a32

Se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva.Luego, puede procederse como en el caso anterior.

() ()a = -n b bn Ejemplos: i) 1 -3= 5 3= 53 = 125 ii) 5 1

1 -2 1 -3 1 -4= 2 2 + 3 3 + 5 iii) + + 2 3 5 1 1 1 Potencia dePotencia.

() () () () () () () () () ()2 -2= 5 2= 52 = 25 5 2 22 4

4

= 4 + 27 + 625 = 656

Se escribe la misma base y el nuevo exponente es igual alproducto de los exponentes. (am)n = am . n Ejemplos: i) (x2)3 =x(2)(3) = x6 ii) [(x3)4]5 = x(3)(4)(5) = x60 iii) (x-3)-4 = x12 iv)(x-2)5 = x-10 Nota: Para el caso de tener muchos exponentes, sepuede generalizar la regla como sigue: { [(am)n]r }s = am . n . r .s

()Ejemplos: i)

a n an = b bn

RAZ DE UNA POTENCIA

() ()

x x = y y4

4

4

x x ii) = y7 y

7

()

7

Se escribe la base y como nuevo exponente, la divisin delexponente de la potencia entre el ndice del radical.n

3 3 33 27 iii) = = 5 53 125

8n 8 n iv) = = 4n n 2 2

()

__

ap = an

p _

– 16 –

L G E B R A

Ejemplos: i)

Raz de un Cociente.10 _ _

___ ___ ___ ___ _ ___ __ 48 12 _ _ 4 ii) x48 = x 4 = 3×12 = x 3= x4 ______ ____ _______ _______ __ ____ __ __ ___ __ ____ ___ ______ 64 32 iii) x = x = x16 = x8 = x4

x10 = x 5 = x2

5

__

3

Se extrae la raz tanto del numerador como del denominador, yluego se procede a dividir estas races resultantes. __ __ n a n a =__ n b b

5

Nota: Cuando se tiene muchos radicales, se puede gene-ralizar laregla como sigue: _________ ______ ____ _ __ __ ___ 1 a = mnsr a =a mnsr

Ejemplos: _____ ___ 5 20 5 x20 x x4 i) = ___ =

ii)

4

y35 x20 y7 _____ ___ 4 20 16 x = 2 = ____ y35

625

4

5

Exponente FraccionarioToda cantidad elevada a un exponentefraccionario es igual a la raz de dicha cantidad, cuyo ndice es eldenominador de la fraccin y el numerador permanece como exponente.Por lo tanto:p __ _ n n a = ap

Introduccin de un Factor en un Radical. Se multiplica elexponente del factor por el ndice del radical, de la siguienteforma. __ n ______ n ap b = apn . b Ejemplos: _ _ 5 i) x2 y = i)x23

Ejemplos: __ 3 _ 5 i) a 5 = a3 __ 1 _ 3 ii) 8 3 = 8 = 2 __ 2 2 _3 iii) 64 3 = ( 64 ) = (4)2 = 16

x(2)(5)y = x10y3

5

______ _______

5

____ ____

_ _ _

y2 = x(5)(3)y2 = x15y2

3

LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS OPERACIONESALGEBRAICASMULTIPLICACINEl producto de dos trminos de signosiguales es positivo, y de signos diferentes es negativo. a) b) c)[+] . [+] [-] . [-] [+] . [-] [-] . [+] = [+] = [+] = [-] = [-]

RAZ DE UN PRODUCTOEs igual a extraer la raz de cada factor, yluego efectuar el producto.

ab = aEjemplo: ______ i) x10y25 =5 7

n

__

n

__ .

b

n

__

___ x10 .5

___ y25 = x2y55

d)

__ 7 __ 7 __ ii) xy = x . y

DIVISINLa divisin de dos trminos de signos iguales es positivo,y de signos diferentes es negativo:

– 17 –

[+] a) = [+] [+] [-] c) = [+] [-]

[+] b) = [-] [-] [-] d) = [-] [+]

1.- Calcular el valor de:

2x+4 + 36(2x-2) E = 2x+5 – 2(2x+3) – 4(2x+1) – 6(2x-1) Solucin:Por la ley de la teora de exponentes se conoce que: m am+n = am .an ; am-n = a an Aplicando al ejercicio: 2 2x . 24 + 36 22 E = 2x2x . 25 – 2(2x . 23) – 4(2x . 21) – 6 2 Operando apropiadamente: 16. 2x + 9 . 2x E = 32 . 2x – 16 . 2x – 8 . 2x – 3 . 2x

POTENCIACINLa potencia de una base con exponente par, siempre espositiva; pero la potencia de una base con exponente impar, dependedel signo de la base: a) b) c) d) [+]par [+]impar [-] par[-]impar

= [+] = [+] = [+] = [-]

( )x

( )

RADICACINSi el ndice es impar, el resultado tendr el mismo signoque la cantidad subradical. Si el ndice es par y la cantidadsubradical es positivo, el resultado tendr doble signo; positivo ynegativo;pero, si la cantidad subradical es negativa el resultadoser una cantidad imaginaria, que no existir en el campo real. ___[+] ___ impar b) [-] ___ par c) [+] ___ par d) [+] a)impar

Se hace el cambio de 2x = a, para hacer ms simple lasoperaciones: 16a + 9a 25a E = = = 5 32a – 16a – 8a – 3a 5a Rpta.: =5

= [+] = [-] = [] = cantidad imaginaria

2.- Calcular el valor de:4 43 8 3 E = [4(4-1)n]2

( )

-n

Solucin: Transformemos el numerador, para escribir con base4:

Nota: Para efectos de estudio, se emplear, en el caso (c), racesde ndice par y cantidad subradical positivas; el signo aritmtico dela raz; es decir, el valor positivo.

(8 ) [ ]4 _ 3 4 _ = (23)3

-n

-n

= (24)n = (22)2 = 4

[ ]

-n

Reemplazando en la expresin original:3-2n 43 . 4-2n = 43 . 4-2n= 4 E = (41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2n

EJERCICIO RESUELTOSE = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4 Sobrelas leyes de la teora de exponentes y los signos en las operacionesalgebricas. Rpta.: = 4

– 18 –

L G E B R A

3.- Hallar el valor de la expresin: ___________ n 20n+1 E = 4n+2+ 22n+2

multiplicando potencias de bases iguales: 36 . 79 . 56 . 212 E =36 . 79 . 56 . 211 simplificando:12 E=2 = 212-11 = 21 = 2 211

Solucin: Transformando el denominador: 4n+2 + 22n+2 = 4n+2 +22(n+1) = 4n+2 + (22)n+1 = 4n+2 + 4n+1 = 4n+1 (41+1) = 4n+1 . 5reemplazando en la expresin, y transformando el numerador:__________ n (4 . 5)n+1 E = 4n+1 . 5

Rpta.: 2 5.- Calcular el valor de:

E=

[ ]33 __

_ ____ 33

-6 3

_ _

Solucin: Escribimos la raz principal en la forma exponencial: -6_ 3 3 E= _ 3 3 3

operando en el numerador: __________ n n+1 . 5n+1 E= 4 4n+1 . 51simplificando y descomponiendo la potencia: _______ __ n 5n . 51 =n n E = 5 = 5n = 5 41

[ ]

luego, transformamos los exponentes:1/2 -1/6 1 1 -1/6 3 – 3 3 23 1/3 3 3 E = (3) = (3) 1 – 6 1 1 1 1 1 3 – – 6 6 6 6 6 0 3 . 3 3 3= (3) = (3) = 33 = 31 = 3

Rpta.: 5 = 4.- Calcular el valor de: 216 . 353 . 803 E = 154 .149 . 302 Solucin: Se sabe que: (a . b)n = an . bn descomponemos enfactores primos, para aplicar esta ley: (3 . 7) (7 . 5) (2 . 5) E =(3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2 aplicando la ley anterior: 36 . 76 .73 . 53 . 212 . 53 E = 34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 526 3 4 3

[ ] [ ] [ ]( )3 E=

Rpta.: 3 6.- Simplificar la expresin:

{

1 1 m-1 m(m3) 2 5

[

]}

-2

Solucin: Efectuando operaciones:1 E = (m-1)-2 (m1)5

[

] {[(m ) ]}-2 1 3 2

1 -2 5

2 3 2 3 – – 2- – E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5

– 19 –

E=m

2

2+3 5

=m

2

5 5

= m2-1 = m1 = m

Luego:n

_________________

n

Rpta.: m E= 7.- Calcular: E=n

____n+2 2

_________ n+1 2__ ____ __ n+2 4 4n

[

10n + 15n + 6n 1 = n 10 + 15n + 6n (5 . 2 . 3)n

]

(5 . 2 . 3)n 1

Simplificando:n n n E = (30)n = 30 = 301 = 30

Solucin: Trabajando con el denominador: ___ ___ __ _____ n+2 n+24 4n = 4 . 4n/2

Rpta.: 30 9.- Calcular: 2n+1 . 5n+1 – 2n . 5n E = 3 2 2 . 5 +5n1 _ n

___ __n+2

=

n+2

=

4 = 4 ___ ____ (2) = _2_____ = 2n 1+ 2 n+2 2 2 n+2 n+2

n+2

[

]

Solucin: =2

n+2 ___ n+2

Separemos los exponentes que aparecen sumados: 2n . 21 . 5n . 51- 2n . 5n E = 23 . 52 + 5n

reemplazando, descomponiendo y simplificando:

E= Rpta.: 2 8.- Calcular:

n

___ _ n 2n . 21 n = 2n = 2n = 21 = 2 2

[

]

1 _ n

Hagamos que: 2n = a; 5n = b: 10ab – ab E = 8b + b

[

] [ ]

1 _ n

9ab = 9b

1 _ n

1 _ =an

_____________ E=

n

n

10n + 15n + 6n 5-2 + 2-n + 3-n

1 n _ _ n n reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2

Rpta.: 2 10.- Calcular: (3n + 6) veces (2n + 3) veces6447448

Solucin: En primer lugar transformemos el denominador:_____________ E=

n

n

10 + 15 + 6 1 + 1 + 1 5n 2n 3n

n

n

x.x.x..x x . x . x . x 1 E = 6 x.x.x..x x xn+2 1442443

[

][

6447448

][ ]

(4n – 2) veces Solucin: Cada expresin se reduce: x2n+3 1 x3n+6 E= x4n-2 x6 xn+2

Dando comn denominador en el denominador de la raz:_________________ E=

(

10n + 15n + 6n n 6 + 15n + 10n 5n . 2n . 3n

)

[ ][ ][ ]

– 20 –

L G E B R A

Que se puede escribir as: x3n x6 . x2n x3 . 1 = x3n+2n . x6+3 E= 4n -2 6 n 2 x x x x x x4n+n . x-2+6+2 x3n x6 = x2n x3 = x9-6 = x3E = 4n -2 x x x6 Rpta.: x3 11.- Resolver:x-1

3 3 3 = ( ( 4 ) (4) 4) 3 3 = ( ( 4) 4)x-1 -1/2 1 x-1- 2 2

2

igualando los exponentes: x – 1 – 1 = 2 1 2 1 eliminado losdenominadores:

_______ ____ 3x-7 ____ 3 23x-1 – 8x-3 = 0

2x – 2 – 1 = 4 2x = 7 Rpta.: x = 7/2 13.- Hallar el valor de:____ n+1 2 n n+1 256 4n -1 E= 1 __ _ n 64n+1 4-1

Solucin: Transpongamos trminos: _______ x-1 ____ ____ 3 3x-723x-1 = 8x-3 = 0

3x-1 x-3 ___ ___ 23(x-1) = (23)3x-7 3x-1 x-3 ___ ___ 2 3x-3 = 23x-7

-1

Solucin: Previamente se opera en forma parcial: 256n+1 = (64 .4)n+1 = 64n+1 . 4n+1 n+1 (n+1)(n-1) ____ n2-1 n2-12 n+1 n2-1 n+1 4= 4 = 4 = 4 n+1 = 4n-1 1 – 1

Si igualamos los exponentes (dado que son funcionesexponenciales): 3x – 1 3x – 9 = 3x – 3 3x – 7 (3x – 1)(3x – 7) =(3x – 3) (3x – 9) 9×2 – 21x – 3x + 7 = 9×2 – 27x – 9x + 27simplificando: -21x – 3x + 27x + 9x = 27 – 7 12x = 20 5 Rpta.: x =3 12.- Resolver:x-1

___ _ 1 1 _ _ _ -1 n 4 = 4 = 4n = 4-n

1 n

Reemplazando las expresiones transformadas, en la expresininicial: ________________ E=

n

n+1 64 . 4n+1 . 4n-1 64n+1 . 4-n

3 ( 4) Solucin:

___ 4 = 9 3 16

simplificando y efectuando: _______ 4n+1+n-1 4-n _____ _____ ___n n n E = 42n-(-n) = 42n+n = 43n E=2

n

Transformemos buscando una base comn: 3 4 3 = ( ( 4 ) (3) 4)x-11/2

E = 4 n = 43 = 64 Rpta.: 64

3n

– 21 –

14.- Calcular el valor de:2a 2b 4a-b + 12 . 4a-b R = ____ a-b4a+b

Reemplazando los equivalentes en la expresin propuesta:__________ E=x4

x4

[]x 4

(63)x3x4

3

_____

]

x

Solucin: La expresin se puede escribir as:2a 2b 2a 2b a-b a-ba-b a-b 4 + 12 . 4 4 12 . 4 R = = + a+b a+b a+b 4a-b 4a-b 4a-b

Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera: ______ ____________ _______ E=x4

[x4 n-1

_____ 3 (63)x3x

=

[ ] [63 3x __ 3

x

=

6

x3

]

1 x

E=

6 x4 = 6 x4 = 6

Operando convenientemente: R=42a a+b – a-b a-b

Rpta.: 6 16.- Calcular el valor de: ________ _______ E=

12 + a+b 2b – 4 a-b a-b

y, efectuando los exponentes:2a-a-b 12 R = 4 a-b + a+b-2b 4a-b

n-1 4 +1 + 1-n 4 +1

n-1

+ Solucin:

n-1

5n-1 + 1 1-n 5_______ +1n-1 6 +1 + 61-n + 1 n-1

_____ ___

7n-1 + 1 71-n + 1

Simplificando: R=4a-b a-b

Desarrollando el caso general: _______ ________n-1 n-1 a +1 =1-n a +1

12 + =4+3=7 a-b 4 a-b

an-1 + 1 -(n-1) a +1 _______ n-1 n-1 a +1 = = 1

n-1

Rpta.: 7 15.- Calcular el valor de: 3 81 n

n-1

a n-1 _______

+ 1

_____ ___ n-1 a +1 n-1 1 + a n-1 a

n-1

=

E=

Solucin:

[3 n

_______ 216n+1 3 3

]

3

3

n

Por convenir, se realiza las siguientes equivalencias: 33n

= xn

813 33

= (34)3 + ( 33 )4 = x4 = 3(3n 1 .3 )

n

n+1

= 3(3

n . 3)

= (33 )3 = x3

n

216 = 63

Por lo tanto, por analoga: ___ _____ n-1 n-1 4 +1 =4 41-n + 5___ _____ n-1 n-1 5 +1 =5 51-n + 5 __ _ _____ n-1 n-1 6 +1 =6 1-n 6+5 ___ _____ n-1 n-1 7 +1 =7 1-n 7 +5

an-1 + 1 n-1 ___ 1 = a n-1 = a an-1 + 1 a n-1

– 22 –

L G E B R A

Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 Rpta.: 22 17.- Simplificar: n n 22 x4n + x3n 3n x + 2 2 x2n + xn xn + 1

19.- Calcular el valor de: __ 7 -1 7 7 __ 7 7 7 E = __ __ 7 -7__ 7 __ 7 -7 7 7 -7 7 7

E= Solucin:

[(

[ ]7

)( )

]

Resolviendo por partes: n n 2 2 4n2 3n2 x +x x3n (xn + 1) = 2 22 2 x2n + xn x4n (xn + 1) ______ ____ n n 2 2 2 = x3n -n = x2n =x2n

__ 7 Si definimos 7 = x, luego: __ 1 _ 7 -1 77 = 77 = 7 = x1 –7 1 = 1 = 1 7 = 7 7 = __ x 71/2 7 7

Solucin:

Reemplazando:

Reemplazando: n 2 4n2 x + x3n E = = 2 2 x2n + xn

2 3n2 x (xn + 1) 2 2 x4n (xn + 1) ____ 2n _ _ n = x2n = x n

( xx )7 E =

x

__x

n

(7 _ )1 x

1 _ (7-x) x

7 x7 = x = =7 -1 7 .7 70

Rpta.: x2 18.- Simplificar: _____ _____________ ______ _________________________ ________ n _____ _____ __ ___ ______ n ____ _______ ___ __ n ___ E=

Reponiendo el valor de x: __ 7 E = ( 7 )7 = 7 Rpta.: 7 20.-Sealar el exponente de x despus de simplificar (hay nradicales):

xn

xn

2

x xn3

n

n4

xn

n

n

Extrayendo raz a cada factor, sucesivamente: _________ _ __ ______ ___ ___ _ __ _ ___ _ _ ____ n2 n _ __ _ _ n n 2 3 4 n xn xn xnE = x . xn

n3

E= Solucin:

4

x3

4

___________ __ ___ ___ _ _ ___ __ 4 4 x3 x3 x3

___________ _ __ ____ ___ __ ____ _ __ _____ _ __ __ n n n3 n4nn x x E=x.x. x ___ ___ ___ ______ 4 _ ___ n n n n4 E = x . x . x .x xn

Suponiendo n = 1, se obtiene que:

x3 = x3/4 = x 4Suponiendo n = 2, se obtiene que: _______ ___ 4___________ _______ 2 ______ 4 4 4 4 3 x x3 = x3 x3 . 4 . x3 = x12. x3 =x15 16

4

__

4-1 __

por lo que, al final se obtendr: E = x . x . x . x x =xn1442443

n veces Rpta.: xn

=x

42 – 1 4 2

– 23 –

Suponiendo n = 3, se obtiene: _______ ____ _______ 4 63 43-1 ___3 ___ __ ___ 4 4 4 3 3 3 63 4 3 4 3 x x x = x = x =x

E=

[( ) ]6 10n

1 _ n

6 = 10bb

Suponiendo n = 4, se obtiene: _________________ 4 ________ ___________ 4 43-1 ___ 4 ___ ___ 4 4 4 3 3 3 3 255 4 4 x x x x = x =x

Rpta.: 0,6 22.- Simplificar: __

b

y, as sucesivamente. Para n casos se puede generalizar como:E=x4n-1 ___ 4n

E=

[ ]-b -b -b b b b

b

Solucin: Trabajando con el exponente: 1 _____ __ __ __ -1 b bb bbb b b b

4n – 1 luego, el exponente es: 4n 21.- Simplificar la expresin:2 . 12 30 . 6n + n+2 4 5n-1 E = 23 . 5n . 14n 2n+1 . 5n + 25 . 10n- 7n Solucin: Trabajando por partes: 2n . 12n+2 2n(4 . 3)n+2 2n .4n+2 . 3n+2 = = 4n+2 4n+2 4n+2 = 2n . 3n . 32 = 9 . 6n 30n+1 (6 .5)n+1 6n+1 . 5n+1 = = = 6n . 6 = 6 . 6n 5n+1 5n+1 5n+1 2n+1 . 5n =2 . 2n . 5n = 2(2 . 5)n = 2 . 10n 23 . 5 . (14) 23 . 5 . (7 . 2) ==23 . 10 n 7 7n Reemplazando: 6n + 9 . 6n – 6 . 6n E = 2 . 10n + 25. 10n – 23 . 10n 4 (6)n E = 4 (10)n1 _ n n n n n

( ) ( ) b = b =b

[

n

n+2

n+1

]

1 n

[( )]b 1 b b

-b -b -b 0

-1

=b

( )bb -b

-1

=bb

A continuacin, hagamos que x = b-b , y reemplacemos en E: E =[bb ]b = bb Rpta.: b 23.- Calcular: E=n ______________ _____________ 52n . 2n+1 + 50n . n+1 n2-1 5 5n . 8 – 5n+1 __ _ __ _ 1/n 5-15-1-x x -x . bx

= bb = b1 = b

Solucin:

Operando por partes: 52n . 2n+1 + 50n = (52)n . 2n . 2 + 50n =25n . 2n . 2 + 50n = (25 . 2)n . 2 + 50n = 50n . 2 + 50n = 50n . 35n . 8 – 5n+1 = 5n . 8 – 5n . 5 = 5n . 3(n+1)(n-1) ______ 5 n+1 = 5n+1 = 5n-1 __ 1 __ 1/n 5-1 = (5-1)(1/n) = (5-1)n = 5-n n2-1 ___

[ [ ]

]

1 _ n

(I) (II) (III) (IV)

– 24 –

L G E B R A

Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E: 50 . 3 . 5n-1 5n . 3 E= 5-1 . 5-n .5 = 10 5-1-n

Solucin:1 _ n

[

n

][ ]n

1 _

50 . 5n-1 5 = 5-1-nn n n-1

( )

n

Haciendo x =

3 , por lo tanto x3 = 3

3

__

Reemplazando: ___ x x E = xx . x3

2 .5 .5 = 5-1-n 1 1 _ _ n n n+n-1+1+n n n 3n = [2 . 5 ] = [2 . 5]

[

n

n-1

] [n

1 _

]

1 _ n

[

1

]

x3

1 . x

Efectuando las operaciones necesarias:

= Rpta.: 250

[(2 . 53)n]n

= 2 . 53 = 250

3 _ E = xx . xx

[

1 _ x

( )

]

x2

= (x )

x x2

[

x

3 . _ 1 _ x x

]

x2

24.- Calcular el valor de:

E=

[

__ 3 3 -1 __3 3 3 3 33 __ 3 __

]

__ 3 . 3 -13

= xx . x3 = x3 . 3 = 3 . 3 = 9 Rpta.: 9

3

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Calcular: a) 3 125 ____ _ ___ __ 2 _____ 2 ____ __ ___ __ _ ___ _ __ _ __2 2 2

b) 625

c) 25

d) 5

e)

5

5

__

E=

[

______ __ _ __ ___ _ __ 2

__ 2

2

2 1 c) __ 2

]

1 _ 2

4. Calcular n en la igualdad: ___________________ ________________ ____ ____ _____ 32 __ 93 3 3 3 3 x x x x = x

1444442444443

( )

-1

a) 2 1 d) 2

__ b) 2 e) 4

n radicales a) 6 5. Efectuar: b) 3 c) 5 d) 4 e) 8

2. Hallar E = a.b en la relacin: a .b =2 a) 1 1 b) __ 2b a21/2

J=

__ c) 2

d) 2

e) 4

__ 5 a) 6

5 5 (3 ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) __1 _ 6

__ 3 b) 5

3 5-2

____________________________ _ ____________ _______________________ ______ 3 3 53

c)

5

6

__

4

-6 5

-10

__ 6 d) 3

3 e) 5

5

3. Simplificar: __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 25 5 5 5 5 5 5 __ 5E = 55 2-1

6. Efectuar: 156 . 124 . 59 . 63 10 . 3 .5 11 13 4

a) 1

b) 3

c) 5

d) 2

e) 6

– 25 –

7. Efectuar:

1 41 – ( ) 2 -1

E=

[( ) ( )1 2 b) 1/4 E= b) x

1 + 125 c) 2

1 ( ) + (81 ) d) 4

-1 -3

–16

1 2

]

1 2

9. Calcular:

__ ________________ _ _ ____ _ _______ ________ 4 4 3 3 x x x3 E= __ _ _____________ _____ _______ _______ 5 5 5 3 3 x x x3

__ 4 e) x

4

a) 1/2 8. Calcular:

e) 3

a) 1/x

b) x

c) x2

d) x3

{ }x xx c) x2

xx – xxx x 2xx x x x __ d) x

[ ]

2

10. Hallar la suma de exponentes de las variables x, y, z despusde simplificar: ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ a b c yb c a ba x zc E= b zc xa y

b) b c) c

a) 1

e) xx

a) a

d) 1

e) 0

ECUACIONES EXPONENCIALESSon igualdades relativas cuyas incgnitasaparecen como exponentes. Se entiende por igualdad relativa aaquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a susincgnitas. Ejemplos de ecuaciones exponenciales:i) 5x ii) 238x

EJERCICIOS RESUELTOS1.- Resolver:

( )( )Solucin: 3 22 x

9 4

x

8 27

x-1

2 = 3

2 = 3

Transformando las potencias: = 125 = 512-x

[( )] [( )]. 2 33 45

x-1

iii) A

[ ]

x 2 4

= A16

Efectuando operaciones e invirtiendo la potencia: 3 ( ) {[ ( ) ]} = ( 2) 3 22x

SOLUCIN DE UNA ECUACIN EXPONENCIALEs el valor o valores queverifican la igualdad relativa. Ejemplos:i) 5 = 125 x = 3, dadoque: 5 ii) 7x+1 x 3

3 2

-1

3

x-1

-1

= 1252+1

= 343 x = 2, dado que: 7

= 7 = 343

3

( )( ) ( ) 3 3 = ( ( 2) 2)2x-3x+3 -1

3 2

2x

3 2

-3+3

3 = 2

-1

Para obtener la solucin se debe tener en cuenta: 1) Las bases delas potencias deben ser iguales. 2) Para que haya igualdad, losexponentes de las potencias, como consecuencia, deben ser iguales.En resumen: Si Am = An m = n

Igualando los exponentes: -x + 3 = -1 x=4 Rpta.: 4 2.- Resolver:3x + 3x-1 + 3x-2 + 3x-3 + 3x-4 = 363

– 26 –

L G E B R A

Solucin: Transformando las potencias:x x x x 3x + 3 + 3 +3 +3 =363 2 3 4 3 3 3 3

Solucin: Efectuando operaciones: 58x . 4-x

= 516

60

igualando exponentes: 8x . 4-x = 1660 transformando:

haciendo y = 3x, se obtiene: y y y y y + + + + = 363 3 9 27 81eliminado denominadores: 81y + 27y + 9y + 3y = y = 363 . 81reduciendo: 121y = 363 . 81 363 . 81 y = 121 y = 243 pero: y = 3x =243 = 35 x=5 Rpta.: 5 3.- Resolver: 9x+2 = 9x + 240 Solucin:Descomponiendo las potencias: 9x . 92 = 9x + 240 haciendo: y = 9x81y = y + 240 de donde: y = 3 Sustituyendo en (a): 9x = 3 o: x =1/2 Rpta.: 1/2 Solucin: 4.- Resolver: 9 =9x 1/2

(23)- (22)x

x

= (24)

60

23x . 2-2x = 2240 23x-2x = 2240 2x = 2240 x = 240 Rpta.: 240 5.-Resolver:

( )Solucin:

1 4

( )1 2

4x

= 0,7071

1 2 = 2 2 = 2- 2 Obsrvese que: 0,7071 =

__

1 _

2

2

(a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )de donde: 4x = 41/2 1 luego: x = 2 Rpta.: 1/26.- Resolver: xx = 33

1 4

( )1 2

4x

1 = 2

1 2

1 = 1 = 4 4

1 4

( )1 2

2

1 = 4

( )1 2

1/2 4

Haciendo el cambio de variable:

[5 ]

-x x 4 8

=5

1660

y = x3

(a)

– 27 –

Extrayendo raz cbica: __ 3 __ 3 x3 = y __ 3 x = y

(b)

8.- Calcular el valor de n: _________n-1

n x + xn +5 = x5 n x + xn+5

2

2

Solucin: Descomponiendo las potencias: _____________n-1

reemplazando (a) y (b) en la ecuacin inicial:

( 3y )y = 3o, tambin:

__

xn + xn . x5 = x5 xn + xn . x5

2

2

(y ) = 31 3 y 3

y

factorizando los numeradores y denominadores: _____________n-1

y

=3

xn (1 + x5) = x5 xn (1 + x5) ___ _ __2

2

Elevando al cubo, se tendr: yy = 33 de donde: y = 3 reemplazandoen (b): __ x = 33

n-1

xn = x5 xn ____ n-1 xn2-n = x5n(n-1) ____ x (n-1) = x5

__ 3 Rpta.: 3 7.- Resolver:

xn = x5 luego: n=5x 33 39

[5 ]Solucin:

= 59

9

Rpta.: 5 9.- Resolver la siguiente ecuacin exponencial: 3 = 27Solucin: Como 27 = 33 entonces:x 3 x-4 9

Efectuando operaciones:9 3 9 53 . 3 = 59 x

o: 5 de donde: 3x 9+3 x 9+3 3

= 5

9 9

33 = (33)9 = 33.9 igualando los exponentes:2 9 18

x

x-4

x-4

= 9 = (3 ) = 3

9

3x = 3 . 9x-4 = 3 . (32) 3x = 32x-7

x-4

= 31 . 32x-8 = 32x-7

igualando los exponentes: 9 + 3 = 18 3x = 9 = 32 luego: x = 2Rpta.: 2x

igualando los exponentes: x = 2x – 7 x=7 Rpta.: 7

– 28 –

L G E B R A

10.- Resolver la siguiente ecuacin exponencial: __ x-x [(ax)x] =a1/8 Solucin: Efectuando operaciones: ___ 1 32

12.- Resolver: b donde : b = xxn-x x

=x

n x x x

x

(a )a

x-x x2

=a

Solucin: Reemplazando b en la ecuacin: (xx )x xn-x

__-3 = a2

x2 . x-x

igualando los exponentes: ___ x2 . x-x = 2-3 x2-x = 2-3/2 =(2-1)3/2

= xx

n xx

Efectuando operaciones: xxx . xn-x

1 = 22 1 – 2

( )

3/2

= xx = xx

n xx

xx

x+n-x

n xx n xx

1 x2-x = 2 por comparacin: 1 Rpta.: 2 11.- Resolver:

( )

xx = xx igualando exponentes:

n

1 x = 2

xn = x

n xx

igualando exponentes nuevamente: n = xxn

Solucin:

n

xn + an = 1 (b2a)n + xn b

Elevando a la n potencia e intercambiando los exponentes: nn = (xx de aqu se obtiene: xn = n de donde:n n n

)

= (xn)

xn

Elevando a la potencia n ambos miembros de la igualdad: x +a 1 =(b2a)n + xn b bn(xn + an) = (b2a)n + xn bnxn + bnan = b2nan + xntransponiendo trminos: bnxn – xn = b2nan – bnan xn (bn -1) = bnan(bn -1) simplificando: xn = bnan xn = (ab)n x = ab Rpta.: abn n

__

__ n x = n

Rpta:

n

13.- Resolver:x x – 18 18 = x-1 . 12 18

Solucin: Transformando los exponentes negativos en positivos:x 1= 1 . 12 18 x 18 18

– 29 –

transponiendo:x

x 18

Solucin: Transformando adecuadamente:1 4x 3x = 3x . 3 2 4x – – 11 32 42

1

x = 18

18

x

. 12

= (18 . 12)

18

x x x = (32 . 2 . 22 . 3) 18 = (33 . 23) 18

x = (3 . 2)3 efectuando: x=6 6x

[

]

18

x

Transponiendo trminos negativos: 3x 4x = 3x . 3 2 4x + + __ 2 3__ 1 = 3x 3 + 1 __ 4x 1 + 2 3

(

)

(

)

1 elevando a la : x x por lo tanto: x=6 Rpta.: 6 14.- Resolver:(bb . x)x = bb Solucin: Elevando a la potencia bb: (bb . x)b luego:(bb. x)bb . x b.x 1-b

1 x

= 6

6

1

3 = 3x 3 __ +1 4x 2 3

( ) (

)

3 = 3x . 4 4x . __ 2 3 8 . __ 3x 4x = 33 4x = 8 = 43/2 = 4 __ x3 33/2 3 33 4 = 4 ( 3 ) (3 ) por lo tanto: = bb1-b+b x 3/2

( )3/2

= bb

1-b . bb

= bb 3 Rpta.: 2 16.- Resolver:2 – x 9

3 x = 2

= bb

identificando exponentes: b b . x = b ; x = bbb

2 + x 9

2 – x2 ( 9)

2

x = b1-b Rpta.: b1-b 15.- Resolver: 4x – 3×1 2

1 +x m3 =

1 -x m3 =

m2

Solucin: Transformando a frmulas exponenciales:1 1 +x -x 3 3 2 2-x +x m9 =m9

= 3

x+

1 2

– 22x-1

.

m

(2/9)2 – x2

2

– 30 –

L G E B R A

de aqu:1 +x 3 2 -x 9 1 -x 3 2 +x 9

VALOR NUMRICO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS+ 2 2 22

m

=m

( )-x 9

igualando exponentes: 1 + x 1 -x 3 3 2 = + 2 -x 2 +x 2 + x 2 -x9 9 9 9

Se denomina valor numrico de una expresin algebraica al valorque toma dicha expresin cuando se le asigna determinados valores asus letras.

EJERCICIOS RESUELTOS1.- Hallar el valor numrico de: 1 -( 2)

(

)(

)

Eliminado denominadores: 1 + x 2 + x = 2 -x +2 ( )( 9 ) ( 13 -x)( ) 3 9 Efectuando operaciones: 2 + x + 2 x + x2 = 2 – x – 2 x +x2 + 2 27 3 9 27 3 9 eliminando trminos y transponiendo: x + x + 2x + 2 x=2 3 3 9 9 eliminando denominadores: 3x + 3x + 2x + 2x = 1810x = 18 Rpta.: 1,8 x = 1,8 E= E=

( ) ( ) ( )1 z 1 – y 1 + x

( )

1 z

-1

( )

1 – y

-1

1 – x

( )

para: x = 4, y = 2, z = 3 Solucin: Reemplazando los valoresasignados:

( ) ( ) ( )1 3-3

1 3

( )

1 3

-1

1 – 2

( )

1 – 2

-1

1 + 4

1 – 4

( )

1 ( 2)

Efectuando operaciones y transformaciones:__________________________ =

17.- Resolver la ecuacin exponencial: 1 xx = __ 4 2 Solucin:Trabajando con el segundo miembro:1 _ 1 _ 4 1 x = = 2 x 1 _ 1 _ 8 1_ 2 8

( )

1 – 2

( ) ( )

-2

1 + 4

1 – 2

= = Rpta.: 5

_________________ (3)3 – (2)2 + (4)1/2

27 – 4 + 2 = 25 = 5

( ) [( ) ] ( ) = [( ) ]1 42

1 _

4

1 = 4

1 16

1 x = 16x

( )

1 16

2.- Calcular el valor numrico de: ab + ba E = 1+a 1+b ab + bapara: ab = 2 y ba = 0,5

como consecuencia: 1 x = 16 1 Rpta.: 16

[

1-a

1-b

]

2

– 31 –

Solucin: Transformando previamente:

-a -b

Solucin:

ab . b + ba . a ab(b ) + ba(a ) E = = a b a b ab . b + ba . a ab. b + ba . a reemplazando los datos:

[

][2

2

a -a

b -b

]

2

1 1 (ab) + (b ) 20,5 + (0 5) 2 E = = a b (ab) b + (ba) a 20,5 +(0 5) 2 2 2

[

1 ba

1 a ab

][ ]

2

Transformando el numerador y denominador separadamente:_______________ ___________ _____ __ __ __ 3 3 36 2 3 x x x x = x43= x43/36 _____________ _____ _____ 1/2 ___ __ __ __ __ 3 3 9 x x xx = x31 = x31/9

reemplazando:43 36 x E = 31 x9

1 22 + 2 E = 1 1 2 2 + 4

[ ][ ][ ]( )1 2

1 __ 4 + 2 4 = 1 = 2 2 + 4

2

[]81 36

1 – 9

=

[

43 31 x 36 9

] [1 =x 4 =

1 – 9

43 – 124 = x 36

]

1 – 9

= x

[ ]

1 – 9

= x(36)( 9 )

81

1

x

4

16 = 8 E = 2 Rpta.: E = 8 3.- Hallar el valor numrico de: E=xSolucin: Transformando la expresin:x x E = xx . x x+xx x xx . xx =xx . x x x+xx xx+x

___ 4 E = 16 = 2 Rpta.: E = 2 5.- Calcular el valor numricode:x

;

para: xx = 2

E = xxy si se cumple las condiciones siguientes:

( xx) x x x x (x ) = (xx )Solucin:

xayb = 2a xbya = 2b

(1) (2)

Reemplazando el dato: (2) E = (2)(2) = 24 = 16 Rpta.: E = 16 4.-Hallar el valor numrico de: __________ _____ ______ _ __ ___ ______ __ _ 3 3 2 3 4 x x x x _____ ___ ___ ___ E = ____ _ _ __ 1/2 _____ ___ _ _ _ 3 3 x x x x para: x = 16

Multiplicando (1) . (2): xa+b . ya+b = 2a+b de aqu: xy = 2 (3)12

[

]

Dividiendo (1) entre (2): xa-b = 2a-b ya-b x y =2

– 32 –

L G E B R A

Luego, se deduce que: x = 2y Sustituyendo (4) en (3): (2y) (y) =2 2y2 = 2 Sustituyendo en (4): x = 2y Por lo tanto: E = (x)xy =(2)2 .1 = 4 Rpta.: E = 4 6.- Calcular el valor numrico de: ________2 x+b a – 2bx E = x-b a2 + 2bx _____ _ para x = a2 – b2 ___________________ 2 (a – 2bx) (x + b)2 E= (a2 + 2bx) (x – b)2 x = 2(1) = 2y=1 (4)

7.- Calcular el valor numrico de: E= x para: xx = 2 Solucin:Transformando la expresin:+1 x-1 – x +1 x . xx . x 5xx xx x . x x(x5xx

[

x-1 – 1) +1

]

E=x E=x

[

]

= x

x x . xx – x + 1 5xx

[

]

x x x . xx – x + xx 5x

(

)

= x5x

x xx+x -x . xxx

E = x5x

x xx . xxx

el orden de los factores exponentes no altera el producto ysacando 5:

E=

[(

xx

xx

)

xx 5 xx

]

Reemplazando xx = 2 se obtiene: E = [(2)2] = 210 = 1 024 Rpta.:1 024 8.- Calcular el valor numrico de: _____ _____ bb + x + x b +x E = __ xx __ 3 b a2 para: x = __ 3 __ 3 b2 – a2 Solucin:Factorizando y efectuando: _____ _____ ___ ( b + x __ ) (x + b) (b+ x)3 __ E = = x3 x3_____ _____ __________ 3 3 5

xx

Solucin: Introduciendo factores: Operando el cuadrado cadaexpresin: _______________ ____ _______ 2 2 (a – 2bx) (x + 2bx + b2)E= (a2 + 2bx) (x2 – 2bx + b2) ______ si x = a2 – b2 x2 = a2 – b2reemplazando: _______________ ________ ________ 2 2 2 (a 2bx) (a b+ 2bx + b2) E= 2 2 2 (a + 2bx) (a – b + 2bx + b2) ________ _____________ 2 2 (a – 2bx) (a + 2bx) E= (a2 + 2bx) (a2 – 2bx) Rpta.: E= 1

=

b+x = b +1 x ) ( x ) (

– 33 –

Reemplazando x:

3 3

__ ______ __ 2 2 b (c + d) a2 = b +c + d + a E = + + b c +d a bc+d a E = 1 + 1+ 1 = 3 Rpta.: E = 3 10.- Calcular el valor numricode E = x+y, en la siguiente ecuacin: __ n-y abn-1 x = b ab n-1ab

E=

E=

E=

E=

[ ] [ ] ] [ [ ] b __ + 1 3 b a2 __ __ 3 3 b2 – a2 __ 3 __ b2 -a2 + 1 __ 3 a23

__ 3 __ 3 __ b2 – a2 + a2 + 1 __ 3 a23 3

Solucin: Efectuando operaciones en el primer miembro:n-2

a1 1 – n-1

.b

1 n-1 – n-1

n-2

an-2 n-1

=

.b

n2-2n+1-1 n-1

__ 3 b2 __ 3 a23

n-2

a(n-2) n-1

1

=

b2 = b a2 a

.b

n(n-2) n-1

= a n-1 . b n-1

1

n

Igualando el segundo miembro: a n-1 . b n-1 = bx . a n-y . b n-y= b1 n 1 1 1 x + n-y

b Rpta.: E = a 9.- Calcular el valor numrico de: _____________________________ (a + b)(b + c + d) (a + b + c)(c + d + b) E = + bcd _____________ (a + b)(a + c + d) + a si: ab + ac + ad + bc + bd= 0 Solucin: Efectuando operaciones se obtiene:_______________________ ab + ac + ad + b2 + bc + bd E = b____________________________ (c + d)2 + ab + ac + bc + bd + ad +c+d reemplazando por el valor del dato se obtiene:

. a n-y

Por lo tanto, se puede deducir que: 1 = 1 n-1 n-y n-y=n-1 y=1Del mismo modo, tambin se deduce que: 1 = n x + n-y n-1 1 = n x +n-1 n-1 1 = n x + x=1 n-y n-1 E=x+y=1+1=2 Rpta.: E = 2

– 34 –

L G E B R A

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Calcular el valor de: ____________ ____n 9n+1/4 3n-2 E= __ 1 3n 3 __ a) 3 b) 3 c) 9 6. Simplificar:______________________ __ -1 m 2m+3 . 72m+1 – 2m+1 . 72m . ( m J =3 ) 2m+5 . 72m – 2m+1 . 72m+1 __ ___ m m a) 3 b) 9 c) 27 d) 3m e)1

[m-1 m

d) 27

e) 81

2. Calcular el valor de: __ m m 1 x + x E = m m+1 ________m+1

7. Si xy = yx, calcular: 2xy-x G= a) x 8. Calcular:

]

m2-1

[

x-y]

-x-y

[y-x]

-y-x

b) yx

c) y

d) x-y

e) yx

para x = a) 1

mmc) m __ d) m e) mm+1

b) m

C= a) 1

n-1

3. Simplificar la expresin:

10n-1 + 6n-1 + 15n-1 -1 -1 -1 (2n-1) + (3n-1) + (5n-1) b) 6 c)30 d) 10 e) 18

E= a) x2

[ ]1 1- x

_____ ____ ___ xx+1

(x )

x2- 1 x-2

9. Calcular: _ _ __ 2 -1 2 R= 2 __ 2 a) 1/2 b) 2 c) 21 _ -__

b) xx

__ x c) x

2

2

d) 1

e) x

(

)

4. Simplificar la expresin: 1 _______________ _________ aa ___ aa -a a a 2a -1 y = aa aa aa . a-2a __ a) aa b) a2a c) a d) a

d) 2

e) 4

e) a-a

5. Simplificar:

10. Simplificar: _ -1 _________________ _ _ x x x __ x-1 x-1 E=x x __ __ __ a) x b) x c) 1 d) xx e) x5

(

)

( )n-1 n-1

(ab)-1 ab{(ab)3} E = -2n m 2n 1 m _ _ _ _ _ _ 1 1 2 (ab ab ) ambm

{[

{ [

1 1 2 5

][ ]}d) 1

]}

-2

11. Simplificar:

a) ab

a b) b

1 c) ab

_____ __ x . (x ) ( x ) 3 x2x-3 R = __ -n __ __ . ____ ______ -n-n __ -1 3 x-2 . x-2 x-2 144424443 xx10 n2 veces 2

[

n-1

n -12n

][ ] ()d) x e) 1

e) a

a) x6

b) x9

c) x3

– 35 –

12. Simplificar:4 -1/16 2 3 -11/6 2 3

-1 2 2 -2

17. Efectuar: 1 _____ __ 2 43 3 _______ _____ 3 ___ 4 8 27 271 -2 1 6

( ) ________ _____ __ 3 43 3 ___ _____ ___ 4 9 64 27

{[(a ) ] } . a . {a [a (a ) ] } L =

[ 3

_______ _____ _ ______ _ _ __ __ __ __ __ 3 a a a a b) a8

] [ ]. d) a13 _7 ___ _ -1 7 -77 __

-12

________ ___ _______ _ _____ __ 3 3 a a-4

27

A=

[ ] [ ]b) 1/3 c) 1/9 d) 1/4 e) 2

a) a10 13. Calcular:

c) a12

e) 1

a) 1/2

y= a) 7

[ ] [ ]7___ 7 ___________ __

_ __

_7

18. Calcular: ________________ ______ __________________ _____

77

7

b) 1

__ c) 7

d) 49

e) 343

n n 32n + 8 + 16 90 + 16n – 32 25n-8 + 1 5 62n 8n + 4n C = n+13n+2 1-n 1-n 2 1 – 3 + n+1 3n+2 n-1 8 -2 3 +1

_________n

14. Sealar el exponente de x, despus de simplificar: __ 72 4 x___

d) -2

a) 1

b) 0

c) -1

e) 1/2

6x __ 8 x P = __ 9 __ 3 x __ . x xa) 3 15. Efectuar: b) 2 c)4

[ ]) 4 _ _ 3 4

19. Expresar en forma simplificada: _____________________________ ________________________ __________________ __________ ______ __n n-1 n-2 3 L= x x x x x2 x __ __ __ n 2n a) xn x b) xn-1 x c) xn-1x __ _ n2 d) xn2 e) x

d) 1

e) 5 20. Simplificar la expresin:16 – 30

J = _ 1_ _ (6 + 3 – 2 ) 2 _ _ 3 2 a) 2 b) 3 16. Efectuar:

(

[ ] [ ] [ ]_ c) 66

2 _ _ 4 4

3 _ _ 2 4

_ d) 26

_ e) 62

a) x-1 -1 1

x E= x __ 1 b) x c) x2 d) x

[ ]1 x x x-x2x2

____ __ _ _______ _______ ___ ___ ____ __

e) 1

R=

{

1 -1+ 1 -2 + 1 -2 1 – (3) 2 3 2 . 3 1 -1 -1 1 – ( 2) 1 -1 -1 -1-1 + 2 +3 +6 2 5

[( ) ( ) ( ) ] ( )] ( )b) 16 c) 4 d) 9

[

( )

}

-2

21. Resolver la ecuacin exponencial: _ ____ __2

=

2__ 3

__ a) 1

2 b) 2

2 c)

a) 25

e) 81

1 d) 2

e) 2

– 36 –

L G E B R A

22. Hallar el valor de x y n en la siguiente igualdad: =2 __ b)x = 2 n=2 e) x = 2-8 n = 1/8 xn .x .. x x -2

28. Resolver y dar el valor de y en: (2x)x+y = (y)2x+yx 2x (2x)= y

( )

y

a) x = 2 n = 1/4 d) x = 2-5 n = 2-2

c) x = 2-8 n = 2-2

a) -3 4 29. Resolver:

9 b) 16

3 c) 4

-9 d) 16

9 e) 4

x2x-1 = 2 1 a) 2 30. Resolver: d) 81 e) 243 a) 2 22x+2 – 2 .32x+2 = 6x b) 1 c) -2 1 d) 2 e) -1 2 1 b) 4 1 c) – 2 1 d) – 4 1 e)16

23. Calcular x en: ________

a) 27

n

xn + 9n = 1 81n + xn 3 c) 3

b) 9

24. Calcular x despus de resolver: _ _____ 4 6 561 . 12x = 6x 1a) 4 b) 4 c) 9 1 d) 9 e) 16

31. Si E = 16, calcular x siendo: E=4 .4 a) 2 b) -2xx -xx

. 4

x-x

. 4

-x-x

. 2

xx

25. Calcular el valor de a despus de resolver: aa = bb ab = 2asiendo a b. 1 a) 2 b) 2 1 c) 4 d) 8 e) 4

c) 3

d) -3

e) 4

32. Calcular el valor de: _______ _ _____ _ _ __ ___ _ __ ___ ___ __ __ F= a b c b c a si abc = u8 a) u3 b) u5 c) u7

( )( )( )d) u9 e) u11

_____ ____ __ ___ _ __ __ c a b

26. Resolver y dar un valor de x en: (3x + y)x-y = 9 x-y ____324 = 18×2 + 12xy + 2y2 a) -3/4 b) -9/4 c) 5/4 d) 3/4 e) 9/4

33. Calcular el valor de A = xyz si: (0,1)0,4 (0,2)0,3 (0,3)0,2(0,4)0,1 = 2x . 3y . 5z a) 0,1 b) -0,1 c) 0,12 d) -0,12 e) 1/5

34. Calcular el valor de n en:

27. Resolver la ecuacin exponencial: x __ 2 b) 22 x2x

=4 d) 2 1 e) 4 1 a) 2

{[ ] [ ] }81-8 -3 -1 -2

+ 27

-9

-2

-1 -4

n

__ 4 = 3 2 1 d) 9 1 e) 8

__ a) 2

1 c) 2

1 b) 3

1 c) 4

– 37 –

35. Hallar el valor numrico de: ___ ______ _ __ ____ __ 5 3 x xx R = ______ __ x5 x ___ 7 para x = 260

d) 32 e) 2

39. Calcular el valor numrico de: _________ _____ _ _________

-3/2

5

a) 4

b) 8

c) 16

36. Calcular Y = x-X , si se cumple que: x __ 5 b) 55 xx 5xx

_ a8 a-2b-12 C = 1 1 – 2 __ 2 1 32 ___ __ _ ___ a32 a2 a2________ _ _____ __

2

2

. para a = 2 b = 6 a) 4 b) 2 c) 8

(

a3 a a-1 d) 6

)e) 12

= 3 125 1 c) 5p

a) 5

d) 5

5

e) 5

-5

40. Hallar el valor numrico de: E = 223 . 156 – 223 . 134 – 22 .119 + 104 . 8 – 103 . 30 a) 25 b) 32 c) 30 d) 7

37. Calcular el valor de E = P _ __ x si x =2 a) 64 b) 32 y

_ x _ x P = xx

e) 0

c) 16

d) 4

e) 2 1)C 7)C.

CLAVE DE RESPUESTAS 2)A 8)C 14)D 20)B 26)C 32)E 38)C 3)E 9)A15)E 21)B 27)A 33)A 39)B 4)C 10)D 16)A 22)C 28)E 34)C 40)C 5)D6)E

m siendo: 38. Calcular L = n __ . . __ 10.

11)C 12)D 17)D 18)A 23)A 29)B 24)B 30)C

__ _ m=

10

10

__ 5 n = 5 c) 2

_.. _ 5

13)B 19)C 25)C

__ a) 10

b) 10

d) 5

1 e) 5

31)A 37)D

35)A 36)C

– 38 –

L G E B R A

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADOEs una caractersticas de la expresin algebraica, que vienedados por el exponente de sus letras, el cual debe ser un nmeroentero y positivo, y permite determinar el nmero de soluciones deuna ecuacin. Puede ser de dos tipos: relativo y absoluto. Elprimero se refiere a una sola letra y el segundo a todas susletras.

cuando tiene 2 trminos; trinomio cuando tiene 3 trminos, etc.Grado Absoluto de un Polinomio (G.A.P.). Est dado por el trmino quetiene mayor grado absoluto. Grado Relativo de un Polinomio(G.R.P.). Est dado por el trmino de mayor exponente de la letrareferida en dicho polinomio. Ejemplo: Determinar los grados delsiguiente polinomio. P = 4x4y3z5 + 8x5y4z6 + 9x6y2z8 Solucin: Comono se especifica qu grado debe darse, se obtendrn los dos grados:absoluto y relativo.

GRADOS DE UN MONOMIOMonomio. Es la mnima expresin algebraica quetiene un slo trmino algebraico. Como toda expresin algebraica tendrdos grados que son: Grado Absoluto. (G.A.). El grado absoluto de unmonomio est dado por la suma de los exponentes de todas sus letras.Grado relativo. (G.R.). Est dado por el exponente de la letrareferida a dicho monomio. Ejemplo: Determinar los grados siguientemonomio: M = 45x7y8z4 Solucin: Se debe dar como respuesta los dosgrados es decir, el grado absoluto y el relativo. 1) G.A.M. = 7 + 8+ 4 = 19

Grado (1) Absoluto = de P

{

G.A. de 4x4y3z5 es 12 G.A. de 8x5y4z6 es 15 G.A. de 9x6y2z8 es16

Luego: G.A.P. = 16

2)

G.R.M. =

{

GRx = 7 con respecto a x GRy = 8 con respecto a y GRz = 4 conrespecto a z Grado (2) Relativo = de P

GRADOS DE UN POLINOMIOPolinomio.Es una expresin algebraica quetiene 2 o ms trminos algebraicos; recibe el nombre de binomio

{

Grado Relativo con respecto a x = 6 (por ser el mayor exponente)Grado Relativo con respecto a y = 4 (por ser el mayor exponente)Grado Relativo con respecto a z = 8 (por ser el mayor

– 39 –

EJERCICIOS RESUELTOS

y3b

Solucin:

m-1 + m 5m-4 – 4 6 3

1.- Hallar a y b si el Grado Absoluto del monomio es igual a 17,y su coeficiente tiene el mismo valor que el Grado relativo conrespecto a x. Siendo el monomio: M = (a + b) x Solucin: DATOS: i)G.A.M. = 17 Efectuando: 2a – 2 + 3b = 17 Luego por el enunciado(1): 2a + 3b = 19 2(a – 1) + 3b = 17 ii) 2(a – 1) = a + befectuando: 2a – 2 = a + b o tambin: De (II): a-b=2 a=2+b (II)(III) (I)2(a-1)

Simplificando la expresin: m m 5m-4 3 m-1 4 – x x = 3 x m-1 + 46 M= 5m-4 x 6

tambin: M = x

Para que la expresin sea de 6to. Grado el exponente debe serigual a 6. m – 1 m 5m – 4 + – = 6 3 12 18 Dando comn denominador yeliminado denominadores: 12(m – 1) + 3m – 2(5m – 4) = 36 . 6 12m -12 + 3m – 10m + 8 = 216 5m = 220 Rpta.: m = 44 3.- Hallar el gradoabsoluto de la expresin: ____ b+c ____ a+b wazc M = xcya si secumple la siguiente expresin: (b + c) + (b – a) + (b – c) + (b + a)= 0 Solucin: El grado absoluto de M ser la suma de los exponentesde x, y, w, z. c + a c + a (c + a) (b + a + b + c) G.A.M. = + = a+bb+c (a + b)(b + c) (a + c)2 + 2b(a + c) G.A.M. = ab + ac + bc + b2a2 + c2 + 2ac + 2ab + 2bc = b2 + ab + ac + bc de la condicin: 1 + 1+ 1 + 1 =0 b+c b-a b-c b+a (I)-1 -1 -1 -1

reemplazando (III) en (I): 2(2 + b) + 3b = 19 de donde: En(III): Rpta.: b=3 a=2+3=5 a=5 b=3 2.- Hallar el valor que debedarse a m para que la expresin:3

M= sea de 6to. Grado.

_________ ___ m-1 4 m x x _______ 6 5m-4 x

– 40 –

L G E B R A

Agrupando y efectuando de acuerdo a lo sealado grficamente:b-c+b+c b+a+b-a + = 0 b2 – c2 b2 – a2 2b 2b + = 0 2 2 2 b – c b -a2

de la condicin: 2 -1 +3 – 1 +4 -1 +5 -1 ++n +1-1=m 2 3 4 5 n+1 21 3 1 4 1 5 1 ++ n + 1 – 1 – + – + – + – =m 2 2 3 3 4 4 5 5 n+1 n+11 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ++ 1 – 1 =m 1 – 2 3 4 5 n+1 1 + 1 + 1 + 1+ + 1 =m (1 + 1 + 1 + + 1) 1442443 2 3 4 5 n+1 n haciendo:

dividiendo entre 2b: 1 + 1 =0 2 2 2 b – c b – a22 b2 – a2 + b -c2 = 0 (b2 – c2)(b2 – a2)

(

)

1 + 1 + 1 + 1 + + 1 =p 2 3 4 5 n+1 n-p=m p=n-m (I)

Para que la expresin sea cero, el numerador debe ser cero, as:b2 – a2 + b2 – c2 = 0 2b2 = a2 + c2 Reemplazando (II) en el G.A.M.(I): 2b2 + 2ac + 2bc + 2ba G.A.M. = b 2 + ab + ac + bc 2(b2 + ac +bc + ab) = =2 b 2 + ab + ac + bc Rpta.: G.A.M. = 2 4.- Si se cumpleque: 1 + 2 + 3 + + n =m 2 3 4 n+1 Hallar el grado de: xn+m M = 3 4x x x . . . n factores Solucin: El grado pedido es: 1 + 1 + 1 + + 1G.A.M. = n + m – 2 3 4 n+1 (II)

Sustituyendo en el G.A.M. = n + m – (n – m) = n + m – n + m = 2mRpta.: G.A.M. = 2m 5.- Hallar el grado de la expresin:_____________ ________ ______________ 3 ________ 3 3 4 + 2 4 + 2 4+ M = 4a x

Solucin: El grado es el exponente de x: _____________ ______________________ 3 ________3 3

4 + 2 4 + 2 4 + = m

Elevando al cubo se obtiene: ____ ____________ _________ 3 3 4 +2 4 + = m3 4+2 pero se puede reemplazar la raz por su valor que esm: 4 + 2m = m3 m3 – 2m – 4 = 0 probando para m = 2, se obtiene:

(

)- 41 –

(2)3 – 2(2) – 4 = 0 Rpta.: G.A.M. = 2

6.- Calcular el valor de m si el grado de la expresin es de 7mo.Grado: -1 __ -m m m m m m 3 m 3m x x x __ m m M= x4 . x

Para determinar el grado relativo de y (G.R.y) en el monomio M1se calcula el exponente de y: b3 + 1 (b + 1)(b2 – b + 1) = G.R.y =ab2(b + 1) (b + 1)ab 2 b2 – b + 1 = 2 2 ab2 ab ab Se observar quetiene el mismo valor que el G.R.x, es decir = 10, luego: 1 – 1 + 1= GR = 10 GRy = x a ab ab2 Rpta.: GRy M1 = 10 8.- Hallar el gradoabsoluto de la expresin: __ n 6 x y M = _________________ n+1 22n+1 x . x4 . x9 xn _1 ( 2) 2 n 16 3

m

(

)

Solucin: Multiplicando los ndices de los radicales mayores: 1 -1m __ -1 -1 -1 -m m . m = m-m . m m = m-m . mm = m0 = 1 Luego laexpresin propuesta es igual a: _________ _____1 x x xm . xm . x m2x M = = __ m m x4m . x x4 . x m

m

3m

3

3m3

(

)

xm . x1/m . x3m = x4m . x11 -1 m M=x

(

)

[

]

Dato: n(2n + 1)(n + 1) 12 + 22 + 32 + + n2 = 6 Solucin:Transformando la expresin:n _ _ y6 M = ______________ n+1 2 2 2 22n+1 x1 + 2 + 3 + + n

de acuerdo con el dato: 1 – 1 = 7 ; 1 =8 G.A.M.: m m 1 Rpta.: M= m 7.- Si el grado relativo a x en el monomio: _________ _________ _____ _____ a a __ __ b b b b x y z y z x M = __ b+1 __ ab xy

_

x2 n

1 8

16

[

]

es igual a 10, hallar el G.R. respecto a y en el monomio. M1 =Solucin: Para determinar el G.Rx en el monomio M se calcula elexponente de x: 1 1 1 G.Rx: + – = 10 2 a ab ab (I)

[

2 ab

______ _ __ b+1 x y

]

3 b +1

n _ _ y6 M = 1 (2n + 1)(n + 1) n(2n + 1)(n + 1) 6 x 4 x2 n (2)

_

1 8

[

]

n _ _ _ _ x2 n 2 y 6 M = n x6 __ __ n – n = 2n El G.A.M. = 2 n 2+ 6 6

Rpta.: G.A.M. = 2n

– 42 –

L G E B R A

9.- Hallar el coeficiente del monomio: M=9a

DATOS: Por dato (1), la diferencia de exponentes de x es 12: GRx: n – (1-m) = 12 n – 1 + m = 12 n + m = 13 ()

( )

1 – x3a+2b y3a-b 3

b

Si su grado absoluto es 8 y el grado relativo respecto a y es 1.Solucin: Por primer dato: es decir la suma de exponentes de x es yes 8: G.A.M.: 3a + 2b + 3a – b = 8 6a + b = 8 ()

Por dato (2), la diferencia de exponentes de y es 10: GRy: m -(n – 3) = 10 m – n + 3 = 10 m-n=7 Sumando () y (): 2m = 20 ; m = 10()

Por segundo dato: es decir el exponente de y es igual a 1: G.R.y: 3a – b = 1 Sumando () y (): 9a = 9 En (): 6(1) + b = 8 ; b=2 ;a=1 ()

reemplazando en (): n + 10 = 13 Luego: G.R.z = 5n – (m – 2) = 5n- m + 2 Sustituyendo los valores de m y n: G.R.z = 5(3) – 10 + 2G.R.z = 7 11.- Hallar el valor de m para que la siguiente expresinsea de 2do. grado absoluto: ; n=3

Sustituyendo estos valores en el coeficiente: 9 se tiene: 9aa

1 (- 3)

b

( ) ( ) ( )

1 = 1 – 1 = 1 =1 – 9 9 3 3 9 M=

b

2

Rpta.: Coeficiente = 1 10.- En el siguiente monomio: xnymz5n M =x1-m yn-3 zm-2 El grado relativo respecto a x es 12, el gradorelativo respecto a y es 10, hallar el grado relativo respecto a z.Solucin: Para hallar el grado respecto a z debe de calcularse losvalores de m y n. Solucin:

[)

a

4

(a-2 bm/5)-1/2 __________ ______3

3

___________

a0 bm/5

]

Trabajando con el numerador: ______ ____

3

(a-2 b

1 – 2 m/5

2 5 2 1 m – = a 3 b 3 = a 3 b 30

1 (-2)

( ) (m )( 1 )

Trabajando con el denominador: ___________ _ _______4

a3

m 3 m – – 5 4 40 a b =a b 0

– 43 –

Reemplazando los equivalentes en la proposicin1 m -3 1 3 m m a 3b 30 + – – M = = a 3 4 30 40 3 m b a4 b 40

-3 5 4 m 4

[ ][[-3

]

13.- Si anbn = kn donde k es una constante, calcular el G.A. de:____ _______ ___________ n 2n k +b kn + a2n M= = a-2n kn + 1 b-2nkn + 1

Solucin: Trabajando con cada expresin. ____ _______ ___________n 2n k +b anbn + b2n M1 = = a-2n kn + 1 b-2n anbn + 1 ____________=

-5 -10m M = a 12 b 120

] = [a b- ] = a b-3

-5 12

m 12

Por el Dato G.A.M.: 5 + m = 2 4 4 Rpta.: m = 3 12.- Hallar lasuma de los grados relativos respecto a x e y en la siguienteexpresin: (x + y) (x2 + y2) (x3 + y3) (x4 + y4)(xn + yn) M = 1 + 11 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 x y x2 y2 x3 y3 x4 y4 xn yn ; 5+m=8

M1 =

bn (an + bn) bn + 1 an ________ _ _____ bnan(an + bn) (bn + an)__

( )( )( )( ) ( )

M1 =

bnan = b 2 a 2

n n

an(bn + an) n a +1 bn

n(n+ 1) Dato: 1 + 2 + 3 + 4 n= 2 Solucin: Operando con eldenominador, se obtiene: (x + y) (x2 + y2) (x3 + y3) (x4 + y4)(xn +yn) M = x + y x2 + y2 x3 + y2 x4 + y4 xn + yn 2 2 3 3 4 4 xy xy xyxy xnyn

M2 =

____ __ _______ n n a b + a2n = a-2n anbn + 1 ________ _____anbn(an + bn) (an + bn)

___________

=

( )( )( )( ) ( )

n n _ _ M2 = a 2 b 2

por lo tanto: n + n = 2n = n G.A.M1 = 2 2 2 n + n =n G.A.M2 = 22 Rpta.: G.A.M. = n 14.- Calcular el valor de x e y en el monomio:_______ 3 ax+y by+6 M = a2/3 b1-y si es de 2do. grado respecto a ay de 7mo. grado absoluto.

Simplificando se obtiene: M = (xy)(xy)2(xy)3(xy)4 (xy)n =(xy)1+2+3++nn(n+1)

M = (xy)

2

n(n+1)

=x

2

y

2

n(n+1)

Luego el grado absoluto es la suma de los exponentes: n(n + 1)n(n + 1) 2n(n + 1) G.A.M. = + = n(n + 1) 2 2 2 Rpta.: G.A.M. = n (n+ 1)

– 44 –

L G E B R A

Solucin: i) Por el dato (1): x+y 2 G.A.M2 = – = 2 2 2 ii) Pordato (2): G.A.M.: x+y 2 y+6 – + – (1 – y) = 7 3 3 3 reemplazando ()en () se obtiene: y+6 2 + – (1 – y) = 7 3 y+6 – (1 – y) = 5 3 y + 6- 3(1 – y) = 15 Rpta.: y = 3 () ()

Operando: (m + n)2 (m + n)2 – (m – n) 2mn(m – n)2 (m + n)2dividiendo todo entre : m-n 1 = 0 2mn(m – n) ; 2mn(m – n) – 1 =0

1 2mn (m – n) = 1 ; mn (m-n) = 2 1 Rpta.: 2 16.- Hallar el gradode la siguiente expresin algebraica:1 1+ 1 1 1+ 2

1 1+ 3

1 1+ n

M= x+3 2 En (): – = 2 3 3 Rpta.: x = 5 15.- Si m > n > 0 yla expresin: ______________ (xm+n + ym-n)m+n M = 2mn m+n m+n m-nm-n m-n m+n y +zm-n

x2 . x4 . x6 . x2n

Solucin: Operando:

M=

( )( )( ) ( )1 1 + 1 1 1 1 1 + 1 + 1 + n 2 3

x2+4+6+8++2n

el ndice se tiene: 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 (1 + ( n ) 1 )( 2)( 3 )( 4) 3 4 5 + 1 = 1 = ( 21 )( (n n ) n+ 2 )( 3 )( 4 ) 1 en elexponente de x se tendr: 2 + 4 + 6 + 8 + +2n = 2(1 + 2 + 3 + 4 + n)n+1 = 2(n) 2

(

)

es de grado absoluto cero, calcular: p = m . n(m – n) Solucin:Para determinar el grado de M, debe hallarse los mayores exponentestanto en el numerador como en el denominador; la diferencia deestos exponentes es el G.A.M. G.A.M.: (m + n)(m + n) (m + n)(m + n)(m – n)(m – n) – = 0 m-n 2mn

( )

reemplazando, la expresin compleja se transforma en:n(n+1)n(n+1) M = x = x (n+1) = xn n+1

Rpta.: G.A.M. = n

– 45 –

17.- Dado el polinomio: P = 2xab-4

+ 4(xy)ab-4

+ 3ya

2(b-4)

+ 5y4+a

b-4

Por dato y recordando que el grado absoluto del polinomio esigual al grado del trmino, de ms alto grado:

Si la suma de los grados absolutos de todos los trminos delpolinomio es (a6+2)2 calcular el valor de b. Solucin: Llamando I,II, III y IV a los trminos del polinomio. El grado absoluto de cadatrmino es: G.A.T. (I) G.A.T. (II) G.A.T. (III) G.A.T. (IV) = ab-4 =a2(b-4) =ab-4

G.A.P .

G.A.P.: +ab-4

{ }G.A.t (I) =m+n+1-3 =m+n -2 G.A.t (II) = m + 2 + n – 1 =m+n+1G.A.t (III) = m + 3 + n – 2 =m+n+1 m+n+1=8 m+n=7

=m+n+1

()

= 4 + ab-4

Por dato y recordando que G.R. y es igual al grado del trmino dems alto grado relativo:

La suma de los grados absolutos segn enunciado es: ab-4 +a2(b-4) + ab-4 + ab-4 + 4 + ab-4 = (a6 + 2)2 en el primer trminohaciendo: ab-4 = y, se obtiene: y + y2 + y +y +4 + y = (a6 + 2)2 y2+ 4y + 4 = (a6 + 2)2 (y + 2)2 = (a6 + 2)2 de aqu: y+2=a +2Reponiendo valor de y: ab-4 = a6 igualando exponentes: b-4=6 Rpta.:b = 10 18.- Calcular m y n para que el polinomio: P = 3xm+1 6

G.R.y:

{ }n-3 n-1 n-2

=n-1=5 n=6

En (): m+6=7 m=1 Rpta.: m = 1, n = 6 19.- Dados los siguientespolinomios:

y=a

6

P = 5xm+11 yn-3 +7xm+7 yn-2+6xm+2 yn+1 Q = 2x2m+6 yn+2+12x2m+2yn+7+8x2m yn+10 Determinar el G.A. del polinomio Q, sabiendo que:el grado absoluto de P es 16 y el menor exponente de y en elpolinomio Q es 4. Solucin: Por el dato (1):

y

n-3

+ 7x

m+2

y

n-1

+ 11x

m+3

y

n-2

G.A.P.

sea de grado absoluto 8 y de grado relativo respecto a y igual a5. Solucin: Llamando I, II y II, a los trminos del polinomio.

{

G.A.t (I) G.A.t (II) G.A.t (III)

=m+n+8 =m+n+9 =m+n+3

}

m+n+9

Por dato (1): G.A.P.: De donde: m + n + 9 = 16 m+n=7 ( )

– 46 –

L G E B R A

Por el dato (2): menor exponente de y en Q: n+2=4 En (): n=2m+2=7 m=5 El grado absoluto de Q es: G.R.y: G.R.x:

{ } { }m+n-2 m+n+5 m+n-6 m-3 m-4 m+2 n=2

=m+n+5

=m+2

Por dato (1) : G.R.x – G.R.y = 5 ; esto es:

G.A.Q.

{

G.A.t (I) = 2m + n + 8 G.A.t (II) = 2m + n + 9 G.A.t (III) = 2m+ n + 10

}

(m + n + 5) – (m + 2) = 5 ; 2m + n + 10 de aqu:

Por el dato (2): el menor exponente de y es: m-4=3 Luego: m =7

reemplazando valores de m y n: G.A.Q. = 2(5) + (2) + 10 = 22Rpta.: G.A.Q. = 22 20.- Si en el polinomio: P = 4xm+n-2 ym-3+8xm+n+5 ym-4 + 7xm+n-6 ym+2

De acuerdo con el pedido, el G.A.P. es igual al mayor grado detodos los trminos, es decir:

G.A.P . se verifica que la diferencia entre los grados relativosde x y es 5 y adems que el menor exponente de y es 3. Hallar sugrado absoluto. Solucin: Por el dato (1)

{

G.A.t (I)

= 2m – 5 + n

G.A.t (II) = 2m + n + 1 G.A.t (III) = 2m + n – 4

}

= 2m + n + 1

= 2(7) + 2 + 1 = 17

Rpta.: G.A.P. = 17

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Si el monomio: M = 26

a

b 2 xb y xa yb

es de grado absoluto 4, y los grados relativo a x y son iguales.Calcular el valor de: E = 3b – 2a a) 4 a) 1 b) 5 c) -4 d) -1 e)-2

___ { [ ( a ) ] } M = {[ b ] }-2 -x x x 4 -4 -x2 1 x

sea de grado 120? b) 5 c) 2 d) 3 e) 7

2. Qu valor debe tomar x para que el monomio:

3. Hallar el valor de m de tal manera que la expresin:

– 47 –

[a) 10

_________ _____ _ __ a a2 a3 a3(a2)[(a1/2)1/3]1/2

]

-m

e) 120

8. Hallar el valor de m si la expresin:mm

1 e) 4

M= es de grado 32.

m-m 3m m xm x(m )

sea de grado 120 b) 20 c) 30 d) 40

a) 4

b) 2

c) 2

1 d) 2

4. Hallar el grado del siguiente monomio: _____________ __ ___________ ______ 3 3 3 M = 7x 6 + 6 + 6 +

9. Cuntas letras se deben tomar en el siguiente monomio: M = a6b24 c60 d120 para que su grado sea 6 006? e) 6 a) 12 b) 10 c) 15 d)13 e) 11

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

5. Hallar el grado del nomonio: M = 4x(bc) y(ac) z(ab) si secumple: yz – a2 = xz – b2 = xy – c2 = x2 + y2 + z2 – d2 = 0 y ademsabcd = m a) m b) m2 c) m4 d) m8 e) m124 4 4

10. Hallar el grado de la expresin: M = 5x a) 2

10 –

4 –

6 +

6 +

6

+ veces

b) 3

c) 5

d) 10

e) 4

11. Si el grado absoluto de la expresin:3 (xyz) p+q+r (a + b +c)++ M =

6. Hallar el grado de la expresin: M=

-2 4

xn+m yn-m+2 z2n xn-m ym+n+2 z2m ; c) 3 m = 32-3 125 -10

(x + y + z)p+q es nulo, hallar el valor de: + J = a) r b) p + qc) -r

z

-1

siendo n = 16 a) 5 b) 4

d) 2

e) 1

d) -1

e) -q

7. Hallar el valor de: V=

(

2 11

) ( ) (+

-2

4 -1+ 11

1 – 3 17

)

-3

. a

siendo el valor de a el que se obtiene, para que la expresin: 3a-2 x x3a M = xa+1

12. Si m > n > 0 y la expresin: m-n m-n (m-n)n xm+n + ym-nE = m-n 2mn m+n m-n m-n 2 2m-1 2m-2 m-n m+n x +z y +z

[

]

[

][

]

es de grado nulo. Calcular: m + n E = n m

sea de primer grado. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 16

a) 5

b) 4

c) 6

d) 7

e) 3

– 48 –

L G E B R A______ m+n m+n

13. Si A =

(

2

)

m2-n2

P (x,y) = 3xn+7 ym-1 + 6xn+8 ym + 5xn ym+1 Q (x,y) = 4xm+1 yn +7xm+2 yn+1 + 8xm+3 yn+2

hallar el grado de: m+n m-n m+n m-n m-n A +A m+n M = m + n 2mm-n m-n

[

](1 2

)

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

18. Hallar E = m + n si el G.A. del polinomio: P (x,y) = 4xm+3yn-2 + 5xm+1 yn+1 + 7xm yn+2 es de grado absoluto 8 y el gradorelativo a x supera en una unidad al grado relativo a y. a) 5 b) 4c) 3 d) 6 e) 10

(

)

a) 1

b) 2

c) m

d) m-n

e) 0

14. Hallar el valor de m para que el monomio: 2 3 x 3 xm x M = 3xm x-3 sea de segundo grado.

[

]

19. Calcular el valor de x para que la expresin sea de segundogrado:x x M = a a2

a3 axd) 4

x

x

e) 5

a) 1 a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7 15. Hallar m y n si el polinomio:P (x,y) = 4x2m+n-4 ym+n+2 + 7x2m+n-3 ym+n+1 + 9x2m+n-2 ym+n es degrado absoluto veintiocho y la diferencia de los grados relativosde x y es 6. Dar m + n a) 10 b) 12 c) 8 d) 14 e) 16

b) 2

c) 3

20. Si el grado absoluto de: M1

xa yb z w = ab

b

a

a b

______ xa2 yab

16. Se tienen dos polinomios P y Q, si el polinomio P es degrado 10 respecto a x. En el polinomio Q el grado respecto a x es 5grados menos que el grado respecto a y. Hallar el grado respecto ay en el polinomio Q, siendo: P (x,y) = xm2 +1

es igual a 7, hallar el grado respecto a x en el monomio: a xyazb4 M2 = b

xy

2 b

(z ) (z )

-1 a3

-2 a3

a) 5

b) 4

c) 3

d) 6

e) 7

yn-1 + 3xm yn-6

2-1

yn+1 + 7xmn-2

2+1

yn CLAVE DE RESPUESTAS 1) A 6) D 11) C 16) B 2) B 7) A 12) C 17)C 3) D 8) A 13) E 18) D 4) B 9) E 14) C 19) C 5) C 10) B 15) A 20)E

Q (x,y) = 2x a) 10 b) 5

m+7

– 5x

m

y

+ 9x

m-1

y

n-3

c) 15

d) 12

e) 2

17. Determinar el grado absoluto de Q, si el grado absoluto de Pes 20 y el mayor exponente de y en Q es 10.

– 49 –

NOTACIN POLINMICA

Notacin polinmica es la representacin de un polinomio, mediantesus variables y constantes. Se denomina variable a toda magnitudque cambia de valor, se le representa por las ltimas letras delabecedario: x,y,z, etc. Se denomina constante a toda magnitud quetiene un valor fijo, no cambia su valor; se le representa por lasprimeras letras del abecedario: a,b,c, etc.

VALOR NUMERICO DE UN POLINMIOEs el valor que toma dichopolinomio, cuando se reemplaza en l valores asignados a susvariables. Ejemplo.- Sea el polinomio: P(x, y) = x2 + y2 – 5 hallarP(2,4) Solucin: Se reemplaza los valores de x e y, as: P(2,4) = 22+ 52 – 5 = 4 + 25 – 5 = 24 CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO Es laexpresin que se obtiene al cambiar la variable del polinomio porotra. Ejemplo: Sea el polinomio: P(x) = 4×2 + 5x + 6

POLINOMIOPolinomio es una expresin que consta de ms de un trminogeneral, un polinomio se representa de la siguiente manera: P (x,y) , se lee polinomio en x,y. donde P es el nombre genrico: (x, y)son las variables x y. Por lo tanto: P(x,y), significa que elpolinomio es de nombre P y de variables x, y. Ejemplos: i) P(x,y) =4x + 5y + 7 ii) P(x, y, z) = 4×3 + 7xy + 6z2 iii) P(x) = 4×3 + 5×2+ 7x En general se tendr:2 2

calcular P(y + 1) Solucin: Se reemplaza x por y+1; as:

P (x,y,z) 123

= ax + by + cz

2

3

5

P(y + 1) = 4(y + 1)2 + 5(y + 1) + 6 efectuando operaciones: P(y+ 1) = 4(y2 + 2 + 1) + 5y + 5 + 6

nombre genrico

variables

constantes

P(y + 1) = 4y2 + 8y + 4 + 5y + 11 P(y + 1) = 4y2 + 13y + 15

– 50 –

L G E B R A

EJERCICIOS RESUELTOS1.- Calcular: E = Q [P(-2)] siendo: P (x) =3×3 + 5×2 + 2x + 8 y: Q(x) = (2x + 1) (5x – 1)n 2 2n-1

x – 1 , calcular: 3.- Si P (x) = x + 1 R = P{P[P(25)]} Solucin:Calculando por partes:n n

+ (x + 5) (x + 1) + (2x + 5) (x – 1)

25 – 1 24 24 P(25) = = = = 4 25 + 1 5 + 1 6 4-1 3 3 P[P(25)] = P[4] = = = = 1 4+1 2+1 3 1-1 0 P{P[P(25)]} = P[1] = = = 0 1+1 2Rpta.: E = P{P[P(25)]} = 0 4.- Si P ( x ) = x(2 – x) + 5,calcular:

Solucin: Clculo de P (-2): P(-2) = 3(-2)3 + 5(-2)2 + 2(-2) +2(-2) + 8 = -24 + 20 – 4 + 8 = 0 P(-2) = 0

Clculo de Q [P(-2)] Q [P(-2)] = Q[0] = (0 + 1)n (0 – 1)2n-1 + (0+ 5)n (0 + 1) + (0 + 5)n(0 – 1) Q[0] = (1)n (-1)2n-1 + 5n + 5n(-1)Solucin: Q[0] = (1) (-1) + 5n – 5n = -1 Rpta.: E = Q [P(-2)] = – 12.- Si P (x) = x2 – x + 2, calcular: R = P{P[2 – P(-1)]} Solucin:Clculo de P (-1): P(-1)

Publicaciones Similares