Admi Uam Cbi – [PDF Document]

  • A tiempoPara los aspirantes a licenciatura que presenten elexamen deCiencias Bsicas e Ingeniera
  • Canek: Portal de MatemticaColeccin Guas de EstudioA tiempoPara los aspirantes a licenciatura que presenten elexamen deCiencias Bsicas e IngenieraErnesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)Mara TeresaCastaeda BrionesLuz Mara Garca CruzAda Mndez SosaTeresa MerchandHernndezAlejandro de la Mora OchoaRafael Prez FloresJos ngel Rocha MartnezCarlos Antonio UlnJimnez2013
  • UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANARECTOR GENERALDr. Enrique Fernndez FassnachtSECRETARIAGENERALMtra. Iris Santacruz FabilaCOORDINADORA GENERAL DE INFORMACIN INSTITUCIONALDra. Mara JosArroyo PaniaguaJEFE DEL DEPARTAMENTO DE ADMISINGerardo GutirrezSantiagoUNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANA UNIDAD AZCAPOTZALCORECTORAMtra. Paloma Gabriela Ibez VillalobosSECRETARIO DEUNIDADIng. Daro Eduardo Guaycochea GuglielmiDIRECTOR DE LA DIVISIN DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERADr. LuisEnrique Norea FrancoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICASDr.David ElizarrarazMartnezM. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador)Dra. MaraTeresa Castaeda BrionesDra. Luz Mara Garca CruzLic. Ada MndezSosaMtra. Teresa Merchand HernndezDr. Alejandro de la Mora OchoaDr.Rafael Prez FloresM. en C. Jos ngel Rocha MartnezDr. Carlos AntonioUln JimnezUniversidad Autnoma MetropolitanaProl. Canal de Miramontes 3855,col. Ex-Hacienda San Juan de DiosDel. Tlalpan, C.P. 14387 MxicoD.F.ISBN de la coleccin 978-607-477-402-3ISBN del volumenPrimera edicin 2013Impreso en Mxico. Printed in MexicoCaptura de datos: Alberto Rodrguez SnchezCuidado editorial: Mtra. en Ed. Concepcin AsuarEste trabajo ha sido realizado por los autores en colaboracincon el Departamento de Admisin, de la CoordinacinGeneral deInformacin Institucional, de la Rectora General.ste es un materialde apoyo para la preparacin de los aspirantes que deseen ingresaral nivel licenciatura en laUniversidad, por lo que resolveradecuadamente los ejercicios no constituye una garanta deingreso.Todo el material de A tiempo se encuentra en lnea en ladireccin: http://canek.azc.uam.mx
  • ndicePrlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XISeccin I. Teora y reactivos 11. Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Aritmtica . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 31.1.1 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31.1.2 Operaciones con fracciones numricas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Valor numricode expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 101.2.2 Reduccin de trminos semejantes . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Smbolos deagrupacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 121.2.4 Leyes de los exponentes y radicales . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5 Operacionescon polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 161.2.6 Productos notables . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.7Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 221.2.8 Operaciones con fraccionesalgebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271.2.9 Racionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.10 Ecuaciones de primergrado con una incgnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 351.2.11 Sistemas de ecuaciones lineales 2 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2.12 Ecuaciones desegundo grado con una incgnita . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 411.2.13 Sistemas de ecuaciones 2 2 con al menos unacuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . 431.3 Geometra euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.1 nguloscomplementarios y suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 451.3.2 ngulos formados al cortar dos rectasparalelas con una transversal . . . . . . . . . . 461.3.3Propiedades de paralelogramos y tringulos . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 481.3.4 Tringulos congruentes y semejantes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.3.5Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 591.3.6 Permetro y rea de polgonos y delcrculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.3.7rea y volumen de paraleleppedos, cilindros, conos y esferas . . . .. . . . . . . . . . 691.4 Trigonometra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.4.1 Medida de ngulosen grados y radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 731.4.2 Funciones trigonomtricas en un tringulo rectngulo . .. . . . . . . . . . . . . . . . 751.4.3 Funciones trigonomtricas dengulos notables (30, 45 y 60) . . . . . . . . . . . . . 771.4.4Identidades trigonomtricas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 801.4.5 Resolucin de tringulos rectngulos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.4.6Identidades para la adicin de ngulos y sustraccin de ngulos . . . .. . . . . . . . 831.4.7 Leyes de los senos y de los cosenos . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.4.8Resolucin de tringulos oblicungulos . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 86VII
  • VIII A tiempo1.5 Geometra analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.5.1 Distancia entredos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 871.5.2 Divisin de un segmento en una razn dada. Puntomedio . . . . . . . . . . . . . . . . 901.5.3 ngulo de inclinacin ypendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .931.5.4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 941.5.5 Ecuaciones de la recta entodas sus formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .971.5.6 Interseccin de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.5.7 Ecuacin y elementosprincipales de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1021.5.8 Ecuacin y elementos principales de la parbola . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.5.9 Ecuacin y elementosprincipales de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1081.5.10 Ecuacin y elementos principales de la hiprbola . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.6 Clculo diferencial e integral . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.6.1 Derivadas desumas, productos, cocientes y potencias de funciones . . . . . . .. . . . 1131.6.2 Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162. Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.1 Anlisisdimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1192.1.1 Sistema internacional de unidades (SI) . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.1.2 Magnitudes fsicas.Escalares y vectoriales. Fundamentales y derivadas . . . . . . . .1202.1.3 Notacin cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.1.4 Conversin deunidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1262.2 Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.2.1 Conceptos dedesplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1272.2.2 Movimiento rectilneo: uniforme y acelerado . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.2.3 Movimientobidimensional: circular y tiro parablico . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1312.3 Dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.3.1 Conceptos deinercia y fuerza. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1352.3.2 Conceptos de energa cintica, energa potencial,trabajo y potencia . . . . . . . . . . . 1382.4 Esttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.4.1 Diagramade cuerpo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1402.4.2 Equilibrio, momento de una fuerza ycentro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.5 Hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.5.1 Principio dePascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1512.5.2 Densidad . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.6 Electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.6.1 Cargaelctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1532.6.2 Ley de Coulomb . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553. Qumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.1 Conceptosintroductorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1593.1.1 La materia y los tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.1.2 Propiedades de lamateria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1603.1.3 Estados de agregacin . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.1.4 Sustanciaspuras (elementos y compuestos) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1623.1.5 Mezclas homogneas y heterogneas . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.2 Estructura del tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.2.1 Partculassubatmicas y fundamentales (protones, neutrones y electrones) . . .. . . 1643.2.2 Nmero atmico, masa atmica e istopos . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.2.3 Molculas e iones . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1673.2.4 Cantidad de sustancia (mol) y masa molar . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.3 Tabla peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.3.1 Smbolos yfrmulas qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 169
  • ndice IX3.3.2 Grupos o familias, periodos y bloques . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.3.3 Propiedades peridicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1733.4 Enlace qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.4.1 Principios deenlace qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1743.4.2 Enlace inico o electrovalente . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.4.3 Enlacecovalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1803.4.4 Enlace metlico . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1823.4.5 Interacciones por puente de hidrgeno . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1843.5 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.5.1 Iones mono ypoliatmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1853.5.2 xidos metlicos y no metlicos . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893.5.3 Hidruros . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1923.5.4 Hidrcidos . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.5.5Oxicidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1953.5.6 Hidrxidos . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1983.5.7 Sales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.5.8 Hidrocarburos(alcanos, alquenos y alquinos) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2023.6 Reacciones qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.6.1 Tipos dereacciones qumicas (sntesis, descomposicin y desplazamiento) . . .. . . . 2073.6.2 Reacciones cidobase . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.6.3 Reacciones decombustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2103.6.4 Reacciones xidoreduccin . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.6.5 Balanceo deecuaciones por tanteo y por el mtodo redox . . . . . . . . . . . .. . . . . 2133.6.6 Clculos estequiomtricos . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174. Lingstica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.1 Comprensintextual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2214.1.1 Anlisis y sntesis de textos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.1.2 Identificacin de lainformacin y argumentos de un texto . . . . . . . . . . . . . . . .2244.2 Ortografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.2.1 Grafemas yfonemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2274.2.2 La slaba. Clasificacin de las palabras . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.2.3Diptongos e hiatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2304.2.4 Acentuacin diacrtica . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2324.3 Semntica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.3.1 Anlisis deldiscurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2354.3.2 Coherencia y cohesin . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.4 Sintaxis del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.4.1 Oracin yfrase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2394.4.2 Sujeto y predicado . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414.5 Puntuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.5.1 Los signosde puntuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2444.6 Manejo de vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.6.1 Morfologaflexiva y derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2494.6.2 Sinnimos y antnimos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2515. Razonamiento matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2555.1 Sucesionesnumricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2555.2 Razonamiento aritmtico . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2575.3 Razonamiento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595.4 Razonamientogeomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 263
  • X A tiempoSeccin II. Soluciones de los reactivos 2696. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Seccin III. Desarrollos de los reactivos 2877. Desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2891. Matemtica .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2891.1 Aritmtica . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2891.2 lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2931.3 Geometraeuclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3241.4 Trigonometra plana . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3531.5 Geometra analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3621.6 Clculodiferencial e integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3852. Fsica . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3912.1 Anlisis dimensional . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3912.2Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3942.3 Dinmica . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3992.4 Esttica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4032.5 Hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4102.6 Electrosttica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4113. Qumica . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4173.1 Conceptos introductorios . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.2 Estructuradel tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4193.3 Tabla peridica . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4223.4 Enlace qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4243.5 Nomenclatura .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4273.6 Reacciones qumicas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4314. Lingstica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4374.1 Comprensintextual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 4374.2 Ortografa . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4394.3 Semntica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4444.4 Sintaxis deltexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4464.5 Puntuacin . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4484.6 Manejo de vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4495.Razonamientomatemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 4515.1 Sucesiones numricas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4515.2 Razonamiento aritmtico . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4525.3Razonamiento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 4575.4 Razonamiento geomtrico . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 469Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
  • PrlogoLa obra, A tiempo. Para los aspirantes a licenciatura quepresenten el examen de Ciencias Bsicas e Ingeniera,constituye unmaterial que ha sido elaborado para quienes han concluido susestudios de nivel mediosuperior y desean presentar el examen deCiencias Bsicas e Ingeniera (CBI), para ingresar a laUniversidadAutnomaMetropolitana (UAM).Contiene temas de MATEMTICA, FSICA, QUMICA, RAZONAMIENTO VERBALY RAZONAMIENTO MATE-MTICO, del nivel medio superior, importantes ynecesarios para iniciar la formacin universitaria en elcampo de lasciencias bsicas y las ingenieras. Cada uno de los temas se presentade manera sinttica yse acompaa con un conjunto de ejemplos yejercicios similares a los que integran el examen de CBIparaingresar a la UAM.La obra ha sido dividida en las siguientes secciones:I. Teora y ejerciciosII. SolucionesIII. DesarrollosBibliografaEsto es, en este libro encontrars cpsulas de informacin (Teora yejercicios) que rescatan lo fundamentalde cada tema; a continuacinse proponen preguntas de opcin mltiple, tanto conceptuales comoproble-mas y ejercicios; encontrars, adems ayudas tiles (pie depgina), por toda la obra. Y en los Desarrollos,para cada problema,se plantea una estrategia que conduce a entender por qu se resuelvede esa forma.Los autores, profesores de la Universidad que contamos conmuchos aos de haber impartido clasesen esos temas, hemos trabajadode manera multidisciplinaria en su construccin, pensando siempre enelaspirante a alumno de la UAM. Por esta razn, en las pginas de Atiempo se encuentra una didctica ade-cuada para coadyuvar en lacomprensin de contenidos y con el desarrollo de las competenciasimplcitasen stos.Prepararte, en los meses previos, para el examen de ingreso a laUniversidad es un aspecto central entus actividades; estudiar esuna tarea que implica tiempo y capacidad de organizacin: recordarlo queya sabes, repasar, reaprender. . . , en algunas ocasionesaunque aparentemente sientes que no avanzas, si tededicas concompromiso y consciencia de la transcendencia de esta tarea para tuvida futura, el resultadofinal indudablemente va ser muy positivopara ti mismo.Para encontrar la opcin correcta de cada ejercicio del libro Atiempo, es necesario que antes actualices losconocimientos que hasaprendido, tanto de manera formal en la escuela, como aquellosadquiridos en lasdiversas situaciones de la vida cotidiana. Tambines necesario que prestes un nivel ptimo de atencin, deconcentracin,en la lectura del libro que tienes entre tus manos. Adems, tesugerimos lo siguiente:Leer detenidamente cada pregunta, con el fin de entenderla bien.Tener tus libros de bachillerato a tu lado, por si te fuesenecesario consultarlos. Asimismo, al final de este libro, te ser demucha utilidad una bibliografa que podrs consultar yutilizar cuandolo creas necesario.XI
  • XII A tiempoExaminar las opciones de respuesta propuestas y razonar susdiferencias. Seleccionar la opcin o, en su caso, las opciones queconsideres son lo correcto para lo que se tepregunta.Asegurarte bien de que es correcta la opcin que ests eligiendo.Al final, cuando compares lo elegido por ti con las opcionesindicadas en las Soluciones, revisa condetenimiento losDesarrollos, tanto para entender mejor esa pregunta, como paracomprender qupasos dar para poder responderla sin error.Es indudable que este material ayuda a preparar el examen deadmisin a la UAM, pero tambin consti-tuye una importanteherramienta para el desarrollo de habilidades comunicativas y parala solucin deproblemas en las reas de matemtica, fsica, qumica yrazonamiento verbal.Aunque ciertamente ste es unmaterial de apoyo para la preparacinde los aspirantes que deseen ingre-sar al nivel licenciatura en laUniversidad, resolver adecuadamente los ejercicios de este libro noconstituyeuna garanta de ingreso.Todo el material de A tiempo se encuentra en lnea en ladireccin: http://canek.azc.uam.mxErnesto Javier Espinosa HerreraCoordinador
  • Seccin ITeora y reactivos
  • 1. Matemtica1.1 Aritmtica1.1.1 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisorEn este subtema, vamos a trabajar exclusivamente con el conjuntoN [ f 0 g, donde:N D f 1; 2; 3; : : : ; n; nC 1; : : : g es elconjunto de los nmeros naturales:Decimos que a divide a b si b D ac.As, 5 divide a 20 puesto que20 D 5 4.Otras maneras de expresar esta condicin son:b es un mltiplo de a.a es un factor de b.b es divisible entre a.a es divisor de b.Divisin euclideana. Dados dos nmeros naturales a, b existen dosnicos nmeros q, r tales que:b D qaC r; donde 0 r < a:Decimos que q es el cociente de la divisin b entre a y que r esel residuo de dicha divisin.Si b D 23 y si a D 5, al dividir 23 entre 5, obtenemos:23 D 4 5C3:En este caso q D 4; 0 < r D 3 < 5.Si b D 5 y si a D 23, aldividir 5 entre 23, obtenemos:5 D 0 23C 5:En este caso q D 0; 0 < r D 5 < 23.Considerando lo anterior, se dice que a divide a b si alefectuar la divisin a entre b el residuo es r D 0. Decimos que unnmero natural p es primo si sus nicos divisores son 1 y p.Losprimeros nmeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, : : :Decimos que n es un nmero compuesto sin D ab; donde 1 < a< n y donde 1 < b < n:Por ejemplo, el nmero 10 es compuesto, ya que 10 D 2 5. Teoremafundamental de la aritmtica. Todo nmero natural n se puedefactorizar en nmeros primos demanera nica (salvo el orden).3
  • 4 A tiempoEjemplos:140 D 22 5 7.792 D 23 32 11.Sea el nmero 175 D 52 7, notacin que representa su descomposicinen nmeros primos. El nmero totalde divisores de 175 es .2C 1/.1C 1/D 6. Para obtener estos divisores observamos la siguientetabla:Divisor0 0 50 70 D 10 1 50 71 D 71 0 51 70 D 51 1 51 71 D 352 0 52 70 D252 1 52 71 D 175Un divisor de un nmero n tiene obligatoriamente potencias deprimos que se encuentran en la descom-posicin de n. Si b D ac es unmltiplo de a, entonces todos los primos de la descomposicin de aseencuentran en la descomposicin de b.El mximo comn divisor de dos nmeros naturales a, b [el cualdenotaremos como mcd.a; b/] es unnmero que divide a ambos nmeros ycumple con la condicin que, si n es otro nmero que dividea ambosnmeros, entonces n mcd.a; b/.Para calcular el mcd.a; b/,descomponemos primero en nmeros primos ambos nmeros; luegoseconsideran los primos comunes en dichas descomposiciones, setoman las potencias mnimas dedichos primos y se multiplican esaspotencias mnimas. Cuando no hay primos comunes se tienemcd.a; b/ D1.El mnimo comn mltiplo de dos nmeros naturales a, b [el cualdenotaremos como mcm.a; b/] esun nmero que es mltiplo de ambosnmeros y cumple con la condicin que, si n es mltiplo comnde a, b,entonces mcm.a; b/ n.Para calcular el mcm.a; b/, primero sedescomponen en nmeros primos ambos nmeros, se tomanlas potenciasmximas de todos los primos existentes en dichas descomposiciones yse multiplicandichas potencias mximas.Reactivos de Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisorSoluciones:vase la pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 2891. Sean los nmeros n D 12, m D 90. Calcular el mximo comndivisor y el mnimo comn mltiplode ambos. Elige la opcincorrespondiente .A. mcd.12; 90/ D 12, mcm.12; 90/ D 180B. mcd.12; 90/ D 6,mcm.12; 90/ D 360C. mcd.12; 90/ D 12, mcm.12; 90/ D 90D. mcd.12;90/ D 6, mcm.12; 90/ D 180E. mcd.12; 90/ D 6, mcm.12; 90/ D 902. Sean los nmeros n D 10, m D 21. Calcular el mximo comndivisor y el mnimo comn mltiplode ambos. Elige la opcincorrespondiente .A. mcd.10; 21/ D 1, mcm.10; 21/ D 105
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 5B. mcd.10; 21/ D 5, mcm.10; 21/ D 210C. mcd.10; 21/ D 1, mcm.10;21/ D 210D. mcd.10; 21/ D 5, mcm.10; 21/ D 105E. mcd.10; 21/ D 10,mcm.10; 21/ D 2103. Sean los nmeros n D 30, m D 140 & r D 75. Calcular elmximo comn divisor y el mnimo comnmltiplo de los tres. Indica laopcin .A. mcd.30; 140; 75/D 30, mcm.30; 140; 75/D 180B. mcd.30; 140;75/D 6, mcm.30; 140; 75/D 360C. mcd.30; 140; 75/D 12, mcm.30; 140;75/D 90D. mcd.30; 140; 75/D 5, mcm.30; 140; 75/D 2 100E. mcd.30;140; 75/D 6, mcm.30; 140; 75/D 904. Sean los nmeros n D 15, m D 14 & r D 22. Calcular elmximo comn divisor y el mnimo comnmltiplo de los tres. Escribe cules la opcin correcta .A. mcd.15; 14; 22/D 1, mcm.15; 14; 22/D 2 310B. mcd.15; 14; 22/D3, mcm.15; 14; 22/D 2 310C. mcd.15; 14; 22/D 2, mcm.15; 14; 22/D 4620D. mcd.15; 14; 22/D 3, mcm.15; 14; 22/D 4 620E. mcd.15; 14; 22/D5, mcm.15; 14; 22/D 2 3101.1.2 Operaciones con fracciones numricasPara la representacin de los nmeros enteros en una recta,colocamos en ella un punto fijo 0 llamadoel origen, una unidad delongitud convencional (arbitraria) y un sentido positivo, hacia laderecha. Si apartir del origen marcamos la unidad de longitudconsecutivamente en el sentido del eje, obtendremos unasucesin depuntos cuya distancia al origen es, respectivamente, 1; 2; 3; ;estos puntos representan a losnmeros naturales.0 1 2 3Los simtricosde estospuntos con respecto al origen, es decir,los puntos que se obtienen almarcar repetida-mente la unidad delongitud en el sentido contrario al del eje, representan a losnmeros enteros negativos.-3 -2 -1 0 1 2 3Adems, hay puntos en el eje cuya distancia al origen es el nmeroracionalpqcon p, q 2 N. Si dividimosla unidad de longitud en q partes iguales y tomamos p de ellasen el sentido del eje o bien p en sentidoopuesto, encontramos puntos cuya distancia al origen espq. Estos puntos corresponden a los nmerosracionalespqy pq, respectivamente.
  • 6 A tiempo-312b12b53b53bpqbpqb-212b12b53b53bpqbpqb-112b12b53b53bpqbpqb012b12b53b53bpqbpqb112b12b53b53bpqbpqb212b12b53b53bpqbpqb312b12b53b53bpqbpqbDos nmeros racionales son iguales si al multiplicar cruzadosnumerador con denominador, se ob-tiene el mismo resultado:1012D 56puesto que 10 6 D 12 5 D 60:Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de unracional por un mismo nmero seobtiene un nmero racional igual.Multiplicando por 2:1012D 2 102 12 D2024:Multiplicando por12(o lo que es lo mismo, diviendo entre 2) se tiene:1012D12 1012 12 D56:Para sumar dos racionales con el mismo denominador se suman losnumeradores y se deja el mismodenominador:35C 75D 3C 75D 105:Para restar dos racionales con el mismo denominador se restanlos numeradores y se deja el mismodenominador:35 75D 3 75D 45D 45:Para sumar o restar dos nmeros racionales con distintodenominador, se convierten ambos racionalesen otros equivalentescon igual denominador y se aplican las reglas anteriores:Usando el producto de los denominadores como denominadorcomn:56C 110D 10 510 6 C6 16 10 D5060C 660D 5660:Usando el mnimo comn mltiplo de los denominadores, que es mcm.6;10/ D 2 3 5 D 30:56C 110D 5 55 6 C3 13 10 D2530C 330D 2830:Para multiplicar dos racionales, se multiplican los numeradoresy denominadores entre s:23 57D 2 53 7 D1021:Para multiplicar un racional por un entero, se multiplica elentero por el numerador del racional:2 57D 2 57D 107:
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 7Puesto que57 75D 3535D 1;el inverso multiplicativo de un racional se obtieneintercambiando numerador y denominador:(57)1D 75:Para dividir dos racionales, se multiplica el racional numeradorpor el inverso multiplicativo delracional denominador:3527D 35(27)1D 35 72D 2110:Reactivos de Operaciones con fracciones numricasSoluciones: vasela pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 2911. Elegir una opcin al calcular:52C 32D :A. 2B. 8C. 4D. 6E. 102. Elegir una opcin al calcular:52 23D :A. 36B. 3C.112D.113E.1163. Elegir una opcin al calcular:54 112D :A.12B.72C.76D.74E.16
  • 8 A tiempo4. Elegir una opcin al calcular:35 27D :A.2114B.2110C.512D.97E.6355. Calcular:3 75D :(Elige la opcin correspondiente).A.735B.85C.215D.78E.2256. Calcular:2538D :(Elige la opcin correspondiente).A.320B.54C.513D.23E.16157. Calcular:253D :(Elige la opcin correspondiente).A.215B.65
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 9C.103D.56E.1528. Calcular:795D :Qu opcin es la correcta?A.745B.359C.935D.457E.1299. Elige qu opcin es la respuesta al calcular:23C 3517C 32D :A.910B.103C.266345D.715E.43721010. Indica cul opcin corresponde al calcular:23C 12 1435 13C 12D :A.433B.876C.253360D.836E.5546
  • 10 A tiempo1.2 lgebra1.2.1 Valor numrico de expresiones algebraicasEn una expresin algebraica, las letras (variables) pueden sersustituidas por otras expresiones algebraicaso nmeros. Cuando estoocurre, se dice que la expresin algebraica original se haevaluado.Veamos, como ejemplo, la siguiente expresin:a3 ba2 b2 :1. Cuando utilizamos a D 1, b D 2, obtenemos:.1/3 2.1/2 .2/2 D1 21 4 D13 D13:2. Cuando usamos a D 2x C 3, b D 3y2, encontramos:.2x C 3/3.3y2/.2x C 3/2 .3y2/2 Itambin podemos simplificar o bien sustituir las nuevas letraspor otras expresiones algebraicas onmeros, si as se desea.Reactivos de Valor numrico de expresiones algebraicasSoluciones:vase la pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 2931. Al evaluar la expresin:a2b ab2a b ;con a D 5 y con b D 3, se obtiene: .A. 25B. 10C. 20D. 15E. 302. Al evaluar la expresin:a2b C ab2a1 b1 ;con a D 5 y con b D 3, se obtiene: .A. 4715B. 5115C. 7615D. 2715E. 1315
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 113. Al evaluar la expresin:aC b2a2 b ;con a D 15y con b D 13, hallamos: .A. 10599B. 10099C. 9599D. 11599E. 101994. Al evaluar la expresin:a1 C b2a2 b1 ;con a D 15y con b D 13, hallamos: .A.911B.511C.711D.1211E.13111.2.2 Reduccin de trminos semejantesDecimos que los trminos 5x2y3 & 8x2y3 son semejantes, ya quetienen lamismaparte literal x2y3. Reducirtrminos semejantes quieredecir sumar o restar trminos semejantes. Para esto se suman orestan loscoeficientes numricos correspondientes.Suma de trminos semejantes:.5x2y3/C .8x2y3/ D .5C 8/x2y3 D 13x2y3:Resta de trminos semejantes:.5x2y3/ .8x2y3/ D .5 8/x2y3 D 3x2y3:Reactivos de Reduccin de trminos semejantesSoluciones: vase lapgina 271. Desarrollos: vase la pgina 2941. Al reducir la expresin:5×2 C 2xC 3 3×2 C 7x 9;se obtiene: .
  • 12 A tiempoA. 2×2 C 9x 6B. 2×2 C 7x 6C. 2×2 C 9x C 6D. 2×2 C 9x 12E. 2×2 C9x C 122. Reducir la expresin:3x2y C 9xy2 2x2y 11xy2:Elige la opcin que corresponda .A. x2y 2xy2B. x2y C 2xy2C. x2y C 2xy2D. x2y 2xy2E. 2x2y xy23. Sumar los polinomios:3×3 C 2x 7 & x3 C 3×2 C 3:Elige la opcin correspondiente .A. 2×3 C 3×2 4B. 2×3 C 3×2 C 2xC 4C. 2×3 C 2×2 C 2x 4D. 2×3 C3x2 C 2x 4E. 2×3 C 3×2 C x 44. Reducir la expresin:2m3nmn2 C 7m2n 5m3nC 3mn2 7mn:Escribir la opcin correspondiente .A. 3m3nC 2mn2 C 7m2n 7mnB. 3m3n 2mn2 C 7m2n 7mnC. 3m3nC 2mn27m2n 7mnD. 3m3nC 2mn2 C 7m2nC 7mnE. 3m3nC 2mn2 C 7m2n 7mn1.2.3 Smbolos de agrupacinLas expresiones matemticas contienen operadores y operandos.Los operadores suma (aCb), resta (ab), multiplicacion (ab) ydivisin (a=b) son operaciones bina-rias, es decir, requieren dosoperandos (a, b).Existen operadores unarios, los cuales requieren un solooperando, tal como la inversa aditiva (a).Cuando queremos calcularla expresin 5C 4 7, la ley asociativa nos dice que esta expresinpuede sercalculada de dos formas diferentes y se obtiene el mismoresultado:.5C 4/ 7 D 5C .4 7/ ) 9 7 D 5 3 D 2:
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 13En el clculo anterior, hemos usado los parntesis . / paraindicar el orden en el cual se desean ejecutar lasoperaciones. Conla misma idea se pueden usar los corchetes y las llaves f g. Estossmbolos se conocencomo smbolos de agrupacin.Los podemos encontraranidados (una o varias parejas de smbolos dentro de otra) y siemprese efectanlos clculos en la pareja ms interna. Cuando existe unsmbolo que abre debe existir otro que cierra la agrupacin.En elsiguiente ejemplo:.2 7/ 1C f3C 1 5g;se operan primero las parejas de smbolos deagrupacin.2 7/ D .5/ D 5I 1 5 D 4 D 4;ya que son las ms internas. Usandoestos resultados se obtiene:5 1C f3 4gIy finalmente, continuamos operando los siguientessmbolos de agrupacin:6C f1g D 6 1 D 5:Reactivos de Smbolos de agrupacinSoluciones: vase la pgina 271.Desarrollos: vase la pgina 2951. Reducir la expresin:.5C 3/ 9C .7 9/C 3:Elegir la opcin correspondiente .A. 5B. 7C. 6D. 8E. 92. Reducir la expresin:f.5 7/C 3C .9 5/ 8g :Elegir la opcin .A. 13B. 12C. 9D. 11E. 141.2.4 Leyes de los exponentes y radicalesSi n, m, r son nmeros naturales (1; 2; 3; : : :), entonces secumplen las siguientes propiedades:an D a an veces.an am D anCm. .ab/n D anbn.
  • 14 A tiempo.an/m D anm.an D 1an.anamD anm.a0 D 1.a 1n D npa, con a 0, si n es par.npan D .an/ 1n D a nn D a1 D a.npa npb D a 1n b 1n D .ab/ 1n D npab.mnpa D .a 1n / 1m D a 1nm D nmpa.Reactivos de Leyes de los exponentes y radicalesSoluciones: vasela pgina 271. Desarrollos: vase la pgina 2961. Al simplificar .a2b3/5, se obtiene: .A. a7b8B. a7b15C. a10b7D. a10b8E. a10b152. Al simplificara5a3, se obtiene: .A. a2B. a8C. a8D. a3E. a23. Al simplificar .ab/7.ab2/1, se obtiene: .A. a7b5B. a6b4C. a8b5D. a6b9E. a6b54. Al simplificar 3pa7b5, se obtiene: .A.b53a73B.b53a73
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 15C.b53a73D.b53a73E.b35a375. Simplificar.a3b2/5.a2b3/4y elegir la opcin correspondiente .A.a8b3B.a6b2C.a7b2D.a7b3E.a5b26. Simplificar(a2b3a4b2)4y escribir qu opcin corresponde .A.b4a4B.b5a8C.b4a8D.b4a8E.b4a87. Simplificarpa3b3pa2b5y escribir la opcin correspondiente .A. 6a5b9B. 6a3b7C. 6a3b9D. 6a9b3E. 6a5b7
  • 16 A tiempo8. Simplificarc13.c C c2/1 ; indicar la opcin .A. c43 C c73B. c43 C c 73C. c43 C c73D. c13 C c23E. c43 C c 739. Simplificarb12 .b C b2/b13; escribir qu opcin es correcta .A. b76 C b136B. b76 C b136C. b76 C b136D. b76 C b 136E. b16 C b2310. Simplificarx1n .xn C x1n /xn.x1n C xn/e indicar qu opcin es correcta .A. xnB. 1C. 1D. x1E. xn1.2.5 Operaciones con polinomiosSuma de polinomios. Para sumar dos o ms polinomios (sumandos) seescriben uno a continuacin deotro, luego se eliminan los parntesisy finalmente se reducen trminos semejantes.Ejemplo. La suma de los polinomios .4x3y 3x2y2 C 9xy3/ y .8x3y C2x2y2 5xy3/ es:.4x3y 3x2y2 C 9xy3/C .8x3y C 2x2y2 5xy3/ D 4x3y 3x2y2 C 9xy38x3y C 2x2y2 5xy3 DD .4 8/x3y C .3C 2/x2y2 C .9 5/xy3 DD 4x3y x2y2C 4xy3:Tambin se pueden escribir uno debajo de otro formando columnascon trminos semejantes queluego son reducidos. El orden en que secoloquen los sumandos no altera la suma.4x3y 3x2y2 C 9xy38x3y C 2x2y2 5xy3 C4x3y x2y2 C 4xy3 :
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 17Resta de polinomios. Para restar un polinomio (sustraendo) deotro (minuendo), se cambian los signos delsustraendo y se suma conel minuendo.Ejemplo. Restar el polinomio .8x3y C 2x2y2 5xy3/ al polinomio.4x3y 3x2y2 C 9xy3/..4x3y 3x2y2 C 9xy3/ .8x3y C 2x2y2 5xy3/ D 4x3y 3x2y2 C 9xy3 C8x3y 2x2y2 C 5xy3D .4C 8/x3y C .3 2/x2y2 C .9C 5/xy3 DD 12x3y 5x2y2C 14xy3:El orden en que se coloquen los polinomios s altera ladiferencia, ya que x y y x.Multiplicacin de monomios. El productode dos o ms monomios se obtiene multiplicando por separadolos coeficientes y las potencias de igual base.Se debe aplicar la regla de los signos para la multiplicacin, ascomo la igualdad xnxm D xnCm.Ejemplo: El producto de los monomios(4x5y3), (3x3y4) y (5xy5) es:.4x5y3/.3x3y4/.5xy5/ D .4/.3/.5/.x5x3x/.y3y4y5/ D 60 x5C3C1y3C4C5 D 60x9y12:Monomio por polinomio. El producto de unmonomiopor un polinomiose obtienemultiplicando elmonomiopor cada trmino del polinomio ysumando algebraicamente los productos obtenidos.Ejemplo. El producto del monomio .4x5y3/ por el polinomio .8x3yC 2x2y2 5xy3/ es:.4x5y3/.8x3y C 2x2y2 5xy3/ D .4x5y3/.8x3y/C .4x5y3/.2x2y2/C.4x5y3/.5xy3/ DD 32x5C3y3C1 8x5C2y3C2 C 20x5C1y3C3 DD 32x8y4 8x7y5C 20x6y6:Polinomio por polinomio. El producto de dos polinomios seobtienemultiplicando cada trmino del primerpolinomio por el segundopolinomio, y sumando algebraicamente los productos obtenidos.Ejemplo. El producto de los polinomios .x2 2x C 3/ y .x2 C 4x 5/es:.x2 2x C 3/.x2 C 4x 5/ D x2.x2 C 4x 5/ 2x.x2 C 4x 5/C 3.×2 C 4×5/ DD x4 C 4×3 5×2 2×3 8×2 C 10xC 3×2 C 12x 15 DD x4 C 2×3 10x2C22x 15:En cada una de estas multiplicaciones se debe tener presente queel orden en que se escriben losfactores (monomio o polinomio) noafecta al producto.Divisin de monomios. Para dividir dos monomios se dividen porseparado los coeficientes y las potenciasde igual base.Se debe aplicar la regla de los signos para la divisin, as comola igualdadxnxmD xnm.Ejemplo. Al dividir el monomio 24x5y3u2 entre el monomio40x2y4u2, se obtiene:24x5y3u240x2y4u2D 2440x5x2 y3y4 u2u2D .8/.3/.8/.5/ x52 y34 u22 DD 35 x3 y1 u0 D 35 x3(1y) 1 D 3x35y:Polinomio entre monomio. Para dividir un polinomio entre unmonomio se divide cada trmino del poli-nomio entre el monomio y sesuman algebraicamente los cocientes obtenidos.
  • 18 A tiempoEjemplo. Dividir el polinomio 20x6y4 12x4y6 9x2y8 entre elmonomio 30x4y3.20x6y4 12x4y6 9x2y830x4y3D 20x6y430x4y3 12x4y630x4y3 9x2y830x4y3DD 2x2y3 2x0y35 3y510x2DD 2x2y3 2y35 3y510x2:Polinomio entre polinomio. Para dividir un polinomio (dividendo)entre otro (divisor), se procede comosigue:1. Se ordenan los trminos del dividendo y del divisor, conrespecto al exponente de una literal (sesugiere que sea de mayor amenor).2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primertrmino del divisor, para as tener elprimer trmino del cociente.3. Este primer trmino se multiplica por el divisor y elresultado se resta al dividendo, para astener un nuevodividendo.4. Se repiten los pasos anteriores, hasta que el nuevo dividendosea de grado menor (con respectoa la misma literal) que eldivisor.5. Cuando esto sucede, la divisin se da por terminada; al ltimodenominador se le denominaresiduo y se escribe:DividendoDivisorD cocienteC residuodivisor:Ejemplo. Al dividir el polinomio 6x413x3C19x215xC2 entre elpolinomio 2x23xC1, se obtiene:3×2 2x C 52×2 3xC 1 6×4 13x3C 19×2 15xC 26x4C 9×3 3×2 4x3C 16×2 15xC 2C 4×3 6x2C 2x10x2 13xC 2 10x2C 15x 52x 3 :Por lo tanto,6×4 13×3 C 19×2 15xC 22×2 3x C 1 D 3×2 2x C 5C 2x 32×2 3x C 1 :Reactivos de Operaciones con polinomiosSoluciones: vase la pgina272. Desarrollos: vase la pgina 2981. Al sumar el polinomio (6x2y3 5x3y2 4xC 3y) y el polinomio(3x3y2 C y x 2x2y3), se obtiene:.A. 4x2y3 2x3y2 C 5x C 4yB. 4x2y3 2x3y2 5xC 4yC. 8x2y3 8x3y2 3x C2yD. 4x4y6 2x6y4 5×2 C 4y2E. 4x4y6 2x6y4 C 5×2 C 4y2
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 192. Al restar el polinomio (5x2y C 6xy2 4xy 2) del polinomio(2xy2 4xy 6x2y C 8), se obtiene:.A. 8xy2 8xy 11x2y C 6B. 11x2y C 4xy2 10C. 10 4xy2 11x2yD. 4xy2x2y 8xy C 6E. 10C xy 4xy2 C 11x2y3. Al restar del polinomio (3x2C4xy5y2) la sumade los polinomios(5xyx22y2) y (3y22xyC8x2),se obtiene: .A. 4×2 xy C 6y2B. 4×2 C 7xy 4y2C. 4y2 7xy 4x2D. 4×6 C x3y3 6y6E.xy 4×2 6y24. Cul es el resultado de realizar la operacinsiguiente?:(32x2y3)(2x3y2 C 43x2y 6x)D :A. 3x5y5 2x4y4 C 9x3y3B. 3x6y6 2x4y3 C 9x2y3C. 3x5y5 C 2x4y49x3y3D. 3x5y5 C 43x2y 6xE. 72x5y5 C 16x4y4 C 32x3y35. Indica el resultado de efectuar la operacin siguiente:.3a2 4ab C 2b2/.a2 5ab 3b2/ D :A. 3a4 C 20a2b2 6b4B. 3a4 19a3b C 13a2b2 2ab3 C 6b4C. 3a4 19a3bC 13a2b2 C 2ab3 6b4D. 4a2 9ab b2E. 3a4 19a3b 13a2b2 C 2ab3 6b46. Indica el resultado de efectuar la operacin siguiente:(xn1xn) (xnC1 xnC2) D :A. x2n 2x2nC1 C x2nC2B. x2n x2nC2C. x2n C 2x2nC1 C x2nC2D. x2n Cx2nC2E. xn21 xn23nC2 xn2Cn C xn2C2n
  • 20 A tiempo7. Al dividir el polinomio .3×4 C 5×3 13×2 C x 3/ entre elpolinomio .x2 C 2x 3/, se obtiene elcociente: .A. 3×2 C 11xB. 3×2 C x C 2C. 3×2 x 2D. 3×2 11xE. 3×2 x C 28. Al efectuar la divisin8x3 C 272xC 3 , se obtiene el cociente:.A. 4×2 C 9B. 4×2 9C. 4×2 C 6xC 9D. 4×2 6x 9E. 4×2 6x C 91.2.6 Productos notablesPor sus caractersticas, algunos productos son denominadosproductos notables y son identificados confrmulas que se aplicandirectamente para simplificar desarrollos.Producto de dos binomios con un trmino comn. .x Cm/.x C n/ D x2C .mC n/x Cmn.El producto de dos binomios con un trmino comn esigual al cuadrado del trmino comn, ms elproducto de la suma de lostrminos diferentes por el trmino comn, ms el producto de lostrminosdiferentes.Ejemplo. El producto de los binomios .x3 C 8/ y .x3 4/ es:.x3 C 8/ .x3 4/ D .x3/2 C .8 4/x3 C .8/.4/ D x6 C 4×3 32:Producto de dos binomios conjugados. Son binomios conjugadosaquellos que difieren slo en un signo ysu producto es unadiferencia de cuadrados: .x Cm/.x m/ D x2 m2.El producto de dosbinomios conjugados es igual al cuadrado del trmino comn, menos elcuadradodel trmino que difiere en signo.Ejemplo. El producto de los binomios conjugados .2×3 C 3a2/ y.2×3 3a2/ es:.2×3 C 3a2/ .2×3 3a2/ D .2×3/2 .3a2/2 D 4×6 9a4:Cuadrado de un binomio. .x Cm/2 D x2 C 2xmCm2 y .x m/2 D x22xmCm2.El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primertrmino, ms el doble producto del primertrmino por el segundo, ms elcuadrado del segundo trmino.Observa que estos productos notables difieren slo en el signodel doble producto .2xm/, que espositivo cuando proviene de unasuma y negativo cuando proviene de una diferencia.Ejemplos. Los desarrollos de .2×3 C 3a2/2 y .2×3 3a2/2 son:.2×3 C 3a2/2 D .2×3/2 C 2.2×3/.3a2/C .3a2/2 D 4×6 C 12x3a2 C9a4:.2×3 3a2/2 D .2×3/2 2.2×3/.3a2/C .3a2/2 D 4×6 12x3a2 C 9a4:
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 21Cubo de un binomio. .x Cm/3 D x3 C 3x2mC 3xm2 Cm3 y .x m/3 D x33x2mC 3xm2 m3.El cubo de un binomio es igual al cubo del primertrmino, ms el triple producto del cuadradodel primer trmino por elsegundo, ms el triple producto del primer trmino por el cuadradodelsegundo, ms el cubo del segundo trmino.Observa que los resultados de estos productos notables difierenslo en dos signos: en .xCm/3 todoslos signos son positivos y en .xm/3 los signos positivo y negativo se alternan.Ejemplos. Losdesarrollos de .2×3 C 3a2/3 y .2×3 3a2/3 son:.2×3 C 3a2/3 D .2×3/3 C 3.2×3/2.3a2/C 3.2×3/.3a2/2 C .3a2/3 D8x9C 36x6a2 C 54x3a4 C 27a6:.2×3 3a2/3 D .2×3/3 3.2×3/2.3a2/C3.2×3/.3a2/2 .3a2/3 D 8×9 36x6a2 C 54x3a4 27a6:Reactivos de Productos notablesSoluciones: vase la pgina 272.Desarrollos: vase la pgina 3011. El resultado de la multiplicacin de los binomios .a2 4/.a2 9/es: .A. a4 C 13a2 C 36B. a4 36C. a4 C 36D. a4 13a2 36E. a4 13a2 C362. Al desarrollar(23×2 32)2, se obtiene: .A.49×4 94B.49×4 2×2 C 94C.49×4 x2 C 94D.49×4 C 94E.49×4 C 2×2 943. Al multiplicar el binomio(32×2 23)por su conjugado, se obtiene: .A.94×4 C 49B.94×4 2×2 C 49C.94×4 49D.94×2 49E.94×4 x2 C 494. Al desarrollar(x3 23)3, se obtiene: .
  • 22 A tiempoA. x6 2×5 C 43×3 827B. x9 827C. x6 827D. x9 2×6 C 4×3 827E. x9 2×6 C 43×3 8275. El resultado de la multiplicacin de los binomios .u4 5/.3Cu4/ es: .A. u6 2u4 15B. u8 15C. u16 15D. u8 2u4 15E. u8 C 2u4156. El resultado de la multiplicacin .a C b C c/.a C b c/ es: .A.a2 C b2 c2B. a2 C b2 C c2C. a2 C b2 c2 C 2acD. a2 C b2 c2 C 2bcE.a2 C b2 c2 C 2ab1.2.7 FactorizacinLa factorizacin es un procedimiento algebraico mediante el cualuna expresin algebraica se escribe comoun producto de dos o msfactores. Por ejemplo: x2 9 D .x C 3/.x 3/.Para factorizar unaexpresin algebraica es necesario tener presente lo siguiente:Factor comn. Un factor que est formando parte de cada trmino deuna expresin algebraica es denomi-nado factor comn de dichaexpresin.Cmo factorizar una expresin algebraica que tiene un factor comn?Uno de los factores es el factorcomn y el otro factor se obtienedividiendo a cada trmino de la expresin entre dicho factor comn.Porejemplo, .am C bm cm/ tiene un factor comn que es m y el otrofactor es:(ammC bmm cmm)D .a C b c/:Por lo tanto,.am C bm cm/ D m.a C b c/:Si una expresin algebraica tiene factores comunes, se toma comofactor comn al mximo comndivisor de sus trminos.Por ejemplo, en la expresin algebraica 8x2u3 36x3u2 20x4u elmximo comn divisor de sustrminos es 4x2u y el otro factor es:(8x2u34x2u 36x3u24x2u 20x4u4x2u)D .2u2 9xu 5×2/:Por lo tanto:8x2u3 36x3u2 20x4u D 4x2u .2u2 9xu 5×2/:
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 23Factorizacin por agrupacin. Algunas expresiones algebraicas queno tienen un factor comn pueden serfactorizadas si agrupamos lostrminos que s tengan factores comunes.Por ejemplo, .amCbmaxbx/ no tiene un factor comn, peronotamosque los dos primeros trminos.am C bm/ tienen a m como factorcomn y los dos ltimos trminos .ax bx/ tienen a .x/ comofactor comn;factorizando cada pareja de trminos:amC bm ax bx D .am C bm/C .ax bx/ DD m.a C b/C .x/.a C b/ D m.aC b/ x.aC b/:Ahora, el binomio .a C b/ es un factor comn de los ltimostrminos obtenidos; factorizamos yobtenemosam C bm ax bx D m.a C b/ x.a C b/ D .aC b/.m x/:Diferencia de cuadrados. Es una expresin algebraica de la formaa2 b2.Cmo factorizar a2 b2? Del producto notable .a C b/.a b/ D a2b2 se desprende que unadiferencia de cuadrados es igual al productode dos binomios conjugados. Esto es:a2 b2 D .a C b/.a b/:Por ejemplo:4×2 9y2 D .2x/2 .3y/2 D .2x C 3y/.2x 3y/:Diferencia de cubos. Es una expresin algebraica de la forma a3b3.Cmo factorizar a3 b3? Al dividir .a3 b3/ entre .a b/ se obtieneel cociente .a2 C ab C b2/ y elresiduo es cero, por lo que:.a3 b3/ D .a b/.a2 C ab C b2/:Por ejemplo:8×3 27y3 D .2x/3 .3y/3 D .2x 3y/.2x/2 C .2x/.3y/C .3y/2 D .2x3y/.4×2 C 6xy C 9y2/:Suma de cubos. Es una expresin algebraica de la forma a3 Cb3.Cmo factorizar a3 C b3? Al dividir .a3 C b3/ entre .a C b/ seobtiene el cociente .a2 ab C b2/ y elresiduo es cero por loque:.a3 C b3/ D .a C b/.a2 ab C b2/:Por ejemplo:8×3 C 27y3 D .2x/3 C .3y/3 D .2x C 3y/.2x/2 .2x/.3y/ C .3y/2 D.2x C 3y/.4×2 6xy C 9y2/:Trinomio cuadrado perfecto. Es todo trinomio que resulta deldesarrollo del cuadrado de un binomio.As, .x2 C 2axC a2/ y .x2 2axCa2/ son trinomios cuadrados perfectos, ya que son losdesarrollosrespectivos de .x C a/2 y de .x a/2.Cmo factorizar untrinomio cuadrado perfecto? Primero se deben identificar lostrminos que con-formaran al binomio y luego verificar que el dobleproducto de ellos coincida con uno de los trminosdel trinomio dado;y ser el signo de este trmino, el que conecte los trminos delbinomio.Por ejemplo, para factorizar el trinomio 9×2 30xy2 C 25y4,primero vemos que 9×2 D .3x/2 y 25y4 D.5y2/2; luego vemos que2.3x/.5y2/ D 30xy2, que es precisamente el trmino intermedio deltrinomiodado. Por lo tanto:9×2 30xy2 C 25y4 D .3x/2 2.3x/.5y2/C .5y2/2 D .3x 5y2/2:As tambin:9×2 C 30xy2 C 25y4 D .3x/2 C 2.3x/.5y2/C .5y2/2 D .3xC 5y2/2:
  • 24 A tiempoTrinomio cuadrtico x2 C px C q. Del producto notable .xCm/.xCn/D x2C.mCn/xCmn se desprendeque existen trinomios cuadrticos .x2 Cpx C q/ que pueden ser factorizados como:.x2 C pxC q/ D .x Cm/.x C n/; donde m & n son nmeros talesque mn D q &mC n D p:Por ejemplo, para factorizar .x2 C 2x 15/,se buscan dos nmeros m & n tales que: mn D 15 ymC n D 2. Esosnmeros sonm D 5 & n D 3 ya que .5/.3/ D 15 y .5/C .3/ D 2. Porlo tanto:.x2 C 2x 15/ D .x C 5/.x 3/:Trinomio cuadrtico ax2 C bx C c Para factorizar ax2CbxCc existendosmtodos; uno funciona en casosparticulares y otro ms que sepresenta en la nota.Casos particulares. Algunos trinomios cuadrticos pueden serfactorizados de la manera siguiente:primero se multiplica y sedivide entre a, para luego hacer la sustitucin ax D u:ax2 C bxC c D a.ax2 C bxC c/aD a2x2 C a.bx/C acaD 1D .ax/2 C b.ax/C acaD u2 C buC aca:Luego se factoriza .u2 C bu C ac/ D .u C m/.u C n/, donde mn Dac y donde m C n D b.Finalmente, se recupera u D ax y se simplificaeliminando el denominador a.Por ejemplo, para factorizar eltrinomio 6×2 C 5x 4 procedemos de la manera siguiente:6×2 C 5x 4 D 6.6×2 C 5x 4/6D 62×2 C 6.5x/ 246D 2 .6x/2 C 5.6x/ 246DD u2 C 5u 246D .uCm/.u C n/6;donde u D 6x,mn D 24 ymC n D 5. Los nmeros sonm D 8 y n D 3 yaque: .8/.3/ D 24y .8/C .3/ D 5. Por lo tanto,6×2 C 5x 4 D u2 C 5u 246D .uC 8/.u 3/6D .6x C 8/.6x 3/6DD 2.3x C 4/3.2x 1/6D .3x C 4/.2x 1/:Nota. Otro procedimiento para intentar factorizar un trinomiocuadrtico consiste en completar untrinomio cuadrado perfecto. Paraesto se debe tener presente que el trinomio cuadradoperfectoasociado al binomio .x2 C x/ es:x2 C x C(2)2D(x C2)2:El procedimiento general es el siguiente:ax2 C bx C c D a[x2 C bax C ca]D 3a[x2 C bax C(b2a)2C ca(b2a)2]DD a[(x C b2a)2C(ca b24a2)]D a[(x C b2a)2C 4ac b24a2]:Suponiendo que c 0, esta ltima expresin podra ser una diferenciade cuadrados, que puedeser factorizada, o bien una suma decuadrados que no puede puede ser factorizada mediantefactoresreales.1.El producto a.bx/ se escribe como b.ax/.2. El producto 6.5x/ se escribe como 5.6x/.3. Se sumab2a2para completar un trinomio cuadrado perfecto y luego se restalo mismo para que la expresin no se altere.
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 25Reactivos de FactorizacinSoluciones: vase la pgina 272.Desarrollos: vase la pgina 3021. Al factorizar la expresin algebraica 18a5b3 24a4b4 C 6a3b2,uno de sus factores es: .A. 24a5b4B. 3a2b 4ab2 C 1C. 6a5b4D. 3a2b C 4ab2 1E. 3a2b C 4ab2 C 12. Al factorizar la expresin algebraica ax 6C 3x 2a, uno de susfactores es: .A. x C 2B. a 3C. x aD. x 2E. a 23. Al factorizar la expresin algebraica x2 9x C 18, se obtieneque uno de sus factores es: .A. x 6B. x C 3C. x C 6D. x 9E. x 24. Al factorizar la expresin algebraica x2 8, se obtiene que unode sus factores es: .A. x 4B. x 2C. x 4p2D. x C 4E. x C 2p25. Al factorizar la expresin algebraica x2 C x 12, uno de susfactores es: .A. x 4B. x C 4C. x C 3D. x 6E. x 26. Al factorizar el polinomio 6×2 5x 6, uno de sus factores es:.A. 2x C 3B. 3x C 2C. 3x 2D. 6x 1E. x 6
  • 26 A tiempo7. Al factorizar el binomio x3 125, uno de sus factores es: .A.x C 5B. x2 5x C 25C. x2 C 25D. x2 C 5x C 25E. x2 5x 258. Al factorizar el polinomio x3 x2 C 4x 4, uno de sus factoreses: .A. x C 1B. x 4C. x C 4D. x2 C 1E. x 19. Al factorizar el trinomio 4×2 19x C 12, uno de sus factoreses: .A. 4x C 3B. 4x 3C. x C 4D. 2x 3E. No se puede factorizar10. Al factorizar el binomio 1C a3, uno de sus factores es: .A.1C a2B. 1C aC a2C. 1 a C a2D. a2 a 1E. 1 a11. Al factorizar el polinomio x2 C 4x 1, uno de sus factoreses: .A. x C 2Cp5B. x 1C. x C 2 p3D. x C 1E. x 2 p512. Al factorizar el trinomio x3 x2 12x, uno de sus factores es:.A. x 3B. x C 4C. x 12D. x 4E. x 213. Al factorizar el trinomio 8×2 10x 3, uno de sus factores es:.A. 4x 1
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 27B. 4x 3C. 2x C 3D. 4x C 1E. No tiene factores reales14. Al factorizar el polinomio x2 2xC 2, uno de sus factores es:.A. x 2B. x C 2C. No tiene factores realesD. x 1E. x C 115. Al factorizar el binomio x4 16, uno de sus factores es: .A.x 4B. x C 4C. x C 2D. x3 8E. x3 C 816. Al factorizar el polinomio 2×2 6x C 1, uno de sus factoreses: .A. 2x 3Cp7B. 2x C 1C. x 3 p7D. x C 1E. No se puedefactorizar1.2.8 Operaciones con fracciones algebraicasUna fraccin algebraica es la razn de un numerador entre undenominador, donde stos son, en general,expresiones algebraicas.Por ejemplo:x C 1x 3 I3x2 C 1 Ix2 2x C 1×2 C 4x 12 Ipx C hpxh:Un principio fundamental de las fracciones es: si tanto elnumerador como el denominador son multiplica-dos o divididos poruna misma cantidad o expresin algebraica, la fraccin no se altera.Esto es:pqD mm pqD mpmqI & pqD(1m)p(1m)qDpmqm:Por ejemplo:x 3x 2 D.x 3/.x C 2/.x 2/.x C 2/ Dx2 x 6×2 4 ;as comox2 x 6×2 4 Dx2x6xC2x24xC2D x 3x 2 :Si el numerador y el denominador de una fraccin tienen unaexpresin algebraica que es factor comnde ambos, se puede eliminardicho factor. Esto nos permite simplificar la fraccin. Cuandonumerador
  • 28 A tiempoy denominador de una fraccin no tienen factores en comn, se diceque la fraccin est reducida a sumnima expresin, por lo cual esirreducible. De aqu que para reducir una fraccin a su mnimaexpresin,se deben factorizar numerador y denominador, para luegoeliminar factores comunes al numerador y aldenominador.Por ejemplo,factorizando y luego simplificando:x3 C x2 12xx3 5×2 C 6x Dx.x2 C x 12/x.x2 5xC 6/ Dx.x C 4/.x 3/x.x 2/.x 3/D x C 4x 2 :La ltima fraccin es irreducible.Suma algebraica. Para sumar y/o restar fracciones algebraicas(que se suponen simplificadas), se llevan acabo los pasossiguientes:1. Se factorizan los denominadores.2. Se obtiene el mnimo comn denominador (mcd) de losdenominadores, que es igual al productode los factores comunes y nocomunes en su mxima potencia.3. Se divide el mcd entre cada denominador y el resultado semultiplica por el numerador corres-pondiente.4. Se suman y/o restan los productos obtenidos y se reducentrminos semejantes, para as tener elnumerador de la fraccinresultante.5. Finalmente, se simplifica la fraccin algebraica resultante yse reduce a su mnima expresin.Por ejemplo:4×2 x 2×2 2×2 2xC 1 D4x.x 1/ 2×2 2.x 1/2 D4x.x 1/ 2.x 1/2 2x2x2 .x 1/2 DD 4×2 4x 2.×2 2x C 1/ 2x2x2 .x 1/2 D4x2 4x 2×2 C 4x 2 2x2x2 .x 1/2 DD 2×2 .x 1/2 :Ntese que en este caso el mcd de los denominadores x.x 1/; x2 y.x 1/2 result ser x2.x 1/2.Multiplicacin. El producto de dos o msfracciones algebraicas es otra fraccin cuyo numerador es elproducto de los numeradores y el denominador es el producto delos denominadores, de las frac-ciones involucradas. Se recomiendasimplificar la fraccin algebraica resultante, es decir, reducirlaasu mnima expresin.Por ejemplo:x2 2x 15×2 C 5x 14×3 2x2x2 C 6x C 9 D.x 5/.x C 3/.x C 7/.x 2/ x2.x 2/.x C 3/2 D.x 5/.x C 3/x2.x 2/.x C 7/.x 2/.x C 3/2 DD x2.x 5/.x C 3/.x 2/.x C 7/.x C 3/.x C 3/.x 2/ Dx2.x 5/.x C 7/.x C 3/ Dx3 5xx2 C 10x C 21:Fracciones recprocas. Dos fracciones algebraicas son recprocassi su producto es 1. De aqu que las frac-cionesmn&nmson recprocas ya que su producto es:mn nmD mnnmD 1:Para tener la recproca de una fraccin dada, slo se intercambianlos papeles de numerador y de-nominador. Por ejemplo: la fraccin recproca dex C 5x 3 esx 3x C 5 .
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 29Divisin. Para dividir una fraccin algebraica (dividendo) entreotra fraccin (divisor), se multiplica eldividendo por la fraccinrecproca del divisor.Por ejemplo:(x3 1×3 C 1)(x3 C x2 C xx3 x2 C x)D(x3 1×3 C 1)(x3 x2 C xx3 C x2 C x)D .x 1/.x2 C x C 1/.x C 1/.x2 x C 1/x.x2 x C 1/x.x2 C x C 1/ DD .x 1/.x2 C x C 1/x.x2 x C 1/.x C 1/.x2 x C 1/x.x2 C x C 1/ DD .x 1/.x2 C x C 1/x.x2 x C 1/.x C 1/.x2 C x C 1/x.x2 x C 1/ Dx 1x C 1 :Reactivos de Operaciones con fracciones algebraicasSoluciones:vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 3071. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.x 1x C 1x 2x C 2 D :A.2x C 12x C 3B.4×2 C 2C.4×2 C 3x C 2D.2xx2 C 3x C 2E.2x 32x C 32. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.x2 C 5x2x 2xD :A.x C 3xB.2x C 5x2C.x2 x C 3x2D.x2 x C 7x2E.2×2 C 5×33. Efectuar las operaciones siguientes y simplificar.1x.x 1/ 3x2C 2.x 1/2 D :A.5x 3.×3 x2/2B.2xx2.x 1/2
  • 30 A tiempoC.x C 3×2.x 1/2D.3x C 1×2.x 1/2E.5x 3×2.x 1/24. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.2x.x 2/ 1x 2 D :A.x C 2x.x 2/B.1xC. 2C xx2 2xD. 1xE.2 xx2 25. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.8×2 4 2x 2 D :A. 1x C 1B.10 2xx2 4C. 2x C 2D.6×2 x 2E.8C 8x 2x2x3 C 86. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.1x 1 3×3 1 D :A.x2 4×3 1B.x2 2×3 1C.2x x3D.x C 2×2 C x C 1E.x C 2×2 x C 1
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 317. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.x 3x C 3x C 3x 3 C4x2x2 9 D :A.4×2 18×2 9B.4xx C 3C.4x2x2 9D.4xx 3E.18C 4x2x2 98. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.(x2 2x 3×2 C 2×8)(x2 4xC 4×2 6x C 9)D :A.2.x 1/3.x 4/B.x2 x 2×2 C x 12C.x2 C x 2×2 x 12D.2.2x C 3/.x 1/3.2x 3/.x 4/E.2.x 1/3.x 4/9. Efectuar la operacin siguiente y simplificar.(2x2C x 13×2 5×2)(2×2 C 3x 23×2 2x 1)D :A..x 1/2.x 2/2B.x2 C 1×2 C 4C.x2 1×2 4D..2x 1/2.3x C 1/2E.x2 4×2 110. Efectuar las operaciones siguientes y simplificar.1C 2x21C 4x24D :
  • 32 A tiempoA.x 2xB.xx C 2C.x C 22D.2x C 2E.x C 2×1.2.9 RacionalizacinEn ocasiones es necesario transformar una expresin algebraicaque contiene radicales en otra expresinque sea ms til y se puedamanipular.La racionalizacin es un procedimiento algebraico que se utilizacon este propsito y que est estrechamenteligado a fraccionesalgebraicas. Se habla de racionalizar el numerador o el denominadorde una fraccinalgebraica.Al racionalizar el numerador o el denominador se pretendeeliminar el o los radicales del numerador o deldenominador,respectivamente. Decimos eliminar, pero realmente lo que se hace esmover radicales delnumerador al denominador o viceversa, segn lanecesidad que se tenga.Es comn racionalizar numeradores o denominadores que sonbinomios formados con uno o dos radicalesdel mismo orden ondice.Para racionalizar una suma o una diferencia de races cuadradas,se debe tener presente la identidad:.aC b/.a b/ D a2 b2:Para racionalizar una suma o una diferencia de races cbicas, sedeben tener presentes las identidades:.a C b/.a2 ab C b2/ D a3 C b3 y .a b/.a2 C ab C b2/ D a3 b3:Ejemplo. Racionalizar el numerador de la fraccin:px C hpxh:H Para eliminar las races cuadradas de la diferenciapx C h px,multiplicamos el numerador por lasumapx C h C px (por su conjugado) para as generar la diferenciade cuadrados (px C h)2 (px)2que permita la eliminacin requerida; pero tambin el denominador(h) debe ser multiplicado por la sumamencionada, para que as lafraccin no sea alterada.px C h pxhD(px C hpx) (px C hCpx)h(px C hCpx) D(px C h)2 (px)2h(px C hCpx) DD x C h xh(px C hCpx) D hh (px C hCpx) D 1px C hCpx :Ejemplo. Racionalizar el numerador de la fraccin:3px C h 3pxh:
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 33H Para eliminar las races cbicas de la diferencia 3px C h 3px,multiplicamos el numerador por eltrinomio(3px C h)2C ( 3px C h) ( 3px)C ( 3px)2 para as generar ladiferencia de cubos ( 3px C h)3 ( 3px)3que permita la eliminacin requerida. Y para que la fraccin nosea alterada, tambin el denominador (h)debe ser multiplicado por eltrinomio mencionado.3px C h 3pxhD(3px C h 3px) [( 3px C h)2 C ( 3px C h) ( 3px)C ( 3px)2]h[(3px C h)2 C ( 3px C h) ( 3px)C ( 3px)2] DD(3px C h)3 ( 3px)3h[3.x C h/2 C 3px C h 3px C 3px2] D x C h xh[3.x C h/2 C 3.x C h/x C 3px2] DD hh[3.x C h/2 C 3.x C h/x C 3px2] D13.x C h/2 C 3.x C h/x C 3px2 :Reactivos de RacionalizacinSoluciones: vase la pgina 272.Desarrollos: vase la pgina 3111. Al racionalizar el numerador de la fraccin:px C 2 p6 xx 2 ;y luego simplificar, se obtiene: .A.2px C 2 Cp6C xB.2px C 2 Cp6 xC.4x 2(px C 2 Cp6 x)D.2px C 2Cp6 xE.4.x 2/ (px C 2 Cp6C x )2. Al racionalizar el denominador de la fraccin:4 xpx 2 ;y luego simplificar, se obtiene: .A.px C 2B.px 2C. px 2D.px C 24C xE. px C 2
  • 34 A tiempo3. Al racionalizar el numerador y el denominador de lafraccin:3 p5C x1 p5 x ;y luego simplificar, se obtiene: .A.1Cp5 x3Cp5C xB. 1Cp5 x3Cp5C xC. 1Cp5C x3Cp5 xD.1Cp5C x3Cp5 xE.3Cp5 x1Cp5C x4. Al racionalizar la expresin algebraica:x px2 2x;y luego simplificar, se obtiene: .A.2xx Cpx2 2xB.21Cpx2 2xC.2xx Cpx2 2xD.21Cpx2 2xE.2xx Cpx2 C 2×5. Al racionalizar la fraccin algebraica:3px C 1 1x;y luego simplificar, se obtiene: .A. 3.x C 1/2 C 3px C 1 C 1B.13px2 C 1 C 3px C 1 C 1C.13.x C 1/2 3px C 1 C 1D. 3px2 C 1C 3px C 1 C 1E.13.x C 1/2 C 3px C 1 C 1
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 351.2.10 Ecuaciones de primer grado con una incgnitaUna ecuacin es una igualdad matemtica que consta de un simboloigual (D) y una expresin algebraica acada lado de ste. Se denominanmiembros de la ecuacin a dichas expresiones algebraicas. Unaecuacinen donde aparece una letra (una literal) con valordesconocido, comnmente la letra x, es una ecuacin conuna incgnita.Cuando en una ecuacin la literal (tambin conocida como variable)aparece con exponenteuno, la ecuacin es de primer grado. Ejemplosde ecuaciones de primer grado con una incgnita:x D 7I 3x C 5 D 0I 2x C 1 D x3:Resolver una ecuacin de primer grado con una incgnita consisteen encontrar el valor de sta que permitaque la igualdad se cumpla;a dicho valor se le denomina solucin de la ecuacin. Observa que enla ecuacinx4C1 D 3, el valor de x que permite que la igualdad se cumpla es8. Se dice entonces que x D 8 es la solucinde la ecuacinx4C 1 D 3. Para resolver una ecuacin de primer grado con unaincgnita se aplica, segnconvenga, bien la propiedad aditiva,4 bien la propiedadmultiplicativa,5 o bien ambas propiedades en laigualdad, hastaaislar la variable en un miembro de la ecuacin. Esto tambin seconoce como despejar laincgnita.Ejemplos:Para despejar x de la ecuacin x 5 D 7, se aplica la propiedadaditiva en la igualdad sumando 5 enambos lados (en ambos miembros),de la ecuacin, esto es:x 5 D 7 ) x 5C 5 D 7C 5 ) x D 12:Cuando x es igual a 12, la igualdad x5 D 7 se cumple, por lo quex D 12 es la solucin a la ecuacindada.Para despejar x en la ecuacin x7D 3, se aplica la propiedadmultiplicativa en la igualdad multipli-cando por 7 ambos lados de la ecuacin, esto es:x7D 3 ) .7/x7D .7/3 ) x D 21:Cuando x es igual a 21, la igualdadx7D 3 se cumple, por lo que x D 21 es la solucin de laecuacindada.Reactivos de Ecuaciones de primer grado con unaincgnitaSoluciones: vase la pgina 272. Desarrollos: vase la pgina3131. Al resolver la ecuacin4 3x D 2xC 9;hallamos que: .A. x D 5B. x D 95C. x D 1354. Si a D b, entonces aC c D bC c.Tambin, si a D b, entonces a cD b c.5. Si a D b, entonces a c D b c.Tambin, si a D b, entonces acD bc.
  • 36 A tiempoD. x D 1E. x D 12. El valor de x que resuelve la ecuacin 2xC 2 3x D 2 4x C 3 es:.A. 3B. 12C. 13D. 3E.133. La solucin de la ecuacin 3.5aC 2/ D 3 6a2es: .A. a D 9B. a D 12C. a D 13D. a D 36E. a D 144. El valor de la incgnita x que resuelve la ecuacinx2C 13D12 x33es: .A. 311B.622C.12D.113E.1111.2.11 Sistemas de ecuaciones lineales 2 2Un sistema deecuaciones lineales 2 2 es un conjunto de dos ecuaciones linealescon dos incgnitas. Lossiguientes pares de ecuaciones representansistemas de ecuaciones lineales 2 2.5xC 2y D 9I y D 3x C 2I3x C y D 5: y D2x 3:3zD 23 4d I 3xD 6Id C 2zD 12: 2xC y D 9:La solucin de un sistema de ecuaciones lineales 2 2 es lasolucin comn a las dos ecuaciones.En el caso del primer sistema deecuaciones la solucin es x D 1 & y D 2. Si se usan estos dosvalores enambas ecuaciones del sistema, ambas igualdades secumplen.Para encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones lineales 22, se presentan a continuacin losmtodos sustitucin, suma o resta eigualacin.
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 37Mtodo de sustitucin EjemploPara resolver un sistema de ecuaciones lineales2 2 se siguen lossiguientes pasos.Resolver por sustitucin el sistema:5xC 2y D 9I .1/3xC y D 5: .2/Primero. Despejar de una de las ecuaciones unade lasincgnitas.Primero. De la ecuacin (1) se despeja x:5xC 2y D 9 ) 5x D 9 2y )) x D 9 2y5:Segundo. La expresin encontrada de la incg-nita despejada se usaen la otra ecuacin.De esta manera se obtiene una ecuacin (*)con una solaincgnita.Segundo. La expresin encontrada de x se usa enla ecuacin(2):3xC y D 5 .2/ & x D 9 2y5, entonces:3(9 2y5)C y D 5: ./Tercero. De la ecuacin obtenida (*) se despeja laincgnita.Tercero. De la ecuacin obtenida (*) se despeja laincgnita y3(9 2y5)C y D 5 )) 3(9 2y5)D 5 y )) 27 6y5D 5 y )) 27 6y D 5.5 y/ )) 27 6y D 25 5y )) 6y C 5y D 25 27 )) yD 2 ) y D 2:Cuarto. El valor encontrado de la incgnita en (*)se utiliza enla expresin obtenida en el primerpaso.Cuarto. Se usa y D 2 en la expresin que se tienepara x obtenidaen el primer paso.x D 9 2y5& y D 2 )) x D 9 2.2/5D 9 45)) x D 55) x D 1:Con estos pasos, el mtodo de sustitucin per-mite determinar lasolucin de un sistema deecuaciones lineales 2 2.Se concluye que la solucin del sistema de ecua-ciones lineales 22 es:x D 1 & y D 2:
  • 38 A tiempoMtodo de suma o resta EjemploPara resolver un sistema de ecuaciones lineales2 2 por el mtodode suma o resta se siguen lossiguientes pasos.Resolver por suma o resta el sistema:5y C xD 7I .1/2y C 4xD8: .2/Primero. Se trata de obtener una ecuacin conuna sola incgnitadespus de sumar o restar lasecuaciones del sistema. Para esto esnecesarioreescribir el sistema dado, de manera tal queloscoeficientes de una de las incgnitas difieran sloen el signo (obien que sean iguales), para que alsumar (o restar) las ecuaciones,dicha incgnitasea eliminada.Primero. Observar que conviene multiplicar laecuacin (1) por 4,para as tener el trmino4xque eliminara al trmino 4x de la ecuacin(2):.4/.5y/ C .4/.x/ D .4/.7/ )) 20y 4x D 28:Con esto el sistema queda as:20y 4xD28I .10/2yC 4xD 8: .20/Segundo. Se suman ambas ecuaciones (los trmi-nos de una ecuacincon los semejantesde la otra)para obtener una ecuacin con una solaincgnita.Segundo. Se suman ambas ecuaciones:20y 4xD 28 C2y C 4xD 818y C 0D36 :Tercero. Se resuelve la expresin obtenida. Tercero. Se resuelvela ecuacin obtenida:18y D 36 ) y D 3618 )) y D .6/.6/.6/.3/ ) y D 2:Cuarto. El valor encontrado de la incgnita sesustituye encualquiera de las ecuaciones del sis-tema para as determinar elvalor de la otra incg-nita.Cuarto. y D 2 se usar en (1) [tambin se puedeutilizar en (2)]para encontrar el valor de x. Estoes:5y C x D 7: .1/5.2/C x D 7 )) x D 7 10 )) x D 3:Finalmente, se concluye con la solucin del sis-tema.Se concluye que la solucin del sistema de ecua-ciones lineales 22 es:x D 3 & y D 2:
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 39Mtodo de igualacin EjemploPara resolver un sistema de ecuaciones lineales2 2 por el mtodode igualacin, se siguen lossiguientes pasos.Resolver por igualacin el sistema:3xC 4y D6I .1/5x 3yD 19: .2/Primero. De ambas ecuaciones de despeja lamisma incgnita.Primero. Despejamos la incgnita x de ambasecuaciones3xC 4y D 6 ) 3x D 4y 6 ) x D 4y 63I5x 3y D 19 ) 5x D 19C 3y ) x D 19C 3y5:Segundo. Se igualan las expresiones algebraicasobtenidas para laincgnita despejada, obtenin-dose as una ecuacin con unaincgnita.Segundo. Igualamos las expresiones algebraicasobtenidas para laincgnita x:4y 63D 3y C 195:Tercero. Se resuelve la ecuacin obtenida, paraas determinar elvalor de una de las incgnitasdel sistema.Tercero. Resolvemos para obtener la incgnita y:5.4y 6/ D 3.3y C 19/ )) 20y 30 D 9y C 57 )) 20y 9y D 57C 30 ))29y D 87 )) y D 8729 )) y D 3:Cuarto. Aplicamos el valor determinado para laincgnita encualquiera de las expresiones alge-braicas que se tienen de la otraincgnita .Cuarto. Usamos y D 3 en x D 3y C 195.x D 3.3/C 195D 9C 195D 105D 2 )) x D 2:Finalmente se concluye con la solucin del sis-tema.Se concluye que la solucin del sistema dado es:x D 2 & y D 3:Reactivos de Sistemas de ecuaciones lineales 2 2Soluciones: vasela pgina 272. Desarrollos: vase la pgina 3151. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales eindicar la respuesta: .12yD 7x 14I7xC 14D8y:A. x D 52& y D 75
  • 40 A tiempoB. x D 25& y D 57C. x D 52& y D 57D. x D 25& y D 57E. x D 25& y D 752. Determinar el valor de las incgnitas x & y que satisfacenlas siguientes ecuaciones.Escribir la respuesta: .2y D 2x3C 2Iy C 3 D 4x:A. x D 12 & y D 15B. x D 1211& y D 1511C. x D 23& y D 4D. x D 2 & y D 3E. x D 11 & y D 123. Resolver el sistema de ecuaciones lineales. Escribir larespuesta: .5aC 6bD1I3a 2bD 5:A. a D 53& b D 149B. a D 53& b D 75C. a D 35& b D 57D. a D 1 & b D 1E. a D 35& b D 974. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.Escribir la respuesta: .y D 3x C 6Iy Dx3 4:A. x D 13& y D 3B. x D 3 & y D 3C. x D 3 & y D 3D. x D 6& y D 4E. x D 4 & y D 65. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.Escribir la respuesta: .5x C 2y D 16I4xC 3y D 1:
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 41A. x D 2 & y D 3B. x D 2 & y D 3C. x D 2 & y D 3D. xD 2 & y D 3E. x D 3 & y D 21.2.12 Ecuaciones de segundo grado con una incgnitaUna ecuacin de segundo grado con una incgnita o ecuacincuadrtica es una expresin algebraica de laforma ax2 C bx C c D 0,donde a, b, c son nmeros conocidos, con a 0; x es la incgnita. Seexige quea 0 para que la ecuacin sea, en efecto, de segundogrado.Ejemplos de ecuaciones de segundo grado con una incgnita sonlos siguientes:3×2 C x 5 D 0I x2 2 D 6xIb2 4b 1 D 0I z2 C 5C z D 0I2x2 C 1 D 0I d23C d D 5Ix2 D 9xI d 2 D d 1:Se dice que x D n es solucin de la ecuacin cuadrtica ax2C bxC cD 0, si al usar n en vez de la incgnitax la igualdad se satisface;esto es, si an2 C bnC c D 0.Por ejemplo, x D 3 es solucin de laecuacin cuadrtica x2 6x C 9 D 0, ya que al utilizar el nmero 3envez de la incgnita x, se obtiene:.3/2 6.3/C 9 D 0 ) 9 18C 9 D 0 ) 0 D 0:As tambin, x D 3 no es solucin de la ecuacin cuadrtica x2 6x C 9D 0, ya que al usar el nmero 3en vez de la incgnita x, seobtiene:.3/2 6.3/C 9 D 0 ) 9C 18C 9 D 0 ) 36 D 0:La cual no es una igualdad.La ecuacin cuadrtica ax2 C bx C c D 0tiene a lo ms dos soluciones reales, que se obtienen mediantelaaplicacin de la frmula general:x D b pb2 4ac2a:Dichas soluciones dependen del signo que tenga el nmero b2 4ac,el cual es denominado discriminante.Si b2 4ac es un nmero positivo .b2 4ac > 0/, la ecuacincuadrtica tiene dos soluciones realesdadas por:x1 D b Cpb2 4ac2a& x2 D b pb2 4ac2a:Si b2 4ac D 0, entoncespb2 4ac D 0 y las soluciones realesresultan ser:x1 D b C 02aD b2a& x1 D b 02aD b2a:Las dos soluciones son iguales. Se tiene una solucin realrepetida y se dice que se tiene una solucinreal de multiplicidaddos.
  • 42 A tiempoSi b2 4ac es un nmero negativo .b2 4ac < 0/, entoncespb2 4acno es un nmero real. En estecaso se dice que la ecuacin no tienesoluciones reales.Dos ecuaciones cuadrticas muy particulares son ax2 C bx D 0(cuando c D 0) as como ax2 C c D 0(cuando b D 0). En estos casos noes necesario utilizar la frmula general para resolverlos. Asaber:Si se tiene ax2 C bx D 0, entonces factorizando:ax2 C bx D 0 ) x.ax C b/ D 0 ) x D 0 o bien ax C b D 0 )) x D 0 o bien x D ba:Las soluciones son x1 D 0 & x2 D ba:Si se tiene ax2 C c D 0, entonces puede suceder que:a & ctengan igual signo, en cuyo caso no hay soluciones reales.a & c tengan signos diferentes, en cuyo caso hay dossoluciones reales diferentes:ax2 C c D 0 ) ax2 D c ) ca) x Dca:Una solucin positiva y la otra negativa.Otra ecuacin cuadrtica particular se tiene cuando a D 1. En estecaso, x2 C bx C c D 0. Si factorizandoresulta quex2 C bx C c D .x Cm/.x C n/;entonces podemos resolver la ecuacinde la siguiente manera:x2 C bx C c D 0 ) .x Cm/.x C n/ D 0 )) x Cm D 0 o bien x C n D 0)) x D m o bien x D n:Las soluciones son x1 D m & x2 D n.Reactivos de Ecuaciones de segundo grado con unaincgnitaSoluciones: vase la pgina 273. Desarrollos: vase la pgina3191. Al resolver la ecuacin x2 4x D 21, se obtiene: .A. x D 3; x D7B. x D 3; x D 7C. x D 3; x D 3D. x D 3; x D 7E. No hay solucionesreales2. Al resolver la ecuacin x2 D 9, se obtiene: .A. La ecuacin notiene solucionesB. x D 3; x D 3C. x D 3; x D 3D. x D 3; x D 3E. x D p9
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 433. Al resolver la ecuacin 6x2C 5x 6 D 0, se obtiene: .A. x D 32; x D 23B. x D 23; x D 32C. x D 32; x D 23D. x D 3; x D 2E. No hay soluciones reales4. Las soluciones de la ecuacin 3×2 4x D 0 son: .A. x D 0; x D 43B. x D 0; x D 34C. x D 43; x D 43D. x D 43; x D 0E. No tiene soluciones reales5. Las soluciones de la ecuacin x2 4x C 1 D 0 son: .A. x D 2Cp3; x D 2 p3B. x D 2 p3; x D 2Cp3C. x D 2 2p3; x D 2C2p3D. x D 2C 2p3; x D 2 2p3E. No tiene soluciones reales.1.2.13 Sistemas de ecuaciones 2 2 con al menos una cuadrticaComose sabe, una ecuacin de primer grado o lineal con dos incgnitas esde la forma:Ax C By C C D 0:As tambin, una ecuacin de segundo grado o cuadrtica con dosincgnitas es de la forma:Ax2 C By2 C Cxy CDx C Ey C F D 0:En ambos casos las incgnitas son x&y.Aqu tratamos consistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas donde ambas ecuacionesson cuadrticaso bien una es lineal y la otra es cuadrtica.Pararesolver estos tipos de sistemas, se busca primero eliminar a unade las incgnitas para luego resolverla ecuacin que resulte.Si elsistema es de una lineal con una cuadrtica, primero se despeja unade las incgnitas de la lineal paraluego sustituir en la ecuacincuadrtica.Si el sistema es de dos cuadrticas, se puede proceder porsustitucin, por igualacin o bien por el mtodode suma o resta.Dependiendo de las ecuaciones, ser el procedimiento que seutilice.
  • 44 A tiempoReactivos de Sistemas de ecuaciones 2 2 con al menos unacuadrticaSoluciones: vase la pgina 273. Desarrollos: vase la pgina3211. Las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:x2 C y2 D 25Ix y C 1 D 0;son: .A. x1 D 4 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 4B. x1 D 4 & y1 D3; x2 D 3 & y2 D 4C. x1 D 4 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 4D.x1 D 4 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 4E. x1 D 4 & y1 D 4; x2D 3 & y2 D 32. Las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:x2 2x y C 1 D 0Ix C y 7 D 0;son: .A. x1 D 2 & y1 D 9; x2 D 3 & y2 D 4B. x1 D 2 & y1 D9; x2 D 3 & y2 D 4C. x1 D 2 & y1 D 9; x2 D 3 & y2 D 4D.x1 D 2 & y1 D 4; x2 D 3 & y2 D 9E. x1 D 2 & y1 D 9; x2D 3 & y2 D 43. Las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:x2 C y2 D 2Ix2 y D 0;son: .A. x1 D 1 & y1 D 1; x2 D 1 & y2 D 1B. x1 Dp2 & y1 D 2; x2 Dp2& y2 D 2C. x1 D p2 & y1 D 2; x2 D 1 & y2 D 1D. x1 D 1 & y1 D 1; x2 D 1 & y2 D 1E. x1 D 1 & y1 D1; x2 Dp2 & y2 D 24. Las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:x2 C 3y2 D 36I3x2 C y2 D 36;son: .A. x1 D 6 & y1 D 0; x2 D 0 & y2 D 6B. x1 D 3 & y1 D3; x2 D 3 & y2 D 3; x3 D 3 & y3 D 3; x4 D 3 & y4 D 3C.x1 D 3 & y1 D 3; x2 D 3 & y2 D 3; x3 D 6 & y3 D 0D. x1D 3 & y1 D 3; x2 D 0 & y2 D 6E. x1 D 3 & y1 D 3; x2 D 3& y2 D 3; x3 D 6 & y3 D 0; x4 D 0 & y4 D 6
  • 1. Matemtica. Teora y reactivos 451.3 Geometra euclideana1.3.1 ngulos complementarios y suplementariosD 30D 60Dos ngulos son complementarios si su suma es igual a 90.Los ngulos , de la figura anterior son complementarios.Dos ngulos son suplementarios si su suma es igual a 180. En lasiguiente figura, los ngulos , sonsuplementarios.D 120 D 60Reactivos de ngulos complementarios y suplementariosSoluciones:vase la pgina 273. Desarrollos: vase la pgina 3241. Los ngulos , son complementarios. Si el valor de es un quintodel valor de , cul es el valordel ngulo ?: .A. 30B. 15C. 75
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