divisibilidad ebe sesion4

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  • 1. DIVISIBILIDAD Conceptos Divisibilidad Criterios de Divisibilidad

2. Divisibilidad Si encargamos a unmarmolista que nosenloseun cuarto de bao deforma rectangular , interesar que al obtener las baldosasno aparezcan trozosque rompan la esttica ; entonces lo habitual ser encargarbaldosas cuadradas que tengan eltamao mayor posible. Para resolver esta situacin , se utilizan los conceptos de mltiplo y de divisor. 3. Matemagia La Magia del 9 Indicaciones Piensa en un nmero Multiplcalo por 9 Tacha uno de sus dgitos que no sea CERO Dime la suma de los otros dgitos. Veamos. Adivinar el dgito que tachaste.! El digito es. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/Magia9.asp 4. Juego de las Piedrecillas Indicaciones De un montn de fichas entre 25 a 30. Juegan 2 participantes. Cada uno retira entre 1 a 6 fichas. Gana quien retira al ltimo. Plantee una estrategia ganadora. Variante: Cambie el tamao del montn. Y el mximo nmero de fichas a retirar. Fuente: Miguel de Guzmn 5. Bloques Lgicos - Series Indicaciones Engrupos de 4 participantes: Se les muestra la serie: V =Ficha Verde A=Ficha Azul R=Rojo V A V A V A... Qu color tendr la ficha que ocupe el lugar 4.153? y el 20.000 ? V V A V V R V V A V V R . . . Qu color tendr la ficha que ocupe el lugar 54? Y el 27? Y el 41? 6. Dinmica Cartas La fila de Nueve Indicaciones Retira una carta de cualquier esquina(t eliges). 3 veces Suma los valores de las tres cartas retiradas. Divide el resultado por 6 la divisin es exacta! y busca la carta de la el lugar indicado por el cociente (contando de izquierda a derecha). 7. Evolucin Histrica Loshindesllegaron a conocer la divisibilidad por3, 7 y 9 , y losgriegos y egipciosestablecieron la clasificacin de losnmeros en pares e impares. El matemtico francs Blaise Pascal (siglo XVII) propuso las reglas para determinar ladivisibilidad por cualquier nmero . Motivacin Blaise Pascal 1623-1662 8. Divisibilidad Decimos que un nmero enterob es divisible por otro entero a(distinto de cero) si existe un tercer entero c tal queb = ac. Se suele expresar de la forma b/a, que se leea divide a b o a es divisor de b , o tambinb es mltiplo de a. Ejm 6 es divisible por 3 , ya que6 = 32 ;pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4c. 9. NMEROS PRIMOS Y COMPUESTOSConceptos Criba de Erasttenes Aplicaciones 10. Criba de Eratstenes-Mtodo Encierra en un crculo el 2 Tacha, los mltiplos de 2, excepto el 2. Encierra el 2 Tacha, los mltiplos de 3, excepto el 3. Encierra el 3 Tacha, los mltiplos de 5, excepto el 5. Encierrael 5 Tacha, los mltiplos de 7, excepto el 7. Encierrael 7 Qu nmeros NO quedaron marcados? Encirralos con un Crculo Eratosthenes 276 a. C.194 a. C. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31,37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 . 11. Criba de Eratstenes La criba de Eratsteneses unalgoritmoque permitehallartodos losnmeros primosmenores que un nmero natural dado N Eratosthenes 276 a. C.194 a. C. 12. Nmero Primo Son aquellos que sondivisiblesporsi mismoy por la unidad ; es decir Estos nmeros solamente presentan dos divisores Nmero Primo de Fermat Pierre de Fermat 1601-1665 Los nmeros primos menores que cien son 25, a saber:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31,37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 . 13. Aplicaciones- Criptografa El algoritmoRSAse basa en la obtencin de la clave pblica mediante la multiplicacin dedos nmeros grandes(mayores que 10100) quesean primos. Laseguridadde este algoritmo radica en queno haymaneras rpidas defactorizarunnmero grande en sus factores primos 14. Criterios de Divisibilidad por 2 Un nmero es divisiblepor 2siacaba en 0 o en cifra par.Ejemplos:Nmeros divisibles por 2:36, 94, 521342, 40,... 9 4 3 6 52134 2 4 0 15. Criterios de Divisibilidad por 3 Un nmero es divisiblepor 3siUn nmero es divisible por 3si la suma de sus cifras es mltiplo de 3.Ejemplos:Nmeros divisibles por 3: 36, 2142, 42 36 2142 42 3 + 6 = 12 2+1+4+2= 9 4+2 = 6 16. Criterios de Divisibilidad por 5 Un nmero es divisiblepor 5sisi la ltima de sus cifras es5 o es 0.Ejemplos:Nmeros divisibles por 5: 35, 2145, 40,... 3 5 214 5 4 0 17. Criterios de Divisibilidad por 7

  • Un nmero es divisiblepor 7si
  • Se separa la ltima cifra de la derecha; esta cifra se duplica y se resta al nmero que queda a la izquierda , con el resultado se hace lo mismo y as sucesivamente hasta llegar a un nmero pequeo tal, que a simple vista se puede ver si es o no mltiplo de 7. Si lo es el nmero dado es divisible por 7
          • Ejemplo:3523289

18. 3 5 2 3 2 89 Resolucin2( 9 ) =18 1 8 3 5 2 3 10 2( 0 ) = 0 0 3 5 2 31 2( 1 ) = 2 2 3 5 21 2( 1 ) = 2 2 3 50 2( 0 ) = 0 0 3 53 5= 7o Otra estrategia3 5 2 3 2 8 9 21 1 3 2 1 -1 -2 -3 (9+24+4+3) -(10+6+3) 40 - 19 7o 19. Criterios de Divisibilidad por 11

  • Un nmero es divisiblepor 11si
  • Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o mltiplo de 11, entonces el nmero es mltiplo de 11
        • Ejemplo:a)3553
        • b) 48657

20. Resolucina)3553 ( 3 + 5) - (5+3) 8 - 8 0

        • b)48657
        • (4+ 6+7)
        • -(8+5)
        • 17
        • -13
        • 4

48657

        • = 11+4

o a)3 5 5 3 ( 3 + 5) - (5+3) 8 - 8 0

        • b)4 8 6 5 7
        • (4+ 6+7)
        • -(8+5)
        • 17
        • -13
        • 4

48657

        • = 11+4

o 21. MCM Mnimo Comn Mltiplo En el aeropuerto Jorge Chavez, los vuelos hacia Arequipa salen cada 15 minutos , y haciaCusco Cada 25 minutos . La Primera salida a los dos sitios, es a las 8:00 amEn que hora vuelven acoincidir? Deben obtener losmltiplos de 15 y 25 22. Conceptos Nmero Compuesto:Es todo nmero no primo Mltiplo : cuando la divisin del primero entre el segundo es exacta Divisor : si lo divide exactamente MNIMO COMN MULTIPLO El menor mltiplo que contenga exactamente a los nmeros dados. MXIMO COMN DIVISOR El mayor divisor comn de ellos. Descomposicin en Factores Primos 23. MCM - Mtodo Para calcular elMCMde varios nmeros, se descomponen simultneamente en sus factores primos . Luego se obtiene elproducto. El producto. 2x3x3 = 18MCM(3,6,9)=18 24. MCD - Mtodo Para calcular elMCDde varios nmeros, se Dividen por trminos comunesimultneamente . Luego se obtiene elproducto . El producto. 2x3 = 6MCD(6,12,18) = 6 25. Propiedades MCD - MCM 1.-Si unnmero es mltiplo de otro , el msgrandeser elmcmde los dos y el mspequeoser sumcd . Ejm 12esmltiplode6y6esdivisorde12. MCM (6, 12) = 12 MCD (6, 12) = 6 26. Propiedades MCD - MCM 2.-Losdivisores comunesde dos o ms nmeros sondivisores del mcdde estos nmeros. EJEMPLO El 2 es divisor de 12 y 18 MCD (12, 18) =6 El2tambin esdivisor de 6. 27. Propiedades MCD - MCM 3.- ElMCMde dosnmeros primosentre ses igual alproducto de estos nmeros . EJEMPLO 7 y 12son primos (PESI) entre ellos MCM (7, 12) = 7 .12 = 84 28. Propiedades MCD - MCM 4.- Losmltiplos comunesde dos o ms nmerosson mltiplos del MCMde estos nmeros. EJEMPLO ElMCM (15, 18) = 90 .Cualquier mltiplo comn de 15 y 18, por ejemplo360 , tambin lo es de 90. 29. Propiedades MCD - MCM 5.-ElproductodelMCM por el MCDde dos nmeros cualesquiera es igual alproducto de estos nmeros. EJEMPLO MCM (12, 15) = 60MCD(12, 15) =3 MCM . MCD = 60 . 3 = 180( 12 . 15 = 180 ) 30. Propiedades MCD - MCM Sidividimosdos nmeros por suMCD , loscocientesque se obtienen sonprimos entre ellos. EJEMPLO ElMCD (25, 80) =5 . Si dividimos25 y 80entre 5 , obtenemos, respectivamente5 y 16 . Estos nmerosson primos entre ellos .