Jocs geomètrics – [PDF Document]

2. EL CAMINO MS CORTO Supongamos que tenemos que llevar agua deun punto A a un punto B, pasando previamente por un ro pararecogerla. Cul es el camino ms corto para realizar esta tarea? 3.BILLARES. Supongamos ahora que, en una mesa de billar, queremosgolpear la bola B con la bola A, realizando previamente trescarambolas. Cmo determinaras la direccin en que has de golpear labola A? 4. LA MOSCA Y LA ARAA En un cuarto de 30 pies de longitud,12 de ancho y 12 de altura hay una araa en el centro de una de lasparedes menores, a un pie del cielo raso, y tambin hay una mosca enel medio de la pared opuesta, a un pie del piso. La araa pretendealcanzar la mosca. Si se pone en marcha en lnea recta descendiendopor la pared, luego en lnea recta a lo largo del piso y ascendiendoluego, tambin en lnea recta, por la otra pared, o bien siguiendouna ruta anloga pasando por el cielo raso, la distancia a recorreres de 42 pies. Da la impresin de que es el menor recorrido, pero noes as.Cul es la ruta ms corta posible segn la cual la araa puedearrastrarse para alcanzar su presa? 5. MANERAS DE ANUDARSE LOSCORDONES DE LOSZAPATOS. Existen mltiples maneras de anudarse loscordones de los zapatos. Entre estas podemos diferenciar 3: lamanera europea, la manera americana y la manera en que los suelenanudar en las zapateras: Sabras decir cual de stas requiere loscordones ms largos, y cul necesita menos?Te atreveras a conjeturarcul es, de entre todas las maneras posibles de anudarse loscordones, la que necesita los cordones menos largos? 6. PROBLEMA DERECUBRIMIENTOS N 1. Consideremos un tablero de ajedrez (64cuadros). Es claro que el tablero puede ser recubierto con fichasrectangulares de tamao 21.Sigue siendo esto cierto si suprimimosdel tablero las dos ltimas casillas? 7. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOSN 2. Y si suprimimos en su lugar las dos esquinas de esta ltimafila? 8. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 3. Y si suprimimos en sulugar dos esquinas diametralmente opuestas del tablero? 9. PROBLEMADE RECUBRIMIENTOS N 4. Y si se suprimen cuadros cualesquiera delmismo color? 10. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 5. Y si se suprimendos cuadros cualesquiera de distinto color? 11. PROBLEMA DERECUBRIMIENTOS N 6. Se puede generalizar lo anterior a tableroscuadrados de cualquier tamao? 12. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 7.Si suprimimos una sola casilla en el tablero de ajedrez.Se puederecubrir el resto con fichas de tamao 3×1? 13. PROBLEMA DERECUBRIMIENTOS N 8. Dado un tablero de tamao 44, se suprime unacasilla.Se puede recubrir el resto con fichas en forma de Lformadas por 3 cuadrados?Y en el caso de que el tablero sea 2n2n?14. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 9. Si pegamos cuatro cuadrados porsus lados de todas las formas posibles obtenemos las siguientesfiguras: Estas figuras se llaman tetromins y son, salvo rotacionesy reflexiones, las nicas figuras posibles obtenidas en lascondiciones anteriores. Entre todas suman 20 cuadrados.Ser posiblerecubrir con ellas un rectngulo 4×5? 15. LA RAZN UREA.Dado unsegmento AB, se trata de encontrar C entre A y B tal que la razn deAB a AC se igual que la razn de AC a CB. A esta razn se le llamarazn urea, y la denotaremos por (de Phidias). Para conocer el valorde la razn urea, podemos considerar la longitud de CB igual a 1.As, se tendr =AC. Sustituyendo en AB/AC=AC/CB se tiene (+1)/=/1yoperando,2–1=0 yportanto,=1.6180339887498948482045868343656381177203… Si hubiramos tomadocomo 1 la longitud AC habramos obtenido =AB yCB=1/=0.61803….=1-.Como verifica la igualdad =1+1/, siemprepodemos reemplazar por 1+1/. En particular, si sustituimos en elmiembro derecho de la igualdad anterior obtenemos =1+1/(1+1/). Siiteramos este proceso indefinidamente obtenemos la siguienteexpresin = 1 +1 1 +1 1 +1 1 + de como fraccin continua. La expresinanterior nos permite obtener aproximaciones racionales de . Enparticular, obtenemos las siguientes aproximaciones: 1=1 2=1+1/1=23=1+1/(1+1/1)=1+1/2=3/2 4=1+1/(1+1/(1+1/1))=1+1/(3/2)=1+2/3=5/3endonde aparecen los sucesivos cocientes entre trminos sucesivos dela sucesin de Fibonacci. 16. PROBLEMA N 1 Demostrar que la sucesinde aproximaciones que obtenemos es precisamente la sucesin decocientes entre trminos sucesivos de la sucesin de Fibonacci. 17.PROBLEMA N 2 Obtener otra expresin para a partir de la igualdad2=+1.Un rectngulo ureo es aqul en el que la razn de las longitudesde sus lados es . Para construir un rectngulo ureo basta dibujar uncuadrado y marcar el punto medio de uno de sus lados. Si unimoseste punto con uno de los vrtices del lado opuesto y llevamos esadistancia sobre el lado inicial, obtenemos el lado mayor delrectngulo. Demostrar que el anterior es efectivamente un rectnguloureo. 18. Los rectngulos ureos han sido utilizados en arquitecturadesde tiempos de los griegos. El ejemplo ms famoso quizs sea elPartenon de Atenas. Ms recientemente, Le Corbusier utilizfrecuentemente rectngulos ureos en el diseo de sus edificios. Unejemplo es el Edificio de la ONU en Nueva York que adems tienemarcas distintivas lo dividen de nuevo segn la razn urea.Unrectngulo ureo tiene la propiedad de que se puede dividir en uncuadrado y un rectngulo de manera que este ltimo es tambin unrectngulo ureo. Este nuevo rectngulo puede ser a su vez dividido enun cuadrado y un nuevo rectngulo ureo. Si iteramos este procesoindefinidamente dibujando arcos de circunferencia en los cuadradosque vamos obteniendo, se obtiene una espiral urea cuyo centro esten la interseccin de las dos diagonales dibujadas en azul. Enrealidad esta curva no es una espiral puesto que est formada porarcos de circunferencia pegados. Es una aproximacin de una espirallogartmica. Vamos a intentar ver cul. Observamos que cada rectngulo(o cuadrado) es semejante al inmediatamente inferior en tamao peroveces mayor (y rotado 90 alrededor del centro de la espiral). Portanto un giro de 90 compuesto con una homotecia de razn dejarainvariante la espiral. En coordenadas polaresestatransformacinesh(,)=(,+/2). Por tanto, una posible ecuacin dela espiral sera = y =t/2 (rotada tconvenientemente). Eliminando ten ambas ecuaciones obtenemos =2/=(2/). Esta espiral ya no estangente a los cuadrados sino que los corta, aunque con ngulos muypequeos.La espiral logartmica es el nico tipo de espiral quemantiene su forma al ser reescalada. Este hecho explica porqueexisten numerosas formas en la naturaleza que siguen esta pauta;por ejemplo, semillas de flores como el girasol y conchas. Por otraparte, los fenmenos de crecimiento biolgico presentanfrecuentemente pautas relacionadas con la sucesin de Fibonacci.stas aparecen, por ejemplo, en distribuciones de hojas alrededor detallos o de ptalos en flores. Ya habamos destacado la relacin conlos nmeros de Fibonacci (sabras encontrar una sucesin de Fibonaccien la espiral urea?). 19. Otra espiral logartmica puede obtenerse apartir de un tringulo issceles de ngulos 36 72 72. Es fcil ver queAB/BC=. Se dice entonces que es un tringulo ureo. En ABC, sibisecamos el ngulo en B obtenemos dos tringulos: DAB y BCD. Elprimero cumple que AB/AD= y por tanto es un tringulo ureo. Elsegundo de ellos es semejante al original y por tanto tambin lo es.Si en este tringulo bisecamos el ngulo en C, obtenemos CDE tambinsemejante a los dos anteriores. Continuando este proceso se obtieneuna sucesin espiral de tringulos que converge a un punto situado enla interseccin de dos medianas de los dos primeros tringulos.Eltringulo anterior es la base del pentagrama escogido como smbolopor los pitagricos. Hallar en el pentagrama pares de segmentos queestn en razn urea. 20. LA RANA SALTARINA. Se tiene una cuadrcula decuadros en los que quepa una ficha, y sealada a la mitad por unarecta horizontal ms gruesa: Se coloca al principio un nmerocualquiera de fichas (todas iguales) distribuidas de cualquierforma, cada una en algn cuadro de los de debajo de la raya gruesa.Se empieza a mover y retirar fichas del tablero de la siguienteforma: Se pueden mover slo horizontalmente y verticalmente,saltando por encima de otra contigua, siempre que el cuadro al quese salta est vaco, y se retira la ficha sobre la que se ha saltado.As por ejemplo, de la situacin se puede pasar a la siguiente 21.Cul es el mnimo nmero de fichas que se necesita tener al comienzopara poder llegar con alguna a la primera fila por encima de lalnea gruesa?Y a la segunda?Es posible llegar a la tercera fila ?Y ala cuarta?Es posible llegar a la quinta fila?Demostrar que el nmeromnimo de fichas para llegar a la tercera fila es 8, y para llegar ala cuarta es 20.Se puede llegar a las siguientes situaciones? Si larespuesta es afirmativa.Cmo? 22. FALACIASN1. El cuadrado de lafigura se corta en las cuatro piezas indicadas. stas puedencolocarse tal como se ve en la segunda figura, que es un rectngulo:Como el rea del rectngulo es 5 x 13 = 65 cm2; y la del cuadrado es8 x 8 = 64 cm2, tenemos que 64 = 65. Imposible verdad?Dnde est elerror? 23. FALACIAS N 2. Demostrar que si se toman tres nmerosconsecutivos de la sucesin de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,….la diferencia de reas siempre es de una unidad, esdecir,un2=un+1un-11. 24. FALACIAS N 3. Demostrar que la serie:1, ,1+, 1+2, 2+3, 3+5, …es, esencialmente, la nica serie aditiva enla que al tomar las figuras con tres trminos sucesivos, las reasresultantes son iguales. 25. FALACIAS N 4. Consideramos ahora elcuadrado Si ahora cortamos las piezas indicadas, stas puedencolocarse tal como se ve en la segunda figura, Ambos son cuadradosde igual rea. Sin embargo el segundo cuadrado superior tiene unagujero de 1cm2.Dnde est ahora el error. 26. EL ENANO PERDIDO.Consideramos los enanos de la figura Si ahora cortamos las piezasindicadas, stas pueden colocarse tal como se ve en la segundafigura, Ha desaparecido un enano.Dnde est? 27. EL MISTERIO DERAVENSDENE PARK. El 17 de Febrero, a las 11 de la noche cay unafuerte nevada y aunque slo dur media hora, la tierra qued cubiertade una gruesa capa de nieve. El seor Hastings haba pasado la veladaen casa de un vecino y sali a media noche para dirigirse a suhogar. Iba a pie y tom el camino ms corto, a travs de RavensdenePark, desde el portn D al A. A la maana siguiente fue halladomuerto, en el punto sealado con un asterisco, apualado en elcorazn. Los siete portones fueron clausurados y se examinaron laspisadas en la nieve. De stas la polica obtuvo los siguientes datos:Las huellas del seor Hasting iban derechas desde D hasta ellugardonde fue hallado muerto. Haba huellas del guardin del parque,que se echo a dormir 5 minutosantes de la medianoche despus dehaber caminado desde E hasta EE. Estaban las huellas del jardinerodesde A hasta AA. Haba huellas de alguien desde B hasta BB, y otrasdesde C hasta CC. nicamente estas personas haban entrado al parquedesde la nevada.La noche haba sido de mucha niebla y algunos de loscaminantes haban seguido recorridos muy sinuosos, pero es dedestacar que ningn recorrido pasaba sobre otro. La polica estabasegura de este hecho, pero nadie hizo un croquis de estosrecorridos antes de que la nieve se derritiera. Sabras deducir quinfue el autor del crimen? 28. DRAGO. Este juego fue creado en unatarde del martes 21 de febrero de 1967 por John Horton Conway,profesor de matemticas en el Sidney Sussex College, Cambridge, yMichael Stewart Paterson, estudiante graduado que trabajaba en lamisma universidad sobre teora abstracta de programacin deordenadores. El juego comienza dibujando n puntos sobre una hoja depapel (por ejemplo, se puede empezar colocando 3 4 puntos en elplano). Un movimiento consiste en trazar una lnea que una un puntocon otro o consigo mismo y luego trazar sobre ella, en cualquierlugar, un nuevo punto. Deben observarse las siguientesrestricciones: 1. La lnea puede tener cualquier forma pero sincortarse a s misma, cruzar otra ya dibujada, ni pasar por un puntopreviamente dibujado.2. De ningn punto podrn salir ms de treslneas. (Por tanto, de los puntos que se dibujan sobre una lnea slopuede partir una lnea ms).Gana la ltima persona capaz de mover. Sise juega a la inversa, gana el primer jugador que no puedemover.Una partida de Drago que comienza con n puntosPuede llegar ano terminar?Tiene que terminar necesariamente despus de un nmerofinito de movimientos?Demostrar que cualquier partida puede duraral menos 2n movimientos.En una partida de drago jugada con dospuntos.Gana el primero o el segundo jugador?Conway encontr que elprimer jugador puede ganar siempre en el juego normal de trespuntos, y el segundo en la versin inversa. Denis P. Mollison, unestudiante de matemticas de Cambridge, ha mostrado que el primerjugador tiene las de ganar en los juegos normales de cuatro y cincopuntos y 29. posteriormente, en un artculo de 49 pginas prob que elsegundo jugador gana en un juego normal de seis puntos. Un anlisiscompleto del juego de ocho puntos parece estar ms all de lasposibilidades de los computadores actuales. No hay formulada unaestrategia para jugar correctamente al Drago, pero al final de lapartida se puede ver a menudo cmo trazar curvas cerradas quedividan el plano en regiones de tal manera que se consiga eltriunfo. Pero al parecer, no hay ninguna estrategia que conduzca auna victoria segura. 30. COLES DE BRUSELAS. Las coles de Bruselasfue un juego que invent posteriormente Conway, aparentementesimilaral Drago. El juego comienza con n cruces en lugar de puntos. Unmovimiento consiste en prolongar un brazo cualquiera de una cruzcualquiera, formando una curva que termine en la misma cruz o en elbrazo libre de cualquier otra. A continuacin se traza una nuevabarra transversal en cualquier lugar a lo largo de la curva,creando as una nueva cruz. 1. Al igual que el drago ninguna curvapuede cortarse a s misma ni a ninguna otra que se haya trazadopreviamente, ni puede pasar por una cruz ya dibujada.2. De cadacruz slo pueden salir cuatro curvas (y por tanto las cruces aadidasslo tendrn dos vidas).El ganador del juego normal es la ltimapersona en jugar. Si se juega a la inversa, el ganador es laprimera persona que no puede hacer movimiento.En las Coles deBruselas, es cada movimiento se matan dos vidas y se aaden otrasdos, sin embargo el juego siempre tiene fin, un juego que comienzacon n cruces acaba siempre exactamente a los 5n-2movimientos.Demostrar que un juego que comienza con n cruces acabaa los 5n-2 movimientos exactamente.En una partida que comienza conn crucesGana el primero o el segundo jugador?Es imposible jugarbien o mal este juego, ya que cada partida que comienza con ncruces debe acabar exactamente a los 5n-2 movimientos. Por tanto,las Coles de Bruselas es un juego falso a pesar de que enapariencia parece una versin ms complicada y elaborada que elDrago. 31. CHOMP O TRAGN. Es ste un juego para dos jugadores, quese juega en un tablero rectangular, en principio de cualquierdimensin. El primer jugador selecciona uno cualquiera de loscuadros del tablero y lo elimina, eliminando tambin todos loscuadrados que estn encima y a la derecha de l. As, si tenemos elsiguiente tablero: y el primer jugador selecciona el cuadradonegro, eliminar ste y todos los azules: El segundo jugador hace lomismo, y as sucesivamente. El jugador que elimina el cuadradoinferior izquierdo pierde la partida.Existe alguna estrategiaganadora para alguno de los jugadores, si el tablero escuadrado?Existe alguna estrategia ganadora si el tablero es unrectngulo n2?Existe alguna estrategia ganadora si el tablero es unrectngulo 2? y si es n, con n>2 ?Existe alguna estrategiaganadora para cualquier tablero finito?

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