ALGEBRA USACH – [PDF Document]

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE CIENCIADepartamentode Matematica y Ciencia de la ComputacionALGEBRA IPRIMERA VERSIONEnrevisionRICARDO SANTANDER BAEZA20081A mi adorada esposa Carmen,y amis amados hijos Francisco, Ricarda,Fernando y Pablo2PrefacioLamatematica viene impresa en el cerebro y,solo se hace carne cuandopalpita en el coraz on.La idea que me motiva a escribir estas notasesta sustentada en la rme creencia que, una condicion nece-saria ysuciente para que en alg un instante se produzca aprendizaje en elaula, es que la interseccion entrelos deseos de ense nar del queense na, y los deseos de aprender del que aprende, sea no vaca.Loanterior es con seguridad una muy difcil tarea, no obstante poseola esperanza que las ideas vertidas eneste libro contribuiran, agenerar la motivacion en los actores para que ingresen a esainterseccion.Con esta motivacion, espero conseguir al menos algunode los siguientes objetivos:Contribuir al acrisolamiento de lasideas algebraicas basicas en los Alumnos de un primer curso deAlgebra.Servir de hilo conductor para que los Alumnos recorran lasprimeras ideas algebraicas, hasta llegar a lasbases del algebraLineal, y puedan posteriormente reexionar, respecto de lasilimitadas aplicaciones queesta disciplina posee en sus respectivasespecialidades.Generar un ambiente de dialogo permanente, entre elProfesor y el Alumno del cual se concluya al menosque, lo abstractodeja de serlo cuando se hace tangible en la mente, y se plasma atraves de la mano.Motivar al Alumno para transformarse enEstudiante y as profundizar da a da, cada uno de lostopicosdiscutidos en clases en conjunto con su Profesor, en la busqueda permanente del equilibrio entre la teora ylapractica.Motivar al Profesor, para que complemente estas ideas,dandoles la contundencia y versatilidad necesariapara mantener vivoen el Alumno su interes por la asignatura.Los contenidos de estelibro estan esencialmente dedicados a iniciar al lector: En primerlugar en las estruc-turas basicas que cubren de apariencia nita alos procesos innitos, tales como los metodos inductivos,lageneracion de listas progresivas. En segundo lugar en lasherramientas que permiten clasicar situacionesy por ende apuntanhacia un trabajo eciente, y en tercer lugar, examinar las forma deestructuracion quepermiten ordenar de forma eciente la informacion,tales como grupos, anillos y cuerpos.Deseo enfatizar que desde hoy,estas notas estaran en constante revision con el unico objetivo demejorar yas llegar a ser alguna vez, un razonable material deapoyo, para la ense nanza y aprendizaje de esta disciplina.Estetrabajo se realizo en el marco del proyecto de docencia Version naldel texto gua de Algebrapara Ingeniera Civil y Ciencia con el apoyoy nanciamiento de la Vicerrectora Academica de laUniversidad deSantiago de Chile.Finalmente deseo agradecer las observacioneshechas por mis colegas, quienes han compartido conmigolaCoordinacion del curso de Algebra para Ingeniera Civil en todassus especialidades, por largo tiempo, enparticular al Profesor LuisArancibia Morales, quien ha hecho importantes observaciones acercade los con-tenidos de los primeros captulos de este libro.UNIDAD1Bases Numericas y Polinomios1. IntroduccionEl capitulo, Basesnumericas y Polinomios esta destinado a presentar contenidos yactividades que de-beran haber sido expuestos y discutidas, por losprofesores y estudiantes en los correspondientes cursos deSegundo,Tercero y Cuarto de su Ense nanza Media, razon por la cual deseoabordar topicos que permitanal estudiante, dentro de lo posible yen directa proporcion a su trabajo, fortalecer y mejorar suoperatoriabasica. La herramienta escogida para el efecto son lospolinomios, y la idea es introducir informalmente elconcepto, elcual sera abordado posteriormente desde el punto de vista de lasestructuras algebraicas.El punto de partida sera escoger elfundamento natural de los polinomios en el n umero. El cualsatisfacetodos los atributos de un buen axioma, porque buscando unabuena respuesta para que es un n umero?,podemos pasar por todas lasepocas citando personajes fabulosos como: Pitagoras, indexPitagorasHermes,Hiram, entre otros, sin encontrar una respuestasatisfactoria, sin embargo todos tenemos, una idea que nosdejatranquilo respecto de lo que un n umero es, probablemente la mascom un de las interpretaciones, esasociar un n umero con la idea decantidades de cosas, por ejemplo un maestro, tres malos alba niles,nueveescogidos caballeros, etc. As que para una primeraaproximacion nos contentaremos con lo que el paranosotrosrepresenta, claro esta del punto de vista que nos conviene paranuestro proposito, y en ese tenorpodemos citar algunos ejemplos.(1)33 = 3 101+ 3 100(2) 987 = 9 102+ 8 101+ 7 100La idea es que en larepresentacion en potencias del n umero 10 (objetos del tipo 10n),aceptamos comocoecientes ( los n umeros que multiplican a laspotencias de 10) n umeros mayores o iguales a 0 y menoresque10.Para el caso del 33, lo hacemos as,33 : 10 = 3 303 33 = 3 101+ 3100Para el n umero 987 tenemos que987 : 100 = 9 90087 987 = 9 102+87 87 : 10 = 8 807 87 = 8 101+ 7Sustituyendo, la representacion de87 obtenemos que:987 = 9 102+ 8 101+ 7 100Denicion 1.1. Si (n N)tal quen = as10s+as110s1+ +a1101+a0100; (0 aj 9); (0 j s)34 1.BASES NUMERICAS Y POLINOMIOSentoncesn = asas1as2as3 a2a1a0 (1)Lallamaremos representaci on del n umero n en base 10Observacion1.1.1. La idea de representar un n umero de la forma (1) no es unaexclusividad de la base10 (del n umero 10), m as a un, si uno se jaen la idea central obtiene un algoritmo o procedimientopararepresentar n umeros en cualquier base entera mayor o igual a2.(1) Por ejemplo n = 10 lo podemos representar en base 2, comosigue,10 = 8 + 2= 1 23+ 1 21= 1 23+ 0 22+ 1 21+ 0 20As que,10 =1010 ( base 2) (2)(2) Para n = 33 tenemos que33 = 2 16 + 1= 2 24+1= 25+ 1= 1 25+ 0 24+ 0 23+ 0 22+ 0 21+ 1 20Luego,33 = 100001 (base2)(3) Para n = 10 en base 3 tenemos10 = 9 + 1= 32+ 1= 1 32+ 1 30= 132+ 0 31+ 1 30As que,10 = 101 ( base 3) (3)(4) Para n = 33 tambienen base 3, tenemos que33 = 27 + 6= 33+ 2 3= 1 33+ 0 32+ 2 31+ 030Luego,33 = 1020 (base 3)2. CONSTRUCCION INFORMAL DE POLINOMIOS52. Construccion Informal de polinomiosHemos observado que esposible representar un n umero n, (n N) en base m, (m N), esdecir,n = aqaq1 a1a0 (base m) n = aqmq+ +a1m1+a0m0(0 ai < m)(4)porque, Las potencias de m estan denidas, es decir, m0= 1 y mrmt= mr+t Los coecientes ai de la representacion en base m vericanla propiedad 0 ai m, esta propiedadpermite ver a m, no como el numero que es, sino como un smbolo Por tanto, para obtener unaestructura similar, no podemos dejar de llevar en consideracionestaspropiedades...Denicion 2.1. Una expresi on se llama unpolinomio en la variable x, y con coecientes en los n umerosrealessi:(1) Es de la forma;p(x) = a0 +a1x +a2x2+a3x3+ +anxn(5)(2) Los numeros as, donde s = 0, 1, 2, . . . , n, se llaman los coecientesdel polinomio y son en este casonumeros reales.(3) La variable xsatisface las propiedades:(a) x no es un n umero complejo(b) x0=1(c) xs xt= xs+t(4) Los exponentes son n umeros enteros nonegativos, es decir n (Z+ 0)Ejemplo 2.1.1. Algunos ejemplos depolinomios son:(1) p(x) = 0+0x+0x2+0x3+ +0xn; se llama el polinomionulo y lo escribiremos de la forma abreviada:p(x) = 0(2) p(x) = 1 3x2+x5(3) q(x) =3 x + 57x3(4) De acuerdo a estudios hechos por lapolica la cantidad de robos por cada 100.000 habitantes, a partirde1990 puede calcularse aproximadamente por el polinomio:r(x) = 25117.24 x + 1.76 x2(6) Cu antos robos por cada 100.000 habitanteshubo aproximadamente en 1990?Para este caso, tenemos el siguientean alisis del problema: 1990 es el primer a no as que enr(x)hacemos x = 0, y obtenemos ;6 1. BASES NUMERICAS YPOLINOMIOSr(0) = 251 17.24 0 + 1.76 02= 251 Cu antos robos por cada100.000 habitantes hubo aproximadamente en 2000?Para este caso,debemos hacer en r(x), x = 10, y obtenemos;r(10) = 251 17.24 10 +1.76 102= 251 172.4 + 176 255 Cu antos robos por cada 100.000habitantes habr a aproximadamente en 2010?Para este caso, haciendoen r(x), x = 20, obtendremos;r(20) = 251 17.24 20 + 1.76 202 610Ser a posible que en alg un instante los robos se aproximen a ceropor cada 100000 habitantes?Para este caso, debemos hacer r(x) = 0,es decir;251 17.24 x + 1.76 x2= 0 =x = 17.24

(17.24)24 1.76 2512 1.76= 17.24 297.2176 1767.043.52= 17.241463.82243.52 1 La conclusi on es que no existe x 1 tal que r(x) =0, es decir, esta f ormula indica que es necesariotomar otrasmedidas adicionales, caso contrario la delincuencia triunfara.!!!Denicion 2.2. Llamaremos grado de un polinomio al mayorexponente de la variable x, cuyo coecientees distinto decero.Notaci on: (p(x)) = grado del polinomio p(x)Ejemplo 2.2.1.Algunos ejemplos del grado de un polinomio son:(1) (1 + 3x32x7) =7(2) (a0) = 0 a0 (1 0)(3) (2 + 3x 5×2+x4) = 43. Adicion dePolinomiosSi p(x) = a0 +a1x + +anxny q(x) = b0 +b1x + +bmxmentoncesdiremos que estos polinomios soniguales si poseen el mismo grado ycoinciden todos sus coecientes. Es decirp(x) = q(x) n = m ai = bi(i = 0, 1, 2, . . . , n) (7)3. ADICION DE POLINOMIOS 7Sabemos quela adicion o suma de n umeros se realiza en la forma usual, esdecir+347+310233+328500153300Esta forma de disponer los n umerospara sumarlos no es al azar, en realidad corresponde a unordenamientologico, por ejemplo en base 10+3 1004 1007 100+3 101+ 11000 101+ 2 1003 101+ 3 100+3 103+ 2 102+ 8 101+ 5 1000 103+ 0 102+1 101+ 5 1003 103+ 3 102+ 0 101+ 0 100Otra posible escritura, queemule la escritura en base 10 es por ejemplo: 2 = 1 21+ 0 20=2 = 10(base2) 10 = 1 23+ 0 22+ 1 21+ 0 20= 1010 (base2) 12 = 1 23+ 1 22+0 21+ 0 20= 1100 (base2)y podemos sumarlos como antes en subase…+2 = 0 23+ 0 22+ 1 21+ 0 20(base2)10 = 1 23+ 0 22+ 1 21+ 020(base2)12 = 1 23+ 1 22+ 0 21+ 0 20(base2)Para concluir estamotivacion observen que nuestros polinomios se escriben en base x ,aunque ya di-jimos que x no es un n umero, sin embargo podemosimitar el procedimiento para sumar representacionesnumericas conlas debidas precauciones.Si p(x) = 5 +x + 2×2+ 3 x3+x5y q(x) = 4x +3x27x4entonces aplicando el formato utilizado para larepresentacionde los n umeros en las diversas bases tenemos que:p(x) = 5×0+ 2×1+0x2+ 3×3+ 0x4+ 1 x5+q(x) = 0x0+ 4×1+ 3×2+ 0x3+ (7)x4+ 0x5p(x) +q(x)= (5 + 0)x0+ (2 + 4)x1+ (0 + 3)x2+ (3 + 0)x3+ (0 + (7))x4+ (1 +0)x5Luego,p(x) +q(x) = 5 + 6×1+ 3×2+ 3×3 7×4+ x5Denicion 3.1. Siconsideramos los polinomios p(x) = a0 + a1x + a2x2+ a3x3+ a4x4+ +anxnyq(x) = b0 +b1x +b2x2+b3x3+ +bnxnentonces8 1. BASES NUMERICAS YPOLINOMIOSp(x) +q(x) = (a0 +b0) + (a1 +b1)x + (a2 +b2)x2+ (a3+b3)x3+ + (an +bn)xn(8)representar a la adici on de polinomios o laforma de sumar dos polinomios.Ejemplo 3.1.1. Si p(x) = x2+ 5x 2 yq(x) = 3×2+ 7x + 4 entonces p(x) +q(x) = 4×2+ 12x + 2Ejemplo 3.1.2.Si p(x) = 4×3+ 2x + 21 y q(x) = x2+x entonces p(x) +q(x) = 4×3+x2+3x + 21Observacion 3.1.3. Si recordamos que la resta de dos realespuede ser interpretada como la operaci oninversa de la adici on,esto es, a b = a + (b) entonces en nuestra optica tenemos45 12 = (4101+ 5 100) (1 101+ 2 100)= 4 101+ 5 100+ (1) 101+ (2) 100= 3 101+3 100= 33As que la resta de polinomios la denimos comosigue.Denicion 3.2. Si p(x) = a0 +a1x +a2x2+a3x3+ +anxny q(x) = b0+b1x +b2x2+b3x3+ +bnxnentoncesp(x) q(x) = (a0b0) + (a1b1)x +(a2b2)x2+ (a3b3)x3+ + (anbn)xn(9)representar a la sustracci on depolinomios o la forma de restar dos polinomios.Ejemplo 3.2.1. Sip(x) = x2+ 5x 2 y q(x) = 3×2+ 7x + 4 entonces p(x) q(x) = 2x22x6Ejemplo 3.2.2. Si p(x) = 4×3+ 2x + 21 y q(x) = x2+x entonces p(x)q(x) = 4x3x2+x + 21Denicion 3.3. Notaremos al conjunto depolinomios como:(1) 1[x] = p(x) = a0 +a1x + +anxn[ ai 1; (0 i n) nN(2) 1s[x] = p(x) 1[x] [ (p(x)) s3.4. Propiedades de la Adicion dePolinomios. Si consideramos p(x) = a0 +a1x + +anxn 1[x],q(x) = b0+b1x + +bnxn 1[x] y r(x) = c0 +c1x + +cnxn 1[x] entonces(1) Vericanla llamada Propiedad Asociativa, la cual permite sumar un n umeronito de polinomiop(x) + [q(x) +r(x)] = [p(x) +q(x)] +r(x) (10)Enefecto4. PRODUCTO DE POLINOMIOS 9p(x) + [q(x) +r(x)] = (a0 +a1x ++anxn) + [(b0 +b1x + +bnxn) + (c0 +c1x + +cnxn)]= (a0 +a1x + +anxn)+ [(b0 +c0) + (b1 +c1)x + + (bn +cn)xn]= (a0 + [b0 +c0]) + (a1 +[b1 +c1])x + + (an + [bn +cn])xn)= ([a0 +b0] +c0) + ([a1 +b1] +c1)x+ + ([an +bn] +cn)xn)= ([a0 +b0] + [a1 +b1]x + + [an +bn]xn) + (c0+c1x + +cnxn)= [(a0 +a1x + +anxn) + (b0 +b1x + +bnxn)] + (c0 +c1x ++cnxn)= [p(x) +q(x)] +r(x)(2) Existe el polinomio 0 que llamaremosneutro aditivo tal quep(x) + 0 = p(x) = 0 +p(x) (11)En efectop(x) +0 = (a0 +a1x + anxn) + (0 + 0x + + 0xn)= (a0 + 0) + (a1 + 0)x + (an+ 0)xn= a0 +a1x + anxn= p(x)(3) Para p(x) existe el polinomioinverso aditivo p(x) tal quep(x) + (p(x)) = 0 (12)En efectop(x) +(p(x)) = (a0 +a1x + +anxn) + ([a0 +a1x + +anxn])= (a0 +a1x + +anxn)+ (a0a1x anxn])= 0 + 0x + + 0xn= 0(4) Verican la llamada PropiedadConmutativap(x) +q(x) = q(x) +p(x) (13)En efectop(x) +q(x) = (a0+a1x + +anxn) + (b0 +b1x + +bnxn)= (a0 +b0) + (a1 +b1)x + + (an+bn)xn= (b0 +a0) + (b1 +a1)x + + (bn +an)xn= (b0 +b1x + +bnxn) +(a0 +a1x + +anxn)= q(x) +p(x)4. Producto de PolinomiosLamultiplicacion usual de n umeros nos dice que 3 11 = 33, peroconforme a lo que observamos antes,tambien tenemos que:3 11 = (3100) (1 101+ 1 100)= (3 100) ((1 101) + (3 100) (1 100)= (3 1)100+1+ (3 1) 100+0= 3 101+ 3 100Del mismo modo, 231 27 = 6237, y enbase 1010 1. BASES NUMERICAS Y POLINOMIOS231 27 = (2 100 + 3 10 + 1100) (2 10 + 7 100)= (2 102+ 3 101+ 1 100) (2 10 + 7 100)= (2 102)(2 10 + 7 100) + (3 101) (2 10 + 7 100) + (1 100) (2 10 + 7 100)=(2 102) (2 10) + (2 102)(7 100) + (3 101) (2 10) + (3 101)(7100)+(1 100) (2 10) + (1 100)(7 100)= 4 103+ 14 102+ 6 102+ 21 101+2 10 + 7 100= 4 103+ (101+ 4 100) 102+ 6 102+ (2 101+ 1 100) 101+ 210 + 7 100= 4 103+ 103+ 4 102+ 6 102+ 2 102+ 1 101+ 2 10 + 7 100= 5103+ 12 102+ 3 101+ 7 100= 5 103+ (101+ 2 100) 102+ 3 101+ 7 100= 5103+ 103+ 2 102+ 3 101+ 7 100= 6 103+ 2 102+ 3 101+ 7 100=6237(14)(15)La forma de multiplicar los n umeros en base 10,sugiere denir el producto de polinomios en un caso peque nocomosigue:Si p(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3y q(x) = b0+b1x+b2x2son dospolinomios de grado 3 y 2 respectivamenteentonces imitando la ideapodemos hacer lo siguiente:p(x) q(x) = (a0 + a1x + a2x2+ a3x3) (b0+ b1x + b2x2)= (a0 + a1x + a2x2+ a3x3)b0 + (a0 + a1x + a2x2+a3x3)b1x + (a0 + a1x + a2x2+ a3x3)b2x2= (a0b0 + a1b0x + a2b0x2+a3b0x3) + (a0b1x + a1b1x2+ a2b1x3+ a3b1x4) + (a0b2x2+ a1b2x3+a2b2x4+ a3b2x5)= a0b0x0+ (a1b0 + a0b1)x + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x2+(a3b0 + a2b1 + a1b2)x3+ (a3b1 + a2b2)x4+ a3b2x5La idea anterior nospermite generar una denicion de producto de polinomios:Denicion4.1. Si p(x) = a0 +a1x +a2x2+ +anxny q(x) = b0 +b1x +b2x2++bmxmentoncesp(x) q(x) = c0 +c1x +c2x2+c3x3+ +cn+mxn+m(16)dondec0 =a0b0c1 = a1b0 +a0b1c2 = a2b0 +a1b1 +a0b2c3 = a3b0 +a2b1 +a1b2 +a0b34. PRODUCTO DE POLINOMIOS 11En generalcs = asb0 +as1b1 +as2b2 ++a2bs2 +a1bs1 +a0bs 0 s n +mEjemplo 4.1.1. Si p(x) = 2 + 5x 4x3yq(x) = x 7×2+ 6x4entonces el producto es el siguiente:p(x)q(x) = c0+c1x +c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+c6x6+c7x7= 0 + 2x 9x235x3+ 8×4+ 2×5+0x624x7= 2x 9x235x3+ 8×4+ 2x524x7Donde,c0 = a0b0 = 0c1 = a1b0 +a0b1= 2c2 = a2b0 +a1b1 +a0b2 = 9c3 = a3b0 +a2b1 +a1b2 +a0b3 = 35c4 =a4b0 +a3b1 +a2b2 +a1b3 +a0b4 = 8c5 = a5b0 +a4b1 +a3b2 +a2b3 +a1b4+a0b5 = 2c6 = a6b0 +a5b1 +a4b2 +a3b3 +a2b4 +a1b5 +a0b6 = 0c7 = a7b0+a6b1 +a5b2 +a4b3 +a3b4 + 21b5 +a1b6 +a0b7 = 244.2. AlgunasPropiedades del Producto de Polinomios. Si p(x) = p0+p1x+p2x2++pnxn 1[x]q(x) = q0+q1x+q2x2+ +qmxm 1[x] y s(x) = s0+s1x+s2x2++stxt 1[x] donde n m t entonces(1) Se verica la propiedaddistributiva del producto respecto de la adicionp(x)[q(x) +s(x)] =p(x)q(x) +p(x)s(x) (17)En efectop(x) q(x) = c0 +c1x +c2x2+c3x3++cn+mxn+mp(x) s(x) = d0 +d1x +d2x2+d3x3+ +dn+txn+tdonde,cr = prq0+pr1q1 +pr2q2 + +p2qr2 +p1qr1 +p0qr (0 r n +m)dr = prs0 +pr1s1+pr2s2 + +p2sr2 +p1sr1 +p0sr (0 r n +t)ahora,p(x)[q(x) +s(x)] = (p0+p1x +p2x2+ +pnxn) [(q0 +s0) + (q1 +s1)x + + (qt +st)xt]= u0 +u1x ++un+txn+t()donde,ur = pr(q0 +s0) +pr1(q1 +s1) + +p0(qt +st) 0 r n+tPero,ur = pr(q0 +s0) +pr1(q1 +s1) + +p0(qt +st)= prq0 +prs0+pr1q1 +pr1s1 + +p0qt +p0st= (prq0 +pr1q1 + +p0qt) + (prs0 +pr1s1 ++p0st)= cr +dr 0 r n +t ()12 1. BASES NUMERICAS YPOLINOMIOSSustituyendo (*) en (**), tenemos nalmente quep(x)[q(x)+s(x)] = u0 +u1x + +un+txn+t= (c0 +d0) + (c1 +d1)x + + (cn+t+dn+t)xn+t= (c0 +c1x + +cn+txn+t) + (d0 +d1x + +dn+txn+t)= p(x)q(x)+p(x)s(x)(2) Existe el elemento neutro multiplicativo, e(x) = 1pues,p(x)e(x) = (p0 +p1x +p2x2+ +pnxn) (1 + 0x + 0x2+ 0x3+ + 0xn)=p0 +p1x +p2x2+ +pnxn= p(x)5. Divisibilidad en 1[x]Sabemos que parapolinomios, el proceso inverso de sumar es restar, es decir, sisumar signica hacer en-tonces restar signica deshacer y viceversa.Pregunta el producto de polinomios tiene proceso inverso?Lapregunta tiene sentido, pues el concepto de inverso esta ligadadirectamente a la construccion de algorit-mos (procedimientos,formulas) que permiten realizar operaciones en forma rapida yeciente, por ejemplola formula:1 dolar = 550 pesos 1 peso = 1550dolarNos permite usar sin problemas las monedas dolar y pesoindistintamente, pues a la hora de comprar pode-mos hacer losiguiente:Si un articulo vale 300 dolares entonces sacamos lacalculadora y hacemos300 dolares = 300 1dolar= 300 550 pesos=165000 pesosPor el contrario si un articulo vale 165000 pesos ysolo tenemos dolares entonces sacamos la calculadora yhacemos165000pesos = 165000 1 peso= 165000 1550 dolares= 165000550 dolares= 300dolaresComo se ve la existencia de una operacion inversa estaligada a la resolucion de ecuacioneses decir,cuando vale laequivalencia en el caso aditivox +a = b x = b a (18)O en el casomultiplicativoax = b x = ba (a = 0) (19)Por ahora seguiremosactuando en forma intuitiva y haremos lo siguiente.5. DIVISIBILIDADEN R[x] 13 Que signica que 82 = 4? Interpretacion practica parte 1parte 2 parte 3 parte 4Figura 1: 8 2 Interpretacion basica8 : 2 =4() 4 20 (resto) Que signica que 92 = 4.5? Interpretacion practicaparte 1 parte 2 parte 3 parte 4 parte 4mediaFigura 2: 9 2Interpretacion basica9 : 2 = 4() 4 21 (resto)En resumen, esto serepresenta normalmente como8 = 2 4 + 0 82 = 4 + 02 9 = 2 4 + 1 92 =4 + 12Conclusion 5.1. Si n y m son dos n umeros enteros entoncesdiremos que n divide m si existe un n umeroentero s tal que m = ns. En smbolos podemos escribir como sigue:14 1. BASES NUMERICAS YPOLINOMIOSn[m (s; s Z) : m = n sMotivados por el comportamiento delos n umeros, preguntamos: Como generalizar estas ideas a lospoli-nomios?.Podemos copiar el algoritmo anterior, en algunos casosconocidos:(1) Como x21 = (x 1)(x + 1), pues (x 1)(x + 1) = x2+x x 1= x21 entonces(x21):(x 1)x2x(-)= x+1x 1(-)x 10Es decir,x21 = (x +1)(x 1) + 0x 1(2) Como x21 = (x 1)(x + 1), entonces las solucionesde la ecuacion x21 = 0 son x = 1 o x = 1(3) Si escribimos p(x) =x21 entonces este polinomio puede ser interpretado como una formula llamadafuncion que estudiaremos mas adelante, por ahora estaformula funciona como sigue:p(a) = a21, a 1En particular,p(2) = 221= 3p(2) = (2)21 = 3p(5) = 521 = 24p(1) = 121 = 0p(1) = (1)21 =0etc…(4) Si consideramos el conjuntoGraf(p(x)) = (x, p(x)) [ x 1= (x, x21) [ x 1entonces el graco en el plano de este es elsiguiente:5. DIVISIBILIDAD EN R[x] 15 (0, 1)(1, 0)(1, 0) (1.5, 1.2)(1.5, 1.2)Figura 3: p(x) = x21Esto, nos permite adoptar por ahora,un convenio para evaluar polinomios:Denicion 5.2. Si p(x) = a0 +a1x+a2x2+a3x3+ +anxnentonces(1) p(c) = a0 +a1c +a2c2+a3c3+ +ancn, paracada c 1(2) p(c) = 0 (x c)[p(x) el resto de la divisi on p(x) (x c)es 0Ejemplo 5.2.1. La idea es descomponer en factores usando unpseudo algoritmo de la divisi on.(1) Si p(x) = x31 entonces p(1) =131 = 0, luego podemos dividir:(x31): (x 1) =x2x3x2-x21+ x-x2xx 1+1-x 10As que, x31 = (x 1)(x2+x + 1)(2) Si p(x, y) = x3y3entoncesp(y, y) = y3y3= 0, luego podemos dividir:(x3y3):(x y) =x2x3x2y-x2yy3+xy-x2y xy2xy2y3+y2-xy2y30As que, x3y3= (x y)(x2+xy +y2)(3) Engeneral, xnyn= (x y)(xn1+xn2y +xn3y2+ +yn1)(4) Extendamos esta ideapara el caso h(x, y) =x y, como sigue16 1. BASES NUMERICAS YPOLINOMIOS a =x x = a2 b =y y = b2 a2b2= (a b)(a +b) = x y = (xy)(x +y)(5) Como, xnyn= (x y)(xn1+xn2y +xn3y2+ +yn1) entonces paraa = xny b = yntenemosla f ormula:a b = ( na nb)(( na)n1+ ( na)n2(nb) + ( na)n3( nb)2+ + ( nb)n1)6. Ejercicios Propuestos6.1.Factorizacion directa de trinomios. Descomponga en factores(1) p(x)= x5x(2) p(x) = 2×3+ 6×2+ 10x(3) p(x) = 2×3+ 6x210x(4) p(x) =x45x236(5) p(x, y) = 3xy + 15x 2y 10(6) p(x) = 2xy + 6x +y + 36.2.Factorizacion de trinomios usando sustitucion. Ideas pararesolverConsideremos el trinomio; p(x) = (x2)2+3(x 2) 10 entoncespodemos desarrollar el siguiente proced-imiento o algoritmo: Sea u= x 2 Sustituyendo en p(x) tenemos quep(x) = (x 2)2+ 3(x 2) 10 q(u)= u2+ 3u 10 (20) Resolvemos la ecuacion de segundo grado para lavariable u.q(u) = 0 u = 3 9 + 402 u = 3 72 u =

u = 2u = 5 q(2) = 0 q(5) = 0 q(u) = (u 2)(u + 5)6. EJERCICIOSPROPUESTOS 17 Volvemos a la variable original y obtenemos:p(x) =((x 2) 2)((x 2) + 5)= (x 4)(x + 3)Usando el procedimiento anteriorfactorize los siguientes:(1) p(x) = (x 3)2+ 10(x 3) + 24(2) p(x) =(x + 1)28(x + 1) + 15(3) p(x) = (2x + 1)2+ 3(2x + 1) 28(4) p(x) =(3x 2)25(3x 2) 36(5) p(x) = 6(x 4)2+ 7(x 4) 36.3. Planteamiento yresolucion de ecuaciones polinomiales. A modo de ejemplo,consideren elproblema:Una sala de clases posee 78 sillasuniversitarias. Si el n umero de sillas por la es uno mas que eldoble deln umero de las entonces determine el n umero de las y desillas por la. Planteamiento del problemaSi x es la variable querepresenta el n umero de las entonces x(2x + 1) representa el numero de sillaspor la, as quex(2x + 1) = 78 representa el n umerototal de sillas (21) Resolvemos la ecuacion 2×2+x 78 = 02×2+x 78 =0 x = 1 1 + 6244 x = 1 254 x = 6 x = 132 Decidimos la factibilidadde los resultados:Como el n umero de las es un natural, as quedesechamos x = 132 y x = 6 es el resultado posible yhay 13 sillaspor la.Resuelva los siguientes problemas:(1) Determine dos enterosconsecutivos cuyo producto sea 7218 1. BASES NUMERICAS YPOLINOMIOS(2) Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno deellos debe ser uno mas que el doble del otro.(3) El permetro de unrectangulo mide 32 cm y su area es de 60 cm2. Determine lasdimensiones delrectangulo.(4) Si el largo de un rectangulo excedeen 2 cm al triple de su ancho y su area es 56 cm2. Determinelasdimensiones del rectangulo.(5) La suma de las areas de doscrculos es 65 centmetros cuadrados. Si el radio del crculo mayormideun centmetro menos que el doble del radio del crculo menorentonces determine el radio de cada crculo.6.4. Division depolinomios. Realice las divisiones que se indican:(1) (x27x 78) (x+ 6)(2) (2×3+x23x + 1) (x2+x 1)(3) (5a3+ 7a22a 9) (a2+ 3a 4)(4)(2n4+ 3n32n2+ 3n 4) (n2+ 1)(5) (x5+ 1) (x + 1)(6) (x51) (x 1)6.5.Ecuaciones con radicales. Resuelva las ecuaciones(1)x + 2 = 7 x +9(2)x2+ 13x + 37 = 1(3)x + 19 x + 28 = 1(4) 3x + 1 = 4(5) 33x 1 =4(6) 33x 1 = 32 5×6.6. Ejercicios miscelaneos.(1) Sea g(x) =6×224:(a) Determine las soluciones de la ecuacion g(x) = 0(b)Determine las soluciones de la ecuacion g(x) = 0 en base 2(2)Realice la operacion pedida: (5a3+ 7a23a 9) (a2+ 3a 4)6. EJERCICIOSPROPUESTOS 19(3) Si f(x) = 2×3+x23xx2x entonces graque f(x) en elplano 12(4) Determine la o las soluciones de la ecuacion. 33x 1 325x = 0(5) Dene hs(x, y) = xs yspara cualquier s N. Demuestre queexiste una expresion u(x, y) tal quehn(x, y) = h1(x, y) u(x, y)(6)Determine el conjuntoS = x 1 [x + 19 x + 28 + 1 = 0(7) Si p(x) =6(x 1)3+ 7(x 1)23x + 3 entonces determine el conjuntoS = x 1 [ p(x)= 0(8) Demuestre que p(x) = xn+1(n+1)x +n es divisible por (x1)2yno por (x1)3, para cada n N(9) Sean p(x) = x3+mx 6 1[x] y q(x) =x2+mx 2 1[x]. Determine el conjuntoS = m 1 [ (; 1) : p() = 0(10)Sea a Z tal que su representacion en potencias de 10 es de laforma.a = a0 +a1 10 +a2 102+a3 103+ +as 10sDemuestre quea esdivisible por 5 a0 = 0 a0 = 5(11) Sean p(x) 1[x] y q(x) 1[x] talque (p(x)) = n y (q(x)) = m. Demuestre que(p(x) q(x)) = n +mUNIDAD2Rudimentos sobre Logica MatematicaEl capitulo Rudimentos sobreLogica Matematica esta destinado esencialmente a desarrollartecnicas, quepermitan validar o refutar formulas proposicionales atraves de procesos concretos y abstractos. Para ellose generara unproceso de validacion, con sustento en la denicion de tablas deverdad y falsedad para lasoperaciones logicas iniciales;conjuncion, disyuncion, implicacion (inferencia) y dobleimplicacion (equivalen-cia), para posteriormente dar origen a unabase de datos que permita validar o negar proposicionesmascomplejas (proposiciones compuestas), y nalmente prescindir dela estructura de tablas de verdad, paravalidar en forma abstractalas proposiciones logicas.1. Proposiciones LogicasPara demostrarque una situacion es correcta o incorrecta, deben ocurrir algunassituaciones que aparente-mente son tan naturales, que ni siquieranos damos cuenta de su existencia.En efecto Para demostrar laveracidad o falsedad de algo, debe existir una situacion, la cualdebe ser decididade acuerdo a ciertas claves enmarcadas en unsistema comprensible (logico) para los que estan involu-crados enel suceso. Dicha situacion para ser infalible en su decision, debeposeer dos y solo dos opciones de verdad, esdecir, verdadera ofalsa (creble o no creble). La argumentacion total debe estarcompuesta de una sucesion de estas situaciones las cuales inter-actuan armoniosamente, ya sea para obtener un valor de verdadverdadero o un valor de verdad falso.Denicion 1.1. Llamaremosproposici on l ogica a una oraci on declarativa que es verdadera ofalsa, peronunca ambas.Ejemplo 1.1.1. p: Algebra es una asignaturaanual de Ingeniera Civil en la Universidad de SantiagodeChileEjemplo 1.1.2. q: 23= 6Ejemplo 1.1.3. r: Colo Colo es elmejor equipo de f utbol de ChileCon toda seguridad, p y q sonproposiciones logicas, y aunque pese, r en las actualescondiciones, no es unaproposicion, pues un hincha de la Universidadde Chile, por ejemplo no comparte mi idea.2. Generacion deProposiciones y Tablas de VerdadDenicion 2.1. Si p es una proposicion l ogica entonces le asociaremos una Tabla de verdad de laforma:p01(22)donde, 0 representa el valor de verdad falso(apagado)y 1 representa el valor de verdad verdadero(encendido).2122 2.RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICADenicion 2.2. Si p es unaproposici on l ogica entonces p representar a la proposici onnegaci on de p, yle asociaremos una Tabla de verdad de la forma:pp0 11 0(23)Denicion 2.3. Una proposici on l ogica se dir acompuesta si es formada por m as de una proposici on l ogica.Paralas proposiciones p y q, las siguientes proposiciones compuestaspor ellas ser an consideradas b asicasDenicion 2.3.1. LlamaremosConjunci on o Producto l ogico de p y q a p q, y le asignaremos laTablade verdadp q p q0 0 00 1 01 0 01 1 1(24)Sintetiza el conceptode intersecci on en el sentido que: p q ser a verdadera s olo si py q lo son si-mult aneamenteDenicion 2.3.2. Llamaremos Disyunci ono Suma l ogica de p y q a p q, y le asignaremos la Tabla deverdadpq p q0 0 00 1 11 0 11 1 1(25)Sintetiza el concepto de uni on en elsentido que: Para que p q sea verdadera basta que una de ellas loseaDenicion 2.3.3. Llamaremos Implicaci on l ogica de p y q a p =q, y le asignaremos la Tabla de verdadp q p =q0 0 10 1 11 0 01 11(26)Sintetiza el concepto de relaci on causal, en el sentido que p= q ser a falsa s olo cuando la hip otesis p esverdadera y laconclusi on q es falsa. Caso contrario la nueva proposici on esverdadera.Denicion 2.3.4. Llamaremos Bicondicional l ogico de p yq, o equivalencia l ogica, a la proposici onp q, o (p q) y leasignaremos la Tabla de verdadp q p q0 0 10 1 01 0 01 11(27)Sintetiza el concepto de equivalencia, concepto central en elproceso de clasicaci on, p q ser a verdaderas olo cuando ambastengan el mismo valor de verdad.3. EJERCICIOS RESUELTOS 23Denicion2.4. Una proposici on compuesta se llama una Tautologa si su valorde verdad es siempre ver-dadero, independiente del valor de verdadde las proposiciones que la componenEjemplo 2.4.1. Si p es unaproposici on l ogica entonces ( p) p es una tautologaEn efectop p (p) p0 1 0 1 01 0 1 1 1TDenicion 2.5. Una proposici on compuesta sellama una Contradicci on si su valor de verdad es siemprefalso,independiente del valor de verdad de las proposiciones que lacomponenEjemplo 2.5.1. Si p es una proposici on l ogica entonces pp es una contradicci onEn efectop p p p0 1 0 0 11 0 1 0 0C3.Ejercicios Resueltos3.1. Ejercicios Resueltos Usando Tablas deVerdad.(1) Si p, q y r son proposiciones logicas entonces sonequivalentes p (q r) y (p q) r, es decir laproposicionp (q r) (p q)r (28)es una tautologa conocida como: Asociatividad de laconjuncionEn efectop q r q r p (q r) p q (p q) r0 0 0 0 0 1 0 00 01 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 0 1 0 01 0 0 0 0 1 0 01 0 1 0 0 10 01 1 0 0 0 1 1 01 1 1 1 1 1 1 124 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICAMATEMATICA(2) Si p, q y r son proposiciones logicas entonces sonequivalentes p (q r) y (p q) (p r), es decir laproposicionp (q r)(p q) (p r) (29)es una tautologa conocida como: Distributividad dela conjuncionEn efectop q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r)0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 1 0 0 00 1 1 1 0 1 0 0 01 0 0 00 1 0 0 01 0 1 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1(3) Sip y q son proposiciones logicas entonces son equivalentes p =q y pq, es decir la proposicion(p =q) ( p q) (30)es una tautologaconocida como: Transformacion de la implicacion o inferencia endisyunci onEn efectop q p p =q p q0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 101 1 0 1 1 1(4) Si p y q son proposiciones logicas entonces sonequivalentes (pq) y ( p q)es decir la proposicion (p q) ( p q)(31)es una tautologa conocida como: Ley de De Morgan para ladisyuncionEn efectop q p q p q (p q) p q0 0 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 01 01 0 0 1 1 0 1 01 1 0 0 1 0 1 03. EJERCICIOS RESUELTOS 25(5) Si py q son proposiciones entonces[p (p =q)] =q (32)es una tautologaconocida como: Modus Ponens o Metodo de ArmacionEn efectop q p =q pp =q [p (p =q)] =q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1(6) Si p, q yr son proposiciones entonces[(p =q) (q =r)] =(p =r) (33)es unatautologa conocida como: Implicacion Logica o Ley del SilogismoEnefectop q r p =q q =r (p =q) (q =r) = p =r0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 11 1 10 1 0 1 0 0 1 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 1 111 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1(7) Si p y q son proposicionesentonces[(p =q) q] = p (34)es una tautologa conocida como: ModusTollens o Metodo de NegacionEn efectop q p =q q (p =q) q p0 0 1 1 11 10 1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 01 1 1 0 0 1 026 2. RUDIMENTOS SOBRELOGICA MATEMATICA(8) Si p es una proposicion y C una contradiccionentonces( p =C) =p (35)es una tautologa conocida como: Metodo deContradiccion o Reduccion al AbsurdoEn efectop p C p =F ( p =F) =p01 0 0 11 0 0 1 13.2. Ejercicios Resueltos Usando Propiedades. 1(1)Si p1, p2, . . . , pn y q son proposiciones logicas entonces[(p1 p2pn) =q] [(p1 p2 pn q) =C]En efectoSi hacemos p = (p1 p2 pn)entoncesp =q p q =q q p q =C(2) Si p, q, r y s son proposicioneslogicas entonces[(p =r) ( p =q) (q =s)] =[( r =s)]es una inferencialogica, (implicacion verdadera)En efecto(p =r) ( p =q) (q =s) ( r =p). .. .contrapositiva( p =q) (q =s)= ( r =q). .. .silogismo(q =s)=r =s. .. .silogismo1Observen que el termino propiedades, aqusignica que podemos usar nuestra base de datos, ya probada con lasTablas deVerdad4. USO DE CUANTIFICADORES 27(3) Si p, q, r y s sonproposiciones logicas entonces[(p =q) (q =(r s)) ( r ( t u)) (p t)]=ues una inferencia logicaEn efectoSi hacemos w = [(p =q) (q =(rs)) ( r ( t u)) (p t)] entoncesw = (p =(r s)) ( r ( t u)) (p t)silogismo= (p =r) ( r ( t u)) p [(a b) =a]tautologa= p (p =r) ( r (t u)) conmutatividad de = r ( r ( t u)) Modus ponens= r (( r t) u)Asociatividad de = r ( (r t) u) De Morgan= r ( r u) [(a b)=a]tautologa= (r r) (r u) distributividad de en = C (r u) ley delinverso= r u ley del neutro= u [(a b) =b]tautologa4. Uso deCuanticadoresUna forma natural de generar proposiciones es a travesde f ormulas para hacer proposiciones, como porejemplo:(1) p(x): xes un natural mayor que 3En este casoSi notamos por I el conjuntode naturales x para los cuales p(x) es verdadera y por O elconjuntode naturales x para los cuales p(x) es falsa entoncesI = xN [ p(x) verdadera = 4, 5, 6, . . . O = x N [ p(x) falsa = 1, 2,3(2) q(x, y) : x 1 e y 1 x2+y2= 1En este caso, como veremos mastarde, I dene un circulo con centro en (0, 0) y radio 1 y O eselresto del plano cartesiano 12Denicion 4.1. p(x1, x2, . . . , xn)se llama una f ormula proposicional denida en un conjunto A si:Cada xi para 1 = 1, 2, . . . , n son variables en A, es decirpueden tomar valores en el conjunto A Para cada sustituci on de lasvariables en A la f ormula se transforma en una proposici on logica28 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICAEjemplo 4.1.1. Yaobservamos que (p(x) : x es un natural mayor que 3), es una formula proposicional, yen particular tenemos: p(1) es falsa p(2) esfalsa p(3) es falsa p(x) es verdadera para cada x N y x 4As p(x) esverdadera para algunos n umeros naturales y tambien p(x) es falsapara algunos n umeros natu-rales.Denicion 4.2. Si p(x) es una formula proposicional entonces(1) Para alg un x; p(x) es unaproposici on y la notaremos por [x; p(x)].(2) Para un unico x; p(x)es una proposici on y la notaremos por [! x; p(x)].(3) Para todo x;p(x) es una proposici on y la notaremos por [x; p(x)]Ejemplo 4.2.1.Denamos en 1 las proposiciones: p(x) : x 0 q(x) : x2 0 r(x) : x23x4 = 0 s(x) : x23 > 0entonces x : (p(x) r(x)) es verdadera, puesexiste 4 1 tal que p(4) y r(4) son verdaderas. x : (p(x) =q(x)) esverdadera, pues para cualquier valor real a, q(a) es verdadera. x :(q(x) =s(x)) es falsa, pues por ejemplo q(1) es verdadera y s(1) esfalsa.La siguiente tabla especica el comportamiento de loscuanticadores () y ()5. EJERCICIOS PROPUESTOS DE LOGICA29Proposicion Verdadera Falsax : p(x) Para al menos un a, p(a) esverdadera Para cada a, p(a) es falsax : p(x) Para cada a, p(a) esverdadera Existe a tal que p(a) es falsax : p(x) Existe a tal quep(a) es falsa Para cada a, p(a) es verdaderax : p(x) Para cada a,p(a) es falsa Existe a tal que p(a) es verdadera5. EjerciciosPropuestos de Logica(1) Usando una tabla de verdad muestre que laproposicion es una equivalencia(p =q) [(p q) =(r r)](2) Usando unatabla de verdad muestre que la siguiente proposicion es unaequivalencia(p =[q r]) ( [q r] = p)(3) Demuestre que la proposicionsiguiente es una tautologa[(( p q) =r) (r =(s t)) ( s u) ( u = t)]=p(4) Muestre usando propiedades que la siguiente proposici on esuna inferencia logica (p =q) =( p = q)(5) Si p, q, r y t sonproposiciones que satisfacen: (p q) = r es una proposicion falsa qt es una proposicion falsaentonces determine el valor de verdad dela proposicion:[ t (p r)] = q ( p q) r(6) Muestre justicando paso apaso, (usando propiedades, no tablas de verdad), que la siguienteproposiciones una inferencia logica:30 2. RUDIMENTOS SOBRE LOGICAMATEMATICA [( q = p) (r =s) ( q s)] =[(p r)](7) Si para lasproposiciones logicas p y q, se dene el conectivo logico comosigue:p q es Falsa si y solo si p y q son verdaderas, casocontrario p q es verdaderaDemuestre usando propiedades, que lasiguiente proposici on es una tautologa[(p =q) q] [(p q) q](8) Seanp y q dos proposiciones logicas. Si denimos el nuevo conectivologico:p#q [(q p) = p] qEntonces demuestre queq [p =(p#q)] p p(9)Sean p y q dos proposiciones logicas. Si denimos los dos nuevosconectivos logicos:(p q = p = q) (p#q = p q)Entonces demuestre que(p q)#( q#p) p q(10) Demuestre usando propiedades que[p =(q r)] [p(q =r)] (p q) [r ( r q) p] p qUNIDAD 3Induccion MatematicaElcapitulo de Induccion Matematica, esta destinado a presentarcontenidos y actividades que permitiranal estudiante operar consimbologa matematica, describir analizar y aplicar el principio deInduccionMatematica, en particular usando esta tecnica comprobararapida y ecientemente, la veracidad o falsedadde formulasproposicionales denidas en los n umeros naturales1. Axiomas dePeano: Una Construccion Axiomatica de los N umeros NaturalesSiaceptamos que una teora, se construye esencialmente en base a dosobjetos: Conceptos primitivos, en el sentido que no son denidos,pero de una simple interpretacion intuitiva y, Axiomas o verdadesreveladas que se aceptan sin demostrar, y que rigen elcomportamiento de losconceptos primitivos, y de ellos se deducenproposiciones y teoremasUn muy buen ejemplo de una construccionaxiomatica que obedece este patron, es la de los N umerosNaturales,a traves de los geniales Axiomas de Peano, los que pasamos aenunciar y analizar solo con laprofundidad necesaria, para situar yresolver nuestro objetivo de estudiar mas en detalle el PrincipiodeInduccion1.1. Axiomas de Peano.El Concepto Primitivo aqu es laidea de sucesor. Es decir para cada n N, el smbolo n +1 seentenderacomo el sucesor de dicho n umero nEjemplo 1.2. 3 es elsucesor de 2, pues 3 = 2 + 1Ejemplo 1.3. 7 es el sucesor de 6, pues7 = 6 + 1Ejemplo 1.4. 33 es el sucesor de 32, pues 33 = 32 + 1ElCuerpo Axiomatico consiste en los siguientes cinco Axiomas:Ax1: 1es un n umero natural Esto signica que existe al menos un n umeronaturalAx2 : Si n N entonces n +1 N Todo n umero natural tiene unsucesor3132 3. INDUCCION MATEMATICA n + 1 debe ser entendido comoel smbolo sucesor de nAx3 : No existe un n umero natural n, tal quesu sucesor sea 1 Esto signica que N posee un primer elementoAx4 :Si n N y m N tal que n +1 = m+1 entonces n = m Esto signica quepodemos escribir sin ambig uedad N = 1, 2, 3, Ax5 : Si S N es talque verica simultaneamente las dos siguientes propiedades: 1 S n S=n +1 Sentonces S = N Ax5 se conoce como el axioma de induccion oprincipio de induccion Es una de las mas bellas estrategias queutiliza el intelecto humano, para hacer nito lo innito La ideaexpresada en el comando 1 S, es simbolica solo dice que a partir deun cierto momento,comienza a realizarse sistematicamente, (quizasla idea intuitiva del nacimiento) un algoritmo. En nuestrocontexto, reinterpretaremos la idea de sucesor, para obtener unmetodo para validar formulasproposicionales denidas en losnaturales2. Formalizacion y Vericacion de Formulas Usando el Axiomade Inducci onEn esta seccion transformaremos el axioma de induccionde Peano, en una formidable herramienta paravericar el valor deverdad de formulas proposicionales, para ello procederemos comosigue Realizaremos en primer lugar la adecuacion del axioma para lavalidacion de formulas proposicionales,para ello enunciaremos yprobaremos el teorema central de la seccion, al cual lo llamaremosPeano ylas formulas proposicionales En Segundo lugar, construiremosen forma concreta, ayudados por la intuicion y conocimientosgeometricosbasicos algunas formula proposicionales Finalmente,construiremos un macro llamado sumatoria que nos permitiracomprimir, simplicar ycomprender de mejor forma la informacionrepresentada por estas formulas proposicionalesTeorema 2.1. Peano ylas formulas proposicionales Sea F(n) una f ormula proposicionalpara cadan N. Si F(1) es verdadera, y F(n) verdadera = F(n + 1)verdaderaEntonces F(s) es verdadera (s; s N)3. CONSTRUCCION DEALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 33Demostraci onPara aplicar elaxioma de inducci on Ax5 denimos el conjuntoS = n N [ F(n) esverdaderaY entonces F(1) verdadera 1 S [F(n) verdadera =F(n + 1)verdadera ] [n S =(n + 1) S]As que,1 Sn S =(n + 1) S

=S = N = F(n) es verdadera (n; n N)Usaremos la siguiente Notacion: La etapa n, es decir F(n) la llamaremos Hip otesis de Induccion, y a laetapa n + 1, la llamaremos Tesis de Inducci on.3.Construccion de Algunas Formulas Proposicionales3.1. Una formulapara La suma de los n primeros n umeros naturales: Generemos unaformulaque permita calcular el n umero maximo de intersecciones den lneas rectas distintas, para cada n N Para entender el problema,llamaremos n al n umero de rectas e I al n umero de interseccionesde ellas Si n = 2 tenemos la situacion:’1’2ILo que nos haceconcluir que: n = 2 =I = 1 Para n = 3 tenemos que la situacion, esla siguiente:34 3. INDUCCION MATEMATICA’1’2’3I1I2I3De dondeconcluimos que: n = 3 =I = 3 = (1) + 2 Para n = 4 tenemosque:’1’2’3’4I1I2I3I4I5I6En este caso tenemos que: n = 4 =I = 6 = (1+ 2) + 3 Ahora para n = 5’1’2’3’4’5I1I2I3I4I5I6I7I8I9I10Lasituacion es la siguiente: n = 5 =I = 10 = (1 + 2 + 3) + 43.CONSTRUCCION DE ALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 35 Podemosintentar seguir realizando la interseccion de mas rectas, pero seve que cada vez sera mas difcilgracar como lo hemos hecho hastaahora, por tanto es el momento de intentar un modelamiento masabs-tracto del problema Partamos con n =6’1’2’3’4’5’6’1’3’4’512345Aqu como antes tenemos que: n = 6 =15 =(1 + 2 + 3 + 4) + 5Desde el punto de vista algebraico tenemos lasiguiente situacion para analizar:15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5= 5 + 4 + 3+ 2 + 1= 5 + (5 1) + (5 2) + (5 3) + (5 4)= (5 + 1) 1 + (5 + 1) 2 +(5 + 1) 3 + (5 + 1) 4 + (5 + 1) 5= 5(5 + 1) 1 2 3 4 5= 5(5 + 1)15Luego, 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 5(5 + 1), as que1 + 2 + 3 + 4 + 5 =5(5 + 1)2 Para n = 7’1’2’3’4’5’6’7’1’3’4’5’6123456En este casotenemos que: n = 7 =21 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 636 3. INDUCCIONMATEMATICAProcediendo en forma analoga al caso anterior tenemosque:21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1= 6 + (6 1) + (6 2) + (6 3) + (6 4) +(6 5)= (6 + 1) 1 + (6 + 1) 2 + (6 + 1) 3 + (6 + 1) 4 + (6 + 1) 5 +(6 + 1) 6= 6(6 + 1) 1 2 3 4 5 6= 6(6 + 1) 21Luego, 2(1 + 2 + 3 + 4+ 5 + 6) = 6(6 + 1), as que,1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6(6 + 1)2Pero,tambien podemos obtener el mismo resultado, razonando como sigue21= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6= 5(5 + 1)2 + 6= 5(5 + 1)2 + (5 + 1)= 5(5 +1) + 2(5 + 1)2= 7(5 + 1)2= 6 72= 6(6 + 1)2[] En el caso generalemulando la primera forma de razonar tenemos que1 + 2 + +n = n + (n1) + (n 2) + + (n n + 1)= (n + 1) 1 + (n + 1) 2 + + (n + 1) n= n(n+ 1) 1 2 3 n= n(n + 1) (1 + 2 + +n)As que,1 + 2 + +n = n(n +1)2Luego, la formula F(n), que dene el n umero maximo deintersecciones de n rectas, para cada n N es dela forma3.CONSTRUCCION DE ALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 37F(n) : 1 + 2 + 3+ +n = n(n + 1)n(36)Ahora aprovechando la idea obtenida en [], yaplicando el Teorema (2.1), podemos hacer lo siguiente: Mostremosinicialmente que F(1) es verdaderaComo 1(1 + 1)2 = 1 entonces 1 =1(1 + 1)2 , y F(1) es verdadera. Si suponemos que F(n) es verdaderadebemos mostrar que F(n + 1) es verdaderaEn primer lugar, F(n)verdadera si y solo si1 + 2 + 3 + 4 + +n = n(n + 1)2 (H)Ahora, F(n+ 1) sera verdadera si y solo si1 + 2 + 3 + 4 + +n + (n + 1) = (n +1)(n + 1 + 1)2 = (n + 1)(n + 2)2Entonces1 + 2 + 3 + +n + (n + 1) =[1 + 2 + 3 + +n]. .. .(H)+(n + 1)=n(n + 1)2

+ (n + 1)= n(n + 1) + 2(n + 1)2= (n + 1)(n + 2)2As que, F(n + 1)es verdadera, y N = n N [ F(n) es verdadera3.2. Una formula para Lasuma de los n primeros n umeros naturales impares: Si notamospor NI= 1, 3, 5, a los n umeros impares entonces Sera posible obtener unaformula para la suma delos n primeros impares?. Es decir1 + 3 + +(2n 1) = ? Estudiemos en abstracto el problema:38 3. INDUCCIONMATEMATICA1 + 3 = 1 + 2 1 + 1 = (1 + 1)2= 221 + 3 + 5 = 22+ 2 2 + 1= (2 + 1)2= 321 + 3 + 5 + 7 = 32+ 2 3 + 1 = (3 + 1)2= 421 + 3 + 5 +7 + 9 = 42+ 2 4 + 1 = (4 + 1)2= 52… … … Estudiemos ahora elproblema en concreto:Teora1 + 3 = 4Dise no Analisis Formula= 1 + 3= 221 + 3 22Teora1 + 3 + 5 = 9Dise no Analisis Formula= 1 + 3 + 5 =321 + 3 + 5 32Teora1 + 3 + 5 + 7 = 16Dise no Analisis Formula= 1 +3 + 5 + 7 = 421 + 3 + 5 + 7 42 En el caso general deberamos mostraren concordancia con nuestra intuicion que1 + 3 + + (2n 1) = n23.CONSTRUCCION DE ALGUNAS FORMULAS PROPOSICIONALES 39 Si notamos porF(n) : 1 + 3 + + (2n 1) = n2, para cada n N entonces tenemos porcalculodirecto que F(n) es verdadera o falsa. Si concordamos en queS = n N [ F(n) es verdadera entonces tenemos lo siguiente: 1 S,pues F(1) es verdadera, ya que 1 = 12 Si suponemos que n S, esdecir asumimos que F(n) es verdadera, o equivalentemente1 + 3 + +(2n 1) = n2(H)Entonces1 + 3 + + (2n 1) + (2(n + 1) 1) = [1 + 3 + +(2n 1)]. .. .(H)+(2(n + 1) 1)= n2+ (2(n + 1) 1)= n2+ 2n + 1= (n +1)2As que F(n+1) es verdadera y luego, (n+1) S, y entonces paracada n N es verdadera la formula1 + 3 + + (2n 1) = n2(37)3.3. Unaformula para La suma de los n primeros n umeros naturales pares: Sinotamos ahorapor NP = 2, 4, 6, entonces Sera posible obtener unaformula para la suma de los n primeros n umerospares?. Es decir2 +4 + + 2n = ? Estudiemos intuitivamente el problema:2 = 1 22 + 4 = 12 + (2 2) = 2 32 + 4 + 6 = 2 3 + (2 3) = 3 42 + 4 + 6 + 8 = 3 4 +(2 4) = 4 52 + 4 + 6 + 8 + 10 = 4 5 + (2 5) = 5 62 + 4 + 6 + 8 + 10+ 12 = 5 6 + (2 6) = 6 72 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 6 7 + (2 7)= 7 82 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 7 8 + (2 8) = 8 9… …… Estudiemos ahora el problema en concreto:40 3. INDUCCIONMATEMATICATeora2 + 4 = 6Dise no Analisis Formula= 2 + 4 = 2 32(1 +2)2 3Teora2 + 4 + 6 = 12Dise no Analisis Formula= 2 + 4 + 6 = 342(1 + 2 + 3)3 4 Estudiemos en abstracto el problema:Si llamamosF(n) : 2+4+6+ +2n = n(n+1) para cada n N entonces aplicando nuestroprocedimientoformal, tenemos que denir el conjunto S = n N [ F(n)es verdadera, y vericar si este conjunto sa-tisface o no el axioma5 Por demostrar que F(1) es verdadera, es decir 1 S. Esto se vericaporque,2 = 1(1 + 1) Supongamos que F(n) es verdadera, es decir, nS, y2 + 4 + 6 + + 2n = n(n + 1) (H) Por demostrar que F(n + 1) esverdadera, es decir por demostrar que (n + 1) SEn efecto2 + 4 + 6 ++ 2n. .. .(H)+2(n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1)= (n + 1)(n + 2)Luego,N = S y F(n) es verdadera (n; n N), es decir,2 + 4 + 6 + + 2n = n(n+ 1) (38)4. SUMATORIAS: 41 Podemos responder en forma alternativa,con lo que hemos aprendido:2 + 4 + + 2n = 2(1 + 2 + 3 + +n)= 2

n(n + 1)2

(Aplicando la formula (36))= n(n + 1)4. Sumatorias:En esta etapaconstruiremos y estudiaremos las propiedades de una herramientamatematica que nos per-mita comprimir, presentar y manipularecientemente formulas proposicionales, que involucran sumas deunacantidad nita de n umeros reales. Para ver una construccion de losN umeros Reales les sugiero ver [2]Denicion 4.1. Dada la lista A =a1, a2, a3, . . . 1 denimos para cada n N, el nuevo listado denumeros reales:S = S1, S2, S3, donde, S1 =1i=1ai = a1, y Sn+1=n+1i=1ai = Sn +an+1Para cada n Nni=1ai = a1 +a2 +a3 + +an1 +an(39)ser a llamada la Sumatoria de los n primeros elementos de lalista AObservacion 4.1.1. La lista S ha sido construida, a partirde una nueva forma de usar el Axioma 5. dePeano pues, lo que hemoshecho en realidad es lo siguiente:1i=1ai = a12i=1ai = S1 +a2 = a1+a23i=1ai = S2 +a2 = a1 +a2 +a3…ni=1ai = Sn1 +an = a1 +a2 +a3 ++an1 +an42 3. INDUCCION MATEMATICAEjemplo 4.1.2. Si ai = i para i =1, 2, 3, . . . , n entoncesni=1ai = a1 +a2 +a3 + +an ni=1i = 1 + 2+ 3 + +nAs que, usando la f ormula (36) tenemos queni=1i = n(n +1)2Ejemplo 4.1.3. Si ai = 2i 1 para i = 1, 2, 3, . . . , nentoncesni=1ai = a1 +a2 +a3 + +an ni=1(2i 1) = 1 + 3 + 5 + + 2n 1Asque, usando la f ormula (37) tenemos queni=1(2i 1) = n2Ejemplo4.1.4. Si ai = 2i para i = 1, 2, 3, . . . , n entoncesni=1ai = a1+a2 +a3 + +an ni=12i = 2 + 4 + 6 + + 2nAs que, usando la f ormula(38) tenemos queni=12i = n(n + 1)4.2. Propiedades de lasSumatorias. Si A = a1, a2, , an 1; B = b1, b2, , bn 1 y c1entonces(1)ni=1(aibi) =ni=1aini=1biSi hacemos ci = ai +bi para i =1, 2, . . . , n entoncesni=1(ai +bi) =ni=1ci= c1 +c2 +c3 + +cn= (a1+b1) + (a2 +b2) + (a3 +b3) + + (an +bn)= (a1 +a2 +a3 + +an) + (b1+b2 +b3 + +bn)=ni=1ai +ni=1biAnalogamente si hacemos ci = aibiobtenemosni=1(aibi) =ni=1aini=1bi4. SUMATORIAS: 43As que,ni=1(aibi)=ni=1aini=1bi (40)(2)ni=1cai = cni=1aiSi hacemos di = cai para i =1, 2, . . . , n entoncesni=1cai =ni=1di= d1 +d2 +d3 + +dn= ca1 +ca2+ca3 + +can= c(a1 +a2 +a3 + +an)= cni=1aiAs que,ni=1cai = cni=1ai(41)(3)ni=11 = n. En particularni=1c = cnSi hacemos ci = 1 para i =1, 2, . . . , n entoncesni=11 =ni=1ci= c1 +c2 +c3 + +cn= 1 + 1 + 1+ + 1. .. .nveces= nAs que,ni=11 = n (42)Ademas, para c 1:ni=1c=ni=1c 1 (41)= cni=11 (42)= c nAs que,ni=1c = cn (43)44 3.INDUCCION MATEMATICA(4)ni=1ai =si=1ai +ni=s+1aiDene ci = ai, para i= 1, 2, . . . , s y di = as+i, para i = 1, 2, . . . , n sentoncessi=1ci +ni=1di = (c1 +c2 + +cs) + (d1 +d2 + +ds)= (a1 +a2 ++as) + (as+1 +as+2 + +as+ns= a1 +a2 + +as +as+1 +as+2 ++an=ni=1aiAhora, por otra parte,si=1ci +ni=1di = (c1 +c2 + +cs) +(d1 +d2 + +ds)=si=1ai +nsi=1as+i Si hacemos j = s +ientonces=si=1ai +nj=s+1aj=si=1ai +ni=s+1aiAs que,ni=1ai =si=1ai+ni=s+1ai (44)(5)ni=1(aiai+1) = a1an+1 (PropiedadTelescopica1)ni=1(aiai+1) (40)=ni=1aini=1ai+1= (a1 +a2 +a3 + +an)(a2 +a3 + +an +an+1)= a1an+11Observe que en un telescopio la imagenes traslada hacia su ojo a traves de los lentes5. EJERCICIOSRESUELTOS DE INDUCCION MATEMATICA 45As que,ni=1(aiai+1) = a1an+1(45)(6)ri=sai =r+ti=s+tait (Propiedad del reloj2)ri=sai=r+tj=s+tajt (Si hacemos i = j t)As que,ri=sai =r+ti=s+tait (46)5.Ejercicios Resueltos de Induccion Matematica(1) Demostremos usandoInduccion Matematica que la formula:F(n) :nk=1

1k(k + 1)(k + 2)

= n(n + 3)4(n + 1)(n + 2)Es verdadera (n; n N)Solucion Pormostrar que F(1) es verdadera, observamos los hechos:1i=1

1k(k + 1)(k + 2)

= 11(2)(3) = 16, y 1(1 + 3)4(1 + 1)(1 + 2) = 1(4)4(2)(3) =162Observe que por ejemplo las 2.00 horas mas 45 minutos, es lomismo que las 3 horas menos 15 minutos46 3. INDUCCIONMATEMATICALuego, comparando los resultados concluimos que1i=1

1k(k + 1)(k + 2)

= 1(1 + 3)4(1 + 1)(1 + 2)Por ende, F(1) es verdadera. Hipotesisde Induccion: Suponemos que F(n) es verdadera. Esto esnk=1

1k(k + 1)(k + 2)

= n(n + 3)4(n + 1)(n + 2) (H) Tesis de Induccion: Por demostrarque F(n + 1) es verdadera, es decir debemos vericar que:nk=11k(k +1)(k + 2) = (n + 1)(n + 4)4(n + 2)(n + 3)En efectonk=11k(k + 1)(k +2) =nk=11k(k + 1)(k + 2) +n+1k=n+11k(k + 1)(k + 2)(H)= n(n + 3)4(n+ 1)(n + 2) + 1(n + 1)(n + 2)(n + 3)= n(n + 3)2+ 44(n + 1)(n + 2)(n+ 3)= n(n2+ 6n + 9) + 44(n + 1)(n + 2)(n + 3)= n3+ 6n2+ 9n + 44(n +1)(n + 2)(n + 3)= (n + 1)2(n + 4)4(n + 1)(n + 2)(n + 3)= (n + 1)(n+ 4)4(n + 2)(n + 3)As que F(n + 1) es verdadera y F(n) es verdadera(n; n N)(2) Si A = a1, a2, a3, a4, . . . 1 es tal que: ai = i parai = 1, 2 as =s1i=1ai (s 3)entonces demostremos usando InduccionMatematica que es verdadera (n; n N; n 3) la formula:F(n) : an = 32n35. EJERCICIOS RESUELTOS DE INDUCCION MATEMATICA 47Solucion Pordemostrar que F(3) es verdadera.En efectoa1 = 1 a2 = 2 =a3 = a1 +a2= 1 + 2 = 3 = 3 233 Hipotesis de Induccion: Supongamos que F(n) esverdadera, es decir quean = 3 2n3(H) Por demostrar que F(n + 1) esverdadera, esto es; Por demostrar que:an+1 = 3 2n2En efectoan+1=ni=1ai= an +an1 +an2 +an3 + +a3 +a2 +a1(H)= 3 2n3+ 3 2n4+ 3 2n5+ 32n6+ 3 2n7+ + 3 + 3= 3(2n3+ 2n4+ 2n5+ 2n6+ 2n7+ + 1) + 3= 3 2n212 1+ 3= 3 2n23 + 3= 3 2n2As que, F(n + 1) es verdadera y F(n) esverdadera (n; n N)(3) Demostremos usando Induccion Matematica quela formula:F(n) : n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3es divisible por 9Esverdadera (n : n N)Solucion Por demostrar que F(1) es verdaderaEnefecto13+ (1 + 1)3+ (1 + 2)3= 32 = 9 4 =13+ (1 + 1)3+ (1 + 2)3esdivisible por 948 3. INDUCCION MATEMATICA. Hipotesis de Induccion:Supongamos que F(n) es verdadera. Es decir, existe q, tal quen3+ (n+ 1)3+ (n + 2)3= 9 q (H) Por demostrar que F(n + 1) es verdadera,es decir por demostrar que existe r, tal que(n + 1)3+ (n + 2)3+ (n+ 3)3= 9 rEn efectoPor una parte (n + 1)3+ (n + 2)3+ (n + 3)3= 3n3+18n2+ 42n + 36Y por hipotesis n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3= 3n3+ 9n2+ 15n+ 9Realizando la division:3n3+ 18n2+ 42n + 36 : 3n3+ 9n2+ 15n + 9 =1()3n3+ 9n2+ 15n + 99n2+ 27n + 27Tenemos que:(n + 1)3+ (n + 2)3+ (n+ 3)3= 1 (3n3+ 9n2+ 15n + 9) + 9n2+ 27n + 27(H)= 9 q + 9 (n2+ 3n +3)= 9 (q +n2+ 3n + 3). .. .rAs que, F(n + 1) es verdadera y F(n) esverdadera (n : n N)(4) Demostremos usando Induccion Matematica quela formula:F(n) : (n N : n impar ) =n(n21) es divisible por 24EsverdaderaSolucion Por demostrar que F(1) es verdadera(121) = 1 0 =0 = 24 0 =1(121) = 24 0 =F(1) es verdadera.6. EJERCICIOS PROPUESTOSDE INDUCCION MATEMATICA 49 Hipotesis de Induccion: Supongamos queF(n) es verdadera. Esto es(n N : n impar ) = n(n21) es divisiblepor 24(s; s N) (r; r N) : n = (2s 1) (2s 1)((2s 1)21) = 24 r(s; sN) (r; r N) : n = (2s 1) (2s 1)(4s24s) = 24 r(s; s N) (r; r N) : n= (2s 1) 8s312s2+ 4s. .. .= 24 r Tesis de Induccion: Por demostrarque F(n + 2) es verdadera. Esto es, debemos mostrar que(n + 2 N : nimpar ) = (n + 2)((n + 2)21) es divisible por 24Equivalentemente,hay que mostrar que(n + 2 N : n impar ) = (s; s N)(u; u N) : n =(2s 1) (n + 2)((n + 2)21) = 24 u= (s; s N)(u; u N) : n = (2s 1)8s3+ 12s2+ 4s. .. .= 24 u (T)Entonces dividiendo (**) por (*)tenemos que8s3+ 12s2+ 4s : 8s312s2+ 4s = 1()8s312s2+ 4s24s2Asque,8s3+ 12s2+ 4s = 1 (8s312s2+ 4s) + 24s2()= 24r + 24s2= 24 (r+s2). .. .uLuego, F(n+2) es verdadera y por tanto la formulaproposicional F(n) es verdadera, para cada n umeronatural impar6.Ejercicios Propuestos de Induccion MatematicaDemuestre usandoInduccion Matematica que las siguientes formulas son verdaderas (n;n N)50 3. INDUCCION MATEMATICA(1) F(n) :ni=11i2+i) = nn + 1(2) F(n):ni=1i4= n(n + 1)(6n3+ 9n2+n 1)30(3) F(n) :ni=1i(i + 1)2 = n(n +1)(n + 2)6(4) F(n) :ni=1i(i + 1)(i + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n +3)4(5) F(n) :ni=1i 2i1= 1 + (n 1)2n(6) F(n) :nk=0(1)k

nk

= 0(7) F(n) : (0 r n) =

nr

N(8) F(n) : (n + 1)(n + 2) (n +n) = 2n

(2n 1)!(2(n 1))!

(9) F(n) : 2n1 n!(10) F(n) : 3n 3n(11) F(n) : 4n3+ 5n esdivisible por 3(12) F(n) : n3n es divisible por 6(13) F(n) : 5n3+7n es divisible por 6(14) F(n) : 10n+ 3 4n+2+ 5 es divisible por9(15) F(n) : 52n+ (1)n+1es divisible por 13(16) F(n) : n N impar=7n+ 1 es divisible por 8(17) F(n) : 72n+ 16n 1 es divisible por64UNIDAD 4ProgresionesEste capitulo esta destinado a presentarcontenidos y actividades que permitiran al estudiante, vericarqueun conjunto de n umeros satisface las propiedades que denen auna progresion aritmetica o geometrica, y queen forma naturalobserve que el ordenamiento de los elementos de un conjunto en estaforma, permite generarun algoritmo para obtener rapida yecientemente cada termino en forma independiente, y determinarlasuma de sus elementos en cualquier instante.1. ProgresionesAritmeticasExtenderemos las ideas de Peano aprovechando laoperatoria que poseen los N umeros Reales (1), paraconstruirlistados de estos n umeros que emulen el comportamiento de los numeros naturales.Motivacion 1.1. Supongamos que una personadeposita 50.000 pesos en un banco a un interes del 3% anual.(1) Cuanto dinero gana esa persona en un a no? Como el interes queproduce 1 peso en 1 a no es de 3100 = 0.03 pesos entonces elinteres total enel a no es de 50.000 0, 03 = 1.500 pesos Luego, lapersona al cabo de un a no, posee en total la cantidad de 50.000 +1.500 = 51.500 pesos(2) Cu anto dinero gana esa persona en dos anos. Si deposita al segundo a no los mismos 50.000 pesos? Al naldel primer a no si se retiran los intereses, el capital siguesiendo el mismo: 50.000 pesos.Luego, el capital vuelve a producir1.500 pesos. As que en los dos a nos el interes producido esde1.500 + 1.500 = 3.000 pesos Luego, la persona al cabo de 2 a nos,posee en total la cantidad de 50.000 + 3.000 = 53.000 pesos(3) Cuanto gana a los t a nos. Si cada a no retira los intereses.? Lasituaci on hasta aqu es la siguienteCapital inicial : 50.000Primera no : 51.500Segundo a no : 53.000

=A = 50.000, 50.000 + 1500, 50.000 + 2 1500 S el procesocontinua en el tiempo debemos tener un listado como el siguienteA =50.000, 50.000 + 1 1.500, 50.000 + 2 1.500, 50.000 + 3 1.500, . . .(47)Es decir, la constante del listado es jada por las identidades(50.000 + (t + 1) 1.500) (50.000 +t 1.500) = 1.5005152 4.PROGRESIONES 50.000 +t 1.500 = 50.000 + 3100 50.000 t = 50.000

1 + 3100 t

(t = 0, 1, 2, . . . )(4) En general, si notamos a1 al capitalinicial i = r100 a1 interes anual simple t tiempo en a nosEntoncesel listado y las propiedades que se intuyen son las siguientes1. A= a1, a1 +i, a1 + 2i, a1 + 3i, a1 + 4i, . . . , 2. ak = a1 + (k1)i, o bien, ak = a1

1 + (k 1) r100

, para cada k = 1, 2, 3, . . .3. La suma de los t primerosterminos, para cada t NSt =tk=1(a1 + (k 1)i)= a1tk=11 +itk=1(k 1)=a1t +i (t 1)t2 Ver (36)= t2 (2a1 + (t 1) i)3. Equivalentemente, pornuestra denici on tenemos, St = t2 (a1 +at)Denicion 1.2. A = a1,a2, a3, , 1 ser a llamada una Progresi on Aritmetica. Si existe d1, talque an+1 = an +d (m; m N); d se llama la diferencia de laprogresi on aritmeticaEjemplo 1.2.1. Si denimos an = n N y d = 1entonces A = a1, a2, a3, , = 1, 2, 3, , = N.Luego, N es unaprogresi on aritmetica, con diferencia d = 1Ejemplo 1.2.2. A = 1,2, 3, 3, 7, es una progresi on aritmetica con a1 = 1 y d = 1Ejemplo1.2.3. A =

2, 12 +2, 1 +2,

es una progresi on aritmetica con a1 =2 y d = 12Observacion 1.3.Del ejemplo 1.2.1, sabemos que El termino de orden o posici on n enel listado es exactamente n. Es decir en un sistema gr acoqueinvolucre a cada termino versus su valor numerico, tenemos que1.PROGRESIONES ARITMETICAS 53terminovalor del terminoa11a22a33ann Lasuma de los n primeros terminos es Sn =ni=1ai =ni=1i = n(n + 1)2 ,como lo obtuvimos en laf ormula (36)Sin embargo, en el ejemplo1.2.3, no es tan claro: Cu al es el termino de orden o posici on nen el listado?. Porque si procedemos como en la situaci onanteriorla situaci on gr aca es la siguienteterminovalor del terminoa12a212+2a31 +2 an? Y menos sabemos, Cu al es la suma de los n primerosterminos Sn?Ahora, estas cuestiones son importantes para nosotrostoda vez, que estos son los problemas que debemosaprender aresolver1.4. Propiedades de las progresiones aritmeticas.(1) Si A =a1, a2, a3, . . . , 1, es una Progresion Aritmetica de diferencia dentonces el termino de ordenn se obtiene como54 4. PROGRESIONESan+1= a1 +n d ; n N ()En efecto Por demostrar que an+1 = a1 +n d ; n NGestion de la informacion. Si A = a1, a2, a3, . . . , 1, unaProgresion Aritmetica de diferenciad entonces de la Denicion 1.2tenemos quea2 = a1 +da3 = a2 +d = (a1 +d) +d = a1 + 2da4 = a3 +d =(a1 + 2d) +d = a1 + 3d… Luego, el metodo sugerido es Induccion,para probar que la formulaF(n): an+1 = a1 +n d ; n N, es verdadera(n; n N) As que iniciamos mostrando que F(1) es verdadera.a1+1 = a2= a1 +d.As que F(1) es verdadera Hipotesis de Induccion: Suponemosque F(k) es verdadera, es decirak = a1 + (k 1)d (H) Tesis deInduccion: Por demostrar que F(k + 1) es verdaderaak+1 = ak +d(H)=a1 + (k 1)d +d= a1 +kdAs F(k+1) es verdadera y F(n) entonces esverdadera (n; n N)(2) Si A = a1, a2, a3, . . . , 1, es unaProgresion Aritmetica de diferencia d entonces la suma delosn-primeros terminos se obtiene de la formula.Sn =ni=1ai =

n2(2a1 + (n 1)d) (n; n N)n2(a1 +an) (n; n N)(48)En efectoParademostrar queni=1ai = n2(2a1 + (n 1)d), haremos uso de lainformacion an = a1 + (n 1)d, yaplicaremos Induccion para concluirque la formulaF(n) :ni=1ai = n2(2a1 + (n 1)d), (n N) es verdadera(n; n N)1. PROGRESIONES ARITMETICAS 55 Iniciamos mostrando que F(1)es verdadera 1i=1ai = a1 12(2a1 + (1 1)d) = 12 2a1 = a1 =1i=1ai =12(2a1 + (1 1)d)As que F(1) es verdadera. Seguimos con la Hipotesisde induccion: Suponiendo que F(k) es verdadera, es decir:ki=1ai =k2(2a1 + (k 1)d) (H) Y como Tesis de induccion debemos demostrarque F(k + 1) es verdadera.En efectosk+1 =k+1i=1ai=ki=1ai +ak+1(H)=k2(2a1 + (k 1)d) +ak+1= k2(2a1 + (k 1)d) + (a1 +kd)= 2ka1 +k2d kd +2a1 + 2kd2= 2a1(k + 1) +k(k + 1)d2= (k + 1)2 [2a1 +kd]As, F(k+1) esverdadera, y efectivamenteni=1ai = n2(2a1 + (n 1)d) (n; n N)Enparticular, como a1 + (n 1)d = an entoncesni=1ai = n2(2a1 + (n1)d)= n2(a1 + [a1 + (n 1)d])= n2(a1 +an)(3) Como aplicacioninmediata tenemos que la suma de los n-primeros naturales es:56 4.PROGRESIONESni=1i = n2(1 + (n 1) 1)= n(n + 1)2(4) Finalmente parala progresion del Ejemplo 1.2.3, tenemos que an =2 + n 12 , y Sn =n2

22 + n 12

2. Progresiones GeometricasMotivacion 2.1. Supongamos que unapersona deposita 50.000 pesos en un banco a un interes del 3%anual,al igual que en la motivaci on (1.1)(1) Cu anto dinero gana en dosa nos? Como ya sabemos, el interes que produce 1 peso en 1 a no esde 0.03 pesos entonces el interestotal en el a no es, 50.000 0, 03= 1.500 pesos Sin embargo la diferencia esta en que, al no retirarlos intereses ganados en el a no, se genera unaumento en elcapital, y por ende el interes de este periodo debe cambiar, y es,51.500 0, 03 = 1.545pesos. As que el interes acumulado al n de losdos a nos es 1.500 + 1.545 = 3.045 pesos, y el dineroacumulado esentonces 50000 + 3.045 = 53.045 pesos(2) Cu anto gana a los t anos. Si cada a no retira no los intereses.? La situaci on en losperiodos anuales es la siguienteCapital Inicial : 50.000Primer a no: 50.000 + 1500 = 50.000

1 + 3100

Segundo a no : 51.500 + 1545 = 50.000

1 + 3100

2 S el proceso continua en el tiempo debemos tener un listadocomo el siguienteA = 50.000, 50.000

1 + 3100

, 50.000

1 + 3100

2, 50.000

1 + 3100

3, . . . Luego, tenemos que el a no t tiene el siguientecomportamientoa no t : 50.000

1 + 3100

t1(3) En el caso general si modelamos la situaci on como,2.PROGRESIONES GEOMETRICAS 57a1 = capital iniciali = r100 a1 interesanual compuesto(sin retirar los intereses)t : tiempo en anosEntonces obtenemosa1 = a1a2 = a1 +i = a1

1 + r100

a3 = a1 +i + (a1 +i) r100 = a1

1 + r100

2… = …at = a1

1 + r100

t1Denicion 2.2. G = a1, a2, , 1 es una Progresi on Geometrica.Si existe r 1,tal que r = 0y r = 1, y am+1 = am r (m; m N); r sellama la raz on de la progresi on geometricaEjemplo 2.2.1. G = 2,4, 8, 10, es una progresi on geometrica con a1 = 2 y r = 2Ejemplo2.2.2. G = 3, 3, 33, 9, es una progresi on geometrica con a1 =3 y r= 32.3. Propiedades de las progresiones geometricas. Si G = a1, a2,a3, . . . , 1, es una ProgresionGeometrica de razon r entonces:(1)El termino de orden n se obtiene directamente de la formulaan = a1rn1(n; n N) (49)(2) La suma de los n primeros terminos se obtiene atraves de la formulaSn =ni=1ai = a1rn1r 1

(n; n N) (50)Para mostrar, (49), usaremos Induccion Matematicaa1 = a1 r11, as que nuestra formula es verdadera en su primeraetapa. Supongamos que la formula es verdadera en la etapa n, esdecir que,an = a1 rn1() Debemos para terminar, mostrar quean+1 = a1rnEn efectoan+1 = an r (Por denicion de progresion geometrica)= a1rn1 r (Usando la informacion provista por())= a1 rn58 4.PROGRESIONESFinalmente para mostrar, (50), hacemos losiguiente:ni=1ai =ni=1a1 ri1(Usamos la informacion de (49))=a1ni=1ri1= a1(1 +r +r2+ +rn1)= a1rn1r 1

3. Ejercicios Resueltos de Progresiones(1) Si A = a1, a2, . . .es una Progresion Aritmetica que verica simultaneamente lascondiciones: d=40 La suma de los 20 primeros terminos es 650 ( Esdecir,20i=1ai = 650)entonces determine a10Solucion Sea A = a1, a2,. . . la Progresion Aritmetica pedida. Gestion de la informacionA =a1, a2, . . . es una Progresion Aritmetica entonces650 = 202 (2a1 +19 40)= 10 (2a1 + 760)65 = (2a1 + 760)a1 = 695 Luego, a10 = 695 + 940 = 335(2) Si G = a1, a2, a3, , es una progresion geometrica quesatisface simultaneamente las siguientescondiciones: a2 = 4 a4a6=2543. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES 59entonces determine laprogresion GSolucion Sea A = a1, a2, . . . la Progresion Aritmeticapedida. Gestion de la informacion a2 G =a1 r = 4 a4 G a3 G =a4 = a1r3 a6 = a1 r5Luego,a4a6= 1r2 = r2= 425 =r = 25 Finalmente como, a1r = 4 entonces a1 = 10. As que las posibles progresiones son: G=

10, 4, 85,

G =

10, 4, 85,

(3) Si A = a, b, c 1 0 tal que satisface las siguientespropiedades: A es una Progresion Aritmetica a, b y c son loscoecientes de una ecuacion cuadratica. es decir ax2+bx +c = 0 x1+x2 = 13(a +b +c) x1 x2 + 7 = b. Donde x1 y x2 son las races de laecuacion cuadraticaentonces determine los n umeros a, b yc.Solucion Sea A = a, b, c el conjunto pedido. Gestion de lainformacion A es una progresion aritmetica si:a = b d y c = b +d()Donde d es la diferencia de la progresion aritmetica. Las racesde una ecuacion de segundo grado son de la forma:x1 = b +b24ac2a yx2 = b b24ac2a As que,x1 +x2 = ba y x1 x2 = ca60 4. PROGRESIONESPortanto,ba = 13(b d +b +b +d) =ba = b =a = 1Luego, sustituyendo elvalor de a = 1 en () obtenemos queb = d 1 y c = 2d 1 ()De la ultimainformacion suministrada,

ca + 7 = b

=

2d 11 + 7 = d 1

=(8 2d = d 1) =d = 3Finalmente sustituyendo los valoresobtenidos en () tenemos que: a = 1; b = 2 y c = 5(4) Si A =

1a, 1b, 1c

10 tal que: A es una progresion aritmetica. a +b = 0, a b = 0, a+c = 0 y a c = 0entonces demuestre que a(a c)(a b)(a +c) =1Solucion Debemos vericar que a(a c)(a b)(a +c) = 1 Gestion de lainformacionA es una progresion aritmetica 1b 1a = 1c 1b 2b = 1c +1a 2b = a +cac b = 2aca +c3. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES61 Luego,a(a c)(a b)(a +c) = a(a c)(a 2aca +c)(a +c)= a(a c)

a(a +c) 2aca +c

(a +c)= a(a c)(a2+ac 2ac)= a(a c)(a2ac)= a(a c)a(a c)= 1(5) Sila suma de tres n umeros en progresion aritmetica es 24. Si ademasal primero de ellos se le resta 1,al segundo se le suma 4, y altercero se le suma 25, se obtiene una progresion geometrica.Determineambas progresiones.Solucion Sea A = x, y, z la progresionaritmetica pedida y G = x 1, y + 4, z + 25 la progresiongeometricapedida. Gestion de la informacion A es una progresionaritmetica si x = y d y z = y +dLuego;A = y d, y, y +dG = y d 1, y+ 4, y +d + 25 Ahora, y d +y +y +d = 24 =y = 8As que,A = 8 d, 8, 8+dG = 7 d, 12, 33 +d Ademas G es una progresion geometrica si:127 d= 33 +d1262 4. PROGRESIONESPor tanto,144 = (7 d)(33 +d) = d2+ 26d87 = 0 =d1 = 3 d2 = 29 Finalmente tenemos dos casos. d = 3 =

A = 8 3, 8, 8 + 3 = 5, 8, 11G = 7 3, 12, 33 + 34, 12, 36 d = 29=

A = 8 + 29, 8, 8 29 = 37, 8, 21G = 7 + 29, 12, 33 2936, 12, 44.Ejercicios Propuestos de Progresiones(1) Si el conjunto A = 32 ,a2, a3, a4, , a2n es una Progresion Aritmetica que satisfacelassiguientes condiciones: a1 +a3 +a5 +a7 + +a2n1 = 24 a2 +a4 +a6+a8 + +a2n = 30 a2n = a1 + 212entonces determine, si es posible, eln umero de terminos de la progresion aritmetica, (es decir,deter-mine n)(2) Si en una progresion geometrica u1 = 4, un = 2438, Sn = 6658 entonces determine n y su razon r(3) La suma de tres numeros en progresion aritmetica es 27 y la suma de sus cuadrados es293. Determinetales n umeros(4) Si en una progresion aritmetica elquinto termino es 15 y el decimo termino es 30 entonces determinelaprogresion(5) Si la suma de tres n umeros en progresion geometricaes 26 y su producto es 216 entonces determinetales n umeros.(6) Lasuma de tres n umeros en progresion aritmetica es 30. Si al primerode ellos se le agrega 1, al segundo5 y al tercero 29 se obtiene unaprogresion geometrica entonces determine ambas progresiones(7)Determine 5 n umeros reales en progresion geometrica, tales que lasuma de los dos primeros es 24, yla razon es la cuarta parte delprimer n umero.(8) Si en una progresion aritmetica A, se vericaque: El producto del segundo con el quinto termino es 364,y ademasla diferencia de estos mismos terminos es 15 entonces determine, sies posible la progresion A.4. EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROGRESIONES63(9) Dada la progresion T =

a +b2 , a, 3a b2 , . . .

.(a) Calcule S21. La suma de los primeros 21 terminos.(b)Exprese Sn usando el operador sumatoria.(10) Sea S = b1, b2, . . .una sucesion de numeros reales, tales que:(a) bm = n; bn = m y n =m(b) Si ademas construimos una progresion aritmetica A = a1, a2, .. . , tal que ai = 1bi(i; i N)entonces demuestre que la diferenciade la progresion es d = 1mn(11) Dada la progresion A = a, a +d, a+2d, . . . , y S la suma de sus n+1 primeros terminos.Demuestrequenk=0

nk

(a +kd) = 2nSn + 1(12) La suma de tres n umeros en progresiongeometrica es 70. Si se multiplican los n umeros ubicados enlosextremos por 4 y el n umero ubicado en el centro 5, se obtieneuna progresion aritmetica. Determineambas progresiones.(13) Si setienen tres terminos en progresion geometrica, y se resta 8 delsegundo termino se obtiene unaprogresion aritmetica, y si en estase resta 64 del tercer termino resulta nuevamente unaprogresiongeometrica. Determine, si es posible, todas lasprogresiones involucradas en el problema.(14) Considere lasprogresiones G = g1, g2, g3, . . . progresion geometrica A = 3, a2,a3, . . . progresion aritmeticatal que g3 = 12 y g7 = 19211i=1gi=50i=1aiDetermine la diferencia de la progresion AUNIDAD 5Teoremadel BinomioEste capitulo esta destinado a presentar contenidos yactividades que permitiran al estudiante: Operar consimbologamatematica, desarrollar expresiones que involucren un n umero nitode productos binomiales, yemplear el concepto de b usqueda instantanea, a n de determinar rapida y ecientemente los terminosendesarrollos binomiales mediante un algoritmo1. Introduccion a losFactorialesDenicion 1.1. Para cada n N llamaremos n factorial a n!= 1 2 3 n, y denimos adem as 0! = 1Ejemplo 1.1.1. n! = (n 1)! npara cada n NEn efecton! = 1 2 3 (n 1) n= [1 2 3 (n 1)] n= (n 1)!nDenicion 1.2. Para cada n N, k N y k n llamaremos n umerocombinatorio a

nk

= n!(n k)!k! (51)Ejemplo 1.2.1.

43

= 4!(4 3)! 3! = 3! 41! 3! = 4Observacion 1.2.2. Consideremos unconjunto con cuatro elementos, digamos C = 1, 2, 3, 4 N en-toncesLa cantidad de subconjuntos de C con cardinalidad 3 son lossiguientesC1 = 1, 2, 3, C2 = 1, 2, 4, C3 = 1, 3, 4, C3 = 2, 3, 4Soncomo se ve cuatro conjuntos lo que coincide con

43

La cantidad de subconjuntos de C con cardinalidad 2 son lossiguientes seis conjuntosC1 = 1, 2, C2 = 1, 3, , C3 = 1, 4, C3 = 2,3, C3 = 2, 4, C3 = 3, 4Y que tambien coincide con

42

= 4!(4 2)! 2! = 2! 3 42! 2! = 6En realidad esto no es unacoincidencia, ya que en la pr actica el n umero combinatorio

nk

con k n,fue construido para contar la cantidad de grupos con kelementos a partir de n elementos dados, (de6566 5. TEOREMA DELBINOMIOall la restricci on k n)1.3. Propiedades de los N umerosCombinatorios. Entre muchas propiedades de los n umeroscombi-natorios, solo exhibiremos las que necesitamos estrictamentepara conseguir nuestros objetivos.(1)

nk

=

nn k

En efecto

nk

= n!(n k)!k! = n!(n k)!(n (n k))! =

nn k

En particular,

n0

=

nn

= 1, para vericar esta igualdad, basta hacer k = 0 y recordarque elconjunto vaco no tiene elementos y es subconjunto de todoslos conjuntos(2)

n + 1k

= n + 1n (k 1)

nk

En efecto

n + 1k

= (n + 1)!k!(n + 1 k)! = n!(n + 1)k!(n + 1 k)! = n!k! (n + 1)(nk + 1)!= n!k! (n + 1)(n k)!(n k + 1) = n!k!(n k)! (n + 1)n (k 1)=

nk

(n + 1)n (k 1)(3)

n + 1k + 1

= n + 1k + 1

nk

En efecto

n + 1k + 1

= (n + 1)!(k + 1)!(n k)! = n!(n + 1)k!(k + 1)(n k)! = n!k!(n k)!n + 1k + 1 =

nk

n + 1k + 1(4)

nk + 1

= n kk + 1

nk

En efecto2. TEOREMA DEL BINOMIO 67

nk + 1

= n!(k + 1)!(n k 1)! = n!k!(k + 1)(n k 1)! = n!k! 1(k + 1)(n k1)!= n!k! n k(k + 1)(n k)! = n!k!(n k)! n kk + 1 =

nk

n kk + 1(5)

nk

+

nk + 1

=

n + 1k + 1

En efecto

nk

+

nk + 1

= n!k!(n k)! + n!(k + 1)!(n k 1)! = n!(k + 1) +n!(n k)(n k)!(k +1)!= n!(k + 1 +n k)(n k)!(k + 1)! = n!(n + 1)(n k)!(k + 1)! = (n +1)!(n k)!(k + 1)! =

n + 1k + 1

2. Teorema del BinomioTeorema 2.1. (Teorema del Binomio). Si nN, a 1 y b 1 tal que a +b = 0 entonces(a +b)n=nk=0

nk

ankbkDemostraci on Debemos vericar que (a +b)n=nk=0

nk

ankbk Gesti on de la informaci on: Como n N entonces podemosusar el proceso de inducci on matem atica,para vericar la validezde la f ormulaF(n) : (a +b)n=nk=0

nk

ankbk(n; n N) Debemos mostrar que F(1) es verdaderaPor una partetenemos que (a+b)1= (a+b), y por otra,1k=0

1k

ankbk=

10

a10b0+

11

a11b1= a+bAs que, (a +b)1=1k=0

1k

ankbk, y F(1) es verdadera Hip otesis de inducci on: Supongamosque F(n) es verdadera, es decir68 5. TEOREMA DEL BINOMIO(a+b)n=nk=0

nk

ankbk(H) Tesis de inducci on. Debemos mostrar que F(n+1) esverdadera Desarrollando F(n+1) tenemos que(a +b)n+1= (a +b)n(a+b)(H)= (a +b)nk=0

nk

ankbk=nk=0

nk

ank+1bk+nk=0

nk

ankbk+1() Aplicando la propiedad del reloj (46), a la segundaparcela en () tenemos quenk=0

nk

ankbk+1=n+1k=0+1

nk 1

an+1kbk=n+1k=1

nk 1

an+1kbk Reemplazando en () tenemos que:(a +b)n+1=nk=0

nk

ank+1bk+n+1k=1

nk 1

an+1kbk=

n0

an+1+nk=1

nk

ank+1bk+nk=1

nk 1

an+1kbk+

nn

bn+1=

n + 10

an+1+nk=1

nk

ank+1bk+nk=1

nk 1

an+1kbk+

n + 1n + 1

bn+1=

n + 10

an+1+nk=1

nk

+

nk 1

an+1kbk+

n + 1n + 1

bn+1=

n + 10

an+1+nk=1

n + 1k

an+1kbk+

n + 1n + 1

bn+1=n+1k=0

n + 1k

an+1kbkAs que F(n+1) es verdadera, y(a +b)n=nk=0

nk

ankbk3. EJERCICIOS RESUELTOS DE TEOREMA DEL BINOMIO 69Corolario2.2. En Teorema (2.1) Para cada k = 0, 1, . . . , n1 el termino deorden k +1 es de la forma:tk+1 =

nk

ankbkEn efectoDel teorema (2.1) sigue que(a +b)n=nk=0

nk

ankbk=

n0

an0b0. .. .t1+

n1

an1b1. .. .t2+

n2

an2b2. .. .t3+ +

nn

annbn. .. .tn+1As que tk+1 =

nk

ankbk, para k = 0, 1, 2, . . . , n3. Ejercicios Resueltos deTeorema del Binomio(1) En el desarrollo binomial, B =

x 1×3

npara (n N). Demostremos que si existe un termino de laformax4mentonces n debe ser un m ultiplo de 4.Solucion Debemos mostrarque n = 4 r Gestion de la informacion ts+1 es el termino pedido siy solo sits+1 =

ns

xns

1×3

s=

ns

xns(1)sx3s=

ns

xn4s(1)s x4maparecera en el termino ts+1 si y solo six4m= xn4s=4m = n 4s= 4s 4m = n= 4(s m) = n70 5. TEOREMA DEL BINOMIOConclusion : n es un m ultiplo de 4.(2) Determinemos, (si existe)el termino independiente de x en el desarrollo binomial(2x + 1)

1 + 2x

nSolucion Debemos determinar el termino independiente de x, esdecir aquel en que aparece x0= 1. Gestion de la informacion DelTeorema del Binomio (2.1) sigue que

1 + 2x

n=nk=0

nk

1(nk)

2x

k=nk=0

nk

2kxk Multiplicando por (2x + 1) tenemos que(2x + 1)

1 + 2x

n= (2x + 1)nk=0

nk

2kxk=nk=0

nk

2k+1x(k+1)+nk=0

nk

2kxk Luego, existira el termino independiente de x sik + 1 = 0 k= 0 k = 1 k = 0 As que el termino pedido es

n1

22+

n0

20= 4n + 1(3) Demostremos usando el teorema del binomioquens=0(1)s

ns

= 0Solucion(1 1)n= 0 (1 1)n Teo(2.1)=ns=0

ns

(1)(ns)(1)s =0 =ns=0

ns

(1)s(4) Si (n N), y A =

x2+ 1x

ny B =

x3+ 1×2

n, son dos desarrollos binomiales tales que tk(A) es elk- esimotermino de A y tk(B) es el k- esimo termino de B, (k 1) entoncesdemostremos quetk(A) = tk(B) =n es un n umero parSolucion Debemosvericar que n = 2 s, para alg un entero s.4. EJERCICIOS PROPUESTOSDEL TEOREMA DEL BINOMIO 71 Gestion de la informacion Para elbinomio A tenemos que:tk(A) =

nk 1

(x2)n(k1)

1xk1 =

nk 1

(x)2n3(k1) Para el binomio B tenemos que:tk(B) =

nk 1

(x3)n(k1)

1(x2)k1 =

nk 1

(x)3n5(k1) Finalmente comparando terminos tenemos que n es par,pues,tk(A) = tk(B)

nk 1

(x)2n3(k1)=

nk 1

(x)3n5(k1) (x)2n3(k1)= (x)3n5(k1) 2n 3(k 1) = 3n 5(k 1) n = 2 (k1). .. .s4. Ejercicios Propuestos del Teorema del Binomio(1)Determine el septimo termino en el desarrollo binomial(2x y)12(2)Determine el noveno termino en el desarrollo binomial

2 + x4

15(3) Determine el decimocuarto termino del desarrollobinomial

4x2y 12xy2

20(4) Determine el termino que contiene a x2en el desarrollobinomial

3x 2×2

27(5) Determine el termino que contiene x2y2 en el desarrollobinomial

xy y22x2

872 5. TEOREMA DEL BINOMIO(6) Determine el termi

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