1

¡Comentario sobre las ligaduras no holónomas!

Cuando una ligadura ideal no holónoma es de las “integrables” podría

usarse dicha ligadura como holónoma (una vez integrada) y así reducir la

dimensión de la variedad de configuración (lo cual podría ser muy

conveniente). No obstante esto siempre es opcional: una ligadura no

holónoma integrable puede siempre seguir usándose como tal y no

modificar la variedad de configuración inicial.

Ejemplo:

Supongamos y la ligadura no holónoma integrable 1 2 3( , , , )r q q q t

1 1 2 2 3(1 ) 0,q q q q q 1 1 2 2 3(1 ) 0,q dq q dq dq

2 21 11 1 2 32 2

( ) ,q q q q c 2 21 13 1 1 22 2

( ) ,q c q q q

1 2( , , )r q q t 1 2 1 2( , , , , )T q q q q t ….. etc.

2

Aplicación al sólido rígido

3

• Sólido rígido: Es un sistema partículas con seis grados de libertad (dimensión de

la variedad de configuración) y como coordenadas generalizadas pueden

usarse,por ejemplo, las tres coordenadas cartesianas, , de un punto A

del sólido junto con otros tres parámetros, , que determinan su

orientación y que usualmente son los tres ángulos de Euler.

( , , )A A Ax y z

( , , )

x

y

z

z

x

z

y

Velocidad angular: ( sin sin cos )

( sin cos sin )

( cos ) ,

i

j

k

Sólido sin punto fijo (6 grados de

libertad): A=CM

2 2 21 12 2

( ) ,CM CM CM CMT M x y z I

Sólido con punto fijo: conviene

tomar A=punto fijo.

12

,AT I

4

x

y

z

z

x

z

y

A

nnF

nr

n

Ar

rQ f a f

q

,nn

rF

q

( )n nd dt

Componentes generalizadas de las fuerzas Q

, , , , , .A A Aq x y z

.A nn nr

Q F Fq q

;n A nr r

;A A A Ar x i y j z k , , ( ) ,( ) ,( ) ;

A A Ax y z n x n y n zQ Q Q F F F

, , ,n n nn n nQ F Q F Q F

n nQ d Q d Q d F d

cos sin ,

sin sin sin cos cos ,

,

i j

i j k

k

( ) nd d d

5

x

y

z

z

x

z

y

A

nnF

nr

n

Ar

,

,

,

A

A

A

Q M

Q M

Q M

( ) ( )n n n nF dt d d d F

Componentes generalizadas de las fuerzas Q

n nQ d Q d Q d F d

( ) n nd d d F

( ) Ad d d M

( ) ( ) ( ) ;A A AM d M d M d

6

7

x

y

3z x

z

x

z

y

cos ; .U Mgz Mg L T U

2 2 2 21 11 32 2( sin ) ( cos ) ,T I I

g

1 Ejemplo

Obtened la lagrangiana de la peonza simétrica y 3 leyes de conservación a

partir de su lagrangiana.

1

112

3

0 0

, 0 0 ;

0 0

A A

I

T I I I

I

A

1x x

2x y

1) 0,

.

L

t

L L LE L T U cte

2

1 3

2) 0,

sin ( cos )cos

L

Lp I I cte

33) 0, ( cos )L L

p I cte

8

P) La Lagrangiana de un sistema lagrangiano con dos grados de libertad

es , donde y es un

potencial generalizado del que se derivan las componentes generalizadas

( ) de las fuerzas. La función tiene derivada y k es una

constante.

Sólo una respuesta es correcta!!!

L

L T U 2 21 1 22 ( )T q q 2 2

2 1 1 2 12( ) ( )kU q q q q V q

jQ V 1( )V V q

P1) Las fuerzas generalizadas satisfacen:

A) 1 2 2 1 2 2 2 1( ) , ( )Q kq q q V Q kq q q

B) 1 2, 0Q V Q

C) 1 2 2 1 1 2 2 2 1( ) , ( )Q kq q q qV Q kq q q

D) 1 1 2 1 2 2 2 1( ) , ( )Q kq q q V Q kq q q

E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

9

P2) La función de energía asociada a la lagrangiana es :

A) 2T U

B) T U

C) T V

D) T

E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

( , )E q q

10

P3) Los momentos canónicos conjugados a cada coordenada son:

A) 1 1 2 2,p q p q

B) 2 2

1 1 2 2 2 12 2,k kp q q p q q

C) 1 1 2 1 2 2 1 2,p q kq q p q kq q

D) 2 21 1 1 2 2 22 2

,k kp q q p q q

E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

jq

11

P4) Puede afirmarse que:

A) es una constante del movimiento T

B) es una constante del movimiento V

C) Es una constante del movimiento T V

D) es una constante del movimiento 2p

E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

12

P5) Una partícula se mueve en el plano (x,y) bajo la acción de una

fuerza , siendo una constante positiva. Usando como

coordenadas generalizadas las coordenadas polares planas , las

componentes generalizadas de la fuerza sobre la partícula son:

A) , ,rQ r Q r

B) 2, ,rQ r Q r

C) ( ), 0,rQ r r Q

D) 2, ,rQ r Q r

E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

F v ( , )r

13

Ejercicio

Un disco homogéneo de peso Mg y radio R rueda sin deslizar en línea

recta sometido a una fuerza constante horizontal . Obtened las

ecuaciones de Lagrange para el movimiento del disco. 0F

, ,cq y

0, 0B Cv y R

,i

2 2 21 1 12 2 2,C C CT M y I I MR

Ligadura no holónoma: y

z

C

B

R

0F

32R

gn

Componentes generalizadas

de la fuerza 0 :F ,ycQ Q

0 ,

,

yc

C

Q F

Q M

0 ,2

C

RM F i

,

,

dt id

i

0

0

,

,2

0,

C

C

C

M y F

RFI R

y R

,

,

0,

yc

C C

C

d T TQ

dt y y

d T TQ R

dt

y R

14

x

y

z

z

x

z

y

g

B

C

Ejercicio: Una esfera homogénea de masa M y radio R rueda y pivota

sin deslizar sobre un plano horizontal. Obtened las ecuaciones de

Lagrange.

15

x

z

y

g

x

y

z

z

B

C

, , , , ;c c cq x y z R

2 2 21 12 2

2 21 12

2 2

2

2

( )

( ) )( 2 cos ,

c c D

c c D

T M x y I

M x y I

0;B Cv v CB

; ,c c cCB Rk v x i y j

Expresamos según los ejes x,y,z: ,Nu k k

Nu

0,Bv sin sin cos 0,

cos sin sin 0,

c

c

x R R

y R R

1 2

1 2

1 2

, , 0,

sin cos ,

cos sin sin sin ,

c c c c

d T T d T T d T T

dt x x dt y y dt

d T TR R

dt

d T TR R

dt

16

Ejercicio (péndulo doble de masas iguales)

Obtened las ecuaciones de Lagrange y una ley de conservación

1 2, ,q

1

2

1

2

g

z 2 21 2 ,

2

MT v v 2 2 21 1 ,v 2 1 1 2 2 ,v u u

1u

2u

1 1 1 2 2 2cos sin , cos sin ,u i k u i k x

2

2 2

1 2 1 2 1 22 2 cos( ) ,2

MT

1 2 1 2( ) (2cos cos ),U Mg z z Mg

;L T U

11

22

0,

0,

d L L

dt

d L L

dt

2

2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 1 2

2 sin sin( ) 2 cos( ) 0,

sin sin( ) cos( )) 0

g

g

T U const