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El estudio de los juegos ha inspirado a cientficos de todos los tiempos para el desarrollo de teoras y modelos matemticos. La estadstica es una rama de las matemticas que surgi precisamente de los clculos para disear estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad, media ponderada y distribucin o desviacin estndar, son trminos acuados por la estadstica matemtica y que tienen aplicacin en el anlisis de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y econmicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos ante componentes aleatorios.

COORPORACION UNIVERSITARIA REMINTONG TRABAJO PRESENTADO A : MARTHA CECILIA AREVALO

MATERIA : TEORIA DE SISTEMAS Y PROSPECTIVA

LO PRESENTA : OFELIA MOLINA GALLEGO

23032010

El estudio de los juegos ha inspirado a cientficos de todos los tiempos para el desarrollo de teoras y modelos matemticos. La estadstica es una rama de las matemticas que surgi precisamente de los clculos para disear estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad, media ponderada y distribucin o desviacin estndar, son trminos acuados por la estadstica matemtica y que tienen aplicacin en el anlisis de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y econmicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos ante componentes aleatorios.

Los psiclogos destacan la importancia del juego en la infancia como medio de formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse en sociedad, a resolver problemas y situaciones conflictivas. Todos los juegos, de nios y de adultos, juegos de mesa o juegos deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y cooperativas en las que podemos reconocer situaciones y pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real.

Pero la teora de juegos tiene una relacin muy lejana con la estadstica. Su objetivo no es el anlisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratgicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las relaciones econmicas como en las polticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjuncin de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un comportamiento que es estratgico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas.

La tcnica para el anlisis de estas situaciones fue puesta a punto por un matemtico, John von Neumann. A comienzos de la dcada de 1940 trabaj con el economista Oskar Morgenstern en las aplicaciones econmicas de esa teora. El libro que publicaron en 1944, "Theory of Games and Economic Behavior", abri un insospechadamente amplio campo de estudio en el que actualmente trabajan miles de especialistas de todo el mundo.

Los modelos de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser bipersonales, es decir, con slo dos jugadores. Pueden ser simtricos o asimtricos segn que los resultados sean idnticos desde el punto de vista de cada jugador. Pueden ser de suma cero, cuando el aumento en las ganancias de un jugador implica una disminucin por igual cuanta en las del otro, o de suma no nula en caso contrario, es decir, cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en funcin de sus decisiones. Cada jugador puede tener opcin slo a dos estrategias, en los juegos biestratgicos, o a muchas. Las estrategias pueden ser puras o mixtas; stas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de los juegos con repeticin, los que se juegan varias veces seguidas por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser tambin simples o reactivas, si la decisin depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.El juego de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilizacin de modelos de la teora de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana.Hay dos jugadores: "L" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que llamaremos "Ftbol" y "Discoteca".Supongamos que el orden de preferencias de L es el siguiente: 1 (lo ms preferido) L y ELLA eligen Ftbol. 2 L y ELLA eligen Discoteca. 3 L elige Ftbol y ELLA elige Discoteca. 4 (lo menos preferido) l elige Discoteca y ELLA elige Ftbol. Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:1 (lo ms preferido) L y ELLA eligen Discoteca. 2 L y ELLA eligen Ftbol. 3 L elige Ftbol y ELLA elige Discoteca. 4 (lo menos preferido) l elige Discoteca y ELLA elige Ftbol.

La matriz de pagos es como sigue:

ELLA Ftbol Discoteca L Ftbol 1 \ 2 3 \ 3* Discoteca 4 \ 4 2 \ 1

Los pagos representan el orden de preferencias.En verde y a la izquierda de la barra, los pagos a L.En violeta y a la derecha de la barra los pagos a ELLA.

Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repeticin y sin transferencia de utilidad. Sin repeticin significa que slo se juega una vez por lo que no es posible tomar decisiones en funcin de la eleccin que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores. Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicacin previa por lo que no es posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios ("Si vienes al ftbol te pago la entrada").

El problema que se plantea es simplemente un problema de coordinacin. Se trata de coincidir en la eleccin. Al no haber comunicacin previa, es posible que el resultado no sea ptimo. Si cada uno de los jugadores elige su estrategia maximn el pago que recibirn (3\3) es subptimo. Esa solucin, marcada en la matriz con un asterisco, no es un punto de equilibrio de Nash ya que los jugadores estn tentados de cambiar su eleccin: cuando ELLA llegue a la discoteca y observe que L se ha ido al ftbol, sentir el deseo de cambiar de estrategia para obtener un pago mayor.

El modelo que hemos visto es un juego simtrico ya que jugadores o estrategias son intercambiables sin que los resultados varen. Podemos introducir una interesante modificacin en el juego convirtindolo en asimtrico a la vez que nos aproximamos ms al mundo real. Supongamos que las posiciones 2 y 3 en el orden de preferencias de L se invierten. L prefiere ir solo al Ftbol ms que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz de pagos queda como sigue:

ELLA Ftbol Discoteca L Ftbol 1 \ 2* 2 \ 3 Discoteca 4 \4 3 \ 1

Si ELLA conoce la matriz de pagos, es decir, las preferencias de L, el problema de coordinacin desaparece. Est muy claro que L elegir siembre la estrategia Ftbol, sea cual sea la eleccin de ELLA. Sabiendo esto ELLA elegir siempre la estrategia Ftbol tambin, ya que prefiere estar con L aunque sea en el Ftbol que estar sola aunque sea en la Discoteca. La estrategia maximn de ambos jugadores coincide. El resultado, marcado con un asterisco, es un ptimo, un punto de silla, una solucin estable, un punto de equilibrio de Nash. Obsrvese que esta solucin conduce a una situacin estable de dominacin social del jugador que podramos calificar como el ms egosta