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  • Captulo 5.

    Ondas estacionarias.

    Introduccin. En este Captulo estudiaremos aquellos fenmenos ondulatorios en donde las ondas se hallan confinadas en una determinada regin del espacio. Un ejemplo tpico de ondas confinadas lo constituyen las ondas producidas en los instrumentos musicales, pero el tema resulta mucho ms general, con aplicaciones en fsica del slido, atmica, nuclear y subnuclear. Cuando las ondas estn confinadas en el espacio como, por ejemplo ocurre con las ondas en una cuerda de piano, stas viajan de un lado al otro reflejndose en los extremos fijos y, por ende, en todo momento existen ondas propagndose en los dos sentidos. Dependiendo de la longitud y caractersticas de la cuerda, existen ciertas frecuencias (modos normales de vibracin) para las cuales la superposicin, de las ondas que se propagan en ambos sentidos, resulta constructiva produciendo un esquema vibratorio estacionario denominado onda estacionaria, y estas frecuencias corresponden a las frecuencias de resonancia del sistema (fundamental o armnico,

    armnico, 3 armnico, etc.), ver figura 1.

    er12do er

    Si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia del sistema, las ondas se desfasan en cada reflexin (respecto de la onda inicial). El proceso de reflexin en los extremos fijos se produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre s, por lo cual, la amplitud de vibracin resulta baja (frecuencia fuera de la resonancia). En cambio, si la frecuencia de la onda armnica concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia, la onda al reflejarse sale con la fase adecuada, igual a la de la onda incidente, por lo cual, se suman constructivamente. Cada reflexin produce una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por consiguiente, el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilacin estacionarios (modos normales). Cuando en el Captulo 4 estudiamos ondas armnicas propagndose sobre una cuerda, observamos que aunque todos los puntos de la cuerda oscilan con la misma frecuencia no lo hacen con la misma fase. Esto puede verse si analizamos detenidamente como evoluciona en el tiempo el desplazamiento de diferentes puntos de la cuerda. Como sabemos, en una onda de propagacin, el desplazamiento puede ser descripto por una funcin de onda armnica como, por ejemplo,

    = txAtx 22

    sen ),( donde hemos tomado 2

    =k y 2=

    Si analizamos la evolucin del punto 0=x , vemos que se mueve armnicamente siguiendo la ley,

    ( )tAt 2sen ),0( = , mientras que si analizamos la evolucin del punto 1=x , obtenemos,

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  • = tAt 22

    sen ),1(

    Comparando los movimientos, vemos que ambos puntos oscilan con la misma frecuencia , pero difieren en una fase, que en este ejemplo, resulta ser 2=

    radianes 2 .

    Esto que hemos determinado para un ejemplo resulta vlido en general, en las ondas armnicas de propagacin todos los puntos oscilan con la misma frecuencia pero no necesariamente todos tienen la misma fase, la fase depende del punto en cuestin. Este desfasaje se manifiesta en el hecho de que los puntos de la cuerda no pasan por el punto de equilibrio simultneamente, como suceda en los sistemas estudiados en el Captulo 3 cuando se hallaban en un modo normal de vibracin. En cambio en una onda estacionaria cada partcula de la cuerda oscila con la misma frecuencia y fase que las dems, es decir, corresponde a un modo normal de vibracin o armnico. Una partcula que en un instante forma parte de la cresta de la onda, oscila permanentemente con la mayor amplitud. Una partcula que est en reposo en un instante, permanece en reposo por el resto del tiempo (nodo). Por consiguiente los mximos de amplitud de vibracin y los nodos (reposo), estn ubicados siempre en los mismos lugares, para una dada frecuencia de vibracin. Cada partcula vibra permanentemente con la misma amplitud, dependiente de su posicin, mientras que la frecuencia y la fase son iguales para todas las partculas, por lo cual, toda la cuerda pasa por la posicin de equilibrio simultneamente. Para fijar ideas mostramos un dibujo (que usted repetir en el ej. 2) en donde se muestra las posiciones sucesivas de una cuerda que oscila en los primeros tres modos normales de vibracin:

    Primer Armnico

    Segundo Armnico

    Tercer Armnico

    Para cualquiera de los tres modos normales mostrados, existe un instante en que toda la cuerda en su conjunto pasa por la posicin de equilibrio.

    Figura.1: Esquema de las posiciones sucesivas de una cuerda que oscila, en los primeros tres modos normales de vibracin:

    Estos conceptos no difieren mucho de los estudiados en el Captulo 3, cuando estudiamos modos normales de vibracin. La diferencia fundamental consiste en que, en esos problemas, tenamos un nmero finito de partculas, mientras que aqu tenemos

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  • un continuo (idealizacin de cuerda continua). Por lo cual, en lugar de tener un cierto nmero finito de frecuencias de resonancia, tenemos un numero infinito pero discreto de frecuencias resonantes. A estas frecuencias, ordenadas de menor a mayor, comnmente se las denomina, fundamental o armnico , 2 armnico, 3 armnico, etc.. er1 do er El nmero infinito de frecuencias resulta de una idealizacin, que consiste en considerar a la cuerda continua y no formada por pequeas partculas, separadas a distancias del orden del tamao atmico. En realidad hay un nmero muy grande de frecuencias pero finito. Cuando se puntea la cuerda de una guitarra se escucha un sonido que, en general, no corresponde a un armnico puro sino que resulta ser una superposicin de muchos modos de vibracin. Dependiendo de donde se puntea y del tipo de instrumento, es posible excitar mucho el fundamental, quizs nada el segundo armnico, poco el tercero, nada el cuarto y as siguiendo. O podra no excitarse para nada el fundamental y si el segundo armnico, etc.. Algo parecido pero an ms complicado ocurre con el sonido que emitimos al hablar, nos resulta imposible emitir un sonido puro, siempre corresponde a una superposicin de muchos posibles armnicos, cada uno de ellos con una intensidad determinada por la forma en que construimos el sonido en nuestras cuerdas vocales y en nuestra boca (con perdn de la palabra!). En este Captulo estudiaremos esencialmente ondas estacionarias y concluiremos con el estudio del espectro de frecuencias que se genera en un caso simple como el punteo de una guitarra (anlisis de Fourier). Los ejercicios recomendados son el 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14 , 16, 17 y 18. 1. Gua terica. Ondas estacionarias armnicas transversales en una cuerda fija en sus extremos. Para introducir el concepto de onda estacionaria, comenzaremos con el ejemplo simple de pequeas oscilaciones transversales en una cuerda, pero la idea resulta completamente general y fcilmente extrapolable a otros fenmenos fsicos donde se presenten ondas estacionarias. Ejemplo: Una cuerda de longitud mL 1= y masa gm 100= , est fija en ambos extremos y sometida a una tensin NF 100 = . Suponga que, acercando un diapasn, se hace vibrar a la cuerda armnicamente (sinusoidalmente):

    Fig.2

    x=0 x=L Verifique que, en la aproximacin de pequeas oscilaciones (medio lineal), la velocidad de propagacin de las ondas transversales resulta,

    ./10 segmv = La onda se propaga a travs de la cuerda reflejndose en los extremos fijos. Comprobaremos que si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia de la cuerda, la onda en cada reflexin, se desfaza respecto de la onda inicial, por lo cual, comienzan a superponerse entre s las mltiples reflexiones, interfiriendo no constructivamente. El proceso de reflexin en los extremos fijos se

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  • produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre s, por lo cual, su amplitud de vibracin resulta baja (frecuencia fuera de la resonancia). En cambio, si la frecuencia de la onda armnica concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia, la onda al reflejarse, sale con la fase adecuada, igual a la de la onda inicial, sumndose constructivamente a sta. Cada reflexin produce una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por lo cual el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilacin estacionarios, como comprobaremos luego. Luego en la gua terica 15 y en el ejercicio 3 comprobaremos que una onda estacionaria puede representarse por la suma de dos ondas armnicas, de propagacin, viajando en sentidos opuestos, es decir,

    ( ) ( ) ( )++= tkxAtkxAtxTotal sen2sen2, obtenida a partir de sumar una onda de propagacin hacia la derecha ms otra hacia la izquierda (desfasada en al reflejarse). Por el momento comenzaremos estudiando a las ondas estacionarias en base al concepto ya aprendido de modo normal de vibracin del sistema (frecuencia de resonancia). Modo normal: Supondremos que la cuerda oscila en un modo normal, por consiguiente, todas las partes de la cuerda oscilan con movimiento armnico, con la misma frecuencia y fase , por lo cual, cada punto de la cuerda oscila con su amplitud propia (caracterstica del modo), pero todos ellos evolucionan armnicamente con la misma dependencia temporal, del tipo,

    ( )cos t + , La amplitud con que vibra cada punto de la cuerda, depende de la coordenada del punto estudiado, cada punto oscila con una amplitud distinta caracterstica del modo de oscilacin. Por ejemplo, un punto que se halla en un nodo de vibracin, permanece siempre quieto, por lo cual su amplitud de oscilacin resulta cero, mientras que un punto que se halla en una cresta, oscila con el mximo de amplitud. Definimos una funcin , la