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CALCULO VECTORIAL

ING. MECATRONICA 2011

Unidad 1 Algebra de vectores.1.1 Definicin de un vector en R2, R3 y su Interpretacin geomtrica.

Un vector es un objeto matemtico con direccin y magnitud. La palabra vectores se n 1 refiere a los elementos de cualquier R . En R = R el vector es un punto, que llamamos 2 3 escalar. En R el vector es de la forma y en R el vector es de la forma

En R :

2

la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R , entonces

2

2 el producto escalar se define por: sea R y a un vector en R , entonces:

Significado geomtrico de la suma de vectores y el producto escalar en R . (fig. 1.1)

2

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(a 1 + b 1, a 2 + b 2) a

b

Fig.1.1

Observemos que si vectores

,

entonces la

suma

de

los

El cual se obtiene trasladando la representacin de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo. (fig. 1.2)

a

a

Fig.1.2

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Para el producto escalar a, se puede observa que si se alarga o se acorta el vector a por un factor . Si se invierte la direccin del vector a. En R :3 La suma de vectores se define por: sean a, b R , entonces 3

3 El producto escalar se define por: sea R y a un vector en R , entonces

Definicin: Sean a y b vectores en n R , tal que . El producto interno de a y b representado por a b , es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero. Definicin: Sea un vector en R , la norma (magnitud o longitud) del vector, representada de la forma a a , se define como la raz cuadrada no negativa de Esto es:n

2 2 a a a a a 12a 2a 3 a ...

2 n

1.2 Introduccin a los campos escalares y vectoriales.Campo: Si se asigna a cada punto del espacio el valor de una funcin unvoca de punto, se dice que este espacio, como base o soporte de dicha magnitud, es un campo. (fig. 1.3) Si la magnitud es escalar hablamos de un campo escalar. Si la magnitud es vectorial hablamos de un campo vectorial. En general tanto los campos escalares como los vectoriales son funcin del punto y del tiempo. Cuando los cambios no dependen del tiempo se dice que son estticos o estacionarios.

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Los campos escalares se visualizan mediante las superficies de nivel o iso -escalares, que son el lugar geomtrico de los puntos del espacio para los cuales la funcin escalar toma el mismo valor, por ejemplo:

Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que segn la magnitud fsica que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por:

Las isbaras se definen por:

fig. 1.3 Los campos vectoriales representan magnitudes de carcter vectorial: stos cabe citar el campo de velocidades en un fluido: Entre

De manera anloga a los campos escalares, se dice que un campo vectorial es estacionario cuando la magnitud caracterstica del mismo no es funcin del tiempo, como por ejemplo el gravitatorio: g y el electrosttico: Entre los campos vectoriales son especialmente importantes los campos de fuerzas. Se dice que en una cierta regin del espacio hay un campo de fuerzas cuando en todo punto de la misma hay una fuerza que toma un valor diferente para cada punto y en cada instante de tiempo. A partir de ahora nos referiremos a los campos estticos de fuerzas.

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1.3 La geometra de las operaciones vectoriales.

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en comn, se trazan rectas paralelas a los vectores obtenindose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Resta de vectores

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Para restar dos vectores libres

y

se suma

con el opuesto de

.

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Producto de un nmero por un vector El producto de un nmero k por un vector De igual direccin que el vector Del mismo sentido que el vector De sentido contrario del vector De mdulo . si k es positivo. si k es negativo. es otro vector:

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

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1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades.Igualdad Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes. Definicin: Consideremos los . vectores Decimos . que si y slo y si

EJEMPLO 1

Sea

y

, entonces

.

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Suma y resta La suma y resta se hace componente a componente Definicin Consideremos los . vectores y

EJEMPLO

Sea

, entonces

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Multiplicacin por un escalar Un escalamiento de un vector, por un factor por el mismo nmero real Definicin Consideremos el vector entonces y el escalar , , se logra multiplicando cada componente

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EJEMPLO

Sea

entonces

1.5 Descomposicin vectorial en 3 dimensiones.

Anlogamente, los elementos se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares

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Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en y en . La direccin de la flecha indica la direccin del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio Si las coordenadas de A y B son: componentes del vector del origen. Las coordenadas o

son las coordenadas del extremo menos las coordenadas

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Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar el el tringulo de vrtices

1.6 Ecuaciones de rectas y planos.Para determinar un plano se necesitan un punto y un vector

normal al plano. La ecuacin del plano viene entonces dada por la relacin:

Donde Se pueden considerar varios casos particulares segn que uno o dos de los coeficientes de la ecuacin sean nulos.

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a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuacin toma la forma:

Siendo el vector director normal al plano de la forma:

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuacin general toma la forma:

Siendo el vector director normal al plano de la forma:

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuacin general toma la forma:

Siendo el vector director normal al plano de la forma:

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d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuacin general toma la forma:

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuacin general toma la forma:

Esta ecuacin puede considerarse tambin como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY.

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso y la ecuacin general toma la forma:

g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso y la ecuacin general toma la forma:

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1.7 Aplicaciones fsicas y geomtricasAplicaciones fsicas Trabajo: Si con respecto a la posicin

Aplicaciones geomtricas: Clculo de la proyeccin de un vector sobre otro:

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Clculo del ngulo que forman dos vectores:

Saber si dos vectores son perpendiculares:

Producto vectorial: Aplicaciones fsicas: Momento angular o momento cintico:

Momento de la fuerza:

Velocidad tangencial con respecto a la velocidad angular en un movimiento circular:

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Aplicaciones geomtricas Hallar un vector perpendicular a otros dos. Cuando se quiere hallar un vector que es perpendicular a otros dos al mismo tiempo, un modo muy sencillo de hacerlo utiliza el producto vectorial. Dado que en 3 dimensiones slo existe una recta perpendicular a dos vectores no paralelos al mismo tiempo, si hallamos el vector unitario del producto vectorial de los dos vectores, hallaremos el vector unitario de esa direccin. Por ltimo, basta con multiplicar el vector unitario por el mdulo del vector que pretendemos calcular para obtener las coordenadas del vector. - Hallar el rea del paralelogramo delimitado por dos vectores:

Podemos observar cmo la base del paralelogramo se corresponde con el mdulo de un vector y la altura con el mdulo del otro vector multiplicado por el valor absoluto del seno del ngulo que forman, de tal manera que conociendo el rea de un