Algebra Divertida - [PDF Document]

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en lasolucin de todo el problema, hay un cierto descubrimiento. Elproblema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a pruebala curiosidad que induce a poner en juego las facultadesinventivas, si se resuelve por propios medios, se puedeexperimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo.Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, puedendeterminar una aficin para el trabajo intelectual e imprimirle unahuella imperecedera en la mente y en el carcter. Por ello, unprofesor de matemticas tiene una gran oportunidad. Si dedica sutiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, mataren ellos el inters, impedir su desarrollo intelectual y acabardesaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone aprueba la curiosidad de sus alumnos plantendoles problemasadecuados a sus conocimientos, y los ayuda a resolverlos por mediode preguntas estimulantes, podr despertarles el gusto por elpensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos paraello. Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado dematemticas tiene tambin una particular oportunidad. Dichaoportunidad se pierde, claro est, si ve las matemticas como unamateria de la que tiene que presentar un examen final y de la cualno volver a ocuparse una vez pasado ste. Puede descubrir, sinembargo, que un problema de matemticas puede ser tanto o msdivertido que un crucigrama. Habiendo degustado el placer de lasmatemticas, ya no las olvidar fcilmente, presentndose entonces unabuena oportunidad para que las matemticas adquieran un sentido paral, ya sean como un pasatiempo o como herramienta de su profesin, osu profesin misma o la ambicin de su vida.

G. POLYA

INTRODUCCINLGEBRA es la rama de la Matemtica que estudia lacantidad considerada del modo ms general posible. El concepto de lacantidad en lgebra es mucho ms amplio que en Aritmtica. EnAritmtica las cantidades se representan por nmeros y stos expresanvalores determinados. As, 20 expresa un solo valor: veinte; paraexpresar un valor mayor o menor que ste habr que escribir un nmerodistinto de 20. En lgebra, para lograr la generalizacin, lascantidades se representan por medio de letras, las cuales puedenrepresentar todos los valores. As, a representa el valor quenosotros le asignemos, y por lo tanto puede representar 20 o ms de20 o menos de 20, a nuestra eleccin, aunque conviene advertir quecuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado,esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valordistinto del que le hemos asignado. Los smbolos usados en lgebrapara representar las cantidades son los nmeros y las letras. Losnmeros se emplean para representar cantidades conocidas ydeterminadas. Las letras se emplean para representar toda clase decantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Una misma letra puederepresentar distintos valores diferencindolos por medio de comillas( a, a,a) o tambin por medio de subndices ( X1, X2, X3 ). Con lascantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden hacerlas mismas operaciones que con los nmeros aritmticos.

1) Escribir la suma de A y B. 2) Compro X libros por Bs m. Cuntome cost cada libro?. 3) Tena Bs 9 y gast Bs X. Cunto me queda? 4)Escriba la diferencia entre m y n. 5) Deba X bolvares y pagu 6.Cunto debo?

A+B Bs (m / X ) Bs ( 9 X ) mn Bs ( X 6 ) ( X m ) km. X+2

6) De una jornada de X kilmetros se han recorrido m kilmetros.Cunto falta por recorrer?

7) Siendo X un nmero entero, escriba los dos nmeros enterosconsecutivos posteriores.

X + 1,

8) Siendo X un nmero entero, escriba los dos nmeros enterosconsecutivos anteriores.

X – 1, X 2

9) Siendo Y un nmero entero par, escriba los tres nmeros paresconsecutivos posteriores.

Y + 2, Y + 4, Y + 6 Bs ( A + X + m ) Bs ( X + 9 Y )

10) Jaimito tena Bs A, cobr Bs X y le regalaron Bs m. Cuntotiene Jaimito? 11) Arturo tena Bs X, gan Bs 9 y pag Bs Y Cuntotiene Artturo?

12) Al vender un carro en Bs X gan Bs 300.000 Cunto me cost elcarro?

Bs ( X 300.000)

13) Si han transcurrido X das de un ao. Cuntos das faltan portranscurrir?

( 365 X ) das.

14) Si un pantaln cuesta $ b Cunto costarn 8 pantalones; 15pantalones; X pantalones.?

Ejemplos:ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

$ 8b; $ 15b; $ XbING. JOSE L. ALBORNOZ S,

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Para que el alumno tenga una visin mas profunda del lgebra mepermito recomendar la lectura y anlisis del captulo PRELIMINARES (pgina 5 hasta pgina 39 ) del reconocido libro LGEBRA DE AURELIOBALDOR, de donde han sido extrados los enunciados de los problemasque se resuelven en esta gua para estudiantes.

Para determinar cul es el capital inicial del comerciante noqueda ms que resolver la ltima ecuacin. ( Capital inicial X = 1.120,oo)

LA VIDA DE DIOFANTOLa vida ha conservado pocos rasgos biogrficosde Diofanto, notable matemtico de la antigedad. Todo lo que seconoce acerca de l ha sido tomado de la dedicatoria que figura ensu sepulcro, inscripcin compuesta en forma de ejercicio matemtico.Reproducimos esta inscripcin: En la lengua verncula:CAMINANTE! AQUFUERON SEPULTADOS LOS RESTOS DE DIOFANTO. Y LOS NMEROS PUEDENMOSTRAR, OH, MILAGRO!, CUN LARGA FUE SU VIDA. CUYA SEXTA PARTECONSTITUY SU HERMOSA INFANCIA. HABA TRANSCURRIDO ADEMS UNA DUODCIMAPARTE DE SU VIDA, CUANDO DE VELLO CUBRISE SU BARBILLA Y LA SPTIMAPARTE DE SU EXISTENCIA TRANSCURRI EN UN MATRIMONIO ESTRIL. PAS UNQUINQUENIO MS Y LE HIZO DICHOSO EL NACIMIENTO DE SU PRECIOSOPRIMOGNITO. QUE ENTREG SU CUERPO, SU HERMOSA EXISTENCIA, A LATIERRA, QUE DUR TAN SOLO LA MITAD DE LA DE SU PADRE Y EN PROFUNDAPENA DESCENDI A LA SEPULTURA, HABIENDO SOBREVIVIDO CUATRO AOS ALDECESO DE SU HIJO.

EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONESEl idioma del lgebra es laecuacin. Para resolver un problema referente a nmeros o relacionesabstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, delingls u otra lengua al idioma algebraico, escribi el gran Newton ensu manual de lgebra titulado: Aritmtica Universal.. Isaac Newtonmostr con ejemplos cmo deba efectuarse la traduccin. He aqu uno deellos: En la lengua VernculaUn comerciante tena una determinadasuma de dinero El primer ao se gast 100 libras Aument el resto conun tercio de ste Al ao siguiente volvi a gastar 100 libras Y aumentla suma restante en un tercio de ella Llegando as su capital a tresmedios del inicial

En el idioma del lgebra:X

En el idioma del lgebra

X 6 X 12 X 7 5

X 100 (X-100) + X-100 3 4X 400 34X 700 + 3

= 4X 400 3

– 100 = 4X – 700 34X 700 3

X 2

= 16X – 2.800 9

316X – 2.800 9 = 3X 2

X=X+ X +X+5+X+4 6 12 7 2

Dime cuntos aos haba vivido Diofanto cuando le lleg la muerte.-3ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

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Al resolver la ecuacin y hallar el valor de la incgnita, X = 84,conocemos los siguientes datos biogrficos de Diofanto: se cas a los21 aos, fue padre a los 38, perdi a su hijo a los 80 y muri a los84.

Se recomienda a los estudiantes que en todos los ejercicios quese propongan resolver, sigan los cinco (5) pasos indicados y de esamanera notarn lo til que resultan. Es bueno recordar que existentres mtodos para resolver un sistema de ecuaciones, a saber, elmtodo de igualacin, el mtodo de sustitucin (utilizado en elejercicio # 1 de este trabajo) y el mtodo de reduccin (utilizado enel ejercicio # 2). Para aclarar cualquier duda sobre sistemas deecuaciones consulte las pginas 321, 322, 323, 340 y 341 del lgebrade Baldor. Con la hoja de clculo EXCEL podemos resolver cualquiersistema de ecuaciones utilizando una de sus herramientas llamadaSOLVER.

Para resolver cualquier problema con las herramientas del lgebrase recomienda seguir los siguientes pasos:1.- Identificar elproblema ( Tener una idea precisa de lo que debemos o queremosresolver ). 2.- Identificar las incgnitas ( Asignar letras a lascantidades desconocidas ). 3.- Expresar el problema en lenguajealgebraico ( Construir ecuaciones utilizando nmeros para lascantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Lasletras sern las indicadas en el paso anterior ). 4.- Resolver elproblema ( Resolver la ecuacin o sistema de ecuaciones ). 5.-Comprobar los resultados ( introducir los resultados obtenidos enlas ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen). Partiendo dela premisa que el inters primordial de este trabajo es el de ayudarmetodolgicamente a los estudiantes, se har nfasis especial en elsegundo y tercer paso (Identificar las incgnitas y Expresar elproblema en lenguaje algebraico) y se indicarn los resultados,dejando la posibilidad de qu e el usuario practique la secuencia deresolucin en algunos ejercicios. De la misma forma, algunas veces,se dejarn en blanco los pasos 1 y 5 para que el estudiante seejercite. Lo que se quiere transmitir es que la esencia pararesolver un problema en lgebra est representada en identificar lasincgnitas y saber expresarlo en lenguaje algebraico. La herramientapara resolverlo puede ser manual o en computadora (el resultado serel mismo) ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -5-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

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EJERCICIO # 1La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede almenor en 8. Hallar los nmeros.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinardos nmeros conociendo el

EJERCICIO # 2La suma de dos nmeros es 540 y su diferencia es 32.Hallar los nmeros.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos nmerosconociendo el

producto de su suma y la diferencia de valor entreambos.IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

producto de su suma y su diferencia.IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

X = Nmero menor. Y = Nmero mayor.La suma de dos nmeros es540:

X = Nmero mayor. Y = Nmero menor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La suma de dos nmeros es 106:

X + Y = 106 Y=X+8

(1)

X + Y = 540 X Y = 32

(1)

El nmero mayor excede al menor en 8:RESOLVER EL PROBLEMA:

La diferencia de estos mismos nmeros es 32: (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

(2)

Sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (1) X + (X+8) = 106 2X= 106 8 ; 2X = 98 ; X = 98 / 2 ; X + X + 8 = 106

Sumando estas dos ecuaciones: X + Y = 540 X Y = 32 2X = 572 X =572 / 2 Si X = 286 y X + Y = 540 286 + Y = 540 ; Y = 540 286 ;;

X = 49 Y = 57

X = 286

Si X = 49

y Y=X+8

;

Y = 49 + 8

Y = 254

Los dos nmeros buscados son 57 y 49COMPROBAR LOS RESULTADOS: Lasuma de dos nmeros es 106,

Los nmeros buscados son 286 y 254COMPROBAR LOS RESULTADOS: Lasuma de dos nmeros es 540,

(49+57=106). El nmero mayor excede al menor en 8, (57=49+8).

(286+254 = 540) y su diferencia es 32, (286-254 = 32) -7-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

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EJERCICIO # 3Entre A y B tienen $ 1.154 y B tiene 506 menos queA. Cuntos $ tiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar lacantidad de $ que tienen dos

A + B = 1.154 – A + B = – 506 2B = 648 B = 648 / 2 ; B = 324 ; ycomo A + B = 1.154 ; A = 830

A + 324 = 1.154

A = 1.154 324

personas conociendo la cantidad total y la diferencia de las doscantidades individuales.IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS: Entre A y B tienen $ 1.154, (830 + 324=

1.154) y B tiene 506 menos que A. (324 = 830 506). A tiene $830y B tiene $324

A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tieneB.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EJERCICIO # 4Dividir el nmero 106 en dos partes, tales que lamayor exceda a la menor en 24.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICARLAS INCGNITAS:

Entre A y B tienen $ 1.154: B tiene $ 506 menos que A:RESOLVEREL PROBLEMA:

A + B = 1.154 B = A – 506

(1) (2)

Sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (1) A + (A – 506) =1.154 ; 2A = 1.154 + 506 A = 1.660 / 2 Si A = 830 y B = A 506 B =830 506 : ;

X = Parte mayor. Y = Parte menor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = 830 B = 324

Dividir el nmero 106 en dos partes: Tal que la mayor exceda a lamenor en 24:RESOLVER EL PROBLEMA:

X + Y = 106 X = Y + 24

(1) (2)

Tambin se puede resolver con un enfoque similar al ejercicioanterior, para lo cual podemos colocar en el lado izquierdo de laigualdad de la segunda ecuacin a la variable A y despus sumar lasdos ecuaciones. Como B = A 506 ; – A + B = – 506ING. JOSE L.ALBORNOZ S,

Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dosecuaciones son muy parecidas a la de los ejercicios 1 y 2. Utilicecualquiera de los dos mtodos indicados en dichos ejercicios.

X = 65-9-

;

Y = 41ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

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Los dos nmeros que cumplen con las condiciones del problema son65 y 41COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 6Repartir $ 1.080 entre A y B de modo que A reciba1.014 ms que B.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

Tome las dos ecuaciones de este problema y sustituya los valoresX=65 , Y=41 . Verifique que las igualdades se cumplen.

EJERCICIO # 5A tiene 14 aos menos que B y ambas edades suman 56aos. Qu edad tiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICARLAS INCGNITAS:

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Cantidad de $ que le tocan a A. B = Cantidad de $ que letocan a B.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Repartir $ 1.080 entre A y B:

A + B = 1.080 A = B + 1.014

(1) (2)

A = Edad de A. B = Edad de B.

De modo que A reciba 1.014 ms que B:RESOLVER EL PROBL EMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A tiene 14 aos menos que B: Ambas edades suman 56 aos:RESOLVEREL PROBLEMA:

A = B – 14 A + B = 56

Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dosecuaciones son muy parecidas a la del ejercicio 3. Utilicecualquiera de los dos mtodos indicados en dicho ejercicio. (1)(2)

A = 1.047

;

B = 33

A recibir $ 1.047 y B recibir $33COMPROBAR LOS RESULTADOS: Leael enunciado del ejercicio y verifique

Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dosecuaciones son muy parecidas a la de los ejercicios 1, 2 y 3.Utilice cualquiera de los dos mtodos indicados en dichosejercicios.

si con estos valores se cumple lo indicado.

A = 21

;

B = 35

EJERCICIO # 7Hallar dos nmeros enteros consecutivos cuya sumasea 103.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A tiene 21 aos y B tiene 35.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Tome las dos ecuaciones de este problema y sustituya los valoresA=21 , B=35 . Verifique que las igualdades se cumplen. ING. JOSE L.ALBORNOZ S, -11-

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IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Cualquier nmero entero. (X+1) = Nmero consecutivo a X.

RESOLVER EL PROBLEMA:

X + X + 1 + X + 2= 204 ; 3X + 3= 204 ; X= 201 / 3

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = 67 ; (X + 1) = 68 ; (X + 2) = 69Los tres nmeros buscados son67, 68 y 69 (1)COMPROBAR LOS RESULTADOS: 67 + 68 + 69 = 204

Hallar dos nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 103:

X + (X+1) = 103RESOLVER EL PROBLEMA:

X + X + 1 = 103

;

2X = 103 1

;

X = 102 / 2

EJERCICIO # 9Hallar cuatro nmeros enteros consecutivos cuya sumasea 74.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = 51

;

(X + 1) = 52

Los dos nmeros buscados son 51 y 52COMPROBAR LOS RESULTADOS: 51+ 52 = 103.

EJERCICIO # 8Hallar tres nmeros enteros consecutivos cuya sumasea 204.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Cualquier nmero entero. (X+1) = Nmero consecutivo a X. (X+2)= Nmero consecutivo a X + 1. (X+3) = Nmero consecutivo a X + 2.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hallar cuatro nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 74:

X = Cualquier nmero entero. (X+1) = Nmero consecutivo a X. (X+2)= Nmero consecutivo a X + 1.

X + (X+1) + (X+2) + (X+3) = 74RESOLVER EL PROBLEMA:

(1)

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Trate de resolverlo atendiendo los pasos de los tres ejerciciosanteriores.

X = 17

;

(X + 1) = 18

Hallar tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 204:

(X + 2) = 19(1) -13-

;

(X + 3) = 20-14-

X + (X+1) + (X+2) = 204ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Los cuatro nmeros buscados son 17, 18, 19 y 20ING. JOSE L.ALBORNOZ S,

COMPROBAR LOS RESULTADOS: 17 + 18 + 19 + 20 = 74

IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 10Hallar dos nmeros enteros pares consecutivos cuyasuma sea 194.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

A = Costo del caballo. B = Costo del coche. C = Costo de losarreos.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Pagu $ 325 por un caballo, un coche y sus arreos:

X = Cualquier nmero entero par (X+2) = Nmero par consecutivo aX.

A + B + C = 325 A = B + 80 C = B – 25

(1)

El caballo cost $ 80 ms que el coche:

(2)

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Los arreos costaron $ 25 menos que el coche:RESOLVER ELPROBLEMA:

Hallar dos nmeros enteros pares consecutivos cuya suma sea 194:X + (X+2) = 194 (1)RESOLVER EL PROBLEMA:

(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) (B + 80) + B + (B 25) = 325 ; 3B =270 Como A = B + 80 ; A = 90 + 80 ; C = 90 25 ; 3B + 80 -25 = 325 ;B = 270 / 3 ;

Utilice los mismos pasos de los tres ejercicios anteriores

X = 96

;

(X + 2) = 98

B = 90

Los nmeros buscados son 96 y 98COMPROBAR LOS RESULTADOS: 96 + 98= 194.

A = 170 C = 65

Como C = B 25 ;

EJERCICIO # 11Pagu $ 325 por un caballo, un coche y sus arreos.El caballo cost $80 ms que el coche y los arreos $25 menos que elcoche. Hallar los precios respectivos.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

El caballo cost $170, el coche $90 y los arreos $65 Es buenorecordar que existen dos mtodos para resolver este sistema deecuaciones, a saber, el mtodo de sustitucin (utilizado en elejercicio # 1 de este trabajo) y el mtodo de reduccin (utilizado enel ejercicio # 2). Utilice el que a su criterio le parezca ms fcilatendiendo a la forma como est expresado algebraicamente elproblema.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

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EJERCICIO # 12Pagu $ 87 por un libro, un traje y un sombrero. Elsombrero cost $ 5 ms que el libro y $ 20 menos que el traje. Hallarlos precios respectivos.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

Como

C = B 20

;

24 = B 20 ;

B = 44

El libro cost $19, el traje $44 y el sombrero $24COMPROBAR LOSRESULTADOS:

EJERCICIO # 13La suma de tres nmeros es 200. El mayor excede aldel medio en 32 y al menor en 65. Hallar los nmeros.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Costo del libro. B = Costo del traje. C = Costo delsombrero.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Pagu $ 87 por un libro, un traje y un sombrero: El sombrero cost$ 5 ms que el libro: El sombrero cost $ 20 menos que eltraje:RESOLVER EL PROBLEMA:

A + B + C = 87 C=A+5 C = B – 20

(1) (2) (3)

X = Nmero menor. Y = Nmero del medio. Z = Nmero mayor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La suma de tres nmeros es 200: El mayor excede al del medio en32: El mayor excede al menor en 65:RESOLVER EL PROBLEMA:

X + Y + Z = 200 Z = Y + 32 Z = X + 65

(1) (2) (3)

Utilizando el mtodo de la reduccin; sumando las tres ecuaciones,teniendo cuidado de que las incgnitas estn ubicadas del mismo ladode la igualdad: A + B + C = 87 -A +C= 5 – B + C = – 20 3C = 72 C =72 / 3 Como C=A+5 ; 24 = A + 5 ; ;

Utilice el mtodo de la reduccin; sumando las tres ecuaciones,teniendo cuidado de que las incgnitas estn ubicadas del mismo ladode la igualdad:

C = 24-17-

X = 34

;

Y = 67

;

Z = 99-18-

A = 19ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Los nmeros buscados son 34, 67 y 99ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Los Cestos tienen 200, 190 y 185 manzanasrespectivamente.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 14Tres cestos contienen 575 manzanas. El primercesto tiene 10 manzanas ms que el segundo y 15 ms que el tercero.Cuntas manzanas hay en cada cesto?IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 15Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menores 15 unidades menor que la del medio y 70 unidades menor que lamayor.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Manzanas que contiene el 1er cesto. B = Manzanas quecontiene el 2do cesto. C = Manzanas que contiene el 3ercesto.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = Nmero que representa la parte mayor. B = Nro. que representala parte del medio. C = Nmero que representa la partemenor.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Tres cestos contienen 575 manzanas :

A + B + C = 575 A = B + 10 A = C + 15

(1)

Dividir 454 en tres partes ( la suma de tres partes debe serigual a 454): A + B + C = 454 (1) La parte menor es 15 unidadesmenor que la del medio:

El primer cesto tiene 10 manzanas ms que el segundo:

(2)

C = B – 15 C = A – 70

(2)

El primer cesto tiene 15 manzanas ms que el tercero:RESOLVER ELPROBLEMA:

La parte menor es 70 unidades menor que la mayor: (3)RESOLVER ELPROBLEMA:

(3)

Utilice cualquiera de los tres mtodos, observe bien las tresecuaciones y trate de determinar cul es de ms fcil aplicacin. Enestos casos es ms recomendable el mtodo de reduccin.

A = 200

;

B = 190

;

C = 185-19-

A = 193

;

B = 138

;

C = 123-20-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Las tres partes buscadas son 193, 138 y 123COMPROBAR LOSRESULTADOS:

EJERCICIO # 17La suma de las edades de tres personas es 88 aos.La mayor tiene 20 aos ms que la menor y la del medio 18 aos menosque la mayor. Hallar las edades respectivas.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 16Repartir 310 bolvares entre tres personas de modoque la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 ms que latercera.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Bs que le tocan a la 1ra persona. Y = Bs que le tocan a la2da persona. Z = Bs que le tocan a la 3ra persona.

X = Edad de la persona mayor. Y = Edad de la persona del medio.Z = Edad de la persona menor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La suma de las edades de tres personas es 88 aos:

X + Y + Z = 88 X = Z + 20 Y = X – 18

(1)

Repartir 310 bolvares entre tres personas:

X + Y + Z = 310 Y = X – 20

(1)

La mayor tiene 20 aos ms que la menor:

(2)

La segunda persona recibe 20 menos que la primera:

(2)

La del medio tiene 18 aos menos que la mayor:

(3)

La segunda persona recibe 40 ms que la tercera:RESOLVER ELPROBLEMA:

Y = Z + 40

(3)

RESOLVER EL PROBLEMA:

Utilice el mtodo de la reduccin; sumando las tres ecuaciones,teniendo cuidado de que las incgnitas estn ubicadas del mismo ladode la igualdad:

Este ejercicio se resuelva en forma muy similar al ejercicio #12.

X = 42

;

Y = 24

;

Z = 22

X = 130

;

Y = 110

;

Z = 70

Las tres edades son 42, 24 y 22 respectivamenteCOMPROBAR LOSRESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Los Bs 310 se repartirn en 130, 110 y 70 bolvaresrespectivamente . ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -21-

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EJERCICIO # 18Dividir 642 en dos partes tales que una exceda ala otra en 36.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

X = Edad de Francisco. Y = Edad de Antonio.EXPRESAR EL PROBLEMAEN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de Francisco triplica la de Antonio: Ambos suman 40aos:X = Parte mayor. Y = Parte menor.

X = 3Y X + Y = 40

(1) (2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Sustituyendo (1) en (2) (1) 3Y + Y = 40 ; 4Y = 40 ; Y = 40 /4

Dividir 642 en dos partes:

X + Y = 642 X = Y + 36

Tales que una exceda a la otra en 36:RESOLVER EL PROBLEMA:

Y = 10(2) Si Y = 10 y X = 3Y

X = 30

Este ejercicio se resuelva en forma muy similar al ejercicio #1.

La edad de Francisco es 30 y la de Antonio 10COMPROBAR LOSRESULTADOS:

X = 339

;

Y = 303

Las dos partes son 339 y 303COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 20Se compr un caballo y sus arreos por $ 600. Si elcaballo cost 4 veces el precio de los arreos. Cunto cost el caballoy cunto los arreos?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

EJERCICIO # 19La edad de Francisco triplica la de Antonio yambos suman 40 aos. Encuentre las edades de ambos.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

X = Costo del caballo. Y = Costo de los arreos.ING. JOSE L.ALBORNOZ S,

-23-

-24-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

RESOLVER EL PROBLEMA

Se compr un caballo y sus arreos por $ 600:

Utilice el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior.(1)

X + Y = 600 X = 4Y

X = 32

;

Y = 16

El caballo cost 4 veces lo de los arreos:

(2)

En el 1er piso hay 32 habitaciones y 16 en el 2doCOMPROBAR LOSRESULTADOS:

RESOLVER EL PROBLEMA

Utilice el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior.

X = 480

;

Y = 120

EJERCICIO # 22Repartir $ 300 entre A, B y C de modo que la partede B sea doble que la de A y la de C el triple que la deA.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

El caballo cost $ 480 y los arreos $ 120COMPROBAR LOSRESULTADOS:

EJERCICIO # 21En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si lasdel 2do piso son la mitad que las del 1ro. Cuntas habitaciones hayen cada piso?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

A = Cantidad de $ que le tocan a A. B = Cantidad de $ que letocan a B. C = Cantidad de $ que le tocan a C.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Repartir $ 300 entre A, B y C: La parte de B sea doble que la deA: La parte de C sea el triple de la de A:RESOLVER EL PROBLEMA:

X = Habitaciones del primer piso. Y = Habitaciones del segundopiso.

A + B + C = 300 B = 2A C = 3A

(1) (2) (3)

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones:

X + Y = 48 Y = X/2

(1)

Las del 2do piso son la mitad que las del 1ro:

Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1) y notarcomo se simplifica el problema (A+2A+3A=300).

(2) -25-

A = 50

;

B = 100

;

C = 150-26-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 24El mayor de dos nmeros es 6 veces el menor y ambosnmeros suman 147. Hallar los nmeros.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 23Repartir 133 manzanas entre A, B y C de modo quela parte de A sea la mitad que la de B y la de C el doble que la deB.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero mayor. Y = Nmero menor.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = Cantidad de manzanas que le tocan a A B = Cantidad demanzanas que le tocan a B C = Cantidad de manzanas que le tocan aCEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

El mayor de dos nmeros es 6 veces el menor:

X = 6Y

(1)

Ambos nmeros suman 147: Repartir 133 manzanas entre A, B yC:

X + Y = 147

(2)

A + B + C = 133 A = B/2 C = 2B

(1)

RESOLVER EL PROBLEMA:

La parte de A sea la mitad que la de B:

Sustituya la ecuacin (1) en la ecuacin (2) y notar como sesimplifica el problema: (2)

X = 126COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

Y = 21

La parte de C sea el doble que la de B:

(3)

RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1) y notarcomo se simplifica el problema:

EJERCICIO # 25Repartir $ 140 entre A, B y C de modo que la partede B sea la mitad que la de A y un cuarto que la de C.IDENTIFICAREL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A = 19

;

B = 38

;

C = 76

COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-27-

-28-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = Cantidad de $ que le tocan a A. B = Cantidad de $ que letocan a B. C = Cantidad de $ que le tocan a C.EXPRESAR EL PROBLEMAEN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Dividir el nmero 850 en tres partes:

A + B + C = 850 A = B/4 A = C/5

(1) (2) (3)

La primera parte sea el cuarto de la segunda: La primera partesea el quinto de la tercera:

Repartir $ 140 entre A, B y C: La parte de B sea la mitad que lade A:

A + B + C = 140 B = A/2 B = C/4

(1) (2) (3)

RESOLVER EL PROBLEMA:

La parte de B sea un cuarto que la de C:

Despeje B y C en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente ydespus sustityalas en la ecuacin (1).

A = 85

;

B = 340

;

C = 425

RESOLVER EL PROBLEMA:

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Despeje A y C en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente ydespus sustityalas en la ecuacin (1).

A = 40

;

B = 20

;

C = 80

EJERCICIO # 27El doble de un nmero equivale al nmero aumentadoen 111. Hallar el nmero.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 26Dividir el nmero 850 en tres partes de modo que laprimera sea el cuarto de la segunda y el quinto de latercera.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero buscado.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

El doble de un nmero:

2X 2X = X + 111ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A = Primera parte. B = Segunda parte. C = Tercera parte.ING.JOSE L. ALBORNOZ S,

Equivale al nmero aumentado en 111:

-29-

-30-

RESOLVER EL PROBLEMA:

2X X = 111COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

X = 111

EJERCICIO # 29Si un nmero se multiplica por 8 el resultado es elnmero aumentado en 21. Hallar el nmero.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 28La edad de Mara es el triple de la de Rosa msquince aos y ambas edades suman 59 aos. Hallar ambasedades.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero buscado.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Si un nmero se multiplica por 8 : El resultado es el nmeroaumentado en 21:

8X 8X = X + 21

M = Edad de Mara. R = Edad de Rosa.

RESOLVER EL PROBLEMA: Con un despeje sencillo de 8X= X + 21se

obtiene el resultado siguiente:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de Mara es el triple de la de Rosa ms quince aos:

X=3(1)COMPROBAR LOS RESULTADOS:

M = 3R + 15Ambas edades suman 59 aos:

EJERCICIO # 30M + R = 59(2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

Si al triple de mi edad aado 7 aos, tendra 100 aos. Qu edadtengo?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Sustituya la ecuacin (1) en la ecuacin (2):

M = 48COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

R = 11

X = Mi edad.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-31-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: ING. JOSE L.ALBORNOZ S,

-32-

Si al triple de mi edad aado 7 aos: Tendra 100 aos:RESOLVER ELPROBLEMA:

3X + 7 3X + 7 = 100

A = 36

;

B = 12

;

C = 48

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

3X = 100 7COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

X = 93 / 3

;

X = 31

EJERCICIO # 32La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, lade Juan el triple de la de Enrique y la de Gustavo el doble de lade Juan. Si las cuatro edades suman 132 aos. Qu edad tiene cadauno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 31Dividir 96 en tres partes tales que la primera seael triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primeray la segunda.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

A = Primera parte. B = Segunda parte. C = Tercera parte.

E = Edad de Enrique. P = Edad de Pedro. J = Edad de Juan. G =Edad de Gustavo.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro: La edad de Juanes el triple de la de Enrique:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

E = P/2 J = 3E G = 2J

(1) (2) (3) (4)

Dividir 96 en tres partes:

A + B + C = 96 A = 3B C=A+B

(1) (2)

La edad de Gustavo es el doble de la de Juan: Las cuatro edadessuman 132 aos:RESOLVER EL PROBLEMA:

La primera parte sea el triple de la segunda:

E + P + J + G = 132

La tercera parte sea igual a la suma de la primera y la segunda:(3)RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya la ecuacin (3) en la ecuacin (1) y en la ecuacinresultante introduzca la ecuacin (2): ING. JOSE L. ALBORNOZ S,-33-

Utilice el mtodo de sustitucin, para lo cual se recomienda quecoloque todas las ecuaciones con las incgnitas del lado izquierdodel signo de igualdad y mantenga el orden de secuencia de lasletras (E,P,J,G): ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -34-

E P/2 = 0 – 3E + J = 0 – 2J + G = 0 E + P + J + G = 132 Simultiplica la primera ecuacin por 2 y posteriormente se suman lascuatro ecuaciones: 2EP = 0 – 3E + J = 0 – 2J + G = 0 E + P + J + G= 132 0 + 0 + 0 + 2G =132 2G = 132 Como Como Como ; G = 132 / 2 ; ;; ; 66 = 2J ;

T = Costo del traje. B = Costo del bastn. S = Costo delsombreroEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Se ha comprado un traje, un bastn y un sombrero por $259:

T + B + S = 259 T = 8S

(1)

El traje cost 8 veces lo que el sombrero:

(2)

G = 66 J = 33 E = 11 P = 22

El bastn cost $30 menos que el traje:RESOLVER EL PROBLEMA:

B = T 30

(3)

G = 2J J = 3E E = P/2

33 = 3E ; 11 = P/2 ;

Despeje S en (2) y sustityala en (1) y posteriormente sustituy a(3) en la ecuacin resultante.

T = 136

;

B = 106

;

S = 17

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 33Se ha comprado un traje, un bastn y un sombreropor $259. El traje cost 8 veces lo que el sombrero y el bastn $30menos que el traje. Hallar los precios respectivos.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EJERCICIO # 34Una estilogrfica y un lapicero han costado $18. Sila estilogrfica hubiera costado 6 dlares menos y el lapicero 4dlares ms, habran costado lo mismo cada uno. Cunto cost cadauno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

-35-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-36-

E = Costo de la estilogrfica. L = Costo del lapicero.EXPRESAR ELPROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hace 10 aos la edad de A era el triple de la de B:

A 10 = 3 (B-10)

(2)

Una estilogrfica y un lapicero han costado $ 18:

E+ L = 18

Tenga sumo cuidado cuando se expresen problemas de este tipo, esmuy frecuente cometer el error de escribir : A 10 = 3B 10 . La edadde B hace diez aos es (B-10) y el triple de esa edad es 3(B-10).(1)RESOLVER EL PROBLEMA:

Si la estilogrfica hubiera costado 6 dlares menos (E 6) y ellapicero 4 dlares ms (L + 4), habran costado lo mismo: E-6=L+4(2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya (1) en (2):

A = 40COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

B = 20

Simplifique la ecuacin (2) y posteriormente use el mtodo dereduccin:

E = 14

;

L=4

EJERCICIO # 36La edad actual de A es el triple que la de B, ydentro de 5 aos ser el doble. Hallar las edadesactuales.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 35La edad actual de A es el doble que la de B, yhace 10 aos la edad de A era el triple de la de B. Hallar lasedades actuales.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

A = Edad de A. B = Edad de B.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad actual de A es el triple que la de B:

A = 3B

(1)

A = Edad de A. B = Edad de B.

Dentro de 5 aos la edad de A ser el doble de la de B:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A + 5 = 2 (B + 5)

(2)

La edad actual de A es el doble que la de B:

A = 2B

(1) -37-

Tenga sumo cuidado cuando se expresen problemas de este tipo, esmuy frecuente cometer el error de escribir : A + 5 = 2B + 5 . Laedad de B dentro de 5 aos ser (B+5) y el doble de esa edad es2(B+5).ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-38-

RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya (1) en (2):

EJERCICIO # 38; B=5

A = 15COMPROBAR LOS RESULTADOS:

A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A gana $66 y B pierde$90, A tendr el doble de lo que le quede a B. Cunto tiene cadauno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 37A tiene doble dinero que B. Si A pierde $10 y Bpierde $5. A tendr $20 ms que B.Cunto tiene cada uno?.IDENTIFICAREL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tieneB.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A tiene la mitad de lo que tiene B:

A = Cantidad de $ que tiene A. B = Cantidad de $ que tieneB.

A = B/2 (1) Si A gana $66 y B pierde $90, A tendr el doble de loque le quede a B: (A + 66) = 2 (B 90) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A tiene doble de dinero que B:

Sustituya (1) en (2):

A = 2B

(1)

A = 82

;

B = 164

COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Si A pierde 10 dlares (A-10) y B pierde cinco (B-5), A tendr $20ms que B: (A 10) = (B – 5) + 20 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

EJERCICIO # 39En una clase el nmero de seoritas es 1/3 del nmerode varones. Si ingresaran 20 seoritas y dejaran de asistir 10varones, habra 6 seoritas ms que varones.Cuntos varones hay ycuantas seoritas?.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Sustituya (1) en (2):

A = 50COMPROBAR LOS RESULTADOS:

;

B = 25ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-39-

-40-

IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 40V = Cantidad de varones. S = Cantidad deseoritas.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo. La edadque tena el padre hace 5 aos era el doble de la edad que tendr suhijo dentro de 10 aos. Hallar las edades actuales.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

En una clase el nmero de seoritas es 1/3 del nmero de varones: S= V/3 (1) Si ingresaran 20 seoritas (S + 20) y dejaran de asistir10 varones (V 10), habra 6 seoritas ms que varones: (S + 20) = (V10) + 6 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

P = Edad actual del padre. H = Edad actual del hijo.EXPRESAR ELPROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo:Sustituya (1) en (2): 1/3 V = V 10 + 6 -20 V = 3 ( V 24 ) 72 = 2V ;; ; 1/3 V + 20 = V -10 + 6 1/3 V = V 24 ; ; 72 = 3V V

P = 3H

(1)

La edad que tena el padre hace 5 aos (P 5) era el doble de laedad que tendr su hijo dentro de 10 aos (H + 10):

V = 3V 72 V = 72 / 2

(P – 5) = 2 (H + 10)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

V = 36

Sustituya (1) en (2): Si V = 36 y S = V/3 S = 36 / 3 ;

P = 75 S = 12

;

H = 25

Los resultados se leen: En la clase hay 36 varones y 12seoritas.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Los resultados se leen: Actualmente el padre tiene 75 aos y elhijo 25.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

-41-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-42-

EJERCICIO # 41Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano. SiEnrique le diera a su hermano $50, ambos tendran lo mismo. Cuntotiene cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

EJERCICIO # 42Un colono tiene $ 1.400 en dos bolsas. Si de labolsa que tiene ms dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa,ambas tendran igual cantidad de dinero.Cunto tiene cadabolsa?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

E = Cantidad de $ que tiene Enrique. H = Cant. de $ que tiene elhermano de Enrique.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A = Cantidad de $ en la 1ra bolsa. B = Cantidad de $ en la 2dabolsa.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano:

E = 5H

(1)

Un colono tiene $ 1400 en dos bolsas:

Si Enrique le diera a su hermano $50, ambos tendran lo mismo(Enrique tendr 50 menos y su hermano tendr 50 ms de lo que tienenactualmente): (E – 50) = (H + 50) (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

A + B = 1.400

(1)

Si de la bolsa que tiene ms dinero saca 200 y los pone en laotra bolsa, ambas tendran igual cantidad de dinero:

(A – 200) = (B + 200)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Sustituya (1) en (2):

E = 125

;

H = 25

A = 900

;

B = 500

Enrique tiene $125 y su hermano $25.COMPROBAR LOS RESULTADOS

Una bolsa tiene $900 y la otra $500COMPROBAR LOS RESULTADOS

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-43-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-44-

EJERCICIO # 43El nmero de das que ha trabajado Pedro es 4 vecesel nmero de das que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubieratrabajado 15 das menos y Enrique 21 das ms, ambos habran trabajadoigual nmero de das.Cuntos das trabaj cada uno?.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 44Hace 14 aos la edad de un padre era el triple dela edad de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edadesrespectivas hace 14 aos.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

P = Das que trabaj Pedro. E = Das que trabaj Enrique.EXPRESAR ELPROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

P = Edad del padre hace 14 aos. H = Edad del hijo hace 14aos.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hace 14 aos la edad de un padre era el triple de la edad de suhijo: P = 3H (1) Ahora es el doble (14 aos despus):

El nmero de das que ha trabajado Pedro es 4 veces el nmero dedas que ha trabajado Enrique: P = 4E (1) Si Pedro hubiera trabajado15 das menos (P 15) y Enrique 21 das ms (E + 21), ambos habrantrabajado igual nmero de das: (P 15) = (E + 21) (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

(P + 14) = 2 (H + 14)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Sustituya (1) en (2):

P = 42 ; E = 12

;

H = 14

P = 48

Los resultados se leen: Hace 14 aos el padre tena 42 aos y elhijo 14 aos.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Pedro trabaj 48 das y Enrique 12 das.COMPROBAR LOS RESULTADOSING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-45-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-46-

EJERCICIO # 45Un hacendado compr doble nmero de vacas que debueyes. Por cada vaca pag $70 y por cada buey $85. Si el importe dela compra fue de $ 2.700. Cuntas vacas y cuantos bueyescompr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 46Compr doble nmero de sombreros que de trajes por$702. Cada sombrero cost 2 y cada traje 50. Cuntos sombreros ycuntos trajes compr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

S = Sombreros comprados. T = Trajes comprados.

V = Cantidad de vacas compradas. B = Cantidad de Bueyescomprados.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Compr doble nmero de sombreros que de trajes:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

S = 2T

(1)

Un hacendado compr doble nmero de vacas que de bueyes:

V = 2B

(1)

Sea muy cuidadoso al expresar cantidades de este tipo,generalmente se cae en el error de expresarlo 2V=B y la expresi ncorrecta es V=2B, es decir por cada valor que asigne a B obtendr eldoble valor de V.[ Si compro un buey (B=1) comprar dos vacas(2=2*1)] Por cada vaca pag $70 y por cada buey $85. El importe dela compra fue de $ 2.700: 70 V + 85 B = 2.700 (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

Sea muy cuidadoso al expresar cantidades de este tipo,generalmente se cae en el error de expresarlo 2S=T y la expresincorrecta es S=2T, es decir por cada valor que asigne a T obtendr eldoble valor de S.[ Si compro un traje (T=1) comprar dos sombreros(2=2*1)]. Cada sombrero cost $2 y cada traje $50 y el costo totalfue de $702: 2 S + 50 T = 702 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya (1) en (2):

S = 26 ; B = 12

;

T = 13

V = 24

Se compraron 26 sombreros y 13 trajes.COMPROBAR LOSRESULTADOS:

Se compraron 24 vacas y 12 bueyes.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING.JOSE L. ALBORNOZ S,

-47-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-48-

EJERCICIO # 47Un hacendado compr caballos y vacas por 40.000bolvares. Por cada caballo pag 600 y por cada vaca 800. Si compr 6vacas menos que caballos. Cuntas vacas y cuntos caballoscompr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 48Un padre pone 16 problemas a su hijo con lacondicin de que por cada problema que resuelva el muchacho recibir$12, y por cada problema que no resuelva perder $5. Despus detrabajar en los 16 problemas el muchacho recibe $73. Cuntosproblemas resolvi y cuantos no?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

V = Vacas compradas. C = Caballos comprados.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

R = Problemas resueltos. N = Problemas no resueltos.

Un hacendado compr caballos y vacas por 40.000 bolvares. Porcada caballo pag 600 y por cada vaca 800: 800 V + 600 C = 40.000(1) Compr 6 vacas menos que caballos:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un padre pone 16 problemas a su hijo:

V=C-6

(2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

(1) . Por cada problema que resuelva recibir $12 y por cadaproblema que no resuelva perder $5. Despus de trabajar en los 16problemas el muchacho recibe $73: 12R 5N = 73 (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

R + N = 16

Sustituya (2) en (1):

V = 26

;

C = 32

Aplique el mtodo de reduccin:

Se compraron 26 vacas y 32 caballos.COMPROBAR LOS RESULTADOS:ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

R=9

;

N=7

El muchacho resolvi 9 ejercicios y no resolvi 7. -49COMPROBARLOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-50-

EJERCICIO # 49Un capataz contrata un obrero por 50 das pagndole$3 por cada da de trabajo con la condicin de que por cada da que elobrero deje de asistir al trabajo perder $2. Al cabo de los 50 dasel obrero recibe $90. Cuntos das trabaj y cuantos no?.IDENTIFICAREL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 50Un comerciante compr 35 trajes de $30 y $25,pagando por todo $1.015. Cuntos trajes de cada preciocompr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Trajes de $30 comprados. B = Trajes de $25 comprados. T =Das trabajados. N = Das no trabajados.EXPRESAR EL PROBLEMA ENLENGUAJE ALGEBRAICO:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un comerciante compr 35 trajes de $30 y $25:

Un capataz contrata un obrero por 50 das:

A + B = 35

(1) . Pagndole $3 por da trabajado y descontndole $2 por cada daque deje de asistir al trabajo. Al cabo de los 50 das el obrerorecibe $90: 3T 2N = 90 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

T + N = 50

(1) . (2)

Pagando por todo $1.015:

30A + 25B = 1.015

RESOLVER EL PROBLEMA:

Aplique el mtodo de reduccin:

A = 28 N = 12

;

B=7

T = 38

;

El comerciante compr 28 trajes de $30 y 7 de $25COMPROBAR LOSRESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

El obrero trabaj 38 das y dej de asistir 12 dasCOMPROBAR LOSRESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-52-

-51-

EJERCICIO # 51Un comerciante compr trajes de dos calidades por$1.624. De la calidad mejor compr 32 trajes y de la calidadinferior 18. Si cada traje de la mejor calidad le cost $7 ms quecada traje de la calidad inferior. Cul era el precio de un traje decada calidad?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

EJERCICIO # 52Se han comprado 80 pies cbicos de madera por$68,40 . La madera comprada es cedro y caoba. Cada pie cbico decedro cost 75 centavos y cada pie cbico de caoba 90 centavos.Cuntos pies cbicos se han comprado de cedro y cuntos decaoba?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Costo de traje de calidad mejor. B = Costo de traje decalidad inferior.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

D = Pies cbicos de cedro comprados C = Pies cbicos de caobacompradosEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un comerciante compr trajes de dos calidades por $1.624. De lacalidad mejor compr 32 trajes y de la calidad inferior 18: 32A +18B = 1.624 (1) . Cada traje de la mejor calidad le cost $7 ms quecada traje de la calidad inferior: A =B+7 (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

Se han comprado 80 pies cbicos de madera. La madera comprada escedro y caoba: (1) . Cada pie cbico de cedro cost 75 centavos ycada pie cbico de caoba 90 centavos. El costo total fue de $68,40:0,75D + 0,90C = 68,40 (2) Tenga cuidado con las unidades en que seexpresa el problema. Si en un miembro de la ecuacin se colocandlares, en el otro tambin deben ir dlares. El error ms comn que secomete en este ejercicio es colocar : 75D + 90C = 68,40RESOLVER ELPROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

D + C = 80

Aplique el mtodo de sustitucin. Sustituya (2) en (1)

A = 35

;

B = 28

Cada traje de calidad mejor cost $35 y cada traje de calidadinferior cost $28.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZS,

-53-

-54-

Despeje D o C en la ecuacin (1) y sustityala en la ecuacin(2):

Utilice el mtodo de reduccin. Recuerde como se resolvi elejercicio # 12.

D = 24

;

C = 56

A = 36

;

B = 72

;

C = 88

Se compraron 24 pies cbicos de cedro y 56 pies cbicos decaoba.COMPROBAR LOS RESULTADOS:

Las tres partes sern 36, 72 y 88COMPROBAR LOS RESULTADOS:

EJERCICIO # 53Dividir 196 en tres partes tales que la segundasea el doble de la primera y la suma de las dos primeras exceda ala tercera en 20.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

EJERCICIO # 54La edad de A es el triple que la de B y hace 5 aosera el cudruple de la de B. Hallar las edades actuales.IDENTIFICAREL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Primera parte. B = Segunda parte. C = Tercera parte.

A = Edad actual de A. B = Edad actual de B.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Recuerde lo indicado en los ejercicios 35 y 36. La edad de A esel triple que la de B:

Dividir 196 en tres partes:

A + B + C = 196 B = 2A

(1) . (2)

A = 3B (A 5) = 4 (B – 5)

(1) (2)

Hace 5 aos la edad de A era el cudruple de la de B:RESOLVER ELPROBLEMA:

La segunda parte sea el doble de la primera:

La suma de las dos primeras partes exceda a la tercera en20:

Sustituya (1) en (2): (3) -55-

A = 45

;

B = 15

A + B = C + 20RESOLVER EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A tiene actualmente 45 aos y B 15.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING.JOSE L. ALBORNOZ S,

-56-

EJERCICIO # 55Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares dezapatos por $ 16.000. Cada traje cost el doble de lo que cost cadapar de zapatos ms $50. Hallar el precio de un traje y de un par dezapatos.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 566 personas iban a comprar una casa contribuyendopor partes iguales pero dos de ellas desistieron del negocio yentonces cada una de las restantes tuvo que poner 2.000 bolvaresms. Cul era el valor de la casa?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

T = Precio de cada traje. Z = Precio de cada par dezapatos.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Valor de la casa. Y = Aporte de cada persona.EXPRESAR ELPROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por $16.000: 50T + 35Z = 16.000 (1) . Cada traje cost el doble de lo quecost cada par de zapatos ms $50: T = 2Z + 50 (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

Seis personas iban a comprar una casa contribuyendo por partesiguales: X = 6Y (1) Pero dos de ellas desistieron del negocio(ahora sern 4 personas las que aporten) y entonces cada una de lasrestantes (4) tuvo que poner 2.000 bolvares ms (el aporteindividual ser de Y+2000):

X = 4 (Y + 2.000)RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Sustituya (2) en (1):

T = 250

;

Z = 100

Sustituya (1) en (2):

Cada traje cost $250 y cada par de zapatos $100COMPROBAR LOSRESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Y = 4.000

;

X = 24.000

El valor de la casa era de Bs 24.000COMPROBAR LOS RESULTADOS

-57-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-58-

EJERCICIO # 57Tena $85. Gast cierta suma y lo que me queda es elcudruple de lo que gast. Cunto gast?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Edad actual de A. B = Edad actual de B.EXPRESAR EL PROBLEMAEN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hace 12 aos (- 12) la edad de A era el doble de la de B:

(A 12) = 2(B 12)

(1)

X = $ que gast.

Dentro de 12 aos (+12) la edad de A ser 68 menos que el triplede la de B: (A + 12) = 3(B + 12) 68 (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Tena $85 y gast cierta suma:

85 – X 85 X = 4X

(1) (2)

Lo que me queda (85 X) es el cudruple de lo que gast:RESOLVER ELPROBLEMA:

Simplifique las dos ecuaciones y posteriormente use el mtodo dereduccin:

A = 52

;

B= 32

Despejando: 85 X = 4X ; 85 = 5X ; X = 85 5 Gast $17

A tiene 52 aos y B 32COMPROBAR LOS RESULTADOS

X = 17COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 59Tengo $1,85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si entotal tengo 22 monedas. Cuntas son de 10 centavos y cuntas de 5centavos?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

EJERCICIO # 58Hace 12 aos la edad de A era el doble de la de B ydentro de 12 aos la edad de A ser 68 aos menos que el triple de lade B. Hallar las edades actuales.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -59-

Es importante recordar lo necesario que es trabajar con lasmismas unidades en una ecuacin. Si relaciono dlares tiene que sercon dlares o si relaciono centavos tiene que ser con centavos. ING.JOSE L. ALBORNOZ S, -60-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Monedas de 10 centavos. V = Monedas de 5 centavos.EXPRESAREL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Costo de cada caballo. Y = Costo total.EXPRESAR EL PROBLEMAEN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un hacendado compr 35 caballos:

Tengo $1,85 en monedas de 10 centavos ($ 0,10) y de 5 centavos($ 0,05):

Y = 35X

(1)

0,10X + 0,05V = 1,85En total tengo 22 monedas:

(1)

Si hubiera comprado 5 caballos ms (40) por el mismo precio (Y)cada caballo le habra costado $10 menos (X 10): Y = 40( X 10)(2)RESOLVER EL PROBLEMA:

X + V = 22

(2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

Iguale las dos ecuaciones y obtendr directamente el valor deX:

Utilice los dos mtodos para solucionar este sistema deecuaciones.

X = 80Cada caballo cost $80COMPROBAR LOS RESULTADOS

X = 15

;

V= 7

Tengo 15 monedas de 10 centavos y 7 de 5 centavosCOMPROBAR LOSRESULTADOS

EJERCICIO # 61Un hombre deja una herencia de $ 16.500 pararepartir entre 3 hijos y 2 hijas, y manda que cada hija reciba2.000 ms que cada hijo. Hallar la parte de cada hijo y de cadahija.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 60Un hacendado compr 35 caballos. Si hubieracomprado 5 caballos ms por el mismo precio, cada caballo le habracostado $10 menos. Cunto le cost cada caballo?.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

X = Parte de la herencia que le corresponde a cada hijo. Y =Parte de la herencia que le corresponde a cada hija.-61ING. JOSE L.ALBORNOZ S,

-62-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Y cuya suma es el triple de su diferencia:RESOLVER ELPROBLEMA:

Un hombre deja una herencia de $ 16.500 para repartir entre 3hijos y 2 hijas: 3X + 2Y = 16.500 (1) Manda que cada hija reciba2.000 ms que cada hijo:

X + Y = 3(X Y )

(2)

Simplifique la ecuacin (2) y sustityala en (1)

Y = X + 2.000

(2)

X = 36

;

Y = 18

RESOLVER EL PROBLEMA:

Los nmeros buscados son 36 y 18 NOTA: La ecuacin (2) tambin pudoser expresada como: X + Y = 3 (18) lo que es lo mismo que X+Y=54..Si ese fuera el caso se recomienda usar el mtodo de sustitucin: X Y= 18 X + Y = 54 2X = 72 X = 72 2 ; X = 36 ; 36 Y = 18 ; Y = 18

Sustituya (2) en (1)

X = 2.500

;

Y = 4.500

Cada hijo recibir $2.500 y cada hija $4.500COMPROBAR LOSRESULTADOS

EJERCICIO # 62Hallar dos nmeros cuya diferencia es 18 y cuyasuma es el triple de su diferencia.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 635 personas han comprado una tienda contribuyendopor partes iguales. Si hubiera habido dos socios ms, cada unohubiera pagado 800 bolvares menos. Cunto cost latienda?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Primer nmero buscado. Y = Segundo nmero buscado.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hallar dos nmeros cuya diferencia es 18:

X Y = 18ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

(1) -63-

X = Costo total de la tienda. Y = Aporte individual.ING. JOSE L.ALBORNOZ S,

-64-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un hacendado compr dos caballos, pagando por ambos $120:

Cinco personas han comprado una tienda contribuyendo por partesiguales: X = 5Y (1) Si hubiera habido 2 socios ms (7), cada unohubiera pagado 800 bolvares menos: X = 7(Y 800) (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

Xm + Xp = 120

(1)

Si el caballo peor hubiera costado $15 mas (Xp + 15) el mejorhabra costado doble que l: Xm = 2(Xp + 15) (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

Simplifique la ecuacin (2) y sustityala en (1) Sustituya (1) en(2). Recuerde el ejercicio # 56

Xm = 90

;

Xp = 30

X = 14.000La tienda cost Bs 14.000COMPROBAR LOS RESULTADOS

El caballo mejor cost $ 90 y el peor $30COMPROBAR LOSRESULTADOS

EJERCICIO # 65Compr cudruple nmero de caballos que de vacas. Sihubiera comprado 5 caballos ms y 5 vacas ms tendra triple nmero decaballos que de vacas. Cuntos caballos y cuntas vacascompr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 64Un hacendado compr dos caballos, pagando por ambos$120. Si el caballo peor hubiera costado $15 ms. El mejor habracostado doble que l. Cunto costo cada caballo?.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Xm = Costo del caballo mejor. Xp = Costo del caballopeor.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: ING. JOSE L.ALBORNOZ S,

Xc = # de caballos comprados. Xv = # de vacas compradas.EXPRESAREL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

-65-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-66-

Compr cudruple nmero de caballos que de vacas (Recuerde loindicado en los ejercicios 45 y 46): Xc = 4Xv (1) Si hubieracomprado 5 caballos ms (Xc + 5) y 5 vacas ms (Xv + 5) tendra triplenmero de caballos que de vacas: (Xc + 5) = 3(Xv + 5) (2)RESOLVER ELPROBLEMA:

Tena cierta suma de dinero ( X ) . Ahorr una suma igual a lo quetena ( X + X ) y gast 50 dlares ( X + X 50 ) luego ahorr una sumaigual al doble de lo que me quedaba [( X + X 50) + 2( X + X 50 )] ygast 390 dlares [( X + X 50) + 2( X + X 50 ) 390 ]. Ahora no tengonada:

[(X + X 50) + 2( X + X 50) – 390] = 0RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituyendo (1) en (2)

Simplificando:

X = 90Al principio tena $90

Xc = 40

;

Xv = 10

Compr 40 caballos y 10 vacasCOMPROBAR LOS RESULTADOS

COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 67Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largose disminuye en 6 metros y el ancho se aumenta en 4 metros, lasuperficie de la sala no vara. Hallar las dimensiones de lasala.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 66Tena cierta suma de dinero. Ahorre una suma iguala lo que tena y gast $50; luego ahorr una suma igual al doble de loque me quedaba y gast $390. Si ahora no tengo nada. Cunto tena alprincipio?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

L = Largo de la sala. A = Ancho de la sala. S = Superficie de lasala.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Suma de dinero que tena.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Para calcular la superficie de una sala se multiplica el anchopor el largo: S = L.A (1)ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-67-

-68-

Una sala tiene doble largo que ancho:

L = 2A

Dentro de 5 aos ser el doble: (2)RESOLVER EL PROBLEMA:

(P + 5) = 2(H + 5)

(2)

Si el largo se disminuye en 6 metros (L 6) y el ancho se aumentaen 4 metros (A + 4), la superficie no vara: S = (L 6)(A + 4)(3)RESOLVER EL PROBLEMA:

Ordene las ecuaciones y utilice el mtodo de reduccin:

P = 35

;

H = 15

Como la superficie no vara, iguale la ecuacin (1) con la (3) yen la ecuacin resultante sustituya (2):

La edad actual del padre es 35 aos y la del hijo 15COMPROBAR LOSRESULTADOS

L = 24

;

A = 12

La sala tiene 24 metros de largo y 12 metros de anchoCOMPROBARLOS RESULTADOS

EJERCICIO # 69Hallar el nmero que disminuido en sus 3/8 equivalea su duplo (doble) disminuido en 11.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 68Hace 5 aos la edad de un padre era tres veces lade su hijo y dentro de 5 aos ser el doble. Qu edades tienen ahorael padre y el hijo?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

X = Nmero buscado.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hallar el nmero ( X ) que disminuido en sus tres octavos (-3/8X) equivale ( = ) a su duplo ( 2X ) disminuido en 11:

X 3/8 X = 2X 11

P = Edad actual del padre. H = Edad actual del hijo.EXPRESAR ELPROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin: X 3/8 X 2X = – 11 – 11 X 8 = -11 ; ; 8X3X 16X = – 11 8

Hace 5 aos la edad de un padre era tres veces la de su hijo:

(P 5) = 3(H 5)

(1) -69-

X = (-11) (8) – 11ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-70-

X=8El nmero buscado es 8COMPROBAR LOS RESULTADOS

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero buscado.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

EJERCICIO # 70Hallar el nmero que aumentado en sus 5/6 equivalea su triple disminuido en 14.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICARLAS INCGNITAS:

Qu nmero ( X ) hay que restar de veintids (22-X) para que ladiferencia ( – ) equivalga ( = ) a la mitad de veintids (11)aumentada en los 6/5 del nmero que se resta ( 6/5 X ).?:

22 – X = 11 + 6/5 XRESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

X=5X = Nmero buscado.El nmero buscado es 5COMPROBAR LOSRESULTADOS

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hallar el nmero ( X ) que aumentado en sus cinco sextos ( + 5/6X) equivale ( = ) a su triple (3X) disminuido en 14:RESOLVER ELPROBLEMA:

X + 5/6 X = 3X 14

EJERCICIO # 72Cul es el nmero que tiene 30 de diferencia entresus 5/4 y sus 7/8.?IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

Simplifique la ecuacin:

X = 12

El nmero buscado es 12COMPROBAR LOS RESULTADOS

X = Nmero buscado.

EJERCICIO # 71Qu nmero hay que restar de 22 para que ladiferencia equivalga a la mitad de 22 aumentada en los 6/5 delnmero que se resta?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZS,

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

5/4 X 7/8 X = 30RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

X = 80ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

El nmero buscado es 80 -71-

-72-

EJERCICIO # 73Despus de vender los 3/5 de una pieza de telaquedan 40 metros.Cul era la longitud de la pieza?.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Cantidad de Bs que tena.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

Despus de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tena me quedan 39bolvares:

X ( 1/3 X + 1/8 X ) = 39

RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

X = Longitud inicial de la tela.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

X = 72

Tena 72 bolvaresCOMPROBAR LOS RESULTADOS

Despus de vender 3/5 de una pieza de tela (3/5 X) quedan 40metros:

X 3/5 X = 40

EJERCICIO # 75El largo de un buque que es de 800 pies excede en744 pies a los 8/9 del ancho. Hallar el ancho.

RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

X = 100La longitud de la tela era de 100 metrosCOMPROBAR LOSRESULTADOS

IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Ancho del buque.

EJERCICIO # 74Despus de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tena mequedan 39 bolvares,Cunto tena?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICARLAS INCGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

800 = 8/9 A + 744RESOLVER EL PROBLEMA:

Simplifique la ecuacin:

A = 63El ancho del buque es de 63 pies. -73COMPROBAR LOSRESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-74-

EJERCICIO # 76Hallar dos nmeros consecutivos tales que los 4/5del mayor equivalgan al menor disminuido en 4.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero menor. (X + 1) = Nmero consecutivo a X.EXPRESAR ELPROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

7/8 X = [3/5 (X + 1)] + 17RESOLVER EL PROBLEMA:

X = Primer nmero. (X + 1) = Nmero consecutivo a X.EXPRESAR ELPROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Despeje X en la ecuacin

X = 64COMPROBAR LOS RESULTADOS

;

(X + 1) = 65

Los nmeros consecutivos son 64 y 65

4/5 (X + 1) = X – 4RESOLVER EL PROBLEMA:

Despeje X en la ecuacin

EJERCICIO # 78; (X + 1) = 25 La diferencia de los cuadrados dedos nmeros pares consecutivos es 324. Hallar los nmeros.IDENTIFICAREL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = 24

Los nmeros consecutivos son 25 y 26COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 77Hallar dos nmeros consecutivos tales que los 7/8del menor excedan en 17 a los 3/5 del mayor.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

X = Primer nmero. (X + 2) = Nmero par consecutivo a X

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

(X + 2) X = 324Tenga cuidado, recuerde que diferencia entre dosnmeros es la RESTA del nmero mayor menos el nmero menor. Es muycomn que los alumnos se equivoquen colocando X2 (X + 2)2 = 324 ING.JOSE L. ALBORNOZ S, -76-

-75-

RESOLVER EL PROBLEMA:

+ 4X + 4

X2 = 324

EJERCICIO # 80; 4X + 4 = 324 4X = 324 4 ; X = 320 4

En tres das un hombre gan $175. Si cada da gan la mitad de loque gan el da anterior, Cunto gan cada da?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = 80

;

(X + 2) = 82

Los nmeros pares consecutivos son 80 y 82COMPROBAR LOSRESULTADOS

EJERCICIO # 79Hallar tres nmeros consecutivos tales que la sumade los 3/5 del menor con los 5/6 del mayor exceda en 31 al delmedio.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Ganancia del 1er da. B = Ganancia del 2do da. C = Gananciadel 3er da.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

En tres das un hombre gan $175:

A + B + C = 175 B = A/2 C = B/2

(1)

Cada da gan la mitad de lo que gan el da anterior:

(2) (3)

X = Primer nmero. (X + 1) = Nmero consecutivo a X. (X + 2) =Nmero consecutivo a X + 1

RESOLVER EL PROBLEMA:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

3/5 X + 5/6 (X + 2) = (X + 1) +31RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituya la ecuacin (3) en la (1) y en la ecuacin resultantesustituya (2):

A = 100 ;

B = 50

;

C = 25

Despeje X en la ecuacinX = 70 ; (X + 1) = 71 ; (X + 2) = 72 Losnmeros consecutivos son 70, 71 y 72COMPROBAR LOS RESULTADOS ING.JOSE L. ALBORNOZ S,

El primer da gan $100, el 2do da $50 y el 3ro $25COMPROBAR LOSRESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-78-

-77-

EJERCICIO # 81Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual enel alquiler de la casa y alimentacin de su familia y 3/8 del sueldoen otros gastos. Al cabo de 15 meses ha ahorrado $300. Cul es susueldo mensual?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

X = 160El sueldo mensual es de $160 Tambin puede enfocarse lasolucin de la siguiente manera: El sueldo mensual es igual a lasuma de los gastos ms el ahorro. Si en 15 meses el hombre ahorr$300 quiere decir que mensualmente ahorr 20 dlares (300 15 = 20).El sueldo mensual ser: X = X/2 + 3/8 X + 20 Al resolver estaecuacin obtengo el mismo resultado:COMPROBAR LOS RESULTADOS

X = Sueldo mensual

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler dela casa y alimentacin de su familia: Y 3/8 del sueldo en otrosgastos:

X/2

EJERCICIO # 82Vend un automvil por 8.000 bolvares ms la terceraparte de lo que me haba costado, y en esta operacin gan 2.000bolvares. Cunto me haba costado el auto?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

3/8 XX/2 + 3/8 X = 7/8 X

Lo que significa que mensualmente gasta:

Puede ahorrar mensualmente una cantidad equivalente al sueldomenos los gastos: X 7/8 X = X/8 Si en 15 meses ha ahorrado $300quiere decir que:

X = Costo del automvil.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

15 ( X/8) = 300RESOLVER EL PROBLEMA:

Resolviendo 15 ( X/8) = 300ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Vend un automvil por 8.000 bolvares ms la tercera parte de loque me haba costado: -79ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

8.000 + X/3-80-

Y en esta operacin gan 2.000 bolvares. Si tomamos en cuenta quela ganancia es igual al precio de venta (8000+ X/3) menos el preciode costo (X) :

Ganancia ($8) = Venta (7/2 X) menos Compra (5/2 X):

8 = (7/2 X) (5/2 X)RESOLVER EL PROBLEMA:

2.000 = 8.000 + X/3 – XRESOLVER EL PROBLEMA:

Despejando X en la ecuacin:

X=8Compr 8 librosCOMPROBAR LOS RESULTADOS

Resolviendo 2.000 = 8.000 + X/3 – X

X = 9.000El Automvil cost Bs 9.000COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 84A puede hacer una obra en 3 das y B en 6 das. Encunto tiempo pueden hacer la obra trabajando los dosjuntos?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 83Compr cierto nmero de libros a 2 por $5 y los venda 2 por $7, ganando en esta operacin $8. Cuntos libroscompr?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero de das que tardaran enhacer la obra trabajando juntosA y B.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Nmero de libros comprados.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

Si en X das los dos juntos hacen toda la obra, en 1 da harn 1/Xde la obra.

Ganancia es igual a venta menos costo. Compr cierto nmero delibros a 2 por 5 dlares (5/2 X) y los vend a 2 por 7 dlares (7/2 X)ganando en esta operacin $8:ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

A Puede hacer una obra en 3 das: En un da hace 1/3 de la obra. Bpuede hacer la misma obra en 6 das: En un da hace 1/6 delaobra.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-81-

-82-

Los dos juntos harn en un da ( 1/3 + 1/6 ) de la obra; pero comoen un da los dos hacen 1/X de la obra, tendremos:

La otra llave puede llenar el tanque en 20 minutos: En un minutollenar 1/20 del depsito. Las dos llaves juntas llenarn en un minuto(1/10+1/20) del depsito; pero como en un minuto las dos llavesabiertas llenarn 1/X del depsito, tendremos:

1/3 + 1/6 = 1/XRESOLVER EL PROBLEMA:

Despejando X en la ecuacin:RESOLVER EL PROBLEMA:

1/10 + 1/20 = 1/X

X=2A y B trabajando juntos pueden hacer la obra en dosdas.COMPROBAR LOS RESULTADOS

Despejando X en la ecuacin:

X = 6,67Las dos llaves juntas llenarn el depsito en 6,67 minutos(6 minutos y 2/3 de minuto o lo que es lo mismo: 6 minutos y 40segundos)COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 85Una llave puede llenar un depsito en 10 minutos yotra en 20 minutos. En cunto tiempo pueden llenar el depsito lasdos juntas?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 86Una llave puede llenar un depsito en 4 minutos,otra en 8 minutos y un desage puede vaciarlo, estando lleno, en 20minutos. Si tenemos el tanque vaco y abierto el desage y se abrenlas dos llaves.En cunto tiempo se llenara el depsito?.IDENTIFICAREL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Tiempo en minutos en que las dos llaves juntas pueden llenarel depsito.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Si en X minutos las dos llaves juntas pueden llenar el depsito,en 1 minuto llenarn 1/X del depsito. Una llave puede llenar undepsito en 10 minutos: En un minuto llenar 1/10 del depsito. ING.JOSE L. ALBORNOZ S, -83-

X = Tiempo en minutos en que se llenar el depsito.ING. JOSE L.ALBORNOZ S,

-84-

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Si en X minutos se puede llenar el depsito, en 1 minuto sellenar 1/X del depsito. Una llave puede llenar un depsito en 5minutos: En un minuto llenar 1/5 del depsito. La otra llave puedellenar el tanque en 8 minutos: En un minuto llenar 1/8 del depsito.Un desage puede vaciarlo, estando lleno, en 20 minutos: En unminuto vaciar 1/20 del depsito. Las dos llaves juntas llenarn en unminuto (1/5+1/8) y el desage vaciar del depsito en un minuto(-1/20); pero como en un minuto llenarn 1/X del depsito,tendremos:

Antes de resolver este ejercicio se recomienda consultar elejercicio # 84 para facilitar su enfoque.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Nmero de das que tardara Aen hacer la obra trabajandosoloEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

1/5 + 1/8 1/20 = 1/XRESOLVER EL PROBLEMA:

Si en 6 das los dos juntos hacen toda la obra, en 1 da harn 1/6de la obra. A Puede hacer la obra en X das: En un da hace 1/X de laobra. B solo puede hacer la misma obra en 10 das: En un da hace1/10 de la obra. Los dos juntos harn en un da ( 1/X + 1/10 ) de laobra; pero como en un da los dos hacen 1/6 de la obra,tendremos:

1/X + 1/10 = 1/6RESOLVER EL PROBLEMA:

Despejando X en la ecuacin:

X = 40/13El depsito se llenar en 3 minutos y 1/13 deminutoCOMPROBAR LOS RESULTADOS

X = 15A trabajando solo puede hacer la obra en 15 das.

EJERCICIO # 88Un capataz contrata un obrero ofrecindole unsueldo anual de $ 3.000 y una computadora. Al cabo de siete mesesel obrero es despedido y recibe $1.500 y la computadora.Cul era elvalor de la computadora?.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EJERCICIO # 87A y B trabajando juntos hacen una obra en 6 das. Bsolo puede hacerla en 10 das. En cunto tiempo puede hacerla A?.ING.JOSE L. ALBORNOZ S,

-85-

-86-

IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

X = Valor de la computadora.

Una serpiente mide un metro ms 1/5 de su longitud total:

X = 1 + 1/5 X

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

RESOLVER EL PROBLEMA:

Si el sueldo anual era de $ 3.000 y una computadora, quieredecir que el sueldo mensual era de:

Despejando X en la ecuacin:

( 3.000 + X ) 12

X = 1,25La serpiente mide 1,25 metrosCOMPROBAR LOSRESULTADOS

El sueldo de 7 meses ser de:

7 [( 3.000 + X ) 12]

Si por los siete meses de trabajo recibi $1.500 y lacomputadora:

EJERCICIO # 90La quinta parte del personal de una empresa laboraen el departamento de produccin, la tercera parte en eldepartamento de personal, el triple de la diferencia entre estosdos nmeros en el departamento de transporte y usted es el gerente.Cuntas personas en total laboran en dicha empresa?.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

7 [( 3.000 + X ) 12] = 1.500 + XRESOLVER EL PROBLEMA:

Despejando X en la ecuacin:

X = 600El valor de la computadora era de $ 600COMPROBAR LOSRESULTADOS

EJERCICIO # 89Una serpiente mide un metro ms un quinto de sulongitud total. Cunto mide la serpiente?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Personal que labora en la empresa.EXPRESAR EL PROBLEMA ENLENGUAJE ALGEBRAICO:

La quinta parte del personal de una empresa labora en eldepartamento de produccin:

X = Longitud de la serpiente.ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

X/5-88-

-87-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

La tercera parte labora en el departamento de personal:

X/3

El triple de la diferencia entre estos dos nmeros en eldepartamento de transporte:

A = Cantidad de refrescos A que se venden diariamente. B =Cantidad de refrescos B que se venden diariamente.EXPRESAR ELPROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

3 ( X/3 X/5 )

Una tienda vende diariamente 1.000 refrescos de las marcas A yB:

Recuerde que la diferencia de dos nmeros es la resta del nmeromayor menos el menor y X/3 es mayor que X/5; si coloca X/5 X/3 sealterarn los resultados.Como usted es el gerente, y el total delpersonal ser la suma de todos los que laboran en la empresa:

A + B = 1.000Por cada refresco A se venden tres de la marcaB:

(1)

3A = BRESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

X = X/5 + X/3 + 3 (X/3 X/5) + 1RESOLVER EL PROBLEMA:

Sustituyendo (2) en (1)

Despejando X en la ecuacin:

A = 250

;

B = 750

X = 15En la empresa laboran 15 personasCOMPROBAR LOSRESULTADOS

Diariamente la tienda vende 250 refrescos de la marca A y 750 dela marca B.COMPROBAR LOS RESULTADOS

EJERCICIO # 91Una tienda vende diariamente 1000 refrescos de lasmarcas A y B. Por cada refresco A se venden tres de la marca B.Cuntos refrescos de cada marca vende la tiendadiariamente?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

EJERCICIO # 92Para fabricar una pintura debo mezclar trescomponentes: A, B y C. Se utiliza un 30% de B, un octavo de lamezcla es de A y el resto de C. Cuntas unidades de cada componentedebo mezclar para obtener 100 unidades de pintura?.IDENTIFICAR ELPROBLEMA:

-89-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-90-

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

A = Cantidad de componente A quecontiene la mezcla. B = Cantidadde componente B que contiene la mezcla. C = Cantidad de componenteC que contiene la mezcla.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

EJERCICIO # 93Una fbrica ensambla dos productos: A y B. Elproducto A representa el 60% de la produccin total. Si se producen100 unidades de B. Cul es la produccin total?.IDENTIFICAR ELPROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Si llamamos X a las unidades de pintura fabricadas, tendremosque para fabricar una unidad:

X=A+B+C

Para fabricar 100 unidades de pintura se utiliza un 30% de B,(30% = 0,30):

X = Produccin total. A = Cantidad de producto A ensamblado. B =Cantidad de producto B ensamblado.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

B = (0,30) (100) = 30

Para fabricar 100 unidades de pintura se utiliza un octavo de A,(1/8 = 0,125):

Una fbrica ensambla dos productos: A y B:

A = (0,125) (100) = 12,50 100 = 30 + 12,50 + CSi se producen 100unidades de B:

X=A+B

(1)

La parte restante es del componente C:

El producto A representa un 60% de la produccin total:

A = 0,60 X B = 100

(2)

RESOLVER EL PROBLEMA:

(3)

Despejando C en la ltima ecuacin:

RESOLVER EL PROBLEMA:

C = 57,50

;

A = 12,50

; B = 30,00

Sustituyendo (2) y (3) en (1): X = 0,60 X + 100 ; X 0,60 X = 100; 0,40 X = 100 X = 100 0,40 ; X = 250 La produccin total es de 250unidadesCOMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

Para fabricar 100 unidades de pintura debo mezclar 12,50unidades de A, 30 unidades de B y 57,50 unidades de C.COMPROBAR LOSRESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-91-

-92-

EJERCICIO # 94Hace 5 aos yo tena la edad actual de Luis, Pedrotiene el doble de la edad de Luis y 10 aos ms que yo. Cul es laedad de cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LASINCGNITAS:

EJERCICIO # 95Hace 5 aos Luis tena mi actual edad, Pedro tieneel doble de la edad de Luis y 20 aos ms que yo.Cul es la edad decada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Mi edad actual. L = Edad actual de Luis. P = Edad actual dePedro.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

Hace 5 aos yo tena la edad actual de Luis:

X-5=L P = 2L

(1)

Hace 5 aos Luis tena mi actual edad:

L-5=X P = 2L

(1)

Pedro tiene el doble el doble de la edad de Luis:

(2)

Pedro tiene el doble el doble de la edad de Luis:

(2)

Pedro tiene 10 aos ms que yo:RESOLVER EL PROBLEMA:

P = X + 10

(3)

Pedro tiene 20 aos ms que yo:

P = X + 20

(3)

Multiplique la ecuacin (2) por -1 y despus sume las tresecuaciones y obtendr el valor de L, despus calcule X y P :

RESOLVER EL PROBLEMA:

L = 15 ; P = 30 ; X = 20Luis tiene 15 aos, Pedro 30 y yo 20

L = 15 ; P = 30 ; X = 10Luis tiene 15 aos, Pedro 30 y yo10COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

COMPROBAR LOS RESULTADOS

-94-

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-93-

EJERCICIO # 96Tengo cuatro hijos. A tiene 3 aos ms que B, Btiene un ao ms que C, C tiene el doble de edad que D, D tiene 10aos menos que B. Qu edad tiene cada uno de mis hijos?.IDENTIFICAREL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

EJERCICIO # 97Un comandante dispone sus tropas formando uncuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone unhombre ms en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombrespara completar el cuadrado. Cuntos hombres haba en el lado delprimer cuadrado y cuntos hombres hay en la tropa?.IDENTIFICAR ELPROBLEMA:

A= B= C= D=

Edad actual de Edad actual de Edad actual de Edad actual de

A. B. C. D.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

A tiene 3 aos ms que B:

A=B+3 B=C+1 C = 2D D = B – 10

(1)

B tiene un ao ms que C:

(2)

Se quiere formar una figura geomtrica (cuadrado) utilizando unaformacin militar. Debemos recordar que un cuadrado tiene sus ladosiguales (largo = ancho). Imaginemos un tablero de ajedrez, parasaber cuntas casillas lo conforman basta con multiplicar lascasillas horizontales con las verticales. En forma similar debemoshacer con esta formacin militar; al multiplicar los hombres de unafila por los de una columna obtendremos el nmero de hombres queforman ese cuadrado especficamente y al sumarle los que quedanfuera o restarle los que faltan obtendremos el nmero total de latropa.IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

C tiene el doble de edad que D:

(3)

D tiene 10 aos menos que B:RESOLVER EL PROBLEMA:

(4)

X = # de hombres en un lado del primer cuadrado. Y = # total dehombres que conforman la tropa.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

A = 22 ; B = 19 ; C = 18COMPROBAR LOS RESULTADOS

;

D=9

ING. JOSE L. ALBORNOZ S,

-95-

Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve quele quedan fuera 36 hombres. Esto significa que colocando X hombresen las filas y X hombres en las columnas, quedan 36 hombres fuera,el nmero total ser igual a : ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -96-

Y = (X) (X) + 36

(1)

IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

Entonces pone un hombre ms ( X + 1 ) en cada lado del cuadrado yve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado:

D = Distancia de ida o vuelta.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJEALGEBRAICO:

Y = (X + 1) (X + 1) – 75RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Debemos recordad que distancia es el producto de la velocidadpor el tiempo.

D=V.T

Utilizando el mtodo de igualacin: (X) (X) + 36 = (X + 1) (X + 1)75 que al resolver: Qu distancia podr recorrer hacia el campo en unauto que va a 50 Km por hora?.

X = 55

;

Y = 3.061

D1 = V1 T1 = 50 T1

En la tropa hay 3.061 hombres y en los lados del primer cuadradohaba 55 hombres en cada fila y en cada columna.COMPROBAR LOSRESULTADOS

Si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda 10 Kmpor hora?.

D2 = V2 T2 = 10 T2D1 = D2

Como la distancia de ida debe ser igual a la distancia devuelta:

EJERCICIO # 98Un hombre que est en una ciudad dispone de 12horas libres. Qu distancia podr recorrer hacia el campo en un autoque va a 50 Km por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en uncaballo que anda 10 Km por hora?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:

50 T1 = 10 T2Como el seor dispone de 12 horas:

(1)

RESOLVER EL PROBLEMA:

T1 + T2 = 12

(2)

Resuelva el sistema de dos ecuaciones ( 1 y 2 ) y obtendr lossiguientes resultados:

T1 = 2

;

T2 = 10

Se trata de un hombre que dispone de un tiempo determinado parair y venir a un sitio utilizando mviles con diferentes velocidadespara su ida y vuelta. Debe tenerse clara la idea de que ladistancia de ida debe ser igual a la de vuelta. ING. JOSE L.ALBORNOZ S, -97-

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de distanciaobtendremos:

La distancia recorrida de ida o vuelta fue de 100 Km.ING. JOSEL. ALBORNOZ S,

D1 = 100

;

D2 = 100

-98-

EJERCICIO # 99La semana pasada usted cancel el sueldo de 15obreros contratados y 10 obreros fijos con Bs. 3.000.000. Estasemana, con la misma cantidad de dinero, usted cancel el sueldo de8 obreros fijos y 18 contratados. Cul es el sueldo semanal de cadaobrero fijo y cada obrero contratado?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCGNITAS:

X = Sueldo de obrero fijo. Y = Sueldo de obrero contratado

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboracin en elsentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendaciones a lasiguiente direccin : [email protected] . Igualmente puedeenviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda serincluido en el mismo. Si en sus horas de estudio o prctica seencuentra con un problema que no pueda resolver, envelo a laanterior direccin y se le enviar resuelto a la suya.

EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

La semana pasada usted cancel el sueldo de 15 obreroscontratados y 10 obreros fijos con Bs. 3.000.000:

10 X + 15 Y = 3.000.000

(1)

Esta semana, con la misma cantidad de dinero, usted cancel elsueldo de 8 obreros fijos y 18 contratados:

8 X + 18 Y = 3.000.000RESOLVER EL PROBLEMA:

(2)

Resuelva el sistema de dos ecuaciones, utilizando el mtodo dereduccin, y obtendr los siguientes resultados:

X = 150.000

;

Y = 100.000

El sueldo semanal de cada obrero fijo es de Bs 150.000 y el decada obrero contratado Bs 100.000.COMPROBAR LOS RESULTADOS ING.JOSE L. ALBORNOZ S,

-99-

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